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Full text of "Oeuvres de Henri Poincaré :"

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BOOK    5  10.08.P755  V.3   cl 
POINCARE    »    OEUVRES    DE    HENRI 
POINCARE 


3    1153    a012bl3T    7 


ŒUVRES 


HENRI    POINCARÉ 


PARIS.    —   IMPRIMERIli    GAUT  H  I  ER-V  !  LLA  RS 

Quai  des  Grands-Auguslins,  55. 

84505- .■Î4 


ŒUVRES 


DE 


HENRI   POINCARÉ 


PUBLIEES 


SOUS  LES  AUSPICES  DE  L'ACADEMIE  DES  SCIENCES 


PAR 


LA    SECTION   DE    GÉOMÉTRIE 


TOME   III 


PUBLIE    AVEC    L\    COLLABORATION 


IULES    DRACH 


MEMBRE      Dl^       I.  ACADI^MIE      DBS      SCIENCES 


PARIS 

GAUTHIER-VILLARS,    ÉDITEUR 

LIBRAIRE  DU  BUREAU  DES  LONGITUDES,   DE  L'ÉCOLE  POLYTECHNIQUE 
Quai   des   Grands-Augustiiis,   55 

1934 


Tous  (.li'oils  de  Lraduclion,  de  reproduction  cl  d'adapUtion  réservés  pour  tous  pays. 


sun 

UN  THÉORÈME  DE  M.  FUCHS 


Comptes  rendus  de  l'Académie  des  Sciences,  t.  09.  p.  ~3-~'i  (iJ  juillet  i884). 


M,  Fiichs  a  présenté  dtrnièrfmfnl  à  l'Académie  de  Berlin  un  travail  où  il 
étudie  les  conditions  pour  que  les  intégrales  d'une  équation  différentielle  algé- 
brique n'aient  qu'un  nombre  fini  de  points  singuliers  qui  soient  les  mêmes  pour 
toutes  les  intégrales.  On  coni(irend  aisément  quel  intérêt  il  y  a  à  rechercher  s'il 
existe  de  pareilles  équations  et  à  les  former,  si  elles  existent.  En  efiél.  les  pro- 
cédés qui  permettent  d'intégrer  les  équations  linéaires  par  le  niojen  des  fonc- 
tions fuchsiennes  leur  seraient  ap|]licables,  et  l'on  serait  ainsi  conduit  à  une 
classe  nouvelle  d'équations  différentielles  intégrables  à  l'aide  des  nouvelles 
transcendantes. 

M.  Fuchs  donne,  pour  les  équations  du  premier  ordre,  les  conditions 
nécessaires  et  suffisantes  pour  que  le  nombre  des  points  singuliers  des  inté- 
grales soit  fini.  Il  commence  ensuite  une  discussion  à  laquelle  je  voudrais 
ajouter  quelques  remarques.  Si  l'on  met  l'équation  sous  la  foinie 


(■) 


'^(^•^'*j  =  "- 


et  si  l'on  regarde  un  instant  La  variable  indépendante  ;  comme  une  constante, 
la  relation  algébrique  entre  )■  et  -^  aura  un  certain  genre  que  j'appelle  p. 

Dans  le  cas  où  j)  =  o,  M.  Fuchs  montre  que  l'équation  se  ramène  à  celle 
de  Riccali,  et  [lar  conséquent  aux  équations  linéaires.  Je  n'ai  rien  à  ajouter  sur 
ce  cas. 

Si  l'on  a  jo  =  I ,  M.  Fuchs  montre  que  l'équation  peut  se  ramener  à  la  forme 


dt 
tl.  I'.  —  III. 


{■?■)  ;jz.  =  A„+A,/H- AW^^- Asv'Ht/), 


1  SIR    TN    THEORKME    DE    M.    KUCHS. 

OÙ  les  A  sont  des  fonctions  de  ;  et  où  R  est  un  polynôme  du  quatrième  degré 
eu  t  dont  les  coefficients  sont  des  fonctions  de  ;  et  qui  satisfait  à  une  relation 

(3)  V  ^ -77*-^"-^  '^i'        \,/-i--=i  B„+  H,nR 

ilz  fit 

|où  B„  et  B|  sont  des  fonctions  de  r.  |. 

Il  est  possible  de  simplifier  encore  cette  équation,  l'osons,  en  efl'et, 

/  = *;  7 


a,  p.  y  et  0  étant  des  fonctions  de  ;;  les  équations  (3)  et  (3),  où  /  sera  remplacé 
par  H,  conserveront  la  même  forme;  mais  on  aura  pu  choisir  y.,  {j,  /  et  o  de  telle 
façon  que  le  nouveau  polynôme  R, 

C  étant  une  fonction  de  r.  Les  équations  (2)  et  (3)  d<'vi('nnenl  alors 

fhi  -  ,H\ 

ilz  '/: 

ce  quL  monlre  que  C,  et  |>ar  cmisiquent  le  uuiduli'  des  fonctions  elliplii|i:es 
dérivées  du  radical  \  R',  sont  des  constantes  absolues  indépendantes  de  :. 
L'intéjjration  de  ces  équations  se  ramène  à  île  simples  quiidratures. 

On  piut  d'ailleurs  jirriver  au  luèinr  r<sultat  et  poursui\ri'  la  discussion  pour 
le  cas  dey)  >  I,  par  le  moyen  suivant. 

Soient  )„  et  y\^  les  valeurs  d'uni'  intéf;rali'  )■  et  de  sa  dérivée  -._  pour  r^r,,  ; 
soient  )•,  et  c,  les  valeurs  de  cette  même  inlécrrale  )■  et  de  sa  dérivée  pour 
:  =  :,;  il  est  aisi'  de  voir  que  ii  l'I  )  ,  smit  des  fonctions  rationnellrs  de  1  0 
et  )i|,  et  réci|H-oqiieni<;nt.  Ainsi  Irs  deux  surfaces  de  Riemann 


(Si)  ^'(  =  ">'-È)  =  "' ■ 


où  :■(,  et  ;i  sont  reo^ardés  comme  des  constanlrs,  et  où  les  \ariables  sont  v  et 


'/V 

ont  non  si'Tileuirnt  même  genre,  mais  encore  mêmes  modules.  Les  modules  rie 
la  siirj'aci-  de  Riemann  irpirsciilée  par  l'èqualion  (i)  sonl  donc  constants 
et  indépendants  de  z. 

Cela  posé,  ou  bien  la  surface  S,  ne  pourra  dériver  de  la  surface  S„  par  une 
transformation  biralionnelle  que  d'un  nombre  fini  de  manières;  dans  ce  cas,  ou 


( 

(lll 


SIR    IN    IIIKCIIIKMK    DR    M.    ITirilS.  i 

pimri'a  déliTininer  ces  iransloriiialloas,  et  par  conséquent  Tint  ■i;ralp  générale 
le  l'équation  (i)  par  des  procédés  purement  al<;ébri(pies  ;  celle  intégrale  sera 

ne  algcbritiiie  ;  on  bien  les  deux  surlaces  pourront  dériver  l'une  de  l'autre 
par  une  inlinité  de  transformations  birationnelles,  ce  qui  signilie  que  l'une 
d'elles,  S||  par  exemple,  sera  reproduite  par  une  infinité  de  pareilles  transfor- 
mations. Mais  cela  ne  peut  janiiiis  avoir  lieu  si  /)  >  i .  Dans  le  cas  de  p  =  i ,  on 
retrouverait  d'ailleLiis  aiscmeni  le  résultai  énoncé  plus  liaul. 

En  résume,  on  peut  tirer  du  beau  lliéorème  de  M.  Fuchs  les  conséquences 
suivantes,  en  lais-ant  de  côté  le  cas  de  p  =  o,  complètement  traité  par  le  savant 
géomètre  de  Berlin.  * 

Si  les  conditiiiiis  énoncées  pnv  M.  /'^iir/is  sont  remplies  pour  une  équa- 
tion du  premier  ardre,  el  si  y>  =:  i ,  Vérjuaiion  est  intéf^rahle  par  qiiadra- 
I lires.  .S'/yj>-i,  l'inlèn-rale  est  alffébrir/iie. 

Il  sérail  inléressant  de  recliercher  si,  dans  le  cas  des  équations  d'ordre 
supérieur,  on  arrive  à  des  théorèmes  analogues,  ou  si,  au  contraux',  on  est 
conduit  à  une  classe  essentiellement  nouvelle  d'équations  intégrables  par  les 
fonctions  fuchsiennes. 


SUR 

UN   THËORKME   DE   M.    FUCHS 


Acia  mat/iematica.  t.  7.  p.   i-'îa  (iS8ô). 


Les  équations  diirérentielles  linéaires  jouisscuL  dune  propriété  remarquable  : 
les  points  singuliers  sont  les  mêmes  pour  toutes  les  intégrales.  C'est  ainsi  i|ue 
pour  les  équations  dont  les  coefficients  sont  des  polvnomes  entiers  en  .v,  les 
points  singuliers  sont  les  valeurs  de  x  qui  annulent  le  premier  coeflicient.  C'est 
sur  cette  circonstance  qu'est  fondée  la  méthode  dintégralion  de  ces  écpiations 
par  les  fonctions  zétafuchsiennes. 

Les  équations  non  linéiiires  ne  jouissent  pus.  du  moins  en  j:;énér;il.  de  In 
même  propriété.  Ainsi  l'équation  très  simple 

i/.r  -i-  J'  ily  =  11 


./•  il.r 


a  jiour  intégrale  générale 


y=  V 


c  éliinl  une  constante  d'intégration.  Et  les  points  singuliers  a;  =  ±  c  dépendent 
de  cette  constante  et  ne  sont  par  ronséquent  pas  les  mêmes  pour  toutes  les 
intégrales. 

On  est  ainsi  conduit  à  reehercix'r  s'il  existe,  en  dehors  des  ('quations 
linéaires,  d'autres  classes  d'équations  dillérontielles  dont  toutes  les  intégrales 
particulières  aient  les  mêmes  points  singuliers.  C'est  ce  problème  que  M.  Fuchs 
a  très  élégamment  résolu  dans  un  Mémoire  intitulé  :  Ueber  Diffcrcnlialglei- 
chungen  dercn  Intt;  g  raie  j'este  l'erziveigimgspiinlitr  besitzeti  et  inséré  aux 
Sitzungsberichte  de  l'Académie  de  Berlin  (séance  du  ^>G  juin  i884)- 

,Ie  rappelle  succinctement  les  notations  employées  par  le  savant  géomètre  de 
Berlin  et  les  résultats  qu'il  a  obtenus. 


(')  Impvinié  le   ii   fcviirr  i^^Si. 


Sllll    CN   TIIKOREMIÎ    DE    M.    |-l'f:llS.  5 

M.  FiKjhs  considère  une  équation  du  |)retnier  ordre 

(A)  FÙ-.  ,1-.  ,|-'V^  o, 

où  ;  est  la  variable  indépendante  et  l' la  dérivéi'  -fj--  el  dont  le  premier  membre 

esl  un  polynôme  entier  en  )•  et  en  )',  avant  pour  coefficients  des  fonctions 
ijitcjiiinqiip.s  de  ;. 

Si  l'on  considère  un  instant  ;  comme  une  constante,  lèquation  (A)  devient 
une  relation  algébrique  entre  )   el  )'.  On  appelle  ji  le  i;('nre  de  celte  relation. 

L'équation 

esl  celle  que  l'on  obtient  en  éliminant  )  '  entre  l'équation  (A)  et  la  suivante 

(    P.   i  -T-.     =     O. 

M.  Fnclis  arrive  d'abord  à  un  résultai  général  qu'il  énonce  ainsi  : 

«  Die  nothwendigen  nnd  liinreichenden  Bedingungen  dafiir,  dass  die  Inle- 
grale  der(ileichung(A)  feste,  sich  nichlmit  den  Ànderungen  der  Anfangswerlhe 
stelig  verseliiebende  Verzvveigungspunkte  besitzen,  sind  die  folgenden. 

»    I.    Die  (  lleieliuni;  (  A  )  liai  die  Form 

I  F  )  y'"'  +  'i I  .k'"'-'  -:-  '^zy'"'-'  -h . . .  +  ■l',,,  =  o. 

worin  i];,,  i^,  .  .  . ,  ■h,,,  ganze  rationale  Fnnclionen  von  )•  mil  von  c  abhangigen 
Coefficienlen  von  der  Beschaffenlieilbedenlen,  dass  tj/j  Inichslens  vom  Grade  2/. 
in  Bezug  anf  >-  isl. 

»  2.  Isl  )■  =  /y  eine  \\  urzel  der  Discriminanlengleicliung  (C)  fiir  weklie  die 
ilurcli  (F)defînirle  algebraische  Function  y  von  )•  sich  verzweigl  so  ist  r,  ein 
Intégral  der  Gleichung  (F).  In  der  )•'  als  algebraische  F\inction  von  y  dars- 
tellenden  Riemann'scben  Fliiche  hal  )'  in  siimmlliclien  iiber  r  =  "'7  liegenden 
Verzweigungsslelien  dén  Wcrlh  1'  =  Ç  =;  -p- 

»  o.  Je  y.  Bliitterit,  welche  sicli  in  )-  =  r,,  )'=?=  73  verzweigen,  entspre- 
clien  mindeslens  y.  —  1  mil  )•  =  rj  zusamuienfallende  Wurzeln  der  Gleichung 

F(3..i%  r^  =  o 


niit  der  Unbekannten 


)•-  » 


6  SIR    IN    TIIBORÉME    DIC    M.    FI  CHS. 

En  d'autres  termes,  Féqualion  (A)  devra  satisfaire  aux  conditions  suivantes  : 

1°   La  fonction   )•'  définie  par  cellu  équation  ne  pourra  devenir  infinie  que 
lorsque  )■  sera  lui-mènie  infini,  (lU  pour  certaines  valeurs  particulières  de  ;. 
2°  Si  l'on  Tiose  )i  =  ->  y',  r=  -—-,  reiiuation  (A)  deviendra 

) 'i  ne  devra  pouvoir  devenir  infinie,  si   )■,   e?t  nul.  que  pour  certaines  valeurs 
particulières  de  :. 
3°  Les  équations 

devront  définir  des  intégrales  singulrères  de  réqu:ition  (A). 
/i"  Eu  différentiant  l'équition  (A),  on  trouve 

^  ^y       ./F     ,_  </F  _ 

,(>'   t'/z   '"  ily  ■*'        dz   "  "■ 

On  devra  avoir  identiquenieiil 

,IV     .      </l"       ....  dV 

il  y  dz  dy 

P  et  Q  étant  des  polynômes  entiers  en  )•  et  en  )',  avant  pour  coefficients  des 
fonctions  de  :. 

Il  est  aisé  de  com|)rendre  l'importance  de  ces  rt'-sidlats.  Supposons  en  efFet 
que  F  soil  un  polynôme  entier,  non  seulement  par  l'apport  à  )'  et  à  )',  mais 
encore  [idr  rap[)orl  à  ;.  Alors,  si  les  conditions  précétlemment  énoncées  sont 
remplies,  lu  nombre  des  |)oints  singuliers  est  fini  et  ces  points  peuvent  même 
être  regardés  comme  donnés,  de  sorte  que  la  méthode  d'intégration  des  équa- 
tions linéaires  par  les  fonctions  fuchsiennes  est  applicable,  au  moins  dans  ses 
traits  essentiels.  On  pourràt  donc  ainsi  concevoir  l'espoir  de  découvrir  une 
classe  nou\elle  <réquations  dillérenlielles  intégrables  par  ces  tianscendanics. 
Dans  le  cas  même  où  F  n'est  jjas  un  j)olynome  entier  p.ir  rapport  à  c,  le  résidlal 
reste  fort  important. 

Mais  pour  en  tirer  tous  les  huils,  d  est  indis])en>al)le  de  taire  des  conditions 
précédemment  énoncées  une  étude  plus  approfondie.  Celte  étude  a  été  com- 
mencée et  poussée  assez  loin  par  AL  Fuclis  et  je  désii'erais  ici  la  pousser  plus 
loin  encore,  afin  d'arriver  à  des  conclusions  dè(inili\es  ('). 

(  '  ]  Voii'  au\  ^t^i^:.s. 


Sin    IN    TlIKOnKMIC    DK    SI.    IIf.llS.  7 

I^e  nombre  que  nous  avons  appelé  |)las  hiiut  //  jnue  dans  celle  élude  un  rôle 
capital. 

1"  Sup[)05anl  d'abord  p  ^  o.  M.  Fuclis  pose 

<!►„,  <I>|  i-'t  *I»j  désignant  des  poljnouies  entiers  en  /,  dont  les  cocflicienls 
dépendent  de  r.  Il  arrive  ainsi  à  l'équation 

où  A,j,  A|,  Al  sonl  des  tondions  de  ;.  C'esl  l'équalion  de  Uiccali  tiu'il  est  aisé 
de  ramener,  comme  on  sait,  aux  équations  linéaires  du  second  ordre.  Ainsi 
dans  le  cas  de  />  =^  o,  on  n'obtient  pas  déclasse  réellement  nouvelle  d'équations 
dili'érentielles  satisfaisant  aux.  conditions  énoncées. 

Dans  ce    premier   cas,   je    n'ai    rien    à    ajouter   aux    résultats    obtenus    par 
M.   Fiichs. 

2"  Ce  savant  géomètre,  examinant  ensuite  le  cas  de  p  =  i ,  [lose 

'l),  -H  »I'|    V   RT/^  _    *3-*-   'l'î   \    R(  /) 

les  <I»,  les  1-'  et  11  étant  des  polynômes  entiers  en  t  avec  des  coeflîcieuls  dépen- 
dant de  ;,  et  R  en  particulier  étant  du  quatrième  degré  en  /. 
L'é(]uatiùn  (A)  est  alors  ramenée  à  la  forme 

(il  'j^  =  .\o—  \,i  +  \,r--^  '/■  v'RiT). 

où  les  A  et  ).  suai  des  fonctions  de  .:. 

On  déduit  alors  de  l'énoncé  de  M.  Fuchs,  cité  plus  haut,  la  condition  sui- 
vante : 

(•2)  -p-  -(-  -7t{\,,^  V,/-f-.\W=i  =  (Bo-HB,/)H(  l). 

ilz  tll 

Bu  et  B(  étant  des  fonctions  de  ;. 

On  peut   pousser  plus  loin   encoie  l'élude    de   celte  condition,   à    laquelle 
s'arrête  le  célèbre  analyste  que  nous  citons. 

Sit 

('il  R  (  0  =_(  /  —  ï  'i(  '  —  ?  1 1  '  —  ï  H  '  —  S  I, 


»  Slli    rX    TIIKOHEME    HK    M.    I  TnHS. 

a,  p,  y  et  o  (Hant  des  fonctions  fie  ;.  Posons 

,  , ,  au  -\-  h 


eu  +  c/ 


a,  b,  c,  d  étant  des  fonctions  de  ;  que  nous  déterminerons  plus  complètement 
dans  la  suite  et  auxquelles  nous  imposerons  d'abord  la  condition 

ad  —  fer  =  I . 
Les  équations  (  i  ),  (  -j.)  et  (3)  vont  se  transformer.  En  posant 

ax'^b  a'î' -\- h  ay' -h  h  ,        ao  --  l> 

on  aura 

R  (  /  )  =  ("  —  ^")("—';i')i"  —  Y){u  —  s')  ^        B| 

(c«-+- f/)»(ea'-+-rt')(c[i'-t-f/i(f-'-r  f/-)(cS'-f-c/)        u-h,  +  ,/ i»  \1  ' 
M  étant  une  loiution  de  ;, 

{c!i  —  d)-_  cu^il 

les  A'  et  les  B'  étant  des  fonctions  de  ;.  Il  vient  ensuite 

'//   _  du  Co  -t-  (\»  —  C;  u- 

ilz        dz{cu-^-d}-  (eu  ^- d  y-        ' 

d  où,  en  posant 

\:,-c„=a;,.       aï  — (:,=  \;.       \:  — (;,=  a^, 

ou  tirera 

du       .,  — 

—  =  A„--  A|  ;(—  \:^u-^  I.  \  H|. 

et  l'on  trouverait  aisément 


r/lt,        d\\ 


Ainsi  la  forme  des  équations  (1),  (2)  et  (3)  n'est  pas  changée  par  la  transfor- 
mation (4),  ce  qu'il  était  d'ailleurs  facile  de  prévoir. 
Nous  déterminerons  a,  b,  c,  d  en  fonction  de  c  par  les  conditions 

(/:i  —  b  =  (c-\-d)^  —  (a^f>)  =  id—c)-;  —  (b  —  a)  =  o 

qu'il  est  toujours  possible  de  remplir  et  qui  entraînent 

a'=o,         ii'=i.         7'  =  — I. 
D'où  la  conclusion  suivante  : 


Sin    UN    THKOHKMR    DE    M.    l'I  CMS.  Ç) 

Il  est  loujouis  |ieriiiis  de  supposer 

0  élanl  une  fonction  de  ::  qui  définit  le  module  des  [fondions  elliptiques  engen- 
drées par  ^/R.  C'est  l'hypothèse  <]ue  nous  ferons  désormais. 
L'équation  (2)  devient  alors 

Faisons  successivement  dans  cette  équation 

/  =  o.  /  =  1.  /  =  —  I. 

elle  deviendra 

'/R     .         .  . 

— ^(  Ao-^  A,;  -H  A,/=  I  =  o         (l  =  —  I.  o    i). 
(Il  ^ 

Mais  -7-   ne  saurait   s'annuler  pour  une  de  ces  trois  valeurs  de  <,   sans  quoi 

ut  ^  ' 

0  serait  égal  à  —  i ,  à  o  ou  à  i ,  et  le  nombre  p  ne  serait  plus  égal  à  1 ,  mais  à  o. 

On  a  donc 

A„—  A,  I  -^  \«t-=  o         (/  =—1.  o.  i), 

d'où 

A«=A,=  A,=  o. 

L'équation  (2)  se  réduit  alors  à 


/(i  — /-)-p  =i'i!u—  li.nR. 

Si  dans  celte  équation  on  fait  ?  ^^  ô,  il  reste 

do 

Tz  =  "■ 

Ainsi  ô  est  une  constante. 

Si  l'on  regarde  un  instant  ;  comme  une  constante,  l'équation  (A)  devient 

une  relation  algébrique  de  genre  p.  Cette  relation  définit  une  certaine  surface 

de  Riemann  S  qui  dépend  de  .;.  Ici  p  =  1  ;  donc  à  chacune  de  ces  surfaces  de 

Riemann  correspond  un  système  de  fonctions  elliptiques  et  le  module  de  ces 

fonctions  pourra  s'appeler  le  module  de  la  surface  S. 

//  résulte  de  ce  qui  précède  (jur  le  module  de  la  surface  S  est  invariable. 
Gela  |)Osé,  l'équation  (i)  devient 


H.  P.  —  m. 


dt        ,     ,rr 
dz  =  '■  ^'* 


Sun    UN    THKOREME    DR    M.    Ft  CIIS. 


-4  =  ;  ,1- 


R  ne  dé|jL'nd  que  de  l  et  ),  ne  dépend  que  de  ;;  les  variables  sont  dune 
sqjarées. 

Posons  "i.^  -j-^1  IX  étiinl  une  fonction  de  c.  L'inversion  de  la  relation 

'"         I 

\R 

donnera 

■j  étant  l'algoritinne  d'une  lonclinn  doublement  périodique  et  c  la  constante 
d'intégration. 

Les  points  singuliers  de  la  lonclion  t  seront  ceux  de  la  fonction  ;j. ;  ils  seront 
donc  indépendants  de  la  constante  d'intégration  et  seront  les  mêmes  pour  toutes 
les  intégrales. 

Ainsi  dans  le  cas  de  />  ^^  1 ,  comme  dans  celui  di'  [i  =  o,  nous  ne  sommes  pas 
eoniluils  à  une  classe  réellement  nouxelle  d'équations  dillerentielles. 

3°  Il  reste  à  examiner  le  cas  de  p   >  1 ,  laissé  de  côté  par  M.  Fucbs. 
Une  petite  dii^res^ion  sui-  les  surfaces  de  Piieniann  est  ici  nécessaire. 
Soit 

une  relation  alyéljrique  de  yenre  y;,  <lélinissaut  une  surlace  de  lilemann  S^, 

.Soit 

./■|i  j'].  y\  I  ^  o 

une  relation  de  nn'me  genre  délinissant  une  surface  de  Rienianu  S,. 

Les  deux  suifaces  Su  et  S|  seront  dites  l'cjuii  a  lentes  si  l'on  peut  passer  de 
l'une  à  l'autre  par  une  Iransfoiination  birationnelle,  c'est-à-dire  en  établissant 
entre  les  deux  points  analv  tiques  (  \\.  )„),  (  ii,  y\  )  une  relation  lelle  (|ue  )i 
et  y\  puissent  s'exprimer  rationnellement  en  fonction  de  )„  et  j^,;  et  récipro- 
quement. 

On  sait  (pi'ij  y  a  certains  invariants  (jiii  ne  sont  p.is  altérés  piir  hs  transfor- 
mations birationnelles;  ce  sont  les  modules.  Il  y  a  ip  —  3  modules  ])iinr  une 
surface  de  Iliemann  de  genre  yB>>i  ei  un  module  pour  une  surface  de  genre  un. 
lieux  surfaces  de  Riemann  équivalentes  ont  donc  mêmes  modules. 

Reprenons  maintenant  réqualion  (A)  et  considérons-la  comme  représentant 


SUR    UN    TUKORKMK    DE    M.    FUCHS.  I' 

une  surfaci'  de  Riemann  S  variable  avec  :.  Je  dis  que  les  modules  de  celle 
surface  S  seront  constants  et  indépendants  de  :. 

En  effet  partons  df  la  valeur  initiale  ;o  de  ;,  à  laquelle  correspond  une  cer- 
taine surface  de  Riemana  So-  Soient  r„  et  )|,  les  valeurs  initiales  d'une  certaine 
intégrale  de  l'équation  (A)  et  de  su  dérivée;  le  point  analytique  (  jo,  ,)'i,  )  appar- 
tiendra à  la  surface  S„. 

Allons  ensuite  du  point  r,,  au  point  c■^  en  sui^'a/il  un  ctieniiti  déterminé.  Lu 
surface  de  Riemann.  ([ue  nous  avons  appelée  S  et  qui  pour  ;  -—  ;„  se  réduisait 
à  S„,  variera  avec  ;  et  \w\\v  z^=z^  se  réduira  à  S,.  Pour  c  ;=  ;i,  l'intégrale 
considérée  et  sa  dérivée  se  réduiront  à  Ki  et  r,  elle  poini  analytique  ()i ,)',  ) 
appartiendra  à  la  surface  S,. 

Faisons  maintenant  varier  sur  la  surface  S^  le  point  unalytique  (  )  „,  )  „)  qui 
définit  les  valeurs  initiales  correspondunl  à  l'intégiale  envisagée,  mais  con- 
servoyis  des  \aleurs  invariables  à  ;„  et  à  ;,  et  ne  faisons  |)as  varier  non  plus  le 
cliemin  (iLii  mène  de  ;„  à  ;|.  Dans  ces  conditions,  les  surfaces  Su  el  S,  ne 
varieront  pas,  mais  l'intégrale  considérée  variera  et  dépendra  des  valeurs  ini- 
tiales )•„  et  rîi  que  l'on  aura  choisies.  Pur  conséquent  Vi  et  y\  seiont  des  fonc- 
tions de  )■„  el  de  }'„. 

Je  dis  que  ce  seront  des  fonrtinns  uniformes  et  continues  du  point  unalj- 
ti([ue  (  )o,  l'i,).  En  effet  si  l'on  se  donne  les  valeurs  initiales  v,,  et  )  |,,  l'intégrale 
qui  correspondra  à  ces  valeurs  inili  les  seru  entièrement  délerminée.  Celte 
intégrale  considérée  comme  lonclion  de  c,  peut  jirendre  pour  c  =  ;,  des 
valeurs  différentes.  Mais  parmi  elles,  il  y  en  a  une,  qui  est  celle  que  nous  avons 
aijpelée  )'i  et  qui  est  celle  que  l'on  oblient  en  allant  du  poiiil  ;„  au  point  z^  par 
le  chemin  particulier  que  nous  avons  choisi.  Celte  valeur  r,  ainsi  définie  est 
parfaitement  déteiminée.  C'est  donc  une  fonclion  uniforme  du  |Miint  analy- 
tique (  )-u,  y\). 

Culte  fonction  uniforme  pourrait  toutefois  être  discontinue.  Voyons  comment 
cela  pourrait  arrivei',  par  un  exemple  sinqjle.  Reprenons  l'équation 


;  (/;  -t-  _;'  ily  =  o 


et  son  intégrale 


\  f-— -• 


Soient  ;„=  o,  ;,  =  i  el  allons  du  poiiU  >.>  au  point  i  par  la  droite  cpii  joint  ces 
deux  points.  11  viendra 


J»'o  = 


12  SI  n  IN  TiiEoiiKMi;  IIP;  .m.  ficus. 

et 


.1-,  =  ±  ^V-— I  =±  \/vg— 1. 

Ainsi  Vi  est  exprimé  en  fonction  de  }'„.  Il  irste  toutefois  pour  le  délinir  com- 
plètement à  décider  >i  l'on  doit  prendre  le  signe  +  ou  le  signe  — .  Supposons 
d'abord  que  la  p^irtic  imaginaire  de  lo  soif  positive.  Posons 


■ij«=  ('^  7)  <-o^z-^,-(/—j)-\nz. 


t  et  o  étant  des  quantités  réelles  et  telles  que 

Cela  est  toujours  possible  et  d'une  seule  manière,  sauf  une  exception  dont  nous 
parlerons  plus  loin.  11  viendra 

*  V>o— '=±  |('"~  7)  "''■'r-^'i^l-^  jj  ^'"yJ- 

Cela  posé,  pour  déterminer  le  signe  qu  il  faut  prendre,  faisons  \aiier  ::  de  o  à  1 , 
en  suivant  la  droite  qui  joint  ces  deux  points. 
Nous  écrivons' 

v.J'fi=  H'  -(-  —  ]  c   ^'l  -h  il  II  —  —  j  siii'i/ 

■l  devra  se  réduire  ù  o  et  11  i\  t  pour  ;  =  1 .  Il  viendra 

2  \'yé—5-=±     ("—  ^jcos'i-^  (■/»-!-  ^j  -m'A 

et  comme  celte  expression  devra  se  réduire  à  2  )„  pour  ;  =  o,  il  taudia  prendie 
le  signe  +  et  il  viendra 


s  Ml  ; . 


Cette  expression  n'est  pas  une  fonction  continue  île  lo-  Soit  en  effet 

/  =  1  —  s. 

£  étant  infiniment  petit.  Les  deux  valeurs  de  2  )„ 

(I -!- c  H I  coso -H  (' (  I -;- : —   )sinc  =  ac«so —  iiif.   imiIi 

et 

li-hî-^  1  cos( —  z,)  -h  i (  i  -i-  i I  sln( —  ç)  =  -2  cosi  —  iiif.  pelil 


suit    IN    THÉORÈME    DK    M.    FUCUS.  l3 

sont  infiniment  voisines,  tnnilis  que  los  valeurs  correspondantes  de  .ty, 


-;-jr„..  +  ^(,^.  +  -^) 


siiiw  =  ■>  (' siii  9  4- iiil'.  |pclil 


el 


+-  £ \  ro^i —  -  I  -f-  H   i  -t-  ï  -  - )  >in(' —  3  1=  — ^  ?. ('  siuo  +  iiif.  pol  il 

ne  sont  pas  iaflninu'iit  voisines  coiiiinr  elles  deviaieni  l'être  si  j-,  élail  fonction 
continue  de  )  „. 

A  quoi  tient  ce  l'ait?  Supposons  que  jo  soit  réel  et  compris  entre  — ^  i  et  +  i. 
Alors  il  faudra  prendre  t  =  i.  Et  pour  l'angle  9  nous  aurons  deux  valeurs  dis- 
tinctes satisfaisant  toutes  deux  à  la  condition 

cosç  =  J'o- 

D'ailleurs  rien  dans  les  hypothèses  faites  jusqu'ici  ne  nous  permettra  de  décider 
entre  ces  deux  valeurs  de  9  qui  conduisent  'pour  \-,  à  deux  valeurs  égales  et  de 
signe  contraire.  Rendons-nous  compte  de  la  raison  d'être  de  celte  anomalie. 
Supposons  que  nous  ayons  donné  à  >o  une  valeur  réelle  comprise  entre  —  i 
et  -f- 1 .  L'intégrale  correspondante 


y  =  V^ii  —  -= 
présentera  un  point  de  ramification 

=  =  !  J'o  ! 

situé  sur  la  droite  qui  joint  le  point  :;  =  o  au  point  .:  =  i ,  c'est-à-dire  sur  le 
chemin  même  que  nous  sommes  convenus  de  suivre  pour  aller  du  premier  de 
ces  points  au  second.  Quand  la  variable  ::,  en  suivant  ce  chemin,  aura  franchi  ce 
point  de  ramilicatiou,  rien  dans  les  hypothèses  faites  ne  nous  permetira  de 
décider  quel  signe  il  faut  attribuer  au  radical  y/rj; —  •:'• 

.le  suis  entré  dans  d'assez  longs  détails  sur  ce  cas  simple  et  j'espère  avoir  fait 
CDinprendre  comment  y,  pourrait  être  une  fonction  discontinue  de  )  „. 

Cela  arriverail  si  l'un  des  points  du  chemin  que  nous  suivons  pour  aller 
de  zo  à  :,  était  un  point  de  ramification  pour  l'une  des  intégrales.  Mais 
rien  de  pareil  n'est  à  craindre  dans  le  cas  (|ui  nous  occu[)e.  Nous  avons  supposé 
en  effet  que  les  points  de  ramification  étaient  les  mêmes  pour  toutes  les  inté- 
grales et  par  conséquent  qu'il  ne  pouvait  y  avoir  de  points  de  ramification  des 
intégrales  que  pour  certaines  valeurs  particulières  de  .:. 


l4  SUR    l'N    THKOIIKME    III',    M.    FI  I  IIS. 

Or  nous  aurons  toujours  pu  clioisir  le  chemin  qui  va  de  z-o  à  :,  du  lelle  sorte 
qu'il  ne  passe  par  aucune  de  ces  valeurs  particulières. 

Donc  )■,  esl  une  fonction  uniforuic  et  continue  de  )o  et  i,,. 

11  est  aisé  de  voir  que  leLte  foiiclion  na  d'iiulies  singularilés  cpie  des 
pôles  ('  ). 

Donc  )'i  esl  une  fonclion  rationnelle  de  ;•„  et  )  |,. 

Pour  la  même  raison,  )',  esl  une  fonction  rationnelle  de  )  ,,  et  i  „  ;  et  de 
même  )o  pI  Y,,  sont  (les  fonctions  rationnelles  de  Vi  Pi,)',. 

Donc  on  piMit  passer  de  So  à  S,  p.ir  une  irausforinalion  IpiiMtionnelle. 

Donc  ces  deux  surfaces  de  Rieinimn  <inl  mêmes  modules. 

Donc  Ir.'i  modules  t/c  lii  suvfuce  S  soûl  indrpciuUints  de  z. 

c.   Q.    r    II. 

C'est  le  résultai  (pie  nous  avions  (dilenii  plus  liant  pour  le  cas  de  p  =  ]  c\  (pii 
esl  étendu  ainsi  au  cas  général. 

Pour  pousser  plus  loin  cette  élude,  il  est  nécessaire  de  dire  (|uelques  mots 
des  transformations  l)iralionnelles  des  surfaces  de  Riemann  en  elles-mêmes. 

Une  surface  de  genre  o  peut  se  transformer  en  elle-même  par  une  infinité  de 
tiansformalions  hiialioniudles  formnni   un   groupe  ('Onlinii   ,"t   trois  paramétres. 
Soient  en  ellel 
(5)  /(./■.  1-1  -  (> 

une  relation  algébrique  de  genre  o  et  S  la  surface  de  Riemann  correspondante, 

on  peut  poser 

.r  =  z(  !)■        y  =  ■]'(  'I.     ■ 

o  et  <\i  étant  ralioniiels  |el  I  s'exprimanl  ralioniKdlement  en  x,  )  |.  Si  ensuite  on 
prend 

l 


;  /  -h  S. 
X,  (i,  V  et  0  elanl  des  conslanles  (pielconqiies,  puis 

.r'  et  )  '  seront  fonctions  rationnelles  de  .f  et  r  el  réci|iroqtiemenl,  on  aura  ainsi 
une  lri|ile  infinité  de  transformations  hiralionnelles  de  la  surface  S  en  elle- 
même. 

Les  iransformations  birationnelles   d'une  surface  de  genre    i    en  elle-même 


('  )   Vnir  aux  Notks. 


SIR    IN   THKORKMI.    DK    M.    IITH*.  15 

formeiil  encore  un  gToii|n'  conlinu,  mais  ce  groupe  ne  conlicnL  plu^  qu'un  seul 
paramètre.  Supposons  en  effet  que  la  relation  (5)  et  par  conséquent  la  sur- 
face S  soit  de  genre  i  et  non  plus  «le  genre  o.  Nous  poserons 

9  el  'i>  étant  des  fonctions  douliliMiicnt  périodiques  avec  les  périodes  m  et  w. 
Soient 

un  autre  système  de  valeurs  satisfaisant  à  la  relation  (5)  el  supposons  que  x' 
et  y  puissent  s'exprimer  rationnelleuient  en  .r  et  y,  et  réciproquement.  On 
verra  : 

i"  Que  t'  est  une  fonction  entière  de  /; 
2°  Que  t  est  une  fonction  entière  de  t' ; 
3"  Que  l'on  a  entre  t  et  /'  une  iclation  de  la  forme 

7.  /  -^-  }  l'  -t-  ■;  =  o, 

y.,  p  et  y  étant  des  constantes; 

4"  Que  lorsque  /  augmente  d'une  période,  /'  doit  augmenter  aussi  d'une 
période  et  réciproquement.  Si  p;ii-  cxoinple  /  augmente  de  ',),  ('  devra  augmenter 
de  niu-j-  ri'W .  m  et  /(  étant  des  enliei's.  Il  vient  donc 

ao)  -I-  '^j{  1)1  oj  H-  /(  w'  I  =  () 

et  de  même 

ïo)'  -+-  'it  m'o>  -J-  rt'o)'  )  =  o, 

3t  1  «i  1  (O  -H  «  I  t.j'  )  +  poj  =  o, 

ai  i)i\  O)  +  ri\  w'  )  +  [jO)'=  o. 

Les  deux  dernières  équations  sont  des  conséquences  des  deux  premières  pourvu 
que  l'on  suppose  mn' —  m'  /i  =  i .  Celle  condition  est  d'ailleurs  nécessaire  pour 
que  les  quatre  équations  soient  compatililes.  Nous  remplacerons  donc  nos 
quatre  équations  par  les  trois  suivantes  : 

I»  li  —  //(';;  =  1 . 

Ces  équations  peuvent  être  satisfaites  de  trois  manières  : 

1°  En  faisant 

z  =  I .  ^i  =  —  I ,  m  —  n'  =  i ,         m'  =  n  =  o. 

d'où 


l6  SUR  UN  THÉOHÈME  DK  M.  FICUS. 

On  esl  ainsi  conduit  à  une  intinité  de  transformations  de  la  surface  S  en  elle- 
même,  dépendant  d"un  seul  paramètre  •/  et  formant  un  groupe  continu. 


■j."  Le  rapport  -  esl  donné  par  l'équation 


y. 

X- -+-  p--¥-  x'^j{'ii  -r-  II' )  =  o. 


De  plus  ce  rapport  ne  doit  pas  être  réel  (>1  on  laisse  de  cùlé  le  cas  cpie  nous 
venons  de  traiter  et  celui  que  nous  allons  traiter  plus  loin),  sans  quoi  le  rap- 
port —,  serait  lui-même  réel.  On  devra  donc  avoir 

(/«  -T-«')î<  4, 
d'où 

m  ■+-  n'  =  ".  I  i)U  —  I . 

11  est  aisé  de  déduire  de  là  que  le  rapport  —  doil  avoir  une  des  valeurs 

ki- 

(6) 


II,  /.,  y.,  "/,',  [j.'  <'tanl  des  ealicrs  lels  que 

à;jl' —  Â'a  =  1  /,■  ^  (a,  3,  4-  f^-  9  "i'   '"  '         i  n\»A  \>.  i. 

Ce  cas  ne  pourra  donc  se  présenter  que  |iour  certaines  \aleurs  |)arlicLilières  du 
module  de  la  surface  S.  Pour  ces  >aleurs,  la  surface  S  admettra,  outre  le  groupe 
continu  trouvé  plus  haul,  une  autre  transformation  dont  la  puissance  3%  4"^ 
ou  6"  se  coiilondra  avec  la  transformation  identique,  ainsi  que  les  diverses 
puissances  de  cette  translormatiou  et  les  combinaisons  de  ces  puissances  avec 
les  diverses  transformations  du  groupe  continu. 

■5°  Ou  peul  enlin  satisfaire  à  nos  trois  équations  en  f.iisaul 

/=—/■, 
2  =  1,  [j  =  I .         /»  =  //  =  —  I .         III-—  n  ^=  O. 

On  rsl  ainsi  conduit  à  une  transformation  T  de  la  surface  S  en  elle-même.  Si 
l'on  appelle  r  une  transformation  quelconque  du  groupe  continu  trouvé  plus 
haut,  toutes  les  transformations  birationnelles  de  la  surface  S  en  elle-im'me 
sont  comprises  dans  l'une  des  formules 

-.     el     -V. 
11  n'y  a  d'exception  que  si  le  rapport  —,  prend  l'une  des  valeurs  (6).  Les  consi- 


Sllt    UN    TllKOKKMK    DIS    M.    Il  l.fIS,  17 

déralions  qui  précédent  ne  présentent  aucune  difficulté,  jo  les  ai  pourtant  déve- 
loppées avec  détail  parce  que  j'ai  Tintention  d'appliquer  une  méthode  tout  à 
fait  anidogue  à  la  recherche  des  transformations  des  surfaces  de  genre  p  ^  \ . 

Ces  surfaces  ne  peuvenl  être  transformées  en  elfes-mêmes  que  d'un 
nombre  fini  de  manières. 

Ce  théorème  était  soupçonné  depuis  longtemps,  mais  la  démonstration  a 
longtemps  arrêté  les  géomètres.  Elle  a  été  trouvée  il  y  a  quelques  années  par 
M.  Klein. 

Voici  en  effet  ce  que  ce  géomètre  me  (it  l'honneur  de  m'écrire  à  la  date 
du  :^  avril  1882  : 

«  Eine  Reihe  von  Theoremen  iiber  algebraische  Functionen  beweist  man 
vermoge  der  neuen  rj  Function  soforl  (fonction  intimement  liée  aux  fonctions 
fuchsiennes).  Zum  Beispiel  den  Satz,  den  ich  in  meiner  Schrift  iiber  Riemann 
nur  erst  als  vvalirscheinlich  bezeichnete,  dass  namllch  eine  Flàche  p  >  1 
niemals  unendlich  viele  discrète  eindeutige  Transformationen  in  sich  besitzen 
kann  (vermoge  deren  sie  in  eine  00  Zahl  àquivalenter  Fundamentalpolygone 
zerlegt  erscheinen  wiirde).  » 

11  est  facile  de  reconstituer  dans  tous  ses  détails  la  démonstration  de 
M.   Klein. 

Reprenons  en  eilel  la  relation  (5)  et  supposons  que  cette  relation  et  par  con- 
séquent la  surface  S  soient  de  genre/»  >  i .  Nous  poserons 

cp(<)  et  '4'(0  étant  des  fonctions  fuchsiennes  dont  le 'polygone  générateur  Rq 
aura  ^p  côtés,  les  côtés  opposés  étant  conjugués.  Tous  les  sommets  formeront 
un  seul  cycle  et  la  somme  des  angles  sera  égale  à  27:  [cf.  Titèorie  des  groupes 
fiichsiens  {Acta  mathematica,  t.  1,  p.  28  et  42);  et  Mémoire  sur  les  fonc- 
tions fuchsiennes  {Acta  mathematica,  t.  1,  p.  206  et  suiv.)(')].  Cela  est 
toujours  possible  [cf.  Mémoire  sur  les  groupes  des  équations  linéaires  {Acta 
mathematica,  t.  i,  p.  272  et  276)  {^)\. 
Soient 

(')   Œuvres  de   H.    Poinraré.  l.  2,  p.    129-100  (Exemples  III,  IV),  p.    i '19,  puis   p.  111  el  sui- 
vantes. 
(  =  )  Œuvres  fie  H.  Poincaré,  t.  1,  p.  363  et  p.  368. 

H.  P.  —  m.  3 


l8  SUR    L'X    THKOREMK    DE    M.    FU(.HS. 

et  supposons  que  x'  et  )'  soient  fonctions  rationnelles  de  x  el  de  )•,  et  récipro- 
quement. Qu'arrivera-t-il  si  l'on  étudie  t'  comme  fonction  de  <?  En  premier 
lieu,  tant  que  l  reste  intérieur  au  cercle  fondamental,  l'  est  une  fonction  holo- 
morphe  de  t. 

De  plus  l'  reste  intérieur  au  cercle  fondamental. 

Réciproquement,  quand  /'  reste  intérieur  au  cercle  fondamental,  t  est  fonc- 
tion holoniorphe  de  l'  et  reste  intérieur  au  cercle  fondamental. 

Ou    en    déduit    aisément   (cf.    Mémoire    sur   les  groupes    des   équations 
linéaires,  p.  281)  (')  que 

I  =  1> 

la  Mibstitulion 


{--m 


conservant  le  corcle  fondamental. 

Soit  maintenant  G  le  groupe  des  fonctions  fuchsiennes  9(<)  et  '|(0-  ^^-  <^'* 
(ju'il  cs\  permutable  à  la  substitution  c.  Soit  en  effet  r  une  substitution  quel- 
conque du  groupe  G  :  je  dis  que  c^'Tff  fera  aussi  partie  de  ce  groupe.  En  effet, 
T  faisant  partie  de  (j,  on  aura 

X  =  ?(/)  =  =(/.-).       y  =  'iù)  =  •]'('■-). 
d'où 

R[ç(/i,  ■i>(0]=  R[?(,/--N  '^t '•-)]■ 

R  étant  l'algorilhme  dune  fonction  rationnelle  quelconque.  Dautre  part  on  a, 
par  hypothèse, 

■'•■=  ?('■'>  =  rîi[9<<):  'M/)]> 


et  de  même 


d'où 


s(  l.-.'i)  =  R,[  =  (<.xl,  -bi  /.-  1]. 
■{/(?. T. 7)  =  R.[9(?.-|,  'li  t.-  I  |, 

c^/tt)  =  s,  «II.         'lii  t~i)  =  iji  11  ) 


ou  en  changeant  /  en  /t   ' 

çi  /Ï-'  •:!)  =  91  /  ).  il  «s-'tu)  =  i}(  /). 

Donc  la  substitution  0-   '  ro^  fait  partie  du  groupe  G.  c.   q.  f.    u. 

Les  substitutions  linéaires  permutables  au  groujie  G  et  conservant  le  cercle 

(')  Œuvres  de  H.  Poincaié,  1.  2.  p.  325  el  337. 


o 


SLR    t'N    THÉORÈME    UE    M.    Ft'CHS.  19 

fondamental  formenl  un  groupe  G'.  Ce  groupe  G'  contient  évidemment  le 
groupe  G;  eu  d'autres  ternies  G  est  un  sous-groupe  de  G',  et  l'on  voit  aisément 
qu'à  toute  substitution  de  G',  n'appartenant  pas  à  G,  correspomlra  une  trans- 
formation birationnelle  de  la  surface  S  en  elle-même. 

Remarquons  de  plus  que,  d'après  la  définition  même  de  G',  G  est  un  sous- 
gniupe  "  distingué  »  [ou  invariant]  de  G'. 

Mais  il  y  a  deux  espèce.-,  de  sous-groupes  :  les  sous-groupes  A' indice  Jim 
(qui  sont  tels  qu'on  obtient  toutes  les  substitutions  du  groupe  principal,  en 
prenant  la  résultante  des  diverses  substitutions  du  sous-groupe  et  d'un  nombre 
fini  d'autres  substitutions)  et  les  sous-groupes  A' indice  infini. 

Je  me  propose  de  démontrer  que  G  est  un  sous-groupe  d'indice  fini,  et  par 
conséquent  que  la  surface;  S  n'admet  qu'un  nombre  fini  de  lransform;itions 
birationuelles  on  ello-méme. 

J'établirai  d'abord  que  G'  est  un  groupe  fuchsien,  c'est-à-dire  un  groupe 
propremunl  discontinu.  En  effet,  s'il  ne  l'était  pas,  il  serait  ou  bien  continu 
(c'est-à-dire  qu'il  conlicndiait  des  substitutions  infinitésimales),  ou  bien 
improprement  discontinu  [cf.  Théorie  des  groupes  kleinèens  {Acla  rnat/ie- 
nialica,  t.  'A,  p.  07)  (')]• 

i"  îl  ne  peut  être  continu,  car  s'il  contenait  une  substitution  infinitésimale  a, 
cette  substitution  serait  pernuilable,  non  seulement  au  groupe  G,  mais  à  toutes 
les  siibslitutions  de  ce  groupe. 

Soient  en  effet 

"i'     "^ '-'-p 

les  substitutions  fondamentales  de  G.  D'après  les  liypothéses  faites,  les  substi- 
tutions 

fffront  également  partie  du  groupe  G.  Mais  ces  sul)stitiitinns  dilTérent  infiniment 
peu  de 

puisque  a  est  inlinitésimale.  Mais  le  groupe  G  étant  discontinu  ne  devra  con- 
tenir aucune  substitution  infinitésimale,  il  ne  pourra  donc  contenir  deux  subs- 
titutions distinctes,  mais  différant  infiniment  peu  l'une  de  l'autre.  Donc  on  a 

-:,■=  0— 'T/T         (i  =  \,  i.  .  .  .,  ip). 
{')  Œuvres  de  H.  Poincaié.  t.  2,  p.  366. 


•lO  Mil    UN    TIIRORKME   DK    M.    KUI'.MS. 

Donc  (7  est  pei'imilable  aux  siibslluilious  rondaineiitules  de  d;  elle  est  donc  per- 
mutable à  toutes  les  substilulions  de  ce  groupe,  qui  n'en  sont  que  des  combi- 
naisons. 

Mais  je  dis  qu'on  ne  saurait  trouver  de  substitution  linéaire  permutable  à 
toutes  les  substitutions  de  G.  En  effet  pour  que  deux  substitutions  linéaires  i 
et  1'  soient  permutables,  il  faut  et  il  suffit,  ou  bien  qu'elles  aient  mêmes  points 
doubles  (les  deux  points  doubles  pouvant  dans  ceilains  cas  se  confondre  en  un 
seul),  ou  bieri  qu'elles  aient  toutes  deux  pour  multiplicateur  —  i  et  que  les 
quatre  points  doubles  soient  conjugués  harmoniques. 

Nous  n'avons  pas  besoin  de  nous  inquiéter  de  ce  second  cas  de  permulabilité. 
En  effet  une  substitution  infinitésimale  ne  peut  avoir  pour  multiplicateur  —  i . 
Si  donc  le  groupe  G'  contenait  une  substitution  iufinitésimale  a,  toutes  les  subs- 
titutions de  G  devraient  avoir  mêmes  points  doubles  que  cr;  elles  seraient  donc 
toutes  permutables  entre  elles,  ce  (jul  n'a  pas  lieu. 

Donc  (i'  ne  peut  être  continu. 

2"  (i'  ne  peut  pas  non  plus  être  improprement  discontinu,  .l'ai  démontré  en 
effet  {Groupes  hleinèens,  p.  58)  (')  que  tout  groupe  formé  de  substitutions 
linéaires  conservant  le  cercle  fondamental,  et  ne  contenant  pas  de  substitution 
infinitésimale,  est  proprement  discontinu  à  l'intérieur  du  cercle  fondamental. 

Donc  G'  est  un  groupe  fuchsien. 

11  aura  donc  un  polygone  générateur  R^j,  ut  1  indice  de  G  considéré  comme 
sous-groupe  de  G'  sera  égal  à  la  S  de  Rq  (polygone  générateur  de  G)  divisée 
par  la  S  de  R„  |  cf.  Mémoire  sur  les  groupes  des  équations  linéaires  {.Icta 
nial/ienidlica,  t.  4,  p.  285)  (-),)•  Or  la  .S  de  R,,  est  finie,  donc  G  est  nu  sons- 
groupe  d'indice  fini.  •  c.   q.    f.   d. 

En  général,  le  groupe  (/  ne  diffère  pas  du  groupe  G,  de  sorte  que  la  sur- 
face S  n'admet  aucune  transformation  birationnelle  en  elle-même.  Elle  ne  peut 
en  avoir  que  dans  des  cas  exceptionnels  qui  correspondent  évidemment  aux 
différents  cas  de  symétrie  que  peut  présenter  le  polygone  Rq. 

Soient  maintenant  deux  surfaces  de  Riemann  So  et  S|  é(piivalentes,  et  de 
genre  p. 

Si  l'on  peut  passer  de  l'une  à  l'autre  par  deux  transformations  birationnpUesT 
et  U,  la  transformation  TU~'  changera  en  elle-même  la  surface  S». 

(■)  Œuvrer  de  II.  Poimaié,  l.  2,  p.  265. 
(-)  Œinre.s  de  H.  Poiiicari-,  l.  ■;!,  p.  378. 


SLR    IN    TIIKOUK.ME    DE    M.    IICIIS.  V.  I 

D'où  les  conclusions  suivantes  : 

1°  Si  /)  =:  G,  'ni  peut  passer  de  So  à  S,  pai-  une  triple  infinité  de  transforma- 
tions birationnelles. 

i"  Si/j  =  I,  ou  peut  passer  de  S„  à  S,  par-  une  simple  infinité  de  transforma- 
tions birationnelles. 

3"  Si  /)  >  I,  il  n'y  a  en  général  qu'une  seule  transformation  biralionnelle  qui 
permette  de  passer  de  So  à  S,,  et  il  n'y  en  a  jamais  ([u'un  nombre  fini. 

Grâce  à  ces  propositions,  il  est  aisé  de  retrouver  les  résultats  que  nous  avons 
démontré  plus  haut  pour  les  cas  de  ^  =  o  et  de  p  =  i,  et  de  traiter  complète- 
ment le  cas  de  /?  ^  I . 

I.  Reprenons  en  eflTet  l'équation 

(A-)  F(^,  y\  3)  =  o 

et  soit  d'abord  ^  =  o.  On  pourra  poser 

tp  et  i|i  étant  des  fonctions  rationnelles  de  t  dont  les  coefficients  dépendent  de  ;. 
Soient  )-o=:  ffl(/o))  J'u  = '7'('û)  les  valeurs  initiales  d'une  certaine  intégrale  et 
(le  sa  dérivée  pour  ;  =  ;„.  et 

les  valeurs  de  cette  même  intégrale  et  de  sa  dérivée  [)our  z  ^^  z■^.  On  a  vu  rpie  )i 
et  )■',  doivent  être  fonctions  rationnelles  de  )-„  et  y\^  et  réciproquement.  On 
aura  donc 

",''o-t-  " 

Les  coefficients  de  cette  substitution  linéaire  a,  p,  y,  $  dépendent  évidemment 
de  ^0  et  de  z,.  Nous  regarderons  ;»  comme  une  constante,  et  Zt  sera  la  variable 
indépendante;  nous  supprimerons  donc  l'indice  i  de  /,,  c,,  Vi.  )',  et  nous 
aurons 

(6'»  t^"^^^, 

où  tu  sera  la  constante  d'intégration  et  où  x,  (3,  y,  o  seront  des  fonctions  de  r. 
Si  se',  fj',  ■/,  ô'  sont  les  dérivées  de  ces  fonctions;  il  viendra 

,     ,  A    ^  (a7o-)-i3')(Y/o-i-S)  — I  Y7o-4-o')(.a<o-t-;î) 


2'.  SI  n    IN    THKOHEMI-     l>K    M.    FICUS. 

En  éliniiiiant  /„  entre  (6  )  et  [j)  on  retomberait  sur  réquatiou  Je  Riccali,  ce  qui 
confirme  le  résultat  obtenu  plus  haut. 

Si  l'on  remplace  /  par  sa  valeur  (6")  dans  l'expression 

>■  =  ={'), 

on  trouve  pour  l'intégrale  générale  de  l'équation  (A) 

R  étant  une  fonction  rationnelle  de  la  constante  d'intégration  ?„  et  dont  les 
coefficients  dépendent  de  ;. 

Réciproquement  si  l'on  a  une  fonction  i'  de  <„  et  de  z,  rationnelle  par  rap- 
port à  /„.  et  que  l'on  forme  la  dérivée   )'=  -^  >  on  obtiendra  par  réliminalion 

de  /(,  une  équation  difTérenlielle  de  la  forme  (A)  entre  )',  )'  et  ;. 

Si  en  particulier  l'équation  (A)  est  algébrique,  non  seulement  par  rapport 
à  )■  et  à  i',  mais  encore  par  rapport  à  z,  l'équation  de  Riccati  à  laquelle  on  sera 
conduit  aura  ses  coefficients  algébriques  en  ,-,  et  par  conséquent  l'intégration 
de  l'équation  (A)  sera  ramenée  à  celle  des  équations  linéaires  du  second  ordre 
à  coefficients  algébri(|ues. 

Il     Supposons  maintenant  ^  =  1 .  Nous  pourrons  poser 

j-  =  ç{t),        r'=  'lit). 

<p  et  '^  étant  des  fonctions  doublement  périoditpies  de  /  dont  les  coeliicienl» 
dépendent  de  ;.  Conseivons  aux  notations 

^o-      :■!■         .)o—  rCu'-         .>i)  =-  'H'o '•         .»i=r*'i»-         .'■'i  =  '^i'i) 

le  même  sens  que  plus  haut.  On  sait  que.)-|  et  )•',  doivent  être  des  fonctions 
rationnelles  de  Vu  et  y'„  et  réciproquement.  Donc  d'après  ce  qu'on  a  vu  plus 
haut  sur  les  transformations  des  surface>  de  genre  i  en  elles-mêmes,  on  devra 

avoir 

/,  =  xl^^  3, 

a  étant  égal  à  l'une  des  ipuintités 

2  <-;  r.  -1  m  r. 

I ,     —  I ,     e    ■'    ,     —  e    •'    ,      ±:  i. 

Comme  a  et  |3  doivent  être  des  fonctions  continues  de  ;,  et  que  t,  iloit  se 
réduire  à  t^  pour  Cg  ^=  :,,  on  aura 

3C  =  I.  /, 


SUR    VK    THKOBEMIÎ    riK    M.    FUCHS.  Xi 

Considérons  ;o  comme  constant,   ;,  comme  variable  el  supprimons    l'inilici'  i 
de  s,,  <,,  Y>,  r'r 

fî  sera  une  fonction  de  ;  et  l'intégrale  générale  de  réqunlion  (A)  sera 

^K  =  9'  'o-   '})• 

o  étant  une  fonction  doublement  périodi(jne  dont  les  coefficienis  dépendront 
df  z,  (3  une  fonction  de  z,  et  /„  la  constante  d'intégration. 

Si  l'équation  (A)  est  algébrique  en  cr,  les  coeflicients  de  la  fonction  double- 
ment périodique  cp(<)  dépendent  algébiiqufinent  de  ;:  et  la  fonction  S  de  r 
s'obtient  par  une  simple  quadrature,  f^osons 

■«  =  sn(/), 

Y  sera  une  fonction  algébri(|ue  de  u  et  de  ;,  si  l'équation  (A)  est  algébriijue 
en  ;.  Si  l'équation  (A)  n'est  pas  algébrique  en  z  et  si  elle  s'écrit 

où  les  coefficients  A,,,/,  sont  des  fonctions  non  algébriques  de  ;,  r  sera  une 
fonction  algébrique  de  u  et  des  coefficienis  A,„p.  J)ans  tous  les  cas  on  aura 

;/  =  sn(  /,|-^  p), 
t^  étant  la  constante  d'intégration.  On  reconnaît  là  le  ri'sultat  obtenu  plus  haut. 

\\\.  Arrivons  enfin  au  cas  de  p  ^  \ .  Faisons  d'abord  z  ^^  z^  dans  ré<pia- 
lion  (A);  cette  équation  re[)résentera  une  certaine  surface  de  Riemann  Sq.  Si 
l'on  y  fait  j -^  ;,,  on  aura  uul;  surface  équivalente  S,.  Cette  seconde  surface 
dérive  de  la  première  par  une  seule  transformation  birationnelie  on  par  un 
nombre  fini  de  pareilles  transformations. 

Soient 

t.  Ao.i  Koi,j\,,7o)  =  o, 

(A,)  ■  F,(.n,r',)  =  o 

le»  équation»  de  ces  deux  surfaces  de  Riemann.  On  passera  de  l'une  à  l'autre  eu 
posant 

(8)  j,  =  R  (.)•„.  ,i-;,ï.     y,  =  M,  i.r„. .)-;,'). 

R  et  R|  représentant  des  fonctions  rationnelles.  Ces  fonctions  rationnelles  R 
et  R|  sont  telles  que  l'élimination  de  )„,  )•„  entre  l'équntion  (A,,)  et  les  équa- 
tions (8)  conduit  à  l'équation  (A,).  D'après  ce  que  nous  venons  de  voir,  il  n'y  a 
qu'un  nombre  fini  de  fonctions  rationnelles  (pii  jouissent  de  l;i  mènie  pr(q)riété. 


2i  si:b   in  théorèmk  de  m.   FLICHS. 

Donc  quand  on  connaîtra  les  équations  (Ao)  et  (A,)  on  pourra  trouver  les 
deux  fondions  rationnelles  R  et  R,  par  des  procèdes  purement  algébriques. 

Comme  les  coefficients  de  (A„)  et  (A,)  dépendent  de  ;„  et  de  s,,  il  en  sera 
de  même  des  coefficients  de  R.  et  R,.  Si  nous  regardons  r„  comme  une  cons- 
tante, z-x  comme  la  variable  indépendante,  puisque  nous  supprimions  l'indice  i 
dans  j|,  /, ,  )-| .  )'| ,  il  viendra,  pour  l'intégrale  générale  de  (A), 

R  étant  une  fonction  rationnelle  des  deux  constantes  d'intégration  Vo  et  j'',,, 
fonction  rationnelle  dont  les  coefficients  dépendent  de  ;.  Les  deux  constantes 
d'intégration  )■„  et  )|,  ne  sont  d'ailleurs  pas  indépendantes,  car  elles  sont  liées 
entre  elles  par  l'équation  (Aq). 

Si  en  particulier  l'équation  (A)  est  algébri(|ue  en  z,  les  coefficients  de  R 
dépendront  algébriquement  de  :;,  et  l'intégrale  générale  de  l'équation  (A)  sera 
algébrique. 

Si  au  contraire  l'équation  (A)  s'écrit 

les  coefficients  A,„^  étant  des  fonctions  non  algébriques  en  :;,  l'intégrale  géné- 
rale 

>-  =  R 

sera  une  fonction  algébrique  non  seulement  de  io>  niais  des  coefficients  Amp. 

Dans  tous  les  cas,  récpiation  (A)  sintégre  par  des  procédés  purement  algé- 
briques. 

On  arrive  d'ailleurs  au  même  résultat  par  l'emploi  des  fonctions  fiichsiennes. 
Écrivons  encore  l'équation  (A)  sous  la  forme 

V    \  ^'fït  \/p  —    Il 

-*  -^rnpj      J   ^  —  "• 

Nous  pourrons  poser 

o  et  ■]>  étant  deux  fonctions  fuchsiennes  dont  les  coefficients  dépendent  de  ;. 
Soient  l  et  r;  deux  fonctions  fuchsiennes,  indépendantes  de  ;  et  à  l'aide  des- 
quelles toutes  les  autres  s'expriment  rationnellement.  On  aura 

R  et  R,  étant  des  fonctions  rationnelles  de  ?  et  de  r,.  Les  coefficients  de  ces 
fonctions  rationnelles  dépendent  de  c,  et  il  est  aisi-  de  voir  de  quelle  manière  : 
ce  sont  des  fonctions  algébriques  des  coefficients  A,„^. 


SUR  UN  THÉOBKME  DR  M.  FUCHS.  25 

Conservons  aui  notations 

le  même  sens  que  plus   haut.  Le  point  analytique  (y,,   r\)  devra  être  lié  au 
point  analytique  (vo,  )''.,)  par  une  transformation  hirationnelle.  On  aura  donc 

la  substitution 


appartenant  au  groupe  appelé  plus  haut  (V. 

Les  coefficients  «,  |3,  y,  ô  dépendent  de  :■„  et  de  ^^i ,  mais  ne  peuvent  être  que 
des  fonctions  continues  de  ^i  ;  de  plus  pour  z,  =  Zo  on  a  ti=^  tg.  Mais  le 
groupe  G'  est  disconliiui.  Donc  on  a  ijuels  que  soient  ;,  et  ;;o 

Ainsi  l  est  une  constante  et  il  eu  est  par  conséquent  de  même  de  Ç  et  de  ■<]  (|ui 
ne  dépendent  que  de  t.  L'intégrale  générale  de  l'équation  (A)  est  donc 

y  =  R(ç-  Ti;, 

où  l'on  doit  regarder  Ç  et  yj  comme  deux  constantes  d'intégration  liées  entre 
elles  par  une  relation  algébrique. 

C'est  le  même  résultat  que  plus  haut. 


Il  reste  deux  questions  à  résoudre. 

On  peut  se  demander  en  premier  lieu  s  il  existe  effectivement  des  équations 
intégrables  algébriquement  par  le  procédé  que  nous  venons  d'indiquer, 
c'est-à-dire  des  équations  algébriques  de  la  forme  (A),  de  genre  /'  >  i  et  satis- 
faisant aux  conditions  de  M.  Fuchs. 

La  réponse  à  cette  première  question  doit  être  affirmative. 

Soit  en  effet 

<{>)  K(C.  T,)  =  o 

une  relation  algébrique  quelconque  de  genre  />  >  '   dont  les  coefficients  sont 
constants.  Soient 

H.  P.  —  III.  i 


'6  SIR    IN    TIIÉORÉMK    DE    M      I  ICUS. 

OÙ  o  et  'Il  sont  de-,  fondions  rationnelles  de  l  et  de  o  dont  les  coofticients 
dépendent  de  z.  Nous  supposerons,  pour  fixer  les  idées,  qu'ils  en  dépendent 
algébriquement.  L'élimination  de  l  et  de  r,  entre  les  équalions  (9)  et  (10)  don- 
nera une  relation 

où  <I>  est  un  polynôme  entier  en  x  et  j-  dont  les  coefficients  dépendent  de  r. 
Considérée  comme  une  relation  entre  .r  et  )'  seulement,  la  relation  (1  1)  définit 
une  surface  de  Rlemann  de  génie  p,  qui  reste  é([uivalente  à  elle-même  i|uand 
on  fait  varier  ;. 

DifTérentions  les  relations  (10)  par  rapport  à  z  (c'est-à-dire  en  y  regardant  J 
et  •/)  comme  des  constantes),  il  viendra 

iLv        r/tf  c/y        t/'\i 

-j'-  est  une  fonction  rationnelle  de  ;  et  de  r,.  Maintenant,  des  récitions  (g)  el  (  1  o) 
on  peut  déduire  les  suivanto 

tS|  et  '^1  étant  des  fonctions  rationnelles  de  .r  et  de  r  dont  les  coefficients 
dépendent  <ie  ::.  11  \iendra  donc 

(i3)  '^  =  H(.r.  j;, 

l'i  étant  une  fonction  rationnelle  de  j;  et  de  )•  dont  les  coefficients  dépendent 
de  s.  En  éliminant  r  entre  les  équations  (i  1)  et  (1  3)  on  arrivera  à  une  équation 
de  la  forme  (A),  satisfaisant  aux  conditions  de  M.  Fuclis. 

On  arriverait  au  même  résultat  en  éliminant  l  el  rj  entre  les  trois  relations 

Soit  par  exemple 

(l4)  Fi  '/.  1',  u'  I  =  o 

une  équation  dont  le  premier  menilire  est    un   polynôme  entier  homogène   <lu 
(|uatriéme  degré  en  u,  e,  w. 
Faisons-y 

I     II  =  a   .!•  -t-  h    r  -^  c. 
I     "1  )  '     e  =  «I  .r  -f-  (),)■  -I-  r,, 

f  II'  =  cu.i-   :-  /j^y  ■+-  G». 


Slll    IN    THEOREMK    DE    M.     KIT.HS. 


OÙ  les  rt,   les   b  et  les  c  sont   des  fonctions   algébriques  de   z.    Nous  écrirons 

l'équation 

¥{ax  -^  b  y  -1-  (-,  «1  .>•  H-  A,  )•  -H  c,,  ««.r  -h  A,)'  -i-  c,)  =  o. 

Nous  appellerons  A.  A,.  Aj,  B,  .  .  .  les  niinems  du  délerininant 

,/        /-       r\ 
"i      /'i      ''i    l- 
"î      '■"?      ''î    I 

Il  \iendr,i 


V  = 


Ch  ^  Cl  t'  -+-  C;<V 


OU  en  dilTérenlianl  par  rapport  à  ;  et  appelant  B',  B,.  ...  les  dérivées  de  B, 
B|.  ...  par  rapport  à  z 

dy_  (B'«H-B',r-hB:_.iv)(GM-hC,c+C,iv)— (C't<-HC'|i-f-C'.iv)(Bw-t-Bi<'-t-B.») 

'      '    dz~  '  (C« -i- Cl  p-t- 0,11,1= 

L'élimination  de  u,  c,  iv  et  a:  entre  les  équations  (i/j))  ('s)  et  (i6)  donnera 
une  équation  différentielle  de  la  forme  (A)  satisfaisant  aux  condilions  de 
M.   Fuchs. 

Passons  à  la  seconde  question  qu'il  nous  restait  à  résoudre  : 

Etant  donnée  une  équation  flifférentielle  ali,'ébriijue  (A),  de  i^cnre  p  >-  i, 
satisfaisant  aux  conditions  de  M .  Fuchs  et  i/ue  Von  sait  par  conséquent 
intègrable  algébriquenienl^  comment  effectuer  réellement  celte  inté- 
gration . 

On  a  vu  d'après  ci'  ([ui  précède  que  cetie  cjneslion  se  ramène  à  la  suivante  : 

Etant  données  deux  surfaces  de  Riemann  équivalentes,  trouver  la  transforma- 
tion birationnelle  qui  permet  de  passer  de  l'une  à  l'autre. 

Le  problème  ainsi  posé  présente  la  plus  grandi'  analogie  avec  le  problème  de 
la  réduction  des  formes  arithmétiques.  On  conviendra  de  dire  qu'une  équation 
algébrique 

est  réduite  lorsqu'on  l'aura  ramenée  par  une  transformation  birationnelle  à  une 
forme  que  l'on  regardera  comme  plus  simple  que  toutes  les  autres.  Il  faudrait 
choisir  les  conditions  de  réduction  de  façon  : 

1°  Que  Ton  puisse  toujours  trouver  la  transformation  birationnelle  qui 
réduit  une  surface  de  Riemann  donnée; 


28  SUR  UN  THÉORÈME  DE  M.  FUCHS. 

2°  Qu'il  n'y  ait  en  général  qu'une  seule  surface  réduite  équivalente  à  une 
surface  de  Riemann  donnée  et  qu'il  n'v  en  ait  jamais  qu'un  nombre  fini. 

Alors  on  réduira  les  deux  surfaces  S„  et  S,  ([ue  l'on  veut  transformer  l'une 
dans  l'antre;  si  les  deux  surfaces  sont  équivalentes,  on  devra  parvenir  à  l;i 
même  réduite  et,  comme  on  connaîtra  la  façon  de  transformer  S„  en  la  réduite 
et  la  réduite  en  S,,  on  connaîtra  aussi  la  transformation  qui  change  S„  en  S,. 

Il  est  évidemment  possible  de  trouver  de  pareilles  conditions  de  réduction,  ce 
qui  rendrait  complète  l'analogie  avec  la  théorie  des  formes  arithmétiques.  Mais 
cela  n'est  pas  nécessaire;  on  peut  se  contenter  de  conditions  de  réduction  telles 
que  la  surface  réduite  ne  dépende  plus  que  d'un  nombre  fini  de  paramètres. 

Par  exf^mple,  Clebscii  démontre  qu'une  courbe  de  genre  p 

peut  toujours  être  ramenée  au  degré  />  +  •  {AbeVsche  Fiinclionen,  p.  ùh). 
Après  cette  réduction,  elle  dépend  encore  àe  p  —  i  paramètres. 

Soient  donc 

F (■*",>')  =  <',         F'(./-'.  j')  =  o 

deux  courbes  de  genre  p  cju'il  s'agit  de  ramener  l'une  à  l'autre  par  une  transfor- 
mation birationnelle.  Je  ramènerai  la  première  au  degré  p  +  i  par  une  trans- 
formation convenablement  choisie;  elle  deviendra 

(17)  l^(-'^i,.>-i')  =  "■ 

Je  pourrai  trouver  ensuite,  par  la  mélliode  de  Glebsch,  une  infinité  de  transfor- 
mations birationnelJes  dé[)endant  de  p  —  i  paramètres  arbitraires  a,,  «o,  .  .  ., 
c.p-i,  qui  ramèneront  la  seconde  courbe  au  degré  p-\-\.  Après  l'application 
d'une  de  ces  transformations,  l'équaiion  de  cette  courbe  deviendra 


(18)  F,(./-,.  j-,.  X|,  z. 


^i>—\ 


où  j'ai  mis  en  évidence  les  paramétres  y..  Si  les  deux  surfaces  de  Riemann  sont 
équivalentes,  on  pourra  disposer  des  a  de  façon  à  identifier  les  équations  (17) 
et  (18)  et  l'on  connaîtra  du  même  coup  la  transformation  qui  fait  passer  d'une 
surface  à  l'autre. 

On  peut  ainsi  ramener  la  recherche  des  transformations  biralionnelles  qui 
changent  Sa  en  S,  à  l'étude  de  l'équivalence  des  formes  algébriques,  c'est-à- 
dire  de  la  liansformation  d'une  telle  foi'me  en  une  autre  par  une  substitution 
linéaire. 


SCR    UN    THEOREME    DE    M.    FUCHS.  I9 

Soient 

'•'(•'%  J)  =  ">        l'"i(-''i,  ri)  =  o 

deux  équations  qui  représenteront  deux  surfaces  de  Riemann  S„  et  S,  et  on 
même  temps  deux  courbes  algébriques  C„  et  C|.  Soient  m„  ot  /?; ,  les  degrés  de 
ces  deux  courbes  qui  auront  le  même  genre  p.  Soit 

(19)  A,  9,(.r.  jk)-I-A,  0;(x,  j')+.  .  .+  A/,  =;,(.r,  y)  =  o 

l'équation  générale  des  courbes  d'ordre  /»„ — 3  qui  passent  par  tous  les  points 
doubles  de  Co-  Soit  de  même 

(20)  B,  ■lyi.i-i,  yi)~-  )i,'h,{^^,  yi)  ^ .  .  .-^  Bp6^(.f,,  71)  =  o 

l'équation  générale  des  courbes  d'ordre  //i,  —  3  qui  passent  par  tous  les  points 

doubles  de  C| .  Soient 

H  (,A„  A..  ....  Ap)  =  o, 

e,(B,,  B.„  ...,  B^)  =  o 

les  deux  relations  ali;ébriques  et  homogènes  par  rapport  aux  A  et  aux  B  qui 
expriment,  la  première  que  la  courbe  (19)  est  tangente  à  Co,  la  seconde  que  la 
courbe  (20)  est  tangente  à  C(.  Si,  d'autre  part,  x  et  j' sont  les  coordonnées  du 
point  de  contact  des  deux  courbes  (19),  et  Co,  si  .r,  et  Ki  sont  les  coordonnées 
du  point  de  contact  de  (20)  et  de  C, .  on  aura 

..;  =H  (A,,  A=.  ...,  A/,),         j^  =R'(A,,  A,,....  A^), 
.r,=  R,(B,.  B, B^).         j-,=  R',(B,,  B, B„), 

les  fonctions  R,  R',  R,,  R',  étant  rationnelles. 

Si  les  deux  surfaces  de  Riemann  S,,  et  S|  ont  mêmes  modules,  les  deux 
formes  algébriques  0  et  0,  seront  algébriquement  équivalentes,  c'est-à-dire 
qu'on  pourra  passer   de  l'une  à  l'autre  par  une  substitution  linéaire,  ou   en 

posant 

A,=  Si.au-B/,. 

les  y.ik  étant  des  coefficients  constants. 

La  transformation  birationnelle  C|ui  change  S„  en  S,  sera  alors  facile  à 
trouver.  On  aura  en  effet 

avec  les  conditions 

(22)  F,(x,,  j-,)  =  o,  SBi^K-'-i,  J'))  =  o,  ^\ii^i{x-i,y,)  =  o, 


3o  SUR  UN  THÉORÈME  UE  M.  FUCHS. 

OÙ  l'on  a  posé 

(i;-  '!ïi  l^li'  -''ii  'Z!li. 

On  pourra  toujours  trouver/?  fonr.lions  rationnelles  de  X|  et  de  )-, 

?l(,''l-  .Kl   •.        Pît,-''!:  7l   ).         P/'t,.''!-  .Il  )> 

qui,  substituées  à  la  place  de  B|,  B:,,  .  .  .,  B^,,  satisfont 'aux  relations  (22).  On 
remplacera  alors  B,  par  Pi(ari,  )|)  dans  les  équations  (21)  et  l'on  ohlirndra 
ainsi  la  Iranst'ormalion  hirationnelle  qui  cliango  Sq  en  S|. 

Les  Invariants  qui  restent  arbitraires  dans  la  forme  algébrique  0  sont  nu 
nomljre  de  ci p  —  3  cl  ils  doivent  être  regardés  comme  les  modules  de  la  surface 
de  Riemaun  Sq. 

Il  est  une  circonstance  sur  laquelle  je  désirerais  maintenant  attirer  Fattanlion 
et  qui  facilite  singulièrement  la  recherche  des  conditions  d'équivalence  des  deux 
formes  0  et  0|  et  de  la  substitution  linéaii'e  ([ui  les  transforme  1  une  dans  l'autre. 

Parmi  les  courbes  (19),  il  j  en  a  2/'"'  (2/' —  1  )  ==:  P  qui  sont  /;  —  1  fois  tan- 
gentes à  Cq  ;  nous  les  appellerons  les  courltes  k^]  de  niême  il  y  aura,  jinriiii  les 
courbes  (20),  I'  courbes  /i  1  qui  seront /; —  1  fois  langentes  à  C|.  I^a  substitution 

linéaire 

A, ■  =>:=<,■  ;- 15/,- 

qui  change  0  en  0,  devra  transformer  les  P  courbes  />„  dans  les  P  courbes  A',. 
Il  pourrait  y  avoir,  dans  le  problème  général,  une  assez  grande  indétermination; 
car  on  jtoiirrait  se  demander  quelle  est  celle  des  P  courbes  /„  (pii  se  transfor- 
mera dans  une  courbe  />",  donnée.  Il  j  aurait  |  P  combinaisons  logiquement  pos- 
sibles, ce  (pii  obligerait  à  faire  un  nomljre  très  considérable  d'essais  iuuliles. 

D'autres  consi(|érations  viendraient,  il  est  vrai,  réduire  le  noniln'e  des  coni- 
l)inaisons  logiquement  possibles;  telle  serait  par  exemple,  pour  p  =^  3,  la  dis- 
liibuliou  des  28  tangentes  doubles  en  64  systèmes  de  \.  Mais  ce  nombre  n'en 
resterait  pas  moins  très  grand. 

Fort  heureusement,  dans  le  prohlème  particulier  qui  nous  occupe,  cette 
indétermination  n'exisli;  |)as.  Quelle  est  celle  des  courbes  k„  qui  se  transforme 
dans  une  courbe  donnée  /  ,  ?  La  réponse  est  simple  :  c'est  lacouil»^  /•  „  à  laquelle 
se  l'éduit  la  courhe  donnée  /.  1  quand  z^  se  réduit  à  c,,. 

On  arrive  même  ainsi,  presque  immédiatement,  à  délerminer  un  grand 
nombre  d'intégrales  particulières  de  l'équation  (A). 

En  effet,  soit  l'équation 


SUR  UN  THÉORÈME  DE  M.  FUCHS.  3l 

pour  ;  =  ;,,  elle  représente  une  courbe  C,,  qui  est  tangente  enP(/j  —  i)  points 
aux  courbes  A-,.  Considérons  y,  y'  et  r,  comme  les  coordonnées  d'un  point 
dans  l'espace;  lorsqu'on  fera  varier  ;,,  les  P( p  —  i)  points  de  contact  (  r,  y') 
de  Cl  avec  les  P  courbes  A,  décriront  dans  l'espace  P(;j  — i)  courbes  qui 
seront  des  intégrales  particulières  de  l'équation  (A). 

Il  n'y  a  donc  aucune  difficulté  à  craindre  dans  les  calculs  algébri(|ues  qui 
conduisent  à  l'intégration  da  l'équation  (AV. 

Remarquons  en  passant  que  la  considération  des  P  courbes  /,„  nous  conduit 
à  une  seconde  démonstration  de  ce  théorème,  qu'une  surface  do  Riemann  ne 
peut  jamais  être  transformée  en  elle-même  par  une  infinité  de  transformations 
birationnelles. 

J'arrive  à  la  conclusion  définitive  de  ce  travail.  Les  équations  du  premier 
ordre  '/ui  salis/ont  aux  conditions  de  M.  Fuchs  ne  constituent  pas  des 
classes  réellement  nouvelles  d'équations  di ffirenliçllcs. 

Dans  le  cas  de  p  ^  o,  elles  se  ramènent  aux  équations  Itnéaires  ; 
Dans  le  cas  de  p  t^  i,  elles  s'intègrent  par  une  simple  quadrature  ; 
Enfin  dans  le  cas  de  p  y>  i ,  elles  s'intègrent  par  des  procédés  purement 
algébriques. 

Nous  devons  donc  renoncer  à  l'espoir  de  rencontrer  parmi  elles  des  classes 
essentiellement  nouvelles  d'équations  intégrables  par  les  transcendantes  fucii- 
siennes.  Tout  au  plus  [>ourrlons-nous  supposer  qu'il  en  existe  de  pareilles, 
parmi  les  équations  d'ordre  supérieur;  mais  on  ne  pourra  sen  assurer  que  par 
une  discussion  spéciale,  analogue  à  celle  qui  précède. 

Le  beau  résultat  de  M.  Fuchs  en  perd-il  pour  cela  son  intérêt?  Je  ne  le  crois 
[)as.  11  nous  fournil  en  effet  une  classe  très  nombreuse  déquations  différen- 
tielles intégrables  algébriquement.  Les  conditions  de  M.  Fuchs  sont  très 
simples  et  il  suffit  d'un  examen  assez  rapide  pour  reconnaître  si  elles  sont  rem- 
plies. On  reconnaît  du  même  coup  l'intégrabilité  algébrique,  qui  sans  cette  cir- 
constance aurait  pu  passer  inaperçue. 

De  plus,  on  peut  fonder  sur  ce  théorème  une  méthode  pour  trouver  les 
modules  d'une  surface  de  Riemann;  mais  c'est  là  un  point  que  je  ne  puis  déve- 
lopper eu  ce  moment. 

Paris,  j5  novembre  1S84. 


SUR  L'INTÉGRATION  ALGÉBRIQUE 


ÉQUATIONS  DIFFÉRENTIELLES 


Comptes  rendus  de  l'Académie  des  Sciences,  t.  112.  p.  ~^^'-~fi'{  (i3  avril  iSçji). 


La  question  de  l'intégration  algélirique  des  équallons  différentielles  du  pre- 
mier ordre  et  du  jiremier  degré  n'a  |ias  attiré  l'attention  des  géomètres  autant 
qu'elle  le  méritait.  La  voie  a  été  ouverte,  il  v  a  vingt  ans,  par  un  admirable  tra- 
vail de  M.  Darboux;  mais  les  analystes  ont  été  fort  longtemps  sans  s'y  engager, 
et  ce  n'est  que  tout  récemment  que  le  problème  a  été  repris  par  MM.  Painlevé 
et  Autonne,  dans  deux  Mémoires  que  l'Académie  vient  de  récompenser. 
L'importance  du  sujet  me  décide  à  publier  quelques  résultats  qui  s'y  rap- 
portent, bien  qu'ils  soient  fort  incomplets. 

J'écrirai  l'équation  différentielle  sous  la  l'orme  suivante 


dx 

r/K 

(h 

,/• 

y 

z 

1. 

M 

y 

L,  M,  N  étant  trois  polynômes  entiers,  homogènes  et  de  degré  m  en  .r,  j-  et  ;. 
Le  nombre  m  s'appellera  la  dimension  de  l'équation. 
Si  l'intégrale  générale  est  algébrique,  elle  s'écrira 

/  -I-  C  0  =  o. 

G  étant  une  constante  arbitraire,  et  y' et  o  étant  deux  poh  nomes  homogènes 
d'oi-dre  p  en  x,  r  et  ;.  J'appellerai  rentarc/uaOles  les  valeurs  de  C  pour  les- 
quelles le  polynôme  /  +  Gcp  n'est  pas  irréductible.  Si  l'intégrale  générale  algé- 
brique a  été  mise  sous  sa  forme  la  plus  simple,  ce  que  nous  supposerons,  le 
nombre  des  valeurs  remarquables  est  fini. 


SUR    l'iNTKGRATION    ALCKBRIQUE    des    ÉOI'ATIONS    DIFFÉRENTIELLES.  13 

Le  problème  dr  l'inlégration  algébrique  des  équalions  difTérentielles  serait 
résolu  si  l'on  avall,  dans  tous  les  cas,  une  limite  supérieure  du  nombre  p. 

Les  points  singuliers  de  léquation  différentielle  sont  donnés  par  les  équations 

L       M        N 

Ils  sont  au  nombre  de  m'-]- m  -f-  i  ;  nous  les  su/iposerotis  tous  distincts. 

Soit  alors  Xo,  Yc,  z-a  un  de  ces  points  singuliers;  dans  le  voisinage  de  ce 
point,  l'intégrale  générale  peut  se  mettre  sous  la  toime 

Xyi  \^  =  i-oiiM., 

S  étant  une  constante,    i'X  X,,  X^    étant  deux   séries  ordonnées  suivant   les 

j      ./■          z       y  c        ,  ,  .... 

puissances  de >   —  —  — i   s  annulant  au  point  sin<;ulier. 

Il  y  a  quelques  cas  d'exception  :  s'ils  se  présentaient,  on  serait  certain  que 
1  équation  n'est  pas  intégrable  algébri(|uement ;  on  en  serait  certain  également 
si,  pour  un  des  points  singuliers,  l'exposant  S  n'était  pas  réel  et  commensu- 
rable. 

Supposons  donc  que  S  soit  réel  et  commensui'able  ;  nous  appellerons  nœuds 
les  points  pour  lesquels  cet  exposant  est  positif,  cols  ceux  pour  lesquels  il  est 
négatif. 

Nous  poserons  S  =  |^  pour  les  nœuds,  S  :^ —  -  pour  les  cols,  fx  et  v  étant 

deux  entiers  premiers  entre  eux. 

J'envisage  un  nœud  et  je  suppose  que  la  courbe 

ait  en  ce  nœud  À  branches  distinctes:  ce  nœud  sera  d'ailleurs,  en  général,  un 
point  singulier  pour  chacune  de  ces  branches. 
Je  démontre  que  l'on  a 

p-=  S  À-  |Jiv.       .    (  »i  -4-  -J.)]}  =  Sf-i'^-i-  '')■ 

les  sommations  du  second  membre  devant  être  étendues  à  tous  les  no'uds. 

M.  Painlevé  a  posé  le  problème  suivant  :  Heconnaîlre  si  r intiigrale  géné- 
rale di-  l'équation  différentielle  est  une  coaibe  algébrique  de  genre  donné, 
et  il  a  énoncé  un  certain  nombre  de  remarquaiiles  propositions  (|ul  peuvent 
aider  à  trouver  la  solution,  au  moins  dans  certains  cas  particuliers. 

H.  P.  —  m.  5 


34  SUR  l'intégration  algébrique  des  équations  différentielles. 

Je  trouve,  en  ;i|ipc'lnnt  q  le  genre, 

celle  formule  conlienl  la  solution  du  |iroblénie  de  M.  Painlevé  toutes  les  fols 

que  m  >  4- 

Considérons  une  valeur  remarquable  de  C  et  supposons  que  /+C9  ne  se 
réduise  pas  à-  une  puissance  d'un  pol\nomr  ii  rrductible  ;  je  démontre  que  la 
courbe /+  Co  3=  o  va  alors  passer  par  un  ct)l. 

Je  montre  encore  que  le  nombre  total  des  valeurs  remarquables  ne  peut 
dépasser  le  nombre  des  cols  de  plus  de  deux  unités. 

Voici  quelques  autres  résultats  : 

Si  tous  les  nieuds  ont  pour  exposant  .S^  +  i,  le  nombre  de  ces  nœuds  est 
au  moins  égal  a • 

Si  l'on  a  S  =+i  pour  tous  lis  nœuds  et  S  ^  —  i  pour  tous  les  cols,  le  nombre 

1                1                .    •    .         ^   ,     ,  .  (  //f  +  -2  )- 
des  nii'uds  est  précisément  égal  a  — • 

Si,  pour  les  cols,  on  a  S  =  —  i ,  on  a  la  formule 

ai  a.(  m  -\-  i  )  =  pi  x,  -+-  2,  ). 

a,  et  y-ï  étant  deux  entiers  premiers  entre  eux. 

Celte  formule  limite  le  nombre  p  et,  par  c<)nsé(iucnt ,  résout  complètemeni 
le  problème  dans  ce  cas  particuber. 

Le  princijH'  qui  m'a  conduit  à  ce  résultat  est  peut-être  susceptible  d'être 
étendu  à  des  cas  plus  généraux;  j'es|)ère  que  plus  d'un  chercheur  s'y  efl'orcera 
dès  que  mes  démonstrations  seront  publiées. 


SUR    LINTKGRAÏIOX    ALGEBRIQUE 

DES 

ÉQUATIONS  DIFFÉRENTIELLES  DU  PREMIER  ORDRE 

ET  DU  PREMIER  DEGRÉ  ('). 


Rendiconti  del  Circolo  Matematico  c/i  Palermo,  t.  ô,  p.  161-191  (1891). 


Introduction. 


Pour  reconnaître  si  une  équation  clit}'érenlielle  du  premier  ordre  et  du  ])re- 
inier  degré  est  intégrable  algébriquement,  il  suffit  évidemment  de  trouver  une 
limite  supérieure  du  degré  de  l'intégrale;  il  ne  reste  plus  ensuite  qu'à  effectuer 
des  calculs  purement  algébriques. 

C'est  là  un  problème  qui,  semble-t-il,  aurait  dû  tenter  les  géomètres,  et  ce- 
pendant ils  s'en  sont  fort  peu  occupés.  Depuis  l'œuvre  uiagistrale  de  M.  Darboux, 
publiée  dans  le  Bulleliii  des  Sciences  mathéinalicjues,  la  question  a  été 
négligée  pendant  vingt  ans  et  il  a  fallu,  pour  attirer  de  nouveau  sur  elle  l'atten- 
tion qu'elle  méritait,  que  l'Académie  des  Sciences  la  proposât  comme  sujet  du 
concours  pour  le  (irand  Prix  des  Sciences  mathématiques.  Deux  Mémoires 
furent  récompensés,  M.  Painlevé  obtint  le  prix  et  .M.  Antenne  une  mention 
honorable  :  l'un  de  ces  deux  Mémoires  a  été  publié  dans  les  Annales  de  V Ecole 
Normale  supérieure  et  l'autre  dans  le  Journal  de  l' École  Polytechnique. 

Les  inégalités  et  les  égalités  ajoutées  par  ces  deux  savants  à  celles  que 
M.  Darboux  nous  avait  fait  connaître  faisaient  faire  à  la  question  un  progrès 
très  important,  mais  elles  ne  pouvaient  suffire  à  l'épuiser  complètement.  Sup- 

(')  Présenté  le  ■>.(>  avril  18111,   iiiipiiiiii;  le  S  mai   1S91. 


36    SUR  l'intégration  algébrique  des  équations  différentielles  du  premier  ordre. 
posons,  en  effet,  que  l'intégrale  générale  sécrive 

F  =  const., 

F  étant  une  fraction  rationnelle;  on  obtiendra  une  autre  forme  de  l'intégrale 
générale  en  égalant  à  une  constante  un  polynôme  entier  quelconque  par  rap- 
port à  F.  Il  en  résulte  qu'on  ne  peut  trouver  une  limite  supérieure  du  degré  de 
l'intégrale  générale  algébrique,  à  moins  qu'on  ne  trouve  un  moyen  quelconque 
d'exprimer,  dans  les  inégalités,  que  cette  intégrale  est  irréductible. 

C'est  ce  moyen  que  je  me  suis  proposé  de  trouver. 

M.  Painlevé  a  parfaitement  aperçu  cette  difficulté,  mais  il  n'a  pu  en  triom- 
pher; aussi  n'a-t-il  pu  résoudre  le  problème  dans  toute  sa  généralité,  mais  seu- 
lement démontrer,  dans  un  certain  nombre  de  cas,  que  l'intégrale  ne  peut  être 
algébrique. 

Je  n'apporte  pas  non  plus  une  solution  générale,  et  je  me  suis  encore  l)orné 
à  un  cas  particulier;  mais  j'ai  lieu  d'espérer  que  ce  problème  tentera  les  cher- 
cheurs et  qu'ils  parviendront  d'ici  peu  à  généraliser  le  procédé  qui  m'a  réussi. 

M.  Painlevé  a  posé  le  problème  suivant  :  reconnaître  si  une  équation  difl'é- 
rentielle  donnée  admet  une  intégrale  algébrique  de  genre  donné;  et  il  a  ol)tenH 
divers  résultats  qui  peuvent,  dans  certains  cas,  en  faciliter  la  solution.  Je  donne 
|)lu>  loin  une  formule  qui  contient  la  solution  complète  du  problème  de 
.M.  Painlevé,  toutes  les  fois  que  la  dimension  de  l'équalion  différentielle  est 
supérieure  à  4- 

J'ai  démontré  quelques  propriétés  des  équations  inlégrables  algébriquement. 
De  pareils  résultats  n'ont  pas  pour  le  moment  grande  valeur;  mais  ils  pourraient 
en  acquérir  le  jour  où  l'on  pourra  reconnaître  si  ces  propriétés  s'étendent  aux 
équations  uon  inlégrables,  ou  si  elles  ne  sont  pas  toujours  vraies  pour  ces  équa- 
tions; dans  le  premier  cas,  en  effet,  on  aurait  un  théorème  général  applicable  à 
toutes  les  équations  différentielles,  et  dans  le  second  cas  on  posséderait  un  cri- 
térium permettant  de  démontrer  que  les  équations  de  certaines  catégories  ne 
sont  pas  intégrables. 

En  ce  qui  concerne  la  limitation  du  degré,  qui  était  mon  but  priucijial,  je  me 
suis  borné  au  cas  où  l'exposant  de  tous  les  cols  est  égal  à  —  i . 


SUR  l'intégration  algébhioue  des  équations  différentielles  du  premier  ordre.     3; 


Résultats  de  M.  Darboux. 


Adoptons  les  notations  de  M.   Darboux  et  écrivons  l'équation  différentielle 

sons  la  forme  homogène,  c'esl-à-dire  sou>  la  forme  suivante  : 


Ix 

f/y 

(iz 

J' 

y 

z 

L 

M 

N 

L,  M,  N  étant  des  polynômes  entiers,  homogènes  et  de  degré  m  en  x,  y,  z.  Le 
nombre  m  est  ce  qu'on  appelle  la  dimension  de  l'équation  différentielle. 

Si  cette  équation  est  inlégrable  algébriquement,  l'intégrale  générale  s'écrira 


(2  1 


f    -  Go  =  o, 


/  et  cp  étant  deux  polynômes  homogènes  d'ordre  /)  en  .r,  y  et  ;,  et  C  une  cons- 
tante arbitraire.  On  déduit  de  l'équation  (2)  l'équation  différentielle  suivante 


H) 


dx  Jy  dz 
X  y  z 
t.,      Ml     N', 


L,= 


dz  dy        dy  dz 


M, 


df  do        df  d^ 
dx  dz        dz  dx 


dy  dx        dx  dy 

Si  donc  on  appidle  A  le  premier  membre  de  (1),  et  A,  celui  de  (3),  on  aura 

identiquement 

i,=  F.i. 

F  étant  un  [lolynome  homogène  en  x,  _)',  ;.  Soit  h  le  degré  de  ce  polynôme,  on 
aura 

Comment  formerons-nous  ce  facteur  F?  M.   Darboux  nous  l'apprend  éga- 

lemenl. 

Il  peut  arriver  que  pour  certaines  valeurs  de  C,  que  nous  appellerons  valeurs 

re/narr/uables,  la  courbe 

f  -T-  Go  =  o 

soit  décomposable.  Il  pourra  arriver  que  pour  certaines  valeurs  remarquables 


38    SUR  l'intkgiution  algébrique  des  équations  différentiei.i-es  du  premier  ordre. 
de  C  que  nous  appellerons  critiques,  on  ait 

/-i-Cç  =  ;(f'  uf  ...  ((f . 

les  iii  étant  des  polynômes  entiers  homogènes,  et  les  exposants  a,  n'étant  pas 

tous  égaux  à  i . 

On  aura  alors 

F  =  n„f'-', 

le  produit  désigné  par  la  lettre  II  étant  étendu  à  toutes  les  valeurs  critiques 
de  C  et  à  tous  les  facteurs  m,  (ceux  dont  l'exposant  est  pins  grand  que  i  inter- 
viendront seuls,  car,  pour  les  autres,  a, —  i  s'annule  et  le  l'auteur  correspondant 
se  réduit  à  l'unité). 

On  a  donc,  si  n,  est  le  degré  de  (/,-. 

d'où 

c  a  )  m  -\-  %  =  ).  p  —  lia,  —  i  ■)  " , , 

la  sommation  représentée  par  la  lettre  i  étant  étendue  à  t(uites  les  valeurs  cri- 
tiques de  C  et  à  tous  les  facteurs  «/,. 
On  aura,  d'autre  part, 

(3)  /)  =  S2,«,. 

la  sommation  représentée  par  la  lettre  S  étant  étendue  à  une  seule  valeur 
remarquable  ou  critique  de  G  et  à  tous  les  facteurs  w,  correspondant  à  cette 
valeur. 

Des  points  singuliers. 
Les  points  singuliers  de  l'équation  (i")  sont  donnés  par  les  équations 

U)  1'  =  ^  =  !^'. 

.r        y         z 

M.  Darbbux  a  montré  que  ces  points  singuliers  sont  au  nombre  de 

Nous  supposerons  dans  tout  ce  qui  va  suivre  que  ces  m- -t-  ni  +  i  points  sin- 
guliers sont  tous  distincts. 


SIR  l'intégration  algébrique  des  équations  différentielles  du  premier  ordri:.     39 
Formons  réquation  suivante  en  S, 

I     dh  d\\f     dM  d^\ 

-\'  Ty--'-  djA'  -717-^^  d^)  ^^"^ 

OÙ  l'on  donne  à  x,  y,  z  les  valeur»  qui  iorre>|3on(ient  à  un  point  singulier. 

On  démontre  que  si  S,  et  Sj  sont  les  racines  de  cette  équation  en  S,  l'inlé- 
grale  générale  peut  dans  le  voisinage  du  point  singulier  être  mise  sous  la  forme 

(6)  Xfi  x;^»=const., 

X|  et  Xj  étant  des  séries  ordonnées  suivant  les  puissances  croissantes  de  ^  —  — 

z  Zq 

et  de  -  — '^1  en  appelant  .r„,  Vo,  c^o  le  point  singulier  considéré. 
Il  pourrait  y  avoir  une  exception  dans  divers  cas  : 

1°  Si  l'équation  (5)  se  nkluit  à  une  identité,  delà  n'arrivera  pas  si,  comme 
nous  l'avons  supposé,  les  m-  -\-  m  -\-  \  points  singuliers  sont  distincts. 

2"  .Si  l'équation  (5)  a  une  racine  nulle.  Cela  n'arrivera  pas  non  plus  si 
les  m"-+  m  +  1  points  singuliers  sont  distincts. 

3°  Si  l'on  a  .Si^Sj.  Il  arrivera  alors,  en  général,  que  l'intégrale  générale 
pourra  se  mettre  sous  la  forme  suivante 

:r — r-  A  log  X]  =  consi., 
X,  et  Xj  étant  des  séries  ordonnées  selon  les  puissances  croissantes  de  -  — ^  '— 

z  3(1 

et  de  —  — '— 6t  A  une  constante  numérique.   I.e  point  singulier  est  alors  un 

point  logaiithinique.  Dans  certains  cas  la  constante  A  est  nulle;  le  point  sin- 
gulier est  alors  ce  que  M.  Autonne  appelle  un  point  dicrilii/iie. 

4"  Si  le  rapport  ^  est  réel  négatif.  Le  point  singulier  s'appelle  alors  un  col. 

Il   arrive,   en   général,  que  liiilégrale  générale   ne  peut   pas  se   mettre  sous  la  , 
forme  (6);  le  col  est  alors  iirègulier ;  mais  il  peut  arriver  également,  dans  cer- 
tains cas  particuliers,  que  l'intégrale  générale  puisse  se  mettre  sous  la  forme  (6), 
le  col  est  alors  régulier. 


Pour  que  l'équation  (1)  soit  intégrable  algébriquement,  il  faut  (mais  il  ne 

S, 
S, 


suffit  pas)  :   i"  qui'  pour  l(*s  poinU  singuliers  le  rapport  ^  soit  réel  et  coninien 


4o      SIR    l'intégration    ALGEBRIQUE    DES   ÉQUATIONS    DIFFÉREÎ^TIELLES    DU    PREMIER    ORDRE. 

surable;   2°  que,  si  pour  certains  points  eu  rapport  est  égal  à    i,   ces  points 
soient  dicritiqiics  el  non  logarithmiques:  3°  et  enfin  que  tous  les  cols  soient 


réguliers. 


Le  rapport  V  s'appellera  Vexposa/if  i\u  point  singulier. 

Les  points  singuliers  pour  lesquels  ce  rapport  est  réel  et  positif  s'appelleront 
des  nœuds  (les  points  dicritiques  sont  donc  des  nœuds).  Ceux  pour  lesquels  ce 
rapport  est  réel  et  négatif  s'appelleront  des  cois. 

Si  l'exposant  d'un   nœud   est  comraensurable  et  égal  à  -,  /j.  et  v  étant  deux 

entiers  premiers  entre  eux.  a  et  v  seront  les  entiers  cnroctéristiiiues  du  nœud. 

De  même,  si  l'exposant   d'un  col  est  commensuralile  et  égal  à —  -i[t.e\.v 

étant  deux  entiers  premiers  entre  eux,  y.  et  v  seront  les  entiers  caracleristiques 
de  ce  col. 

Si  l'équation  (1)  est  intégrable  algébriquement,  tous  les  pnints  singuliers 
sont  des  nœuds  ou  des  cols. 

Des  nœuds  dicritiques. 

Nous  venons  de  définir  plus  haut  les  points  singuliers  dicritiques  qui  sont 
toujours  des  nœuds.  En  un  nœud  dicrilique  la  courbe 

f  -^  r.a  =  o 

piésrnte  en  g.'néral  un  piinl  multiple  d'ordre  }  dont  les  tangentes  sont  dis- 
tinctes. Mais  il  peut  arriver  que  pour  les  valeurs  remarquables  de  C,  deux  ou 
plusieurs  de  ces  tangentes  se  confondent. 

Soit  C|  une  valeur  remarquable  de  C,  de  telle  sorte  que 

Supposons  que  pour  la  courbe  f/,=  o  le  nœud  dicritique  considéré  soit  un 
point  multi|)le  d'ordre  >,,■;  la  courbe  m^o  étant  indécomposable,  les  ).,  tan- 
gentes serout  distinctes.  D'autre  part,  les  courbes  h,=:o  el  !<y=o  étant  dis- 
tinctes, les  li  tangentes  à  «,:=  o  seront  distinctes  des  Ij  tangentes  à  itj^=  o. 

On  aura  d'ailleurs 

),  ^  a,  ).i  —  0(2  À,  -t-  . .  .  -T-  ax  l/,, 

ou,  en  conservant  à  la  lettre  S  la  même  signification  que  plus  haut, 
(ï)  >.  =  S  ^i  >.o 


9UB   l'iNTÉGBATION   algébrique    des    équations    niFFÉBKXTIELLES    DU    TREMIER    ORDRE.       4' 

Le  nœud  dicritique  considéré  est  pour  A,  un  point  d'ordre 

•2  >.  I 

et  pour  F  un  point  d'ordre 

Il  doit  tHre  pour  A  =:  -=^  uu  point  dordre   i,  en  qui  nous  donne  la  relation 

(8)  -1  =  >  A  —  Si  a,— I  !>.,. 

Examinons  en  particulier  le  cas  où  tous  les  nœuds  sont  dicritiqiies. 
Deux  courbes 

correspondant  à  deux  valeurs  Co  et  C|  de  C  ne  peuvent  avoir  d'autre  point 
commun  que  les  nœud!-;  de  plus,  si  l'on  considère  un  nœud  dicritique,  les  A 
tangentes  à  la  première  courbe  difiéreront  des  "/.  tangentes  à  la  seconde  courbe, 
de  sorte    que    ce  nœud   comptera  pour  A-  points  d'intersection.  11  vient  donc 

(6)  /,î=S).î, 

le  signe  S  signifiant  que  la  sommation  doit  être  étendue  à  tous  les  nœuds  que 

nous  supposons  tous  dicritiques. 

Un  point  multiple  d'ordre  ).,  dont  les  tangentes  sont  distinctes,  a  pour  elTet 

1)1-          1                 ,     À I  ).  —  Il 
d  abaisser  le  genre  de  unîtes. 

On  a  donc  pour  le  genre  de  la  courbe/-!-  G»  =  o 

^  (p  —  i)(p  —  2)  __  g  >  I  >■  -  n 

D'autre  part,  envisageons  l'intersection  de  la  courbe  indecortiposable 

/  — Co  =  o 

avec  la  courbe  «/=o  qui  est  un  facteur  de  y'-f-Ci'j,  C|  étant  une  valeur 
remarquable  de  G.  La  première  est  d'ordre  p,  la  seconde  d'ordre  «,-,  et  le 
nombre  des  intersections  doit  être  /)«,. 

D'ailleurs  le  nombre  des  intersections  situées  en  un  nœud  dicritique  est  À?.,, 
ce  qui  donne 
(8)  ■  /)/ii=SXX,. 

Comparons  uiiiintenant  les  relations  (a),  ((3),  (y),  (ô),  (6),  (j),  (8). 
Multiplions  la  relation  (8  )  par  (z,- —  i)  et  faisons  la  somme  de  toutes  les  rela- 
tions analogues  pour  toutes  les  valeurs  i-emarquables  de  G  et  pour  tous  les  fac- 
H.  P.  —  ni.  !• 


42      SUR    l'intégration    ALGRBRIQIE    DES    É(.irATII)NS    IlIFFlinBNTIELLE?    DU    PHKMIF.R    OHIIRI-. 

leurs  H,  dont  l'expoïaut  est  plus  i;rand  (jue  i  ;  il  viendra 

/)S(a,— i)n,  =  SXlia,— l)>.,- 
OU  bien 

p(ï  p  —  m 2  )  =  S  A  (  ■)  X 2  V 

d'où  une  première  remarque  :  ^i  m  n'est  pas  pair,  /;  doit  être  pair.  L'cquation 

nous  donne  d'ailleurs 

■i  /j' —  (  m  -4-  2  )  /)  =  2  s  X^ —  2  s  )., 
d'où 

(  «l  -i-  2  )  /)  =  2  S  ). . 

]Mais  nous  avons  écrit 


7  = 

2 

on  enfin 

(9) 

■ 

Ci'la  prouve  : 

n'        ■? /)  SX=        SX 

2  2 


X  /  /rt  —  2       '      1   \ 


m  —  i 


i"  Que /J  nu  //(  doivent  être  divisii)les  |iar  j,  ou  (pi'ils  doivent  ètri'  lous  deux 
pairs  ; 

2"  Que  si  m  =  4i  le  genre  est  égal  à  i  ; 

3°  Que  si  7»  <;  4i  !<'  genre  est  égal  à  o;  donc  /?  =  7 — ^ — .  d'où  /*  =  2 
pour  //i  =  2.  />  =  4  pour  »i  :=:  3  ; 

4"  Que  si  m  >  4)  le  genre  est  plus  grand  cpie  i. 

Des  ntriids  luonocrilii/iic'.s.  —  Abandonnons  maiiilenant  le  cas  partirulier 
où  tous  les  iKi'uds  sont  dicrili(|ues.  Lhi  mi'ud  /iionncritir/iic  (c'est-à-dire  dont 
l'exposant  n'est  pas  égal  à  1)  est  pour  cliacune  des  branches  de  courbe  qui  y 
passent  un  pninl  multiple  d'ordre  p,  /j.  élanl  le  plus  [lelit  des  deux  i-ntiers 
caractéristiques  ;j.  el  v. 

Il  y  a  excej)lion  pour  deux  branches  de  courijes  remarquables,  à  savoir  jiour 

les  branches  de  courbe 

Xi=o,  Xj=o; 

pour  ces  deux  branches  le  nœud  est  nu  pdinl  siiuple. 
Considérons  la  courbe  indécoiiqiosable 

y-^  Cep  =  o 

el  supposons  qu'elle  admette  À  branches  de  combe  passant  par  le  nœud  consi- 
déré. Cherchons  cjuel  est  l'abaissement  correspondant  du  genre  et  le  nombre 


SUR    l'intégration    ALGÉBBIOTE    des    KOUATIONS    DIlKÉRKNTltLLES    DU    PREMIER    ORDRE.       43 

des  points  d'intersection  de  deux  courbes  y'-f- Cep  =r  o,  y-t-C,9^o  qui  se 
trouvent  au  nœud  considéré. 

Pour  cria,  il  nous  faut  d'abord  connaître  le  nombre  des  points  d'inliTsection 
de  deux  branches  de  courbe. 

Les  équations  de  ces  deux  branches  de  courbe  pourront  s'écrire 

vu-  _   -,   YV  YiA  _  ^'  X'', 

y  et  y'  étant  deux  constantes;  or,  en  combinant  ces  deux  équations  linéairement 
entre  elles,  on  trouve 

ce  qui  montre  que  le  nombre  cherche  est  égal  à  [vj. 

Considérons  alors  les  deux  courbes  /+  Co  ^  o,  /+  C,  9  =  o  ;  chacune  des 
>.  branches  de  la  première  coupe  chacune  des  1.  branches  de  la  seconde  eu  /jv 
points  confondus.  Le  nœud  compte  donc  en  tout  pour  À-'p.v  intersections. 

11  en  résulte  que  la  formule  (())  doit  être  remplacée  par  la  suivante 
(6  bis)  p-  =  S  \-  IX  V. 

Passons  à  l'abaissement  du  genre. 

En  appliquant  une  règle  connue,  on  trouve  que  cet  abaissement  est  égal  à 

2         2       2 
de  sorte  que  la  formule  (j)  devient 

(7  6,>)  ^^(/'-■H/>-^)_^^_s^(.-ix-v). 

Considérons  maintenant  les  valeurs  remarqualiles  de  C;  soit  C,  un(;  de  ces 
valeurs,  et  soit 

Nous  dirons  qu'un  facteur  u^est  siii^nU<:r  par  rapport  au  nœud  nionoeriti(pie 
considéré,  s'il  s'annule  identiquement  pour  X,  —-  o  ou  pour  X2=  o. 

Si  le  facteur  »,  est  singulier  et  s'annule  identiquement  pour  X|  =  o,  son 
exposant  a,  doit  être  divisible  par  p..  S'il  s'annule  identi((ueiuent  pour  Xj  =  o, 
l'exposant  a,  devra  être  divisible  par  v. 

Mais  il  peut  arriver  que  le  facteur  tu  soit  doubletnrnt  singulier  et  (pi'il 
s'annule  identiquement  tant  pour  Xj  =  o  que  pour  Xo  =  o.  Dans  ce  cas  l'expo- 
sant o-i  est  divisible  par  fzv. 


44       SIR    l'intégration   algébrique   des    ÉQIATIONS    DIFFÉRENTIELLES    DU    PREMIER   ORDRE. 

Enfin,  il  peut  se  faire  qu'un  même  facteur  «,  snil  singulier  par  rapport  à 
plusieurs  nœuds  monocritiques. 

Pour  chaque  nœud  monocritique,  il  existe  toujours  deux  facteurs  singuliers 
(ou  un  seul  facteur  doublement  singulier)  correspondant  soit  à  une  même 
valeur  remarquable  de  C,  soit  à  deux  valeurs  remarquables  diflérentes  de  C;  et 
il  n'eu  existe  (|ue  deux. 

On  peut  faire  une  distinction  do  |)lus;  s\ipposons  p  •<  v;  nous  dirons  que  le 
facteur  a,  est  critiijue  s'il  s"annulc  pour  X,  =  o  et  hj  jiercritique  s'il  s'annule 
pour  Xo  =  o. 

Cherchons  d'abord  quel  est,  en  un  nœud  monocritique,  le  nombre  des  points 
d'intersection  d'une  courbe  indécomposable 

f-  C  9  =  o 
et  d'une  courbe  m,=  o. 

Soit  \i  le  nombre  des  branches  de  la  courbe  //,=  o  qui  passent  par  le  nœiid 
considéré.  l'our  chacune  de  ces  branches  le  nœud  sera  un  point  multiple 
d'ordre  [j.  (je  suppose  toujours  p.  <  v)  sauf  pour  une  d'entre  elles  (pour  laquelle 
le  nœud  sera  un  point  simple)  si  le  facteur  «,  est  singulier  et  pour  deux  d'entre 
elles  s'il  est  doublement  singulier. 

Pour»  deux  branches  de  courbes  quelconques,  le  nombre  des  points  d'inter- 
section confondus  avec  le  nœud  est  égal  à  /j.v;  il  v  a  exception  si  l'une  des 
branches  de  courbe  est  X|  =  o,  ou  X2  =  o.  Si  c'est  X,  =  o,  le  nombre  des 
intersections  est  égal  à  v,  et  [)Our  Xj^  o  il  est  égal  à  p.. 

Donc,  pour  nos  deux  courbes  le  nombre  total  des  intersections  confondues 
avec  le  nœud  sera 

XX,jjiv  si  le  l'acteur  »,  n'est  p.is  singulier, 

X  ).,(/v  —  X  (|ji  —  i)v  s'il  est  critique, 

X  Xjjiv  —  X(  V  — i)  [Ji  s'il  est  hypercrilique, 

XXi(j.  V  —  X  [(  [0.  —  i)  V  -t~  (v  —  I)  \i.]  s'il  est  doublc;inenl  singulier. 

Que  devient  la  formule  (y)? 

Le  nœud  est  pour  la  courbe  (/,=  o  un  point  multiple  d'ordre 

X,(ji  si  le  facteur  «,  n'est  pas  singulier, 

fX, —  i')  jji  +  I   s'il  est  singulier, 

(X, —  2)  jji  —  2  s'il  est  doublement  singulier. 

D'autre  part,  soil  C,  une  valeur  remarquable  de  C.  Le  nœud  sera  pour  la 
courbe  /+C|Cp  =  o,    un    point  multiple    d'ordre    Âp.   si    aucun    des    facteurs 


SUR    l'intégration    ALGÉBniQlE    DES    ÉOUATIONS    DIFFÉRENTIELLES    DU    PBEMIER    ORDRE.       45 

de  /+C,o  n'est  hypercritique  (ou  doublement  singulier),  mais  si  l'un  des 
facteurs  est  hypercritique  el  que  son  exposant  soit  égal  à  a,,  ce  sera  un  point 

multiple  d'ordre  >.JJL +  —  (v  —  p.).  D'où  les    équations  suivantes  qui    sont   les 

différentes  formes  de  l'équation  (y)  : 

X  =  Sa,)v,  s'il  n'y  a  aucun  facteur  singulier. 

X  =  S  a,X;  -(-  a,  ( I  )  s'il  y  a  un  facteur  critique  d'exposant  ai , 

X  =  S  a,À, -t-at]  (  -  — t  1  s'il  y  a  un  facteur  hypercritique  d'exposant  «i, 

X  =  Sa,X,  +  ^i(--  — 1)^«2( ■)  s'il   y  a  un  facteur  critique   d'exposant  a, 

et  un  facteur  hypercritique  d'exposant  aj, 

X  =  Sa,X,-J-a,  (-'-  ^i  )  -^a,  ( 1  )  s'il  y  a  un  facteur  doublement  singulier 

d'exposant  a,. 
Le  nœud  sera  pour  F  un  point  multiple  d'ordre 

i:  I  a,  —  1  )  X ,  ;ji  —  ( a,  —  I  :n  fi  —  I  j  —  (  a.^  —  i  )  (  fi  —  i  ;, 

en  appelant  x,  et  x.j  les  exposants  des  deux  facteurs  critique  et  hypercritique 
qui  existent  toujours. 

Le  nœud  sera  aussi  pour  A,  un  point  multiple,  mais  de  quel  ordre? 

Le  déterminant  fonctionnel  de  /  et  de  ..  par  rapport  à  .î  et  à  )•  par  exemple 
(que  nous  avons  appelé  L,)  est  égal  au  produit  du  déterminant  de /et  de  9  par 
rapport  à  X,  et  à  X.j,  multiplié  par  le  déterminant  de  X,  et  Xj  par  rapport  à  .: 
et  à  )•. 

Il  importe  de  remarquer  que  les  deux  séries  X,  et  Xj  ne  sont  pas  entièrement 
déterminées.  En  effet,  nous  les  avons  définies  en  écrivant  que  dans  le  voisinage 
du  nœud  l'intégrale  de  notre  équation  s'écrit 

Xi;-  =  const.  X^. 

Si  Y  est  une  série  quelconque  ordonnée  suivant  -les  puissances  de  ^ -r  ^^ 

de^  — ■—  et  ne  s'annulant  pas  au  nœud,  on  peut  remplacer  X,  et  Xn  par 

X.-^  'cl  XtYH-. 

Parmi  toutes  ces  déterminations  de  X,  et  de  X^,  on  |>eut  en  chdisir  une,  telle 
que  /"et  cji  soient  des  polynômes  homogènes  d'ordre  /  en  X^j''  et  X'^. 

Alors  le  déterminant  fonctionnel  de/  et  o  par  rapport  à  X,    el  X.,  est  un 


46      SUR    L'iNTRGftATlON    ALGÉBRIQUE    DES    ÉQUjTriOXS    DIFFÉRENTIELLES    DU    PREMIER   ORDRE. 

polynôme  hninogène  d'ordre  2  A  —  2  en  X^  el  Xy,,  que  i'a|>pellerai  I'.  muhiplié 
par  X!^-'  etX;-'. 

Le  déterminant  de  X,  etXo  par  rapport  à  r  el  à  j  ne  s'annule  pas  en  général 
et  en  tout  cas  les  trois  déterminants 

ne  s'annnlant  pas  à  la  fois,  on  peut  toujours  supposer  f[ue  le  premier  n'est  pas 
nul  au  naud.  On  a  alors 

'-     à(y,z)     '^■^'      ■^'     ■ 

Pour  P  11'  nœud  est  un  point  multiple  d'ordre  {2I  —  2)fi  si  ce  polynôme  ne 
s'annule  pas  pour  X.j=  o,  mais  cela  n'arrive  que  si  a^^  v;  dans  le  cas  contraire 
c'est  pour  P  un  point  nuilliplt'  d'ordre 

(  .4  X  —  2  )  [Jl —  (v  — ;i), 

pour  L|  il  est  d'ordre 

(2X--2);jl-T-(|Jl-l)-r-(v  — I)+   "-^-^  (V-[X) 

et  pour  A,  d'ordre 

(■2X  —  2)^t-l-(Jt— V  —  I  H (  V  —  (Jl  ). 

Mais  nous  savons  que  ce  doit  être  un  point  simple  pour  A,  il  vient  donc 

(AK 2  )  (Jl  —   [Jl  —  V  I  —     ; (V  JJl  j 

=  S(aj— dX/iji  — (a,— i)(|ji  — it  —  («2— I  l(  H  — I)  -+-  •; 
ou,  en  divisant  |)ar  y., 
(S)  (u  À  — .>)-1-  a,  (i—   '   Wa^M—  -  )  =  S  (a,— l)  X/. 

Que  devient  maintenant  la  formule  (8)? 

Quel  e>l  le  nombre  total  des  points  d'intersection  de  la  courbe  indécompo- 
sable /+  Cep  =  o  avec  «,=  o  ? 

J'appelle  e,  un  nombre  relatif  à  ui  et  à  un  des  nœuds.  Ce  nombre  sera  nul 
si  M,-  n'est  pas  singulier  par  rapport  à  ce  nu'ud;  il  sera  égal  à  {jj.  —  i)v  s'il  est 
critique,  à  (v  —  i)/ji  s'il  est  hypercritique,  à  (p.  —  i)v  +  (v  —  i),u.  s'il  est  double- 
ment singulier.  11  vient 

piii  =  S  (X  X,-  |ji  V  —  X  £,). 

Multiplions  cette  relation  par  st, —  1  cl  fiiisons  la  somme  de  toutes  les  rela- 


SUR    l'intégration    ALGÉBIUQIÎE    DES    ÉOUATIONS    DIFFÉRENTIELLES    DU    PREMIER    ORDRE.       47 

lions  analogues  pour  toutes  les  valeurs  remarquables  de  G  et  pour  tous  les  fac- 
teurs w,  dont  l'exposant  est  plus  grand  que  i  ;  il  vient 

y)S(a,— i)«,=  S  [X(jiv  Xiot,— i)X,]  — SX  S  ^c/.,— 1}  s,-. 

Mais  d'après  la  signification  de  £,  et  en  appelant  encore  «,  et  «j  les  exposants 
des  facteurs  critiques  et  hypercritiques,  on  a 

i;(z;— i)  £,=  (  «,—  i)(  |Ji  — i,|v  +  (a.,— i)(v  — i)  ;a. 

D'autre  |iarl 

fi  V  s  (a,—  1)  X,  =  (-àX —  .!  )  (jiv  +  a,v  (|ji  —  i)  -t-  aî^ji^v  —  i). 

Il  vient  alors 

fj{  ->p  —  m  —  2)  =  S  X  iji.v(',  ) :i;  +  S  X,(;j.  —  i)v  -+-  S  X(v  —  i)  jx, 

OU 

(10)  (nî -(- 'O/J  =  s  X  (  ;x  4- V  I. 

Or 

P- — 3«  +  ■>.        -  X-av        „  a  ,  3;>        „  X 

a  =  '- £- S  — J S  -(1—  |A—  v=i !-  -I-  S  -([ji  +  v— I), 

■2  ■>.  i.  i  •'■ 

d'où 

Si,  par  exemple,  wî  =  4>  il  vient 

On  voit  ainsi  que  pour»;  :=4i  '*•  «  fortiori  pour  w>>/i,  le  genre  est  tou- 
jours plus  grand  que  i . 

Quelle  est  la  condition  pour  qu'on  puisse  reconnaître  si  l'équation  didéren- 
tielle  comporte  une  solution  générale  algébrique  de  genre  donné?  C'est  que  tous 
les  coefficients  du  second  membre  de  (i  i)  soient  de  même  signe;  c'est-à-dire  que 

ce  qui  a  tnujours  lieu  pour  m  ^  4- 

Des  cols.  —  Nous  distinguerons  trois  genres  de  culs  : 

1"  Ceux  du  premier  genre  seront  les  points  doubles  d'une  courbe  indécoui- 
posable 

ou  d'une  courbe 

"1  =  o. 


18      SUR    l'intégration    algébrique    DRS    ÉOUATIONS    différentielles    nu    PREMIER   ORDRE. 

Uj  étant  un  des  facteurs  indécomposables  de 

/■+  C  s  =   U^>  (/»!.  ..  !?«k 
*f  '12  /■ 

pour  une  valeui'  remarquable  de  C. 

Tous  ceux  de  ces  points  doubles  qui  ne  sont  pas  des  nœuds  sont  des  cols. 

Pour  un  col  du  preniii'r  genre  les  deux  entiers  caractéristiques  sont  égaux 
à    I  . 

2°  Ceux  du  second  et  du  troisième  genre  sont  les  |>oints  d'intersection  de 

deux  courbes 

",=  ",  -  "/■  =  <', 

Ui  et  uj  étant  deux  facteurs  indécomposables  de 

/^  G  ç  =  ii'fi  »«i . . .  lift 

pour  une  même  valeur  remarquable  de  C. 

Tous  ceux  de  ces  points  d'intersection  qui  ne  sont  pas  des  nœuds  sont  des 
cols.  Les  deux  entiers  caractéristiques  p.  et  v,  qui  sont  [ireiniers  entre  eux, 
seront  entre  eux  dans  le  même  rapport  que  les  deux  exposants  a,-  et  cxj. 

Si  «,=  <xj  et  que,  par  conséquent,  |jl  =  v  =  i ,  le  col  sera  du  deuxième  genre. 

Si  (Xj^Cj  et  que,  par  conséquent,  p.  <r^  v,  v>i,  le  col  sera  du  troisième 
genre . 

L'équation  dilTérentielle  étant  donnée,  on  connaît  les  entiers  caractéris- 
tiques. On  peut  donc  distinguer  les  cols  du  premier  et  du  second  genre  de 
ceux  du  troisième  genre,  mais  non  ceux  du  premier  de  ceux  du  second. 

Propriétés  diverses.  —  Quelques-unes  des  formules  précédentes  peuvent 
être  simplifiées  si  l'on  adopte  les  notations  suivantes  : 

Soil  Ç,-  un  nombre  égal  à  i  si  m,  nest  pas  singulier  par  rapport  au  uœud  con- 
sidéré, à  ^  si  Ui  est  critif[ue,  à  v  s'il  est  hjpercritique,  à  p.v  s'il  est  doublement 
singulier. 

A  chaque  facteur  Ui  et  à  chaque  nœud  monorritique  correspond  ainsi  un 
nombre  Z;. 

Soit  alors  h;  le  plus  petit  commun  multiple  de  tous  les  nombres  Ç,  cori'es- 
|)ondant  à  un  même  facteur  w,  et  à  tous  les  nœuds  monocritiques.  Ce  nombre  h, 
est  donc  égal  à  i  si  (/,  n'est  singulier  par  rapport  à  aucun  nieud. 

Il  est  clair  que  jî,  est  divisible  par  /;,;  nous  poserons  donc 

i',  =  (/''',  a,  —  Aj'aj, 


scjR  l'intégration  algébrique  des  équations  différentielles  du  premier  ordre.    49 
d'où 

Nous  appellerons  «■=  /j,A,  le  degré  de  p,. 

La  courbe  i>i:=  o  se  compose  de  /i,-  courbes  confondues  avec  u,=  o.  J'appel- 
lerai \\  le  nombre  des  branches  de  la  courbe  Vj^^  o  qui  passent  en  un  nœud 
monocritique.  Chaque  branche  de  «,==  o  comptera  pour  /«,  branches  de  (',=  o, 
sauf  s'il  y  a  lieu  celle  qui  s'annule  pour  X,  =  o  et  qui  comptera  seulement 

pour  —  branches,  et  celle  qui  s'annule  pour  X2  =  o  et  qui  comptera  seulemeat 
pour  —  branches.  On  aura  donc 

X/  =  /ijX,  si  le  facteur  m,  n'est  pas  singulier, 

X;  =  /(,),, —  /(,(  I —  -  1  s"il  est  critique. 


X;  =  /(,X, —  /',  (  I —   -  )  s'il  est  hypercritique, 

X/  =  /(,X, —  hil  i )  s'il  est  doublement  sinsulier. 

\  1^        ■'/ 

Le  nombre  des  points  d'intersection  de 

ç>,=  o        et       y"— C3=o 

est  alors  dans  tous  les  cas  }.7.]^^j. 

Celui  de  deux  courbes 

fi  =  o,        vu  =  o 

correspondant  à  deux  facteurs 

sera  1]  l).  /jtv. 

L'équation  (y)  s'écrira  dans  tous  les  cas 

x  =  sa;x;. 

Examinons  maintenant  la  question  suivante  • 
Soit,  pour  une  valeur  remarquable  de  C, 

Est-il  possible  que  les  deux  courbes 

l'i  =  o,  Cj  =  " 

n'aient  d'autres  points  d'intersection  que  des  nœuds? 
H.  p.  —  III. 


5o      SUR    LINTÉGBATION    ALGEBRIQUE    DES    EQUATIONS    DIFFÉBENTIELLES   DU    PREMIER    ORDRE. 

Appelons  h  le  nombre  des  points  d'intei'seclion  de  ces  deux  cmirbcs  «dilués  en 
dehors  des  nœuds,  nous  aurons  évidenimenl 

n\  n'.,  =  S  À'i  )vj  jjiv  -I-  /(. 

Supposons  d'abord  que  nous  n'ayons  que  deux  facteurs  et  que  l'on  ait 

/-t-C?  =  ,.f  rj:. 
nous  aurons  les  relalions 

p^  =  S  À»  |jiv .         pn\  =  S  ).a'|  ;j.v,         a'i  n\  —  a!,  n'.,  =  jj.         a.\  \\  -H  a!,  \',  =  \  ; 
d'où  l'on  peut  déduire 

a'i  /i'|-  ■+-  alj  n\  n\  =  a',  S  X',-  [jlv  +  a',  S  \\  V.^  |Jiv , 
a'i  n\  n'.,  -\-  a'^  n'.?  =  ï',  S  X',  Xô  [jiv  —  a'.,  S  V.r  fiv. 

SI  l'un  avciil  h  =  <>  et  par  conséquent  n\  n.,  =  S),',  )..',/j^v,  il  viendrait 

«',-  =  S  X'|-  jjiv,  ii'.r  =  ^  X!,-  ;xv, 

et  pour  des  valeurs  quelconques  de  x  et  de  v 

(I)  {n\x  —  „:,yp^  SiJiv(X'|3-  — X:,.)';2. 

Si  l'on  fuit  )•  =  «',,  r  =  n'.,,  le  premier  membre  s'annule,  ce  qui  exige  que 

X\x  =  X'^^. 

•  X',  ,  .      1  .   n'i 

Le  rapport  ,7  est  donc  constant  et  égal  a  — r- 

Rien  dans  le  raisoimemenl  c|ui  précède  ne  suppose  que  les  facteurs  n ,  et  Wj 
sont  irréductibles.  Si  donc  on  a 

/•  -H  G  ï  =  e»;  r»^ .  .  .  if  ;  ('="•'*  ' .  .  .  vjt. 
et  si  les  courbes 

v,  =  n,  t'a  =0,  ....  l'i  =  Il 

n'ont  en  dehors  des  nœuds  aucun  pninl  commun  avec  les  courijis 

(',  +  ,=    0.  P,_j..;=0,  ....  VA    =    0, 

on  pourra  regardery -f-  C'j  comme  le  produit  des  deux  lacteurs 

,,ï;,.a;         ,.a'     et      ,.*'.•  i,,*'.i  i         ..*i 

et  l'on  aura  pour  tous  les  nœuds  monoeritiques 

a'i  X',  -f-  a!>  X2  ^ .  .  .  —  xîX;         _  x'i  /(',  -f-  a'.,  n'.,  ^- .  . .  +  a,'  ni 


a',  «:. 


SUR  l'intégration  algébriqur  des  équations  différentielles  du  premier  ordre.     5i 
Revenons  au  cas  où  le  nombre  des  facteurs  est  égal  à  2  et  où,  par  conséquenl, 

mais  ne  supposons  plus  //  =  o;  la  formule  (1)  deviendra 

(n\x  —  "'j7)-  =  S  |ji  •/  (X'i  .r  —  5,'^,j)- —  h 

Si  nous  faisons  en  particulier 

y  =  n\,        X  =  «2, 
il  vient 

{■1)  h p-  =  a',  ot!,  S  (Jiv  (À'i  «!,  —  X^j  n'i)-. 

Supposons  de  nouveau  que  nous  ayons  doux  facteurs  et  que  nous  écrivions 

_/-!-   C  p   =   V^'f*!, 

et  supposons  de  plus  /;  =  o. 

Je  dis  que  la  courbe  /-j-Ccp  =  o  ne  sera  indécomposable  pour  aucune 
valeur  de  C. 

Soit,  en  effet,  â  le  plus  grand  commun  diviseur  de  n\  et  de  n.,  et  posons 

«',  =  j3|S.        tt'.^  =  [3j3, 
«■j  =  c'i"',  11',=  ('P'; 

les  deux  polynômes  iv,  et  iv^  seront  de  même  degré,  à  savoir  de  degré  (3|p.iâ. 
Soit  k  une  constante  arbitraire.  Etudions  la  courbe- 

ii'i  —  k  iv-i  =  o. 
Elle  sera  de  degré  Pi  P2  ô. 

Voyons  comment  elle  se  comportera  dans  le  voisinage  d'un  nœud   mono- 
critique. 

On  pourra  écrire,  si  .^0,  Voi  ^n  sont  les  coordonnées  de  ce  nœud, 

.<■,  =  ^v,  n,(x';-,  X'').       »•,  -  w,  n.,{\^;.  x!t), 

Wi   et  W.  étant   deux   séries    ordonnées  suivant    les    puissances  de  ^ % 

y  — -ti;  et  ne  s'annulant  pas  au  nœud  considéré.  II,  et  II^  sont  deux  polynômes 

Z  Za 

homogènes  en  XiJ-  et  Xy,  ;  II,  est  de  degré  PjA',  et  IL  de  degré  (S,  À!.. 


Mais  on  a  (puisque  //  ^=  o) 


x;  _  n\ 


5'2    SUR  l'intégration  algébrique  des  équations  différentielles  du  premier  ordre. 
ce  qui  permet  d'écrire 

£  étant  un  entier. 

Donc  les  deux  polynômes  II,  et  Ho  sont  de  même  degré  (3,(32E- 

Quel  est  alors,  au  nœud  considéré,  le  nombre  des  points  d'intersection  de  la 

courbe 

«■,  —  ^  H'.,  =  w,  n ,  —  A  Wî  n,  =  o 

avec  une  branche  de  courbe 

Xlf  =  const.X:;? 

Il  sera  au  inuins  égal  à  (SipiE^uv,  et  le  nombre  des  points  d'intersection  des 

deux  courbes 

ir,  —  k  H'2  '—  o,        y-KCç  =  o 

est  au  moins  égal  à  a|3,  ^Sj  sfjLV. 

Si  les  deux  polynômes  iV)  —  /.iCj,  _/ '  + C9  n'avaient  aucun  fadeur  comiiuin, 
le  nombre  total  des  poiuts  d'intersection  des  deux  courbes  devrait  être  p^i,  j3^ô. 

Nous  venons  de  voir  que  le  nombre  des  poiiils  d'intersection  silués  aux  meuds 
est  au  moins  égal  à  S  À  [3,  Ci-,  £p.v. 

Mais  nous  avons 

p  =  a'i  ii\  ~  a'.j/i'.^,  X  =  a\  a\  -+-a!,X!,, 

ce  qui  montre  que 


et  comme  on  a 
il  viendra 


/>  0  =  S  X  £  ]J.V. 


Le  nombre  des  points  d'intersection  situés  aux  noeuds  sera  donc  au  moins 
égal  à  jo  (3,(32  0. 

Considérons  un  point  quelconque  de  f -j-  Cep  =--  o  situé  eu  dehors  des  nœuds; 
on  peut  toujours  choisir  la  constante  k  de  façon  à  faire  passer  par  ce  point  la 
courbe  w,  —  A"(V2==o.  Le  nombre  total  des  points  d'intersection  devient  alors 
supérieur  à  y^(3i(3.,ô,  de  sorte  que  / -+-  Co  et  w,  —  ÂiVj  doivent  avoir  un  facteur 
commun.  Si  /  +C9  est  supposé  irréductible,  «',  — Air^  sera  divisible  pary  +  Co. 

Avant  trallrr  plus  loin,  il  est  nécessaire  qu(!  je  démontre  un  lemme  : 

Soient  X  et  \  deux  polynômes  homogènes  de  même  degré  en  t,  v,  s  et 
a  une  constante  (juelconr/ue.  Si  la  courbe 

X  — aV  =  (. 


SUR  l'intégration  algébrique  des  équations  différentielles  du  premier  ordre.     53 

est  dècomposable  quelle  que  soit  la  constante  x,  les  deux  polynômes  X  et  Y 

sont  des  polynômes  homogènes  et  de  même  degré  par  rapport  à  deux  autres 

polynômes  c,  et  n  qui  sont  eux-mêmes  homogènes  et  de  même  degré  en  x,  y 

et  z.  De  plus,  la  courbe 

t  —  a  T,  =  o 

n'est  pas  dècomposable  quelle  que  soit  la  constante  a. 

En  effet,  soil  IN  lu.  degré  de  X  et  de  Y.  Soient  ensuite,  pour  une  certaine 
valeur  de  a,  n,,  «n,  .  .  . ,  np  les  degrés  des  fadeurs  irréductibles  de  X  —  «Y. 
La  continuité  suffit  pour  montrer  que  It;  nombre  des  facleuis  et  les  degrés  n,, 
n^,  ■  .  .,  rip  seront  les  mêmes  pour  toutes  les  valeurs  de  a  sauf  pour  certaines 
valeurs  que  j'appellerai  singulières  et  pour  lesquelles  quelques-uns  des  facteurs 
pourraient  eux-mêmes  se  décomposer. 

Soit  donc,  pour  une  valeur  non  singulière  de  x, 

X  —  a  Y  =  ZiZï . . .  Z^, , 

le  facteur  Z,  étant  irréductible  et  de  degré  /;,. 

Soil  maintenanl  a'  une  constante  infiniment  peu  différente  de  oc,  il  viendra 

X  — a'Y  =  Z', z:, ...  z;,. 

Le  facteur  Z,'  différera  très  peu  de  Z,;  on  voit  dune  que,  si  l'on  fait  varier  cf. 
d'une  façon  continue,  les  polynômes  Z,,  Z^,  ...,  Z^  varieront  d'uae  façon 
continue. 

Je  dis  maintenanl  que  si  l'on  fait  décrire  à  la  variable  a  des  contours  fermés 
convenables,  les  divers  polynômes  Z,,  Z^,  .  .  . ,  Z^  s'échangeront  les  uns  avec 
les  autres;  je  dis  par  exemple  qu'on  pourra  échanger  Z,  avec  Zj. 

Soit,  en  effet,  x^,  r,,  z,  un  point  de  la  courbe  Z,  =z  o  cjui  ne  soit  pas  un 
nœud;  soit  de  même  X2,   )'2,  :•■>  un  point  de  la  courise  Z^^o.  Faisons  ensuite 

varier  x,  y,   z  depuis  x,,  y,,  z,  jusqu'à  x^,   r2,  z.,;  alors  =<  =  t;  qi'i  esl  une 

fonction  de  x,  y,  .:  décrira  un  contour  ft'rmé,  et  quand  ce  contour  sera  décrit, 
il  esl  clair  que  Z,  se  sera  échangé  avec  Zo. 

Les  polynômes  Zi,  Zo,  .  .  . ,  Z^  sont  donc  de  même  degré,  de  sorle  que  N  esl 
un  multiple  de  n, . 

Il  resle  à  établir  que  l'ensemble  des  courbes  Z,  =  o  qui  dépendent  du  para- 
mètre arbitraire  a,  forment  un  faisceau  linéaire;  or  cela  est  évident  puisqu'elles 
n'ont  pas  d'enveloppe,  même  au  sens  purement  analytique  de  ce  mot. 

Appliquons  ce  qui  [irécède  au  cas  qui  nous  occupe. 


54    SUR  l'intégration  algéhriqde  des  équations  différentielles  du  preuier  ordre. 

Ou  bien  (v,  —  Aii'o  sera  irréductible  sauf  pour  certaines  valeurs  de  k  et  ce 
polynôme  devra  être  alors  identique  à  f-\-Co;  ou  bien  w,  — A-i\\  ne  sera  pas 
irréductible  et  son  degré  devra  être  un  multiple  de  celui  de  son  facteur  irré- 
ductible/+  C9;  on  aura  donc 

Ç  étant  un  entier;  de  sorte  que 

Cette  égalité  n'est  possible  que  si  Ça!, pj  est  divisible  par  [3,,  ou,  puisque  j3i 
et  [Sj  sont  premiers  entre  eux,  si  t:x'.,  est  di\isible  par  |3,.  Mais  si  t^x'.,  est  divisible 
par  S),  il  vient,  puisque  Ç,  a',  et  ^,  sont  essentiellement  positifs, 

PiP2<ra'p,-Ça,p,. 

L'égalité  est  donc  impossible  et  nous  devons  conclure  que  /-î-  C-^  ne  peut 
être  irréductible. 

Si  (loue  /'— C-^  est  irréductible,  sauf  pour  certaines  valeurs  particulières 
de  C,  ce  //ue  nous  /wiivons  toujours  supposer,  les  deux  courbes 

lu  =0  "j  =  '> 

auront  d'autres  points  rommuns  que  les  nœuds. 

Rien  dans  ce  raisonnement  ne  suppose  tjue  u,  et  «2  soient  irréductibles;  si 
donc  on  a  pour  une  valeur  remarquable  de  C 

/-h  C  9  =  H».  (/»>  . . .  iif-  iif;^'. . .  «^' 

il  y  aura  certainement,  en  dehors  des  nœuds,   des   points  d'intersection  qui 
appartiendront  à  la  fois  à  l'une  des  courbes 

H|  =  O,  (/j  =  (),  ....  «,=  0 

et  à  l'une  des  courbes 

"/+!  =  ",  "i+i  =",  .  •  • ,  "X  =  <'. 

Classijicalion  des  valeurs  rcmar</u(ihles  de  C.  —  Nous  distinguerons  les 
valeurs  remarquables  de  C  en  plusieurs  espèces. 

La  première  espèce  comprendra  celles  pour  lesquelles  les  exposants  a,  de 
tous  les  facteurs  irréductibles  «,  seront  égaux  à  1. 

La  deuxième  espèce  comprendra  celles  pour  lesquelles  les  exposants  a,  seront 
premiers  entre  eux,  sans  être  tous  égaux  à  1 . 

La  troisième  espèce  comprendra  celles  pour  lesquelles  les  exposants  st,  auront 
un  plus  grand  commun  diviseur  différent  de  i,  sans  être  tous  égaux  entre  eux. 


SUR    l'intégration    algébrique    des    ÉQl  ATIONS    différentielles    du    premier    ORIlRE.       55 

La  quatrième  espèce  comprendra  celles  pour  lesquelles  il  v  a  plusieurs  fac- 
teurs {/,■  distincts  dont  les  exposants  a,-  sont  tous  égaux  entre  eux  sans  être  tous 
égaux  à  I,  de  telle  sorte  que  /"+ Co  soijt  une  puissance  parfaite  d'un  produit 
de  plusieurs  facteurs  distincts. 

La  cinquième  espèce  enfin  comprendra  celles  pour  lesquelles  /'+  Co  est  une 
puissance  parfaite  d'un  polynôme  irréductible. 

Si  G  est  une  valeur  remarquable  de  l'une  des  quatre  premières  espèces,  la 
courbe  f  ^-  C'y  :=  o  se  décomposera  en  deux  courbes  distinctes  qui,  d'après  le 
paragraphe  précédent,  devront  se  couper  au  moins  en  un  point  en  dehors  des 
nœuds  et  par  conséquent  en  un  col. 

Le  nombre  des  valeurs  remarquables  des  quatre  premières  espèces  est  donc 
au  plus  égal  au  nombre  des  cols. 

.Supposons  que  tous  les  cols  soient  du  premier  ou  du  second  genre  et  soil  C 
une  valeur  remarquable.  Soit 


a/t-  , 


/—  G  9  =  «*■  ««= . . .  "°'';(^;+'  •  r  ■  "? 

l'une  des  courbes  (/,,  U21  ■■■■,  ui  devra  (  ouper  en  un  col  l'une  des  courbes  Ui^,, 
M,V2.  •  •  -,  i>k,  et  comme  le  col  est  du  premier  ou  du  second  genre,  ces  deux 
courbes  devront  correspondre  à  un  même  exposant  x. 

Je  dis  que  l'on  doit  avoir 

a,  =  «2=  .  .  .  =  a/-. 

En  effet,  l'ordre  des  facteurs  u,,  iii,  ...  est  arbitraire;  si  donc  tous  les 
exposants  n'étaient  pas  égaux,  on  pourrait  supposer 

y,  =  3t.2=  ..  .  =  a,,      2;^_i^y.,,      a,,_,  Jîa,.  .  ..  y.<.  5^1. 

Un  des  polynômes  ne  pourrait  donc  pas  avoir  même  exposant  [qu'un  des 
polynômes  «,^i,  11,   2,  .  .  . ,  ii/i. 

Donc,  si  tous  les  cols  sont  du  premier  ou  du  second  genre,  toutes  les  valeurs 
remarquables  seront  de  la  première,  de  la  quatrième  ou  de  la  cinquième  espèce. 

Les  valeurs  remarquables  des  quatre  dernières  espèces  sont  celles  que  nous 
avons  appelées  plus  haut  critiques. 

Application  d'un  théorème  d' Hal/ihen.  —  .le  dis  maintenant  qu'il  ne  peut 
pas  exister  plus  de  deux  valeurs  remarquables  des  trois  dernières  espèces. 

En  effet,   s'il   v   en  avait   trois  on   pourrait  supposer   par   une    substitution 


56    SUR  l'intégration  algébrique  des  équations  différentielles  du  premier  ordre. 
linéaire  que  ces  trois  valeurs  remarquables  sont  o,  i  et  oo,  de  sorte  que 

/,     o     et     —(J-o) 
seraient  des  puissances  parfaites.  Soient 

ces  trois  puissances  parfaites;  on  devrait  avoir  identiquement 

X».  -i-  Y».  •+-  Z«o  =  o, 
X,  Y  et  Z  étant  des  polynômes  homogènes  de  degré 

£-,     P,     P. 

a,'      az'      ïj 

en  X,  y  et  :. 

Or  Halphen,  au  début  de  son  Mémoire  couronné  sur  les  équations  linéaires, 
a  étudié  les  identités  de  cette  forme.  Il  a  montré  d'abord  que  les  nombres  a,, 
izj  et  «3  devaient  avoir  certaines  valeurs  particulières  («,,  2,  2),  (2,  3,  3), 
(2,  .'5,  4),  (a,  3,  5);  il  a  fait  voir  ensuite  qu'on  devait  avoir 

X  =  P,(  7)1,7)2), 
Y  =  Pï(lQl,';2), 
Z    =    P3(V1,,7„), 

P,,  Po  et  P3  étant  des  polynômes  homogènes  en  r,,  et  rio  qu'Halphen  a  complè- 
tement formés  et  qu'il  est  inutile  de  transcrire  ici,  pendant  que  yj,  et  7)2  sont 
deux  polynômes  homogènes  de  même  degré  en  x,  y  et  s. 
Alors  la  courbe 

/-+-  C  o  =  X«i  -4-  CY»:  =  o 

est  décomposable  quel  que  soit  C  en  un  certain  nombre  de  courbes  appartenant 

au  réseau 

■"Il 

—  =con5.l. 

Or  c'est  là  précisément  le  cas  exclu  plus  haut. 

Si  donc,  comme  nous  l'avons  supposé,  /+  C9  n'est  pas  réductible  quel  que 
soit  C,  le  nombre  des  valeurs  remarquables  des  trois  dernières  espèces  ne  peut 
dépasser  2,  et  par  conséquent  le  nombre  total  des  valeurs  remarquables  est 
limité. 

J'ajoute  que,  s'il  y  a  deux  valeurs  des  trois  dernières  espèces,  de  telle  sorte, 
par  exemple,  que 

les  deux  nombres  «,  et  «2  devront  être  premiers  entre  eux,  car  s'ils  avaient  un 


SUR  l'intégration  algébrique  des  équations  différentielles  du  premier  ordre.     57 
facteur  commun,  le  polynôme 

serait  réductible  quel  (|ue  soit  C. 

Nombre  des  nœuds.  —  Supposons  que  tous  les  nœuds  soient  dicritiques,  on 
aura 

d'où,  si  l'on  appelle  n  le  nombre  des  nœuds  et  x  une  variable  quelcon(pie, 

x-p- —  (ni^-2)/Ja7  +  /i  =  S(3;X  —  i)2. 

Le  second  membre  étant  essentiellement  jiosilif,  les  racines  du  trinôme  du 
second  degré  en  x  qui  figure  dans  le  premier  membre  doivent  être  imaginaires 

ou  égales,  ce  qui  exige  que 

(  m  -+-  -i  )i 


4 
De  plus,  si 

(w  -H  ■>.)- 

les  racines  sont  égales  et  le  second  membre  doit  pouvoir  s'annuler,  ce  qui  ne 
peut  avoir  lieu  que  si  tous  les  X  sont  égaux  entre  eux. 

Supposons  maintenant  que  tous  les  nœuds  soient  dicritiques  et  tous  les  cols 
du  premier  ou  du  second  genre;  toutes  les  valeurs  critiques  de  C  sont  des  deux 
dernières  espèces  et  il  ne  peut  y  en  avoir  plus  de  deux.  Soient  y.^  et  a^  les 
exposants  correspondant  à  ces  deux  valeurs  critiques.  On  aura  pour  la  première 
valeur  critique 

^  =  Sa,n,=  a,  S  «i,  S  (y.,— i)  «;  =   (  i  —  —  1 /), 

et  de  même  pour  la  seconde  valeur  critique 

S  («,-,)«,=  ('-^J/'- 

Alors  la  formule 

7?i  +  a  =  •'./)  —  S  (a, — .1)  ni 
devient 

m  +  v.=  '.p—  (i—  ^^P  — 


1  —  -  1/', 


■(---)■ 

\»1  «2/ 


On  aura  de  même  pour  un  nœud   quelconque   et  pour  la  première    valeur 
H.  P.  —  III.  H 


58     SIR  l'intégration  algébrique  des  équations  différentielles  du  premier  ordre. 
critique 


S,a,-,)X.=  (.-^)X: 


■i  = 

•2À  — 2(«r 

-i)li 

•2  = 

-■(r,^ 

..)■ 

rit 

-à)'- 

(«i--.0^ 

ih 

-^r^- 

=  =4", 

i 

(  ni  —  -j 

y  :=    ; 

'■Jl. 

et  pour  la  seconde 

de  sorte  que  la  formule 
devient 

d'où 


ou,  puisque />^  =  S). ■^. 


Liinilatinn  du  t/egrc.  —  Dans  le  cas  où  tous  les  cols  sont  du  premier  ou  du 
second  genre,  il  est  possible  de  Irouvci  une  limite  supérieure  du  degré  /;  et  par 
conséquent  de  reconnaître  si  l'équalion  est  inlégralile  algébriquement. 

Nous  venons  de  trouver,  en  eflfet,  sans  avoir  besoin  de  supposer  que  tous  les 
nœuds  soient  diciltiques, 

d'où 

a,  2j(m  -f-  ■'.)  =/>  (  a,-t-  y-iK 

Or,  X,  et  y.,  sont  premiers  entre  eux  et  par  conséipuni  chacun  d'eux  est  pre- 
mier avec  a,H-ao.  Donc  a,  +  sco  divise  m  -\-  2. 

Nous  devons  en  conclure  que  «,  +  «0  et  par  conséquent  a,,  «■>  et  /'  sont 
imités.  c.   Q.   F.    n. 

Je  m'arrêterai  là,  l)ien  que  les  principes  qui  précèdent  |iuissent  prdliahle- 
ment,  avec  de  légères  modifications,  donner  des  résultats  dans  des  cas  moins 
particuliers. 

l'aiis,  le  li  a\  1  il  1891. 


SUR    L  IMEGRATION   ALGEBRIQUE 


DES 


EQUATIONS  DIFFÉRENTIELLES  DU  PREMIER  ORDRE 

ET  DU  PREMIER  DEGRÉ  ('). 


liendiconli  del  Circolo  Mateniatico  di  Palermo,  t.  11,  p.  igS-aSg  (1897). 


J'ai  pulilié  sur  rr  siiji'l  nii  preinuT  arlu  Ir.  (jni  a  paru  dans  le»  Rendiconti 
drl  Circolo  Matematico  di  Palermo  {l.  V,  aiuiéL-  1891V  Je  nw  suis  occupé  de 
nouveau  de  la  même  question  dans  ces  derniers  temps,  dans  l'espoir  que  je  par- 
viendrais à  généraliser  li's  résultats  obtenus.  Cet  (!spoir  a  été  déçu.  J'ai  obtenu 
cependant  quelques  résultats  partiels,  que  je  prends  la  liberté  de  publier,  esti- 
mant qu'on  pourra  s'en  servir  plus  tard  pour  obtenir,  par  un  nouvel  effort,  une 
solution  plus  satisfaisante  du  problème. 

C'est  à  ce  premier  article  que  je  renverrai  quand  je  parlerai  de  «  la  première 
partie  de  ce  travail  ».  J'adopterai  d'ailleurs  la  mênn'  terminologie  et  les  mêmes 
notations  que  dans  cette  première  partie. 

C'est  ainsi  que  la  lettre  —  représentera  une  sommation  portani  Mir  toutes  les 
valeurs  critiques  de  C  et  tous  les  facteurs  lit.  La  lettre  S  en  caractères  gras 
représentera  une  sommation  étendue  à  une  seule  valeur  critique  de  C  et  à  tous 
les  facteurs  a,-  correspondant  à  cette  valeur.  La  lettre  S  en  caractères  ordinaires 
représentera  une  sommation  étendue  à  tous  les  nœuds. 

Soit  C  une  valeur  remarquable  quelconque  et  soit 

/  -(-  C  o  =  H*'  td-  .  .  .  til''  =  r^'  P*3  .  .  .  r^i- 
l'identilé  correspondante. 

C)  Présenté  le  23  mai  18(17. 


6o      SUR    l'intégration    algébrique    des   équations    DIFFÉBKNTIIiLLES   DU    PREMIER   ORDRE. 

Nous  aurons  toujours  les  relalions 

p  =  S3t,/!,=  S*i"i,         À  =  S  3!;/.;. 

Soient  niainlenanl  H,a  le  nombre  des  points  iJ'inlerseclioii  des  courbes  (^=o, 
f/;i=o  situés  en  des  cols;  et  H)^.  le  nombre  des  points  d'intersection  des 
courbes  t',=  o,  i/(=  o  situés  en  des  cols.  Comme  P/^  o  équivaut  à  h, 
courbes  m,=  o  confondues,  et  ('a=  o  à  hk  courbes  f/A=  o  confondues,  ou  aura 

Hû  =  hihkWiu 

Le  nombre  total  des  intersections  de  ('/=  o,  i'a=  o  sera 

(i)  «;«i(-=  SX^Xiiav -H  H,'x-. 

Celui  des  intersections  de  (',=  o  avec  une  courbe  /+ Ci  9^=0  quelconque 
sera 

pni  =  S  /.).,|Ji'', 

d'où 

ii'i  S  ïl  rn=  S  [  ).;  (XV  S  ai  ).'/t  ] 


ou 


Or 


«/  'l'r  +^  aï  "i  n'/c  =  aï  S  Xr  |xv  -(-^  ai-  S  Xj  Xii-  fxv. 


d'où 

(■->.)  ïîni'-'  =  x,SX/-';j.v  -(-^  ailli;(. 

Soient  X,,  X-,,  ...,  X/,  des  indélerniinécs;  multiplions  l'équation  (i) 
par  2x\o('/^XiX/,,  l'équation  (2)  par  (x'ix'f  et  faisons  la  somme  de  toutes  les  équa- 
tions analogues;  il  viendra 

(3)  [  S  a)  .r  ,/!;]'=  S,av[S>.;.r,X;]  =  — SSa;^^.  H;<.(.r,-— .r/.)"-. 

Le  signe  SS  >e  rajtporle  à  une  sommation  portant  sur  tontes  les  combinai- 
sons des  indices  /  et  k,  chaque  combinaison  intervenant  une  fois. 

La  formide  (3)  est  la  généralisation  évidente  de  la  fornude  ([ui  est  au  début 
de  la  page  5i  (première  Partie). 

D'autre  part 

/ii=  hi/ij,  a,—  -j-  ■ 


Sl'R    1,'lNTÉGRATION   ALGÉBRIQUE    DES    ÉQl'ATIONS    DIFFÉRENTIELLES   Dtl    PREMIER    ORDRE.      6f 

La  formule  (3)  devient  alors 

(36(i)  [S"ï,«,.2-;]==  S.uv  rS2,;r,^  I  — SSa,a/(-  H,a.( j-,— .rx-)'. 

X' 
Le  terme  -^  est  égal  à  >.,•  si  le  facteur  a,  n'est  pas  singulier. 
"(" 

Plusieurs  cas  sont  à  considérer,  suivant  la  nature  de  la  valeur  remarquable  C. 
Si  C  est  de  première  espèce,  les  a,,  les  x'-  et  les  /;,  sont  tous  égaux  à  i  et  l'on  a 
simplement 

[S«,.r,p=  S;.iv[S/.,:r,p— SS  H^i Xi— .T),)'-. 

Si   C  est  de  l'une  des  trois  dernières  espèces  el  que  les  c.  aient  un  diviseur 

commun  ô,  el  si  l'on  pose 

a,=  a';  S. 

on  pourra  diviser  l'équation  (3  bis-)  ])ar  ô-  et  l'écrire 

{'iter)  [S3c"«,-:r,]==  S-Jiv  jSît';.'-,  •^'  |  "— SSstl^  H,<.(.r,  -  .r*.)'. 

Les  coefficients  a"  sont  alors  premiers  entie  eux. 

Recherche  des  valeurs  remarquables.  —  Considérons  une  valeur  remar- 
quable de  C  et  la  relation  (3  bis)  correspondante.  Soit  ij  le  nombre  des  facteurs 
distincts  dans  lesquels  se  décompose  le  polynôme/  J-  Cep;  je  dis  que  le  nombre 
des  cols  qui  interviennent  dans  la  formule  (3  bis)  correspondante  est  au  moins 
égal  k  C]  —  1 ,  de  telle  sorte  que  l'on  a 

Si,  en  effet,  il  n'en  était  pas  ainsi,  on  pourrait  mettre  /'+  Co  sous  la  forme 
d'un  jiroduil  de  deux  facteurs,  qui  ne  seraient  d'ailleurs  pas  forcément  irréduc- 
tibles, et  tels  qu'il  n'y  aurait  pas  de  col  pour  lequel  ces  deux  facteurs  s'annulent 
à  la  fois.  Alors,  d'après  ce  que  nous  avons  vu  dans  la  première  partie  de  ce  tra- 
vail, le  polynôme  /"+ C 9  serait  décomposable  pour  toutes  les  valeurs  de  C,  ce 
que  nous  ne  supposons  pas. 

Pour  nous  en  rendre  compte,  représentons  chacun  de  nos  q  facteurs  par  un 
point,  et  joignons  deux  de  ces  points  par  un  trait,  s'il  existe  un  col  pour  lequel 
les  deux  facteurs  correspondant  à  ces  points  s'annulent  à  la  fois.  S'il  y  a  moins 
àe  q  —  1  cols,  il  y  aura  aussi  moins  de  ^  —  i  traits,  et  il  sera  impossible  d'aller 
d'un  quelconque  de  nos  q  points  à  un  autre  quelconque  de  ces  q  points  en  sui- 
vant les  traits  ainsi  tracés. 


6-2      SUR    L'rNTÉGRATION   ALGÉBRIQUE    DES    ÉQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES   DU    PREMIER    ORDnE. 

Nos  q  points  seront  donc  répartis  au  moins  en  deux  groupes,  de  telle  sorte 
qu'on  puisse  en  suivant  les  traits  aller  d'un  point  d'un  groupe  à  un  autre  point 
du  même  groupe,  mais  non  passer  d'un  groupe  à  l'autre. 

Soit  alors  U  le  produit  de  tous  les  facteurs  h,  correspondant  au  premier 
groupe,  chacun  de  ces  facteurs  étant  affecté  de  l'exposant  a,  correspondant. 
Soit  V  le  produit  de  tous  les  facteurs  h,  correspondant  à  tous  les  autres  groupes, 
chacun  d'eux  affecté  de  son  exposant.  On  aura 

et  il  n'y  aura  p.is  de  col  pour  lequel  U  et  V  s'annulent  à  la  fois. 

Soit  B  le  nombre  des  cols. 

Soient  A,  le  nombre  des  valeurs  remarquables  de  la  première  espèce,  Q,  le 
nombre  lnlal  des  facteurs  correspondants,  c'est-à-dire  la  somme  de  tous  les 
nombres  y  relatifs  à  ces  diverses  valeurs  remarquables  de  la  première  espèce. 

Soient  A.,  el  Q^,  A3  et  Q3,  A,  et  (^).,,  Aj  et  Q5  les  nombres  correspondanls 
pour  les  valeurs  remarquables  de  la  seconde,  de  la  troisième,  de  la  quatrième  et 
de  la  cinquième  espèce. 

D'après  le  résultat  que  nous  venons  d'obtenir,  on  aura 

H  ^Q,  H-  Q»  H-  ».>;,+  Qi-  A,  -  A,-  y-  \. 
et  comme  d'après  la  définition  des  valeurs  des  quatre  premières  espèces 

k'iâ'-'^i-  Qî^-'Aî.  Q:,l>\:,.  Qii'iAi, 

il  viendra 

D'autre  part,   d'après  la  définition  des  valeurs  de  la   cinquième  espèce,  ou 

aura 

Q.=  A,. 

Enfin,  d'apiès  le  théorème  d'Halphen  {/oc.  cil.,  p.  55), 

A,       \.,4-  A.,<-,<.. 

Ces  inégalités  limitent  le  nombre  des  valeurs  remarquables  et  même  les 
nombres  Q,-.  En  elfet,  le  nombre  des  cols  B  est  connu. 

Mais  on  peut  aller  plus  loin.  Soit  une  valeur  remarquable  de  l'une  des  deux 
premières  espèces;  soit 

la  décomposition   correspondante;  je  suppose   quatre    facteurs  pour   fixer  les 
idées.    Les  nombres  a,,   a.j,   x^,    y..,   doivent   être  premiers  entre   eux.   Repré- 


SUR  l'intégration  ai.oébrioue  des  équations  différentielles  du  premier  ordre,    fl'i 

sentons  ces  quatre  facteurs  par  les  ([uatre  points  M,,  Mo,  Ma,  M.,;  ces  quatre 
points  devront  être  joints  au  moins  par  trois  traits  correspondant  cliacun  à  un 
col.  Je  suppose,  pour  fixer  les  idées,  que  ces  trois  traits  soient  les  traits  M,  Mo, 
MjMa,  M3M.,.  A  chacun  de  ces  traits  correspondra  un  col  que  nous  devons 
choisir  parmi  les  B  cols  de  notre  équation  différentielle;  comme  ces  cols  sont 
connus  et  en  nombre  fini,  nous  ne  pourrons  faire  qu'un  nombre  lini  d'hypo- 
thèses. 

Considérons  le  col   qui  correspond  au  trait  M,  Mo,   ses  entiers    caractéris- 
tiques p.  et  V  seront  connus  et  nous  devrons  avoir 


a»         V 
ou  ^  =  —  . 


Nous  n'avons  ici  à  choisir  qu'entre  deux  hypothèses;  il  en  serait  de  même  en 
ce  qui  concerne  les  cols  qui  correspondent  aux  deux  autres  traits  et  les  rapports 

correspondants  —  et  — 

En  résumé,  les  rapports  des  quatre  exposants  y.,  sont  connus,  ou  plutôt 
nous  ne  pouvons  faire  en  ce  qui  les  concerne  qu'un  nombre  fini  d'hypothèses. 

Mais,  si  la  valeur  remarquable  est  de  l'une  des  deux  premières  espèces,  les 
nombres  a,  sont  premiers  entre  eux;  nous  connaîtrons  donc  les  nombres  «, 
eux-mêmes. 

Si,  au  contraire,  la  valeur  remarquable  est  de  l'une  des  trois  dernières 
espèces,  les  nombres  Xi  ne  sont  |dus  premiers  entre  eux;  mais  nous  pouvons 
poser 

le  nombre  â  éLmt  le  plus  grand  commun  diviseur  des  a,;  nous  connaîtrons 
alors  les  nondjres  a]  cpii  sont  premiers  entre  eux,  mais  nous  ne  connaîtrons 
pas  0. 

En  résumé,  au  sujet  du  nombre  des  valeurs  remarquables  des  cinq  espèces, 
du  nombre  des  facteurs  correspondant  à  chacune  d'elles,  des  ex[iosants  «j 
relatifs  aux  valeurs  remarquMbles  des  deux  premières  espèces,  des  nombres  aj 
relatifs  aux  valeurs  remarquables  des  trois  dernières  espèces,  nous  ne  pouvons 
faire  qu'un  nombre  fini  d'hypothèses  :  Les  deux  plus  grands  communs  divi- 
seurs ô|  et  ôo  relatifs  aux  deux  valeurs  reman/uables  des  trois  dernières 
espèces,  si  elles  existent,  demeurent  complètement  inconnus. 

Valeurs  des  m.  —  Adoptons,  au  sujet  du  nombre  des  valeurs  remarquables 


64       SUR    LIMTÉGRATION   ALGÉBRIQUE    DES   ÉQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES    DU    PREMIER    ORDRE. 

de  chaque  espèce,  de  même  qu'au  sujet  des  exposants  a,-  ou  a-,  une  des  hypo- 
thèses en  nombre  fini  que  nous  pouvons  faire.  Il  nous  reste  à  déterminer  les 
deux  nombres  ô,  et  èo,  les  deux  nombres  p  et  1,  ainsi  que  les  nombres  rt,-  et  X,-. 

D'un  autre  côté,  nous  ne  pouvons  faire  qu'un  nombre  fini  d'hjpolhèses  au 
sujet  de  ceux  de  nos  facteurs  qui  sont  critiques  ou  hjpercritiques  ou  double- 
ment singuliers  par  rapport  aux  divers  nœuds.  Ces  hypothèses  pourront  être 
examinées  successivement.  Nous  adopterons  donc  l'une  d'entre  elles;  les 
nombres  //,■  pourront  alors  être  regardés  comme  connus,  ainsi  que  les  rapports 
des  exposants  a]-. 

Nous  aurons  alors,  pour  déterminer  les  nombres  «,,  les  relations  suivantes 

Ces  relations  peuvent  suffire  si  le  nombre  des  valeurs  remarquables  de  C 
n'excède  pas  2.  Dans  ce  cas,  en  effet,  ou  aura 

p  =  Sai«, 

pour  chacune  des  deux  valeurs  remarquables,  et,  en  additionnant  les  deux  équa- 
tions ainsi  obtenues,  il  viendra 

■ip  =^o,«,. 

Eu  remplaçant  dans  l'équation  qui  donne  m  +2,  on  trouve 
m  -h  2  =  ^  Xj/ij  —  ^   (a, —  i)"i  =  ^  'U- 

Les  nombres  n,  et  le  degré/)  sout  donc  limités. 

Mais  il  n'en  est  plus  de  même  si  le  nombre  des  valeurs  remarquables  est 
supérieur  à  2.  H  y  a  lieu  de  se  demander  alors  si  les  équations  (4)  comportent 
une  infinité  de  solutions  en  nombres  entiers. 

Discutons  cette  question,  en  considérant  d'abord  les  exposants  «,  comme 
donnés. 

Soient  <y  le  nombre  des  valeurs  remarquables;  C,,  Cj,  .  .  .,  C,^  ces  valeurs; 
R  le  nombre  des  facteurs  relatifs  à  Ca-  Soient 


xl,        x-^,        ...,       'J.\ 

ni,     >q,      ...,     n 


les  valeurs  des  nombres  a,  et  n;  correspondant  à  ces  K  facteurs. 
Rangeons-les  de  façon  que 

«l<a|<...<oc^ 


SUR   l'intégration   algébrique    des    équations    DIFFERENTIELLES    DU    PRKMIER    ORDRE.      6i 

Les  équations  (4)  nous  donnent  alors 

N   11,=  iq  —  i^p  +  m  -+-  2. 

D'autre  part,  si  «i,  a-j,  .  .  . ,  a^  sonl  q  nombres  positifs  tels  que 

« I  —  rt,  -H  ...—  «,/  =  q  —  i, 

on  aura 

(gr  — 2)/5  =  a,Sa'|  n\  +  ajSaî,  «!j -h  .  .  .+  a  g  S -^Ij  n'^  ^ 

d'où 

(5)  'V  «,=  «iSz'i  n\  -h.  .  .-+-  a^Sy-l^iil^-r-  m  -+■  i. 

L'équation  (5)  est  évidemment  impossible  si  l'on  peut  choisir  les  nombres  a^ 
de  telle  sorte  ([ue  l'on  ait  à  la  fois 

a,  a  ]  >  I ,  a,  ai  >  I .  ....  a,/  x^  >  i  ; 

c'est-à-dire  si  l'on  a 

I  I  I 

Donc,  pour  que  les  équations  (4)  admettent  des  solutions,  il  faut  que 

Maintenant,  dans  quels  cas  les  équations  (4)  admettront-elles  une  infinité  de 
solutions?  Pour  cela  il  faut  et  il  suffit  que  les  équations  (homogènes)  en /?  et 
en  «,, 

admettent  des  solutions  positives. 

Si  l'on  peut  trouver  des  nombres  au  tels  que 

(6)  «i-xl  <  i<«iï!t         (/>:  =  I,  -i,  •••,  î), 

a, -H  «; -t- .  .  .  ^  or,/ =  17  —  2, 

il  est  clair  que  les  équations  (4  6«)  admettront  des  solutions  positives;   on 
pourra,  en  effet,  satisfaire  aux  conditions 

(7)  S/i/' =  a,Sa/ni',         S«r  =  «îSa?/!r.  ■•••         S/if  =  a,Sa?/i;'. 

Réciproquement,  pour  que  les  équations  (4  bis)  admettent  des  solutions  posi- 
tives, il  suffit  que  les  équations  (7)  en  admettent,  les  nombres  ai  étant  convena- 
blement choisis;  il  suffit  donc  que  l'on  puisse  satisfaire  aux  conditions  (6). 
H.  p.  —  m  .  9 


66      SUR    l'intégration   ALGEBRIQUIi:    DES    ÉQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES    DU    PREMIER   ORDRE. 

Mais  pour  qu'on  puisse  satisfaire  aux  conditions  (6),  il  faut  el  il  sufiil  qu'on 
ait  à  la  fois  l'inégalité 


II  I         V^    1 

(à)  -tH r-f-...H--;=>-7>«  —  i 

^    '  a  a.  a,',       ^  al.        ^ 


et  l'inégalité 

(8)  2i<9--^- 

En  résumé,  si  les  inégalités  (5)  et  (8)  ont  lieu  à  la  fois,  les  équations  (4) 
admettent  une  infinité  de  solutions. 

Si  l'inégalité  (5)  a  lieu  seule,  elles  peuvent  en  eomporter  un  nouibic  lini  ou 
n'en  comporter  aucune. 

Si  enfin  l'inégalité  (5). n'a  pas  lieu,  elle>  n'en  admettent  aucune. 

Nous  avons  supposé  jusqu'ici  que  les  nombres  a,-  étaient  connus.  Cela  est 
vrai  en  ce  qui  concerne  les  valeurs  remarquables  des  deux  premières  espèces. 
Mais  cela  n'est  plus  vrai  s'il  existe  des  valeurs  des  trois  dernières  espèces.  En 
ce  qui  concerne  ces  dernières,  nous  ne  connaissons  que  les  a,,  mais  nous  ne 
connaissons  pus  les  deux  plus  grands  communs  diviseurs  ô,  et  o,,  relatifs  aux 
deux  valeurs  des  trois  dernières  espèces  qui  peuvent  exister.  Posons  alois 


A.,=2 


la  sommation  s'étendanl  seulement  aux  valeurs  des  deux  premières  espèces. 
Soit  -V-  le  plus   petit  des  nombres  a"  relatifs  à   la  première  des  valeurs  des 

trois  dernières  espèces,  si  cette  valeur  existe;  si  elle  n'existe  pas,  nous  ferons 
A,  =  o. 

Soit  de  même  -r-  le  plus  petit  des  nombres  a"  iclatifs  à  la  seconde  valeur  des 

trois  dernières  espèces;  si  elle  n'existe  pas  nous  prendrons  Ao^u.  Nous  pou- 
vons toujours  supposer  A,  >  Aj.  L'inégalité  (5)  devient  alors 

.     ,    A,    ,    A, 


6,    "'■'^- 


Si  A„  >  ^  —  a,  l'inégalité  sera  satisfaite  (|uels  que  soient  les  nombres  o,  et  âj. 

Si  A|,-|-A|>^  —  2,  A(,  +  A2<(/  —  2,  on  pourra  prendre  ô^  aussi  grand 
qu'on  voudra,  mais  ô,  sera  limité. 

Si  Ao+  A2>  ^  —  2,  Ao<^q  —  2,  on  pourra  prendre  l'un  des  deux  nombres  è, 
et  Ô2  (mais  non  tous  deux  à  la  fois)  aussi  grand  que  l'on  voudra. 


SIR  l"i\tÉ(;ration  algébrique  dks  équations  différentielles  du  premier  ordre.  67 
Si  enfin  A|,+  A,  <  ^  —  2,  les  deux  nombres  ô,  el  oo  seront  tous  deux  limités. 
Ainsi  donc,  dans  le  cas  où  l'on  aura 

A,,-!-  A,<  o  —  2 

el  où  l'inégalité  (8)  ne  sera  pas  satisfaite,  même  dans  l'hypothèse  ô,=ô..  =  o, 
on  ne  pourra  faire  au  sujet  des  nombres  ô,  et  ôo  qu'un  nombre  fini  d'hypothèses 
et  les  équations  (4)  n'auront  qu'un  nombre  fini  de  solutions. 

Le  degré  p  est  donc  limité. 

Il  existe  donc  des  cas  très  étendus  où,  comme  dans  celui  que  j'ai  examiné 
dans  la  première  partie  de  ce  travail,  le  degré  p  est  limité  et  où,  par  conséquent, 
le  problème  de  l'intégration  algébrique  peut  être  regardé  comme  résolu. 

Valeurs  des  À,.  —  Les  nombres  >,,  doivent  satisfaire  à  certaines  équations 
tout  à  fait  analogues  aux  équations  {\). 

Considérons  d'abord  un  nœud  dicritique,  nous  devrons  avoir 


(9)  /,  =  Sa,X,,  ..  =  9./,— V 


^a 


(2,-1  )/.,. 


Les  équations  (9)  tout  à  fait  aualogues  aux  équations  (4)  se  discuteraient  de 
la  même  manière,  et  cette  discussion  conduirait  au  même  résultat. 

Si  les  inégalités  (5)  et  (8)  ont  lieu  à  la  fois,  les  équations  (9)  admettent  une 
infinité  do  solutions. 

Si  l'inégalité  (5)  a  lieu  seule,  elles  peuvent  en  comporter  un  nombre  fini  ou 
n'en  comporter  aucune. 

Si  l'inégalité  (5)  n'a  pas  lieu,  elles  n'en  admettent  aucune. 

Envisageons  maintenant  un  nœud  monocritique. 

Dans  ce  cas  la  première  équation  (6)  doit  être  remplacée  par  la  suivante 

(^bis)  >.  =  S3(,/.,-i-3,2|  f -i  —  I  j  —  ;,ï,  ^-  —  ij: 

y.i  est  l'exposant  du  facteur  critique,  aj  celui  du  facteur  hypercritique;  e.^  est 
égal  à  o  ou  à  i,  suivant  que  le  facteur  critique  correspond  ou  non  à  la  valeur 
remarquable  envisagée,  el  £.>  est  défini  de  la  même  manière  en  ce  qui  concerne 
le  facteur  hypercritique. 

De  même,  la  seconde  équation  (9)  doit  être  remplacée  par 

(.9  'e')  (iÀ  —  ^î  i  —  a,  /  I—  -  j  H-  aJ  I—  -  j  =2(a(  — j)À,-. 


68      SUR    l'iNTÉCRATION   algébrique    des   équations    différentielles    du    premier    ORIIRE. 

Nous  avoQS  q  équations  (gbisj  correspondanl  aux  ^  valeurs  remarquables;  en 
les  addilionnanl  cm  trouve 

et  en  combinant  avec  (9  ter) 

(10)  "S^Xi^iq  — ■!)'/. -^-2. 

Soient  encore  t/,,  a>,  ...  .,  a^,  q  nombres  positifs  tels  que 

«1  ^  a«  -H .  .  .  +  a,i  =  y  —  2. 

Désignons  par  Â]^  les  nombres  >.,  lelatifs  à  la  valeur  remarquable  Ct,  de  même 
que  nous  avons  désigné  par  n^  les  nombres  ni  relatifs  à  celle  valeur  remar- 
quable C/;. 

Nous  pourrons  écrire 

•  ^  À,-  =  «  I  >   -j.}  /.  ',  -t-  a,_S   -4  '/.f  +  .  ■  -^  "'/^  ^1  "'■  '! 
-t-  a,  2,  ( I  J  --  c(^  X;  ( 1  J  -^  >.  ; 

a\  est  celui  des  nombres  a^  qui  se  rapporte  à  la  valeur  remarquable  correspon- 
dant au  facteur  critique,  et  a!,  est  défini  de  même  par  rapport  au  fadeur 
hypercritique. 

Pour  que  les  équations  [gbis)  et  (g  1er)  admellenl  uue  infinité  de  solutions, 
il  faut  et  il  suffit  que  les  équations  (homogènes) 

À=Sï,/.|,  -2  X    =  ^     {3.,  II/., 

admettent  des  solutions  positives,  c'est-à-dire  que  les  inégalilés  (5  j  et  (8)  aient 
lieu . 

Si  l'on  observe  maintenant  que  les  nombres  X,-  el  «,•  ne  sont  pas  indépen- 
dants, mais  qu'ils  sont  liés  par  les  relations  (3)  el  (3  bis),  on  pourra  espérer 
que  nos  équations  (4),  {(^bis)  et  (g  ter)  n'admettront  qu'un  nombre  fini  de 
solutions  compatibles  avec  les  relations  (3)  alors  même  que  les  inégalités  (5) 
et  (8)  auraient  lieu. 

Mais  cet  espoir  serait  trompé  en  général;  on  serait  conduit  à  une  discussion 
qu'il  est  inutile  de  développer  ici  et  qui  conduirait  à  la  résolution  d'une  équa- 
tion de  Pell  ou  d'une  équation  analogue.  L'équation  de  Pell,  on  le  sait,  admet 
une  infinité  de  solutions. 


SUR  l'intégration  algébrique  des  équations  uifférentielles  du  premier  ordre.    69 

Cas  fies  neuf  nœuds  dicritiques.  —  On  se  trouve  doac  en  présence  de  dif- 
ficultés que  je  n'ai  pu  encore  surmonter.  Je  me  bornerai  ici  à  traiter  un  cas 
particulier  simple,  où  la  nature  de  ces  difficultés  apparaît  clairement,  bien 
qu'on  puisse  en  triompher. 

Supposons  m  =  4  et  que  tous  les  nœuds  soient  dicritiques.  D'après  c(^  que 
nous  avons  vu  dan^  la  première  partie  de  ce  travail,  le  genre  des  courbes 

/— C?  =  n 
sera  égal  à  i . 

D'autre  part,  le  nombre  des  points  singuliers  sera 

m-  -f-  m  -I-  i  =  2 1 . 

Je  supposerai  que  ces  21  points  singuliers  sont  p  nœuds  dicritiques  et 
12    cols. 

Par  les  9  nœud>  je  puis  faire  passor  une  cubique.  Soit  p  le  degré  de  la 
courbe  f-\-Co  =  o;  elle  aura  avec  la  cubique  3/?  points  d'intersection  dont 
un  certain  nombre  seront  confondus  avec  les  nœuds.  Si  l'on  envisage  les 
g  nombres  1  relatifs  aux  g  nœuds  et  la  somme  SX  de  ces  9  nombres,  on  aura 

ip  =  S  À  —  h, 

h  étant    le   nombre  des    points   d'intersection   mobiles   situés   en   dehors   des 

nœuds. 

On  aura  d'autre  part 

/)==  SX-. 
d'où 

(  .'•=/)= -f-  6j:p  —  9)  =  Six-X'-^ïA-X-hl)-*-  ixfi, 

c'est-à-dire 

(n  (.r/i -H  3;==  S(.7-). -i-i)=-f- 2x/(. 

D'autre  part,  on  a,  en  appelant  q  le  genre  de  la  courbey  +  C9  =  o, 

(/'  —  ')(/'  —  •'-'  ^.  3  '■  '  >■  —  ■  .>  ^ 

2  "  "         2         '^  1' 

ou  • 

/'-  —  3 /)  -(-  2  =   s  À=  —  S  À  -4-  2  (/, 

ou  enfin 

2(y  —  I  )  -t-  A  =  o, 

ce  qui  conduit  à  deux  solutions 

<7  =  ij         h  =  o         ou  y  =  o.         h  =  1. 

C'est  la  première  qui  convient,  puisque,  y  :=  i  d'après  ce  que  nous  avons  vu 


70      SUR    l'intégration    algébrique    des    EQUATIONS    DIFFERENTIELLES    DU    PREMIER    ORDRE. 

dans  la   première   partie;   on  a  donc  h  =^  o  et  la    cubique   n'a   pas    de    point 
d'intersection  mobile   avec  les  courbes  y+Ccp^o.  L'équation  (i)  se  réduit 

donc  à 

(x/7H-3)=  =  S(:i;X^i):; 

et  en  faisant  x  =^ et  multipliant  par  p- 

S(  3À— /j)==  o, 

ce  qui  montre  que  tous  les  ),  sont  égaux  entre  eux  et  égaux  à  ^■ 

Soient  «I,    Ho,    ...,   u,j  les   arguments   elliptiques   des    neuf  nœuds  sur  la 

cubique,  on  devra  avoir 

S  X  «  ^  o, 

c'est-à-dire  égale  à  une  période  (des  fonctions  elliptiques  envisagées").  Donc 
S«  est  égal  à  une  période  divisée  par  À,  c'est-à-dire  par  ^• 

Si  nous  connaissons  l'équation  différentielle,  nous  connaîtrons  les  neuf  nœuds, 
nous  connaîtrons  donc  la  cubique  et  les  neuf  arguments  elliptiques  u.  Nous 
verrons  donc  si  S  m  est  commensurable  avec  une  période.  C'est  là  une  condition 
nécessaire  pour  que  l'intégration  algébrique  soit  possible. 

Supposons-la  remplie,  le  nombre  /.  est  par  là  même  connu. 

Considérons  8  de  nos  nœuds,  peut-on  conslruire  une  courbe  de  degré  3X 
admettant  ces  8  nœuds  comme  points  d'ordre  ).? 

Une  courbe  de  degré  3>.  est  déterminée  par 

3/.(3X-t-3) 

points.  D'autre  part,  un  point  multiple  d'ordre  7.  compte  pour 

)-(X-)-i) 

conditions.  Il  nous  restera  donc 

9^(>--t-')  _  g  X(?.H-i)  ^  À(À^  i) 

2  1  ■> 

points  disponibles. 

Imposons-nous  encore  que  le  neuvième  nœud  soit  un  point  multiple 
d'ordre  ).  —  i ,  ce  qui  fait 

conditions;  il  reste 
conditions. 


A(,A  — I) 


>■(>■  -Hl)  _  >-(>■  — 1)   ^  ^ 


Sun    l'intégration    algébrique    des    équations   DIFFÉRENTIKLLES    DU    PREMIER    ORDRE.       "I 

Menons  par  le  neuvième  nœud  ),  —  i  droites  quelconques  non  tangenles  à 
la  cubique,  et  imposons-nous  que  ces  >  —  i  droites  rencontrent  la  courbe 
d'ordre  3X  en  >,  points  confondus.  De  sorte  que,  ou  bien  le  neuvième  nœud 
sera  encore  un  point  multiple  d'ordre  >.,  ou  bien  ces  1  —  i  droites  seront  les 
1  —  i  tangentes  à  la  courbe  au  neuvième  nœud.  Cela  fait  encore  1  —  i  condi- 
tions, il  nous  restera  donc  encore  un  paramètre. 

Gela  posé,  les  gX  points  d'intersection  de  la  cubique  avec  la  courbe  d'ordre  SA 
seront  1  points  confondus  avec  les  huit  premiers  nœuds,  X  —  i  points  confondus 
avec  le  neuvième  nœud,  et  un  point  inconnu. 

Soit  «lo  l'argument  elliptique  de  ce  point  inconnu,  on  aura 

X  (  («1  -h   «2  T  .  .  .  —    (/g  )  -4-  (  À  1  )  «5  -+-  M|  Il  =   O. 

Or,  par  hypothèse, 

S  X  M  ^  <l. 

Donc 

th=  "lo- 

Donc  le  point  inconnu  se  confond  avec  le  neuvième  nœud;  nous  avons  donc 
À  droites,  à  savoir  la  tangente  à  la  cubique  et  les  )i  —  i  droites  construites  plus 
haut,  qui  rencontrent  la  courbe  d'ordre  3>,  en  X  points  confondus.  Le  neuvième 
nœud  est  donc  un  point  multiple  d'ordre  X  de  la  courbe  d'ordre  3Â. 

Nous  avons  donc  délini  un  faisceau  de  courbes  d'ordre  3X  admettant  nos 
neuf  nœuds  comme  points  multiples  d'ordre  X. 

Soit  \\i  ^  o  l'une  de  ces  courbes. 

Cherchons  en  quels  points  cette  courbe  louche  l'une  des  courbes  définies  par 
nos  équations  différentielles,  équations  que  j'écrirai  comme  dans  la  première 
partie 

(2) 

Le  lieu  des  points  où  une  des  courbes  définies  par  les  équations  (2)  peut 
toucher  la  courbe  4*  =  o  est  défini  par 

,  T s  f  d'il        ,,  d'il        ,,  d'h 

(3)  L-T^  -H  Mji  +  N -^  =  o. 

rf.i-  d_y  dz 

Comme  par  hypothèse  L,  M  et  N  sont  d'ordre  4,  et  '^  d'ordre  3X,  le  premier 
membre  de  (3)  est  un  polynôme  homogène  d'ordre 

3À  H-  J. 


d.,- 

dy 

j: 

y 

L 

M 

-•l      SUR    L  INTEGRATION   ALGÉBRIQUE    DES    ÉQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES    DU    PREMIER   ORDRE. 

Le  nombre  total  des  points  d'intersection  de  (3)  et  de  'J;  =  o  est  donc 

9X(X-i). 

Considérons  maintenant  l'un  de  nos  neuf  nœuds  dicritiques.  soient  Xn,  j'o, 
5o  ses  coordonnées;  nous  pourrons  toujours  supposer  que  ce  poin'  n'est  pas 
sur  la  droite  de  l'inlini  j  =:  o,  ce  qui  nous  permettra  de  faire  ^o  =  i . 

Développons  ij/  suivant  les  puissances  de  x  —  Xg  ;,  y  —  Vos;  il  viendra 

•h  =  '\i,-^'hl+t-T-...^'\,,l, 

en  appelant  i^^  un  ensemble  de  termes  homogènes  de  degré  k  en  x  —  XoZ  et 
y — J>'o2,  multipliés  par  ^''-*. 

Le  nœud  considéré  est  un  point  mutiple  d'ordre  >.  de  '^  =  o  et  les  directions 
des  ),  tangentes  sont  données  par  l'équation  homogène 

■h  =  o. 

Développons  de  même 

zL  —  x^a,     3.M— kN 

suivant  les  puissances  croissantes  de  x  —  XoZ,  y  —  ^^uZ^,  il  viendra 

iL    JfN    =   A  3*(j"  .r„  Z)  -H   T),  -1-  T,3  -i-  71,. 

;M— j-N  =  A.zUy  —y„z)-h-r\'^-h  t,,  -t-  t]'.,. 

les  ru  et  les  t)Jj  étant  des  polynômes  homogènes  d'ordre  k  en  x  —  Xo:-.  y  —  VoS 
multipliés  par  z^~''. 

11  est  à  remarquer  que  le  coefficient  A  est  le  même  dans  les  deux  formules; 
c'est  précisément  ce  qui  caractérise  les  nœuds  dicritiques. 

Comment  trouver  les  termes  du  degré  le  moins  élevé  en  (x  —  Xoz), 
(y — y'oz)  dans  le  premier  membre  de  (3)?  Appelons  0  le  premier  membre 
de  (3),  il  viendra 


d' 


ou 


(4)  5e-3ÀN'>  =  (3L  — xN)^  -^(3M-vN)^. 

dX  ■/  '    ^y 

Les  termes  de  degré  le  moins  élevé  du  second  membre  sont  évidemment 

Les  termes  de  degré  le  moins  élevé  de  N  sont   N,,;',   N(,-'    étant  ce  que 
devient  N  quand  on  y  change  x  el y  en  XgZ  el y^z. 


SUR    l'intégration   algébrique    des    EQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES    DU    PREMIER   ORDRE.       ^3 

L'ensemble  des  termes  du  degré  le  moins  élevé  de  0  sera  donc 

Xz3  4-x(3N„-f- A  ). 

Les  1  tangentes  à  la  courbe  0  ^  o  sont  donc  les  mêmes  que  les  >,  tangentes  à 
la  courbe  <]i  =z  o. 

Le  nœud  considéré  compte  donc  pour  '/.{l  +  i)  intersections  elles  neuf  nœuds 
pour  9>,(>,  +  i)  intersections. 

Donc,  ou  bien  les  deux  courbes  se  confondent,  ou  bien  elles  n'ont  pas  d'autre 
point  d'intersection  que  les  nœuds. 

Mais  il  j  n  plus,  je  dis  que  je  puis  loujours^  supposer  que  la  courbe  0  =  0 
admet  nos  neuf  nœuds  comme  points  multiples  d'ordre  ) -|-  i . 

En  effet,  nous  ne  changeons  pas  nos  équations  différentielles  en  changeant  L, 
M,  N  en  L-\-xE.,  M  +  rH,  N  +  .îH  (H  étant  un  polynôme  homogène  quel- 
conque du  troisième  ordre). 

On  change  ainsi  0  en 

Soit  Ui  l'un  de  nos  neuf  nœuds.  Soit  H,;  la  valeur  que  prend  H  en  ce  point  et 
soit   SXAjiJ;).   l'ensemble   des   termes    de   0   qui   sont   d'ordre   X   en   x  —  XqZ, 


Pour  que  la  courbe 


B  -^  3  À  H  'L  =  o 


admette  nos  neuf  nœuds  comme  points  d'ordre  À  -+-  i ,  il  faut  et  il  suffit  que  l'on 
ait  les  neuf  équations 

(5)  H,-i-A,=  o         I /  =  1,  ■)....,  9). 

Peut-on  choisir  les  dix  coefficients  de  H  de  façon  à  satisfaire  à  ces  neuf  équa- 
tions? Il  ne  pourrait  y  avoir  doute  que  si  tous  les  déterminants  formés  à  l'aide 
des  coefficients  de  ces  neuf  équations  à  dix  inconnues  s'annulent  tous  à  la  fois. 
Mais  s'il  était  ainsi,  les  équations 
(5  bis)  H/  =  G 

admettraient  une  double  infinité  de  solutions.  C'est-à-dire  qu'on  pourrait  faire 
passer  par  nos  neuf  nœuds  un  faisceau  de  cubiques  et  que  S«  serait  une 
période. 

Mais  nous  avons  supposé  que  Su  était  commensurable  avec  une  période  et 
de  telle  façon  que  A  soit  le  plus  petit  nombre  tel  que  ISu  soit  une  période. 
Donc,  si  X  >  i ,  Su  n'est  pas  une  période.  Donc  on  peut  satisfaire  aux  équa- 

H.    P.  —  III.  10 


74    siiR  l'intégration  algébrique  des  équations  uifférentielles  du  premier  ordre. 
lions  (5).  Donc,  on  peut  toujours  supposer  que  0  =  o  admet  neuf  points  mul- 
tiples d'ordre  >.  +  i. 

Nous  admettrons  déso^mai^  qu'il  en  est  ainsi. 

La  courbe  0  =  o  est  d'ordre  3(). +  0  et  elle  a,  en  nos  neuf  nœuds, 
9(>. +  i)  points  d'intersection  avec  notre  cubique. 

Nous  sommes  donc  en  présence  de  deux  hypothèses  : 

i"  Ou  bien  la  courbe  0  =  o  se  décompose  en  la  cubique  et  une  courbe 
d'ordre  il; 

2°  Ou  bien  elle  n'a  pas  d'autre  point  d'intersection  avec  la  cubique  que  les 
nœuds.  Mais  alors  on  aurait 

et  comme  on  a  déjà 

À  S  u  ^  o, 

il  viendrait 

S  II  ^s  n, 

ce  qui  est  contraire  à  ce  que  nous  avons  supposé,   puisque  S  (/  n'est  pas  une 
période. 

La  seconde  hypothèse  doit  donc  être  rejetée. 

Donc  la  courbe  0^o  se  décompose;  et  les  deux  composantes  sont,  d'une 
part  la  cubique,  d'autre  part  une  courl)e  d'ordre  3À  admettant  les  neuf  nœuds 
comme  points  multiples  d'ordre  À  et  appartenant  par  conséquent  à  notre 
faisceau. 

Soit  F  =  o  l'éqLuUion  de  notre  cubique,  celle  d'une  courbe  quelconque  du 
faisceau  sera 

a  et  6  étant  des  coefficients  arbitraires  et,  en  oiri't.  In  cubique  prise  l  fois,  fait 
évidemment  partie  du  faisceau. 

On  aura  donc 

e  =  Kl  n'\i  -t-  ùF'''). 

Soit  maintenant 

„       ,  dF       „  dF       _,  dF 

dx  dy  dz  ' 

9  sera  un  polynôme  du  sixième  degré. 

La  courbe  9  =  o  passe  évidemment  par  chacun  des  nœuds  et  sa  tangente  au 
nœud  est  celle  de  la  cubique;  on  le  démontrerait  comme  plus  haut. 

Les  deux  courbes  9  =  o  et  F=:  o  ont  donc  dix-huit  points  d'intersection  aux 
nœuds;  donc  : 


SUR  l'intégration  algébrique  des  équations  différentielles  du  prehier  ordre.     75 

Ou  bien  9  se  décompose  en  deux  facteurs  dont  F  est  l'un; 

Ou  bien  les  deux  courbes  n'ont  pas  d'autre  point  commun  qu(3  les  nœuds,  ce 

qui  entraînerait  la  congruence 

2  S  u  ^^  o. 

Cette  congruence  n'a  pas  lieu  (si  >.  >  2). 

Donc  d  est  divisible  par  F. 

Soit  donc 

e  =  PF, 

P  étant  un  polynôme  du  troisième  degré. 

Mais  nous  avons  vu   plus  haut  que  les  termes  de   degré  1  en  x — x^z  et 

en  y  —  YoZ  dans  0  sont 

>■  3-' 'h  (3  No -H  A). 

On  verrait  de  même  que  les  termes  du  premier  degré  en  a;  —  XqS  et  y  —  }'„  :■ 

dans  0  sont 

>.3-'Fi(3N„^A), 

en  représentant  par  F,  l'ensemble  des  termes  du  premier  degré  de  F. 

Mais,    d'après    l'hypothèse   faite   plus   haut,    chaque    nœud    sera    un    point 
d'ordre  1  +  i  pour  0  =  o,  et  l'on  a  par  conséquent 

3No+  A  =  n. 

Donc  les  ternies  du  premier  degré  de  9  disparaissent.  Chaque  nœud  est  donc 
un  point  double  pour  9  =  o. 

La  courbe  P  =  o  passe  donc  par  les  neuf  nœuds. 

Si  les  cubiques  P  =  o,  F  ^  o  étaient  distinctes,  on  aurait  donc 

5  K  ^^  n, 
ce  qui  n'a  pas  lieu.  Donc 

6  =  cF:, 

c  étant  un  coeflicient  constant. 

Nous  pouvons  alors  nous  demander  s'il  est  possible,  étant  donné   un  poly- 
nôme F  du  troisième  degré,  de  trouver  trois  polynômes  L,  M,  N  du  quatrième 

degré,  tels  que 

6  =  3F  =  . 

Il  est  clair  que  ce  problème  comporte  une  infinité  de  solutions. 

Soient   P,    Q,  R  trois   polynômes   quelconques  du    second    degré,   si    nous 


76    SUR  l'intégration  algébrique  des  équations  différentielles  du  premier  ordre. 
posons 

,  •  a:  a.r 


il  viendra  évidemmenl 


---'^-^%--%' 


ax  dy  dz 


C'est  d'ailleurs  la  solution  la  plus  générale,  comme  on  s'en  assurerait  en 
remarquant  que  si  L',  M',  N'  sont  trois  polynômes  du  quatrième  degré  satisfai- 
sant à  l'identité 

,,r/F       ..,dY       ...r/F 
dx  dy  dz 

dV  dV 

le  polynôme  L'  devra  .être  égal  à  la  somme  de  -7-  et  de  -7^  multipliés  respective- 
ment par  deux  polynômes  du  second  degré. 

Cela  posé,  donnons  à  nos  polynômes  L,  M,  N  la  forme  (a)  el  cherchons  quels 
seront  les  points  singuliers  de  nos  équations  différentielles.  Ces  points  singu- 
liers sont  donnés  par 

L  _  M  _  >; 
X        y         i 

et  l'on  voit  tout  de  suite  qu'ils  se  divisent  en  deux  catégories. 
Nous  avons  d'abord  neuf  points  satisfaisant  aux  équations 

1      <-/F  d¥  dV 

\  X  —, >-  y  —, h  z  -r-  =  o. 

(  S  )  ;       dx      ■^  dy  dz 

1  X  P     +^Q    -f-  ;  R     =0. 
Nous  avons  ensuite  douze  points  satisfaisant  aux  équations 


P 

Q 

R 

dF~ 

dF     ' 

~    dF 

dx 

dy 

dz 

Les  neuf  premiers  points  sont  sur  la  cubique  F;  ce  sont  eux  qui  devraient 
être  nos  neuf  nœuds  dicritiques. 

Ils  sont  à  rinlcrsectiou  de  F  =  o  avec  une  autre  cubique.  On  aura  donc 


S  «  ^  o. 


SUR  l'intégration  algébrique  des  équations  différentielles  du  premier  ordre.    77 
Le  faisceau /+  Cy  =  o  devra  alors  se  réduire  à  ua  faisceau  de  cubiques 

\'  ■+-  CF,  =  o. 
de  telle  façon  f|ue  1  =  i  . 

On  pourrait,  il  est  vrai,  se  demander  si  l'on  ne  peut  pas  faire  passer  par  ces 
neuf  nœuds  trois  courbes  de  degré  3^,  linéairement  indépendantes  et  admettant 
les  neuf  nœuds  comme  points  multiples  d'ordre  /.. 

On  aurait  alors  non  plus  un  faisceau  mais  un  réseau  de  courbes  d'ordre  3>,, 
et  l'équation  de  ce  réseau  pourrait  se  mettre  sous  la  forme 

F'.-HC'F;-t-  C"*  =  o. 

où  C  et  C"  seraient  des  constantes  arbitraires  et  «I»  un  polynôme  d'ordre  3 A 
indécomposable. 

Mais  cela  est  impossible  ;  soit  en  effet  M  un  point  quelconque  du  plan;  par  ce 
point  passeraient  une  infinité  de  courbes  du  réseau,  formant  un  faisceau.  Deux 
quelconques  de  ces  courbes  se  couperaient  en  gl'^  points  aux  nœuds  et  en  un 
[)oint  au  point  M.  En  tout  9)1'-  +  !  points  d'intersection.  Cela  est  absurde, 
puisque  les  deux  courbes  sont  d'ordre  3  À. 

Ainsi  nous  devons  conclure  que  1  ^  ] . 

Nous  avons,  il  est  vrai,  laissé  de  côte  un  cas;  celui  où  /.  serait  égal  à  2,  où 
l'on  aurait  par  conséquent 

9.  S  «  :e=  o 

et  où  la  courbe  9  =  o,  au  lieu  de  se  décomposer  en  deux  cubiques  dont  l'une 
serait  F  =:  o,  serait  tangente  aux  neuf  nœuds  à  la  cubique  F  =  o. 

Dans  ce  cas  on  peut  construire  un  faisceau  de  courbes  du  sixième  degré 
admettant  les  neuf  nœuds  comme  points  doubles.  Soit  /(  +  C /■•  =  o  l'équation 
de  ce  faisceau.  On  peut,  (|uel  que  soitp,  construire  un  faisceau  de  courbes  de 
degré   6p   admettant    les   neuf  nœuds    comme    points    multiples   d'ordre    2p. 

L'équation  de  ce  faisceau  est 

/('+C/.f=o. 

Mais  on  ne  peut  pas,  pour  la  même  raison  que  tout  à  l'heure,  construire  un 
réseau  de  pareilles  courbes. 

On  doit  donc  supposer  /?  =:  i  et  par  conséquent  le  faisceau  f  +  Go  =  o  ne 
pourrait  être  autre  chose  que  le  faisceau  du  sixième  degré  que  nous  venons  de 
construire. 

Supposons  donc  >,  =  2. 


78    SUR  l'intégration  algébrique  des  équations  différentielles  du  premier  ordre. 

L'équation  du  faisceau  peut  se  mettre  sous  la  forme 

F-  +  Co  =  o, 
9  étant  du  sixième  degré. 

La  valeur  G  =:  o  est  alors  une  valeur  remarquable  de  C. 
Les  équations  connues 

/,i +  ■>  =  ■)/)— ^(a,— l)n,-, 
■>  =  il  — ^(a,— DÀf 

deviennent  alors 

6  =  6À  — (À  —  i)3 — N^(a,— i)rt,, 

■1  =  ■!/.  —  (À  —  l)     — ^    (a, — -l)/.. 

le  signe  2'  représentant  une  sommation  s'étendant  à  tous  les  facteurs  «,  corres- 
pondant à  toutes  les  valeurs  critiques  de  C  autres  que  C  =  o. 
Mais  si  1  ;=  2,  la  dernière  de  ces  équations  se  réduit  à 

>  (     2;    I     lÀ,     =       1. 

Cette  équation  ne  peut  être  satisfaite  que  d'une  seule  manière.  11  ne  doit  j 
avoir,  en  dehors  de  C  =  o,  qu'une  seule  valeur  critique  pour  laquelle  on  aura 

À,  ^  I.  a,  =  2. 

D'autre  pari,  la  première  équation  donne 

>    (a,- —  i)«,=  3: 

ou,  puisqu'il  n'y  a  qu'une  seule  valeur  critique  et  que  a;,'^  2, 

/(,  =  3. 

Ainsi,  pour  cette  valeur  critique,  F^+Cw  doit  se  réduire   au  carré  d'un 

poljnome  du  troisième  degré  F,,  de  sorte  que  la  cubique  F,  ;=  o  passe  par  nos 

neuf  nœuds.  On  aura  donc 

Su^.o. 

ce  qui  nous  ramène  au  cas  précédent. 

Ainsi  dans  ce  cas  très  particulier,  que  j'ai  étudié  peut-être  un  peu  longue- 
ment, nous  sommes  parvenus  à  limiter  le  degré  des  courbes  algébriques 

/  -(-  C  ç  =  o  ; 
mais  pour  cela  les  considérations  purement  arithmétiques  ne  nous  ont  pas  suffi; 


SUR  l'intégration  algébrique  des  équations  différentielles  du  premier  ordre.  79 
nous  avons  dû  recourir  au  théorème  d'Abel,  qui  nous  a  appris  que 

/.S  W  S5  II. 

Cette  circonstance  doit  nous  faire  mieux  comprendre  la  nature  des  difficultés 
à  vaincre. 

Étude  des  points  siii<;ulieis.  -  Dans  le  voisinage  d'un  point  singulier,  il 
existe  deux  séries  que  nous  avons  appelées  X,  et  Xj  et  qui  sont  ordonnées  sui- 
vant les  puissances  de  -  —  — ,  -^  —  —  (loc.  cit.,  u.  3g).  Réciproquement,  on 
peut  égaler  les  différences 

Z  Zti        Z  Zq 

à  des  séries  ordonnées  suivant  les  puissances  croissantes  de  X,  et  de  Xj. 
Soil  alors 

—    =consl. 

l'intégrale  générale  du  notre  équation  différentielle.  Si  nous  divisons  le  numé- 

f        o 
rateur  et  le  dénominateur  par  zP,  le>  quotients  —  et  ^  seront  des  polynômes 


entiers  par  rapport  aux  différences  "^  -—  —> —  ;  ce  seront  donc  des  séries 

z  Zo     z         Zo 

ordonnées  suivant  les  puissances  croissantes  de  X,  et  de  Xo.  Soient  S|  et  S,  ces 
séries,  nous  aurons 

zP  zi- 

et  notre  intégrale  générale  s'écrira 

S, 

—  =  con^l. 

On 

Supposons  d'abord  que  notre  point  singulier  soit  un  nœud  dicritique,  l'inté- 
grale générale  de  l'équation  pourra  s'écrire 

=^  =  cousl. 

s  •  \ 

Donc  F^  est  une  fonction  de  '—■;  elle  ne  changera  pas  quand  on  multi- 
plie X,  et  X,  par  une  môme  constante  A-.  Si  donc  je  désigne  par  Sf  et  S^  les 
groupes  de  termes  homogènes  de  degré/)  dans  S,  et  dans  Sj,  nous  aurons 

^S'H-A^Sf-t-A^S?-!-...  _  S|^S-f-+-S?-... 

*s.j-f-/t2S;j-i-/t3S.»H-...  ~  Si-HS^+si-H...  ■ 

Le  premier  membre  doit  être  indépendant  de  /r. 


8o    SUR  l'intiîgbation  algébrique  des  équations  différentielles  du  premier  ordre. 

D'autre  part,  S|,  S;,  .  .  . ,  S^~'  doivent  s'anauler  ain^i  que  S',,  S^,  .  .  . ,  S'^~\ 
tandis  que  S^'  et  S^  sont  différents  de  zéro  ;  et  en  effet  les  courbes  /+  Co  =  o 
doivent  avoir  au  point  considéré  un  point  multiple  d'ordre  À  à  tangentes  dis- 
tinctes. 

On  aura  donc,  quel  que  soit  A, 

/  _  k'''S)-hk'>-->-^S]+'-h... 

ou,  en  faisant  tendre  k  vers  zéro, 

f=ȱ. 

Ainsi  la  fr'oclion  rationnelle  -  est  le  quotient  de  deux  polynômes  entiers 

homogènes  d'ordre  1  en  X,  et  Xo. 

Considérons    maintenant   un  nœud    monocritique.    L'intégrale    générale    est 

alors  de  la  forme 

\^, 

— i-  =  consi. 

2 

Le  rapport^  ne  doit  donc  pas  changer  quand  on  change  X,  et  X._,  en  X,/»' 

et  XjAl*.  Soit  alors 

A\'i"x;j 

un  terme  quelconque  de  l'une  des  séries  S,  ou  S..;  ce  terme  se  changera  en 

A  X'"  X"  k"''''^"V-  • 

je  dirai  qu'il  est  de  la  classe  m'j-\-na.  Soient  alors  Sf  et  S^  l'ensemble   des 
termes  de  classe  p  de  S,  et  de  Sj;  nous  aurons  encore 

/  _  AS|  -t-  A-Sj-h. . . 
ç  ~  kS'i-hk'-S-i-^...  ■ 

Comme  la  courbe  /■+C-j  =  û  doit  présenter  l  branches  de  courbe  de  la 
forme 

passant  au  point  considéré  (cf.   loc.  cit.,   p.  4-^),  les  premiers  termes,  qui  ne 

s'annuleront  pas  au  numérateur  et  au  dénominateur  de  la  fraction  précédente, 

seront  les   termes  k'V--'SY''  et  /:''^''S''f\  de  sorte   que   nous  aurons,  quel  que 

soit  /. , 

/_  A:>.tivs;'"'^-H... 


SUR    l'intégration    AI.GÉBRlyliE    DES    ÉQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES    DU    PREMIER    ORDRE.       8 1 

et  en  faisant  A  =  o 

o  g/.[J.v 

f 

Ainsi  la  fraction  rationnelle  -  est  le  quotient  de  deux  polynômes  entiers 

homogènes  d'ordre  À  en  X^J'  et  X'. 

Il  reste  à  exiiiniuer  le  cas  d'un  col  (jui  est  un  peu  plus  compliqué. 

Si  l'intégration  algébrique  est  possible,  les  séi  ies  \  ,  et  X.,  existent  certaine- 
ment encore;  l'intégrale  générale  devient 

\'i  \.,  =  consl. 

Donc  ^  ne  change  pas  (piand  on  change  X,  en  A'X,  et  Xj  en  /.^'^Xj.  Un 

terme  en  X'"  X"   est  alors  multiplié   par  !:"'-''-'"-'■  et  peut  êlre  appelé  de  classe 
mv  —  «|U,  seulement  il  peut  y  avoir  des  termes  de  classe  négative. 
Soit  encore 

V  kl'  sr; 


V  /,/'  s/; 

^    ■  - 


F.e  numérateur,  comme  le  dénominateur,  sont  développables  (pourles  valeurs 
de  A-  voisines  de  i)  suivant  ies  puissances  positives  ou  négatives  de  /.  ;  il  eu  est 
de  même  de 

/2/,/'S{,'-9VavS/,'=o. 

Cette  fonction  de  A  devant  être  iiicntiqiiement  nulle,  ne  peut  l'être  (|ue  si 
tous  les  coefficients  du  développement  sont  nids;  on  a  donc 

/  =  El 
?        S{J  ' 

en  choisissant  /)  de  telle  f.içon  que  S('  ne  soit  pas  identiqucmi'nt  nul.  Seule- 
ment ici  S('  et  S;'  peuvent  contenir  une  iulinité  de  termes.  Ce  ne  sont  plus  des 
polynômes,  ce  sont  des  séries. 

Soient  à  nouveau  M,  un  n(cud  quelconque,  /j-i  et  v,  ses  entiers  caractéris- 
tiques, X|,  X,'  les  deux  séries  X,  et  Xo  correspondantes.  Nous  pourrons  tou- 
jours former  ces  deux  séries  à  partir  de  l'équation  différentielle.  Ces  deux 
séries  convergeront  dans  un  certain  domaine  D,  ;  soit  ensuite  A,  un  domaine 
plus  étendu  que  D,;  nous  pourrons  encore  définir  dans  ce  domaine  ies  deux 
fonctions  X|  et  X  '  par  le  procc'dé  de  la  continuation  analytique. 

H    P.  —  111.  ■  Il 


/V  ^<^3 


8-2    SUR  l'intégkation  algébrique  des  équations  différentielles  du  premier  ohdbe. 

Soient  Mo  un  second  nœud,  jjlo  et  v.j  ses  entiers  caractéristiques,  Xj  et  Xi;  les 
deux  séries  X,  et  X2  correspondantes;  elles  convergeront  dans  un  certain 
domaine  D._,  et  l'on  pourra,  par  continuation  analytique,  définir  les  fonc- 
tions X'^  et  X-  dans  un  domaine  plus  étendu  Aj. 

Supposons  que  A,  et  A.,  aient  une  partie  commune;  dans  cette  partie  com- 
mune les  quatre  /onctions  X|,  X',  X',,  X-,  seront  dcliaies  et  nous  devrons 
avoir  une  relation  entre 

^'  =  (-xrr.       ''       ^'=(xf7^- 

Dans  le  cas  où  l'intégration  algéljiique  est  possible,  on  vnil  quelle  est  la 
forme  de  celte  relation  ;  la  fonction  -  doit  être  une  fonction  rationnelle  de  Z, 

d'une  part,  de  Zj  d'autre  part. 

Il  faut  donc  qu'une  fonction  ratiimmlle  de  Z,  soit  égale  à  une  fonction 
rationnelle  de  Zj. 

Soit  Xo,  )■(],  ^u  11»  ]>oint  de  la  partie  commune  à  A,  et  à  Aj  ;  connaissant  nos 
quatre  fonctions  X  dans  cette  partie  commune,  par  c(mtiiiuation  analytique, 
nous  saurons  développer  Z,  et  2,.,  suivant  les  puissances  de  x  —  Xg,  y — j'o, 
z  —  :.„.  Soient  Z"  et  Z"  les  valeurs  de  Z,  et  Z.j  au  point  x„,  j'o,  ^oi  nous  sau- 
rons développer  Z.j  —  '/-,"  suivant  les  puissances  de  Z,  —  Z". 

Nous  aurons  donc  la  relation  cherchée  entre  Z,  et  Zo  sous  une  forme  où  entre 
une  série  infinie,  mais  cela  ne  nous  permet  pas  encore  de  reconnaître  si  l'on 
peut  la  mettre  sous  la  forme  d'une  égalité  entre  deux  fonctions  rationnelles. 

Introduction  i/rs  fonctions  ftichsicnncs.  Considérons  d'abord  un  nœud 
dicritiquc  et  supposons  que  nous.nous  donnions  :  1"  les  valeurs  remarquables  C,, 
Cj,  .  .  .,  Cy;  a"  le  nomlire  À;  3"  les  nombres  >.,  et  les  exposants  y.,  relatifs  aux 
différents  facteurs  correspondant  aux  q  valeurs  remarquables. 

Soit  Ma  l'un  des  communs  multiples  des  exposants  a,-  correspondant  à  la 
valeur  remarquable  Gyt. 

Construisons  un  polygone  fuchsien  R,,  de  la  première  famille  et  du  premier 
genre,  supposons  que  nous  ayons  29  —  2  sommets  répartis  en  (j  cycles.  Le 
premier  cycle  comprendra  un  seul  sommet  A,  ;  le  second,  le  troisième,  etc.,  et 
l'avant-dernier  cycles  comprendront  chacun  deux  souimets  que  j'appellerai  A3 
et  A!,,   A;,  et  A',,    ...,    A,^    ,    et  A„_|,   le  dernier  cycle  comprendra    un    seul 

sommet  A^.  La  somme  des  angles  du  /.'*"'°  cycle  sera  ~  et  il  y  aura  une  fonc- 


SUR  l'intégration  algébrique  des  équations  différentielles  du  premirii  ordre.    83 


tion  fuchsienne  qui  sera  égale  à  Ca  au  point  A/t.  Soit  F(Ç)  cette  fonction  fuch- 

/ 


/  • 

sienne,  égalons-la  à  —  -  et  écrivons 


f  .  ... 

Nous  avons  vu  plus  li;iut  (jue  -  devait  être  une  lonclioii  rationnelle  du  rup- 

port  -^  que  j'appellerai  Z;  nous  aurons  donc  . 

F(Ç)=R(Z), 

R  désignant  une  fonction  rationnelle.  Je  dis  que  Z  sera  une  fonction  uniforme 
de   Ç. 

Si,  en  effet,  F(Ç)  décrit  un  contour  fermé,  plusieurs  valeurs  de  Z  ne  pourront 
s'échanger  que  si  ce  contour  contienl  l'un  des  points  C/i,  et  si  l'on  tourne 
auloui-  d'un  point  Ca  et  que  a^,  y.'l,  .  .  .,  y.*^  soient  les  exposants  correspon- 
dants, nous  verrons  s'échanger,  par  permutation  circulaire,  d'une  part, 
).^  groupes  de  ct-l  valeurs;  d'autre  part,  ')'l  groupes  de  a'I  valeurs,  etc. 

Si  Ç  décrit  un  contour  fermé,  il  faut  d'abord  que  ce  contour  enveloppe  un 
des  sommets  de  Ro,  pour  que  F(Ç)  tourne  aLilour  d'un  des  points  Ca-  Si  Ç 
tourne  autour  d'un  sommet,  F(Ç)  tourne  Ma  fois  autour  de  Ca,  et  comme  Ma 
est  multiple  de  tous  les  exposants  y.[.  Z  revient  à  la  même  valeur. 

Donc  Z  est  fonction  uniforme  de  ï^.  c.   q.   f.   n. 

Or  Z,  pour  une  même  valeur  de  F(Ç),  peut  prendre  >.  valeurs.  Considérons 
donc  A  polygones  fuchsiens  congruents  à  R„,  que  j'appellerai 

K „ ,      I  !  I ,      ....      1  !  /  - 1 . 

L'ensemble  de  ces  polygones  constituera  un  polygone  fuchsien  So-  Ce  poly- 
gone So,  en  associant  convenablement  ses  côtés  en  paires  de  côtés  conjugués, 
L'ngendrera  un  groupe  fuchsien  dont  les  substitutions  n'altéreront  pas  Z. 

Donc  Z  est  fonciion  fuchsienne  de  t. 

La  surface  du  polygone  Ro  (au  point  de  vue  de  la  géométrie  non  euclidienne) 
sera 

en  prenant  pour  unité  celle  du  (piadrilatère  dont  les  quatre  angles  sont  nuls. 
Celle  de  S,,  devra  donc  être 


84      SUR    l'intégration    algébrique    des    ÉOUATIONS   DIFFÉREfiTIEFXES    DU    PREMIER    ORDRE. 

D'autre  pari,  le  nombre  des  cycles  de  ^onimets  de  Sq  sera  en  général 

Ce  nombre  pourrait  se  réduire  si  la  somme  des  angles  relatifs  à  un  de  ces 
cycles  était  égale  à  27:;  on  pourrait  alors  assembler  les  polygones  Ra  de  façon  à 
faire  disparaître  ce  cycle.  Mais  cette  somme  d'angles  est  égale  à 

„      "'■ 

Ml: 

oci  et  Ma  étant  les  nombres  a,  et  Ma  lorrespomlanl  au  cycle  envisagé.  Mais 
comme  Ma  est  un  commun  multiple  (/itc/conijiie  des  jî,-,  je  jiourrai  toujours 
supposer  Ma  >  y.,. 

Nous  pouvons  donc  toujours  supposer  que  le  nombre  des  cycles  de  Sq  est 
précisément  i"/.,. 

Quel  est  le  nombre  des  côtés?  Le  polygone  R^  ,1  2  (y  —  2  côtés;  quand  on  y 
annexe  R,,  on  a  en  tout  2(  zq  —  2)  côtés.  Mais  comme  R,,  a  un  côté  commun 
avec  R|  et  que  celte  paire  de  côtés  disparaît,  il  reste  pour  Ir  polygone  Ro+  R| 

un  nombie  de  C(Més  égal  à 

li  2<y  —  >  )  —  -À . 

Annexons  encore  Rj,  nous  ajoutons  y.q  —  2  côtés;  mais  Rj  a  au  moins  un 
côté  commun  a\ec  Ro+  R|,  cela  lait  une  paire  de  côtés  à  supprimer  et  il  reste 

'S{9.C/  —  -l)  —  2.2 

côtés  pour  le  polygone  R,,  +  R,  -|-  \\.j.  Ce  nomlirc  doit  èlrc  diminué  si  R.,  a  plus 
d'un  côté  commun  avec  R,,  -)-  R| . 
En  général  S,,  aura 

/.(■>(/  —  ■>)  ■!  X  +  2 

côtés,  si  R,  n'a  rpi'nn  côté  commun  avec  R,,  +  R,  +  .  .  .  +  R,_(. 
Dans  le  cas  contraire  ce  nombre  déviait  être  diminué. 
En  général  le  nombre  des  côtés  sera 

À  {/q  —  i  }  —  -AA-i-  ■>  —  1/1, 

h  étant  un  entier  positif  on  nul. 

D'après  une  formule  que  j'ai  ilonnée  dans  les  Acla  macfiematica,  tome  1  ('), 

on  a,  si  2/!  est  le  nombre  des  côtés,  (/  le  nombre  des  cycles,  p  le  genre  du 

polygone  fuchsien 

«  -h  I  —  g 
^=  ^— • 

(')  Œuvres,  t.  II,  p.  l'iy. 


SUR    l'iNIÉGRATION   ALGÉRRIQUE    des    KQIATIONS   DIFFÉRENTIELLES   DU    PREMIER    ORDRE.       85 

Nous  aurons  donc  ici 


OU 

9./) 


A=X(y-2)-f-2-2x,. 

Oi'  nous  avons  trouvé  plus  haut 

^  X,  =  /.(«;  — 2) +  2. 
On  a  donc 

ip  T-  /i  =  o. 

Or  It'S  nombres  p  et  /(  sont  positifs  ou  nuls;  on  a  dune 

/l  =  11,  Il  =  o. 

Ainsi  le  senre  du  polygone  fucltsicn  S,,  est  nul  et  le  nombre  de  ses  côtés 

est   2).  ((7   —  2)+2. 

Il  faudrait  rechercher  maintenant  comment  sont  assemblés  les  divers  poly- 
gones partiels  R^  dont  l'ensemble  compose  So,  et  comment  les  côtés  de  So  sont 
conjugués  deux  à  deux. 

Je  désignerai  par  A,,/,  et  A)  ^  les  sommets  du  polygone  Ra  qui  sont  homo- 
logues aux  sommets  A,  =  A/_„  et  A|=  A,  „  du  polygone  Ro- 

Considérons  alors  le  côté  A, ^/,  A!,  ^,  ou  i)ien  il  coïncidera  avec  un  côté  Ai^/jAj^^ 
du  polygone  R^,  les  deux  polygones  R^  et  R/i  ayant  un  côté  commun,  ou  bien 
ce  sera  un  côté  de  So,  mais  alors  il  sera  conjugué  d'un  autre  côté  A,,,^A3_a 
de   S„. 

Dans  l'un  et  l'autre  cas,  je  dirai  que  l'indice  h  eslle  conséquent  de  l'indice  ^, 
et  l'indice  A  Vuntècèdcnt  de  l'indice  //.  Chacun  de  nos  ).  indices  aura  ainsi  un 
conséquent  et  un  antéci'ilent. 

Consiriérons  alors  la  substitution  T,  qui  change  chacun  de  ces  indices  en  son 
conséquent.  C'est  une  substitution  de  À  lettres,  et  si 


sont  les  nonibix's  y^,  et  À/  relatifs  à  la  valeur  remarquable  C).  les  À  lettres  se 
répartiront  en  ?i[  groupes  de  y.\  lellres,  .  .  .,  en  /.',  groupes  de  y.\  lettres,  .  .  ., 
et  la  substitution  T|  permutera  circulairement  les  lettres  de  chaque  groupe. 

Considérous  niainlenant  le  côté  A!,^A,,^,  il  coïncidera  avec  un  côlé  Ao^Aj/, 
de  Ra,  ou  bien  il  sera  un  côté  de  So  et  sera  conjugué  du  côté  A.j/jA,/,. 


86      SUR    l'intégration   ALGÉBRIQUE    DES    ÉQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES    DU    PREMIER    ORDRE. 

Dans  les  deux  cas,  défiiiissanl  les  conséquents  à  un  nouveau  point  de  vue,  je 
dirai  que  h  est  le  conséquent  de  k. 

J'appellerai  T,  la  substitution  de  ).  lettres  qui  change  chaque  indice  en  son 
conséqucnl. 

On  définirait  de  même  les  substitutions  T3.  T,,  .  .  . ,  T,,  ,  qui  correspondent 
aux  côtés  A|,A'|,  A',A^,  .  .  .,  A|^_,  Aj^  de  la  même  façon  que  T,  et  To  corres- 
pondent aux  cotés  A|  A'3  et  Aj,  A!,. 

Les  q  —  I  substitutions  T^  devront  satisfaire  à  certaines  conditions.  Nous 
avons  déjà  vu  quelles  sont  celles  que  doit  remplir  T,  et  comment  les  lettres 
doivent  se  répartir  en  groupes  tels  que  T,  permute  circulairement  les  lettres 
d'un  même  groupe. 

Soient  mainienant 

U,    x|,    ....    xi;, 

les  nombres  a,:  et  }.,  relatifs  à  la  valeur  C*. 

On  pourra  répartir  les  X  indices  en  groupes  tels  que  la  substitution  Ta  ,  T^' 
permute  circulairement  les  lettres  d  un  même  groupe. 

Nous  devrons  avoir  >.^  groupes  de  y.],  lettres,  ).|  groupes  de  c-l  lettres,  .  .  . , 
).f  groupes  de  zj  lettres  (X'  =  2,  3,  .  .  . ,  q  —  i). 

Soient  endn 

3t^,      a^,      a^, 

^^qy       '•(/>        ....        /.^ 

les  nombres  a,  et  ),  relatifs  à  la  \aleur  C,. 

Les  }.  indices  pourront  se  répartir  en  groupes  tels  que  T^  1  permute  circu- 
lairement les  lettres  d'un  même  groupe. 

Nous  devons  avoir  >,'  groupes  de  a'  lettres,  .  .  . ,  /.^  grouj)es  de  c.^  lettres. 

Une  question  se  pose  alors.  Existe-t-il  des  substitutions  T  satisfaisant  à  toutes 
ces  conditions?  et  par  conséquent  existe-t-il  un  polygone  So? 

Nous  avons  vu  i)lus  haut  que  -  devait  être  une  fonction  rationnelle  de  Z  =  ^ 

./•_.  I'(X„X,) 
?-Q(X„X,)' 

P  et  Q  étant  deux  polynômes  homogènes  d'ordre  ).. 

Soient  C/r  une  valeur  remarquable  quelconque,  Aa  et  Ba  deux  constantes  telles 
que  Ba^  AaGa.  Alors  le  polynôme 


SUR    l'intégration    ALGÉRRIQl'E    DES    KQIIATIONS    DIFFKBENTIELLES    DU    PREMIER    ORDRE.       87 

devra  se  décomposer  en  fadeurs,  et  l'on  aura 

(I)  A,P-hBxQ  =  U^ki5...U^Î, 

{]/,  étant  un  polynôme  d'onli-e  X^'. 

La  question  proposée  revient  alors  à  la  suivante.  Peut-on  toujours  trouver 
des  polynômes  P  et  ()  saliNfiiisant  aux  conditions  (i)? 

Nous  disposons  des  indéterminées  suivantes  : 

1°  Les  2>,  4-  -î  coefficients  des  polynômes  P  et  Q. 

2°    Les  q  constantes  A*,  d'où  l'on  déduit  les  q  constantes  B/,  par  les  équa- 
tions Ba=  AaCa,  li's  C/t  sont  supposés  donnés. 
3°  Les  i(>,iH-  i)  coefficients  des  facteurs  U. 

D'autre  part,  noiis  avons  à  satisfaire  aux  conditions  {\)  qui  sont  des  identités 
entre  deux  polynômes  d'ordre  ) . 

Chacune  d'elles  correspond  donc  à  >.  +  i  conditions,  cela  fait  donc  en  tout 
q('k-\-  i)  conditions. 

Si  donc  nous  appelons  N  le  nombre  total  des  facteurs   U;,  de  telle  sorte  que 

"V  (/.,-<- I)  =V  à,-hN, 

nous  avons 

!\  -t-  2  X  -I-  2  -I-  9  H-V  )., 

paramètres  qui  doivent  satisfaiie  à  q(l  +  i)  conditions  ;  il  nous  reste  donc 

N  -H  2 X  -I-  2  +  (7  -t-^l  '-'  —  <7 (  >-  +  i) 

paramètres  arbitraires.  Or,  en  vertu  des  équations 

ql  =2^  a,X,,  2/.  — N^  (^i—  i)Xi=  2, 

ce  nombre  se  réduit  à  4  +  N. 

Remarquons  que  les  équations  (i)  sont  homogènes  si  l'on  y  regarde  : 

i"  Les  coefficients  de  P  et  Q  comme  étant  d'ordre  ).  ; 

2"  Les  constantes  A/,  comme  étant  d'ordre  7; 

3°  Les  coefficients  d'un  fncteui-  D,  de  degié}.,  comme  étant  d'ordre  2>,,. 

En  effet,  il  est  aisé  de  vérifier  qu'en  adoptant  cette    convention  les    deux 
membres  de  (i)  sont  homogènes  d'ordre  2).. 

Mais  il  y  a  plus,  ces  équations  (i)  sont  doublement  homogènes,  je  veux  dire 


8S       SUR    l'intégration   ALGÉBRlQliE    DES    ÉQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES    DU    PREMIER   ORDRE. 

que,  si  1  et  r)  désignent  deux  indéterminées,  elles  ne  changent  pas  quand  on 
change 

{■>■)  A*,     P,     Q,     U, 

en 

(3)  \ki'.     F'ï;'.     Or/-.     U,Ç'.V-- 

Adjoignons  aux  équations  (i)  d'autres  relations  en  nombre  N  +  2  entre  nos 
inconnues;  je  suppose  que  ces  nouvelles  relations  présentent  la  même  homogé- 
néité double  que  les  équations  (1).  c'est-à-dire  ne  changent  pas  quand  les 
quantités  (2)  se  changent  dans  les  quantités  (3). 

Nous  avons  alors  N  +  2  -j-  q{l,  -\-  1)  équations  homogènes;  le  nombre  total 
des  inconnues  est  N  +  4  +  7(^  ■+  1)  >  mais  ces  équations  étant  doublement 
homogènes  sont  en  réalité  des  équations  entre  les    rapports    des    coefficients 

des  A;[P  et  des  A/rQ  élevés  à  la  puissance  y  et  des  coefficients  des  U,  élevés  à  la 

puissance  r--  Le  nombre  de  ces  rappoils  réellement  distincts  est  seulement 

■     iS -!-■.>. -h  7(5.  +  I). 

Nous  avons  donc  autant  d'équations  (jiie  d'inconnues  et,  comme  des  équations 
homogènes  ne  sont  jamais  impossibli's,  nous  pourrons  tiiiiJDurs  en  tirer  nos 
inconnues. 

Ainsi  si  les  é(jualions  (1)  sou!  distinctes,  les  rapports  de  nos  inconnues 
dépendront  de  N  -|-  2  paramètres  arljitraires  et  nos  inconnues  elles-mêmes  de 
N  +  4  paramètres. 

Si  les  équations  (1)  n'étaient  pas  distinctes,  les  inconnues  dépendraient  de 
plus  de  N -4- 4  paramètres. 

Il  semble  donc  que  notre  prolilème  comporte  toujours  une  infinité  de  solu- 
tions. Mais  il  importe  d'observer  que  ces  solutions  ne  sont  [las  réellement  dis- 
tinctes. 

En  effet,  si  dans  les  polynômes  P,  (^  et  U,  on  remplace  \  ,  et  X.,  par 

aXi^fiX,     et     Y\,-(-i5X,, 

les  équations  (1)   ne  cesseront   pas  d'être  satisfaites.  Or  cette   transformation 
dépend  de  (|iialix'  paramètres  x.  (3,  y,  ô.  Donc  voilà  une  quadruple  infinité  de 
solutions  cjui  ne  diffèrent  pas  essentiellement  les  unes  des  autres. 
D'autre  part,  l'équation  (i)  ne  change  pas  si  l'on  j  change 

L'i,     U,,     Uk,     -V* 


SIR    L  INTEGRATION    ALGEBRK)l  E    DES    EQLATIONS    DIFFERENTIELLES    DU    PREMIER    ORDRE.       89 

en 

,a,U|,     IJ.-.U,,      l^ikLiK,  A/-a*'|x*'- .  .  .  ix^"--. 

Voilà  une  transformation  qui  dépend  des  K  paramètres  jx.  Comme  nous  pou- 
vons opérer  de  même  sur  nos  q  équations  (i),  cela  nous  fait  autant  de  para- 
mètres pi  que  de  facteurs  U,  c'est-à-dire  N.  En  tenant  compte  de  a,  [3,  y,  i5,  cela 
fait  une  transformation  dépendant  de  N  -+-  4  paramétres. 

Nous  aurons  donc  une  (N  -i-  4)"'''''  infinité  de  solutions  qui  ne  différeront  pas 
essentiellement  les  unes  des  autres. 

Si  donc  les  équations  (i)  sont  distinctes,  le  problème  ne  comportera  qu'un 
nombre  fini  de  solutions  essentiellement  différentes. 

Maintenant,  les  équations  (i)  sont-elles  distinctes?  La  considération  des 
fonctiiins  fuchsiennrs  permet  de  l'affirmer. 

Si.  en  effi-t.  les  valeurs  n-marquables  C*  sont  données,  on  pourra  construire 
d'une  seule  manière  le  polygone  fuchsien  Ro  ;  on  pourra  ensuite  assembler 
d'un  nombre  fini  de  manières  /  polygones 

Ro,     H, R),_, 

pour  former  le  polygone  S„. 

C'est  parmi  les  polygones  S,,  ainsi  formés,  en  nombre  fini,  qu'il  faut  choisir 
ceux  qui  conviennent  à  la  question.  Les  considérations  qui  précèdent  montrent 
qu'il  y  en  aura  toujours,  mais  il  ne  peut  y  en  avoir  qu'un  nombre  fini. 

En  résumé,  si  l'on  se  donne  les  valeurs  remarquables  Ca,  si  l'on  se  donne  les 
entiers  À  et  }.,  assujettis  seulemeni  aux  conditions 

À  =  SaiX„         u/.—^(aj  — !)>.,=  2, 

lin  |iiMiria  toujours  formi-i-  1p>  pulynones  P  et  Q  et  le  polygone  Sq  et  l'on  ne 
pourra  le  taire  que  d'un  immbre  fini  de  manières. 

Extension  aux  nœuds  monorriliques.  —  Considérons  un  nœud  monocri- 
tique; soient  X,  et  X._,  les  deux'séries  correspondantes,  et  soit 

Nous  avons  vu  plus  haut  que  —  -  est  une  fonction  rationnelle  de  Z  dont  le 
numérateur  et  le  dénominateur  sont  d'ordre  ). 

-■{=R(Z). 

H.    P,    —    III.  12 


go      SUR    l'intégration    algébrique    des    équations    DIFFERENTIELLES    DU    PREMIER   ORDRE. 

Soit   C/,   une  valeur  remarquable  ;  lorsque tournera  autour  de  C«,   les 

l  valeurs  de  Z  tirées  de  l'équation  qui  précède  s'échangeront  entre  elles.  Soit  u, 
un  facteur  de  /-(-  C^o,  soient  ).,  et  a,  les  deux  nombres  correspondants.  Si  ce 
facteur  n'est  pas  singulier,  nous  aurons  >.,  groupes  de  'a,  valeurs  de  Z,  et  les 

valeurs  de   chacun  de  ces    groupes  s'échangeront  circulairement  quand   —  ^ 

tournera  autour  de  Ca. 

Si  le  fadeur  est  critique,  a,  est  divisible  par  /jl,  nous  avons  alors  >., —  i  groupes 

de  Cf.,  valeurs  de  Z  et  un  groupe  de  -  valeurs  qui  s'échangent  circulairement. 

Si  le  facteur  est  hjpereritique,  a,  est  divisible  parv  et  nous  avons  >,,  —  i  groupes 
de  a,  valeurs  et  un  groupe  de  —  valeurs  qui  s'échangent  circulairement. 

Si  enfin  le  facteur  est  doublement  singulier,  o.,  est  divisible  par  p.v  et  nous 
avons  >., —  2  groupes  de  a,  valeurs,  un  groupe  de  —  valeurs  et  un  groupe  de 
—  valeurs  qui  s'échangent  circulairement. 

Formons  encore   le   polygone  Ro   et  formons  la  fonction  fuchsienne  F(Ç). 

Posons 

F(:)  =  R(Z). 

z  sera  encore  une  fonction  fuchsienne  de  J. 

Le  polygone  S»  correspondant  sera  formé  de  À  polygones  partiels 

R„,     R,,     ...,     R,_,. 

Le  nombri'  des  cycles  de  sommets  est  encore  2),,. 
Celui  des  côtés  sera 

/.  (j.q  —  -1)  —  2  À  -I-  2  —  J.  Il , 
h  étant  positif  ou  nul.  On  en  déduit,  /)  étant  le  genre  de  S», 

Revenons  aux  formules  qui,  dans  la  première  partie  de  ce  travail,  remplissent 
les  lignes  6  à  i  a  de  la  page  45.  Pour  chaque  nœud  monocritique,  nous  aurons 
q  de  ces  formules,  correspondant  aux  q  valeurs  remarquables;  additionnons-les 
il  viendra 


SUR  l'intégration  algébrique  des  équations  différkntielles  du  premier  ordre.     91 
Nous  avons  trouvé  d'autre  pari  (p.  4'^)i  formule  (ô), 

on  tire  de  là 

/.(  7  — 2)-(-  2  =  2_,'>-h 

d'où 

2/)  -f-  A  =  n, 

et  comme /J  et  h  ne  peuvent  être  négatifs 

/)  =  A  =  o. 

On  définirait  comme  piérédemmenl  les  substitutions 

11,         T;,  ....  I  .y—i. 

et  pour  chacune  des  substitutions 

T,,     T.Tt',     T.T^i,      ....     T^T^l,,     T, 

nous  savons  comment  les  ).  indices  se  répartissent  en  groupes  de  lettres  se  per- 
mutant circulairement.  Chacun  de  ces  groupes  correspondra  d'ailleurs  à  un 
cycle  de  sommets  du  polygone  S,,. 

Pourra-t-on  toujours  former  un  polygone  So  satisfaisant  à  toutes  ces  cain- 
ditions? 

Nous  aurons  encore 

P  et  Q  étant  deux  polynômes  homogènes  d'ordre  ),. 
Nous  aurons  encore 

Cependant,  si  le  facteur  U,  par  exemple,  était  critique,  il  faudrait  dans  le 
second  membre  de  (1)  remplacer  U*'  par 

U'i  étant  un  polynôme  homogène  d'ordre  11  —  i.  S'il  était  hypercritique,  il 
faudrait  remplacer  U*'  par 


92    SUR  l'intégration  algébrique  des  équations  différentielles  du  premier  ordre. 
et  s'il  élait  doublement  siiigulier,  il  faudrait  remplacer  U^J  par 

U'i  étant  un  polynôme  homogène  d'ordre  11 —  2. 
De  combien  d'indéterminées  disposons-nous? 

1°  Des  2/,  -)-  2  coeflicients  de  P  et  de  Q  ; 

2"  Des  çf  constantes  A;;; 

3"  Des  coeflicients  des  polynômes  U,  et  l]]. 

Ces  coefficients  sont  au  nombre  de  )i,+  1  pour  un  polynôme  U,,  de  Ij  pour 
un  polynôme  U)-  simplement  singulier,  de  )i, —  i  pour  un  polynôme  U;  double- 
ment singulier. 

Le  nombre  total  est  doue 

^  (  À, -I-  1  )  — -2  =^  Ai  H-  N  — -2, 

en  appelaut  N  le  nombre  total  des  fartcurs. 
Nous  avons  donc  en  tout 

N  -i-  2  X  H-  7  +^  X, 

indéterminées. 

D'autre  pari,  nous  avons  (j  équations  (1)  qui  équivalent  à  ^(}. +  1)  condi- 
liou^,  de  sfute  qu'il  reste 

N  +  2).  —  5FÀ  -t-V  Xi 

paramètres  arbitraires. 
En  vertu  de  l'équalioii 

2X,=  (7  —  2)X  -f-2, 

ce  nombre  se  réduit  à  N  -|-  2. 

Si  donc  les  équations  [i )  sont  distinctes,  le  problème  comporte  une 
(N  4-  2)"P'"  iulinilé  de  solutions. 

Mais  d'une  solution  on  peut  en  déduire  une  (N  -f-  2)"'"'"  infinité  d'autres.  On 
peut,  en  elVet,  sans  cesser  de  satisfaire  aux  équations  (i)  : 


1°  Changer 
en 


Xlf     et     X^ 


■.\^    et     ?\l; 


SUR   l'intégration   ALGÉBBIQIE    DES    ÉQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES    DL'    PR'eMIEK    ORDRE.       QJ 

2°  Changer 

U,,     U,,     ...,     Uk,     ^l: 
en 

;ji,U,,      |X,U, >kUk.      A^fif'lJ.^'  .  .  .a»j. 

Nous  n'avons  donc  qu'un  nombre  fini  de  solutions  essentiellemenl  distinctes. 
Nous  en  aurions  un  nombre  infini  si  les  équations  (i)  n'étaient  pas  distinctes, 
mais  cela  ne  se  peut  pas,  puisqu'on  ne  peut  assembler  les  polygones 

Ro-     Ri R"a— 1 

que  d'un  nombre  fini  de  manières. 

Nou';  arrivons  donc  à  la  même  conclusion  qui/  plus  linut  :  //  r  a  toujours 
des  polygones  S„  et  il  li v  en  <i  jumais  (ju'un  iionihre  Jiiti. 

Le  polygone  Vq.  —  Nous  venons  de  vnir  comment  on  pourrait  construire  le 
polygone  fuchsien  Ro,  ft  comment  il  r\islail  un  |ioljgone  So  correspondant  à 
chacun  des  nœuds  t;uil  die  liliqucs  que  mmiôcriliques. 

Soit  G  le  groupe  fuclisien  engendré  par  R„  ;  soit  g  le  groupe  fuchsien 
engendré  par  Su.  Le  groupe  g  sera  un  sous-groupe  de  (î.  C'est  un  sous-groupe 
«  d'indice  /.  »,  puisque  la  surface  (mm  euclidienne)  de  .Su  est  égale  à  À  fois  celle 
de  Ro. 

A  chacun  des  nœuds  correspondiM  ;lin^i  un  sous-groupe  g.  Soit  F  le  groupe 
formé  des  substitutions  communes  à  tous  les  sous-groupes  g. 

Je  dis  que  F  sera  un  groupe  fuchsien,  c'est-à-dire  que  F  sera  un  sous-groupe 
d'indice  fini  de  G. 

Nous  avons  posé  plu^  fi^iul 

•^  =  -F(:) 


et  nous  avons  vu  que  F(Ç)  devait  être  une  fonction  rationnelle  de 

Z 
dans  le  cas  d'un  nœud  dicrllique  et  de 


X, 


-  rxry 

dans  le  cas  d'un  nœud  monocrilique. 

Soit  alors  A"  le  nombre  des  nœuds  et  soient 

Z,,     Z.,     ...,     Z/- 
les  diverses  fonctions  Z  relatives  à  ces  divers  nœuds. 


g\      SUR    l'iNTKGRATION    At.GÉBRIQUK    DES   ÉQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES    DU    PREMIER    ORDRE. 

Tous  les  Z,  seront  fonctions  fuchsiennes  de  Ç;  et  F(Ç)  sera  fonction  ration- 
nelle de  chacun  des  Z,-. 

A  chaque  valeur  de  F(Ç)  correspondra  par  conséquent  un  nombre  fini  de 
valeurs  de  Z,,  un  nombre  fini  de  valeurs  de  Z.j,  .  .  . ,  un  nombre  fini  de  valeurs 
de  Z*. 

A  chaque  valeur  de  F(Ç)  (ou,  ce  qui  revient  au  même,  à  chaque  point  du 
polygone  Ru),  correspondra  donc  un  nombre  fini  de  systèmes  de  valeurs  des  Z,. 
Soit  A  ce  nombre  fini.  Soient  alors  R,,  R-.,,  .  .  .  les  différents  polygones  fuch- 
siens  congruents  à  R».  Soit  Mo  un  point  de  R,,  ;  soient  M,,  Mo,  ...  les  points 
correspondants  de  R| ,  Rj,  .... 

A  chacun  des  points  M,  correspondra  un  système  de  valeurs  des  Z,.  Soient 
alors 
(5)  M...     M, Ma-, 

À  points  M,  correspondant  à  A  systèmes  différents  de  valeurs  de  Z.  Alors  si  l'on 
considère  un  autre  point  M,,  ce  point  correspondra  au  même  système  de  valeurs 
que  l'un  des  points  (5),  puisque  le  nombre  total  des  systèmes  de  valeurs  est  égal 
à  A. 

Nous  dirons  que  deux  points  M,  sont  équivalents  s'ils  correspondent  à  un 
même  système  de  valeurs  des  Z,  et  que  deux  polygones  R,  sont  équivalents  si 
les  points  M,  correspondants  sont  équivalents. 

Les  substitutions  du  groupe  T  sont  alors  précisément  celles  qui  changent  les 
polygones  R,  en  des  polygones  équivalents. 

On  voit  que  F  est  un  sous-groupe  de  G  d'indice  A. 

Le  polygone  Vu,  qui  engendrera  F,  se  composera  de  l'agrégation  de  A  poly- 
gones R,  Pt  sa  surface  (non  euclidienne)  mtb   \  fois  celle  de  Ro- 

Deux  hypothèses  sont  possibles  : 

Ou  bien  le  polygone  Vu  est  de  genre  zéro,  alors  il  existe  une  fonction  fuch- 
sienne  t,  telle  i|ue  tous  les  Z,  et  -  soient  des  fondions  nilioiinelles  de  ;. 

Ou  bien  le  polygone  Vu  sera  de  genre  plus  graml  (pic  zéro,  et  il  y  iiura  deux 
fonctions  ç  et  n,  liées  par  une  relation  algébrique  et  telles  que  les  Z,  et  -  soient 
fonctions  rationnelles  de  ;  et  de  rj. 

Paris,  le  7  mai  1897. 


SUH 


LES  ÉQUATIONS  DIFFÉRENTIELLES  LINÉAIRES 

A  INTÉGRALES  ALGÉBRIQUES  (' ). 


Comptes  rendus  de  rAccidémie  des  Sciences,  l.  92,  p.  698-701  (ai   mars  1S81). 


Pour  rechercher  quelles  sont  les  équations  différenlielles  linéaires  dont 
toutes  les  intégrales  sont  algébriques,  il  l'aul  d'abord  déterminer  les  groupes 
de  substitutions  linéaires  qui  ne  se  composent  que  d'un  nombre  fini  de  substi- 
tutions. Dans  un  travail  inséré  dans  les  Mémoires  Je  V Académie  de  Naples, 
M.  Joi'dan  donne  une  méthode  générale  pour  résoudre  ce  problème,  et  il 
applique  sa  méthode  aux  équations  des  quatre  premiers  ordres.  Connaissant 
ces  groupes  de  substitutions  linéaires  en  nombre  fini,  il  faut  ensuite  former  les 
équations  différenlielles  correspondantes.  M.  Jordan  insiste  peu  sur  ce  point. 
Je  désirerais  attirer  l'attention  sur  quelques  propriétés  de  ces  équations. 

Bornons-nous  au  troisième  ordre,  pour  fixer  les  idées.  Envisageons  l'un  des 
groupes  découverts  par  M.  Jordan;  su[)posons  que  ce  groupe  G  soit  composé 
de  li  opérations,  qui  consistent  à  changer  respectivement  x,  >',  z  en 

ai  J-  +  bif  H-  Ci  s, 
a'i  X  -i-  h'iy  -+-  c'i  z, 
d'iX  -r-  b",y  -+-  c"i  z 
((■  =  I,  •.>,..  .,  n). 


Posons 


l'(?.^)=-.^"&tl-'  ".(^V)  = 


Soient  A„  B„  C„  A],  B; ,  C) ,  A;',  BJ,  C;'  des  quantités  proportionnelles  à 


(  '  I  Vuir  aux  Notes. 


96  SUR    LES    ÉQUATIONS   DIFFÉRENTIELLES    LINÉAIRKS   A    INTKGRALES   ALGÉBRIQUES. 

a,,  bj,  Ci,  a'-,  b\ ,  cj ,  a],  b],  c]  et  telles  que  leur  délerminant  soil  égal  à  1  ; 

A,     B,     C, 

a;    b;    c; 


Soient 


.i,=V  h/'a,^  +  b,t,  +  c,-   a;  g  +  b;  -q  -4-  c- 

''^      .Ld       \  Ai'f  +  B/ T,  +  c-  '  A';ç  +  Bjï)  +  c;- 
'=1 


=51". 


A/ 1  -I-  B/ T)  -!-c,-   a;-  e  -I-  b;  ■r\  +  c; 


,  A;'?  +  BrT|-(-0?     A:?^-B;ri^C;' 


11  est  clair  que  x  et  y  sont  des  fondions  rationnelles  de  >  et  de  0  qui  ne 
changent  pas  quand  on  change  E  et  rj  en 


A,g-t-B,-7i  +  C.,- 
A"?  +  B/-fi  +  C.;' 


Aig  +  Bl-rj-Kj; 

A;'Ç-t-B"ï)  +  ci' 


et  que  toute  fonclion   rationnelle  de  £  el  de  /;  (|ui  ne  change   pas  quand  on 
change  t  el  r)  en  ï,  el  vi,  sera  une  fonclion  rationnelle  de  x  el  de  r. 

Si  D  est  le  délerniinant  fonclionnel  de  ./•  et  de  1'  par  rapport  à  ;  et  à  rj,  les 
trois  fonctions 


rv'L», 


z,  =   r,  ■{  U, 


3:  =       D 


se  changeront  respeclivemenl  en 

A,- j,  -H  B,S5+  Gtz-i, 
A/3|  -f-  BjS,-;-  C,-3:i, 
A,  S]  -^  ï^i  z^-\-  C/  S3 

quand  ï  el  r;  se  changeront  en  ç,  et  rj,  (  '  ). 
Posons,  pour  abréger, 


///;,H 


le  déterminant 


(■/.(■'"■  ^/)-' 


D 


/Hj/J,-*!  '-^ '"]/'; 


D„ 


D„ 


ne  changera  pas  quand  on  cliangera  c,  et  r;  en  t,  et  rj,,  et  sera  par  conséquent 
une  fonction  rationnelle  de  x  el  de  j'. 


(')  Cela  résulte  île  l'invariance  de  x  el  y  par  le  cliangement  de  \,  f,   en   ;,.  T;,  et  de  l'expres- 

d(E„T,,)_  ■ 


sion  du  déterminant  fonclionnel 


o(\,t,)     (a';;^-b';t, -t-c^)-' 


(J.  D.) 


StR   LES   ÉQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES    LINKAIRES    A    INTEGRALES    ALGÉBRIQUES.  97 

Il  en  résulte  que 


Z  =  3,. 


sont  trois  intégrales    particulières  d'une   infinité    d'équations  aux    différences 
partielles  à  coefficienls  rationnels.  Ces  équations  s'écrivent 


(U 


r->,„,/,,S;      t»,«,/-,S:. 


D„ 


/?ji,  />|,  m.!,  yOa,  tïii,  />3,  «il,  /^  sont  des  entiers  positifs  quelconques;  il  est 
clair  que  les  coefficients  des  dillerentes  dérivées  partielles  de  j  sont  rationnels 
en  X  et  en  )•.  Si  l'on  fait,  en  particulier,  dans  l'équation  (i) 


elle  prendra  la  forme 


//il  =  II. 

/),   =    0. 

///;   =     1  . 

/'■;  =  "■ 

'"3  =     i- 

Pi  =  0. 

l>l;=    ■{. 

p.,  =  0, 

B:, 


dx-' 


d'z 


dz 
d.t 


BoZ  =  o. 


Les  B  seront  des  polynômes  entiers  en  x  et  y.  Si  l'on  dmine  à  )•  une  valeur 
constante  quelconque,  on  obtiendra  une  équation  linéaire  du  troisième  ordre, 
dont  tous  les  coefficients  seront  rationnels  et  dont  les  intégrales  seront  les 
fonctions  algébriques  ;,.  z-,.  :^. 

Conséquence.  —  A  chacun  des  groupes  définis  par  M.  Jordan,  corres- 
pondent une  infinité  d'é(|ualions  linéaires  du  troisième  ordre.  Dans  chacune  de 
ces  équations,  les  coefficienls  sont  rationnels  par  rapport  à  la  variable  indépen- 
dante X  et  à  un  paramétre  arbitraire  y.  Si  l'on  considère  les  trois  intégrales 
Ci,  ^2  et  z-3  de  cette  équation  comme  fonctions  de  x  et  de  y,  ce  seront  des 
fonctions  algébriques  de  ces  variables,  et  elles  satisferont  non  seulement  à 
l'équation  proposée,  mais  à  une  infinité  d'équations  aux  dérivées  partielles  à 
coefficients  rationnels,  à  savoir  les  équations  (i). 

Je  ne  me  suis  restreint  au  troisième  ordre  que  pour  fixer  les  idées;  les 
résultats  sont  vrais  pour  tous  les  ordres. 


H.  P. 


m. 


i3 


SUR 


L'INTÉGRATION  DES  ÉQUATIONS  LINÉAIRES 


PAR 


LE  MOYEN  DES  FONCTIONS  ABELIENNES. 


Comptes  rendus  de  l'Académie  des  Sciences,  t.  92,  p.  913-913  (11  avril  1S81). 


Soient  F{1,  r,),  F,  (ç,  /, )  deux  fonctions  abéliennes  quelconques.  Posons 
.r  =  F,  7=  F,. 


3/JF  dF,        dF,  clF 
'  =  Y    de    -d7;~    df'^,'  -^-5-"  ^3-13,; 


l'équation  linéaire 


dz  dzt  dzi  dzi 

dx  dx        dx  dx 

d'-z  d'-z,  d'-Zj  d'-  z  ' 

dx'-  dx'-  dx'-  dx'- 

d^z  d^  z,  d'Z,  d'Zi 

dx'  dx''  dx-  dx- 


qui  a  pour  intégrales 


2,         ^  —  «3, 


a  pour  coetTicients  des  fonctions  abéliennes  de  ;  et  de  rj,  et  par  conséquent  des 
fonctions  algébriques  de  x  et  de  y. 
Posons  maintenant 


''~  Y  d\  d\      d\ 

^  =  X/|.  t3  =  \li,  Ç  =  «log\.  r,  =  tloj,'Y. 


rfF 


d'où 


tt=ZtlaOe    ■■"'     •!'.         t,=  Zilabe-"     ^»,         /3=3,  J«ie     ■""      ■"'; 


SUR  l'intégration  des  équations  liné\ihes  par  le  moyen  des  fonctions  ABÉLIENNES.     99 
l'équation  linéaire 


(■'-) 


; 

/. 

l-i 

t. 

clz 

df, 

dl. 

dl. 

dû- 

d.,- 

dx 

dx 

ci'- z 

d'-U 

d'-l-, 

d'-U 

dx'- 

dj-- 

dx'- 

dx- 

d-'z 

d-U, 

dH,. 

dH-i 

dx-     dx'      dx-      dx- 


cjui  a  pour  intégrales 


=  t.:^ 


a  ses  coefficients  algébriques  en  x  et  en  }'. 

Les  fonctions  abéliennes  F  et  F,  permettent  donc  d'intégrer  une  infinité 
d'équations  différentielles  linéaires  du  troisième  ordre  à  coefficients  algébriques, 
car  l'équation  (i)  contient  un  paramètre  arbitraire  y  et  l'équatinn  (2)  eu 
contient  trois,  a,  b  t\  y. 

On  pourrait  se  proposer  de  former  toutes  les  équations  à  coefficients 
rationnels  qui  peuvent  s'intégrer  par  ce  procédé,  mais  ce  problème  nous 
entraînerait  bien  loin:  je  nie  bornerai  donc  à  former  les  groupes  de  ces 
équations.  Voici  ce  que  j'entends  par  là. 

Le  groupe  de  l'équation  proposée  sera  le  groupe  des  substitutions  linéaires 
que  subissent  les  intégrales  quand  x  décrit  un  contour  quelconque,  et  celles  de 
ces  transformations  qui  correspondent  à  un  contour  infiniment  petit  décrit 
autour  d'un  point  singulier  formeront  la  base  du  groupe.  On  arrive  ainsi  aux 
résultats  suivants  : 

Premier  cas,  équation  (1).  —  Soient  «,,  u  <.  «3  les  trois  intégrales,  et, 
supposons  qu'on  ait  convenablement  choisi  u.^:  les  opérations  qui  formeront  la 
base  du  groupe  G  cherché  seront  de  la  forme 


(î/j,  u-,,  iij.  yLiiii -^  [ifUn^- •;iUz.  a- m, 


T;":i.  i'i"->)- 


S'il 


V  a    /i    points   singuliers,   on   donnera  à  /  successivement   les   valeurs 
1 .  2,  . . .,  n. 
Le  groupe  g^  dérivé  des  opérations 

sera  d'ordre  fini.  Si,  en  combinant  d'une  certaine  manière  les  opérations  du 
groupe  g,  on  obtient  l'opération  dite  unité, 


100      SUR  L  INTEGRATION   DES   EQUATIONS   LINEAIRES    PAR   LE  MOYEN  DES  FONCTIONS  ABELIENNES. 

en   combinant   de    la    même   manière  les  opérations    de  G  on   obtiendra  la 

substitution 

(«,,  II,,  iij.  ii,  —  ri,u3.  ((,+  ri(/;i.  T'iUj). 

Le  système  des  quantités 

devra  satisfaire  à  des  conditions  telles  qu'elles  représentent  un  système  de 
périodes  d'une  certaine  fonction  abélienne.  Telles  sont  les  conditions  auxquelles 
sont  assujettis  les  groupes  des  équations  (i),  quand  les  coefficients  de  ces 
équations  sont  rationnels. 

Second  cas,    équation    (2).    —    Les    opérations   qui    servent    de    base   au 
groupe  G  cherché  sont  de  la  forme 

(  H|.    Il-,,    llj.    -J-îtl,.    'j/ï^i.   -j',  II,  ). 

et  les  a,,  ,5,  et  ■/,  sont  des  quantités  telles,  que  l'on  puisse  trouver  deux 
nombres  a  et  b  de  telle  sorte  que  le  système  des  nombres 

a  los 


i-, 

0, 

0, 

y  /  - 

puisse  représenter  un  système  de  périodes  d'une  certaine  fonction  abélienne. 
Il  va  sans  dire  que,  si,  au  lieu  d'envisager  des  fonctions  abéliennes  de  deux 
variables,  on  avait  considéré  des  fonctions  de  p  variables,  on  aurait  intégré  une 
infinité  d'équations  du  {p -\~  i  )''°''  ordre  à  coeflicients  algébriques. 


SUR  L'IiN'TÉGRATIO.N  ALGÉBRIQUE 


ÉOUiTIONS    LINÉAIRES 


Comptes  rendus  de  l'Académie  des  Sciences,  t.  97,  p.  gS '1-985  (5  novembre  i883). 


M.  .lordan,  dans  le  Journal  de  Crelle  {Bâ  8i)  et  dans  les  Mcmoires  de 
r'Académie  de  A'aples,  a  montré  comment  on  peut  former  les  groupes  d'ordre 
fini  contenus  dans  le  groupe  linéaire.  11  resterait  à  faire  voir  qu'à  l'aide  de 
tout  groupe  liai  on  peut  former  une  équation  linéaire  à  coefficients  ration- 
nels et  à  intégrales  algébriques.  J'ai  cherché  à  démontrer  ce  théorème  dans 
une  Note  que  j'ai  eu  l'honneur  de  présenter  à  l'Académie  au  mois  d'avril  1881  ; 
mais  cette  Note  contient  une  faute  de  calcul  qui  en  rend  les  résultats  erronés; 
je  prie  donc  l'Académie  de  vouloir  bien  la  tenir  pour  non  avenue  jusqu'à  ce  que 
j'aie  rectifié  l'erreur  qui  y  est  contenue  (').  Depuis,  j'ai  réussi  à  prouver  qu'à 
tout  groupe  fini  Y  on  peut  faire  correspondre  d"une  infinité  de  manières  un 
groupe  fuchsien  G  auquel  F  est  mériédriquement  isomorphe,  qu'à  ces  deux 
groupes  correspond  toujours  untî  équation  linéaire  à  intégrales  algébriques  et 
que,  si  l'on  pose  x  =/{z),  f{z)  étant  une  fonction  fuchsienne  engendrée  par 
le  groupe  G,  les  intégrales  de  cette  équation  sont  des  fonctions  fuchsiennes 
engendrées  par  un  sous-groupe  g  de  G.  Ainsi  à  un  groupe  d'ordre  fini 
correspond,  non  pas  ane,  mais  une  infinité  d'équations  à  intégrales  algé- 
briques dont  on  peut  même  choisir  arbitrairement  les  points  singuliers. 

Les  fonctions  fuchsiennes  engendrées  par  g  sont  des  fonctions  rationnelles 
de  X  et  de  y,  x  el  y  étant  liés  par  la  relation  algébrique 
(i)  0 ('./■.  y)  =  o. 

(')  Voir  aux  .Votes. 


102  SUR    L  INTÉGRATION    ALGEBRIQUE    DES    EQUATIONS    LINEAIRES. 

dont  le  degré  en  y  est  m  et  dont  le  genre  est  p.  Si  •/  est  le  groupe  de  cette 
équation  algébrique,  il  est  itnc  seule  fois  transitif.  Quant  au  genre /j,  il  satis- 
fait à  la  relation 


(  1  )  ip  ■ 


n  et  les  y.  étant  des  entiers  plus  grands  que  i  ;  ce  qui  montre  que  tous  les  sous- 
groupes  g  de  genre/?  rentrent  dans  un  nombre  fini  de  types. 

Il  y  a  aussi  un  théorème  concernant  les  intégrales  abcliennes  de  première 
espèce,  engendrées  par  l'équation  (i),  et  qui  tient  à  ce  que  le  groupe  de  cette 
équation  est  une  seule  fois  transitif. 

On  peut  choisir  un  système  fondanietUal  de  p  intégrales  de  première 
espèce,  de  telle  façon  que  leurs  périodes  normales  soient  des  combinaisons 
linéaires  à  coefficients  entiers  des  périodes  normales  de  Vune  d'entre  elles. 

Cela  posé,  voici  la  condilion  nécessaire  cl  suffisante  pour  qu'il  existe  une 
fonction  F  {x,  y),  rationnelle  en  ,r  et  en  )•  et  satisfaisant  à  une  équation 
linéaire  d  ordre  h  .  Il  faul  qu'on  puisse  lrou\er  m  quantités 

«1,       (Il "m 

telles  que.  si  l'on  permule  rcs  m  lettres  d'après  les  m  substitutions  du  groupe  y 
et  qii'on  forme  avec  ces  m  permutations  un  déterminant  A,  tous  les  mineurs 
d'ordre  {m  —  /  —  i)  soient  nuls  à  la  fois. 

J'ai  fait  voir  (pie,  si  cela  a  lieu,  ces  quantités  ai,  «j,  ...,  eim  sont  certaines 
périodes  do  certaines  intégrales  de  première  espèce  convenablement  choisies. 
Ainsi  la  condition  pour  qu'il  y  ait  une  fonction  F  {x,r)  qui  satisfasse  à  une 
équation  d'ordre  / ,  c'est  qu'il  y  ait  certaines  relations  enlie  les  périodes  de  ces 
intégrales  de  première  espèce.  Cette  condilion  est  toujours  remplie  pour  A^p, 
car  il  suffit  d'appliquer  une  remarque  de  M.  Klein  pour  voir  que  la  dérivée 
d'une  intégrale  de  première  espèce  formée  à  l'aide  de  la  rel;ition  (i)  satisfait 
toujours  à  une  équation  linéaire  d'ordre  p  à  coefficienls  rationnels.  Dans  une 
prochaine  Communication,  j'indiquerai,  si  l'Académie  veul  bien  le  permettre, 
quels  rapports  ont  ces  relations  entre  les  périodes  avec  la  réduction  des  inté- 
grales abéliennes  qui  a  fait  l'objet  des  rcmarcpialiles  travaux  de  M.  Picard. 


SLR  L'INTÉGRATION  ALGÉBRIOL'E 


ÉQUATIONS   LINÉAIRES 


Comptes  rendus  de  l'Académie  des  Sciences,  t.  07,  p.  iiSp-nqi  (-/fi   novembre  i883) 


Lorsqu'il  y  a,  entre  la  variable  et  l'intégrale  générale  d'une  équation  linéaire 
à  coefficients  rationnels,  une  relation  algébrique,  et  que  l'on  forme  à  l'aide  de 
celte  relation  des  intégrales  abéliennes  de  première  espèce,  les  périodes  de  ces 
intégrales  satisfont  à  certaines  équations  algébriques.  On  peut  se  demander  si 
ces  équations  suffisent  pour  déterminer  complètement  ces  périodes. 

Sans  aborder  ce  problème,  très  général  et  sans  doute  très  compliqué,  j'ai 
voulu  étudier  en  particulier  un  exemple  simple,  et  j'ai  choisi  la  résolvante  de 
Galois  de  l'équation  modulaire  que  l'on  rencontre  dans  la  transformation  du 
septième  ordre  des  fonctions  elliptiques  (degré  i68,  genre  3).  M.  Klein  a 
étudié  à  fond  cette  résolvante  et  il  a  fait  voir  que,  si  l'on  forme  les  intégrales  de 
première  espèce  correspondantes,  leurs  dérivées  satisfont  à  une  équation 
linéaire  du  troisième  ordre. 

J'ai  choisi  sept  périodes,  que  j'appelle  £i,  £21  ï.ij  ^u  s^,  ?6,  £7  et  entre 
lesquelles  on  a  la  relation  suivante  : 

(0  :, -t-  £,-4- 33-1-  •.,—  £5-4- £,;-4- £7=  "• 

Si  l'on  considère  deux  intégrales  de  première  espèce  et  qu'on  accentue  les 
périodes  de  la  seconde  intégrale,  on  aura 

(2)  £2£'|  £|,£i+£:,  £|  £'3£|-^£j£'|  £5£|-i-£|;£|  £„£,  £,■,£. j 


'6  - 


£!;£!;■ 


Nous  pourrons  choisir  une  intégrale  de  première  espèce,  de  telle  sorte  que 


lOJ  SUR    l'intégration    ALGÉBRIOIE    DES    EQUATIONS   LINEAIRES. 

et  alors  nous  poserons 

On  peut  former  par  divers  procédés  un  grand  nombre  de  relations  entre  ces 
périodes;  mais  trois  seulement  sont  distinctes,  à  savoir 

j-ix-i-y—  z)=y. 

j-'-i-ijry  -\-  y-  —  ys  =  z. 

y'  -+-  yz  -T-  ==  -*-  .r  -+-  a^v  —  ;  -I-  I  =  o. 

Ces  trois  équations  admettent  les  huit  solutions  suivantes 

./:  =  -."•.        y  =  z'""-h  -^"'—\.  z  =  -.'""  — -'"  —  i, 

où 

■î-        .   .    1-  .,    ,    . 

-  =  cos 1-  i  sin  -^  )  «(  =  I.  '.  ).    1.  1,  n. 

Les  huit  solutions  conviennent  et  correspondent  à  huit  systèmes  de  périodes 
différentes,  satisfaisant  aux  condilinns  (i)  et  (  <). 

Il  existe  aussi  une  intégrale  de  pretnièro  espèce  dont  les  périodes-  sont 
simplement 


Considérons  en  particulier  l'intégrale  (/,,  dont  les  sept  périodes  sont 
I,     o,     I).     1.     T,     — 1.     — T  —  1. 

Elle  n'a  que  deux  périodes  distinctes,  i  et  T;  les  procédés  de  M.  Picard  per- 
mettent donc  de  la  ramener  aux  intégrales  elliptiques.  Mais  on  démontre  que 
l'on  peut  trouver  six  intégrales 

«!■        ",1-        "i-        "j:        "r,!        "7 

dont  les  sept  périodes  sont  les  mêmes  que  relies  de  m,,  sauf  que  ces  dernières 
ont  subi  une  permutation  circulaire;  ainsi  les  périodes  de  f/o. seront 

o,     n.      I.     T,     — 1.     — T  —  I,      i; 
relies  de  ».i  seront 

o.     I,     T,     — I.     — T  —  I.     1,     i>.     .... 

Cela  posé,  l'intégrale 

\  ^  tu  -h-  S.-  It-  -\-  .  .  .^-  \-,  II-,. 


si;r  l'intêghation  ai.gébriqiie  iiks  équations  linéaires.  io') 

où   les  A  sont  des  niniihies   entiers  (nielconf|iies,  n  aura  que    deux    périodes 
distinctes  et  sera  rédiiclihle  aux  intégrales  elliptiques. 

Nous  avons  donc  un  troisième  exemple  de  celte  ciiconstance  di'jà  signalée 
deux  fois  par  M.  l'icard,  (|u'il  existe  des  systèmes  d'intégrales  abélicnnes  où 
Ton  trouve  une  inlinité  dinlégrales  réductibles  aux  intégrales  elliptiques 
{Comptes  rendus,  t.  93,  p.  i  12(1:  1X81  . 


H.  r.  -  m. 


SUR  L"  I.NTÉGRATIO-N  ALGÉBRIQUE 


ÉOUATIONS    LINÉAIRES 


LES  PÉRIODES  DES  ICTÉGKALES  ABÉLIENNES. 


Journal  de  Mathématiques,  5»  série,  t.  9,  p.  jSg-aia  (igoS) 


I.  —  Introduction. 

Le  présent  Mémoire  est  le  développpiiienl  d'une  Note  que  j';ii  présentée  à 
l'Académie  des  Sciences  en  iS83  {Corn/>trs  rendiis,  i.  HT,  i883,  a*  semestre, 
p.  984el  1189). 

Quand  une  fonction  ;ilf;élirique  satisfait  à  >ine  écjuatiou  différentielle  linéaire 
a  coeflicienls  rationnels,  les  intégrales  abélieunes  jouissent  de  certaines  pro- 
priétés curieuses  et  il  y  a  entre  leurs  périodes  quelques  relations  intéressantes. 

On  est  conduit  en  passant,  à  ce  résultat,  i\n'è/a/it  donné  un  groupe  Jlni  W 
quelconque,  on  peut  toujours  trouver  (sauf  un  nombre  lini  d'exceptions)  (//) 
groupe  Jini  de  substitutions  linéaires  isoniorphes  à  H,  et  dont  les  coeffi- 
cients soient  entiers. 

M.  Frohenius,  en  1896  et  dans  les  années  suivantes,  a  publié  une  série  de 
Mémoires  sur  les  caractères  des  groupes.  Ses  résultats  peuvent  être  utilement 
appliqués  à  la  question  qui  nous  occupe  et  je  crois  devoir  les  rappeler  rapi- 
dement; je  profite  d'ailleurs  de  l'occasion  pour  les  rapprocher  d'autres  résultats 
obtenus  par  M.  Carlan  et  pour  faire  voir  combien  les  théories  de  ces  deux 
savants  mathématiciens  s'éclairent  niuluellement. 


SUR    l'intégration    AUiEBRIQlE    DES    EQUATIONS    LINEAIRES,    ETC.  IO7 

II.  —  Intégrabilité  algébrique  des  équations  linéaires. 

Soit 

une  équation  lincaire  d'ordre  n  dont  les  coefficients  P,,  sont  des  polynômes 
entiers.  Supposons  que  l'intégrale  générale  de  cette  équation  soit  algébrique  et 
soit 

l'équalion  algébrique  qui  définit  cette  intégrale  générale.  Bien  entendu,  ce 
polynôme  9,  outre  les  variables  x  et  >',  contiendra  n  constantes  arbitraires 
d'intégration  si  l'équation  (i)  est  d'ordre  /(. 

L'éi|ualion  (i)  pourrait  être  intégrée  parle  procédé  général.  Posons 

où  cp  [z)  est  une  fonction  fuchsionne  correspondant  au  groupe  fuchsien  G. 

Si  cette  fonction  fuchsienne  est  convenablement  choisie  (et  cela  peut  se  faire 
d'une  infinité  de  manières),  y  sera  une  fonction  zétafuchsienne  de  z. 

Soient  y,,  js,  .  .  -,  J'h  des  intégrales  de  (i)  au  nombre  de  /;  et  linéairement 
indépendantes.  Ou  aura 

j,  =  :,(3),         /,=  ;,(  3) y„=l„{z), 

les  Ç  étant  des  fonctions  zélafuchsiennes.  Quand  s  subira  une  substitution  du 
groupe  G,  les  J,  subiront  une  substitution  linéaire  appartenant  au  groupe  H  de 
l'équation  linéaire  (i).  Le  groupe  H  sera  donc  isomorphe  à  G. 

Mais  ici  l'intégrale  générale  étant  supposée  algébrique,  le  groupe  H  sera 
(Vordve  fini,  de  sorte  (jue  l'isomorphisme  sera  inérièdrique.  Parmi  toutes  les 
substitutions  de  G,  il  y  en  aura  donc  qui  correspondront  dans  H  à  la  substi- 
tution identique.  L'ensemble  de  ces  substitutions  formera  un  groupe  G'  qui 
sera  un  groupe  fuchsien  et  qui  si'ra  un  sous-groupe  invariant  du  groupe  G.  Le 
groupe  G  n'est  donc  pas  simple. 

Ce  groupe  fuchsien  G'  engendrera  un  système  S'  de  fonctions  fuchsiennes;  il 
e>t  aisé  de  voir  que  le  système  S'  contiendra  le  système  S  des  fonctions  fuch- 
siennes  engendrées  par  le  groupe  G;  que  x  et  y  ou  toute  fonction  rationnelle 
de  .r  et  de  j'  est  une  fonction  fuchsienne  du  système  S'.  Il  en  est  de  même  de 
toute  fonction  rationnelle  de  r,  y^ ,  y-,,  .  .  . ,  y^. 


io8  SUR  l'intégration  algébrique  des  équations  linéaires,  etc. 

J'ai  dit  que  le  polynôme  5  contenait,  outre  les  variables  .r  et  _;',  des  cons- 
tantes arbitraires  d'intégration.  Selon  les  valeurs  que  l'on  attribuera  à  ces 
n  constantes,  trois  cas  pourront  se  présenter  : 

1°  Ou  l)ien  les  diverses  déterminations  de  la  fonction  algébrique  y  pourront 
s'exprimer  linéairement  à  l'aide  de  m  d"entre  elles,  le  nombie  m  étant  <«; 
par  conséquent,  l'intégrale  générale  de  l'équation  (i)  n'est  pas  une  combi- 
naison linéaire  des  diverses  déterminations  de  la  fonction  algébrique  y  ; 

2"  Ou  bien  l'intégrale  générale  de  (i)  est  une  combinaison  linéaire  des 
diverses  déterminations  de  y.  mais  le  groupe  de  l'équation  algébrique 
5(.r,  y)  :=  o  est  plusieurs  fois  transitif; 

3"  Ou  bien  enfin  l'intégrale  générale  de  (i)  e--!  une  combinaison  linéaire  des 
diverses  déterminations  de  )■  et  le  groupe  de  l'équation  algébrique  9  ^  o  est 
simplement  transitif. 

Soient _)-,,  j-j,  .  .  ..yn  un  système  de  /i  intégrales  de  [i)  linéairement  indé- 
pendantes. 
Posons 

Il  =  a,  Kl -H  7.  j'.  —  .  .  .-T-  x„_y„. 

Faisons  décrire  à  x  un  contour  ferme  quelconque;  yi,y-2i  ■  ■  ■  ■>  J'n  sul)lronl 
une  transformation  linéaire  T,  à  savoir  celle  des  transfnrniations  du  groupe  H 
qui  correspond  à  ce  contour;  les  y  se  changeront  donc  en  )■, ,  y'.,,  .  .  . ,  j'j,,  et  ii 
se  changera  en 

"'=  ^if'i  —  î'îj^'j— ■•■-^ï/i.>';,- 

Peut-il  arriver  que  u   soit  identique  à  u?  Les  v'  sont  des  fonctions  linéaires 

des)-;  on  aura  donc 

"•'=  >i.Ki  —  ,'iîj-î  — . . .-  ['j„y„. 

les  {3  étant  des  fonctions  linéaires  des  <z.  Pour  que  u  =  m',  il  faudrait  que  l'on 

^1  ^  .^)  •  -^^  =  ,^:-  .  .  ■ .  ^/i  =  ,-»//• 

Cel  I  peul  arriver  pour  certaines  valeurs  des  a,  mais  ces  relations  ne  peuvent 
être  satisfaites  identiquement,  quels  que  soient  les  a,  à  moins  que  l'on  ait 

c'est-à-dire  que  la  transformation  linéaire  T  ne  se  réduise  à  la  substitution 
identique. 


SLR    l'intégration   ALGÉBRIQUE    DES    ÉQUATIONS    LINÉAIRES,    ETC.  1 09 

Ainsi  u'  sera  différent  de  ii ,  à  moins  que  les  y.  ne  salisfasseiU  à  un  système  X 
de  relations  algébriques. 

Soient  T,,  T^,  .  .  . ,  T^  les  translVtrmations  non  identiques  du  groupe  H; 
elles  sont  en  nombre  fini;  à  chacune  d'elles  correspond  un  système  de  relations 
algébriques  entre  les  a.  Si  les  a  ne  satisfont  à  aucun  de  ces  systèmes,  la  fonc- 
tion (/  n'est  transformée  en  elle-même  par  aucune  des  transformations  T,  c'est- 
à-dire  que  si  x  décrit  un  contour  fermé  et  que  u  revienne  à  sa  valeur  initiale, 
la  transformation  T  sera  identique  et  toutes  les  intégrales  y,,  Vj,  ...,  y,i 
reviendront  à  leurs  valeurs  initiales. 

Or  u  est  une  fonction  algébrique  de  x,  susceptible  de  plusieurs  déter- 
minations. 

Si,  X  décrivant  un  contour  fermé,  l'une  de  ces  déterminations  rc\ient  à  sa 
valeur  initiale,  il  en  sera  de  même  de  y,,  y^,  .  '.  . ,  y„  et,  par  conséiiuent,  de 
toutes  les  autres  déterminations  de  u .  Donc  le  groupe  de  la  fonction  algé- 
brique u  est  simplement  transllit. 

Nous  pouvons  donc  supposer  que  les  constantes  d'intégration  aient  été 
choisies  de  telle  sorte  que  le^ronpc  de  l'équation  algébrique 

0(  J-.  .ri  =  <) 
soit  simjilenient  transitif. 

Mais  pouvons-nous  toujours  choisir  les  x  de  telle  façon  que  l'intégrale 
générale  de(i)  soit  une  combinaison  linéaire  des  diverses  déterminations  de  f<? 

Supposons  qu  il  n'en  soit  pas  ainsi,  le  nombre  des  déterminations  linéai- 
rement indépendantes  de  u  =  -a;,- )',  sera  m  <i  n. 

Donc  u  satisfera  à  une  équation  linéaire  d'ordre  m  à  coefficients  rationnels. 
D'ailleurs,  comme  y,,  y.,,  .  .  .,  y,,  reviennent  à  leur  valeur  initiale  quand  u 
revient  à  sa  valeur  initiale  (pourvu  que  les  x  aient  été  choisis  comme  je  viens 
de  le  dire),  les  fonctions  j', ,  j'^i  ••■i.)'//  seront  des  fonctions  rationnelles  de  a: 
et  de  u.  Donc  l'intégrale  gimérale  de  (i)  sera  une  fonction  rationnelle  de  x  et 
de  lintégrale  générale  d'une  équation  d'ordre  moindre. 

Je  dirai  alors  que  l'équation  (i)  est  iniprimitive. 

Nous  supposerons  dans  ce  qui  va  suivre  qur  l'équation  (i)  est  primitive  et 
que  les  constantes  aient  été  choisies  de  telle  sorte  que  la  fonction  algébrique  y 
admette  n  déterminations  linéairement  indépendantes  et  que  son  groupe  soit 
simplement  transitif. 

La  question  de  l'inlégrabililé  algébrique  îles  équations  linéaires  est  liée  à 


no  SUR    L  INTEGRATION    ALGEBRIQUE    DES    EQUATIONS   LINEAIRES,    ETC. 

celle  des  groupes  finis  contenus  dans  le  groupe  linéaire.  M.  Klein  a  résolu 
complètement  la  question  en  ce  qui  concerne  le  deuxième  ordre.  M.  Jordan, 
dans  le  Tome  84  du  Journal  de  d'elle,  puis  dans  les  Mémoires  de  V Aca- 
démie de  dVaples,  a  donné  une  méthode  générale  pour  la  recherclie  des  groupes 
finis  contenus  dans  le  groupe  linéaire  et  appliqué  sa  méthode  au  troisième 
ordre. 

Une  question  se  pose  toutefois.  Etant  donné  un  groupe  fini  contenu  dans  le 
groupe  linéaire  à  n  variables,  existe-t-il  toujours  une  équation  linéaire  du 
^jième  Qj-Ji-e  intégrahle  algébriquement  et  correspondant  à  ce  groupe?  A  cette 
question,  comme  on  devait  s'y  attendre,  l'on  doit  répondre  affirmativement. 

1.  Disons  quelques  mots  d'abord  de  la  constitution  des  groupes  discontinus. 
Je  suppose  un  groupe  discontinu  dérivé  d'un  nombre  iini  ji  de  substitu- 
tions fondamentales 

S,.     S,.     ...,     S/,. 

Ou  obtiendra  toutes  les  substitutions  de  ce  groupe  en  combinant  ces 
p  substitutions. 

A  chacune  de  ces  combinaisons  • 

Sj'b*  b/,   . . ., 

où  Xi,  «A,  a/,,  ■  ■  ■  sont  des  entiers  positifs  ou  négatifs,  correspondra  une  substi- 
tution du  groupe,  mais  toutes  ces  combinaisons  ne  sont  pas  toujours  distinctes. 
Il  peut  y  avoir  deux  de  ces  combinaisons  ((ui  seront  identiques,  auquel  cas  il  y 
aura  une  de  ces  combinaisons  qui  se  réduira  à  la  substitution  identique. 
On  aura  d<inc  un  certain  nombre  de  relations  de  la  forme 

H)  S?'S?'S*''...=  i. 

Ce  sont  les  relations  de  structure  du  groupe. 

Toutes  ces  relations  ne  sont  pas  distinctes;  elles  peuvent  toutes  se  déduire 
d-'un  certain  nombre  d'entre  elles  que  l'on  appelle  relations  fondamentales. 
Je  renverrai  pour  plus  de  détails  au  paragraphe  3  de  mon  Mémoire  Sur  les 
groupes  fuchsien s  (Acla  mathematica,  t.  I)  ('). 

Quelles  sont  pour  un  groupe  fuchsien  les  relations  de  structure  et  en  parti- 
culier les  relations  fondamentales?  Je  me  bornerai  à  rappeler  le  résultat  que 
j'ai  obtenu  à  la  page  i6  du  Mémoire  cité.  Décomposons  le  demi-plan  en  polj- 

(')  Œuvres  de  H.  PoiNCAnK,  t.  II,  p.  109. 


SUR   L  INTEGRATION   ALGEBRIQUE    DES   EQUATIONS   LINEAIRES,    ETC.  I  I  1 

gones  générateurs  Rq,  R,,  .  .  .,  H^,  ...  ;  à  chacun  des  côtés  de  Rq  correspondra 
une  substitution  du  groupe  fuchsien,  de  telle  sorte  que  les  substitutions  qui 
correspondent  à  doux  côtés  conjugués  soient  inverses  l'une  de  l'autre.  A 
chaque  côté  de  Ry  nous  ferons  correspondre  la  même  substitution  qu'au  côté 
correspondant  de  F^o- 

Décrivons  un  contour  jermi'  qui  traverse  nécessairement  les  régions 
Ri ,  Rj,  .  .  . ,  R/,  et  en  sort  par  les  côtés  C| ,  C.2,  .  . .,  C/,  auxquels  correspondent 
les  substitutions  S, ,  So,  . . .,  S/,;  nous  aurons  alors 

S,  Sî  . . .  S/,  =  I, 

et  nous  oi)tiendrons  ainsi  toutes  les  relations  de  structure  du  groupe. 

Pour  obtenir  toutes  les  relations  fondamentales,  il  suffira  de  décrire  des 
contours  fermés  infinitésimaux  autour  des  divers  sommets  de  R,,. 

Les  divers  sommets  d'un  même  cycle  donneront  d'ailleurs  la  même  relation, 
de  sorte  qu'il  y  aura  autant  de  relations  fondamentales  que  de  cycles. 

Appliquons  cette  règle  à  un  groupe  fuchsien  du  genre  o.  Soient 

Xq  Xl  «2  .  .  .  'J.p  ^/,-t-i  ^-i/i  .5/7—1   •  •  ■   |-':i  i-*!  -*0 

les  2/j -\- 2  sommets  du  polygone  Ro-  Le  côté  a/a,^.,  :;=  C,  sera  conjugué  du 
côté  (3,p,_^i=G',  et  la  substitution  S,  transformera  C,  en  G).  Les  sommets 
formeront /j  -+-  -i  cycles,  à  savoir 

et  je  supposerai  que  les  sommes  des  angles  des  sommets  de  ces  cycles  soient 
respectivement 


■l  T.  ■>  -K  l  - 

II.,  Il,,  ///,+  , 


Alors  les  relations  fondamentales  correspondant  à  ces  différents  cycles 
seront 

(4)  S2«=(S,Sô')".=  (S.,S7i)"=  =  ...=  (S,,S;:l,,  )'V=s;'"'=i. 

Cela  posé,  quels  rapports  y  a-t-il  entre  les  relations  de  structure  de  deux 
gLoupes  isomorphes?  Il  est  clair  que  si  l'isomorphisme  est  holoédrique  les 
relations  seront  les  mêmes;  mais  si  l'isomorphisme  est  mériédrique  l'un  des 
deux  groupes  aura  toutes  les  relations  de  structure  de  l'autre  et  en  admettra, 
en  outre,  encore  d'autres.  Réciproquement,  cette  ccmdition  est  suffisante  pour 
que  les  deux  groupes  soient  mériédriquement  isomorphes. 

Cela  posé,  soit  H  un  groupe  d'ordre  fini  contenu  dans  le  groupe  linéaire; 


ir2  SUR  l'intégration  algébrique  des  équations  linéaires,  etc. 

supposons  que  ce  groupe  soit  dérivé  de  />  +  i  subslitulions 

So,     S] .     05,      ....     o^,. 

Ce  groupe  étant  d'ordre  fini,  une  quelconque  de  ses  subslitulions  sera 
d'ordre  liai. 

Ce  sera  le  cas,  en  particulier,  pour  les  substitutions 

^0-      '^  1  *^o    '      '-•e  '-'  1 ^  jf  '-' fi-  i  •      ^/j   • 

Il  existera  donc  des  entiers  Ho,  «i.  . .  -,  "/j+i.  tels  que 
{:,bis>  Sï"  =  ^  s ,  s „  I  )".  =  (  S,  Sy  I  )"'  =  ...=  (  S/,  S;;! ,  )";-  =  (  S- 1  )'>- .  =  i . 

Ces  relations  ne  seront  d'ailleurs  pas  les  seules  relations  de  structure  du 
groupe  H. 

Cela  posé,  nous  pouvons  construire  un  polygone  l'uchsien  R,,  de  genre  o,  de 
telle  façon  que  les  sommes  des  angles  des  sommets  des  différents  cycles  soient 
respectivement 

Soit  G  le  groupe  fuchsien  correspondant.  Ses  substitutions  fondamentales 

S,i.   S|,   S/,  satisferont  aux  relations  (4)  qui  seront  ses  seules   relations 

fondamentales. 

Donc  le  groupe  H  admettra  les  mêmes  relations  de  structure  (jue  G  et  encore 
d'autres;  donc  H  est  mériédriquement  isomorphe  à  G.  11  existera  donc  dans  G 
un  sous-groupe  fuchsien  G'  formé  des  substllutions  de  G  auxquelles  correspond 
dans  H  la  substitution  identique. 

D'un  autre  côté,  reportons-nous  au  ])aragrapiii'  ;>  du  Mémoire  :  Su/  ies 
funclions  zétafuchsienni's  [Acln  tiinihciiKilicn ,  l.  \  )  ('  ),  nous  verrons  que. 
le  groupe  G  étant  de  l,i  première  famille  et  le  f;ioupe  II  contenu  dans  le  groupe 
linéaire  à  n  variables  étant  isomorphe  à  G,  nous  |)ouvt)ns  construire  /;  fonc- 
tions zétafuchsiennes 

r,(;).     r,i;i î„(3i 

qui  subissent  une  substitution  linéaire  du  groupe  II  (piund  la  variable  ;  subit 
la  substitution  correspondante  du  groupe  fuchsien  G.  Ces  fonctions  Ç  sont  en 
même  temps  des  fonctions  fuchsiennes  admellant  le  groupe  fuchsien  G'.  Si 
donc  on  pose 

(')  UEin'ies  de  11.  I^uincabi:,  t.   II,  p    4". 


SUR    l'iNTRCHATION   ALGÉBRIQIE    DES    ÉQUATIONS    LINÉAIRES,    ETC.  Il3 

y  va  satisfaire  à  une  relation  algébrique 

(2)  0(,/-.j')  =  n 

et  à  une  équation  différentielle  d'ordre  /;  à  coelTicients  rationnels. 

Ainsi,  à  la  question  posée  plus  haut,  on  doit  faire  une  réponse  affirmative; 
on  peut  même  remarquer  qu'elle  comporte  une  infinité  de  solutions  dépendant 
d'un  grand  iioniLre  d'arbitraires  : 

1°  On  peul  choisir  de  plusieurs  manières  dans  le  groupe  H  les  substitutions 
auxquelles  on  fera  jouer  le  rôle  de 

^Oi       ^1:       ^2,        •  •  •  1       '^Z'  ' 

2"  Il  Y  a  une  infinité  de  polygones  R»  de  genre  o  et  de  ayj  +  a  sommels  tels 
queles  sommes  des  angles  des  différents  cycles  admettent  les  valeurs(5).  11  reste 
encore/;  —  i  arbilraires,  et  c'est  ce  que  je  puis  traduire  en  disant  que  je  peux 
choisir  arbitrairement  les  /?  +  2  points  singuliers  de  la  fonction  algébrique 
définie  par  l'équation  {2)  ou,  ce  qui  revient  au  même,  ceux  de  l'équation 
linéaire  (  i  ). 

Soit  m  le  nombre  des  déterminations  de  >',  ce  sera  en  même  temps  le  degré 
en  y  de  l'équation  9  =:  o  et  l'ordre  du  groupe  H.  Je  désigne  par  rj  le  genre  de 
la  relation  (2). 

Proposons-nous  de  calculer  q.  La  surface  du  polygone  Ro  sera 


=(/ 


"0  "I  "/)+l  ; 

Soit  R|,  le  polygone  générateur  du  groupe  (î';  sa  surface  sera  évidemment 
7.r,/ii  I  p ... )  =  ■'-m  i  />  —  7    —  )  • 

On  aura,  d'autre  part, 

V  -4-  1  —  u 

2v  étant  le  nombre  des  côtés  de  RJ,  el  [x  le  nombre  de  ses  cycles. 
D'un  autre  C(')té,  la  surface  de  Rj,  sera 

en  supposant  que  la  somme  des  angles  des  p.  cycles  soit 


m.  i5 


[I4  SUR    l'intégration    algébrique    DBS    ÉQUATIONS    LIiNÉAlKES,    ETC. 

Or  V  =  ,u  —  I  -t-  2(jr,  nous  pouvons  donc  écrire  pour  cette  surface 
L'autre  expression  peut  de  même  s'écrire 


De 


(6) 


[-'■-l(-k)H'"-'-U~i)} 


■2Tt 


Considéions  un  des  cycles  de  Ru  dont  la  somme  des  angles  sera 

Soit  A  l'un  de  ses  sommets;  envisageons  les  différents  transformés  de  A  par 
les  substitutions  de  G. 

Considérons  ceux  de  ces  transformés  qui  sont  intérieurs  à  R'j,  ou  qui  sont 
des  sommets  de  R„  ;  ces  derniers  se  répartissent  en  cycles.  Soit  B  un  de  ceux 
qui  sont  intérieurs  à  R„.  Observons  que  RJ,  peut  être  décomposé  en  m  poly- 


gones congruents  à  Ro  et  que  j'appellerai 


R,„-, 


(7)  Ro,     H,.      . 

chacun  d'eux  étant  transformé  de  Ro  par  une  des  substitutions  de  G. 

Si  nous  envisageons  ceux  de  ces  polygones  qui  ont  un  sommet  en  B,  nous 
voyons  que  ce  sommet  est  homologue  à  A  ou  à  un  des  sonimels  du  cycle 
auquel  appartient  A  et  que,  parmi  ces  polygones,  il  y  en  aura  n,  pour  lesquels 
ce  sommet  seia  homologue  à  A.  11  y  aura  donc  d,  subsiitulious  de  G  qiii  chan- 
geront A  en  B. 

Soit  maintenant  C  un  transformé  de  A  qtii  soit  un  sommet  de  lî'   et  soit  —  la 

somme  des  angles  du  cycle  auquel  appartient  C.  Parmi  les  ni  substitutions  qui 

changent  R„  en  l'un  des  polygones  (-  ),  il  \  en  aura  alors  — '  =  |2n  qui  changent 

A  en  C,  ou  en  un  des  sommets  du  même  evtle. 
D'où  il  suit  d'abord  que  «,  est  divisible  par  a/,. 
Convenons  alors  de  prendre  pour  le  point  B 

'ik='>r, 


=<*  =  1, 


nous  aurons 


(8)  2(i,=  ,„, 

la  sommation  él.int   «'tendue  à  tous  les   points  tels  qiu'  B  et  C.  Et,  en  efl'et, 


SUR    l'intégration    algébrique    des   équations   LINÉAIBHS,    ETC.  Il5 

chacune  des  m  substitutions  qui  changent  R„  en  l'un  des  polygones  (7)  change 
A  en  l'un  des  points  B  ou  C. 

Remarquons  que  chaque  cycle  de  R„  ne  devra  être  représenté  qu'une  fois 

dans  la  somme  ^  3/,,  même  si  plusieurs  points  C  appartiennent  à  ce  cycle. 

Toutes  les  considérations  (jul  précèdent  et,  en  particulier,  les  relations  (d) 
et  (8)  s'appliqueraient  à  un  sous-groupe  (juclcoïKiiie  de  G.  Mais  il  y  a  ici 
quelque  chose  de  plus,  car  G'  est  un  sous-groune  invariant. 

Il  en  résulte  qu'une  substitution  quelconque  de  G  change  R|,  en  un  polygone 
équivalent.  Reprenons  alors  notre  point  A  et  ses  transformés  B  et  G.  Soient 
C  et  G'  deux  de  ces  transformés  appartenant  à  deux  cycles  différenls  de  R'„. 

Il  y  aura  une  substitution  de  G  qui  changera  G  en  C.  Soit  -^  et  -^  la  somme 

des  angles  des  deux  cycles  correspondants.  Qu'est-ce  que  cela  veut  dire?  Gela 
veut  dire  que,  parmi  les  substitutions  de  G',  il  y  en  aura  une  qui,  au  point  de 

vue  non  euclidien,  pourra  être  regardée  comme  une  rotation  d  un  angle  — 
autour  de  G;  donc,  le  sous-groupe  étant  invariant,  la  rotation  d'angle  —  autour 
de  G'  devra  appartenir  à  G'  ;  de  même,  la  rotation  d'angle  ^  autour  de  C  devra 
appartenir  à  G'.  Gela  n'est  pussible  qur  si  y.  ^=  y.' . 

Supposons  niaiiileuanl  cpie  l'un  des  transformés  de  A  soit  un  point  B.  Alors, 

la  rotation  d'angle  -^  autour  de  B  appartiendra  à  G';  mais  comme  B  est  intérieur 

au  polygone  générateur  de  G',  cela  n'est  possible  que  si  celte  rotation  se  réduit 
à  la  substitution  identique,  c'est-à-dire  si  a  =  i  . 
Deux  cas  seulement  sont  donc  possibles  : 

i"  Ou  bien  aucun  des  Iransforniés  de  A  n'est  intérieur  à  R'„  ;  dans  ce  cas, 
tous  les  y.ii  sont  égaux  enli'e  eux,  de  même  que  tous  les  3a'.  s'  /•'(  est  le  nombre 
des  cycles  correspondants,  ou  auia 

m  riiki 

et,  pour  les  cycles  correspondants, 

1"  Ou  bien  quelques-uns  des  tr.insformés  de  A  sont  intérieurs  à  Ru,  tous  les 


ii6  SUR  l'intégration  algébrique  des  équations  linéaires,  etc. 

a  sont  égaux  à  i ,  de  sorte  qu'on  a,  pour  les  cycles  correspondants, 

I(-é)  =  »- 

Nous  distinguerons  donc  parmi  les  cycles  de  Pio,  c'est-à-dire  parmi  les 
termes  du  premier  membre  de  (6),  deux  cas  : 

ans    le    premier    cas,   ou   ù/,^=-r-,  x/,  ^ ,  on   aura,   en  étendant   la 

'  '  A",  ni 

sommation  aux  cycles  correspondants  de  Rj,, 

2('-ij-"'('-'i)  =  S-'"' 

2°  Dans  le  second  cas,  où  2^=1.  [5a  =  /?,,  on  aura 

2(-i)-'"('-;);)  =  !"-'"  =  f;-'"- 

Or,  la  relation  (6)  peut  s'écrire 

--"-2[2('-i)-"'('-^)]  =  ''^-'^^ 

nous  aurons  donc 

(9)  '"[-^^^2("-;i)]=-^-'^-'-' 

les  p  étant  des  entiers. 

Discutons  celle  relation  à  laquelle  nous  aurions  peut-être  pu  parvenir  plus 
rapidement  par  des  considérations  sur  la  division  régulière  des  surfaces  de 
Riemann. 

Dans  le  cas  de  1/  =  o,  le  second  membre  sera  négatif  et  nous  devrons  avoir 

2(-s)<»- 

Dans  le  cas  de  y  =  i ,  le  second  membre  sera  nul  et  nous  devrons  avoir 

Dans  le  cas  de  1/ l>  i ,  le  second  membre  sera  positif,  mais  comme  m  est  un 
entier  plus  grand  (jue  i .  nous  devrons  avoir 

En   tout   cas   ^(1  —  —  )  est  limité;  les  ^k  sont  des  entiers;   nous  pouvons 


SUR    I.'lNTÉGRATlON   ALGEBRIQUE    DES    EQUATIONS    LINEAIRES,    ETC.  I  IJ 

laisser  de  côlé  les  termes  pour  lesquels  Pa  =  i  et  ci'ii  sont  nuls.  Donc  p^  est  au 
moins  égal  à  i ,  de  sorte  que  i  —  ,,-  est  compris  entre  -  et  i . 


? 


Soit  p  le  nombre  des  termes  do  la  somme  ^  (  i  —  ^  )  i  on  aura 

Dans  le  cas  de  q  =  o,  on  aura  donc 

c'est-à-dire  p  i^  i ,  2  ou  3. 
D'autre  |i.irt, 

Donc  0  =:  2  ou  3.  Si  p  ^  2,  on  a 


■2 

—  ) 
m 


équation  qui  n'admet  d'autre  solution  que 
si  l'on  observe  que  l'équation  (8)  exige 


Si  0  =  3,  on  a 


qui  admet  comme  solutions 


i;-^i^i>'' 


On  retrouve  ainsi  les  groupes  connus  de  Klein  et  on  n'en  trouve  pas  d'autres. 
Dans  le  cas  de  ^  =  i ,  on  a 


'>20-s)>'i? 


d'où  p  =  3  ou  4.  ce  qui  donne  les  solutions  connues 

pi  =  2,         p,=  3,         [i3=fi;  Pi  =  'i,  l^î=P3=4, 


Dans  le  cas  de  cy  >  i,  on  aura 


<?  +  ■>! 


11»  SUR    L  INTEGRATION    ALGEBRIQUE    DES   EQDATIONS   LINEAIRES,    ETC. 

et  p  >  2  ;  avec 


2i 


■iq 


d'où 

(d'où  d'abord  p  >  2). 
Or 

d'où 


iq  —  2       ■^    I 


h        '-' 


„  ,,    .  x^    I  0 

[i*  <«(.         d  ou  Z.Tr  >  —^ 

^"  I-'A-  ''' 


2  7  —  2  -)-  p      , 

— <  p  — 2, 

m 


ce  qui  donne  une  limite  inférieure  de  m. 

Or,  nous  avons  vu  plus  haut  que  (3/,  est  un  diviseur  de  m  et  égal  à  ^7  >  notre 

A, 

équation  peut  alors  sérrire 

7  ki-~  iq  —  2  =  »i (  ?  —  2 ). 


Soient  (î,  le  plus  grand  des  ^a  et  S  la  somme  de  tous  les  autres^)  on  pourra 

écrire 

127  —  2  „ 


c  1  •        I    ■    2  —  ' 

et,  comme  Î5  est  au  plus  égal  a  ^— —  ) 


■     I        27  —  2  .    ?  —  3 
[i,  m  2 

et,  a  fortiori,  puisque  (3,  <;  w, 

2?  —  »  ^  ?  — 3 

Si  p  >  3,  celle  relation   limitera  [3,   et,  par  conséquent,   lous   les  autres  [Sj  ; 
j'ajoute  qu'elle  limite  p,  car  elle  donne 

P  —  3  <  2  7  —  I , 

puisque  |3|5  2. 

Si  p  =  3,  on   ne  pourra  avoir  (3;,=:|33=:  2,  auquel  cas  on    aurait  S  =  1   et, 

par  conséqucnl, 

I        27  —  2 

^L        é O 


Le  cas  le  plus  défavorable  est  donc 

P=  =  2,     i33;=3, 


SUR    1,'lNTÉGR ATION    AI.GEBKIOltE    DES    EQl  ATIONS    LINEAIRES,    ETC. 

d'où 


On  a  donc 
el,  par  conséquent, 


^-6 


^<r 


I  ->  7  —  2   ^     I 

pi  m  6 


ce  qui  limite  encore  j3|  et,  par  conséquent,  tous  les  autres  (3. 

En  résumé,  pour  un  genre  q  péterminé,  nos  groupes  H  se  ramèneront  à  un 
nombre  fini  de  types. 

III.  —  Propi'iétés  des  intégrales  abéliennes. 
Reprenons  la  relation  algébrique 

(2)  0(.i-,  j)  =  n, 

dont  le  degré  est  m  rt  le  genre  q . 

Toute  fonction  rationnelle  de  x  et  de  y  sera  une  fonction  fuihsienne  de  z 
admettant  le  groupe  G';  soit  maintenant 


J=  fï{{.r,y}fh: 


une  des  q  intégrales  abéliennes  de  première  espèce  de  la  courbe  algé- 
brique (2);  ce  sera  une  fonction  uniforme  de  :■;  celle  fonction  sera  toujours 
finie  et  elle  se  reproduira  à  une  constante  près  quand  -:  subira  une  des  substi- 
tutions du  groupe  G'. 

Si  donc  nous  appelons  cette  foncliim  K  (;),  nous  aurons 

K(sS)  =  K(  =  )-+-io, 


.•I.-  1.  O  !•  1*-    +    Pl  1- 

OU  1  écris,  pour  abréger,  ;b  au  lieu  de  k-i  la  sunstitution 

J  t  r  s      '  Y-^  +  8 


S  = 


Y  Z  4-  0  / 


étant  une  des  substitutions  du  groupe  fuchsien  ( î'.  Quant  à  w,  c'est  une  cons- 
tante qui  n'est  autre  ciiose  ([u'une  période  de  l'intégrale  abélienne  (J). 

A  chaque  substitution  de  (i'  correspondra  ainsi  une  péricide  de  (J);    mais, 
bien  entendu,  pour  certaines  de  ces  substitutions,   cette  période  sera  nulle. 


I20  SIR   l'intégration   ALGÉBRIQUE    DES    ÉQUATIONS    LINÉAIRES,    ETC. 

Si  w  correspond  à  S  et  &>'  à  S',  oa  voit  que  w  +  '••>'  correspondra  à  SS',  de  même 
qu'à  S' S.  et  w«  +  «w'  à  S"''S'"'S"'=S'"=  ...,  pourvu  que 

^w,  =  m,  ^"'  =  "• 

Soit  maintenant  a  une  substitution  de  G  n'appartenant  pas  à  G'.  Que  sera-ce 
que  K  (-î^)?  Ce  sera  évidemment  encore  une  intégrale  abélienne  de  première 
espèce. 

Si  nous  changeons  ;  en  ôS.  zu  se  changera  en  ;Sc-,  et  il  viendra 

K(sSa)  =  K(=3)  —  (.)■, 

0/  étant  la  période  de  K(:;cr)  correspondant  à  S. 

Soient  alors  S,,  S2,  .  .  . ,  S/,  les  substitutions  fondament  des  de  G';  soient  oj,, 
t02,    ...,   '.)/,  les  périodes  correspondantes    de  K(;),  '.)',,  00!,,    ...,  oj),,    celles 

de  K(^ff)  ;  nous  aurons 

K(^Sê)    =K(s)    ^w,-, 

K(3S;C7)  =  K(3a)^co;. 

Si,  dans  cette  dernière  équation,  je  change  ;  en  zrj-\  il  vient 

K(ôcr-iS,a)  =  K(g)  —  lo'. 

Or,  G' étant  un  sous-groupe  invariant  de  G,  la  substitution  3— 'S,(7  appar- 
tiendra aussi  à  G';  d'où  il  suit  que  w^  est  une  cnuiblnaison  linéaire  à  coefficients 
entiers  des  o),. 

Ainsi  les  périodes  de  V intégrale  abélienne  de  iin'inière  espèce  K(;ct) 
seront  des  combinaisons  linéaires  à  coefficients  entiers  des  périodes  de 
l'intégrale  abélienne  de  jiremière  espèce  K{z)  et  récipror/itenienf. 

Introduisons  maintenant  les  intégrales  abéliennes  de  seconde  espèce;  ces 
intégrales  seront  encore  des  fonctions  uniformes  de  ;,  mais  elles  admettront 
des  pôles.  Soit  P{z,a)  une  de  ces  intégrales,  exprimée  en  fonction  de  z;  elle 
sera  définie  par  les  conditions  suivantes  : 

i"  Elle  sera  fonction  méromorphe  de  ;  dans  tout  le  cercle  fondamental; 
2°  Elle  admettra  comme  pôles  simples  les  points 

z  =  a         et         z  =  «S     (S  étant  une  des  suhsliUilinns  de  G'), 

et  elle  n'en  admettra  pas  d'autres; 

3°  Le  résidu  de  la  fonction 

P(3,  a) 

sera  égal  à  i  pour  le  pôle  ;  =  a; 


SUR    l'intégration    algébrique    des   équations   linéaires,    etc.  121 

4°  On  aura,  pour  une  substitution  S  quelconque  de  G, 

(3)  F(;S,  rt)  =  P(;,  n)-h?(rt). 

£p(a)  étant  une  constante  ne  dépendant  que  de  «;  de  telle  sorte  qu'à  chaque 
substitution  de  G'  corresponde  une  période  de  l'intégrale  P. 

Ces  conditions  ne  suffiraient  pas  [-our  déterminer  P,  puisque,  si  elles  sont 
remplies  par  P,  elles  le  seront  par  P  +  K.,  K  étant  une  intégrale  de  première 
espèce. 

On  peut  achever  de  définir  P  (à  une  constante  près)  en  s'imposant  encore 
une  condition  : 

5"  p  des  périodes  de  P  choisies  une  fois  pour  toutes,  et  que  j'appellerai  les 
périodes  de  première  sorte,  devront  être  nulles. 

Etudions  les  propriétés  de  ces  fonctions  P. 

Quels  sont  les  résidus  de  P  pour  ses  difi'érents  pôles?  Soit 

et  soit  A  le  résidii  de  P  pour  le  pôle  ;  =  oS.  Nous  aurons 

P(;S-i,  «)  =  P(z,  «)  +  9,(a), 
(ifi{a)   étant  la  .période  qui   correspond  à  la  substitution   S~' ;  et  pour  s  très 
voisin  de  aS,   le  premier  membre    sera  très  voisin  de  — ^-; et  le   second 

de  — - — ?7>  on  aura  donc  sensiblement 
z  —  ai) 


zS-^  —  a        :- 
d'où 


+(«s) 

Les  conditions  énoncées  plus  haut  suffisent  pour  déterminer  P  à  une  cons- 
tante près,  car,  si  deux  fonctions  y  satisfaisaient,  elles  auraient  mêmes  pôles  et 
mêmes  résidus;  leur  différence  D(g)  serait  partout  finie.  On  aurait  d'ailleurs 

D(cS)  — D(;)  =  const.  ^ 

Donc  D(z)  serait  une  intéf;rale  de  première  espèce  et  comme/?  des  périodes 
devraient  être  nulles,  cette  intégrale  se  réduirait  à  une  constante. 

Cela  posé,  j'observe  que,  dans  la  relation  (3),  <p(a)  doit  être  une  fonction 
uniforme  de  a,  puisque,  quand  on  se  donne  a,  la  fonction  P(-,  a)  est  entiè- 
H.  P.  —  III.  i6 


122  SUR    l'iNTÉGHATION   ALGÉBRIQUE    DES    ÉQUATIONS    LINÉAIRES,    ETC. 

rement    déterminée    à    uno    constante    près,    et,    par    conséquent,    la    diffé- 
rence P(sS,  rt)  —  P(-',  a)  entièrement  déterminée.  Do  plus,  celte  fonclion  est 
toujours  finie,   puisque,   quel  que  soit  n,   il  suffit  de  donner  à  .:  une  valeur 
différente  des  divers  points  «S  pour  que  P(;S,  a)  et  P(.s,  a)  soient  finis. 
Soit  maintenant  T  une  substitution  quelconque  de  G'  et  considérons 

P(3.  «T). 

Cette  fonction  admet  comme  pôle  le  point  a  S  avec  le  résidu 

On  aura  donc 

P(=,  aT)=  y^J^Pr;,  a)  +  const., 
et,  par  conséquent, 

P(2S,  «,T)-P(3,  „T)  =  i[^"*[P(=S.  «)  — P(3,  a)] 
ou 

Considérons  maintenant  la  fonction 

j\(z),lz  =  ^^{z). 

Remarquons  que  x  prend  la  même   valeur  pour  :;  =  a  et  pour  ;^«T,  de 

sorte  que 

,■/.(■  =  .^  (  o  T  )  <l(  a  T  )  =  ■]>("  n  )  ^n, 

d'où 

ç  (  «  T  )  f/(  «  T  )  =  ^[  a)  da 

ou,  en  intégrant, 

<^(nT)  =  <I>(.7)  —  const. 

Donc  <!>(;)  est  une  intégrale  ahclienne  de  première  espèce. 

Soil  maintenant  a  une  substitution  de  G  n'appartenant  pas  à  G',  et  chan- 
geons a  en  Z'j  dans  la  relation  (3), 

(3)  P(3S,  «)  =  P(G,  «)  +  ^(a), 

il  viendra 

(3a)  .  P(;aS,  a)=  P^;7,  n)^9(a). 

Or,  le  sous-groupe  G  étant  invariant,  on  aura 

jS  =  S's, 


SUR    l'intégration    ALGÉnniOHE    niîS   ÉQUATIONS    LINÉAIRES,    ETC.  123 

S'  appartenant  aussi  à  (/,  d'où 

(  3  bis)  P(sS'(r,  a)  =  P(^(r,  «) -+- !p(a j, 

ce  qui  veut  dire  d'abord  que  la  période  dp  l'intégrale  ï'{zu,a)  qui  correspond 
à  S'  est   égale  à  (p(");    c'est-à-dire    que   les  périodes    de  V{za^(i)  sont   des 
combinaisons  linéaires  à  coefficients  entiers  de  celles  de  P(;,  a). 
Nous  aurons  d'autre  part 

Citer)  P(:S',  «)  =  P(=,  «)  +  ç'(«), 

9'(a)  étant  la  période  correspondant  à  S',  étant  par  conséquent  une  combi- 
naison linéaire  des  périodes  fondamentales  de  P. 

Comparons  maintenant  les  résidus  des  deux  fonctions 

pour  le  pôle  z  =  au^  ]  pour  .;  voisin  de  acr   ',  ces  deux  fonctions  se  réduiront 
sensiblement  à 


Or,  on  a  sensiblement 

1  I  •!;(«) 


3  3  —  a        z  —  aa— '   '];(ao""') 
On  aura  donc  sensiblement 

(4)  P(3.,«;=  ,JiJ^P(  =  ,aa-M. 

Je  veux  dire  que  la  dilTérence  des  deux  membres  reste  finie;  comme  chacun 
des  membres  est  une  intégrale  de  seconde  espèce,  la  différence  devra  donc  être 
une  intégrale  de  première  espèce.  Devons-nous  dire  que  cette  intégrale  se 
réduit  à  une  constante?  Il  faudrait  pour  cela  que  toutes  les  périodes  que  nous 
avons  appelées  de  [ireiuière  sorte  fussent  nulles.  Supposons  donc  que  S  soit 
une  substitution  qui  corresponde  à  une  période  de  la  première  sorte;  la  fonc- 
tion cp(«)  qui  figure  dans  (3rt)  et  {'ibis)  sera  nulle.  Les  périodes  de  la 
première  sorte  du  second  membre  de  (4)  seront  donc  nulles.  En  sera-t-il  de 
même  pour  le  premier  membre  et,  par  conséquent,  pour  la  différence  des  deux 
membres?  Aura-t-on,  en  d'autres  termes, 

PizSa,  «)  =  P(37,  rt)? 

Le  premier  membre  |)eut  s'écrire  P(;(7S",«),  où  S"  appartient  à  G';  la 
période  cp"(«)  correspondant  à  S"  devrait  être  nulle;  elle  devrait  être  de  la 
première  sorte. 


124  SUR  l'ixtégration  algébrique  des  équations  linéaires,  etc. 

La  condition  pour  que  nous  ajons  le  droit  de  dire  que  la  différence  des  deux 
membres  de  (4)  est  une  constante  serait  donc  que  u  Iransformât  toutes  les 
périodes  de  la  première  sorte  en  périodes  de  la  première  sorte.  Comme  il  n'en 
sera  pas  ainsi  en  général,  tout  ce  que  nous  avons  le  droit  de  dire,  c'est  que 
cette  différence  est  une  intégrale  de  premicie  espèce  que  j'appellerai  K(2,a,o-). 

L'équation  (^his)  devient  alors 

^^^^''  "^~')^|a^\)+K(aS',  a,  a)=  P(z,  a^-')  ,^^^^  +  K{=,  a,  a)  +  çfa,) 


ou  bien 


^^'""''  ^''  .^Uo-M  '  ^^^''  "'  '^  =  ^^"'  ^^' 


en  désignant  par  !p(a,S)  et  $(«,  S)  les  fonctions  cp(«)  et  *^  (a)  qui  corres- 
pondent à  la  substitution  S  et  par  6(S,o,a)  la  période  de  R(;,fl,o-)  qui 
correspond  à  S. 

Comme  x  est  une  fonction  fuchsienne  de  c  admettant  le  groupe  G,   elle 
reprend  la  même  valeur  pour  ;  =  a  et  pour  ;  =  au"'  :  on  peut  donc  écrire 

ç(aa-',  S')  r/rta-'-H  l)(S',  a,  fj)  da  =  9(«,  S;  da, 
d'où 


(5) 


TofS',  a,  'S)da  =  -Pin,  S)  —  <t>(  an-'.  .S')  +  const. 


Le  résultat  s'énonce  donc  sous  une  forme  plus  simple  quand  on  compare  les 

intégrales  de  seconde  espèce  * 

l'es.  a).     P(3cr,  n). 

Alors  la  période  de  la  première  de  ces  intégrales  qui  correspond  à  S  serait 
égale  à  9(ft),  de  même  (pie  la  période  de  la  seconde  intégrale  qui  corres- 
pond à  S'. 

Donc  les  périodes  /(iit'hniicntalcs  de  I'(;(t,^/)  scraicnl  des  combinaisons 
linéaires  à  coefficients  entiers  des  périodes  fondamentales  de  V{z,a). 
Seulement,  V^za.  a)  ne  rentrerait  pas  dans  le  type  des  intégrales  P(;,rt),  parce 
que  ses  périodes  de  première  espèce  ne  seraient  pas  nulles  en  généial. 

Pour  aller  plus  loin,  cherchons  la  condition  pour  <ja  il  existe  une  fonction 
rationnelle  F{x,y)-de  x  et  de  y  qui  satisfasse  à  une  équation  linéaire 

d'ordre  n.   Cette  fonction  rationnelle   sera  évidemment  égale  à  une  fonction 
fuchsienne   $,(;)    admettant   le   groupe    G'.    Si    alors   a   est    une    substitution 


SUR  l'intégration  algébrique  des  équations  linéaires,  etc.  125 

quelconque  de  G  n'apparlen;int  pas  à  G',  <ï>(;ff)  satisfera  à  la  même  équation, 
de  sorte  que  les  m  fonclions  fuchsieunes  >l>{za)  ne  seront  pas  linéairement 
indépendantes  et  s'exprimeront  linéairement  à  l'aide  de  n  d'entre  elles.  Il  y 
aura  donc  entre  ces  m  fonctions  {m — -/()  relations  linéaires.  Cette  condition  est 
d'ailleurs  suffisante. 

Soit  alors  (3  un  des  pôles  de  <]>(;);  soient 

m  substitutions  de  G,  distinctes  par  rapport  à  G',  c'est-à-dire  telles  qu'aucune 
des  combinaisons  (j,<j'J'  n'appartienne  à  G'.  Considérons  les  pôles 

[icT,,     ri,, (3cr„„ 

el  soient 

«1,         Un,  ....         tl,„ 

les  résidus  correspondants  de  <!>(;).  Si  l'un  de  ces  points  n'était  pas  un  pôle 
de  ^(.;),  le  résidu  correspondant  serait  regardé  comme  nul. 
Posons 

de  façon  que 

soient  les  résidus  correspondants  de  la  fonction  rationnelle  V{x,y).  Alors  ces 
mêmes  points  seront  encore  des  pôles  pour  tI>(j(T)  avec  les  résidus 

J/([i<T,)'         <l'(fi<T,)'         ■■■'        ■i^ib'^m)' 

les  lettres  b,{<j),  ^^((t),  ...,  b,„{<j)  n'étant  autre  chose  que  les  lettres  6,, 
^2)   •  .  .  )  i>„.  placées  dans  un  autre  ordre.  II  est  aisé  de  voir  ce  que  c'est  que  cet 

ordre.  On  aura 

bi,(<j)=bi 
si  l'on  a 

a,a-i  =  aiS, 

S  appartenant  à  G'. 

En  d'autres  termes,  les  lettres  Oi(<7)  ne  sont  autre  chose  que  ce  que  devien- 
nent les  lettres  6,  quand  on  les  permute  en  leur  faisant  subir  une  des  substi- 
tutions du  groupe  siniiiiement  transitif  H  de  la  relation  algél>rique  (2) 
^(^)  J')  =  o. 

Nous  avons  dit  qu'il  j  a  (m  —  n)  relations  linéaires  entre  les  fonctions  <l>(cff); 
il  y  aura  les  mêmes  relations  linéaires  entre  les  résidus  d'un  même  pôle,  par 
exemple  entre  les  6|(c7),  les  mêmes  encore  entre  les  bî{a),  les  mêmes  enfin 
entre  les  b,„{rj). 


ri6  SUH    L'iNTÉGnAllON   ALGÉBIUyilE    DES    ÉQUATIONS    LINÉAIRES.    ETC. 

Formons  alors  un  délerminanl  ù  m  lignes  el  m  colonnes,  où  la  A'"""''  ligne 
sera  formée  par  les  b/,{a),  dételle  sorte  que  dans  chaque  ligne  nous  retrouvions 
les  mêmes  lettres  bt,  60,  .  .  .,  b,„  dans  un  ordre  dift'érenl.  C'est  ce  que  M.  Fro- 
benius  appelle  un  détcrminani  de  groupe  (  Gruppendeterminant). 

Il  y  aura  les  mêmes  (/»  —  n)  relations  linéaires  entre  les  éléments  des  diverses 
lignes  de  ce  déterminant,  c'est-à-dire  que  le  déterminant  s'annu/era  ainsi 
(jue  ses  mineurs  des  (m  —  «  ^  i)  premiers  ordres. 

Nous  venons  de  voir  que  la  condition  nécessaire  pour  qu'il  y  ail  une  fonction 
rationnelle  V(x,y)  satisfaisant  à  une  équation  linéaire  d'ordre  n,  c'est  qu'il 
existe  des  nombres  b,,  b,,  .  .  .,  b,n  dont  le  déterminant  satisfasse  à  la  condition 
que  je  viens  d'énoncer.  Je  dis  que  cette  condition  est  également  suffisante. 

Supposons  en  effet  qu'elle  soit  remplie  et  soit  '!'(;)  une  fonction  fuchsienne 
quelconque;  envisageons  la  combinaison 

hi  *!)(  jayi  )  --  /'•,  *(  3!i^')-t-.  .  .  J-  (>„L  '!>(  ;^7„'  )  =  61  cj. 

Nous  pouvons  toujours  choisir  *I*(cj  de  telle  façon  que  ©(;)  ne  soit  pas 
identiquement  nulle;  il  suffit  par  exemple  de  supposer  que  *i>{^)  admet  le  pôle 
c  =  pj.sans  admettre  aucun  des  pôles 

s  =  [iT;,         z  =  |i3j,         . . .,         z  =  [i(j„,. 
Cela  posé,  nous  aurons 

si  l'on  su|)pose 

3,;r-i  =  <!;(.  S  =  S'a/., 

S  el  S  appartenant  à  (i'. 

Ainsi0(:;(7j  est  f(irmé  comme  0(;),  saufqueles  coefficients ///,  sont  remplacés 
par  les  coefficients  /'/.(ct). 

Or,  par  hypothèse,  il  ja,  entre  les  quantités  b/t(c-),  [m  —  n)  relations  linéaires 
de  la  forme 

(61  "y,  A  />,(  7)  ^V  A  ^.(7)  =...=y  A  A„,(>)  -^  o. 

On  aura  donc  également  les  {m  —  n)  relations 

V  Ae(;7)  =  o, 

ce    qui    veiil    diie    que   la    fonction    B(c)    satisfera    à    une    équation    linéaire 
d'ordre  //.  c.  q.  f.  n. 


SUR    l'intégration    algébrique    des    équations    linéaires,    etc.  127 

Soit  alors  K(;j  une  iiilégiale  de  première  espèce  quelconque;  posons 
i{z)  sera  aussi  une  intégrale  de  première  espèce  et  nous  aurons     • 

car,  S  appartenant  à  G,  on  aura 

k(  sS)  —  K(3)  =  const. 

On  a  donc,  à  cause  des  équations  (6), 
(y)  V  A  J  (  37)  =  consl. 

Observons,  avant  d'aller  plus  loin,  qu'il  résulte  de  nos  définitions  que 

et  d'ailleurs  le  sous-groupe  (î'  étant  invariant,  on  aura,  pour  une  substitution  S 

quelconque  de  G', 

bi((Ji)  =  6<.(Sa,)  =  6<.(a,S). 

Soit  alors 

J  (  c  S  a  )  —  J  (  3  <T  )  =  (O  (  3  ). 

Alors  co(o-)  sera  une  constante,  puisque  ce  sera  une  période  de  l'intégrale  de 
première  espèce  }{z)  et  l'on  aura 

\^    A    Mil)  =  U, 

en  mettant  en  évidence  les  indices 

(8)  ^A,(o(cr,)  =  o. 

Observons  que  oi{(J,)  est  la  période  de  J  {:■)  qui  correspond  à  S,  tandis 
que  aj(6;)  est  la  période  de  3{:)  qui  correspond  à  la  substitution  cr^'Sa,, 
laquelle  appartient  aussi  au  sous-groupe  G'. 

Donc  co(a^'(T,)  correspondra  à  la  substi-tution  0-7  '  c'a  S  c^  '  a, .  Or,  je  puis 
répéter  le  même  raisonnement  qui  m'a  conduit  à  l'équation  (8)  en  remplaçant  S 
par  ctaSt^'  ;  j'obtiendrai 

^  A ,  w  (  s;;:  I  (7,  )  =  o. 


128  SUR  l'intégration  algébrique  des  équations  linéaires,  etc. 

Si  alors  je  pose 

j'aurai,  en  supprimant  les  indices  i, 

(9)  "V  A  cui(g)  =  >   A  co;(a)  =■  ■  ■=^  A  u)„,  (J)  =  o. 

On  voit  qu'il  y  a  entre  les  w  les  mêmes  relations  qu'entre  les  b\  les  périodes 
de  l'intégrale  J(-)  peuvent  donc  jouer  le  rôle  des  l>. 

Tout  ce  qui  précède  deviendrait  illusoire  si  J  (^)  se  réduisait  à  une  constante. 
Nous  sommes  donc  conduit  à  nous  poser  la  question  suivante  : 

Peut-il  arriver  que,  quelle  que  soit  l'intégrale  K(;)  choisie,  on  ait 
(Kl)  %    6,- kfsa^i)  =  const. 

Soient  alors  a  un  nombre  quelconque,  ai)  '  un  de  ses  transformés,  et  soit 


da 


:  C;, 


Soit  K.'(c)  ^—j-  la  dérivée  de  Iv  ;  nous  aurons  * 

2^'Az^'^^^'")='^' 

ou,  en  faisant  c  =  a, 

y ^  bjCj  k'(c;  J~')  —  o. 

quelle  que  soit  l'intégrale  K(;)  choisie;  nous  aurons  en  particulier 

2^  hiCi  ipl'ojri^  =  o, 

cp(a)  étant  la  fonction  qui  figure  dans  la  relation  (3),  puisque  nous  avons  vu 
que  cette  fonction  est  la  dérivée  d'une  intégrale  de  première  espèce. 
Posons  alors 

V  6,c,P(2.  «crri;=H(2); 

nous  aurons,  en  vertu  de  la  relation  (3), 

H(2S)—  H(3)  ="y  6,r,s(«(j-i)  =  o, 

c'est-à-dire  que    toutes  les  périodes  de  H(;)  seront  nulles,   c'esl-à-dire  que 
H(.3)  sera  une  fonction  fuchsienne  de  ;  et  une  fonction  rationnelle  de  x  et  de  r- 


SIR    l'intégration   algébrique   DBS    ÉQUATIONS    LINÉAIRES,    ETC.  1 29 

Quant  à  ses  pôles  ;  =  aa-  *,  ils  correspondront  tous  à  une  même  valeur  de 
J7,  X  =  JCo,  puisque  x  est  une  fonction  fuchsienne  de  ;  admettant  le  groupe  G, 
ne  changeant  pas  par  conséquent  quand  on  change  z  en  z&j' .  Nous  pouvons 
d'ailleurs  supposer  que  Xd  est  fini,  puisque  a  est  arbitraire.  Tous  les  pôles 
sont  d'ailleurs  simples. 

11  y  a  donc  deux  cas  concevables  : 

1"  Ou  bien  on  peut  choisir  di's  intégrales  de  première  espèce  telles  que,  en 
formant  avec  leurs  périodes  un  déterminant  de  groupe  de  la  façon  que  nous 
avons  dite,  ce  déterminant  s'annule  ainsi  que  ses  mineurs  des  (m  —  n  —  i) 
premiers  ordres. 

2°  Ou  bien  les  nombres  b  sont  tels  que,  pour  toutes  les  intégrales  de 
première  espèce  K(3),  on  ait 

\   bi  K('  S5~')  =  const. 

Nous  verrons  plus  loin  que  les  deux  cas  peuvent  se  réaliser. 
Quoi  qu'il  en  soit,  nous  devons  retenir  les  résultats  suivants  : 

a.  Quand  on  passe  de  l'intégrale  K(;)  à  l'intégrale  K(ro-),  les  périodes  de 
cette  intégrale  subissent  une  substitution  linéaire.  L'ensemble  de  ces  substitu- 
tions linéaires,  dont  les  coefficients  sont  des  entiers,  forme  un  grouoe 
isomorphe  à  H. 

b.  Il  j  a  entre  les  périodes  des  intégrales  abéliennes  un  certain  nombre  de 
relations.  On  pourra  obtenir  de  semblables  relations  de  deux  manières  : 

1°   Si  les   nombres  b   ne    sont  pas    tels  que  ^  6,K(;(77' )  ^  const.,    on   en 

obtiendra  en  écrivant  que  le  déterminant  de  groupe  formé  comme  nous  l'avons 
dit  est  nul  ainsi  que  ses  mineurs  des  {ta  —  n  —  i)  premiers  ordres. 

2"  On  sait  que,  entre  les  périodes  de  deux  intégrales  quelconques  de 
première  espèce  K.(  j)  et  K'(r),  il  y  a  une  relation  bilinéaire  due  à  Piiemann. 

Si  nous  prenons  R'(5)  =  K(;c7),  les  périodes  de  K'(;)  seront  des  combi- 
naisons linéaires  à  coefficients  entiers  de  celles  de  K.(«).  Si  nous  substituons 
ces  combinaisons  dans  la  relation  de  Riemann  àla  place  des  périodes  de  K\c), 
nous  aurons  entre  les  périodes  de  K(c)  une  relation  quadratique  à  coefficients 
entiers. 

H.  P.  —  III.  n 


i3o  SUR  l'intégration  algébrique  des  équations  linéaires,  etc. 


IV.  —  Étude  d'un  exemple  particulier. 

Avant  d'aller  plus  loin,  je  veux  appliquer  co  qui  précède  à  un  exemple 
simple,  et  je  choisirai  uu  groupe  qui  a  été  étudié  en  détail  par  M.  Klein.  Je 
veux  parler  du  groupe  de  la  résolvante  de  Galois  de  l'équation  modulaire  du 
septième  ordre.  Le  groupe  de  (ialois  de  cette  résolvante  est  isomorphe  au 
grou|>e  qui  permute  les  lettres 

I,     2,     3.     4.     0.     G.     7,     =0 

de  la  manière  suivante.  Une  substitution  quelconque  de  ce  groupe  changera  la 
lettre  z  (où  c  =  i ,  2,  3,  4)  5,  6,  7  ou  00)  en  z',  où 

(niod  7  ). 


y  z  -^  0 

a,  (3,  y,  0  étant  des  entiers  tels  que 

a3  —  3y  ^E  I         (  iiiod  7  ). 

Ce  groupe  (qui  est  alors  isomorphe  à  notre  groupe  H)  est  d'ordre  168  et 
peut  être  considéré  comme  dérivé  de  deux  sulistitulions  fondamentales 

Entre  ces  deux  suhstilulions,  nous  a\ons  les  relations  fondamentales 

(I)  2;;  =  Si  =  (  S,  23)^=1. 

et  nous   en   avons    encore   d'autres,   parmi    lesquelles  je    citerai    seulement  la 

suivante  : 

l, -ï^sr  —  '• 

Construisons  maintenant  le  groupe  fuchsien  G,  auquel  II  est  mériédri- 
qucment  isomorphe.  Pour  cela,  nous  n'aurons  qu'à  le  faire  déri\er  de  deux 
substitutions  fondamentales  Cj  et  (7.>,  entre  lesquelles  auront  lieu  les  relations 
fondamentales  suivantes,  identiques  aux  relations  (  1  )  : 

(\    ÙIS  )  (j3  =  3  J  =  (  (J,  ^3  )'  =    I  . 

Le  polygone  fuchsien  correspondant  R(,  est  un  quadrilatère  formé  de  deux 
triangles  svmélriques  l'un  de  l'autre  (je  \eux  dire  symétriques  au  sens  de  la 


SUR    L'iNTKGlUrlON    AIGÉBRIQUE    DES    ÉQUATIONS    LINÉAIRES,    ETC.  l3l 

Géométrie  non  euclidienne).    Pour  chacun  de  ces  triangles,  les   trois   angles 
sont  : 

::        -        ~ 
2  j  7 

Formons  maintenant  le  sous-groupe  G',  ce  sera  encore  un  groupe  fuchsien 
dont  le  polygone  générateur  R'^,  sera  décomposable  en  168  quadrilatères 
égaux    à   Ro    (toujours  au   point  de  vue  non  euclidien)   ou   en  336  triangles 

d'angles  -.  ^  j  -  • 

"■.«3     7 

M.  Klein  a  construit  ce  polygone  qui  a  i4  côtés  el  est  décomposable  en 
i4  triangles  équilatéraux  égaux  dont  les  angles  sont  égaux  à  -•  Chacun  de  ces 
i4  triangles  se  décompose  lui-même  en  a4  triangles  dont  le-<  angles  sont 

7t  Tt  TT 

Il  suffira  de  représenter  ici  l'un  de  ces  triangles.  J'ai  fait  celte  représentation 
scliématiquement  en  remplaçant  les  triangles  curvilignes  par  des  triangles 
rectilignes;  j'ai  marqué  chaque  point  par  les  chiffres  2,  3  ou  7,  selon  que  les 

,         ,  •  ,  ...  t:     Il  r. 

angles  des  triangles  qui  y  aboutissent  sont  -  .  -  ou  ;;• 


La  décomposition  de  chaque  triangle  se  déduit  d'ailleurs  aisément  de  celle 
du  triangle  contigu,  si  l'on  observe  que  les  deux  figures  représentant  la  décom- 
position de  ces  deux  triangles  sont  symétriques  par  rapport  au  côté  commun. 

Il  reste  à  définir  la  façon  d(inl  les  (piatorze  côtés  du  p(dygone  R„  sont 
conjugués. 


l32  SUR    l'intégration    algébrique    des   EQUATIONS   LINÉAIRES,    ETC. 

Pour  cela,  numérolons  ces  côtés  en  faisant  le  tour  du  polygone  dans  le  sens 
direct. 

M.  Ivlein  a  démontré  que  les  cùlés 

i,io,     3.12,     5.14.     7.2.     9.4,     II. 6,     i3.8 
sont  conjugués. 

On  voit  que  les  sommets  forment  deux  cycles,  l'un  comprenant  tous  les 
sommets  de  rang  pair,  l'autre  tous  les  sommets  de  rang  impair.  La  somme  des 
angles  pour  chacun  de  ces  cycles  est  arr.  D'après  la  formule  bien  connue,  le 
genre  y  est  égal  à  .H. 

Soit    maintenant    Iv(;)    une    intégrale    abélienne    quelconque    de    première 

espèce  engendrée  par  le  groupe  G'  et  étudions  ses  périodes. 

Soient  : 

:,     l'intégrale  prise  le  lonç:  des  entés     i  et     2, 

£5  »  3  et  4) 

£3  »  0  et  G. 

£1  »  7  et  8, 

£,  »  9  fît  io> 

E„  »  1 1  et  12, 

£,  »  1  3  et  ij. 

Ce  seront  des  périodes:  car,  quand  on  a  parcouru  deux  côtés  consécutifs  du 
polygone,  on  est  passé  d'un  sommet  de  rang  pair  à  un  sommet  de  rang  impair, 
c'est-à-dire  n/i/iar(eiianl  au  même  cycle.  De  plus,  un  a 

£, -i- Ej -1- E3 -i- El  +  E5 -t- -r. -+- E,  =  (I, 

car  l'intégrale  prise  le  long  du  polygone  entier  doit  être  nulle. 
.Soient  maintenant 

Y  Y  V  Y  y  >■  y  * 

,1.       Çî,       -;i,       i,l.       ^.'ï.       sr,.       1,7 

les  périodes  qui  correspondent  aux  substitutions  qui  changent  respectivement 
les  côtés 

I  en  10,     2  en  12,     5  en  i4,     7  en  2,     9  en  4,      "  ?"  t>,      i3  en  8, 

nous  aurons 

',=  — :,;— £7-  !^;  =  — Et— El,  ^3  =  — m— e?,  ?t  =  — Eî— E3, 

Soit  maintenant  une  seconde  intégrale  K'(;)  ayant  pour  périodes  t'  et  Ç',  de 
sorte  que  l'on  ait 

Ç,  =  —  b',. —  e'-,  .... 


SUR  l'intégration  algébrique  des  équations  linéaires,  etc.  i33 

L'intégrale 


j  k',/K, 


prise  le  long  du  polygone  entier  devra  êlre  nulle,  de  sorte  qu'on  aura 

ï'i  ai  -f-  Ço  a.,  4-  ^3  a,-,  ■+-  'Ç,\  a,  -h  l'-,  a,  ^  r;.,  a, ,  ^  ^'^  a,n  =  o, 

en  désignant  par  a,  l'intégrale  K.  prise  le  long  du  côté  i,  de  telle  sorte  que 

C(  I   ^"1 —    j(  j  II  — —    3C;j  ~r~    jï  I  1    — ^  •   •   ■  " . 

'ô  ^  ^9 — ^i!  -6=  a,,  —  a,,  57=  a,;, —  a;,, 

En  remplaçant  les  t  et  les  ot  en  fonctions  des  e'  et  des  £,  on  trouve 
(a)  'i'2 —  'î'i  -^  -1  -:i  —  î:i-i  +  =1  -s       -•■-1  ^  '1  '0     ^  '6'i  ^  ';-3 

que  je  pourrai  écrire  sous  la  forme  symbolique 

{■ibis)         (i2)  — (i3)-^  (13)^  (i6)  —  (-2-3j-^  (-26  )^(. IV)  ^  (,)«)  —  (  3t>;  =  o. 

Je  remarque  que,  si  nous  posons 

-1 =3 =C=",'l,  '!-+-  '3 --  'ô-^  '!•>  =   Yîi  S.1=Y3- 

£5-i-Sf.=  Tl,  '3=Ï5,  'Ô=V6. 

la  relation  (2  )  devient 

ïiTs  —  TîT'i  +  ï:i T'.  —  ï» Ts  ^  ïsïé  —  ïc Ï5  =  o> 

c'est-à-dire  que  les  périodes  y  sont  Xes  périodes  normales. 

Examinons  maintenant  l'effet  des  diverses  substitutions  du  groupe  G.  Parmi 
les  points  de  notre  polygone,  nous  distinguons,  en  particulier,  les  points  (-), 
c'est-à-dire  les  points  qui  sont  sommets  de  quatorze  triangles  avec  un  angle  f  ; 
nous  avons  d'abord  le  centre  de  notre  polygone,  puis  ses  quatorze  sommets; 
nous  en  avons,  en  outre,  un  sur  chaque  côté  et  un  sur  chacun  des  quatorze 
ravons  allant  du  centre  aux  sommets.  Mais  les  différents  sommets  de  rang 
impair  ne  sont  pas  réellement  distincts,  puisqu'ils  font  partie  d'un  même  cycle 
et  qu'ils  sont,  par  conséquent,  congruents,  c'est-à-dire  transformables  les  uns 
dans  les  autres  par  une  substitution  du  sous-groupe  G'.  De  morne  pour  les 
sommets  de  rang  pair;  de  même  enfin  pour  les  deux  points  (r)  situés  sur  deux 
côtés  conjugués. 


i34  SUR  l'intégration  algébrique  des  équations  linéairks,  etc. 

Nous  aurons  donc  en  toul  vingt-quatre  points  (-j)  réellement  distincts. 

Considérons  la  substitution  CT3 ;  c'est  une  rotation  (au  sens  non  euclidien) 
d'un  angle  — -autour  du  centre  du  polygone.  Cette  rotation  transforme  les  uns 
dans  les  autres  les  sommets  de  rang  pair,  de  même  que  ceux  de  rang  impair, 
de  sorte  qu'elle  transforme  chacun  de  ces  sommets  en  un  point  congruenl. 
Cela  nous  amène  à  distinguer  parmi  nos  vingt-quatre  points  ('^)  ceux  qui 
correspondent  au  centre  et  aux  sonmiets  du  polygone;  je  les  appellerai  les 
points  A. 

Nous  sommes  donc  conduits  à  répartir  nos  vingt-cjualre  points  (7)  en  huit 
groupes  comprenant  chacun  trois  points  (7)  distincts;  nous  les  appellerons  les 
points  A,  les  points  B,  .  .  . ,  les  points  H. 

Numérotons  les  sommets,  les  rayons  du  polygone  dans  le  sens  direct,  comme 
nous  avons  fait  pour  les  côtés;  faisons  de  même  pour  les  quatorze  secteurs  ou 
triangles  dans  lesquels  on  peut  décomposer  ce  polygone,  et  cela  de  telle  sorte 
que  les  sommets  du  côté  i  soient  les  sommets  1  et  2  et  que  le  secteur  i  soit 
compris  entre  le  côté  1  et  les  rayons  1  et  2. 

Cela  posé,  les  trois  points  B  seront  les  points  (7)  qui  se  trouvent  sur  le 
côté  i  et  sur  les  rayons  opposés  6  et  i3  :  les  trois  points  C  se  trouveront  sur  le 
côté  3  et  sur  les  rayons  opposés  8  et  i  :  les  trois  points  D  se  trouveront  sur  le 
côté  5  et  sur  les  rayons  opposés  10  et  3;  et  ainsi  de  suite. 

Dans  ces  conditions,  une  rotation  d'un  angle  multiple  de  ^  autour  de  l'un 

7 

des  points  A  change  tout  point  A  en  un  point  A,  et  conserve,  par  conséquent, 
la  lettre  A,  et  permute  circulairement  les  unes  dans  les  autres  les  sept  autres 

lettres:  de  même  une  rotation  d'un  angle  multiple  de  ^autour  de  l'un  des 

7 

points  B  conserve  la  lettre  B  et  permute  circulaircmenl  les  unes  dans  les  autres 
les  sept  autres  lettres. 

Plus  généralement,  une  substitution  quelconque  de  G  permutera  d'une 
certaine  manière  nos  huit  lettres;  de  telle  sorte  que  si  elle  change,  par 
exemple,  un  point  A  en  un  point  B,  elle  changera  tous  les  autres  points  A  en 
des  points  B. 

Ces  permutations  de  8  lettres  formeront  un  groupe  qui  ne  sera  autre  chose 

que  notre  groupe   (;,    "  ^  "^  )  de  168  substitutions. 

Nous  distinguerons  en  particulier  la  substitution  a,  qui  coirespond  à 
[z,  z-\- 1),    la    substitution   ctj    qui    correspond    à    (:■, )>    et   la    substi- 


Sl'll    l'iMTÉGRATION   ALGÉBRIQUE    DES    ÉQI'ATIONS    LINÉAIRES,    ETC.  l35 

tulion  1,,  ([ui  est  une  combinaison  des  deux  premières  et  (jue  je  définirai 
comme  il  suit  : 

C'est  une  rotation  d'un  angle  -^  autour  du  centre  de  figure  du  secteur  i, 
lequel  secleur,  représenté  d'ailleurs  sur  la  figure  i,  est,  comme  nous  le  savons, 
un  triangle  équilatéral.  Cette  substitution  conserve  les  lettres  A  et  D  et 
permute  les  autres  de  la  façon  suivante  : 

(A)(Dj(GCI3)(EFII). 

Chacune  des  substitutions  a-  de  G  change  R',,  en  un  polygone  R^  égal  à  R,, 
(au  point  de  vue  non  euclidien)  et  qui  pourrait  tout  aussi  bien  que  R^  engen- 
drer le  groupe  fuchsien  G'. 

Soient  toujours  s, ,  £25   ■  .  . ,  St  les  périodes  de  l'intégrale 

K(3)=K(  =  5,) 

et  soit  a  une  substitution  quelconque  de  G  ;  quelles  seront  les  périodes  corres- 
pondantes de  l'intégrale  de  première  espèce  K(s(7)?  Si  ;  décrit  une  courbe 
quelconque,  zrj  décrira  la  transformée  de  cette  courbe  para;  si  donc  z  décrit 
deux  côtés  contigus  de  R|,,  za  décrira  les  deux  côtés  contigus  correspondants 
de  R",  ;  la  première  période  de  K(;o-)  ^era  donc  l'intégrale  K  prise  le  long  des 
deux  côtés  i  et  2  du  polygone  R'^j. 

En  appliquant  cette  règle,  on  trouve  que  les  7  périodes  de  K(;c-;, )  sont 

-2l        £3,        Ej,        £5,        £f,,        £7,        £,; 

celles  de  K{z<7\)  sont 

£3,      £4.      e.i.      Ef,,      £7,      £1.      £-, 

et  ainsi  de  suite:  celles  de  K(::(Ti)sont  (lire  le  Tableau  dans  le  sens  horizontal) 

£5-1- £3-1- £5-*- £6,      £i— £5+ £7+ £1, 

£6-t-  E7-^-  Ej-I-  £3!        £1+  £?+  £l-+-  £5, 

£3-1- £i-H  £c-t- £7,      £5-1- £6 -+-£]-<- £2, 
£7-1-  £1  H-  £3-1-  £.1; 

celles  de  K( 5(72)  sont 

£*-+-  £3,      £3-^- £6-+- £7,      —£3,      —  £2— £ô— £«, 
£1-1- £«-*- £3-1- !6,      —H,      £2^£3+£6; 

celles  de  K(;;73(T:,)  seront 

£5-l-£c,      £4-1- £7^- £1,      — £4,      — £3— £c--£-'r 
£=-!- £3+ £e-^ '7,      —£7,      £3-+- £4~i-  £?; 

et  ainsi  de  suite. 


l36  SUR    l'intégration   ALGÉBRIQliE    DBS    ÉQUATIONS    LINÉAIRES,    ETC. 

Cela  posé,  reprenons  la  relation  (2)  et  remplaçons  K'(;)  successivement 
parK(3o-3),  K(..a=),  K(;a;;),  K{za,),  K{:-c;,<7,),  K{za,). 

Nous  pouvons  supposer  que  K  ait  été  choisi  de  telle  sorte  que  les  trois 
premières  périodes  soient  i,  o,  o;  nous  appellerons  les  trois  suivantes  x,y,  z, 
de  sorte  que  la  septième  sera  —  1  —  x  —  y  —  :. 

Alors  les  six  premières  périodes  seront  : 


pour  K(;), 
I,  o, 

pour  R(;(T3), 

o,  o, 

pour  K(co-i!), 

o,  X, 

pourK(^cr;;), 

^,  y, 

pour  K(  cffj), 
x^y,     —  I— ./•— /, 

pour  K(;cr2T3), 
pour  K.(z(7i). 

y-hz,  3, 


X, 


J> 


-y- 


—  i  —  .r—y- 


-i—'—y, 


—  I  —  x — y  —  z. 


-y- 


i  +  x+y, 


i^x^y, 


i—y 


y 


On  obtient  ainsi,  par  la  relation  (2),  six  relations  quadratiques  en  .r,  )■ 
qui  sont  (en  changt>anl  les  signes  au  besoin)  : 


(3) 


ly-  +  s'  -f-  -zyz  -i-  2xy  -h  9. y  +  .r  +  i  =  o 

x{x^y-h  z)  =y. 

y-  -I-  z-  -+-  yz  -+-  ,r  -t-  2/  -1-  3  -t-  I  =  o 

(7  +  ./:)(3  —  l)— 7(7-1-  s)=  O 
y-  +  xy  ■+-  yz  -h  x  +  y  -h  i  =  o. 


Le  point  x,  y,  z  doit  donc  se  trouver  sur  cinq  surfaces  du  second  degré;  or 
ces  cinq  surfaces  n'ont  que  deux  points  communs  qui  nous  sont  donnés  par 


7= -+-7  -+-2   : 


SI!R    L  INTEGRATION    ALGEBRIQUE    DES    EQUATIONS    LINEAIRES,    ETC. 

L'équation  en  )■  admet  deux  racines 

y  =  T  ==-.  +x=-^-:S 

X  =  cos '-  i  sm  —  , 


l37 


d'où 


T  — T'^i  =  o, 


TT': 


(')• 


Au  groupe  H  vont  se  trouver  liés  deux  groupes  linéaires  remarquables,  qui 
lui  sont  isomorphes. 

Le  premier  est  celui  qui  lie  les  périodes  de  lv(;5')  à  celles  de  K(;);  par  sa 
nature  même,  il  ne  peut  contenir  que  des  substitutions  à  coefficients  entiers. 
Comme  le  nombre  des  périodes  est  de  sept,  mais  qu'il  n'y  en  a  que  six 
distinctes,  c'est  un  groupe  linéaire  à  six  variables. 

Nous  prendrons  les  périodes  s,,  c.-,,  £j,  £4,  en,  £0)  et  nous  trouverons,  pour  la 
substitution  correspondant  à  o-^, 


0 

0 

0 

0 

—  I 

I 

I 

f) 

0 

0 

0 

0 

—  1 

0 

0 

—  I 

l 

l 

0 

0 

I 

0 

0 

0 

0 

0 

et,  pour  la  substitution  correspondant  à  0-3, 


0 

I 

0 

0 

0 

(t 

0 

0 

I 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

I 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

I 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

1 

Il  est  aisé  de  vérifier  que  le  groupe  dérivé  de  ces  deux  substitutions 
linéaires  a'^  et  a'.^  est  d'ordre  168  et  isomorphe  à  H. 

Le  second  groupe  est  celui  des  transformations  qur  subissent  les  dérivées 
des  intégrales  abéliennes  de  première  espèce;  c'est  un  groupe  linéaire  à  trois 


(')  Quelle  esl  celle  de  ces  deux  racines  qui  convienl  .'  Il  sufiit  de  se  rappeler  que  si  K,  el  K3 

sont   les  parties  réelle  et  imaginaire  de    K,   l'intégrale     /  kjrfK,  prise  le  long  du  périmètre   du 

polygone  est  positive.  Or  cette   intégrale,  si  .r  =  i,  z  =  — 1.   sera   trois  fois  la   partie  imaginaire 
de  y,  nous  devons  donc  prendre  j^'  =  T. 

H.  P.  —  III.  18 


I, 

", 

o, 

'  1 

T, 

—  I, 

T'; 

o, 

", 

I, 

T. 

—  I, 

T'. 

I  ; 

o, 

I, 

T, 

—  1, 

T', 

1, 

o  ; 

I> 

T, 

—  I, 

T', 

I, 

0, 

o. 

i38  SUR  l'intégration  algébrique  des  équations  linéaires,  etc. 

variables;  c'est  celui  que  M.  Jordan  avait  d'abord  oublié  dans  son  énuniération, 
que  M.  Klein  avait  deviné  et  que  M.  Jordan  avait  enfin  retrouvé  dans  une 
analyse  plus  complète. 

Nous  avons  \  u  quelles  sont  les  périodes  de  nos  diverses  intégrales  : 

K{z), 

Nous  tirons  de  là 

Kr  3  5-5)  =  K(  5)-i-i:Th-i)  K(=(J:,)^T  K(2!ji)-^con5t., 

car  il  est  aisé  de  \  érifier  que  les  périodes  de 

Kisîji)— k(3)  — (T  ^i)K(z33)  — TK(372) 
sont  nulles. 

Il  résulte  de  là  que  quand  :■   se  change  en  ;o-3  les  dérivées  des  trois  inté- 
grales K(s),  K(;(7.i),  ^(jo-':;)  subissent  la  substitution  linéaire 

I  o 

o  I 

T-i-i     T 

dont  la  période  est  7  (les  racines  de  l'équation  en  S  sont  7,  z'^,  7'  ). 
Voici  maintenant  les  périodes  des  intégrales  suivantes  : 


K(3a,j, 

T^^ 

, 

—  T  — 2, 

f). 

I  -  '•", 

T, 

1, 

I  ï 

K(332<l3), 

T  — 

, 

1  — T, 

—  I, 

T^-2, 

-T  —  ,, 

T  +  i, 

-T, 

K'  S '.'!), 

—  T- 

-  2. 

T^i, 

—  T, 

T-  i, 

■-T, 

—  I, 

T  +  2; 

d'où  les  relations 

K(3a,)  =(T^-i)K(3)  -,-  (T  — 2)  K(3a.i)-H  (— T  — 2)  K(  35^  )  +  coiist.. 
K(za,cj3  )  =  (T  —  i)K(z)4-(— 2T  — 3)  K(  sa;,)  ^- Ci  —  T)  K(5a^) -i- const., 
K(3cr,!T;:|)  =  (-T  -  2)  K(3)-H  (2  — T)K(3(i3)  +  (T  +  i)  k(3a§)-+-const., 

ce  qui  veut  dire  que   quand   ;  se  change  en    z-c^-,,   les  dérivées    de  nos    trois 
intégrales  subissent  la  substitution  linéaire 


T-i-i 

T  — i 

-  T  —  2 


T  — 2 

-2T  — 3 

2  — T 


-  T  —  2 
I  — T 

T-)-i 


dont  la  période  est  2. 


SUR    l'intégration    algébrique    des    ÉQIATIONS    LINÉAIRES,    ETC.  I ÏIJ 

Considérons  maintenant  l'intégrale  suivante  : 

,,  =  r. 

OÙ  m  prend  l'une  des  valeurs  o,  1,2,  3.  4i  5,  6. 

Il   est  clair  que  si  la  première  période  de  cette  intégrale  est  00,  les  autres 
seront 


loT    '".       (OT— ='".       w-:— "'■'.      tOT 


^ — hm  ttï- 6'" 


Mais  il  peut  se  faire  que  cette  intégrale  se  réduise  à  une  constante  ;  c'est  ce 
qui  arrive  si  oj  =  o. 

Or,  il  est  aisé  de  vérifier  que  ro  =  o  pour 

m  =  o.         III  =  1,         m  =  ).         m  =  4, 

mais  que  w  '  o  pour 

«i  =  3,         «i  =  5,         m  =  6. 

Il  V  a  donc  des  intégrales  dont  les  sept  périodes  sont 

I  --  ■:'  ^«  t8   =  -  tIo^— X-  -i:_-5 


-ri  -8 vl! —  rô  -16 —  -î  -!0 —  t6 

i.,  -      -,  t         t.,  w         ^     .  1.         Tj 


mais  il  n'j  en  a  pas  dont  les  périodes  soient 


I.        -■',        -.",  TJ. 


-6  t3  i-l:  -15  -IS 


1, 


-10  -15  -50  TÎâ  t30 


I,      -",      -■  =  ,      X'»,      ■:=',      T^»,      T-J^ 

1,1,1,  I.  I,  1,  1. 

Une  dernière  remarque  : 

L'intégrale  K(;)  n'a  que  deux  périodes  distinctes,  i  et  T;  elle  est  donc 
réductible  aux  intégrales  elliptiques.  Les  périodes  de  K(;(t),  où  o-  est  une 
substitution  quelconque  de  G,  sont  des  combinaisons  linéaires  à  coefficients 
entiers  des  périodes  de  Iv(c);  il  en  est  de  même  de  celles  de  l'intégrale 

où  les  A  sont  des  coefficients  entiers  quelconques  et  où  la  sommation  s'étend 
aux  168  substitutions,  '7,  distinctes  de  G. 

Les  périodes  de  U  sont  donc  des  combinaisons  linéaires  à  coefficients  entiers 
de  i  et  de  T;  cette  intégrale  est  donc  réductible  aux  intégrales  elliptiques;  de 


l4o  SUR    l'iN'TÉGBATION    ALGÉBRIQIE    DES   ÉQIATIONS    LINÉAIRES,    ETC. 

sorte  qu'il  y  a  une  inftnilé  d'inlésrales  réducliblcs  aux  intégrales 
elliptiques. 

V.  —  Théorèmes  de  Cartan  et  Frobenius. 

Nous  aurons  besoin  dans  la  suite  de  divers  résultats  obtenus  par  M.  Cartan 
dans  un  Mémoire  intitulé  :  Les  groupes  bilinèaires  et  les  systèmes  de  nombres 
complexes  {Annales  de  la  Faculté  de  Toulouse,  t.  XII)  et  par  M.  Frobenius 
dans  une  série  de  Mémoires  publiés  dans  les  S itzungsberichte  de  l'Académie 
de  Berlin  de  1896  a  1901. 

Rappelons  ces  résultats  succinctement  en  insistant  un  peu  sur  certains  points 
pour  faire  voir  comment  s'éclairent  mutuellement  les  théorèmes  de  M.  Cartan, 
d'une  part,  ceux  de  MM.  Dedekind  et  l-'robenius,  d'autre  part. 

Considérons  un  système  d'unités  complexes 

dont  la  nuiliiplication  soit  associative  et  non  commulative;  ces  unités  donneront 
naissance  à  un  système  S  de  nombres  complexes.  Je  supposerai  qu'il  y  a  dans 
ce  système  un  module,  c'est-à-dire  un  nombre  complexe 

a  =^  ai  et 
tel  que  l'on  ait 

a.r  =  j-  a  =  .r, 

quel  que  soit  le  nombre  complexe  .r. 
Soient  maintenant 

deux  nombres  complexes  quelconques,  et  soit 

z  =  j-y  =^  s,e,. 

Il  est  clair  que  les  ;,  seront  des  fonctions  linéaires  des  j'i,  de  sorte  qu'à 
chaque  nombre  complexe  x  correspondra  une  transformation  linéaire  T(r) 
qui  transformera  les  >',  en  z-i  et  dont  les  coefficieuts  seront  des  fonctions 
linéaires  et  homogènes  des  j",. 

Soit  maintenant  l'équation 

-'■/  =  '■'>y, 

où  w  est  un  nombre  ordiniiire;  je  puis  l'écrire 

(j-  —  oa  )/  =  Cl, 


si'B  l"intégr\tion  algébrique  des  équations  linéaires,  etc.  i4i 

ce  qui  exige  que  le  déterminant  de  la  transformation  T{x—  w«)  soit  nul.  Ce 
déterminant,  je  l'appellerai  \{x  —  coa).  ^ 

L'équation 

A  (  .2'  —  w  a  j  =  o 

est  une  équation  de  degré  r  en  w  que  M.  Cartan  appelle  Véqiialion  carac- 
téristique. 

Si  l'une  des  racines  de  celte  équation  est  nulle,  il  existera  un  nombre^  qui, 
multiplié  (à  gauche)  par  x,  donne  un  produit  nul,  de  telle  sorte  que 

uy  =  o 

et  que  x  peut  s'appeler  un  diviseur  de  zéro  (à  gauche):  mais  M.  Cartan  ajant 
démontré  qu'un  diviseur  de  zéro  (à  gauche)  est  en  même  temps  un  diviseur  de 
zéro  (à  droite),  nous  pourrons  dire  simplement  un  diviseur  de  zéro. 

Si  toutes  les  racines  sont  nulles,  M.  Cartan  dit  que  x  est  pseiido/nil.  La 
condition  nécessaire  et  suffisante  pour  quun  nombre  soit  pseudonul,  c'est 
qu'une  de  ses  puissances  entières  soit  nulle. 

Cela  posé,  supposons  qu'on  prenne  pour  unités  complexes  /•  nombres 
complexes  quelconques  du  système  S  au  lieu  de  e,,  e-^..  .  .,  e,.  Soient 


CCS    nouvelles    unités    complexes   qui    seront    des    combinaisons   linéaires    des 
anciennes. 
Soit 

X  =2  XiBi  =2  x\e].         y  =^  j,f,  =  y^  j-;,?;, 


.ly 


^^ie>=^z,e;. 


Que  deviendra  la  .suljs.titulit)n  '^ {x )  qui  changeait  les  yi  en  ;,?  elle  devra 
être  remplacée  par  une  substitution  T'(j)  qui  changera  les y\  en  :■].  Soit  U  la 
substitution  linéaire  qui  change  les  Vi  en  y]  ;  elle  changera  également  les  c,  en 

z'i  ;  de  sorte  qu'on  aura 

T'(.'-)  =  U->T(.r)U. 

c'est-à-dire  que  T'  est  la  transformée  de  T  par  L. 

On  peut  choisir  les  nouvelles  unités  complexes  de  façon  à  réduire  le 
système  S  à  sa  forme  la  plus  simple.  C'est  ce  que  M.  Cartan  a  réussi  à  faire. 

l'our  cela,  il  introduit  la  notion  de  sous-sj  stèmc ;  l'ensemble  des  combi- 
naisons linéaires  de  q  nombres  com|)lexes  appartenant  à  .S  formera   un  sous- 


i42  SUR  l'intégration  algébrique  des  équations  linéaires,  etc. 

système  a  de  S  si  (/<C  /■;  ce  sous-sy>tème  sera  semi-invai-iant  à  droite  si  le 
produit  (à  droite)  d'un  nombre  quelconque  de  a  par  un  nombre  quelconque 
de  S  appartient  à  cr;  on  définit  de  même  la  semi-invariance  à  gauche;  enfin  on 
dit  qu'un  système  est  invariant  s'il  est  semi-invariant  à  la  fois  à  droite  et 
à  gauche. 

Cela  posé,  M.  Cartan  a  montré  qu'un  système  simple,  c'est-à-dire  un 
système  qui  ne  contient  aucun  sous-système  invariant,  ne  peut  être  que  ce 
qu'il  appelle  un  p-  ion,  c'est-à-dire  un  système  à  /)-  unités  e,j(i^j  =i,  2,.  .  .,  j>) 
avec  la  loi  de  multiplication 

eijeji=eii,         e,-,e;/,  =  0         ( ./'?  l'^- 

Parmi  les  systèmes  qui  ne  sont  pas  siiBj)les,  il  distingue  d'abord  les  systèmes 
senii-siinpics  qui  admettent  toutes  les  unités  de  plusieurs  p''  ions,  et  cela  de 
telle  façon  que  le  produit  de  deux  nombres  complexes  appartenant  à  deux 
p-  ions  différents  soit  toujours  nul.  ^ 

Enfin  les  systèmes  qui  ne  sont  ni  simples,  ni  semi-simples,  admettront  toutes 
les  unités  d'un  système  semi-simple  et,  en  outro,  un  certain  nombre  d'unités 
pseudonulles,  dont  les  combinaisons  linéaires  forment  un  sous-système 
invariant  dont  tous  les  nombres  sont  pseudonuls. 

Reprenons  le  déterminant  A(,r)  que  nous  avons  défini  plus  haut,  et  décom- 
posons-le en  facteurs  irréductibles.  A  chacun  des  p-  ions  correspondra  un  de 
ces  facteurs,  qui  sera  de  degré  y>  et  qui  sera  élevé  à  une  puissance  égale  Àp  si 
le  système  est  semi-simple  el  supérieure  à  /'  dans  le  cas  contraire. 

Tels  sont  les  résultats  de  M.  Cartan.  Voyons  comment  ils  peuvent  être 
appliqués  à  la  théorie  des  groupes. 

Considérons  un  groupe  d'ordre  fuiiCj;  aux  différentes  substitutions  faisons 
correspondre  des  unités  complexes,  dont  la  loi  de  multiplication  soit  la  même 
que  celle  des  substitutions.  Je  veux  dire  que,  si  les  unités  e,,  Cj,  e^  corres- 
pondent respectivement  aux  substitution>  (t,,  o-y,  cr/o-y,  on  ait 

'■;''/  =  ''<• 
Cette  loi   est  évidemment  associative.   Envisageons  le  système  de  nombres 
complexes  S  engendré  par  ces  unités  et,  d'abord,  formons  l'équation  caracté- 
ristique   et    le    déterminant   A(.ï)    correspondant,    ainsi    que    la    subslilulion 
linéaire  T{x). 
Soit 

.r=^. /■,£/,  y='^yk'-i.  z  =  j-y='^z/ej, 


SUR  l'intégration  algébrique  des  équations  linéaires,  etc.  I/|3 

il  vient 


Convenons  d'adopler  la  notation  si  commode  de  M.  Frobenius  et  de  poser 

Xi  =;  X 

la  transformation  T(.r)  s'écrira 

de  telle  sorte  que  l'élément  de  la  /.''""'  colonne  et  de  la  y'"'"  ligne  dans  A(;) 
sera  jry,^. 

Ce  déterminant  A(.r)  sera  donc  un  de  ceux  que  M.  Frobenius  appelle 
déterminants  de  groupe:  nous  en  avons  vu  plus  liaut  un  exemple  au  para- 
graphe 3. 

Ainsi  l'on  voit  déjà  apparaître  un  lien  entre  les  travaux  de  M.  Cartan,  ceux 
de  M    Frobenius  et  la  question  qui  nous  occupe  ici. 

Observons  qu'il  y  a  dans  le  système  S  certains  nombres  t,  qui  jouissent  de  la 
propriété  d'être  connu ittables  à  tous  les  nombres  du  système;  je  veux  dire  que 
l'on  aura 

X  étant  un  nombre  quelconque  du  système  8. 

Nous  savons,  en  efl'et,  que  les  substitutions  du  jj;roupe  G  se  répartissent  en 
un  certain  nombre  de  classes,  de  telle  façon  que  toutes  les  transformées  d'une 
même  substitution  par  toutes  les  substitutions  de  C  appartiennent  à  une  même 
classe. 

La  somme  de  toutes  les  unités  complexes  correspondant  aux  diverses  substi- 
tutions d'une  même  classe  sera  un  nombre  commutable;  et  tous  les  nombres 
commutables  seront  des  combinaisons  linéaires  des  nombres  ainsi  obtenus. 

Ces  nombres  commutables  formeront  évidemment  un  sous-système  de 
nombres  complexes  à  multiplication  commutallve.  C'est  ce  sous-système  que 
M.  F'robenius  a  étudié  dans  son  premier  Mémoire  [Ueicr  Grujipencharaktere 
[Sitzungsberichte  de  Berlin,  t.  Il,  1896)]. 

Cela  posé,  on  peut  se  demander  si  le  système  S  est  semi-simple  au  sens  de 
M.  Cartan.  La  réponse  doit  être  affirmative;  en  efl'et,  s'il  n'était  pas  semi- 
simple,  il  contiendrait  un  sous-système  invariant  pseudonul.  Or,  si  un  pareil 
sous-système  existait,  il  contiendrait  au  moins  un  nombre  commutable.  .Soit, 


l44  SUR    l'intégration    algébrique    des    équations   LINÉAIHliS,    ETC. 

en  effet,   z  =  ^a:,e,   un  nombre    quelconque   de   ce  sous-sjslème.  Tous   les 

coefficients  x,  ne  peuvent  pas  être  nuls. 

Supposons  donc  Xk^o. 

Soit  !7a  la  substitution  de  G  qui  correspond  à  l'unité  t'A,  et  désignons  par  ej^ 
l'unité  qui  correspond  à  la  substitution  inverse  c^'.  Nous  aurons 

e^eÂ'  =  e,, 
Ci  étant  l'unité  qui  correspond  à  la  substitution  identique.  Le  nombre 

fait   paitie  du  sous-sj'Stème,  puisque  ce  sous-sjstème  est  invariant.  Dans  ce 
nomin-e  complexe,  le  coefficient  de  e,  est  égal  à  x/,.  De  même  les  nombres 


(où  (ij  est  une  quelconque  de  nos  unités)  feront  partie  du  sous  sjstème  et  le 
coefficient  de  t'i  sera  égal  à  x^.  Enfin  le  nombre 

fait  partie  du  sous-système;  il  devrait  donc  être  pseudonul;  d'ailleurs  le 
coefficient  de  e,  est  égal  à  rXk  {>'  étant  l'ordre  du  groupe  G)  et,  par  conséquent, 
difi'érent  de  zéro.  Donc  le  nombre  )•  n'est  pas  nul.  De  plus,  il  est  aisé  de  voir 
que  ce  nombre  r  est  commulable. 

•Si  donc  il  v  avait  un  sous-sjsléme  invariant  pseudonul,  il  y  aurait  un 
nombre  commutable  pseudonul. 

Or  M.  Frobenius  a  montré  qu'il  n'y  avait  pas  de  nombre  commutable  pseu- 
donul, ou  plutôt  il  a  montré,  ce  qui  revient  au  même,  que  le  déterminant  de 
certaines  quantités  qu'il  appelle  les  p^i^  n'est  pas  nul  (loc.  cil.,  p.  990  et  991)- 

Donc  le  5)-.s7é/«e  S  est  scini-simple  et  réductible  à  un  certain  nombre  de 
p-  ions.  Or  on  conclura  immédiulement  (pie  (-haque  facteur  irréductible  du 
déterminant  à(x)  est  affecté  d'un  exposant  égal  à  son  degré.  G'est  le  théorème 
fondamental  établi  d'une  manière  un  peu  différente  par  M.  Frobenius  dans  son 
second  Mémoire  [Ueber  die  PrimJ'actoren  der  Grup/iendeteriiiinante  (Sitz. 
de  Berlin,  t.  II,  1896)]. 

Chaque  p-  ion  contient  un  nonibie  commutable  et  un  seul;  si,  en  effet,  les 
unités  e'^(i  de  ce//-  ion  sont  choisies  de  telle  sorte  que 


SUR    L  INTEGRATION    ALGEBRIQUE    DES   EQUATIONS    LINEAIRES,    ETC.  143 

le  nombre 

e'ti  -t-eô-j-H..  .-i-  e'pp 

sera  comimUable  à  toutes  les  unités  du  y/-  ion,  et  il  n'y  en  aura  [)as  d'autres. 

Il  sera  d'ailleurs  commutable  également  aux  unités  des  autres  y/-'  ions;  car 
nous  savons  que  le  produit  de  deux  nombres  appartenant  à  deux  p-  ions 
différents  est  toujours  nul. 

On  peut  conclure  de  là  qu'il  y  a  précisément  autant  dey/-  ions  (ou  autant  de 
facteurs  irréductibles  de  A)  qu'il  y  a  de  nombres  commutables  distincts,  c'est- 
à-dire  qu'il  y  a  de  classes  de  substitutions  dans  le  groupe  G. 

Cela  posé,  on  peut  appliquer  au  système  S  les  procédés  de  M.  Carlan  et 
choisir  de  nouvelles  unités 

e\.      e\.       ....      e'r, 

de  façon  à  réduire  le  système  autant  que  possible.  On  aura 

la  sommation  sétendant  aux  différentes  valeurs  dey^  correspondant  aux  diffé- 
rents yO^  ions;  elles  unités  de  chaque  y^)'^  ion  seront  choisies  de  telle  sorte  que 

et  que  le  produit  de  deux  unités  appartenant  à  deuxy»-  ions  différents  soit  nul. 
Que  devient  alors  la  substitution  linéaire  T(x);  elle  se  transforme,  comme 

on  l'a  vu,  en 

T'(.r)  =  U-'T(x)U, 

U  étant  la  substitution  linéaire  qui,  dans  un  même  nombre  complexe,  lie  les 
coefficients  des  nouvelles  unités  e'  à  ceux  des  anciennes  unités  e;  et  alors  on 
voit  que  la  substitution  T'(.r)  se  décompose  en  plusieurs  substitutions  linéaires 
simultanées. 

Désignons  les  unités  nouvelles  e'  par  une  notation  à  trois  indices  e'^a.,; 
le  premier  indice  représente  le  numéro  duyv-  ion  auquel  appartient  l'unité,  les 
deux  autres  indices  distinguent  les  unes  des  autres  les  diverses  unités  d'un 
même  p-  ion.  La  loi  de  multiplication  est  alors 

tous  les  autres  produits  étant  nuls.  Dans  certains  cas,  le  premier  indice 
deviendra  inutile  et  nous  le  supprimerons;  quand  il  n'y  aura  que  deux  indices 
ce  sera  donc  le  premier  indice  qui  aura  été  supprimé. 

H.  P.  —  III.  ig 


i46  SLR  l'intégration  algébrique  des  équations  linéaires,  etc. 

Cela  posé,  soit 

z  =  ry  =2j^'oi?-r'''a';iy 
II  s'agit  d'étudier  la  transformation  T' (x)  qui  change  les  )'  en  ;'.  On  trouve 

la  sommation  s'étendant  aux  différentes  valeurs  de  ô. 

Ainsi  les  variables  ;'  dépendront  uniquement  des  variables  )'  qui  ont  même 
premier  indice  et  même  dernier  indice  que  z,  ce  qui  montre  cpie  la  transfor- 
mation T'(./')  se  décompose   en  ^ /'    transformations    linéaires    partielles   à 

f>  variables. 

J'observe  que  si  je  conserve  l'indice  x  et  que  je  change  l'indice  ■/,  les  coeffi- 
cients x^gç  ne  changent  pas.  Les  variables  v«Se  subissent  donc  /a  inrine  trans- 
formation  linéaire    que    les    variables    )a6y    Nos  2uP  substitutions   linéaires 

partielles  sont  donc  identiques  p  à.  p. 

Nous  devons  nous  poser  maintenant  une  question.  Quand  arrUe-t-il  que 
le  déterminanl  à(x)  est  nul  ainsi  que  tous  ses  mineurs  des  (/>■  —  i)  premiers 
ordres?  En  effet,  nous  avons  vu  au  paragraphe  3  que  le  déterminant  de  groupe 
formé  par  les  quantités  que  nous  avons  appelées  bi{(j)  devait  satisfaire  à  cette 
condition. 

Si  le  déterminant  A(a?)  3'  satisfait,  il  en  sera  de  même  du  déterminant  de  la 
substitution  T'(.r)  qui  n'en  est  ([u'un  transformé. 

Considérons  notre  (x''''"° p-  ion  et  siipjiosons  que  ce  soit  un  y4  ion.  Supposons 
(lue  le  déterminant  des  ji^  quantités  x^h-,  soit  nul  ainsi  ([ue  ses  mineurs 
des  (A'^  —  i)  premiers  ordres,  mais  que  les  mineurs  d'ordre  supérieur  ne  soient 
pas  tous  nuls. 

Envisageons  l'équation  xy  =  o  qui  peut  s'écrire 

Considérons  en  particulier  celles  de  ces  équations  qui  se  ra|)portent  à  une 
valeur  donnée  de  x  et  à  une  valeur  donnée  de  •/;  elles  sont  au  nombre  de  />^ 
correspondant  aux  différentes  valeurs  de  l'indice  (3.   Comme  les  mineurs  du 


SUR  l'intégration  algébrique  des  équations  linéaires,  etc.  I  i7 

déterminant  des  x'  sont  nuls  jusqu'à  l'ordre  {k^  —  i);  parmi  ces  équations, 
(^5; — /,-£<)  seulement  sont  distinctes,  de  sorte  que  nos  p^^  inconnues  y'»;-^ 
dépendront  encore  de  Aa  arbitraires:  il  en  sera  de  même  dosy^^j  inconnues  rkss) 
de  sorte  que  les  joj  inconnues  )'  relatives  à  notre  a"°"'//-  ion  dépendent  de  Aj,/?» 
arbitraires  et  que  les  /•  inconnues  )'  dépendent  en  tout  de 

arbitraires. 

En  d'autres  termes,  le  déterminant  de  T'(a;j  |  et  par  conséquent  aussi  le 
déterminant  A(a;)]  sera  nul,  ainsi  que  ses  mineurs  des  (A  —  i)  premiers  ordres. 

En  d'autres  termes  encore,  l'équation  X)=  o  admet  A  solutions  distinctes, 

de  sorte  qu'on  a 

xyW  =  j-yr-)  =  . .  .  =  j-yl*)  =  o, 

>'"'»  y'^'i  •  •  •)  )'"'  étant  A  nombres  complexes  linéairement  indépendants, 
c'est-à-dire  que  x  est  A  fois  diviseur  de  zéro. 

Si  nous  multiplions  x  par  /•  nombres  complexes  quelconques  linéairement 
indépendants,  les  produits  obtenus  ne  seront  pas  linéairement  indépendants, 
puisque  nous  venons  de  voir  que  k  de  leurs  combinaisons  linéaires  sont  nulles; 
parmi  ces  produits,  (/•  —  A)  seulement  seront  distincts. 

Donc  X  fait  partie  d'un  sous-système  semi-invariant  à  droite  de  (/• — A) 
nombres. 

De  même,  x  fera  partie  d'un  sous-sjstéme  semi-invariant  à  gauche  de  (r  —  A) 
nombres.  Mais  il  ne  faudrait  pas  en  conclure  que  x  fait  partie  d'un  sous- 
système  invariant  de  (/•  —  A)  nombres,  car  ces  deux  sous-systèmes  semi- 
invariants  ne  sont  pas  identiques.  Du  reste,  nous  n'envisagerons  ici  ([ue  des 
sous-systèmes  semi-invariants  à  droite. 

Nous  pourrons  dire  qu'un  sous-système  semi-invariant  s  de  II  nombres  est 
/iremi'er  quand  il  ne  contiendra  aucun  sous-système  semi-invariant  de  moins 
de  A  nombres,  d'où  il  suit  qu'on  peut  reproduire  tous  les  noiidires  du  sous- 
système  s  en  multipliant  un  nombre  quelconque  x  de  ce  sous-système  par  les 
divers  nombres  complexes  y  du  système  S.  Car  s'il  n'en  était  pas  ainsi,  ceux 
des  nombres  de  s  qu'on  obtiendrait  en  multipliant  x  par  les  divers  nombres 
de  S,  ne  reproduisant  pas  le  sous-système  s  tout  entier,  formeraient  un  sous- 
système  semi-invariant  de  moins  de  h  nombres  contenu  dans  s. 

Dans  un  sous-système  semi-invariant  premier  .v,  tous  les  coeflicients  x^^i  qui 
ne  sont  pas  nuls  ont  même  premier  indice  «  (et  correspondent  par  conséquent 


i48  SUR  l'intégration  algébrique  des  équations  linéaires,  etc. 

à  un  même  p-  ion).  Et,  en  effet,  supposons  qu'il  y  ail  dans  s  des  nombres  où 
deux  coeflicieiils  x'  dont  les  premiers  indices  a  et  a  soient  différents,  et  qui  ne 
soient  pas  nuls.  Multiplions  ces  nombres  par  des  nombres  complexes 

où  tous  les  coefficients  )■  soient  nuls,  sauf  ceux  dont  le  premier  indice  est  «; 
dans  les  produits,  les  coefficients  seront  aussi  tous  nuls,  sauf  ceux  dont  le 
premier  indice  serait  a,  et  ces  produits  formeront  un  sous-système  semi- 
invariant  contenu  dans  ,9;  donc  s  ne  serait  pas  premier. 

Je  dis  maintenant  que,  dans  le  sous-système  premier  .y,  il  y  a,  entre 
les  jOg  coefficients  x'^&i,  des  relations  linéaires  distinctes  de  la  forme 

OÙ  les  As  sont  des  coefficients  constants  ne  dépendant  pas  des  x'  ni  du  second 
indice  ô,  et  que  ces  relations  sont  au  nombre  de  (/>„  —  i),  de  sorte  que,  fina- 
lement, le  sous-système  se  compose  àe  p^  nombres  distincts. 

Et,  en  effet,  soit  X  un  nombre  quelconque  de  notre  sous-système  premier  s; 
tous  les  nombres  du  sous-système  pourront  être  obtenus  en  multipliant  l'un 
quelconque  d'entre  eux  par  d'autres  nombres  complexes,  sans  quoi  ceux  qu'on 
pourrait  obtenir  de  cette  façon  formeraient  un  sous-système  semi-invariant 
contenu  dans  s. 

Considérons  les  nombres  Xe'jjijy;  ils  font  tous  partie  de  y,  ils  ne  peuvent  pas 
être  tous  nuls,  et,  en  effet,  si  l'on  pose 

il  vient 

X  =  Xe,  =^  Ca3YXe^3.|.. 

Les  termes  où  le  premier  indice  n'est  jias  égal  à  oc.  sont  déjà  tous  nuls;  si 
ceux  où  ce  premier  indice  est  a  étaient  également  tous  nuls,  il  faudrait  que  X 
fût  nul. 

Soit  donc  Xel^r^vJ^o;  le  sous-système  s  pourra  être  obtenu  en  multi- 
pliant Xe^s-,  par  un  nombre  complexe  quelconque.  On  obtient  ainsi  le  sous- 
système  semi-invariant 

qui  se  compose  àa  p^  nombres  et  qui  doit  être  identique  à  s. 


SUR  l'intégration  algérriql'e  des  équations  linéaires,  etc.  i49 

Je  dis  maintenant  que  tout  système  semi-invariant  non  premier  peut  être 
décomposé  en  plusieurs  sous-sjstèmes  semi-invaiianls  premiers  n'ayant  aucun 
nombre  en  commun  et  de  telle  façon  que  toul  nombre  du  sous-sv>lème  total 
puisse,  d'une  manière  et  d'une  seule,  être  regardé  comme  une  somme  de 
nombres  appartenant  aux  divers  sous-sjstémes  composants. 

Soit  eu  effet  X  un  nombre  appartenant  à  un  sous-sjstème  semi-invariant  s 
non  premier;  nous  aurons 

Or  ^e'i^gy  appartient  à  5  et  appartient  en  même  temps  au  sous-système 
premier  formé  des  nombres  Xe^r^g  (ô=  i,  2,  .  .  .,  Pa,)- 

Dans  ses  derniers  Mémoires  parus  dans  les  Sitzungsberichte  de  Berlin 
de  1899  à  1901  et  intitulés  DarstcUiuig  der  Gritppen  diirch  Uneavc  Trans- 
fonnationen,  M.  Frobenius  cherche  à  former  les  groupes  de  substitutions 
linéaires  isomorphes  à  un  groupe  fini  donné.  Ce  problème  pourrait  être  résolu 
en  s'appuyant  sur  les  principes  suivants  : 

Soient  Ç,,  ^,,  .  .  . ,  ^„  des  variables  indépendantes  et  0  un  polynôme  linéaire 
et  homogène  par  rapport  à  ces  variables.  Soit  ct,  une  substitution  quelconque 
de  G  et  e,  l'unité  complexe  correspondante.  Soit  G'  un  groupe  de  substitutions 
linéaires  entre  les  n  variables  H,  isomorphe  à  G,  et  a'^  la  substitution  de  G 
correspondant  à  a,:  soit 01?,  ce  que  devient  le  polynôme  9  par  cette  substitution. 

S'il  n'y  avait  entre  les  fonctions  linéaires  oei  aucune  relation  linéaire,  le 
groupe  G'  pourrait  être  ramené  à  un  groupe  de  permutations  entre  les  cpe,,  et, 
plus  généralement,  l'étude  du  groupe  G'  peut  se  ramener  à  celle  des  relations 
linéaires  entre  les  cpe,. 

Soit  X  =  ^X,e,  un  nombre  complexe  quelconque;  nous  poserons 


oX  = 


2-^'?'"'' 


et  alors  les  relations  linéaires  cherchées  seront  de  la  forme 

oX  =  o. 

Il  nous  suffira  de  remarquer  que  l'ensemble  des  nombres  X  qui  satisfont  à 
cette  relation  forme  un  sous-systèmc  semi-invariant  à  gauche,  et  que,  inver- 
sement, étant  donné  un  sous-système  semi-invariant  à  gauche,  on  peut  s'en 
servir  de  cette  façon  pour  délinir  un  groupe  linéaire  G'  isomorphe  à  G, 


i5o  SUR  l'intégration  algébrique  des  équations  linéaires,  etc. 

VI.  —  Applications  du  théorème  de  Frobenius. 

lleprenons,  comme  dans  les  paragraphes  2  et  3  :  i°  notre  groupe  fini  H 
d'ordre  m  ;  i"  nos  groupes  fuchsiens  G  et  G'  et  les  fonctions  fuchsiennes 
correspondantes;  .3°  les  intégrales  de  première  espèce  K(^)  et  les  intégrales 
de  seconde  espèce  P(;,  a).  Conservons  les  mêmes  notations,  de  telle  sorte 
que  o-  désigne  une  sub.stitution  de  G  et  S  une  substitution  de  G'. 

Envisageons  d'autre  part,  comme  au  paragraphe  5,  le  système  d'unités 
complexes 

(0  «1.     e-, e,n 

correspondant  au  groupe  H,  de  sorte  qu'à  chaque  substitution  de  (.i  corres- 
ponde une  substitution  de  H  et,  par  conséquent,  une  des  unités  (i).  Supposons 
qu'on  ait  réduit  le  système  de  nombres  complexes  correspondant,  (pie  j'appel- 
lerai le  système  1,  à  sa  forme  canonique  (en  le  décomposant  en  p-  ions),  et 
soient 

les  nouvelles  unités  complexes,  le  triple  indice  ayant  même  significalion  que 
plus  haut. 

Nous  emploierons  les  notations  suivantes  :  soil  V {:■)  une  intégrale  abélienne 
quelconque,  combinaison  des  K(c)  et  P(;,  «);  considérons 

F(3a-'), 

0-,  étant  une  substitution  de  G.  A  cette  substitution  correspondra  une  unité 
complexe  e,-,  mais  à  cette  unité  correspondront  plusieurs  substitutions  de  G 
que  j'appellerai  o-,,  a],  ...,  et,  par  conséquent,  plusieurs  intégrales  ¥[z-<7~i')i 
F(.3o-j~'),  ...;  mais  toutes  ces  intégrales  ne  différeront  les  unes  des  autres 
que  par  des  constantes  ;  car  on  aura  a'i  =  u.S,  S  appartenant  à  G'.  Si  donc  je 

conviens  de  poser 

F(sa-i)=F(s)e,-, 

la  fonction  F(j)(?,  sera  définie  (/  une  constante  /)rès. 
Soit  maintenant 

je  conviendrai  de  poser 


SUR  l'intégration  algébrique  des  équations  linéaires,  etc.  i5i 

Nous  aurons 

[F(3)e,]<;,=  [F(sv')]e,-=F(3î^iî-i)  =  P(z)(e,e;.), 
puisque  iJi/ji^  correspond  à  eiek]  et  plus  généralement 

[F(s)X]Y==F(3)(XY), 

de  sorte  que  je  pourrai  écrire  simplement  F(;)XY. 

Autre  remarque  :  si  ¥{z-)  est  une  intégrale  de  première  espèce,  ou  se  réduit 
à  une  fonction  algébrique  (je  veux  dire  une  fonction  algébrique  de  x  et  de  y  et, 
par  conséquent,  une  fonction  fuchsienne  de  z),  ou  se  réduit  à  une  constante, 
il  en  sera  de  même  de  F(;)X. 

Si  nous  rapprochons  ces  deux.  leniarques,  nous  verrons  que,  si  l'on  consi- 
dère une  fonction  F (3)  quelconque,  l'ensemble  des  nombres  X  qui  seront  tels 
que  la  fonction  F(;)X  jouisse  de  lune  de  ces  trois  propriétés,  formeront  un 
sous-sjstème  semi-invariant  à  droite;  car  il  est  clair  que,  si  F(;)X  jouit  d'une 
de  ces  propriétés,  il  en  est  de  même  de  F(3)XY,  quel  que  soit  le  nombre  Y. 

Par  exemple,  nous  avons  q  intégrales  de  première  espèce  K(c);  supposons 

q  <  m 
et  considérons  les  //(,  intégrales 

(2)  K(37,)-     l<(3cr,),      ....,     Kf3T„,); 

il  y  aura  entre  elles  au  moins  [m  —  y)  relations  linéaires  distinctes.  Or  une 
combinaison  linéaire  quelconque  des  intégrales  (2)  peut  s'écrire  d'après  notre 

nouvelle  notation 

K(z)X, 

X  étant  un  nombre  complexe  du  système  1.  Parmi  ces  combinaisons,  il  j 
en  aura  [pour  le  moins  {m  —  q)\  qui  se  réduiront  à  des  constantes  et  les 
nombres  X  correspondants  formeront  un  sous-système  semi-invariant. 

Supposons  que,  parmi  les  intégrales  (2),  il  j  en  ait  q'  qui  soient  linéai- 
rement indépendantes;  le  nombre  q'  sera  au  plus  égal  au  genre  q;  d'où  q  '^q- 

Quoi  qu'il  en  soit,  le  sous-svstème  semi-invariant  formé  par  les  nombres  X 
tels  que  K(j)X  =:  const.  comprendra  précisément  (jn  —  q')  nombres  complexes 
linéairement  indépendants. 

Considérons  maintenant  l'ensemble  des  nombres  X  tels  que  l'on  ait  à  la  fois 
[pour  toutes  les  intégrales  (2)] 

Kf  33i)X  =  const.,         K(z35)X  =  const.,         ,..,         K(j!'t„,)X  =  const. 


i5'2  SUR  l'intégration  algébrique  des  équations  linéaires,  etc. 

Cet  ensemble  formera  un  sous-système  non  plus  semi-invariant,  mais 
invariant,  car  il  est  clair  qu'on  aura 

K(  ;)Y\  =  const.,         K(3)YXZ  =  const., 

Y  et  Z  étant  deux  nombres  complexes  quelconques. 

Cela  posé,  nous  dirons  qu'une  intégrale  de  première  espèce  K.(;)  appartient 

à  un  p-  ion  H  si  l'on  a 

K(3)X  =  const., 

X  étant  un  nombre  complexe  quelconque  faisant  partie  d'un  p-  ion  autre 
que  n,  et  si  la  même  relation  n'a  pas  lieu  pour  tous  les  nombres  complexes 
de  n. 

Il  résulte  de  cette  définition  que  toute  intégrale  de  première  espèce  peut 
être  regardée  comme  la  somme  de  plusieurs  autres  dont  chacune  appartient  à 
un  y;-  ion  déterminé. 

Soit,  en  effet, 

K(z)  =  K  (  s 3,  )  =  K  (  z) e, 

cette  intégrale,  nous  pouvons  écrire 

ei=  X,-h  X,-)-. .  .-hXp, 

chacun  des  nombres  X,  faisant  partie  d'un  p-  ion  déterminé.  Nous  aurons  alors 

lv(3;  =  K(z)X,-+-K(z)X,-H...--K(  =  )X^. 

Alors  K(;)X,  ou  bien  se  réduira  à  une  constante  ou  appartiendra  au 
même  p-  ion  que  X,;  car  on  aura  évidemment 

K(-)X,Xi=  const., 

si  X/,  fait  partit!  d'un  autre /(-  ion  que  X,-,  puisque  alors  on  aurait  X,Xa  =  o, 
et,  d'autre  part,  si  \,  el  \a  font  partie  du  même  p-  iou,  on  n'aura  pas  la  même 
relation,  quel  que  soit  Xa,  puisqu'il  y  a  un  nombre  X/i  tel  que  X/X^  =  X,. 

Examinons  maintenant  ce  qui  se  passe,  s'il  y  a  des  p^  ions  auxquels  n'appar- 
tient aucune  intégrale  de  première  espèce,  et  il  y  en  aura  forcément  si  m  >  </. 
Soit  X  un  nombre  d'un  de  ces  p-  ions  et  K(;)  une  intégrale  quelconque,  on 
aura 
(3)  K(=jX  =  const. 

Considérons  les  périodes  de  nos  intégrales;  les  périodes  de  K(.;o-7')  seront 
des  combinaisons  linéaires  à  coefficients  entiers  de  celles  de  K(;;)  et  les  coeffi- 
cients   entiers   de   ces   combinaisons   pourront   être   déterminés  comme  nous 


SUR  l'intégration  algébrique  des  équations  linéaires,  etc.  153 

l'avons  vu  au  paragraphe  3.  Celles  de  K(;)X  seront  encore  des  combinaisons 
linéaires  de  celles  de  K(:^);  mais  les  coefficients  no  seront  plus  entiers;  ces 
coefficients  toutefois  seront  aisés  à  déterminer,  puisque  ce  seront  à  leur  tour 
des  combinaisons  linéaires  à  coefficients  entiers  des  coefficients  X,  du  nombre 
complexe 

Si  alors  w  est  une  période  de  K(;)  et  si  'jX  est  la  période  correspondante 
de  K(;)X,  alors,  en  vertu  de  (3),  on  aura 

(4)  ioX  =  o. 

La  relation  (4)  est  une  relation  linéaire  entre  les  périodes  de  K(^)  et, 
d'après  nos  hypothèses,  ces  relations  doivent  avoir  lieu  pour  toutes  les  inté- 
grales K.(:;). 

Or,  nous  savons  qu'il  existe  q  intégrales  admettant  chacune  2(j  périodes. 

Parmi  ces  périodes,  q  peuvent  être  clioisies  arbitrairement;  il  y  a  donc  entre 
les  2g  périodes  q  relations  qui  restent  vraies  pour  toutes  les  intégrales  et  il 
n'y  en  a  que  q. 

Ces  relations  sont  bien  connues.  Si  K(-:)  et  K'(;)  sont  deux  intégrales 
quelconques,  on  sait  qu'il  y  a  entre  les  périodes  de  ces  deux  intégrales  une 
relation  bilinéaire  à  coefficients  entiers,  dite  de  Riemann,  qui  s'écrira,  par 
exemple, 

(0,  Oj'i  (0,(o'^  +  WjCoJj  (0,4  eu'.,  +...-!-  C0,,^_,  (Olj,. I')2,/0);jy_|    =  o, 

si  les  w,  sont  les  périodes  normales  de  K(::)  et  les  c.j|  celles  de  K'(.g). 

Si,  dans  ces  relations  bilinéaires,  on  prend  pour  K'(-;)  successivement 
q  intégrales  de  première  espèce  linéairement  indépendantes,  on  aura,  entre  les 
périodes  de  K-(;),  q  relations  linéaires  distinctes  et  qui  resteront  les  mêmes 
quelle  que  soit  l'intégrale  K.(3).  Il  ne  peut  y  avoir  cV autre  relation  linéaire 
entre  ces  périodes. 

Donc,  de  deux  choses  l'une  :  ou  bien  la  relation  (4)  sera  une  idenlilé, 
et  alors  tous  les  coefficients  de  celte  relation  dexront  s'annuler,  co  qui 
nous  donnera  un  certain  nombre  de  relations  linéaires  à  coefficients 
entiers  entre  les  X,  (  l'est-à-dire  entre  les  coefficients  du  nombre  com- 
plexe X=  ^X/e,  j,  qui  seront  vraies  pour  tous  les  nombres  complexes  du 
p'^  ion  considéré. 

H.    P.   —  III.  20 


i54  SUR  l'intégration  algébrique  des  équations  linéaires,  etc. 

Ou  bien  la  relation  (4)  est  l'une  des  relations  dont  nous  venons  de  parler, 
que  l'on  obtient  à  l'aide  d'une  intégrale  K.'(;)  et  dont  les  coefficients  sont  des 
périodes  de  cette  intégrale  K'(z);  et  alors  il  y  aura  une  intégrale  de 
première  espèce  dont  les  périodes  seront  des  combinaisons  linéaires  à 
coefficients  entiers  des  X,.' 

Pour  savoir  lequel  de  ces  deux  cas  se  présentera,  je  considère  l'intégrale  de 
seconde  espèce  P(3,  a)  et  je  forme 

P(  3.  a)\. 

On  démontrerait  de  la  même  manière  :  i"  que  les  nombres  X  tels 
que  P(^,  a)X  soit  une  fonction  algébrique,  forment  un  sous-svstènie  semi- 
invariant  à  droite;  2"  que  les  nombres  X  tels  que  tous  les  P(c(t,  a)X  soient 
des  fonctions  algébriques,  forment  un  système  invariant;  3°  qu'une  intégrale  de 
seconde  espèce  quelconque  peut  toujours  être  décomposée  en  une  somme 
d'une  fonction  algébrique  et  de  plusieurs  intégrales  de  seconde  espèce  appar- 
tenant chacune  à  un/?^  ion  déterminé. 

11  convient,  bien  entendu,  de  dire  que  P(;,  a)  appartient  au  p-  ion  H, 
si  P(;,  a)X  est  algébrique  quand  X  est  un  nombre  complexe  quelconque 
faisant  partie  d'un  p-  ion  autre  que  II  et  si  cela  n'est  plus  vrai  quand  X  fait 
partie  de  II  (ou  du  moins  pour  tous  les  nombres  complexes  X  faisant  partie 
deH). 

Soit  alors  un  p-  ion  auquel  n'appartienne  aucune  intégrale  de  seconde 
espèce;  soit  cp(a)  l'une  des  périodes  de  P(::,  «)  et  cp(a)X  la  période  corres- 
pondante de  P(;,  a)X,  on  devra  avoir 

(4  bis)  z(a)\  =  o, 

X  étant  un  nombre  quelconque  du  p-  ion  envisagé  et  quelle  que  soit  l'inté- 
grale P(;)  a). 

.La  relation  (4  bis)  est  une  relation  linéaire  entre  les  périodes  de  P(;,  a) 
formée  avec  ces  périodes  comme  la  relation  (4)  l'était  avec  celles  de  K.(;). 
Mais  ces  périodes  d'une  intégrale  de  deuxième  espèce  peuvent  être  choisies 
arbitrairement. 

Donc  la  relation  (4  bis)  est  une  identité,  et  il  en  est  de  même  de  la 
relation  (4). 

On  est  donc  dans  le  premier  cas  et  il  y  a  entre  les  X,  des  relations  linéaires 
à  coefficients  entiers. 

Soit    maintenant    un   /)-    ion    auquel    n'appartienne    aucune    intégrale    de 


SUR    L'INTÉCRATION   ALGÉBKIQUE    des   ÉQUATION'S    LINÉAIRES,    ETC.  l55 

première  espèce  et  auquel  appartienne  pourtant  une  intégrale  de  deuxième 
espèce.  Alors  la  relation  (4)  ne  pourra  être  une  identité,  sans  quoi  il  en  serait 
de  même  de  (  j  bis)  et  P(;,  a)X  serait  algébrique  quelle  que  soit  P(:;,  a), 
contrairement  à  l'Iivpotlièse. 

On  est  donc  dans  le  second  cas  et  il  y  a  une  intégrale  de  première  espèce 
dont  les  périodes  sont  des  combinaisons  à  coefficients  entiers  des  X,-. 

Nous  devons  donc  distinguer  trois  sortes  de  /;-  ions  : 

Première  sorte  :    Tous  les  P(;,  rt)X  so/it  das fondions  algébriques. 
Deuxième  soute   :    Tous   les   P(;,  rt)X    ne   sont  pas   des   fonctions  algé- 
briques, mais  tous  les  K(3)X  sont  des  constantes. 

Troisième  sorte   :    Tous  les  K(:;)X  ne  sont  pas  des  constantes. 

Plaçons-nous  à  un  autre  point  de  vue.  Considérons  les  unités  com- 
plexes (i)  ei,  Co,  ...,  e,u  '■  elles  seront  liées  aux  unités  complexes  nou- 
velles ejjfjy  par  des  relations  linéaires  à  coefficients  constants.  On  aura,  par 
exemple, 

et  les  coefficients  A,  seront  des  nombres  algébriques.  Supposons  que  pour 
l'un  des  p'^  ions,  que  j'appellerai  le  p-  ion  11^,  les  coefficients  A,  qui  entrent 
dans  les  expressions  des  unités  «JaBy  soient  des  fonctions  rationnelles  à  coeffi- 
cients entiers  d'une  certaine  racine  %  d'une  équation  algébrique  L  à  coefficients 
entiers. 

Plus  généralement,  supposons  que  le  y;^  ion  II^  puisse  être  engendré  pary>'- 
unilés  fondamentales  e",  qui  pourront  être  différentes  des  unités  cano- 
niques eâ'^Y,  et  que  l'on  ait 

les  A,  étant  des  fonctions  rationnelles  de  Ç. 

Il  suffit  pour  cela  que  le  nombre  commutable  qui  fait  partie  de  Yl^  ait  ses 
coefficients  rationnels  en  Ç.  En  efTet,  on  obtiendra  les  nombres  de  ^^  en  multi- 
pliant ce  nombre  commutable  par  un  nombre  complexe  quelconque.  Si  nous 
multiplions  ce  nombre  commutable  par  des  nombres  complexes  entiers,  les 
produits  auront  leurs  coefficients  rationnels  en  Ç  et  l'on  pourra  choisir  les 
p'^  unités  fondamentales  parmi  les  produits  ainsi  obtenus. 

Soient  Ç',   Ç",   ...    les  autres  racines  de  cette  équation  L.   Soit   B,  ce  que 


l56  SUR    l'intégration    algébrique    des    équations    LINEAIRES,    ETC. 

devient  A,  quand  on  y  remplace  Ç  par  Ç';  il  exi>tera  un  antre  jt-  ion  IIj  dont  les 
unités  fondamentales  seront 

Les  p-  ions  H^j,  Ilg  et  ceux  qu'on  formerait  avec  Ç",  .  .  . ,  comme  on  a 
formé  Ilg  avec  Ç',  seront  dits  conjugués. 

Il  peut  arriver,  il  est  vrai,  que  IIj;,  Ilg  et  tous  les  p'^  ions  conjugués  se 
confondent  en  un  seul,  et  c'est  ce  qui  arrive  en  particulier  avec  les  quaternions 
ordinaires  de  Hamilton,  si  l'on  veut  faire  dériver  ces  quaternions  des  unités 
canoniques  ej^sy;  mais  si  l'on  ne  s'astreint  p;is  à  choisir  ces  unités  canoniques 
comme  unités  fondamentales,  on  peut  toujours  supposer  que  tous  les  conju- 
gués de  n^  sont  distincts.  11  suffit  pour  cela  de  prendre  pour  unités  fonda- 
mentales p-  produits  du  nombre  commutable  par  des  nombres  complexes 
entiers. 

Je  dis  que  si  un  p-  ion  est  de  la  première  sorte,  il  en  sera  de  même  de  tous 
ses  conjugués.  ' 

En  effet,  la  condition  nécessaire  et  suffisante  pour  que  H^,  soit  de  la  première 
sorte,  c'est  que  la  relation  (4),  pour  tous  les  nombres  de  ce  p-  ion,  se  réduise 
à  une  identité,   c'est-à-dire  que  l'on  ait  identiquement,  pour  toutes  les  unités 

fondamentales  de  11^, 

(oe"  =  o, 

quelle  que  soit  la  période  oi  choisie,  c'est-à-dire  enlin  que  l'on  ait,  pour  toutes 
ces  unités  fondamentales,  certaines  relations 


2 


/m  A;  =  o, 


dont  les  coefficients  m,  sont  des  entiers  faciles  à  déterminer. 

Mais,  comme  ces  coefficients  sont  entiers,  les  relations  devront  subsister 
quand  on  y  remplacera  Ç  par  Ç';  on  aura  donc  encore 

de  sorte  que  Ilg  sera  encore  de  la  première  sorte. 

Remarquons  maintenant  que  le  nombre  des  intégrales  de  première  espèce 
appartenant  à  un  p-  ion  (d'ordre  /;)  est  toujours  un  multiple  de  p.  Et,  en  effet, 
partons  d'une  intégrale  K(;;)  quelconque  et  formons  les  diverses  inté- 
grales K(i;)X,  où  X  est  un  nombre  complexe  du  p-  ion  considéré;  il  y  en 


SUR   L  INTEGRATION   ALGEBRIQUE    DES    EQUATIONS    LINEAIRES,    bTC.  1 57 

aura  yj^,  puisqu'il  y  a  p'^  nombres  X  clans  le  p-  ion,  mais  elles  ne  seront  pas 
toutes  distinctes;  il  peut  j  avoir  en  elFet  des  relations  de  la  forme 

(5)  lv(;)X  =  consl. 

Nous  savons  que  les  nombres  X  jouissant  de  cette  propriété  forment  un 
sous-système  semi-invariant  à  droite  et  il  en  est  de  même  des  nombres  X  jouis- 
sant de  cette  piopriété  et  faisant  partie  de  notre  jr  ion. 

Or,  les  sous-systèmes  semi-invariants  faisant  partie  de  ce  p-  ion  peuvent 
être  décomposés  en  un  certain  nombre  de  sous-systèmes  semi-invariants 
premiers  contenant  cbacuiiy»  nombres.  Le  nombre  des  relations  (5)  distinctes 
sera  donc  un  multiple  àa  p  et  il  en  sera  de  même  par  conséquent  du  nombre 
des  intégrales  K(.;)X  distinctes. 

Nous  pouvons  dire  que  les  intégrales  1\.(;)X  dérivent  de  l'intégrale  Iv(;), 
où  X  est  un  nombre  quelconque  du  p-  ion. 

Il  en  résultera  que  le  nombre  des  intégrales  distinctes  qui  dérivent  d'une 
même  intégrale  et  qui  appartiennent  à  un  même /j-  ion,  est  un  multiple  deyj. 

Nous  dirons  qu'un  système  d'intégrales  est  fennec  si  elles  appartiennent  à 
un  même  />"  ion  et  si  toutes  les  intégrales  qui  dérivent  d'une  intégrale  du 
système  font  également  partie  du  système.  Nous  dirons  qu'un  système  fermé 
est  premier  s'il  ne  contient  aucun  système  fermé  plus  petit. 

Je  dis  alors  qu'un  système  fermé  premier  quelconque  se  compose  de  p  inté- 
grales. Je  n'ai  qu'à  répéter  les  raisonnements  que  j'ai  faits  au  paragraphe  o  à 
propos  des  sous-systèmes  semi-invariants  premiers.  Le  système  étant  premier, 
toute  intégrale  du  système  pourra  être  regardée  comme  dérivant  de  l'une 
quelconque  d'entre  elles  K(;),  ou  encore  de  K(;)e^p.j,  [à  moins  que  K(j)eâRY 
ne  se  réduise  à  une  constante];  mais  cela  ne  peut  pas  être  vrai  de  tous 
les  K(s)eâpY,  **'^*  quoi 

K(3)  =  K(ôje,=2Ca3YK(3)e'afiy 

se  réduirait  à  une  constante.  Mais  les  intégrales  dérivant  de  K(z-)e'^aj  sont  les 

intégrales 

K(^)eà;«         (û  =  l,  2,  ■■■,J>), 

et  elles  sont  au  nombre  de  p.  c.   q.  f.  d. 

Je  dis  maintenant  qu'un  système  fermé  quelconque  peut  être  décomposé  en 
systèmes  premiers.  Car  si  K(;)  est  une  intégrale  quelconque  du  système,  on 


i58  SUR  l'intkgration  algébrique -des  équations  linéaires,  etc. 

peut  écrire 

K(z\  =  k^;,.)?,  =^CapY  K(3)e;.j... 

D'ailleurs  nous  pouvons  toujours  supposer  que  ces  systèmes  premiiTS  sout 
distincts,  c'est-à-dire  qu'il  n'y  a  entre  les  intégrales  de  ces  systèmes  premiers 
aucune  relation  linéaire,  sans  quoi  on  se  servirait  de  ces  relations  linéaires 
pour  éliminer  les  systèmes  premiers  qui  ne  seraient  j)as  distincts  des  autres. 

On  en  conclut  aisément  que  le  nombre  des  intégrales  d'un  système  fermé 
quelconque  et,  en  particulier,  le  nombre  total  des  intégrales  distinctes 
appartenant  à  un  p-  ion,  est  toujours  un  inultijile  de  p. 

Examinons  maintenant  les  relations  entre  les  périodes.  Soit 

Kl  ;Sa~'j — K(s3^')  =  we;. 
S  appartenant  à  (  i'  et 

si  X  =   7  X,t',.  Quels  sont  les  nombres  complexes  X  [lour  lesquels  on  a 

coX  =  Il  '.' 

1°  Je  suppose  d'abord  que  wX  reste  nul  quelle  que  soit  Viiitègrale  K  pour 
une  substitution  S  donnée  de  G';  on  aura 

(oV',=  K'i  ;S7-i)  — K'(CT-I), 

et,  si  r(ui  prend  K'(c)  =  1v(-*a'  ), 

(■/ «;  =  K  ( ;î S  ar  '  a;;:  '  )  =  I\  i  c  7-  '  3^ '  )  =  w  t'y;  Cj^ 
to'X  =^X,(we<e,)  =  (ocA-X. 

Comme  on  doit  avoir  w'X  =  o,  ou  aura 

WC'/.  X  =;  n. 

et,  par  conséquent, 

(ij  Y\  =  o, 

quel  que  soit  le  nombre  complexe  Y'. 

Les  nombres  \  fornteroni  un  sous-système  semi-invariant  à  gauche. 

2°  Je  suppose  que  'si\  reste  nul  pour  une  intégrale  K  donnée  pour  toutes 
les  substitutions  S  de  tj'. 
Alors 


SUR  l'intégration  algébriquiî  des  équations  linéaires,  etc.  iSg 

Mais,  G'  étant  un  sons-groupe  invariant,  on  a 

S'  ap[)arlenant  à  (i',  d'où 

,X,[K(3S'aT')-K(3ari)]. 


-I.-- 


Or  nous  pouvons  poser 

fjj'  étant  une  période  telle  que.  d'a|)rès  notre  hypothèse,  oj'X  soit  nul;  on  aura 
donc 

c.j  \  e/;  —  ^  X;(  (o'e,  )  =  o)'X  =  o. 

Donc  wc/i  et  wXY  seront  nuls,  Y  étant  un  nombre  complexe  quelconque. 
Les  nombres  \  for/ncroiil  un  sous-système  semi-im  (triant  à  droite. 

Les  nombres  X  pour  lesquels  wX  =  o  pour  toutes  les  intégrales  K(::)  et 
pour  toutes  les  substitutions  S  formeront  évidemment  un  système  invariant;  ce 
système  nous  est  déjà  connu,  [>uisqu'il  est  formé  de  tous  les  />"  ions  de  la 
première  sorte. 

Nous  avons  vu  au  paragraphe  3  qu'au  groupe  H  se  rattachent  deux  groupes 
linéaires  remarquables;  étudions  ces  deux  groupes  de  la  façon  que  nous  avons 
expliquée  à  la  fin  du  paragraphe  o  et  d'abord  le  groupe  des  transformations 
à  coefficients  entiers  que  subissent  les  périodes. 

Il  s'agit  de  rechercher  les  relations  de  la  forme  wX  =  o,  qui  sont  vraies  pour 
toutes  les  intégrales  lv(;)  et  ])our  une  substitution  S  donnée;  d'après  ce  que 
nous  venons  de  voir,  les  nombres  \  formeront  un  sous-sjstème  invariant  à 
gauche,  compreniinl  d'abord  tous  les/;-  ions  de  la  première  sorte  et  comprenant 
encore  d'autres  nombres  complexes. 

De  plus,  on  peut  supposer,  vu  la  nature  du  groupe,  que  tous  les  nombres  X 
sont  entiers. 

Convenons  donc  de  dire  qu'un  ensemble  de  nombres  complexes  entiers 
forme  un  sous-système  entier  semi-invariant  à  gauche  quand  tout  nombie 
du  sous-système  multiplié  à  gauche  par  un  nombre  entier  quelconque  du 
système  total  fait  encore'partie  du  sous-système.  Alors  les  nombres  X  formeront 
un  sous-système  entier  semi-invariant  à  gauche. 


i6o  SUR  l'intégration  algébrique  des  équations  linéaires,  etc. 

Il  est  clair  que,  si  l'on  considère  un  p-  ion  et  tous  ses  conjugués,  leur 
ensemble  formera  un  sous-syslème  invariant,  et  que  les  nombres  entiers  de  ce 
sous-système  formeront  un  sous-système  iinariant  etiticr.  Les  sous-sjslèmes 
invariants  entiers  formés  de  cette  façon  avec  les  /)-  ions  de  la  première  sorte 
feront  évidemment  partie  du  sous-système  des  nombres  X,  mais  ce  sous- 
système  comprend  encore  d'autres  nombres  complexes. 

Ce  sous-système  des  nombres  X  jjeut  être  décomposé  en  sous-systèmes 
semi-invariants  entiers  premiers^  si  j'appelle  ainsi  les  sous-systèmes  semi- 
invariants  entiers  qui  n'en  contiennent  pas  d'autre  plus  restreint. 

Comment  peut-on  former  les  sous-sj'Stèmes  semi-invaTiants  entiers  premiers? 
Considérons  un  sous-système  semi-invariant  premier  non  entier;  soit  i  ce 
sous-système,  il  appartiendra  à  un  certain/?-  ion  II  et  se  composera  dey*  nom- 
bres distincts  (si  p  est  l'ordre  de  H). 

Soient  i',  — ",  ...  les  sous-systèmes  conjugués  de  i  (au  sens  arithmétique 
donné  plus  haut  à  ce  mot).  L'ensemble  des  systèmes  -,  i',  i",  .  .  .  furmcra  un 
nouveau  sous-système  semi-invaiiant  qui  (à  l'inverse  de  ce  qui  arrive  pour 
chacun  des  systèmes  partiels  i,  i',  • .  •  )  contiendra  des  nombres  entiers.  Le> 
nombres  entiers  de  ce  système  formeront  un  sous-système  semi-invariant  entier 
que  j'appelle  -^. 

Voici  comment  on  peut  former  les  nombres  de  ce  sous-système.  Soit  X  un 
nombre  de  1,  dont  les  coefficients  X,  seront  les  fonctions  rationnelles  de  la 
quantité  algébrique  Ç  envisagée  plus  haut;  soient  X',  X",  ...  les  nombres 
conjugués  de  X,  où  Z  est  remplacé  par  Ç',  Ç',  ....  Soit  ensuite  R  une  fonction 
rationnelle  quelconque  de  ï;  soient  R',  R',  ...  les  fonctions  correspondantes 
de  ;',  Ç',  ....  Le  nombre  complexe 

(\)  =  XR  — X'R'-v-X"IV'--... 

sera  rationnel  et,  en  le  multipliant  par  un  entier  orijinaire  convcnaiile,  on 
obtiendra  un  nombre  entier  complexe.  On  obtiendra  de  la  sorte  tous  les 
nombres  du  sous-syslème  ^,. 

Maintenant,  ce  sous-syslème  entier  est-il  premier?  Il  me  sullît,  pour  le 
décider,  de  chercher  si,  en  multipliant  à  gauche  un  nombre  entier  quelconque 
du  sous-syslème  par  un  nombre  complexe  convenable,  on  peut  retrouver  un 
nombre  entier  quelconque  du  sous-syslème. 

Nous  pouvons  toujours  supposer  que  tous  les  p-  ions  conjugués  de  H  sont 
distincts. 


SUR   l'intégration    ALGÉBRIQIE    DES    ÉQUATIONS    LINÉAIRES,    ETC.  l6t 

Dans  ce  cas,  tous  les  nombres  X,  X',  X  ',  .  .  .  appartiennent  à  des  p^  ions 
distincts.  Soient  alors  Y  et  Z  deux  nombres  appartenant  au  même  sous-système 
que  X;  soient  S  et  U  deux  fonctions  rationnelles  de  Ç;  soient  \\  Y",  .  .  ., 
Z',  Z",  .  .  .,  S',  S",  .  .  .,  Ll',  L'",  .  .  .  leurs  conjugués.  Les  nombres  Y  et  X' 
appartenant  à  desy^^  ions  différents,  les  produits  tels  que  YX'  seront  nuls. 

Gela  posé,  considérons  les  nombres  complexes 

(Y)  =  YS  H-Y'S'-r-Y"S"-^..., 
(Z)  =  ZU -f- Z' U'-f- Z"U"-H. . .. 
On  aura  alors 

(YX)  =  YXRS  —  Y'X'R'S'-+-  Y"X"R"S"  +  . . .. 

Or,  le  sous-système  semi-invariant  dont  l'ail  partie  X  étant  premier,  on  peut 
choisir  Y  de  façon  que  YX  ou  YXRS  soit  égal  à  un  nombre  quelconque  du 
sous-SYSlème;  nous  supposerons  donc 

YXRS  =  ZU, 

d'où,  en  changeant  Ç  en  Ç',  t' ,  .  .  . , 

Y'X'R'S'=Z'U',         Y"X"R"S"=Z"U",         ....   ' 

et  enfin 

(Z)  =  (Y)(X). 

Or,  (Z)  et  (X)  sont  deux  nombres  quelconques  du  système  S,;  on  peut 
néanmoins  trouver  un  nombre  (Y)  qui,  multiplié  par  (X),  reproduise  (Z). 
Donc  notre  sous-système  est  premier.  c.   q.   f.   n. 

Ces  considérations  suffisent  pour  nous  faire  comprendre  l'origine  et  la 
nature  du  groupe  linéaire  à  coefficients  entiers  dont  il  s'agit. 

Passons  à  l'autre  groupe  :  quand  on  change  ;  en  ;(7,,  les  intégrales  de 
première  espèce  lv(;)  subissent  une  substitution  linéaire:  nous  avons  posé 

K(cc7Ti,=  \<{z)eu  K(=)X=2x,K(3)e,. 

L'élude  du  groupe  en  question  revient  à  chercher  les  nombres  X  tels 
que  K(^)X  =  consl.:  nous  avons  vu  que  ces  nombres  forment  un  sous-système 
semi-iuvariaut  à  droite:  ce  sous-système  comprend  d'abord  tous  les/j-  ions  de 
première  et  de  deuxième  sorte,  puis  un  certain  nombre  de  sous-systèmes  semi- 
invariants  premiers  contenus  dans  les/;-  ions  de  la  troisième  sorte. 

On  s'étonnera  peut-être  que  ce  sous-syslème  soit  semi-invariant  à  droite, 
puisque  nous  avons  vu  à  la  lin  du  paragraphe  o  que  les  nombres  complexes  X 
H.  P.  -  III.  " 


l6'2  SUR    l'intégration   ALGÈBKIOl'K    DES    ÉQIIATIONS    LINÉAIRES,    ETC. 

qui  servent  à  la  définition  d'un  gioiipe  doivent  furnier  un  sous-syslème  semi- 
invariant  à  gauche. 

Il  est  aisé  de  voir  d'où  vient  la  dlfTi'rence.  Supposons  (ju'on  ait  posé 

K(jc,)  =  (_lv)f,.  {K)\  =^  Y,(.lv)e,. 

Nous  nous  >erions  retrouvés  dans  les  mêmes  conditions  qu'à  la  fin  du  para- 
graphe 5,  et  les  nombres  Y  auraient  dû  former  un  sous-système  semi-invariant 
à  gauche.  C'est,  en  effet,  ce  (jui  arrive.  Nous  avons 


On  aura  donc  (K.)  Y  =  K  (s)X  si 


^i;x. 


Soit  maintenant 

il  est  aisé  de  \oir  que  Y'  =::e^.\,  ce  (pii  prouve  (jue  si  les  \  furmenl  un  sous- 
système  semi-invariant  à  droite,  les  ^  formeront  un  sous-sjsième  semi- 
invariant  à  gauche. 

A  la  fin  du  paragraphe  3,  nous  avons  été  amenés  à  considérer  certains 
nombres  que  nous  avons  appelés  6,  et  avec  lesquels  nous  avons  formé  un  dét(,'r- 
niinant  de  groupe.  Ces  nombres  devaient  être  choisis  de  telle  façon  que  ce 
déterminant  s'annule  ainsi  (pic  ses  mineurs  pisrpi'à  un  certain  ordre.  Nous 
avons  distingué  ensuite  deux  cas  suivant  que  les  sommes  ^  AJv  (rc-,  '  )  se 
réduisaient  ou  non  à  des  constantes  quelle  que  soit  l'intégrale  i\  choisie. 

Je  dis  maintenant  que  les  deux  cas  peuvent  se  présenter.  Et,  en  cllet,  pour 
que  notre  déterminant  s'annule  ainsi  que  ses  mineurs  des  premiers  ordres,  il 
suffit.  |uir  exem[)le,  cpie  le  nombre  7  b,r',  appartienne  à  un  /t-  1011.  Alors  le 
premier  cas  se  présentera  si  ce  p-  ion  est  de  la  première  ou  de  la  deuNième 
sorte,  et  le  second  cas  si  le  y'  ion  est  de  la  troisième  sorte. 

VII.  —  Application  à  l'exemple  du  paragraphe  IV. 

Reprenons  l'exenqjle  du  ])aragraphe  i,  où  le  groupe  II  se  composait  de 
168  substitutions.  Ces  1G8  suljstitutions  se  réparllssent  en  six  classes  (en  grou- 


SUR  l'intégration  algébrique  des  équations  linéaires,  etc.  i63 

panl  dans  la  inéinu  classe  la  substitution  o-,-  cl   ses  Iransfornices  u): '  o-, u^  )  ;  je 

désignerai  ces  six  classes  par  les  lettres  E,  P,  Q,  R,  S,  Sj  : 

l^a  cinsse     !i  coiii|)iL-iiilr;i        i  siilisliliiliou  do  période      1      (  sidj-liliil  ion  idciui(iiic  ï,  ). 

I'  ..                ■.•!                             "                            7 

Il           o  il              y_  '^                         »                         7 

»           R  »              "iii                         11                        3 

I,           S  "1'                         "                        .i 

Il  S;  "  .  il  II  J. 

Désignons  alors  par  les  lettres 

K  =  e,,  V,  Q,  H,  S,  S, 

les  nombres  complexes  obtenus  en  faisant  la  somme  des  unités  complexes 
correspondant  aux  diverses  substitutions  de  la  classe  désignée  par  la  même 
lettre.  Ces  six  nombres  seront  commulables. 

D'après  M.  Frobenius  [loco  citalo  {Die  Grupjieiicltaraclere),  in  //«e],  le 
système  des  nombres  complexes  se  décompose  en  six  p-  ions;  chacun  de 
ces  /;-  ions  contient  un  nombre  cominutable  et  un  seul,  et  ce  nombre  suffit 
jiour  le  caractériser,  puisque  tous  les  autres  nombres  du  p-  ion  s'obtiennent  en 
le  multipliant  jiar  un  nombre  complexe  quelconque.  Nous  avons  donc  six 
nombres  commulables  remarquables  que  j'appellerai 

a,=    E -+- P  +  Q -H  H -I- S -^  Sî, 

a,  =  7E  +  R  — S  — S,. 

0(3=  3K  +  T  P  —  ï'Qt  S  — s.,, 

a..  ^  3E  -+-  T'P  -(-  ï  Q  +  S  —  S,, 

■j.:,  =  8  !•  +  P  ^  Q  —  U, 

20=  01':— P  — Q  +  «S,. 

On  a,  comme  au  paragraphe  i, 

■-'-  T  =  —  1     \  —  7.       -.n"  =  —  1  —  \i —  7. 

Je  désignerai  les  sixyy-  ions  par  les  mêmes  lettres  que  les  nombres  comnui- 
tables  correspondants  et  je  trouverai  que  : 


P  ~    '  : 

/'■'=^ 

1 

lioiir 

'-I 

y^  =  7' 

p'^ 

Î'J 

pOlll' 

y.-> 

P^i; 

p"-=^ 

'J 

pour 

a.-; 

p  =  i, 

p-  = 

<l 

pour 

'■'\ 

p  =  8, 

p-  = 

(il 

pour 

•j.„ 

/j  =  C, 

p'-= 

3(i 

pnin 

■J-t.. 

i64  SUR  l'intégration  algébrique  des  équations  linéaires,  etc. 

On  voit  que  les  nombres  i-omimilnbles  oc,,  aji  «sj  «c  sont  rationnels,  que  les 
nombres  u^  et  a,  contiennent  l'irrationalité  y* — 7  et  sont  conjugués.  Il  en  est 
donc  de  même  des^-  ions  correspondants. 

Nous  savons  qu'il  y  a  trois  intégrales  abéliennes  de  première  espèce  et  six 
intégrales  de  première  et  de  deuxième  espèces  distinctes  (c'est-à-dire  telles 
qu'aucune  de  leurs  combinaisons  linéaires  n'est  algébrique). 

Je  vois  d'abord  que  le  p-  ion  c,  est  de  première  sorte,  car  il  ne  contient 
qu'un  nombre  a,  qui  est  la  somme  de  toutes  les  unités  complexes,  de  sorte 
qu'on  aura 

si  donc 

on  aura,  en  appelant  ji .  joi  •  ■  • ,  Xm  les  diverses  déterminations  de  )-, 

P(=,  a)  =2]  /Q(-'%  n)^'^  =  f^i-^)  d^, 

R  étant  rationnel  en  r,  de  sorle  que  P(;,  a)»,  sera  algébrique. 

c.   Q.   F.   n. 

Je  dis  que  les  p-  ions  :zo,  a^,  «^  ne  peuvent  être  de  la  troisième  sorte,  sans 
quoi  le  nombre  des  intégrales  de  première  espèce  serait,  pour  a..,,  un  multiple 
de  7,  pour  a.-,  un  multiple  de  8,  pour  ac  un  multiple  de  6,  ce  qui  est  impossible, 
puisque  le  nombre  tolal  des  intégrales  de  première  espèce  n'est  que  de  trois. 

Comme  il  faut  qu'il  v  iiit  au  moins  un  p-  ion  de  la  troisième  sorte,  ce  ne 
|)ourra  être  que  ^3  ou  a.,  ;  ils  ne  pourront  l'être  tous  les  deux,  sans  quoi  il  y 
aurait  au  moins  trois  intégrales  appartenant  à  X;,,  au  moins  trois  à  y.,,  en  tout 
au  moins  six  et  il  n'y  en  a  que  trois. 

1-,'uii  des  deux//-  ions  est  iIduc  île  troisième  sorte;  l'aMlr-e  ne  jieut  être  do  la 
première  sorte,  car  si  un  /*-  ion  est  de  la  première  sorte,  il  en  est  de  même  de 
tous  ses  conjugués;  4I  sera  donc  de  l,i  deuxième  sorte. 

Le  nombre  des  intégrales  de  première  et  de  deuxième  espèces  qui  appar- 
tiennent à  x.i  est  un  multiple  de  3  ;  de  même  pour  celles  qui  appartiennent 
à  «1  Le  nombre  de  ces  intégrales  qui  appartiennent  à  xj  et  à  «..,  est  donc  au 
moins  six  et,  comme  le  nombre  total  est  six,  il  faut  couclure  que  tous  les 
autres  p"^  ions  sont  de  la  première  sorte. 

En  résumé,  sur  nos  six  p-  ions,  ([ualre  sont  de  la  première  sorle,  un  de  la 
deuxième  et  nu  de  la  troisième. 


SUR  l'intégration  algébrique  des  équations  linéaires,  etc.  i65 


VIII.  —  Remarques  diverses. 

Elanl  donne  un  groupe  (ini  II,  on  peut,  dune  in/iiiitc  de  inaiiicies,  former 
les  groupes  fuclisieus  Ci  et  G'.  On  engendrerail  donc  d'une  infinilé  de  manières 
les  systèmes  correspondaiils  de  fondions  fnclisiennes  ou  d'intégrales  abé- 
liennes. 

La  comparaison  de  ces  difTérentes  manières  et  de  ces  différents  systèmes 
serait  sans  doute  très  intéressante. 

Je  me  bornerai  à  la  remarque  suivante  :  on  peut  se  demander  à  quoi  corres- 
pondent les  gi'ou|)es  linéaires  à  coefficients  entiers  que  nous  avons  rencontrés; 
il  suffit  de  se  reporter  à  leur  origine  expli(piée  au  [)aragraplie  Î5. 

Soient  G  lui  groupe  auquel  H  soit  mériédriquement  isomorphe,  et  G'  le 
sous-groupe  invariant  de  G  auquel  correspond  dans  H  la  substitution  iden- 
tique; soient  5,  une  substitution  de  H  et  o-,  la  substitution  correspondante  de  G. 

Supposons  maintenant  ([ue  G'  dérive  de  q  substitutions  fondamentales 

S,,     S, S,/, 

et  soit  S   une    combinaison    (juelconque    de    ces  substitutions    fondamentales. 
Alors 

S'=  5rl  S  7, 

sera  aussi  une  combinaison  de  ces  substitutions  fondamentales. 

Soit    maintenant    G"    un    groupe    mériédriquement    isomorphe    à  G',   défini 

comme  il  suit;  il  admettra  toutes  les  relations  de  structure  de  Ci',  mais  de  plus 

toutes  ses  substitutions  seront  permutables.  Si  donc  T  est  la  substitution  de  (i  " 

qui  correspond  à  S  et  T'  celle  qui  correspond  à  S',  la  substitution  de  G"  qui 

correspondra  à  SS'  sera  identique  à  celle  qui  correspondra  à  S' S,  de  sorte 

qu'on  aura 

TT'=T"I". 

Il  pourrait  aiiiver  que  le  giou|)e  G"  ainsi  défini  se  réduisît  à  la  substitulicm 
identique,  mais  cela  n'arrivera  pas  si  G'  est  un  groupe  fuchsien  de  genre  >  o. 

Soient  T, ,  T^,  ...,  T^  les  substitutions  de  G"  qui  correspondent  à  S,, 
S^,  .  .  . ,  Sg;  à  S  correspondra  dans  G'  une  substitution 

où    «1    est  la    somme    des    exposants   de    S,    dans  la  combinaison   S,    etc.;    à 


i66  SOR  l'intégration  algébrique  des  éqbations  linéaires,  etc. 

S'=  0-"'  s  (7  correspondra 

OÙ  |3|  esl  la  somme  des  exposants  de  Si  dans  la  combinaison  S',  etc. 

Il  est  aisé  de  voir  que  les  (3  sont  des  combinaisons  linéaires  des  a.  A  chaque 
substitution  s,  de  H  correspondra  donc  une  transformation  linéaire  à 
coefficients  entiers  dont  Venscnihlc  formera  un  groupe  isomorphe  à  If. 
Voilà  la  sigaificalion  de  ces  groupes  linéaires  à  coefficients  entiers. 

Faisons  en  passant  une  autre  remarque;  tout  groupe  fini  contenu  dans  le 
groupe  linéaire  consen'c  une  forme  quadratique  définie  positive,  ou  bien 
une  forme  à  indéterminées  conjuguées. 

Supposons  en  elTel  d'abord  que  le  groupe  soil  réel,  c'esl-à-dire  que  toutes 
les  sul)>tltutions  du  groupe  aient  leurs  coefficients  réels.  Soient  Xi  une  forme 
linéaire  quelconque  de  nos  n  variables,  Xj,  X3,  ...,  X^  ses  transformées: 
alors  le  groupe  conservera  la  forme  quadratique  définie  positive 

qui  ne  peut  être  identiquement  nulle. 

Supposons  que  le  groupe  ne  soit  pas  réel  ;  soient  (1  ce  groupe,  x, ,  x-,,  ■  ■  .  ■  x„ 
nos  variables  indépendantes:  soit  alors  (i„  un  groupe  imaginaire  conjugué  du 
précédent  portant  sur  les  variables  x",  x",  ....  x"  imaginaires  conjuguées 
des  x. 

Soil  alors  X,  une  forme  linéaire  quelconque  des  .r:  soient  Xo.  X^,  .  .  .,  X/, 
ses  transformées  par  le  groupe  G  ;  soit  X"  une  forme  linéaire  des  .r„,  imaginaire 
conjuguée  de  X,:  soient  Xj,  X°,  ses  transformées  parles  substitutions  corres- 
pondantes de  (io-  Alors  la  forme  à  indéterminées  conjuguées 

sera  invariante. 

Soient  }',  et  z;  les  parties  réelle  et  imaginaire  de  a:,:  alors  G  pouria  être 
regardé  comme  un  grou])e  réel  portant  sur  les  2n  variables  )-  et  ;,  et  F  sera 
une  forme  quadratique  définie  de  ces  2«  variables,  de  sorte  qu'on  est  ramené 
au  cas  précédent. 

Cette  remarque  bien  sim|ile  pourrait  peut-être  siuiplifier  l'applicatidii  du 
théorème  de  M.  Jordan:  elle  ramène  en  effet  la  recherche  des  groupes  finis 
contenus  dans  le  groupe  linéaire  à  l'étude  géométrique  de  ht  di\  ision  régulière 
d'une  s|)hère  à  plus  de  trois  dimensions. 


GROUPES    CONTINUS 


ANALYSE  DES  TRAVAUX  DE  H.  POINCARE  SUR  LES  GROUPES  CONTINUS 

FAITE  PAR  LUI-MÊME. 


Acfa  mat/iematica,  t.  30,  p.  90-92  (i(|i3). 


On  vient  de  voir  comment  mes  recherches  sur  l'algèbre  m'avaient  amené  à 
m'occuper  des  groupes  continus.  C'est  ainsi  que  j'avais  montré  (')  le  lien  qui 
unit  ces  groupes  aux  nombres  complexes  :  j'avais  énoncé  à  ce  sujet  un  tlïéo- 
rème  dont,  détourné  par  d'autres  travaux,  je  n'ai  jamais  publié  la  démonstration, 
mais  qui  a  été  depuis  démontré  par  M.  Study. 

Je  me  suis  servi  également  des  groupes  continus  dans  un  travail  relatif  aux 
géométries  non  euclidiennes  (-). 

Mais  ce  n'est  que  beaucoup  plus  récemment  que  j'ai  abordé  la  théorie  géné- 
rale de  ces  groupes. 

Lie  avait  démontré  au  sujet  de  ces  groupes  trois  lliéorèmes  fondamentaux. 
D'après  le  troisième  de  ces  théorèmes,  il  existe  toujours  un  groupe  qui  admet 
des  équations  de  structure  données  pourvu  que  ces  équations  satisfassent  aux 
conditions  jacobiennes. 

Lie  a  donné  de  ce  théorème  deux  démonstrations.  La  première  s'applique 
seulement  aux  groupes  qui  ne  contiennent  pas  de  substitutions  permutables  à 
toutes  les  autres  substitutions.  Elle  ne  laisse  rien  à  désirer  au  point  de  vue  de 
la  simplicité.  La  seconde  s'applique  à  tous  les  groupes;  elle  est  beaucoup  plus 
indirecte  el  plus  compliquée. 

Je  me  suis  proposé  de  donner  de  ce  troisième  théorème  une  démonstration 

(')   Comptes  rendus  de  l'Ac.  des  Se,  Paris.  I.  99,  1884.  p.  -/^<i-~^3. 
(-)  Bulletin  de  la  .Société  math,  de  France,  t.  l.î,  1887,  p.  20,1-516. 


l68  GROUPES    CONTINUS. 

directe  et  simple,  applicable  à  tous  les  cas.  J'y  suis  parvenu  (178,  274)  grâce  à 
l'emploi  d'une  notation  symbolique  très  abrégée. 

Je  dois  dire  quelques  mots  sur  le  caractère  de  cette  démonstration.  Etant 
données  les  équations  de  structure,  c'est-à-dire  les  règles  de  la  composition  des 
substitutions  infinitésimales,  j'ai  cherché  à  en  déduire  les  règles  de  la  compo- 
sition des  substitutions  Unies.  Or  ces  règles  s'expriment  par  des  séries  infinies; 
i'ai  reconnu  que  ces  séries  pouvaient  se  sommer  par  des  formules  où  n'enti-ent 
pas  d'autres  transcendantes  que  des  exponentielles. 

Je  me  plaçais  ainsi  au  point  de  vue  formel,  en  introduisant  des  formules 
qui,  faisant  complètement  abstraction  de  la  «  matière  »  du  groupe,  sont  égale- 
ment applicables  à  tous  les  groupes  isomorphes.  Mais  ces  formules  elles-mêmes 
nous  font  connaître  les  transformations  que  bubissent  les  paramètres  qui  défi- 
nissent une  substitution  du  groupe  lorsque  l'on  compose  cette  substitution 
avec  une  autre  substitution  du  groupe.  Ces  transformations  forment  un  groupe 
isomorphe  à  celui  une  l'on  proposait  de  former;  ce  groupe  porte  le  nom  de 
groupe  paramétrique. 

Nos  formules  nous  permettent  donc  de  former  effectivement  ce  groupe  |iara- 
métrique.  Ainsi  non  seulement  elles  démontrent  l'existence  d'un  groupe  de 
structure  donnée,  mais  elles  donnent  le  moyen  de  le  former  effectivement.  Lie 
avait  démontré  que  la  formation  d'un  pareil  groupe  pouvait  se  ramener  à  l'inté- 
gration d'un  système  d'équations  différentielles  ordinaires.  J'ai  fait  voir  que 
non  seulement  on  pouvait  sans  intégration  former  les  substitutions  infinitési- 
males du  groupe,  mais  que  dans  le  cas  le  plus  défavorable,  la  formation  des 
substitutions  finies  pouvait  se  rauiener  à  une  simple  quadrature. 

Dans  le  cas  particulier  auquel  s'appliquait  la  première  démonstration  de  Lie, 
les  formules  auxquelles  on  parvient  sont  assez  simples,  moins  simples  toutefois 
que  celles  de  Lie.  En  tout  cas,  elles  sont  différentes  et  l'on  ne  voit  pas  immé- 
diatement comment  on  peut  passer  des  unes  aux  autres.  La  comparaison  des 
deux  sortes  de  formules  n'en  est  que  plus  instructive.  Elle  nous  fait  retrouver 
un  certain  nombre  de  théorèmes  de  KlUiug.  L'étude  des  formules  obtenues 
Qous  fait  d'ailleurs,  même  dans  le  cas  général,  retomber  sur  ces  mêmes  théorèmes. 

BIBLIOGRAPHIE  SPÉCIALE  AUX  GROUPES  CONTINUS. 

178.   Comptes  rendus  Ac.  Se,  Paris,  t.  128,  1899,  p.  1065-1069. 

"274.   Cambridge  Philosophical  Transactions,  t.  18,  1900,  p.  220-7.55. 


SUR 

LES  GROUPES  CONTINUS 


Comptes  rendus  de  l' Académie  des  Sciences,  l.  128,  p.  loÔS-ioOg  (  i"  in:ii  1899). 


Je  désirerais  faire  quelques  ohservalioas  au  sujet  de  celte  belle  théorie  des 
groupes  continus,  d(uit  la  Science  est  redevable  au  génie  de  noire  regrellé 
correspondant  M.  Lie.  Je  voudrais,  en  particulier,  faire  voir  que  l'on  peut 
démontrer  l'existence  d'un  groupe  de  structure  donnée  |)ar  un  procédé  un  peu 
dillérent  do  celui  qu'a  employé  ce  grand  géomètre. 

Soit  y  une  fonction  quelconcpie  de  n  variables  x,,  x,,  ...,  x,,  et  soient 
X<",  X'-',  ...,  \'"',  n  fondions  de  ces  mêmes  variables.  Je  puserai,  suivant 
l'usage, 

Ou  voit  que  YX(/'j  =  Y[X  (_/")]  n'est  pas  égal,  en  général,  à  X.\  (/)  :  je 
supprimerai  généralement  l'indication  ( /")  et  j'écrirai  X  et  Y\  au  lieu  de  X(/) 
et  \X(/').  L^n  opér.ileur  quelconque,  combinaison  des  opérateurs  X,  \,  Z.  se 
présentera  sous  la  forme  A' via  polynôme  symbolique  en  X,  Y,  Z.  Seidenieut,  il 
convient  d'observer  que  dans  un  produit  S3'mbolique  on  n'a  pas  le  droit  d'inter- 
vertir l'ordre  des  facteurs. 

Ainsi  XY  n'est  pas  égal  à  Y\  ;  et  (  X  -t-  Y)'-  n'est  égal  ni  à 

X=-U2XY--Yî 

ni  à 

X'--+-2YX-^Y-. 

mais  bien  à 

Xî^XYh-YX^Yî. 

Un  polynôme  symbolique  sera  dit  normal  si  tous  les  termes  qui  ne 
difTèrent  que  par  l'ordre  des  facteurs  ont  même  coefficient;  en  général,  un 

H.    P.   —  III.  22 


170  SUR    LES    GROUPES    CONTINUS. 

polynôme  symbolique  ne   peut  pas  être  mis  sons  la  forme  d'une  somme  de 
puissances  de  polynômes  linéaires;  les  polvnomes  normaux  le  peuvent  seuls. 
Je  poserai,  suivant  l'usage. 

XY  — YX  =  [\.  Y] 

et  je  supposerai  que  nos  opérateurs  sont  liés  par  ccrtaiuos  relations  (que 
j'appellerai  relations  de  structure  parce  qu'elles  définissent  la  structure  du 
groupe)  et  qui  seront  de  la  forme 

[\.  Y]  =  l'. 

U  étant  un  polynôme  linéaire  par  rapport  à  nos  opérateurs.  Les  coefficients  de 
ces  polynômes  linéaires  U  ne  seronl  pas  quelconques;  mais  ils  devnmt  être 
choisis  de  façon  à  satisfaire  aux  identités  associatives 

[|.\.Y].  7.]-[[Y,  Z],  \]-^[[Z.  \],  V]  =  o. 

Les  relations  de  structure  permetteni  de  transformer  les  polynômes  symbo- 
liques et  l'on  commence  par  démontrer  cjue  si  les  identités  associatives  ontlieu, 
on  peut  toujours  transformer  d'une  manière,  et  d'une  seule,  un  polynôme 
symbolique  quelconque  en  un  polynôme  normal. 

Cela  posé,  considérons  n  opérateurs  X,,  Xj,  ...,  X„,  satisfaisant  à  un 
système  de  relations  do  structure  et  didentités  associatives;  envisageons  les 
substitutions  infinitésimales  qui  cliaugent  /"  en  / '+ £a  X/s( /'),  où  £,,  £21  •  •  •>  ^n 
sont  n  constantes  infiniment  petites,  et  les  puissances  de  ces  substitutions. 
On  sait  qu'une  puissance  quelcnnque  de  la  substitution   i  H- £a  \/,  est   égale  à 

'      I  !     ^    1  :    ■     î  ! 

où  t  est  une  constante  et  peut  être  représentée  symboliquement  par  c"''. 

Considérons  plus  généraleuient  une  combinaison  linéaire  quelconque  de 
ces  substitutions  inlinitésimales 

ine  puissance  quelconque  de  cette  combinaison  pourra  s'écrire 


I  p\ 

les  /  sont  des  constantes,  et  se  représentera  symboliquement  par 


SUR  LES  GROUPES  CONTINUS.  I7I 

Soient  maintenant  deux  combinaisons  linéaires 

T  —  ^,x,  +  . . .  -L  /„x„,      ^'  =  f|X,  +  . . .+  (.-«x,,. 

Considérons  l'opérateur 

Cet  opérateur  se  présentera  sous  la  forme  d'iuie  série  dont  tous  les  termes  sont, 
des  polynômes  syml:)oli([ues  en  X,,  X^,  .  .  .,  X,(.  Grâce  aux  relations  de  struc- 
ture, ces  polynômes  peuvent  être  transformés  en  polynômes  normaux. 

Je  dis  qu'une  fois  celle  Iransfovnialion  faile.,   notre  opéraleur  se  pré- 
sentera sous  la  forme  d'une  série  symbolique 


•-2>?^ 


W  =  .r,X,-«'oX,^...--,r„X„. 

Ce  lliéoréme  serait  évident  si  nous  savions  d'avance  qui'  le  groupe  existe  ; 
encore  faudrait-il  chercher  à  déterminer  les  w  en  fonction  des  l  et  des  c,  ou 
ce  qu'on  pourrait  appeler  les  règles  de  multiplication  des  substitutions  du 
groupe. 

Mais  nous  voulons  précisément  démontrer  l'existence  du  groupe  dont  nous 
ne  connaissons  que  la  structure. 

.Supposons  d'abord  que  V  soit  infiniment  petit,  et  soit  W  =  V  -(-  Uo, 

LI„=  (f|X,4-..  .-h  (f„X„ 
étant  un  opérateur  infiniment  petit.  Posons  maintenant 

[T,U„]  =  U,.         [•!■■  l'i]  =  l^.         [T,IU]  =  U3, 

on  trouvera  aisément,  en  s'aidant  des  relations  de  structure  et  négligeant  les 
infiniment  petits  du  second  ordre, 


ViziJZ. 


Cette  équation  nous  donne  les  c  en  fonctions  des   u  et  des   f,  linéaires  par 
r.ipport  aux  u,  et  l'on  aura 

Les  9,,/;  sont  des  fonctions  entières  des  t,  d'une  forme  toute  particulière; 
car  elles  s'expriment  rationnellement  en  fonctions  :  i"  des  t;  2"  des  racines 
51,  9.,,  .  .  . ,  9„  d'une  équation  de  degré  n  en  9,  dont  le  premier  membre  est  un 


lya  SUR    LES   GROUPES   CONTINUS. 

polynôme  entier  par  rapport  à  9  et  aux  t;  3°  et  enfin  des  exponentielles  e^>, 
e».,  ...,e8... 

Cela  posé,  je  vais  démontrer,  en  me  bornant  à  indiquer  la  marche  géné- 
rale et  le  principe  de  la  démonstration,  que  c^ e''^  est,  quel  que  soit  le  coeffi- 
cient /(.  de  la  forme  c^'' . 

En  effet,  d'après  ce  que  nous  venons  de  voir,  le  théorème  est  vrai  pour  h 
infiniment  petit;  je  dis  maintenant  que,  s'il  est  vrai  pour  h  =  ho,  il  scr.i  vrai 
aussi  pour  /(  ^  //o-|- o/c  car  si  l'on  a 

gT  p/,„V  =  p\V„_ 

on  aura  aussi,  puisque  ô/(  est  infiniment  petit, 

(,)  pW.  pôAV^p\V._ô\V. 

ou,  à  cause  de  l'associativité, 

(,T  g/i„-i-î/i)V  _  eW„+ô\V_  c.  Q.  P.  D. 

Nous  voyons  en  même  temps,  par  l'équation  (i),  que  lus  w,  considérés  comme 
fonctions  de  //,  satisfont  aux  équations  difl'érenlielles 

On  achèvera  de  déterminer  les  w  en  remarquant  que  h'a  doit  se  réduire  à  t/, 
pour  h  =  o.  Les  règles  de  multiplication  des  substitutions  du  groupe  sont  donc 
établies,  sans  connaître  autre  chose  que  la  structure  de  ce  groupe. 

L'existence  du  groupe  est  en  même  tenips  démontrée,  puisque  nous  avons 
fnimé  le  groupe  paramétrique. 

Li  considération  du  groupe  adjoint  permettrait  d'intégrer  les  équations  (2) 
en  termes  finis  ou  du  moins  par  quadrature. 


SUR 

LES    GROUPES    CONTINUS 


Cambridge  Philosoplikal  Transactions,  vol.  18,  p.  220-205  (iSgy). 


I.  —  Introduction. 

La  théorie  des  groupes  continus,  ce  titi-e  immortel  de  gloire  du  regretté 
Sophus  Lie,  repose  sur  trois  théorèmes  fondamentaux. 

Le  premier  théorème  de  Lie  nous  apprend  comment  dans  tout  groupe 
continu  il  y  a  des  substitutions  infinitésimales  et  comment  ce  groupe  peut 
être  formé  à  l'aide  des  opérateurs 

x(./-.  =  ^^xo^. 

Considérons  r  opérateurs  de  cette  forme 

(0  x,(/).    \,(f),    ••••    Xr(/); 

et  convenons  de  poser 

D'après  le  second  théorème  de  Lie,  si  les  symboles  (X^X/,)  sont  liés  aux  opé- 
rateurs X,-  par  des  relations  linéaires  de  la  forme 

{■i)  (X,-Xa.)  =  i;f,/,,x,. 

où  les  c  sont  des  constantes,  les  /■  opérateurs  (i)  donneront  naissance  à  un 
groupe. 

Les  relations  linéaires  (2)  pourront  s'appeler  relations  de  slructure  puis- 
qu'elles définissent  la  «  structure  »  du  groupe  qui  dépend  uniquement  des 
constantes  c. 

C'est  le  troisième  théorème  de  Lie  qui  attirera  surtout  noire  attention. 
Quelles  sont  les  conditions  pour  qu'on  puisse  former  un  groupe  de  structure 


174  SUR    LES   GROUPES   CONTINUS. 

donnée,  cV'Sl-à-dire   trouver  r  opérateurs   X,,  X2,    ...,  X,-  satisfaisanl  à  des 
relations  de  la  forme  (2)  dont  les  coefficients  c  sont  donnés? 

On  voit  tout  de  suite  que  les  coefficients  c  ne  peuvent  êUe  choisis  arbi- 
trairement. On  doit  d'abord  avoir 

(3)  c/.;.<  =  — f,<.5. 

Ensuite,  d'après  la  définition  même  du  svnibole  (X,X/f),  on  a  identiquement 

d'où  résultent  entre  les  c  certaines  relations  connues  sous  le  nom  d'iclc/itilàs 
de  Jacobi  ('). 

Une  condition  nécessaire  pour  que  l'on  puisse  former  un  groupe  de  structure 
donnée,  c'est  donc  que  les  coefficients  c  satisfassent  à  ces  identités  de  JacoV>i 
auxquelles  il  convient  d'adjoindre  les  relations  (.3). 

Le  troisième  théorème  de  Lie  nous  enseigne  que  cette  condition  est  suffisante. 

Four  la  démonstration  de  ce  théorème,  nous  devons  distinguer  deux  familles 
de  groupes. 

Les  groupes  de  la  première  fninille  sont  ceux  qui  ne  contienneni  aucune 
substitution  permutable  à  loutes  les  substitutions  du  groupe. 

Les  groupes  de  ht  deuxième  faniille  sont  ceux  (jui  contienneni  des  substi- 
tutions permutables  à  toutes  les  substitutions  du  groupe. 

En  ce  qui  concerne  les  groupes  de  la  première  famille,  la  démonstration  de 
Lie,  fondée  sur  la  considération  du  groupe  adjoint,  ne  laisse  rien  à  désirer  par 
sa  simplicité. 

En  ce  qui  concerne  les  groupes  de  la  deuxième  lamille,  Lie  a  donné  une 
démonstration  eatièremeni  différente,  beaucoup  moins  simple,  mais  (pii  permet 
cependant  de  former  les  opérateurs  \,(/)  pur  l'inlégralinn  d'c'quations  diffé- 
rentielles ordinaires. 

Dans  une  Noie  récemment  insérée  dans  les  (omplis  rendus  de  V  Icadèmie 
des  Sciences  de  Paris,  j'ai  donné  une  démonstralion  nouvelle  du  troisième 
théorème  de  Lie. 

Les  résultats  contenus  dans  celle  Note  étaient  moins  nouveaux  ipie  je  ne  le 
croyais  quand  je  l'ai  publiée. 

D'une   part,   en  efi'et,    Schur  avait,  dans  les    lierichte    der   A.    siic/isisc/icn 

')  L'iileiililé    (  iJ  i-st  riilirililc  de  Jaccbi;  les  ruhiliiiii^  i/rjtir  lis  c  f|ui    en   icMillrnl    sont    dues 
S.  Lie.  J.   11. 


SUR  LES  GROUPES  CONTINUS.  17-" 

Gesellschaft  der  Wissritscliaflen  1891  el  daas  le  tome  il  d>is  Malhematisclie 
Annalen,  donné  du  tliéurème  en  (luostion  une  déinonstralion  entièremeul 
différente  de  celle  de  Lie. 

Cette  démonstration  présente  la  |ilus  grande  analogie  avec  celle  que  je  \\ro- 
[jose;  mais  elle  n'a  [jour  ainsi  dire  pas  été  poussée  jusqu'au  bout.  Comme  le 
fait  remarquer  Engel,  le  résultat  dépend  de  séries  que  Schur  forme  et  dont  d 
démontre  la  convergence;  au  contraire  Lie  ramène  le  problème  à  l'intégration 
d'équations  dilFérenlielles  ordinaires. 

Je  suis  arrivé  comme  Lie  lui-même  à  des  équations  différentielles  ordinaires 
qui  même  sont  susceptibles  d'être  complètement  intégrées. 

D'autre  part.  Campbell  a  donné  sous  une  autre  forme  quelques-unes  des 
formules  auxiliaires  qui  m'ont  servi  de  point  de  départ  {Pruceedings  of  tlie 
Londoii  Mat/temalical  Society,  tome  28,  page  38i  et  tome  29,  page  612). 

Il  m'a  semblé  néanmoins  que  cette  Noie  contenait  encore  assez  de  résultats 
nouveaux  pour  qu'il  y  eût  quelque  intérêt  à  la  développer. 

Je  ramène  en  effet  la  formalion  d'un  groupe,  de  structure  donnée,  à  l'intégra- 
tion d'équations  différentielles  siuiples,  intégration  qui  peut  se  faire  en  ternies 
linis. 

Ces  équations  sont  moins  simples  (^ue  celles  que  Lie  a  formées  pour  les 
groupes  de  la  première  famille;  mais  même  dans  ce  cas,  il  peut  y  avoir  intérêt 
à  les  connaître,  car  elles  sont  d'une  forme  différente  et  ne  s'en  déduisent  pas 
immédiatement. 

De  plus  elles  sont  applicables  aux  groupes  de  la  deuxième  famille  et  dans  ce 
cas  elles  nous  fournissent  une  solution  du  problème  plus  simple  que  celle  de 
Lie. 

II.  —  Définition  des  opérateurs. 

Soit /'  uni'  fonction  quelconque  de  n  variables  Xi,  Xj,  .  .  . ,  .r„. 
.Suit  X  un  opérateur  qui  ihange  /  vn 

où  les  (X,)  sout  n  fonctions  données  des  /;  variables  x^,  x.>,  .  .  .,  x,,,  de  sorte 
que 


176  SUR  LES  GROUPES  CONTINUS. 

Soient  \,  Z,  etc.  d'autres  opérateurs  analogues  de  telle  façon  qui; 

\(f)  =  -L(\/^AL,      Zif)  =  za,)ÉL,      ..., 

auj  ti.ij 

les  (Y,),  les  (Z,),  .  .  .  étant  d'autres  fonctions  de  x,,  x^^  .  .  . ,  x,f 
Dans  ces  conditions 

X--(/)  =  X[X(/)].         XV(/)  =  X[V(/)]. 
X=Y(/)  =  X[XY./jl.         XVZ(/)  =  X[VZ(/)],  ... 

seront  des  combinaisons  linéaires  des  dérivées  partielles  des  divers  ordres  de  la 
fonction  y,  multipliées  par  des  fonctions  données  des  Xi. 

Ainsi  se  trouveront  définis  de  nouveaux  opérateurs  X^,  XY,  X''  ^  ,  XYZ,  .  .  . , 
qui  sont  des  combinaisons  des  opérateurs  simples  X,  Y,  Z,  ....  On  voit  que 
ces  produits  symboliques  obéissent  à  la  loi  associative,  mais  n'obéissent  pas,  en 
général,  à  la  loicommulative,  déserte  queXYne  doit  pas  être  confondu  avec  YX. 

Ces  opérateurs  sont  ainsi  symboliquement  représentés  par  des  monômes; 
mais  on  peut  définir  des  oj)érateurs  qui  seront  symboliquement  représentés  par 
des  polynômes  tels  que 

i-^aX,     a\~b\,         «Xî-i-2/^XY  ^cV^ 

en  convenant  d'écrire  par  exemple 

(I  +  «X)  (/)  =./^  a  X(/,,;         {a\  +  b\){f)  =  «  X(/  )  -f-  h  Y(/), 

On  voit  que  les  polynômes  opérateurs  ainsi  définis  obéissent  à  la  fois  à  la  loi 
associative  et  à  la  loi  distrlbutive,  de  sorte  qu'on  aura 

(  a  X  -T-  6  Y  )  (  p X  +  rf  Y  j  =  ne  \'-  +  adW  -+-  bi:  YX    :-  b,l \\ 

et  en  j)articulier 

(  \   fY)==  X=       XY-f-YX-4-  Y^ 

expression  qu'il  ne  faut  pas  confondre  avec  X-+2XY  +  Y-. 

On  peut  aussi  introduire  des  opérateurs  qui  seront  représentés  .symbt)liqLie- 
ment  par  des  séries  infinies.  Je  citerai  par  exemple  l'opérateur 

/+  „(X  +  Y)  (/)  +  .^f  \  -:-  Y)'(/)  +  «HX  +  Y)n  /  )  +  ..., 
que  je  représenterai  symboliquement  par 

[-a(X-.Y)]  ^^^' 
ou  plus  simplement  par 

1  — a(X  +  Y\' 


SI  H    LES    GROl'PES   CONTINIS.  1^7 

el  l'opérateur 

ijue  je  représenterai  par  e*''(/)  ou  simplement  par  e'^^. 

On  peut  se  demander  si  l'emploi  de  ces  opérateurs  représentés  par  des  séries 
est  légitime  et  si  la  convergence  des  opérations  est  assurée. 

Il  y  a  des  cas  où  cette  convergence  est  certaine.  C'est  ainsi  que  Lie  a 
démontré  que 

e'^{f)=ff.^\-  ^'l,  ■■■■  3--'n). 

OÙ  les  x\  sont  définis  par  les  équations  différentielles 

-jj  =(\iMx\.  x:, y„). 

et  par  les  conditions  initiales 

.r;=  ,r,         pour  ?  =  o. 

Les  opér^iteurs  définis  par  des  séries  symboliques  obéissent  évidemment  aux 
lois  distributive  el  associative,  ce  qui  permet  par  exemple  d'écrire  des  égalités 
telles  que  celle-ci  : 

Il  j  a  aussi  un  cas  où  ils  obéissent  à  la  loi  commutative.  Soient 

<I>(X)  =  Sa„X".        T(Xi=i:6„X" 

deux  séries  symboliques  dépendant  d'un  seul  opérateur  élémentaire  X. 

On  a  alors 

*(  X,[>l'i  \  m/i|  =  »l'iX)f<l)(X  )(/)]. 

Les  deux  produits  symboliques  0(X)>I'(X)  et  1'"(X)<t(X)  sont  en  effet  des 
bonimes  de  monômes  dont  tous  les  facteurs  sont  égaux  à  \ .  Si  tous  les  facteurs 
sont  identiques,  il  est  clair  que  l'ordre  de  ces  facteurs  est  indifférent  et  que 
les  opérations  sont  commutatives. 

Mais  cela  ne  sera  plus  vrai  si  les  séries  symboliques  dépendent  de  plusieurs 
opérateurs  élémentaiies  différents;  il  ne  faudrait  pas,  par  exemple,  confondre 

X'"  Y" 
m  !  Il . 
avec 

Y''X"' 


Y  „X  _   V 


e'  e 


--    p'. 

U.  1'.  —  111.  -  ii 


178  SUR   LES   GBOUPES   CONTINUS. 


III.  —  Calcul  des  polynômes  symboliques. 

Soient  X,  Y,  Z,  T,  U,  .  .  . ,  Ji  opérateurs  élémentaires.  Parleurs  combinaisons 
on  pourra  former  d'autres  opérateurs  représentés  symboliquement  par  des 
monômes  ou  des  polynômes. 

Deux  monômes  seront  dits  équi/iollents  lorsqu'ils  ne  différeront  que  par 
l'ordre  de  leurs  facteurs;  il  en  sera  de  même  de  deux  polynômes  qui  seront  des 
sommes  de  monômes  équipollents  chacun  à  cliacun. 

Nous  appellerons  polynôme  régulier  tout  polvnomi'  qui  peut  être  regardé 
comme  une  somme  de  jiuissances  de  la  forme 

(xX-^-3Y  +  YZ-^...y^ 
Il  résulte  do  cette  définition  : 

i"  Que  si  un  polynôme  régulier  contient  parmi  >-es  termes  un  certain 
monôme,  tous  les  monômes  équipollenls  figureront  dans  ce  polynôme  avec  le 
même  coefficient.  Cette  condition  est  suffisante  pour  que  le  polynôme  soit 
régulier. 

2"  Que  parmi  les  polynômes  équipollenls  à  un  polynôme  donné  il  y  a  un 
polynôme  régulier  et  un  seul. 

Le  polynôme  , 

XY  — Y\ 

jouit  de  la  même  propriété  que  les  opérateurs  élémentaires,  c'est-à-dire  que 

(XY-YX)(y) 

est  comme  \(f),  Y(y),  etc.  une  combinaison  linéaire  des  dérivées  du  premier 
ordre  seulement  de  la  fonction/ multipliées  par  des  fonctions  données  des  a;,. 
Nous  supposerons  que  les  opérateurs  élémentaires  et  leurs  combinaisons 
linéaires  sont  seuls  à  jouir  de  cette  propriété.  (Si  cela  n'avait  pas  lieu,  nous 
introduirions  parmi  les  opérateurs  élémentaires  tous  ceux  qui  en  jouiraient.) 
Nous  devrons  donc  avoir  des  relations  de  la  forme 
(I)  XY_YX  =  (XY), 

OÙ   (XY)   est    une    combinaison   linéaire   des    opérateurs   élémentaires;    nous 
reconnaissons  là  les  relations  de  Lie,  dites  relations  de  slructuie 

X,X,-X,X,=  Sc,/,,X,. 


SUR   LES   GROUPES   CONTINUS.  179 

Cela  posé,  deux  polynômes  seront  équivalents  lorsqu'on  pourra  lus  réduire 
l'un  à  l'autre  en  tenant  compte  des  relations  (i). 

Par  exemple  le  produit 
(2)  P[XY-YX-(XY)]Q 

(où  le  premier  et  le  dernier  facteurs  P  et  Q  sont  deux  monômes  quelconques) 
est  équivalent  à  zéro;  et  il  en  est  de  même  des  produits  analogues  et  de  leurs 
combinaisons  linéaires.  Les  produits  de  la  forme  (2)  sont  ce  que  j'appellerai 
des  produits  trinômes. 

La  différence  de  deux  monômes  qui  ne  diffèrent  que  par  l'ordre  de  deux 
facteurs  consécutifs  est  équivalente  à  un  polynôme  de  degré  moindre. 

Soient  en  effet  X  et  Y  ces  deux  facteurs  consécutifs.  Nos  deux  monômes 

s'écriront 

PXYQ,     PYXQ, 

P  et  Q  étant  deux  monômes  quelconques,  et  leur  différence 

P[XY  — YX]Q 

sera  équivalente  à 

P(XY)Q, 

dont  le  degré  est  d'une  unité  plus  petit,  puisque  (XY)  est  du  premier  degré, 
X\  et  YX  du  deuxième  degré. 

Soient  maintenant  M  et  M'  deux  monômes  équipoileuts  quelconques,  c'est-à- 
dire  ne  différant  que  par  l'ordre  des  termes.  On  pourra  trouver  une  suite  de 

monômes 

M,    M,,    M,,     ...,    Mp,    M', 

dont  le  premier  et  le  dernier  sont  les  deux  monômes  donnés  et  qui  seront  tels 
que  chacun  d'eux  ne  diffère  du  précédent  que  par  l'ordre  de  deux  facteurs 
consécutifs.  La  différence  M  —  ^^,  qui  est  la  somme  des  différences  M  —  M|, 
M,  —  1M2,  .  .  . ,  Mp —  M',  sera  donc  encore  équivalente  à  un  polynôme  de  degré 
moindre. 

Plus  généralement,  la  différence  de  deux  polynômes  équipollents  est  équiva- 
lente à  un  polynôme  de  degré  moindre. 

Je  dis  maintenant  qu'un  polynôme  quelconque  est  toujours  équivalent  à 
un  polynôme  régulier. 

Soit  en  efTet  P„  un  polynôme  quelconque  de  degré  n;  il  sera  équipollent  à 
un  polynôme  régulier  P),  ;  on  aura  alors  l'équivalence 

p     P'    _:_  p 

^  Il  —  ^  n    ■     *  it — I  j 


181)  Sl'R    LES   CHOIPES   CONTINUS. 

OÙ  P„_i  est  un  polynôme  de  degré  /;  —  i  qui  sera  à  son  tour  écjuipoUeni  à  un 
polynôme  régulier  P),^,,  d'où  l'équivalence 

el  ainsi  de  suite;  on  finira  par  arriver  à  un  polynôme  de  degré  zéro,  de  sorte 
que  nous  pouvons  écrire  l'équivalence 

p   —  P'  __  p'      p'      

dont  le  second  membre  est  un  polynôme  régulier. 

On  a  donc  un  moyen  de  réduire  un  polynôme  quelconque  à  un  polynôme 
régulier  en  se  servant  des  relations  (i).  Il  reste  à  rechercher  si  cette  réduction 
ne  peut  se  faire  que  d'une  seule  manière. 

Le  problème  peut  encore  se  présenter  sous  la  forme  suivante  :  un  polynôme 
régulier  peut-il  être  équivalent  ù  zéro?  Ou  bien  encore  peut-on  trouver  une 
somme  de  produits  trinômes  de  la  forme 

(i)  P[XY  — Y\  — (\Y  ilQ. 

qui  soit  un  polynôme  régulier  non  identiquement  nul?  Toutes  les  sommes  de 
pareils  produits  sont  en  effet  équivalentes  à  zéro. 

Le  degré  d'un  produit  trinôme  sera  égal  à  2  plus  la  somme  des  degrés  des 
polynômes  P  et  Q.  Si  je  considère  ensuite  une  somme  S  de  pioduits  (2),  ce 
que  j'appellerai  le  degré  de  cette  somme  S,  ce  sera  le  plus  élevé  des  degrés  des 
produits  qui  y  figurent,  quand  même  les  termes  du  degré  le  plus  élevé  de  ces 
différents  produits  se  détruiraient  mutuellement. 

Le  produit  trinôme  (2)  peut  être  considéré  comme  la  somme  de  deux  pro- 
duits, le  produit  binôme 
(■iOi.i)  \'\\\  —  1  \  |(,i. 

où  je  distinguerai  le  monôme  positif  PWQ  et  le  monôme  négatif  —  l'\  \Q; 
et  le  produit 

que  j'appellerai  le  produit  complénienlairi-. 

Soit  donc  S  une  somme  cpielconque  de  produits  Liinomes  de  degré />  ou  de 
degré  inférieur;  je  |)ourrai  écrire 

S  ^  S/,—  T,, -i-  Sy,-i  —  T,,  -,      ... ^  .S,,  —  'l',. 

où  S/i  est  une  somme  de  produits  binômes  de  degré  A 
i./,'ri  l'|\^— V\|(i. 


SUIl    LES    GKOtPES    CONTINUS.  iSl 

lainlis  (|ue  — Ta  est  la  somme   des  produis   coniplémeiilairo   correspondants 

Il  s'agit  de  savoir  si  la  somme  S  peut  être  un  polvnome  régulier  sans  être 
identiquement  nulle.  J'observe  d'abord  que  si  S  csl  un  polvnome  réguber,  il 
doit  en  être  de  même  de  Sf,;  car  S,,  représente  l'ensemble  des  lermesde  degré  p 
dans  S;  landis  que  (S/,-,  —  T^),  (S/,_ï  —  T/,_|),  ...,  (S^  — T;,),  —  Tj  repré- 
senlenl  respectivement  l'ensemble  des  termes  de  degré /J  —  i,  />  —  ?.,  .  .  .,  2,  i. 

On  voil  iuimédialemenl  que  S/,  est  équipoUent  à  zéro;  comme  zéro  est  un 
polvnoini^  régulier,  et  que  deux  pidvnomes  réguliers  ne  peuvent  être  équipol- 
lents  sans  être  identiques,  il  faut  que  S/,  soit  idenli(|uement  nul. 

Soit  en  particulier  p  =  ,'i,  * 

S,  =  i:[\\  —  >\  )/>  — i;/4\v  — ^\|, 

le  signe  -  siguilie  que  l'on  t'ait  l.i  somme  <lu  terme  qui  est  pvplicilemenl  exprimé 
sous  ce  signe  et  des  deux  termes  cpi  ou  en  peut  déduire  en  permutant  cir(  ulai- 
rement  les  trois  lettres  X,  ^  ,  Z. 
On  fiurii 

puis 

S;=    i[t\V,)Z—   Z(\>     ij. 

S  =  S:,— T^-T-S,— T,  =  2[XY  — YX  — iXV)JZ  — 2Z[XY  — YX  — (XY)] 
—  i;[(XY)Z  — ZfXYi  — ((XY)Z)]. 

Il  est  aisé  de  vérifier  que  S:)  et  S^ — ^  T;i  sont  identiquement  nuls,  de  sorte 
que  S  se  réduit  à  —  Tj. 

Or 

T,=  [(X\;ZJ-|(  VZ)XJ^[(ZX)YJ 

est  un  polynôme  de  premier  degré,  car  [(XY)Z]  comme  (XY)  lui-même  est 
un  polynôme  du  premier  degré. 

Or,  dans  un  polynôme  du  premier  degré,  chaque  terme  ne  contenant  qu'un 
seul  facteur,  on  n'a  pas  à  se  préoccuper  de  l'ordre  des  facteurs.  Tout  polynôme 
du  premier  degré  est  donc  un  polynôme  régulier.  Si  donc  le  polynôme  T2  n'est 
pas  identiquement  nul,  la  somme  S  sera  égale  à  un  polynôme  régulier  qui  ne 
sera  pas  identiquement  nul. 

Donc,  pour  qu'un  polynôme  puisse  être  réduit  d'une  seule  manière  à  un 
polynôme  régulier,  il  faut  qu'on  ait  les  identités  suivantes  : 

ri)  [(XYiZ)^  |i  \z,)X]  +  [('zx)\]  =  ... 


ig:.  SUR    LES   GROUPES   CONTINUS. 

On  reconnaît  là  les  identités  de  Jacobi  qui  joiunl  un  si  grand  rôle  dans  la 
théorie  de  Lie. 

[Si  d'ailleurs  ces  identités  n'avaient  pas  lieu,  les  opérateurs  élémentiiires 
seraient  liés  par  les  équations  (3)  qui  ne  seraient  plus  des  identités;  ils  ne 
seraient  plus  linéairement  indépendants;  on  pourrait  donc  en  réduire  le 
nombre.  ] 

Les  identités  {?>)  sont  donc  la  condition  nécessaire  pour  que  la  réduction 
d'un  polynôme  à  un  polynôme  régulier  ne  puisse  se  faire  que  d'une  seule 
manière. 

Il  me  reste  à  montrer  que  cette  condition  est  suffisante. 

Je  dirai,  pour  abréger,  une  somme  régulière,  pour  désigner  une  somme  de 
produits  trinômes  qui  est  un  polynôme  régulier. 

Soit  alors 

une  somme  de  produits  trinômes;  les  deux  premiers  terjues  S/,  —  Tp  repré- 
sentent la  somme  des  produits  trinômes  du  degré  le  plus  élevé,  c'est  ce  que 
j'appellerai  la  tête  de  la  somme  S. 

J'ai  distingué  plus  haut  dans  un  produit  trinôme  trois  parties  que  j'ai 
appelées  le  monôme  positif,  le  monôme  négatif  et  le  produit  complémentaire. 
Je  dirai  qu'une  somme  de  produits  trinômes  forme  une  chaîne  si  le  monôme 
négatif  de  chaque  produit  est  égal  et  de  signe  contraire  au  monôme  positif  du 
produit  suivant.  Le  monôme  positif  du  premier  produit  et  le  monôme  négatif 
du  dernier  seront  alors  les  monômes  extrêmes  de  la  chaîne. 

Il  résulte  de  cette  définition  que  tous  les  monômes  positifs  d'une  même 
chaîne  ne  diffèrent  qne  par  l'ordre  de  leurs  facteurs. 

Une  chaîne  sera  fermée  si  les  deux  monômes  extrêmes  sont  égaux  et  de 
signe  contraire.  Si  S^ — T^  est  une  chaîne  fermée  de  produits  trinômes 
(S/,  représentant  la  somme  des  produits  binômes  el  — T^,  celle  des  produits 
complémentaires),  il  est  clair  que  S^  est  identiquement  nul  puisque  les  monômes 
positifs  et  négatifs  se  détruisent  deux  à  deux. 

Nous  avons  vu  que  si  S  est  une  somme  régulière,  Sp  est  identiquement  nul, 
d'où  il  résulte  que  la  tête  d'une  somme  régulière  S  se  compose  toujours  d'une 
ou  plusieurs  chaînes  fermées. 

Si  deux  chaînes  ont  mêmes  monômes  extrêmes,  leur  différence  est  une  chaîne 
fermée. 

Nous  nous  servirons  de  cette  remarque  pour  montrer  qu'une  chaîne  fermée 


SUR    LES    (iROUPES    CONTINUS.  I S3 

peul  loujolirs  de  plusieurs  manières  ic  f/c;cort!y;o5c'/' en  deux  ou  plusieurs  chaînes 
fermées.  Une  chaîne  fermée  quelconque  peut  de  plusieurs  manières  être 
regardée  comme  la  différence  de  deux  chaînes  C  et  C  ayant  mêmes  monômes 
extrêmes;  soil  alors  C"  une  troisième  chaîne  ayant  mêmes  monômes  extrêmes. 
La  chaîne  fermée  C  —  C  se  trouve  ainsi  décomposée  en  deux  aulres  chaînes 
fermées  G  —  C"  et  C" —  C. 

Il  s'agit  de  montrer  que  tonte  somme  régulière  est  identiquement  nulle  et 
en  effet,  quand  cela  aura  été  démontré,  il  sera  évident  qu'un  polynôme  régulier 
dont  tous  les  coefficients  ne  seront  pas  nuls  ne  |>ourra  être  équivalent 
à  zéro,  puisque  tout  polynôme  régulier  équivalent  à  zéro  est  par  définition 
une  somme  régulière. 

Supposons  que  le  théorème  ait  été  établi  pour  les  sommes  de  degré  1,2,  .  .  . , 
p  —  I  ;  je  me  propose  de  l'étendre  aux  sommes  de  degré/?. 

Je  remarque  d'abord  que  si  une  somme  régulière  de  degré /?  est  identique- 
ment nulle,  il  en  sera  de  même  de  toutes  les  sommes  régulières  de  degré  p  qui 
ont  même  tête.  La  différence  de  ces  deux  sommes  serait  en  effet  une  somme 
régulière  de  degré  (p  —  i)  qui  serait  identiquement  nulle  d'après  notre  hypo- 
thèse. 

Il  me  suffira  donc  de  former  toutes  les  chaînes  fermées  de  degré  p  et  de 
montrer  que  chacune  d'elles  peul  être  regardée  comme  la  tête  d'une  somme 
régulière  identi(iuement  nulle. 

Toute  somme  régulière  S  d'ordre  /?  a  en  effet  pour  tête  une  de  ces  chaînes 
fermées,  par  exemple  S';  si  donc  je  montre  que  l'une  des  sommes  régulières 
dont  la  tète  est  S'  est  ideniiquement  nulle,  il  en  sera  de  même  de  toutes  les 
aulres  et  en  particulier  de  S. 

Pour  établir  ce  point,  je  vais  décomposer  la  chaîne  fermée  envisagée  en 
plusieurs  chaînes  fermées  composantes. 

II  me  suffira  de  démontrer  la  proposition  pour  chacune  des  composantes. 

J'appellerai  chaîne  simple  de  la  première  sorte  toule  chaîne  oii  le  premier 
facteur  de  tous  les  monômes,  soit  positifs,  soit  négatifs,  sera  partout  le  même. 

J'-appellerai  chaîne  simple  de  la  deuxième  sorte  toute  chaîne  où  le  dernier 
facteur  de  tous  les  monômes  sera  partout  le  même. 

Une  chaîne  simple  peut  d'ailleurs  être  ouverte  ou  fermée. 

Il  est  évident  que  toute  chaîne  fermée  peut  être  regardée  comme  la  somme 
d'un  certain  nombre  de  chaînes  simples,  alternativement  de  la  première  et  de 
la  deuxième  sorte. 


l84  SIR    LES    GROl'l'ES    CONTINUS. 

Soient  donc  S  une  chaîne  fermée,  Ci,  Cj,  .  .  .,  C„  des  chaînes  simples  de  la 
première  sorte,  C, ,  C'j,  .  .  . ,  C^,  des  chaînes  simples  de  la  deuxième  sorte,  on 
aura 

le  monôme  négatif  extrême  de  chaque  chaîne  étant,  bien  entendu,  égal  et  de 
signe  contraire  au  monôme  positif  extrême  de  la  chaîne  suivante,  et  le  monôme 
négatif  extrême  de  C„  égal  et  de  signe  contraire  au  monôme  positif  extrême 
de  C|. 

Soit  \  le  premier  facteur  de  tous  les  monouies  de  C,,  Z  le  dernier  facteur  de 
tous  les  monômes  de  C',,  Y  le  premier  facteur  de  tous  les  monômes  de  Co,  T  le 
dernier  facteur  de  tous  les  monôme.-,  de  C',  (je  n'exclus  pas  le  cas  où  deux  des 
opérateurs  X,  Y,  Z,  T  seraient  identiques). 

Soit  alors  C"  une  chaîne  simple  de  la  «leuxièuie  sorte  avant  sou  mouume 
positif  extrême  égal  et  de  signe  contraire  au  numome  négatif  extrême  de  C,, 
dont  tous  les  monômes  ont  pour  dernier  facteur  T,  et  dont  le  monôme  négatif 
extrême  a  pour  premier  facteur  X. 

Soit  C"  une  chaîne  simple  de  la  première  sorte  dont  tous  les  monômes  ont 
pour  premier  facteur  X  et  dont  les  monômes  extrêmes  sont  respectivement 
égaux  et  de  signe;  contraire  au  monôme  négatif  extrême  de  C"  et  au  monôme 
positif  extrême  de  C, . 

La  chaîne  fermée  S  se  trouvera  décomposée  en  rleux  chaîne!'  fermées  compo- 
santes, à  savoir  : 

S"  =  _  c"^  c, -+-  C'a  -■ . . .  -  c„  -+-  c;, -  C". 

S'  ne  contient  que  quatre  chaînes  simples:  car  (C  -i-  C,  )  et  (C!,+  C")  sont 
des  chaînes  simples;  S'  contient  deux  chaînes  simples  de  moins  que  S. 

En  poursuivant  on  finira  par  décomposer  S  en  chaînes  fermées  composantes, 
formées  seulement  de  quatre  chaînes  simples.  Il  nous  suffit  donc  d'envisager 
les  chaînes  fermées  formées  de  quatre  chaînes  simples  comme  par  exemple  S'. 

Les  monômes  positifs  extrêmes  des  quatre  chaînes  simples  qui  forment  S 
ont  respectivement  pour  premier  et  dernier  facteurs 

pour  G"'-C,,  X  et  T, 

»      C, ,  X  et  Z, 

»      Cj,  Y  et  Z, 

»      Cîj^C",  Y  et  T. 

Soient  M|,  .M,.  Mj,  Ml,  ces  quatre  monômes. 


'  SUR    LES    CnOl'PES    CONTINUS.  l85 

Tous  ces  mononres  sonl  équl|iolI(.'nts  entir  eux  et  équipollenls  à  un  coiiain 
monôme  que  j'appellerai  X\PZT. 

Nous  allons  alors  construire  une  série  de  chaînes  simples,  cumprises  dans  le 
tableau  suivant,  où  dans  la  |)remière  colonne  se  trouve  la  lettre  qui  désigne  la 
chaîne,  dans  la  seconde  le  monôme  extrême  [)ositif,  dans  la  troisième  le  monôme 
extrême  négatif;  je  fais  figurer  dans  le  même  tableau  les  quatre  chaînes  simples 
qui  forment  S'  et  je  pose  pour  abréger  : 

Q. 


=  XYPZT: 

;      Q'i  = 

\  ^  I>T  Z  ; 

o„ 

=  V\PTZ;         q:. 

=  YXrZT 

Nom 

Nom 

de 

Moniime 

Monôme 

de 

Monôme 

Monôme 

la  chaîne. 

positif. 

négatif. 

la  chaîne. 

positif. 

négatif. 

G'"-,-  G, 

M, 

-m; 

D, 

M: 

—  Qî 

c; 

M', 

—  M. 

"2 

lM.j 

—  0:, 

X  1 

G, 

M. 

—  M', 

E, 

Q. 

-q; 

g:, 

\l, 

—  \1. 

k; 

Q', 

—  0, 

D, 

M, 

-Q. 

E. 

o„ 

—  Q'. 

r; 

M', 

-q; 

E'. 

0:, 

-Q. 

On  peut  supposer  que  tous  les  monômes  de  la  chaîne  D,  ont  pour  premier 
et  dernier  facteurs  X  et  T;  de  sorte  que  D|  est  à  la  fois  une  chaîne  simple  de 
première  sorte  el  une  chaîne  simple  de  deuxième  sorte.  Il  en  est  de  même  des 
autres  chaînes  D.  On  peut  supposer  de  plus  que  les  chaînes  E  se  réduisent  à 
un  seul  produit  trinôme  de  manièri^  que  par  exemple 

E,  =  \VP|ZT  — TZ  — iZT)]. 

La  chaîne  fermée» 

S'=(G'-C,)-r-C',  ^C,-+-C', 

peut  être  décomposée  en  cinq  chaînes  fermées  composantes,  à  savoir  : 


Ui  =  G"'+  G,  -:-D'|—  Ei- 

-D 

U;  =  C',  +  D.-E',-D',, 

Uj  =  G. -t-D'„—  E.  — D.. 

\]\=  c;,+  c"  --D,  —  e:,- 

-D 

v  =  El  H-  e;  +  E;  —  E'„. 

Il  s'agit  donc  de  montrer  que  chacune  de  ces  cinq  chaînes  fermées  est  la 
tête  d'une  somme  régulière  identiquemeni  nulle. 

Pour  les  quatre  premières,  qui  sont  des  chaînes  simples  fermées,  le  théorème 
est  évident.  On  l'a  supposé  démontré,  en  effet,  pour  les  chaînes  fermées  d'ordre 
H.  P.  —  III.  =4 


l86  SUR  LES  GROUPES  CONTINUS.  ' 

inférieur  à  p.  Or  il  ot  clair  que  l'on  a  par  exemple 

H  étant  une  chaîne  fermée  d'ordre  (/?  —  i). 

Quant  à  V,  ce  sera  la  tête  de  la  somme  régulière 

[XY  —  YX  —  (XY)]  PZT  H-  YXP[ZT  —  TZ  —  (ZT  )  J  —  [XY  —  YX  —  (XY  )jrTZ 
—  XYP[ZT  — TZ  — (ZT)]-+-(XY)P[ZT  — TZ  — (ZT)] 

-[XY-YX-(XY)]P(ZT), 

qui  est  identiquement  nulle. 

Il  reste  à  envisager  ce  qui  se  passe  quand  deux  des  opérateurs  X,  Y,  Z,  T 
sont  identiques,  par  exemple  \  =  Y,  ou  X  =  Z. 

Nous  devons  alors  distinguer  le  cas  où  les  divers  monômes  positifs  ou  négatifs 
de  notre  chaîne  contiennent  deux  facteurs  identiques,  l'un  jouant  le  rôle  de  X 
et  l'autre  le  rôle  de  Y  (ou  l'un  le  rôle  de  X  et  l'autre  celui  de  Z);  il  n'y  a  alors 
rien  à  changer  à  l'analyse  qui  précède. 

Et,  d'autre  part,  le  cas  où  ces  monômes  ne  contiennent  qu'un  seul  facteur  X. 

Le  premier  cas  pourra  seul  se  présenter  si  l'on  suppose  X  =  Z,  ou  X  =  T, 
et  s'il  y  a  plus  de  trois  facteurs  en  tout. 

Le  second  cas  pourra  au  contraire  se  présenter  si  l'on  suppose  par  exemple 
X  =\  ;  mais  on  posera  alors 

Q,=  Q,=  XPZT;         Q'i  =  Q.=  XPTZ. 

La  définition  des  diverses  chaînes  demeurera  d'ailleurs  la  même  et  l'on 
constatera  immédiatement  que  la  chaîne  V  est  identiquement  nulle. 

Le  théorème  est  donc  démontré  pour  les  sommes  d'ordre  /),  s'il  l'est  pour 
les  sommes  d'ordre  moindre. 

La  démonstration  précédente  n'est  toutefois  pa>  applicable  au  cas  de/)  =  3; 
car  la  chaîne  ^  n'exisle  que  s'il  y  a  au  moins  quatre  facteurs.  Mais  la  seule 
chaîne  fermée  du  troisième  ordre  est  la  chaîne  S3 —  Tj  envisagée  plus  haut  et 
nous  avons  vu  qu'elle  est  la  tète  d'une  somme  régulière  qui  est  identiquement 
nulle  si  les  identités  (3)  ont  lieu. 

Le  théorème  est  donc  établi  dans  toute  sa  généralité. 

Toute  somme  régulière  est  identiquement  nulle. 

Donc  un  polynôme  régulier  qui  n'est  pas  identiquement  nul  ne  peut  pas 
s'annuler  en  vertu  des  relations  (1). 

Donc,  en  résumé  : 


SUR  LES  GROUPES  CONTINUS.  1S7 

Si  les  identités  {?))  ont  lieu,  les  relations  (i)  permettent  d'une  manière,  et 
d'une  seule,  de  réduire  un  polynôme  quelconque  à  un  polynôme  régulier. 

IV.  —  Problème  de  Campbell. 
Soient 

x„   x„    ...,   \,. 

r  opérateurs  élémentaires;  supposons  qu'ils  soient  liés  par  les  relations 

(I)  X,.X,,-X,,X„=(XaX4), 

(XnXi)  étant  une  combinaison  linéaire  des  Xj;;  supposons  de  plus  qu'on  ait 
les  identités 

(3)  ({X„X4)Xe)^((X4Xe)X„)  +  ((X,X„)X,)  =  o. 

D'après  le  deuxième  théorème  du  Lie,  ces  opérateurs  donnent  naissance  à 
un  «  groupe  continu  ».  f[ui  admet  /■  transformations  infinitésimales  indépen- 
dantes. Ces  transformations  infinitésimales  changent/ en 

i  étant  une  constante  infiniment  petite. 

Soit 

T  =  ^X,^-^X,-l-...^/,X, 

une  combinaison  linéaire  de  ces  opérateurs.  Les  t^  sont  des  coefficients  con- 
stants quelconques.  La  transformation  finie  la  plus  générale  du  groupe  s'expri- 
mera par  le  symbole 

eHf). 
Soient  maintenant 

T  =  <,X,+  /;X,  +  ...-+-  /,.X,., 
V  =  t'iXi-i-  PsX.-t-. . .+  'V-X,., 

deux  combinaisons  linéaires  des  X.  Comme  les  transformations  e^  forment  un 

groupe,  le  produit 

e^'  et 

devra  également  faire  partie  du  groupe,  de  sorte  que  nous  devrons  avoir 

(4)  eVeT=e«', 

où 

\V  =  (l'i  Xi  -(-  iViX,^. .  .^  «vXr 

est  une  autre  combinaison  linéaire  des  X. 

Les  coefficients  iv  sont  évidemment  des  fonctions  des  v  et  des  t. 


l88  SUR    LES    GIIOIPES    CONTIKUS. 

Développons  le  produit 


ev  ,,r  =  V  !_!_  . 


Le  terme  général — j — j- est  un  polynôme  d'ordre  (/« -|-«).  Parles  relations (i) 

on  peut  It'  réduire  à  un  polynomo  régulier,  et  celte  rédaction  ne  peut  se  faire 
que  d'une  seule  manière. 
Nous  pouvons  donc  écrire 

\  III 'fil 

/Il  lir.  ' 

où  NV(/>,  m,  n)  est  un  polynôme  régulier  et  homogène  d'ordre /)(</w  +  «);  on 

a  donc 

e'*' eT  =  ^p^„i,n  \\(/'.  "'■  "  1- 

Si  nous  réunissons  les  termes  de  même  degré  et  ipie  nous  posions 

\y,,  =  -,„,„  \\i  /'.  "'.  /(  ). 
il  viendra 

Le  second  théorème  de  Lie,  que  je  viens  de  lappeler,  nous  apprend  que  le 
second  membre  doit  être  de  la  forme  e" ,  et  par  conséquent  que 

C'est  là  une  proposition  dont  la  simplicité  serait  inattendue,  si  l'on  ne 
connaissait  pas  la  théorie  des  groupes. 

Si  l'on  pouvait  la  démontrer  directement  on  aurait,  comme  l'a  remarqué 
Campbell,  une  nouvelle  démonstration  du  second  théorème  de  Lie. 

Mais  il  y  a  plus;  on  aurait  une  nouvelle  démonstration  du  troisième  théo- 
rème de  Lie. 

Les  égalités  (i)  nous  font  connaître  des  relations  entre  les  opérateurs  élémen- 
taires et  les  combinaisons  X\  — YX;  ce  sont  ces  relations  qui  déterminent  la 
structure  du  groupe.  Cette  structure  est  donc  entièrement  définie  quand  on 
connaît  les  r''  coefficients  c  des  r^  fonctions  linéaires  (XY). 

Mais  ces  r'  constantes  c  ne  sont  pas  toutes  indépendantes;  tous  les  coefTi- 
cients  de  (XX)  doivent  être  nuls  ;  les  coefficients  de  (YX)  sont  égaux  et  de  signe 
contraire  à  ceux  de  (XV).  Enfin  les  constantes  c  doivent  être  choisies  de  telle 
façon  que  les  identités  (3)  soient  satisfaites.  J'adjoins  donc  aux  identités  (3)  les 


SIR    LES   GROUPES    CONTINUS.  l'^'l 

identités  suivantes  qui  sont  évidentes  : 

(3/>/Vj  (XX)  =  <i.  i\Y)  =  — (YX). 

Le  troisième  théorème  de  Lie  nous  apprend  qu'on  peut  toujours  trouver  un 
groupe  de  structure  donnée,  pourvu  que  les  coefficients  c  qui  définissent  cette 
structure  satisfassent  aux  identités  (3)  et  (3  bis),  c'est-à-dire  aux  identités  de 
Jacobi. 

Mais  supposons  inversement  qu'on  ait  démontré  directement  l'identité  (5)  et 
par  conséquent  la  formule  (4)-  Les  coefficients  w  seront  donnés  en  fonctions 
de  c  et  de  t;  el  je  puis  écrire 

Pour  former  les  fonctions  <!>*,  il  suffit  de  savoir  former  le  polynôme  W,  par 

conséquent  de  savoir  foncier  les  polynômes  ^\  (p,  m,  n).  c'est-à-dire  de  savoir 

réduire  un  polynôme  quelconque  à  un  polynôme  régulier;  pour  cela  il  suffit  de 

connaître  les  coefficients  c. 

Soient 

e\  gT  =  e^^  ;  e^^  e^  =  e'-  ;  e^  e'  =  e^, 

où 

U  =  2  Ut\,.,  Z  =  S  3/,X;..  Y  =  SjxX;.. 

Le  caractère  associatif  de  nos  opérateurs  nous  montre  que  l'on  a 

e^  e^  =  e^. 
d'où  les  relations  suivantes  : 

( 7 )  -/.■  =  "ï»/,  '  tfh  iii)  =  4»/,  (  i-,.  j-,  ). 

Regardons  dans  les  équations  (6j  les  /  comme  des  constantes;  ces  équa- 
tions (6)  définiront  une  transformation  <jui  transforme  f,,  v^,  .  .  .,  (^,  en  «■,, 
n'j,  .  .  .,  ny.  Les  relations  ('-)  nous  enseignent  que  l'ensemble  de  ces  transfor- 
mations constitue  un  groupe,  le  groupe  jjaiantétrique. 

(C'est  ce  que  Lie  appelle  «  die  ersle  Parametergruppe  ».) 

Les  substitutions  infinitésimales  de  ce  groupe  sont  : 

OÙ  dans  •!•*((•,,  t,)  on  annule  les  /  après  la  différentiation. 

Le^  /•  substitutions  infinitésimales  X,(/')  sont  linéairement  indépendantes.  Et 
i-n  efl'et,  pour  qu'elles  ne  If  fu^-ent  pas,  il  faudrait  que  le  déterminant  fonc- 


igo  SUR    LES   GROUPES   CONTINUS. 

lionnel  des  $i  par  rapport  aux  /  fût  nul  quels  que  soient  les  c,  quand  les  t 
s'annulent.  Or  cela  n'a  pas  lieu,  car  ce  déterminant  devient  égal  à  i  quand  les 
V  s'annulent. 

Ayant  ainsi  défini  les  opérateurs  élémentaires  \i{f),  leurs  combinaisons 
T  =  2f,X,(y),  e^,  etc.  se  trouvent  définies  elles-mêmes. 

Ces  opérateurs  étant  associatifs,  on  aura^ 

c'est-à-dire,  en  négligeant  les  quantités  du  troisième  ordre  par  rapport  aux  t 
et  aux  M. 

Tli  liT 

Y  =  T  -^  U  -^  — —  ■ 

i 

D'autre  part,  d'après  la  manière  dont  ont  été  formées  les  fonctions  <t/i,  on 
vérifie  que 

V  =  T  --  U  --  -(TU)  =  2/,X,-v-  SHxXiH-  ^  S(/,Ht—  /<-»,)(X,X|.), 

et  la  comparaison  de  ces  deux  identités  donne 

X,X/,— X,X,=  (X,X;.), 

où  les  coefficients  des  fonctions  linéaires  (X,Xa)  sont  bien  les  /-^  coefficients  c 
donnés. 

Le  groupe  ainsi  formé  a  donc  bien  la  structure  donnée  et  le  troisième  théo- 
rème de  Lie  est  démontré. 

C'est  au  fond  la  démonstration  de  Schur. 

Ce  que  j'appellerai  le  problème  de  Campbell  consiste  donc  à  démontrer 
directement  la  formule  (5),  ce  qui  démontre  à  la  fois  le  second  et  le  troisième 
théorème  de  Lie. 

V.  —  Le  symbole  <I»(9). 

Considérons  /•  opéraleuis  élémentaires 

X,.     X,,     ....     X,. 

et  une  de  leurs  combinaisons  linéaires 

T  =  ^X,  +  /;X.  +  ...-(-/,.X,.. 

Soit  ensuite  V  un  autre  opérateur  élémentaire  qui  pourra  être  ou  ne  pas  être 
une  combinaison  linéaire  des  opérateurs  X. 


SUR    LES   GROUPES    CONTINUS.  HJI 

Supposons  que  les  opéraleurs  V  cl  X  soient  liés  par  des  relations  de  la  forme 


on  aura  alors 


Je  poserai 


(J  =  I,  2,   ....   /•), 

AT  — TV=  i;M/,X/,, 

"-(  =  ^/Ji.ktl- 

VT  — TV  =  0(T). 


Donc  9(T)  est,  comme  T,  une  combinaison  linéaire  des  X;  et  les  coefficients 
de  9(T)  se  déduisent  de  ceu\  de  T  par  une  substitution  linéaire. 
Je  poserai 


0[0(ï)]  =  OHT), 


0[0"'{T)]  =  0"'+i(T). 


de  sorte  que  9"'(T)  sera,  comme  T,  une  combinaison  linéaire  des  X,  les  coeffi- 
cients de9"'(T)  se  déduisant  de  ceux  de  T  en  répétant  m  fois  cette  même 
substitution  linéaire. 

Si  maintenant 

<I>(0)  =  S^c/O':- 


est  un  polynôme  ou  une  série  ordonnée  suivant  les  puissances  croissantes  de  9, 
j'écrirai 

au  lieu  de 


<!.(()  )(T) 
Considérons  l'équation,  dite  caractéiistique, 

...      f'u- 


(0 


('r\, 


....     ^,,.-0 


Si  celte  équation  a  toutes  ses  racines  distinctes  et  si  ces  racines  sont  6,, 
6-2,  .  .  . ,  9, ,  il  existe  /■  combinaisons  linéaires  des  X,-,  à  savoir  : 


telles  que 

Si  alors 
on  aura 

Si  nous  posons 


Yx.=  Sa,-,,-X,-, 

VY,-Y/,-V  =  6,V7.. 

T  =  î:/,X,=  2/;.Yx.. 

<t.(0)(T)=2*(0,)/iY,. 

<1.(0)(T)=VA,X„ 


192  SUR    LES   GROIIPES    CONTINUS. 

uous  voyons  d'abord  que  les  coefdcients  hi  sont  des  fonctions  linéaires  des  t; 
ce  sont  d'autre  part  des  fonctions  dos  b;  étudions  ces  fonctions. 

Si  4>(9)  est  un  polynôme  entier  d'ordre  jt>  un  9,  les  /;,•  seront  des  polynômes 
entiers  d'ordre  p  par  rapport  aux  b.  Si  donc  •I*(6)  est  une  série  ordonnée 
suivant  les  puissances  de  9,  les  /(,-  se  présenteront  sous  la  forme  de  séries 
ordonnées  suivant  les  puissances  des  b.  Nous  allons  voir  bientôt  quelles  sont 
les  conditions  de  convergence  de  ces  séries. 

Des  équations  (2)  on  tire  en  effet 

d'où 

<l.(e)(T;=S*(9i.)'î=</-(X<- 
d'où  enfin 

h,=  -S.tj^(%,,).y.a''?il.. 

Pour  déterminer  les  produits  y-ih^jk  faisons 

f  étant  une  constante  quelconque. 
On  a  alors 

où 

Mais  on  a  aussi 

,ç-e)(H)  =  T. 

ce  qui  peut  s'écrire 

De  ces  équations  on  peut  tirer  les  A  eu  fonctions  des  t  et  l'on  trouve 

où  P,y  est  un  polynôme  entier  par  rapport  aux  b  el  à  ;;  (|uant  à  F(?),  c'est  le 
premier  membre  de  l'équation  (1  )  où  0  a  été  remplacé  par  ^. 

Le  second  membre  de  ré([ualion  (3)  est  une  fraction  rationnelle  en  l; 
décomposons-la  en  éléments  simples;  il  viendra 

où  P^'j  est  ce  que  devient  P,,  quand  on  y  remplace  ;  par  9^. 


SUR    LES    GROUPES   CONTINUS.  19^ 

On  a  donc 

P* 

d"où  enfin,  pour  une  fonction  ^(5)  quelconque. 

U)  *(0)(T)  =  X^4îi^^ 

On  voit  que  les  hi  s'expriment  rationnellement  en  fonctions  des  b,  des  9/t  et 
des  $(5a). 

La  formule  (  \)  peut  se  mettre  sous  une  autre  forme;  nous  pouvons  écrire 

l'intégrale  étant  prise  dans  le  plan  des  \  le  long  d'un  cercle  de  ra\on  assez  petit 
pour  que  la  fonction  '!•(;)  soit  holomorplie  à  l'intérieur;  nous  le  supposerons 
de  plus  assez  grand  pour  que  les  points  9,,  Bn,  .  .  .,  0,-  soient  à  l'intérieur  du 
cercle.  Cela  nous  amène  à  supposer  en  même  temps  que  le  rayon  de  conver- 
gence de  la  série  *(;)  est  plus  grand  que  le  plus  grand  module  des  quan- 
tités ?|,  6o,  ....  S,.. 

On  a  alors  pour  lous  les  points  du  contour  d'intégration 

i?i>;9i;.     i?i>iO:i.     ■■•■     i?i>iOri, 

d'où  il  résulte  que  la  fonction  rationnelle 

lu 

F(?) 

est  développable  suivant  les  puissances  croissantes  des  b.  Il  en  est  donc  de 
même  des  /i,-. 

Nous  avons  dit  plus  haut  que  les  Vi,-  sont  développables  en  séries  procédant 
suivant  les  puissances  des  b;  et  d'après  ce  qui  précède,  il  suffit,  pour  que  ces 
séries  convergent,  que  le  rajon  de  convergence  de  la  série  4*(5)  soit  plus  grand 
que  la  plus  grande  des  quantités 

|0,|,    10=1,     ....    io.i. 

Si  donc  4»(ï)  est  une  fonction  entière,  les  /i,-  seront  des  fonctions  entières 
des  b. 

Qu'arrive-t-il  maintenant  si  l'équation  caractéristique 

F(6)  =  o 
H.  P.  —  III.  iJ 


194  SUH   LES   GROUPES   CONTINUS. 

a  des  racines  multiples?  Il  est  aisé  de  s'en  rendre  compte  en  partant  du  cas 
général  et  passant  à  la  limite. 

Je  suppose  par  exemple  que  0,  soit  une  racine  triple.  Alors  F(^)  contient  le 
facteur  (t,  —  &i)'.  Si  je  décompose  le  second  membre  de  (3)  en  éléments 
simples,  trois  de  ces  éléments  deviendront  infinis  pour  1  =  6,. 

Soient 

A'/'  A'.!'  Aif 

Ç-0,  ■^(Ç-0,r-"^(|-fli)» 

ces  trois  élémenls  simples.  Alors  il  faudra,  dans  la  formule  (4),  remplacer  le 
terme 

^?/p;/'i>io,  ix, 

(qui  n'aurait  jjIus  de  sens  tlans  le  cas  d'une  racine  multiple)  par  les  trois  termes 

suivants  : 

2A';'X,-<I>(0|)  — (i!)2A'j'X,<I)'(0,)4-(2!)SA';j\\,1>"(0,). 

On  opérerait  de  même  pour  les  autres  racines  multiples. 

Donc  les  /j,,  dans  le  cas  des  racines  multiples,  sont  des  fonctions  rationnelles 
des  b,  des  0^,  des  '^{0/,)  et  de  leur.-  dérivées  ^'(0/,),  <l>"(^/t),  ...  ;  on  pousse 
jusqu'à  <S>^P\0/i)  si  0/,-  est  une  racine  muliiple  d'ordre  p  +  i . 

Remarquons  que  je  n'aurais  [)u  faire  ce  raisonnement  par  passat;e  à  la  limite, 
si  je  m'étais  astreint  dès  le  début  à  supposer  que  V  est  une  combinaison  linéaire 
des  X,  el  que  les  \  sont  liés  par  les  relations  (i)  et  (3)  du  paragraphe  IV 
(relations  de  structure  et  idcmlités  de  Jarobi  ). 

Alors,  en  eli'el,  les  cas  où  l'équation  caractéristique  a  des  racines  multiples 
ne  pourraient  plus  être  regardés  comme  des  cas  particuliers  de  ceux  où  toutes 
les  racines  sont  distinctes.  On  aurait  pu,  il  est  vrai,  démontrer  directement  la 
formule  (4  bis)  et  se  servir  de  cette  formule;  mais  j'ai  préféré  ne  pas 
m'imposer  au  début  cette  hjpolhèse  restrictive,  quille  à  l'introduire  dans  la 
suite  du  calcul,  de  façon  à  avoir  le  dioit  de  raisonner  par  passage  à  la  limite. 

Quoi  qu'il  en  soit,  le  cas  le  plus  intéressant  au  point  de  vue  des  applications 
à  la  théorie  des  groupes,  c'est  celui  où  celte  hypothèse  restrictive  est  satisfaite. 
Supposons  donc  que  V  soit  une  combinaison  linéaire  des  X 

V  =  p,X,^-c,X,  +  ...      i^.X,.. 

-Supposons  de  plus  que  les  X  soient  liées  par  les  relations  (i)  du  paragraphe 

précédent 

\  \  —  \   \   —  Sf  •  X 


SUR  LES  GROUPES  CONTINUS.  igS 

et  que  les  constantes  c  satisfont  à  des  relations  telles  que  les  identités  (3)  du 
paragraphe  précédent  aient  lieu. 
On  aura  alors 

o(T)  =  î;c,7,.',/,x,, 

d'où 

Les  résultats,  démontrés  dans  le  cas  général,  seront  évidemment  encore  vrais 
dans  ce  cas  particulier:  si  donc  on  pose 

<I.(0)(,T)=i;A,X„ 

les  hi  seront  des  fonctions  linéaires  des  t,  et  des  fonctions  rationnelles  des  v^ 
des  Qk,  des  <1»(9a)  et  de  quelques-unes  de  leurs  dérivées.  Les  0^  sont  les  racines 
d'une  équation  algébrique  dont  le  premier  membre  est  un  poluiome  entier 
homogène  de  degré  /■  par  rapport  aux  v  et  à  l'inconnue  0. 

De  plus  les  /(,■  dépendent  linéairement  des  *I*(Û/;)  et  de  leurs  dérivées. 

Si  *!•(■;)  esl  une  fonction  entière  de  5,  les  A,  sont  des  fonctions  entières  des  c. 

Dans  tous  les  cas,  le  symbole  <I>(9)(T)  se  trouve  entièremenl  défini. 

•le  terminerai  par  deux  remarques  : 

i"  Si  X(;)  est  le  produit  des  deux  fonctions  4»(^)  et  *I'^(Ç),  on  aura 

*(0)['r(û)(T,]  =  1^(6)[<ï>(0)(T,]  =  X(0)(T). 

2°  Si  l'on  a 

<1.(0)(T)=U, 

on  au  ta 


4.(0) 


Cette  dernière  égalité  n'a  de  sens  que  si  "I'(£)  ne  s'annule  pas  pour  ^  =  o,  de 

telle  façon  que  -z—rs  soit  développable  suivant  les  puissances  de  0. 

1       <t>  (  0  )  11  ' 

VI.  —  Formules  fondamentales. 
Considérons  l'expression 

V  et  T  ajant  même  signification  que  dans  le  paragraphe  précédent,  tandis  que 
oc  et  p  sont  des  constantes  très  petites.  Développons  cette  expression  en  négli- 


•96  SUR    LES   GROUPES   CONTINUS. 

geaut  les  termes  du  troisième  ordre  par  rapport  à  a  et  P;  il  viendra 

ou 

n-pT^  ■—  _:<3(VT  — TV), 

ou,  avec  la  même  approximation, 

ePT-aPiVT— TV)_ 

On  aura  donc,  toujours  avec  cette  approximation, 

(•i)  •  e-='VePreav=epu^         oùU  =  T  — aO(T), 

ou  encore,  avec  la  même  approximation, 

{■ibis)  «-«VePTgaV- e3u^         où  U  =  e-«0(T). 

Je  me  propose  maintenant  de  démontrer  que  la  formule  (2  bis)  est  vraie 
quelque  loin  que  l'on  pousse  l'approximation;  et  d'abord  qu'elle  est  vraie  quand 
on  néglige  le  carré  de  (3  et  qu'on  pousse  l'approximatron  par  rapport  à  a  aussi 
loin  que  l'on  veut. 

Supposons  donc  qu'on  pousse  l'approximation  jusqu'aux  ternies  en  (3  et 
jusqu'aux  termes  en  a'"  inclusivement.  Dans  l'expression  (1)  nous  remplacerons 
C'''^  par  I  -1-  jjT,  c^^  et  e~^^  par  les  m  -+- 1  premiers  termes  de  leurs  développe- 
ments; en  effectuant  le  produit  (et  négligeant  dans  ce  produit  «'"+'),  nous 
obtiendrons  un  polynôme  symbolique  que  nous  jiourrons  rendre  régulier  par 
les  procédés  du  paragraphe  III.  Soit 

le  polynôme  régulier  ainsi  obtenu  ;  H  est  un  monôme  symbolique,  et  A  son 
coefficient  qui  est  un  polynôme  entier  en  a  et  (3. 

Nous  avons  alors 
(  3)  «Kï  -i-  (Ix.  'fi)  =  e-  ='-'»  ^'  e?T  c'=^+''»'^'  =  e-''=<  V  ,1,(3,.  '■',)  (.-/a.v. 

En  effectuant  le  produit  du  troisième  membre  de  cette  double  égalité,  et 
négligeant  le  carré  de  la  différentielle  doc,  on  obtiendra  un  polynôme  régulier 
de  même  forme  dont  les  coefficients  sont  eux-mêmes  des  polynômes  du  premier 
degré  par  rapport  à  dx  d'une  part,  par  rapport  aux  coefficients  A  d'autre  part. 
Telle  est  la  forme  du  polynôme  *^(a  -+■  de,  j3). 

D'autre  part,  on  a 

(  3  Ois  )  <I>(a  -^  (Ix.  '{i  )  —  <I>(  X.  [i  )  =  d-ji  i;  ^  il. 


SUR    LES   GROUPES    CONTINtS.  '97 


Celle  égalité,  rapprOL-lice  de  la  remarque  que  nous  venons  de  faire,  montre 

r/A. 

que  —r-  est  une  combinaison  linéaire  des  coefficients  A. 

Donc  ces  coefficients  A,  considérés  comme  fonctions  de  c.^  satisfont  à  des 
équations  linéaires  à  coeflicients  constants. 

De  plus,  pour  a  ^  o  ils  doivent  se  réduire  aux  coefficienls  de  c^^.  Ces  condi- 
tions suffisent  pour  les  déterminer. 

Or  je  dis  que  l'on  peut  v  satisfaire  en  faisant  (conformément  à  la  for- 
mule 2  bis) 

*(«,  p)=  efiU;  U  =  e-«''(T). 

En  effet  cette  formule  nous  donne 

*(a  +  dy..  [î)  =  e'^^',         U'=  e-l«+'^'°"°(T), 

et  il  s'ai^il  de  vérifier  que 

Or  la  formule  (2  bis)  démontrée  quand  on  néglige  d'une  part  le  carré  de  (5, 
d'autre  part  le  carré  de  a,  peut  s'appliquer  ici  puisque  nous  négligeons  le  carré 
de  (3  et  celui  de  di..  Nous  avons  donc 

e-,/a.v  e3i)  erf=c.v  ^  ePu"^         \]«  ^  e-,(a.O(u-,^ 

d'où 

U"=  p-'/«-'>[e-»fJ(T)]  =  e-(«+'/a'''(T)  =  U'. 

On  a  donc  bien 

La  formule  (2  bis)  satisfait  donc  à  nos  équations  différentielles,  et  comme  ces 
équations  ne  comportent  qu'une  solution,  celte  formule  se  trouve  vérifiée. 

Poussons  maintenant  l'approximation  aussi  loin  que  nous  voulons  tant  par 
rapport  à  (3  que  par  rapport  à  a. 

Nous  avons 

*(a,  ,3)  =  (.-ïVpjÎT^aV. 

d'où 

<i>(a,  |3H-<i)  =  e-='Veip+rfpiTeav=(e-aVepTeïVj(e-ïVe,/?.TeaV)_ 

ou 

Comme  nous  négligeons  le  carié  de  t/(3,  je  puis  écrire 

<I>(x,  'fi  +  dfi)  =  e''?-^,         V  =  e-^^T); 
d'où 

M)  <i)(5(,  3  +  rfri)  =  <I)(a,  [i)e''P-U. 

Cette  formule  (4)  représente  sous  forme  condensée  des  équations  différen- 


igS  SUR  LES  GROUPES  CONTINUS. 

tielles  de  même  forme  que  les  équations  (3  bis),  auxquelles  doivent  satisfaire 

les  coefficients  A  de 

*(=(.  ^j)  =  SA.n. 

C'est  ainsi  que  la  formule  (4)  représentait  sous  forme  condensée  les  équa- 
tions (3  bis). 

On  peut  satisfaire  à  ces  équations  ^lar  la  formule  (2  bis);  cette  formule  donne 
en  eCTet 

Les  équations  difTércntielles  ne  comportant  comme  les  équations  (3  bis) 
qu'une  seule  solution,  la  formule  (2  bis)  se  trouve  vérifiée  dans  tous  les  cas. 

Cette  formule  (2  bis)  n'est  d'ailleurs  que  la  traduction  symbolique  d'une  for- 
mule bien  connue  et,  si  j'ai  développé  la  démonstration,  c'est  uniquement  pour 
mieux  faire  comprendre  les  symboles  employés  et  pour  faire  connaître  un  mode 
de  raisonnement  applicable  à  des  questions  analogues;  je  veux  parler  de  celui 
où  s'introduisent  les  équations  diflerentielles  (3  bis)  ou  les  équations  analogues. 

11  importe  avant  d'aller  plus  loin  de  préciser  la  portée  de  la  démonstration 
que  nous  venons  de  donner.  Pour  qu'elle  soit  valable,  il  faut  que  tout  polynôme 
puisse  être  réduit  d'une  manière  et  d'une  seule  à  être  régulier.  Or,  d'après  le 
paragraphe  III,  cela  a  lieu  dans  deux  cas. 

i"  Si  y  et  T  sont  des  combinaisons  linéaires  des  opérateurs  X, 
et  si  ces  opéiMteurs  sont  liés  par  des  relations 

X,X<.— X<.\,=  SC,<„X.;, 

les  constantes  c  satisfaisant  aux  i(i('ntités 

(X,.(XiXc))  -î-  (\t,{\c\„))  -H  (Xe(X„  Xft))  =  o  ; 

si,  en  d'aiilres  termes,  les  opérateurs  X  définissent  un  groupe  de  Lie  et  si  e*^, 
e^^  sont  deux  transformations  quelconques  de  ce  groupe  : 

Dans  ce  premier  cas  la  formule  (a  bis)  est  toujours  vraie. 

2°  Elle  sera  donc  vraie  en  particulier  si  l'on  suppose  que 

V;     X,.     X,,     ....     X, 
sont  {r -\-  1)  opérateurs  liés  parles  relations 
(5)  VXi-X,V  =  2/',xX, 


SUR   LES   GROUPES   CONTINUS.  1 99 

et 

(6)  X,Xi-X^X,=  o. 

Ces  relations  entraînent  en  efTet  l'identilé 

(V(X,X,))  +  (X,(X,V))  +  (X,(VX,))  =  o, 

en  désignant  suivant  la  coutume  par  (VX,)  et  (X,X/f)  les  seconds  membres  des 
relations  (5)  et  (6).  On  aura  donc  dans  cette  hypothèse 

(•2  bù)  e-»v  ePTe«v=  e°u,         U  =  e-«0(T). 

On  aura  de  même  en  permutant  V  et  T 

{■iter)  He-?TeaVe3T=e»w^         W  =  e-Pl(V), 

e^P'i  étant  un  symbole  analogue  à  e"""  et  défini  de  la  manière  suivante  :  le  sym- 
bole Y)  est  formé  avec  T  comme  le  symbole  9  avec  V;  on  a  donc,  si  Y  est  un 

opérateur  quelconque, 

ïl(Y)  =  TY  — YT. 

On  aura  donc 

■n(V)  =  TV  — VT=  — e(T), 

et  en  vertu  des  relations  (6) 

T,(X)  =  o,         V(V)  =  o,         ...,         ■,,'«(¥)  =  o, 
e-P-i(V)  =  V  —  ;3t,(  V)  =  V  -t-  |30(T). 

La  formule  (2  ter)  devient  ainsi 
(2  quater)  «-Pt  e^v  ePT=  eaV+al3  0,T|_ 

Si  l'on  suppose  maintenant  que  les  relations  (5)  subsistent,  mais  que  les 
relations  (6)  n'aient  plus  Heu,  les  formules  (2  bis)  et  (2  quater)  cesseront 
d'être  vraies  quels  que  soient  a  et  (3. 

Cependant  supposons  que  l'on  regarde  les  opérateurs  X  comme  très  petits  et 
qu'on  en  néglige  les  carrés;  à  ce  degré  d'approximation,  les  relations  (6),  dont 
les  premiers  membres  sont  du  deuxième  ordre  par  rapport  aux  X,  se  trouvent 
satisfaites  d'elles-mêmes. 

Les  relations  (2  bis)  et  (2  quater)  sont  donc  vraies  si  l'on  néglige  les  carrés 
des  X,  ou,  ce  qui  revient  au  même,  si  l'on  néglige  le  carré  de  T,  ou  encore  si 
l'on  néglige  le  carré  de  [3  (puisque  T  ne  figure  qu'affecté  du  facteur  (3). 

Si  donc  V  et  les  X  sont  /■  +  i  opérateurs  liés  par  les  relations  (5),  les 
relations  (2  bis)  et  (2  quater)  ont  lieu  aux  quantités  près  de  l'ordre  de  (3^ 


200  SUR    LES    GROUPES   CONTINUS. 

Au  même  degré  d'approximation  la  formule  (2  quater)  peut  s'écrire 

e*v+ap6(T)_  eav_  oj  ^av^  e»v[iT, 
OU  encore 

g=tV+aj3  6|Tl_  gaV g^T  gaV_^  gaV  g^T 

OU  en  vertu  de  la  relation  (2  bis) 

ou,  toujours  en  négligeant  le  carré  de  p, 

eaV+»,3  0,Ti=  g5;V(,_  pu  +  (3T)  =  e«V  gplT-U). 

Si  nous  posons 

-4-ae(T)  =  \V,         T  — U  =  Y, 

il  vient 

(7)  gav+pw^gïVgpv^         Y=  llZ£lL(W). 

Soit 

une  combinaison  liuéaire  quelconque  des  X,;  peut-on  déterminer  les  coefli- 
cients  l  de  la  combinaison  T  =  i<,X,-  de  telle  faç(m  que  l'on  ait 

-(-aO(T)=  W? 

Cela  est  évidemmonl  toujours  possible  si  le  iléterminant  des  coefTiciepts  b,k 
n'est  pas  nid.  Dans  ce  cas  la  formule  (7)  est  vraie  quel  que  soil  W. 

Si  maintenant  ce  déterminant  est  lud,  il  suffit  de  partir  du  cas  où  ce  déter- 
minant n'est  pas  nul,  de  faire  varier  les  coefficients  b  d'une  manière  continue 
de  façon  que  ce  déterminant  devienne  de  plus  en  plus  petit  et  de  passer  à  la 
limite,  pour  démontrer  que  la  formule  (7)  est  encore  vraie  quel  que  soit  W. 

Si  enfin  \',  au  lieu  d'être  un  opérateur  indépendant  des  X,  n'est  qu'une 
combinaison  linéaire  des  X,  la  formule  (7)  est  évidemment  encore  vraict,  puis- 
qu'elle ne  peut  cesser  de  l'être  par  suite  de  l'introduction  de  nouvelles  relations 
entre  nos  opérateurs. 

Remarquons  que  ce  raisonnement  par  passage  à  la  limite  n'aurait  pas  été 
possible,  si  nous  nous  étions  astreint  dès  le  début  à  supposer  que  V  et  T  sont  des 
combinaisons  des  opérateurs  X,  que  les  \  définissent  un  groupe  de  Lie,  que 
e"^  et  C'^'  sont  deux  substitutions  finies  de  ce  groupe  de  Lie.  Dans  ce  cas  en 
effet  le  déterminant  des  bik  aurait  été  constamment  nul. 

La  formule  (7)  peut  s'établir  directement  : 


SUR    LES   GROUPES    CONTINUS. 

En  effet,  en  négligeant  le  carré  de  (3,  on  a 


,  I 


n: 

in — 1 


=  eav-i-  pv£L_!  (V''-i\V  4-  V"-"-WV  +  V«-=WV2-i-...+ VWV'-î+WV"-*'). 


a 


Or  on  trouve  aisément 

V«-i  W  +  V«-=  WV  + . . .  +  \V V"-! 


\n-,  w  _  ^        "  •  \'«-'.  0  (  w  ) 


i!(n  — i)!  2!  («  — -î) 


"•  V"-3  0"-(W)-...±, ^i-— ,  VO"-MW)+  -lLo"-'(W), 


•        3!(rt  — 3j!  '      '  ("  — I)  !  I 

d'où 


eav+ 
ou 

^aV+Sw  —  p3.V 


l»',.--+?s^[l,^^_'^;^,^,v.-;.(-»).-.(W)]. 


ou  enfin 

^3tv+pw=  eïV(,_^  [iY)  =  e^Vgiîï,  Y  = ^ (  W). 

'  al) 

C.    Q.    F.    D. 

VII.  —  Formation  des  substitutions  infinitésimales  d'un  groupe 
de  structure  donnée. 

Soient  donc  X,,  X2,  ...,  Xr,  r  opérateurs  élémentaires  liés  par  les  relations 

(I)  XiX<.-XiX,-=  (X,Xx.)  =  Scix-.X,, 

les  c  étant  des  constantes  telles  que  les  identités  de  Jacobl  du  paragraphe  III 

aient  lieu. 

Soient 

T  =  i:  /,  X,-,        U  =  s  UiXi,        V  =  2  l'i  X,-,        w  =  2  u^-X,- 

diverses  combinaisons  linéaires  de  ces  opérateurs. 

Considérons  le  produit 

f,x\  (,|3t. 

effectuons  ce  produit  qui  sera  une  série  de  polynômes  symboliques;  réduisons 
chacun  de  ces  polynômes  à  des  polynômes  réguliers  en  nous  servant  des  rela- 
tions (i);  je  me  propose  d'étudier  la  nouvelle  série  ainsi  obtenue  que  j'appelle 
<&(«,  (3);  le  raisonnement  sera  le  même  que  dans  le  paragraphe  précédent,  mais 
je  le  développerai  un  peu  plus. 

H.  P.  —  m.  aC 


202  SUR   LES    GROIPES    CONTINUS.  ■>' 

Tous  les  termes  de  celle  série  $(«,  [3)  sont  dos  polynômes  réguliers;  et  les 
coefficients  de  ces  polynômes  se  présentent  eux-mêmes  sous  la  forme  de  séries 
développées  suivant  les  puissances  de  a  et  de  (3.  Je  puis  ordonner  «!>(«,  P)  sui- 
vant les  puissances  croissantes  de  [3,  en  groupant  tous  les  termes  qui  contiennent 
en  facteur  une  même  puissance  de  (3.  J'obtiens  ainsi 

<I>(ï,  P)  =  <K+3'I>i+[i-*,-^.... 
D'autre  part  j'ai 

<l.(a,  p-+-rf.3)  =  e^VpflTe./?.T=.i,(^.  3)  g./flT  =  <I)(a,  p)(i  +  rf|3.T), 
ou 

ou 

(3)  m  *„,  =  «!>,„_,.  T; 

ces  conditions,  jointes  à 

(  !x  )  *o  =  e«^, 

suffisent  pour  déterminer  <I>. 

Or  on  y  satisfait  de  la  manière  suivante  :  Faisons 

*(a,  ?)  =  gW^  $(a,  p  +  rf[ï)  =  eW+.AV. 

soit  Y)  un  symbole  qui  soit  à  W  ce  que  9  est  à  V. 

Il  s'agit  de  satisfaire  à  l'équation  (2)  ou,  ce  qui  revient  au  même,  à 

*(a,  [i-r-(^;i)  =  <I)(a,  ■p)e''3'f; 
on  doit  donc  avoir 

Or,  en  vertu  de  la  formule  (^)  du  paragraphe  précédent,  on  satisfera  à  cette 
condition  si  l'on  a 

(5)  d^.-\='-^^\d\S). 

Celle  formule  (5)  représente  symboliquement  un  système  d'équations  diffé- 
rentielles auxquelles  doivent  satisfaire  les  coefficients  ir,-. 

En  vertu  de  la  formule  (4  bis)  du  paragraphe  V,  ces  équations  peuvent 
s'écrire 

(  0  bis-)  ti  d'i  =    i;=   f  -l   'I"^.  "  -^i  dwj  Wj  (  t-  =  1 ,  2,  .  .  . ,  /•)• 

2  TU  \J l  J       ?  '    U  1 

Si  l'on  a 


SUR  LES  GROUPES  CONTINUS.  2o3 

F(ï)  est  le  délermlaanl  doiil  l'élément  est  (pour  la  /"""'  ligne  et  la  s'""'  colonne) 

—  (c,,,-,sH'i-i-C,,,-,j(I'!  +  .  .  .— C,.,,-,^lVr), 

sauf  les  éléments  de  la  diagonale  principale  (<  =  s)  qui  sont  égaux  à 

les  P,7  sont  les  mineur-,  de  ce  déterminant.  L'intégrale  du  second  membre  de 
(5  bis)  est  prise  dans  le  plan  des  ^,  le  long  d'un  contour  fermé  enveloppant 
toutes  les  racines  de  l'équatio»  F(Ç)  =  o. 

La  condition  (2)  sera  donc  satisfaite  si  les  ii'  satisfont  aux  équations  (5  bis); 
la  condition  (4)  le  sera  également  si  les  valeurs  initiales  des  (v  pour  (3  =  o  sont 

•  '«',  =  '•<• 

Les  équations  (5  bis)  admellanl  toujours  une  ^oluliim  telle  que  pour  p  =  o 
on  ait  iVi=\>i,  et  d'autre  part  les  conditions  (2)  et  (4)  suffisant  pour  déter- 
miner «1»,  on  aura 

(]y(y..  3)  =  fW,         ^v  =  ^u;\i. 

les  (V  élaut  des  fonctions  de  ,3  définies  par  les  équations  (5  bis)  et  les  conditions 
initiales  »',•=  c,. 

La  série  $(a,  P)  n'est  donc  autre  chose  qu'une  exponentielle  dont  l'exposant 
est  une  combinaison  linéaire  des  X,;  c'est  le  théorème  que  j'ai  annoncé  au 
paragraphe  IV;  et  comme  d'autre  part  ce  théorème  a  été  établi  en  s'appuyant 
simplement  sur  les  relations  (i)  et  en  en  faisant  des  combinaisons  purement 
formelles,  le  problème  de  Campbell  est  résolu  et  le  troisième  théorème  de  Lie, 
en  vertu  de  la  remarque  faite  dans  ce  paragraphe  lY ,  se  trouve  démontré 

Il  est  aisé  de  se  rendre  compte  de  la  forme  relativement  simple  de  ces  équa- 
tions (5  bis).  Soient  ;i,  £2,  ■  ■  ■  ,lp  ^^'^  />  racines  distinctes  de  l'équation  F(^)  =  o; 
ce  sont  des  fonctions  algébiiques  des  tr,  puisque  F(ç)  est  un  polynôme  entier 
par  rapport  à  ^  et  aux  w.  Les  —~  seront  donnés  par  des  équations  linéaires 
tlout  les  seconds  membres  seront  des  constantes;  tandis  que  les  coefficients  des 
premiers  membres  seront  des  fonctions  rationnelles  des  (v,  des  li,  et  des  e~^<; 
ces  coefficients  ne  dépendront  d'ailleurs  que  linéairement  des  exponen- 
tielles e"5*;  ce  seront  des  fonctions  symétriques  des  racines. 

Résolvons  ces  équations  par  rapport  aux  -jît'  nous  trouverons 

(6)  ^  =  A,,/^+A,,;^-...^A,.,i., 

les  coefficients  A  étant  rationnels  par  rapport  aux  iv,  aux  ^^  et  aux  e~5*. 


2o4  SUR    LES   GROUPES   CONTINUS. 

Le  problème  qui  se  pose  à  propos  du  troisième  ihéorème  de  Lie  est  ainsi 
complètement  résolu. 

Il  s'agit  de  trouver  r  opérateurs 

X.(/.).     X,(/),     ....     X,.(/). 

satisfaisant  aux  relations  (i);  on  y  satisfait  en  faisant 

x,(/)  =  A,.  ;^  +  A,,  ;;^ + . . .  4- A,„.-;i^ . 

Les  équations  (5  bis)  peuvent  se  mettre  sous  plusieurs  autres  formes. 
Soit 

On  aura  (puisque  les  P,;  sont  les  mineurs  du  déterminant  F) 

ÇP,V— S6^,Pa,  =  o  pour  />y 

et 

|P„— 2  6/,iPA,=  F  pour  i  =  j. 

Nos  équations 

donnent 

rf[iS,/,6a.=  ^   p?  '-^I^^SyrA.vli^'.xP,/, 

2K  y/ —  I  ^  Ç-*^ 

La  deuxième  intégrale  étant  nulle,  nous  pouvons  écrire  tout  simplement 


D'autre  part  l'équation  (5)  peut  s'écrire 

dW 

d'où 


(7)  ^  =  7^r^'T^- 


rfivi  _       I        r  ^di    ZitiVj, 


ce  qui  donne 

Cette   dernière  intégrale   doit  être  prise  le  long  d'un  contour  enveloppant 
toutes  les  racines  de  F(^)  ^=  o,  mais  n'enveloppant  pas  les  points 

?  =  2A-  v/^  (A-  =  ±i,  ±2,  ....  ad  inf.). 


SUR   LES   GROUPES  CONTINUS.  2o5 


VIII.  —  Formules  de  vérification. 
Soil 

%  =  2  c,  X„         oV  =  S  oc,  X„         Y  =  i:  yi X,  ; 
on  aura,  en  vertu  de  la  formule  (7)  du  paragraphe  VI, 


■(SV) 

[posant  5(T)  =  VT  —  TV  comme  dans  le  paragraphe  V  ]. 

Soit  maintenant 

e— ^'  e^  e^  =  e^', 

on  aura,  par  la  formule  (2  bis)  du  paragraphe  VI, 

U  =  e-«(T). 
Soit 

on  aura 

U'=e-lO+ôO)(T), 

où  9  -iroO  est  un  symbole  qui  est  à  \'  +  ô\^  ce  que  9  est  à  V.  On  aura  d'autre 

part 

gL"  =  e—  *'  <?— ^  fT  e^'  e^  :=  e~^  e'"  e^ , 

d'où,  en  négligeant  le  carré  de  \  qui  est  infiniment  pelit, 

d'où 

U'— U  =  UY  — YU. 

Si  je  conviens  de  poser 

e-(6+5fJ)_e-0=  o(e-8), 

il  viendra 

U'— U  =  o(e-0)(T). 


(■) 


Nous  arrivons  ainsi  à  la  formule  symbolique  suivante  : 


Pour  mieux  expliquer  le  sens  de  cette  formule,  rappelons  que  nous  avons 
trouvé  plus  haut 

(•2)  $(0)(T)=  —1=  rrfs*(  =  )i:A,x,-, 

■2  ;;  y —  I  -^ 
où  les  /(,-  sont  des  fonctions  rationnelles  des  t,  des  f  et  de  4  données  par  les 


206  SDH   LES  GROUPES  CONTINUS. 

équations 

(3)  ihi—Zbkihk=  ti.         bki=  Ci,i.,,Ci-7-c.,x,,i'!-f-.  .  --^  c^,  *,,(', . 

Alors  on  aura 

5e-9(Tj= '^- I  d^çe-il.o/i.Xi, 

2  ri  ^Z —  I  ^ 

OÙ   les    lî/i,  sont  les  accroissements  que   subissent  les  fondions   //,■  quand  les 
variables  v/,  subissent  les  accroissements  ôf  a. 

Si  alors  les  h'^  sont  ce  que  deviennent  les  A,  quand  on  y  remplace  les  1^  par 
les  ôi'/;,  la  formule  (i)  pourra  prendre  la  foime 

(i  bis)      ^r.  \j'=^iZ\if  dî  e~lolu=  i:(X,X<— X/X,!  A/=  '^,^~'  h'ijd-re-i/,i. 

Dans  le  premier  membre  le  signe  i  se  rapporte  aux  /■  valeurs  de  l'indlco  /  ; 
dans  le  deuxième  membre  aux  ;■(/• —  i)  arrajigcnienls  des  deux  indices  i  et  /. 
(l'arrangement  /,  /.■  étant  regardé  comme  diflerent  de  l'arrangement  /r,  i). 

Cette  formule  nous  fait  connaître  un  certain  nombre  de  relations  auxquelles 
doivent  satisfaire  les  expressions  X,Xjv — X^X,-  ou  (X,Xa)-  Ces  relations  sont 
curieuses;  mais  la  plupart  ont  déjà  été  démontrées  par  Killing  et  il  semble  que 
les  autres  pourraient  se  démontrer  facilement  par  les  procédés  de  Killing.  Je 
n'y  insiste  donc  que  comme  procédé  de  vérification. 

Les  deux  membres  de  cette  équation  sont  d'une  forme  particulière. 

Le  premier  membre  est  linéaire  à  la  fois  par  rapport  aux  symboles  X,,  par 
rapport  aux  <,,  aux  017,  aux  exponentielles  c~'^'  (les  0;  étant  les  racines  de 
l'équation  F  =  o).  Les  coefficients  de  cette  fonction  linéaire  sont  eux-mêmes 
des  fonctions  rationnelles  des  v  et  des  9,-. 

Le  second  menilire  est  linéaire  à  la  fois  par  rapport  aux  symboles  (X,Xa),  par 
rapport  aux  /„  aux  017,  aux  exponentielles  e^"'  et  e""''-'''  (5j  et  Bk  étant  deux 
racines  de  F:=(i).  Les  coefficienls  de  cette  fonction  linéaire  sont  encore 
rationnels  par  rapport  aux  c  et  aux  9,. 

Les  ô,  étant  les  racines  de  l'équation  F  =  o  sont  des  fonclion^  algébriques 
des  ('.  Dans  les  deux  membres  de  l'équation  (i  bis)  entrent  en  outre  linéaire- 
ment un  certain  nombre  de  fonctions  transcendante>;  il  y  a  d'abord  les  expo- 
nentielles c~^''  et  il  y  eu  a  autant  que  l'équation  F  =3  o  a  de  racines  distinctes. 
Il  y  a  ensuite  les  exponentielles  e^'^'^'^'»'  qui  peuvent  cire  distinctes  des  précé- 
dentes, mais  qui  peuvent  également  ne  pas  en  être  toutes  distinctes  si  l'une  des 


SUR    LES   GROUPES   CONTINUS.  loy 

nicines  de  l'équalion  F"  =  o  est  constamment  égale  à  la  somme  de  deux  autres 
racines. 

Supposons  qu'il  y  ail  </  exponentielles  et  soient 

e'ii,     e''Î!,      .  .  . ,     e'i 
ces  exponentielles. 

Les  deux  membres  de  l'équation  (i  bis)  seront  alors  des  fonctions  linéaires 

des  produits  de  la  foinie 

(4)  'mSiv,  eiii», 

où  /n  et  //  peuvent  prendre  les  valeurs   i,  2,  ...,/■,  et  où  [j.  peut  prendre  les 


valeurs  1 


î     -"T 


'J- 


Les  coefficients  de  ces  produits  sont  des  fonctions  algébriques  des  r,  ne 
dépendant  ni  des  t,  ni  des  r5t'.  Pour  que  l'identité  puisse  avoir  lieu,  il  faut  que 
l'on  puisse  égaler  dans  les  deux  membres  de  (1  bis)  les  coefficients  d'un  même 
produit  (4  )■ 

Nous  aurons  ainsi  un  certain  nombre  de  relations  linéaires  entre  les  sym- 
boles X,-  d'une  part,  les  symboles  (X/X^i)  d'autre  part;  les  coefficients  de  ces 
relations  linéaires  sont  des  fonctions  algébriques  des  v.  Ces  relations  linéaires 
doivent  être  identiques  aux  relations  de  structure  ou  en  élre  des  conséquences. 

J'examinerai  seulement  le  cas  particulier  où  F(;)=:o  a  toutes  ses  racines 
distinctes.  Je  puis  alors  supposer  que  les  opérateurs  élémentaires  X,-  ont  été 
choisis  de  telle  sorte  que 

vx,— x,.v  =  o,x,., 

Oi  étant  l'une  de  ces  racines. 

Egalons  alors  dans  l'équation  (i  bis)  les  coefficients  de  t,„dv/,;  il  vient 


Ti^r^^P'^'-'^r^'''"^"^ 


0/, 

Le  premier  niemlire  ne  dépend  que  des  exponentielles  e  ^1,  mais  le  second 
meniltre,   outre  l'exponentielle  <'^''«i,  contient  encore  c^^i'^'^m. 

Egalons  les  coefficients  de  e-'hr-^,,,.  Si  9/,  +  9,„  n'est  pas  égal  à  une  racine 
de  F  =  o,  cette  exponentielle  ne  figurera  pas  dans  le  premier  membre;  nous 
aurons  donc 

On  reconnaîl  là  l'un  des  théorèmes  de  Killing. 

Si  au  conkiaire  0/,-\-0,„  l'sl  racine  de  F  =;  o,  l'exponentielle  pourra  figurer 
dans  le  premier  membre  et  (X,„Xa)  pourra  ne  pas  être  nul. 


2o8  SUR    LES    GROUPES    CONTINUS. 

Je  n'insisterai  pas  sur  les  autres  vérifications,  ni  sur  le  cas  où  les  racines  ne 
sont  pas  distinctes  et  où  l'on  retrouverait  les  autres  théorèmes  de  Killing. 

Je  me  bornerai  à  faire  remarquer  que  la  vérification  de  la  formule  (i  bis) 
n'est  pas  immédiate,  et  qu'il  faut  pour  la  faire  avoir  recours  aux  identités  de 
Jacobi  et  aux  théorèmes  que  Killing  en  a  déduits. 


IX.  —  Intégration  des  équations  différentielles 
et   formation  des   substitutions   finies   des   groupes. 

Soit 

(l)  e'*'+''v  =  e^' C'A, 


V  =  X  (jX,.         <f\'  =  S  rfi;X,-.         ^A  =  2  (hi.\i. 
On  aura,  en  vertu  de  la  formule  (7)  du  paragraphe  \  I, 

Cette  formule,  identique  sauf  les  notations  à  la  formule  (5)  du  para- 
graphe VU,  comprend,  sous  la  forme  symbolique,  ;•  systèmes  d'équations 
diflérentielles,  ainsi  que  je  l'ai  déjà  fait  remarquer  au  paragraphe  VII. 

Annulons  tous  les  dx,  sauf  ch.^\  égalons  ensuite  les  coefficients  de  X,, 
X2,   ...,  Xr  dans  la  formule  (2).  Nous  aurons  /•  équations  difTérenlielles  qui 

définiront 

A'i        df.  di'r 

don-        dy-k  dx/; 

en  fonctions  des  r.  Ce  sont  là.  comme  nous  l'avons  vu  au  paragrapiie  \  II,  les 
équations  difTérenlielles  qui  définissent  une  des  substitutions  infinitésimales  du 
groupe,  si  l'on  prend  les  c  comme  varialiles  indépendantes. 

En  donnant  à  l'indice  /.'  les  valeurs  i,  2,  ...,  /•,  on  obtiendra  /  systèmes 
d'équations  différentielles  correspondant  aux  r  substitutions  infinitésimales  du 
groupe. 

Nous  devons  prévoir  ([ue  ces  équations  peuvent  se  ramener,  au  moins  dans 
le  cas  des  groupes  de  la  première  famille  (vide  supra  paragraphe  I),  à  des 
équations  linéaires,  puisque  c'est  là  un  résultat  bien  connu  obtenu  par  Lie. 

Voici   le    changement   de  variables  qu'il  faudrait   faire   pour  retrouver  ces 

équations;  soit 

U  =  2  «,X„         €-"■  el-  e^'  =  t'S         L  =  S  /.X,-, 


SUR    LES    GROUPES    CONTINUS.  209 

on  aura 

(3)  L  =  «-HIJ). 

Cette  é(juation  symbolique  (3)  nous  apprend  que  les  /,  sont  des  fonctions 
des  V  et  des  «,  linéaires  par  rapport  aux  u,  et  nous  permet  de  former  ces  Jonc- 
tions. Si  alors  on  pose 

,,  -V-,/V  yU  gVWV  ^  ,A.^,I\.^ 

on  aura 

eL+./L=  e-</AeL^,./A^ 

ou,  puisque  d.\.  est  infinimenL  petit, 

(4)  rfr.  =  1.  </A— r/A.L. 

Cette  formule  (4)  représente  symboliquement  /■  systèmes  d'écpiations  diffé- 
rentielles qui  ne  sont  autre  chose  que  ce  que  deviennent  les  /•  systèmes 
d'équations  différentielles  représentées  symboliquement  par  la  formule  (2) 
quand  on  prend  les  //  pour  variables  nouvelles. 

Celui  de  ces  systèmes  que  l'on  obtient  en  annulant  tous  les  dx  sauf  dy.^ 
s'écrit 

Ces  équations  sont  linéaires  et  à  coefficients  constants  et  s'intègrent  immé- 
diatement; ce  sont  celles  auxcjuelles  Lie  arrive  par  la  considération  du  groupe 
adjoint.  H  importe  de  remarquer  que  lu  réduction  des  équations  différen- 
tielles (2j  aux  équations  (4)  par  le  changement  de  variables  (3)  n'est  pas 
immédiate  et  qu'on  ne  peut  la  faire  qu'en  tenant  compte  des  identités  de  Jacobi. 
Considérons  de  plus  près  le  cas  des  groupes  de  la  deuxième  famille.  Nous 
pourrons  alors  choisir  les  opérateurs  élémentaires  X;  de  telle  manière  qu'on  en 
puisse  distinguer  de  deux  classes.  Ceux  de  la  deuxième  classe  seront  permu- 
tables à  tous  les  opérateurs,  ce  seront  les  XJ;  quant  à  ceux  de  la  première 
classe  que  j'appellerai  les  X; ,  ils  seront  caractérisés  par  la  propriété  suivante  : 
aucune  combinaison  linéaire  des  X^    ne  sera  permutable  à  tous  les  opérateurs. 

Pour  mettre  en  évidence  cette  distinction,  j'écrirai  quand  il  y  aura  lieu 

i;i-iX,=  i;./x;4-i;r;\;.      v_i;r;\;.      \-^  Si^^x;.      v  =  \'-f-v'. 

Les    <,•)    seront   ainsi   les   coefficients   des   X]    et   les  v]    ceux   des    X,.    Les 
lettres  u- ,  u]\  l),  /'■;  U  ,  U';  L' ,  L',  etc.  auront  une  signification  analogue. 
Il  est  clair  qu'on  aura 

\  "T  —  T\  "=  \  T"—  T"  V'=  o, 
H.  P.  —  m.  2- 


■210  SUB    LES    GROUPES   CONTINUS. 

d'où 

0(T)  =  \T  — T\=  \'T'— T  \'. 

J'introduis  alors  un  symbole  nouveau  :  soit 

\'T—T'\'=  lÀJXJ+S/^X;; 
je  poserai 

et  je  définis  •!'(&)  à  l'aide  de  5'  comme  j"ai  défini  •I'(5)  à  l'aide  de  9.  On  a  alors 

.  o(X';)  =  o,       ù[o"(T)]=-„.      *(e)i;r)=:o; 

et  l'on  trouve  aisément 

r  ej) (  (j ■  )  —  4>(»)         1 
<î>(OKT)  =  <t>(9)(T')^4'(0')(T')-0'|^  ^,  ^T)^+<i>(oyr. 

Remarquons  que  les  expressiou» 

0(T).     0'(T),     6"(T) 

dépendeut  des  v'  et  des  /'.  mais  sont  indépendantes  des  c"  et  des  t" ;  et  il  en  est 
de  même  de  •I>(9)  (T)  si  <ï>(o)  est  nul. 

Les  /,  étant  linéaires  par  rapport  aux  ii ,  je  puis  écrire 

Les  -r-^  sont    des    fonctions  des   e.    \  ovons  combien  de  ces   louctions   sont 

indépendantes  les  unes  des  autres.  Je  dis  d'abord  (jue  ces  fonctions  ne 
dépendent  que  des  c'.  Nous  avons  en  efl'ei  {c'-  étant  unu  substitution  quelconque 
du  groupe) 

d'où 

f  L  =  e-v-v-  el'  fV+v  ■  ^  „  -V"  e-v  pU  ,,V'  gV"  ^  ,,-v  pi: ,,  v. 

ce  qui  montre  que  L  ne  dcpend  que  de  \  ',  niai»  pas  de  \  '. 

Je  dis  maintenant  que  le  nombre  des  ionclions  —  indépendantes  les  unes  des 
autres  est  précisément  celui  des  variables  r'.  En  d'autres  termes,  si  l'on  pose 

l'identité  L  =  L,.  si  elle  a  lieu  quel  que  soit  U,  entraîne  l'identité  V'=  X', .  Si 
en  effet  L=  L,,  on  aura,  quel  que  soit  U, 

gV,  e-v,,|ifAe-v,^etJ. 

ce  qui  montre  (jue  e^c"^'  est  pcrnuilalde  à  toutes  les  subslilutions  du  groupe. 


SUR   LES   GROUPES  CONTINUS.  '■'- H 

C'est  donc   une  sulislitution  qui  ne  dépend  que  des  \",  de  sorte  que  je  puiii 
écrire 

W  étant  une  combinaison  linéaire  des  X,  ;  un  eu  lire 

d'où 

V  =  \\  ^-  VV", 

•v'=v;,      v"=v^-^^". 

Donc 

V'=V'|.  c.  y.  l'.D. 

» 

Nous  pourrons  prendre  comme  variables  les  -r-  et  les  c",  au  lieu  des  v' 
et  des  (.''. 

Les  ^  sont  définis  par  les  équations  (4  àis),   qui  étant  par  rapport  à  ces 

variables  des  équations  linéaires  à  coefficients  conslaiits  s'intégrent  immédia- 
tement. 

Les  équations  (4  bis)  nous  font  donc  connaître  les  -  ei  par  conséquent  les 
c'  en  fonctions  de  la  variable  a*. 

Pour  obtenir  les  ^",  revenons  aux  équations  (2);  si  nous  posons 

1  — e-o=  o  +  oî^f^e), 

elle  peuvent  s'écrire 

d\'  =  d\'^ii'  -w{r){d\"), 

r/V=rfV"-t-0"»I'-(0')(«?V"). 
On  a 

Si  l'on  annule  tous  les  (/y.'  et  tous  les  r/x"  -auf  fiaj,  nos  équations  donnent 
simplement 

t'j.=  consl,.         !■)' _i  ooust.         (('ï/u);         p'^  =  a'^. -i- consl. 

Si  l'on  annule  tous  les  dy.'  et  tou?  les  de/.'  sauf  dx/.  les  équatimis  ilevienneiil 

\',.doi'i.=  d\'-',  i.y'^'{n'){t/\'). 

>j  =  d\"-~ll"W{<i')(d\'). 

La  première  de  ces  équations,  équivalente  aux  équations  (4  ^'.'>),  est  suscep- 
tible, comme  nous  l'avons  vu,  d'être  ramenée  à  la  forme  d'un  sjslrme  d'équa- 
tions linéaires  à  coefficients  constants.  L'inlégiation  est  immédiate  et  nous 
dimne  les  r'  en  fonction  de  la  variable  a^ . 


:>.\1  Sl'R    LES    GllOl'l'ES    CONTINl  S. 

La  seconde  équation  est  équivalente  à  un  système  d'équations  de  la  lornie 
<j?cj'-t-  dv'i  1"'|  —  ch-'.^  F;,  —  .  .  .  -  -  ch',,,  V  ,'„  =  o, 

les  F  étant  des  fonctions  données  de»  r'.  En  remplaçant  les  i'  par  leurs  valeurs 
en  fonctions  de  x',.,  elle  prend  la  forme 

et  s'intègre  immédiatement  par  quadrature. 


QUELQUES    UEMARQUES 


LES  GROUPES  CONTINUS  <  > 


Ilenrlicoiili  de/  Cirrnio  Mateniatico  cli  Palernio,  I.  15  (igoii. 


I.  —  Introduction. 

A  l'occasion  du  jubilé  de  Sir  G., G.  Stokes,  j'ai  publié  un  Mémoire  (^)  où  je 
me  suis  occupé  des  groupes  finis  et  continus  de  Lie.  C'est  ce  Mémoire  que  je 
citerai  dans  la  suite  sous  le  nom  de  «  Mémoire  de  Cambridge  ». 

J'y  ai  entre  autres  choses  donné  une  démonstration  nouvelle  de  ce  théorème 
de  Lie,  qu'il  existe  toujours  des  groupes  de  structure  donnée,  pourvu  que  cette 
structure  satisfasse  aux  conditions  dites  de  Jacobi. 

J'ai  mis  sous  une  autre  forme  la  formule  de  Lie  pour  la  construction  du 
groupe  adjoint;  j'ai  donné  ensuite  les  équations  diflerentielles  du  groupe  para- 
métrique, et  j'ai  montré  que  ces  équations  pouvaient  s'intégrer,  au  moins  par 
quadratures. 

La  première  chose  que  j'aurai  à  faire  sera  donc  de  rappeler  toutes  ces  for- 
mules. 

Nous  avons  ainsi  deux  méthodes  pour  former  le  groupe,  soit  en  partant  du 
groupe  adjoint,  soit  en  partant  du  groupe  paramétrique.  Ces  deux  méthodes 
doivent  conduire  au  même  résultat.  Mais  il  arrive  ceci  :  quand  on  égale  les 
résultats  obtenus  par  ces  deux  méthodes,  on  n'obtient  pas  des  identités  immé- 
diates, on  obtient  des  pro|jriétés  plus  ou  moins  cachées  du  groupe. 

Beaucoup  de  ces  propriétés  étaient  déjà  connues:  d'autres  auraient  pu  être 

(')  Présenté  le  3  tivril   1901,   imprimé  le  si  juin   1901. 

(-)  Sur  les  groupes  continus  |  Memoirs  preseiited  lo  tlie  Cjmliridge  Pliilosoplàlcal  Society  on 
the  occasion  of  ihe  Juhilee  of  Sii  George  Gabriel  Stokes.  lîart.,  lion,  LL.  D.,  Hon.  Se.  1>.  Liicasian 
Professor  (Cambridge,  At  llie  University  Press,  1900).  p.  ti-Jo--!.),")  |. 


■21 4  QUELQUES    REMARQUES    SUR    LES   GROUPES    CONTINUS. 

obtenues  par  une  autre  voie;  il  m'a  paru  qu'il  pouvait  y  avoir  quelque  intérêt  à 
les  relier  entre  elles  de  celte  manière. 

Malheureusement  je  n'ai  pu  aller  bien  loin  dans  celle  direction;  j'ai  fait  très 
peu  et  je  serai  heureux  si  j'ai  pu  faire  comprendre  à  peu  près  ce  qu'il  y  aurait 
à  faire. 

Les  singularités  des  relations  Unies  qui  définissent  le  groupe  paramétrique, 
ainsi  que  celles  des  équations  diiTérentielles  d'où  elles  dérivent,  peuvent  être 
étudiées  au  point  de  vue  de  la  théorie  des  fondions,  mais  je  me  suis  borné  à 
cet  égard  à  de  brèves  indications. 

Dans  le  cours  de  ce  travail  jai  eu  à  envisager  tanlôl  des  transformations  inli- 
nitésimales,  tantôt  des  transformations  finies.  Les  premières  je  les  al  repré- 
sentées, tantôt  par  le  symbole 

x  =  x(/)=(x,)|:-(xo|:-^...^(x.)i^, 

tantôt  par  le  .symbole 

Les  transformations  finies  étaient  toujours  représentées  par  le  symbole  ex|io- 
nenliel.  Je  rrols  qu'il  ne  peut  pas  résulter  de  là  de  confusion  fâcheuse. 

J'ai  employé  indifféremment  les  deux  mots  «  substitution  »  cl  n  transforma- 
lion  ».  J'aurais  pu  lircr  profit  de  cette  double  dénomination,  soil  en  réservant 
l'un  des  noms  j)our  les  opérations  du  groupe  envisagé  et  l'autre  pour  les  opéra- 
tions correspondantes  du  groupe  adjoint,  soit  de  bien  d'autres  manières.  An 
contraire,  je  n'en  ai  fait  usage  que  comme  un  simple  littérateur,  pour  éviter  les 
répétitions  de  mots.  J'ai  eu  tort,  mais  j'espère  que  ce  n'est  qu'un  péché  véniel. 

II.  —  Formation  du  groupe  adjoint. 

La  première  des  formules  que  je  dois  rappeler  était  connue  depuis  longtemps  ; 
je  crois  cependant  devoir  en  parler  pour  familiariser  le  lecteur  avec  les  notations 
employées. 

Soit 

dX|  dj-,  à.r,. 

un  opérateur  quelconque.  Je  conviendrai  d'écrire 

XV(/)  =  X[Y(/)], 

(XY)  =  X[Y(/)]-Y[\C/)]. 
X'"(/)  =  X[X'"-i(/)], 


QUELQUES  REMARQUES  SUR  LES  GROUPES  CONTINUS.  •'•  1 5 

Si  je  considère  la  substitution  infinitésimale  qui  change/ en  i  +  £X(/),  les 
puissances  de  cette  substitution  engendrent  un  groupe  dépendant  d'un  seul 
paramètre  t  et  dont  la  transformation  la  plus  générale  peut  être  représentée  par 
la  notation 

puisqu'elle  change /en 

Si  je  considère  maintenant  un  groupe  continu  G  dérivant  de  ;•  opérations 

\,.     X. X,. 

la  transformation  la  plus  générale  de  ce  groupe  pourra  être  représentée  par  la 

notation 

pT         (T=:^X,-...--^.N,.). 

Ces  transformations  formant  un  groupe,  on  devra  avoir  identiquement 

i  T  =  /,X,-...+  ^.X,.. 
gT  gP  =  e'»'        I   U  =  7/1  Xi  ^ . . .  -  !/,.X,.. 

(    V  =   P,Xi  +  .  .  .-!-  (vXr, 

les  V  étant  des  .fonctions  convenablement  choisies  des  t  et  des  u. 

La  même  condition  s'exprime,  comme  on  le  sait,  d'une  autre  manière;  on 
doit  avoir 

(I)  (X,XO  =  £.ca-.X„ 

les  Cihs  étant  des  constantes. 

Soient  alors 

V=S^-,X„  T  =  S<,X,-, 

de  sorte  que  e"'  et  e^  soient   deux   transformations  quelconques  du  groupe; 

posons 

e~v  gT  gv  ^  et\ 

e^  sera  encore  une  substitution  du  groupe,  de  sorte  qu'on  aura 

T'  =    t\  X,  -r-   l'.,  X;  —  ...  —   t',.X,- 

On  voit  aisément  qu'on  doit  avoir 

e-VTeV=T', 

ce  qui  montre  que  les  t'  sont  des  fonctions  linéaires  des  /;   c'est-à-dire  qu'à 
chaque  substitution  e^  de  G  correspond  une  substitution  linéaire  qui  change 


Ji6 


QlELQl'ES    REMAnQl'ES    SUR    LES    GROIPKS   CONTINUS. 


les  t  en  t' .  C'est  l'ensemble  de  ces  sub.slluitions  linéaires  qui  consliliie  ce  que 
Ion  appelle  le  groupe  adjoint  de  G. 

Cela  posé,  nous  avons 

(VT)  =  SA,.„/,X<., 
où 


Formons  l'équation  carnctéristique  de  Killing 


Fin  = 


/,,., 


hrr-  ? 


Le  premier  membre  F(;)  est  un  polynôme  homogène  de  degré  /•  par  rapport 
à  ^  et  aux  c. 

Soient  maintenant  P,-;  les  mineurs  du  déterminant  F(;),  de  telle  façon  que 

Ces  mnieurs  seront  des  polynôme^  liomogènes  de  degré  (/■ —  i)  par  rapport 
à  ^  et  aux  f. 

Les  racines  de  l'équation  F(^)  =  o  sont  donc  des  fonctions  algébriques  des  f, 
homogènes  de  degré  i  par  rapport  ù  ces  variables. 

Cela  posé,  la  prenilère  formule  que  je  voulais  rappeler  e>l  la  suivante  : 


(■<) 


L'intégrale  du  second  membre  doil  ètie  prise  le  long  d'un  lontour  enveloj)- 
pant  toutes  les  racines  de  F(ï)  =  o. 

On  voit  imniédiatrinenl  quelle  doil  être  la  foi'uie  des  coefficients  de  lasubsti- 
luliou  linéaire  du  groupe  adjoint  cpii  change  1  en  T'. 

-Si  les  racines  de  l'équation  (2)  sont  toutes  distinctes,  et  si  ces  racines  sont 
fj)|,  oj^,  .  .  . ,  Ci),-,  nos  coefficients  seront  des  combinaisons  linéaires  des  exponen- 
tielles 


e—'"'.     e- 


ou  plutTit  seront  de  la  loiim 


•a-r-'",.  !<(<.),,). 


H  étant  une  fonction  rationnelle  homogène  de  degré  zéro  par  rapport  à  ',ip  et 
aux  c.  Je  rappelle  que  l'une  des  racines  m,,  '.),.  .  .  .^  i^,.  est  toujours  nulle. 


QUELQUES    KEMAnQUES    SUR    LES    GROUPES    CONTINUS.  217 

Si  les  nicines  ne  sont  pas  toutes  distinctes,  nos  coefficients  seront  de  lu  forme 

(4)  ^  Sc-"vil/,((o/'.). 

llj,{'j)p)  étant  une  fonction  rationnelle  dédnie  comme  il  suit  : 

Si  cj/,  est  une  racine  d'ordre  ,u,  le  dénominateur  ^.era  homogène  et  de 
degré  (r — ;j.)  par  rapport  aux  r  et  à  oj/,,  et  le  numérateur  sera  un  polynôme 
non  homogène  de  degré  (/• — i)  par  rapport  aux  mêmes  varialdes  et  où  les 
termes  du  degré  le  moins  élevé  seront  de  degré  (/■  —  p.). 

Si  les  t  sont  regardés  comme  donnés,  les  t'^  seront  des  expressions  de  la 
forme  (4).  On  pourra  choisir  les  t  de  telle  façon  que  dans  ces  expressions  tous 
les  termes  disparaissent,  sauf  ceux  qui  contiennent  en  facteur  l'exponen- 
tielle e  "V-  On  dira  alors  que  la  tran>formation  T  appartient  à  la  racine  cjp  par 
rapport  à  la  transformation  \  . 

Soit  maintenant 

e-VTr-v=T\         f'-'*UeV=  U'; 

ou  aura  aussi 

e-V(TU  —  UT)  rv  =  T'ir—  U'T'. 


Si  T  appartient  à  la  racine  'j)p  et  V  à  la  racine  cj^,  T'  se  réduira  à  e  "V  multi- 
plié par  une  fonction  algébrique,  ot  U'  à  n''''q  multiplié  par  une  fonction  algé- 

hririue;  de  sorte  que 

T'U'— U'T' 

se  réduira  à  l'exponentielle 

multiplié  par  une  fonction  algébri([uc. 

En  d'autres  termes, 

Il  —  (IT  =  (TU) 

appartiendra   à   la   racine   oj^, -|- (<Jy 

Si  iOp-\-(,i,/  n'est  pas  racine  de  l'ètjualion  (2),  on  devra  conclure  que  le 
crochet  (TU)  est  nul. 

Ce  double  théorème  est  dû,  je  crois,  à  Killing.  La  démonstration  qui  précède 
didere  de  celle  de  Killing  au  moins  pour  la  forme,  et  elle  se  présente  d'une  façon 
plus  concise.  Je  rappellerai  que  dans  le  Mémoire  cité  de  Cambridge  j'ai  été 
conduit  (p.  .">..")  i)  à  une  démonstration  assez  détournée  de  ce  même  théorème  (  '  ). 

(ja  comparaison  des  deux  expressions   de  (TU),  où   (igure  d'une  part  une 

I  ')  Voir  Couvres  ilc  11.  Poinriirr,  I.  III.  p.  107. 

11.  I'.  -  m.  j!^ 


■21 8  QUELQUES   REMARQUES    SUR    LES   GROUPES   CONTINUS. 

fonction  dépendant  de  «;,+ w^  et  d'autre  part  une  somme  dont  chaque  terme 
est  le  produit  de  deux  fonctions  dépendant  respectivement  de  w^,  ut  w^,  cette 
comparaison,  dis-je,  conduirait  à  d'autres  conséquences  sur  lesquelles  je 
n'insisterai  pas. 

La  formule  (3)  montre  r[ue  l'on  a 

'/ ''II'  I- 

les  /  étant  des  fonctions  entières  des  v,  et  cette  formule  définit  une  substitution 
linéaire  L  qui  appartient  au  groupe  adjoint. 

On  peut  se  proposer  inversement  de  ca/ciilcr  les  c,  connaissant  ta  substi- 
tution L.  Cela  n'est  pas  toujours  possible,  cela  ne  peut  se  faire  que  si  le  groupe 
ne  contient  pas  de  transformations  distinguées,  c'est-à-dire  permutables  à  toutes 
les  transformations  du  groupe.  S'il  en  est  autrement,  tout  ce  qu'on  pourra  faire, 
ce  sera  de  calculer  les  bu,. 

Le  calcul  repose  sur  les  principes  suivants.  Considérons  l'équation 


(5) 


«l'C-S)  ^ 


-  cl      ^, 


l'.r 


Soient  Qij  les  mineurs  de  ce  déterminant,  de  telle  façon  que 


e-lqu—'^lkiQki 


■<i>{e-l) 


i'9^j)- 


La  puissance  x'''""  de  la  substitution  linéaire  L  sera  évidemment  donnée  par 
la  formule 


(6) 


e-ldl 


/■Q' 


l'intégrale  étant  prise  le  long  d'un  contour  enveloppant  une  fois,  et  une  seule, 
chacune  des  racines  proprement  distinctes  de  l'équation  (5).  Voici  ce  que 
j'entends  par  là.  L'équation  (5)  admet  une  infinité  de  racines,  mais  toutes  ces 
racines  peuvent  se  déduire  d'un  nombre  fini  d'entre  elles,  car  <I>  ne  change  pas 
quand  on  augmente  \  d'un  multiple  de  ■3.t.\'—  i  .  Je  ne  considérerai  donc  pas 
comme  proprement  distinctes  deux  racines  différant  d'un  multiple  de  2t.\J —  i 
et  je  supposerai  que  notre  contour  est  tracé  de  f.içon  à  ne  pas  envelopper  à  la 
fois  ces  deux  racines. 

La  formule  (())  est  vraie  quel  que  soit  a,  entier,  fractionnaire,  etc.;  supposons 


QUELQUES    REMABQUES   SUR    LES   GROUPES    CONTINUS.  219 

y.  iiiiiniineiit  |)elit.  Alors  la  puissance  a'^""  de  la  bubsLitution  L  se  réfliiit  à 

t\^l—y.^:.hn(j. 

D'autre  part,  on  vertu  de  la  formule  (6),  elle  se  réduit  à 

d'où 

Kl)  '■■-  ' 


/..  -     -■      /  LfZlii5o  ■ 


^—i.l    <J>(e-5) 

Ci'lte  fiiiinule  niius  inoulre  d'abord  que  les  bj/  ne  sont  |)as  toujours  des  tonc- 
lions  uniformes  des  /.  En  effet,  notre  contour  d'intégration  doit  envelopper 
luic  luis,  el  une  seule,  cliacune  des  TacinL'S  propiei)ie/il  distinctes  de  (5).  Mais 
cela  ne  suffit  pas  pour  déterminer  ce  contour  et  par  conséquent  les  bji.  Si,  en 
effet,  on  remplace  une  des  racines  par  cette  racine  augmentée  d'un  multiple 
de  2~\/ —  I,  on  nblienl  un  contour  différent  qui  conduit  à  une  valeur  différente 
de  bji. 

Comment  maintenant  pourra-l-il  arriver  que  les  b/i  deviennent  infinis,  ou, 
|)lus  généralement,  cessent  d'être  des  fonctions  liolomorplies  des  /? 

Il  est  clair  cjue,  tant  <jue  le  contour  n'ira  pas  passer  par  un  des  points  singu- 
liers de  la  fonction  sous  le  signe  intégral,  clest-à-dire  par  une  des  racines  de  (5), 
les  b  resteront  des  fonctions  holomorpbes  des  /.  Mais  on  pourra  toujours  main- 
tenir ce  contour  à  distance  de  ces  racines,  à  moins  que  l'une  de  ces  racines  ne 
devienne  infinie  ou  que  deux  de  ces  racines  ne  viennent  à  se  confondre;  et 
encore  faut-il  que  les  deux  racines  qui  se  confondent  ainsi  soient  primitivement 
Tune  à  l'extérieur  du  contour,  l'autre  à  l'intérieur.  C'est  alors,  en  effet,  que  le 
contour  pris  entre  deux  feux  ne  peut  plus  fuir  devant  les  racines,  et  qu  en 
général  les  b  cesseront  d'être  des  fonctions  liolomorplies  des  /. 

Cela  peut  encore  s'énoncer  autrement.  Les  racines  de  (5)  ne  sont  autre  chose 
que  celles  de  l'équation  de  Killing  augfiientées  d'un  multiple  arbitraire 
de  2n\/ — I.  Notre  contour  doit  envelo|iper  toutes  les  racines  de  l'équation  de 
Killing  el  laisser  en  dehors  les  autres  racines  de  l'équation  (5).  Alors,  pour 
que  les  b  restent  des  fonctions  holomorphes,  il  suffit  qu'une  racine  de  l'équation 
de  Killing  (qui  doit  être  intérieure  au  contour)  ne  se  confonde  pas  avec  une 
racine  de  (5)  n'appartenant  pas  à  l'équation  de  Killing  (et  qui  doit  rester  exté- 
rieure au  contour)  :  Les  b  seront  donc  des  fonctions  holomorphes  des  l,  à 
moins  que  deux  des  racines  de  l'équation  de  Killing-  ne  dij/érent  d'un 


220  Ql'ELQlES    REMARQIES   SIR    LES    GROl'PES   CONTINUS. 

multiple  de  i  -  \j —  i  nuire  que  zéro,  ou  que  F  une  de  ces  racines  ne  devienne 
infinie. 

Nous  soinnies  donc  conduits  à  distinguer  parmi  les  substitutions  linéaires 
finies  du  groupe  adjoint  certaines  substitutions  singulières,  qui  jouissent  de 
cette   propriété  que  deux  racines  de  l'équation   de   Killing,   sans  être  égales, 

difleient  d'un  multiple  de  2-\^^  i. 

En  général,  pour  ces  substitutions  singulières  les  /;  considérées  comme  fonc- 
tions des  /  seront  infinies:  c'est-à-dire  que  ces  substitutions  singulières  ne 
seront  jias  une  puissance  d'une  substitution  infinitésimale  du  groupe.  Mais  il 
pourra  se  faire  aussi  que  les  b  soient  des  fonctions  indéterminées  des  /,  de  sorte 
que  la  substitution  singulière  sera  une  puissance  d'une  infinité  de  substitutions 
infinitésimales  difTcrenles. 

La  distinction  entre  les  deux  cas  se  rattache  à  la  théorie  des  «  Elementar- 
theiler  »  ;  formons  les  équations  différentielles  linéaires 

ITT"-"  ""• 
On  sait  quelle  est  la  forme  de  l'intégrale  générale  de  ces  équations;  cm  a 

0)  étant  l'une  des  racines  de  l'équation 

et  P(/)  un  polynôme  en  t  dont  le  degré  est  au  plus  égal  à  p.  —  i ,  si  o)  est  une 
racine  d'ordi'e  |n. 

Dans  le  cas  d'une  substitution  singulière,  deux  racines  de  l'équation  <I>(u)  =  o, 
ordinairement  distinctes,  viennent  à  se  confondre.  Soient  w,  et  oj^  ces  racines, 
a,  et  p-j  leur  ordre,  Pf(0  ^^  PslO  ^^s  poljnomes  correspondants  dont  l'ordre 
est,  an  plus,  p.|  —  i  et  /o  —  i . 

Quand   les  racines  se  confondent,   on  a  une  racine  w,   d'ordre  y,  ^fxj,  de 

sorte  que  les  deux  termes 

p,(Oe™''—  PoCO'"'"'' 

seront  remplacés  par  un  terme  unique 

Q(0'''^''- 

où  Q  peut  être  de  degré  /J.,  +  ,U2—  >,  n\a\s  peut  être  aussi  de  degré  moindre. 
Si  le  degré  de  Q  ne  dépasse  pas  celui  de  P,   (ou  celui  de  Pn,  si  P.  est  de 


QUEI.Ql'ES    REMARQUES   SUR    LES    GROUPES   CONTINUS.  221 

degré  plus  grand  que  P,).  les  b  sont  des  fonctions  indélerminées  des  /.  Dans  le 
cas  contraire,  les  b  deviennent  infinis. 

Nous  devons  aussi  réserver  le  cas  des  substitutions  (jiie  j'appellerai  singulières 
de  la  deuxième  sorte,  c'est-à-dire  de  celles  pour  lesquelles  une  des  racines  ^ 
de  l'équation  de  Killing  devient  infinie  ;  pour  cela  il  faut  que  l'une  des  racines  e~^ 
de  l'équation  (5)  soit  nulle  ou  infinie.  Elle  ne  pourra  devenir  infinie  si  les  /sont 
finis;  il  faut  donc  qu'elle  devienne  nulle,  c'est-à-dire  que  le  déterminant  des  / 
soit  nul.  C'est  ce  qui  caractérise  les  substitutions  singulières  de  la  deuxième 
sorte. 

Quelques  exemples  feront  d'ailleurs  mieux  comprendre  la  nature  des  diffé- 
rentes sortes  de  substitutions  singulières  et  justifieront  ce  que  je  viens  de  dire 
au  sujet  de  la  distinction  des  cas  où  les  b  sont,  soit  infinis,  soit  indéterminés. 

Reprenons  notre  substitution  L  et  son  équation  caractéristique 

<I>(S)  =  o. 

Si  nous  considérons  les  c  comme  lus  coordonnées  homogènes  d'un  point  dans 
l'espace  à  (/• — i)  dimensions,  nous  pouvons  nous  demander  quels  sont  les  points, 
ou  les  variétés  planes  à  q  dimensions  qui  ne  sont  pas  altérés  par  la  substitution  L. 
Dans  le  cas  général,  où  l'équation  cai-actéristique  a  r  racines  distinctes,  il  y  a 
/•  points  qui  sont  conservés  ainsi  que  les  variétés  planes  à  q  dimensions  définies 
par  (q  -\-  i)  quelconques  de  ces  ;•  points.  Soient  S, ,  S^,  ....  S,  les  ;■  racines.  A 
ciiacune  de  ces  racines  S,  correspondra  un  point  M,  inaltéré  par  L.  Si  deux 
racines  S,  et  S2  viennent  à  se  confondre,  il  arrivera  en  général  que  les  deux 
points  M,  et  M2  tendront  à  se  confondre  et  que  la  droite  M,  ^L  tendra  vers  une 
droite  D  qui  sera  égalentent  inaltérée  par  L.  En  général  le  point  M,  =  !\L  sera 
le  seul  point  de  D  qui  sera  inaltéré;  la  substitution  sera  dite  alors  j9a7'a6o//(^«e  ; 
mais  il  peut  arriver  aussi  que  tous  les  points  de  D  soient  inaltérés  par  L. 

Etudions  maintenant  les  b  comme  fonctions  des  /:  ou,  ce  qui  revient  au 
même,  étudions  les  puissances  fractionnaires  L*  de  L.  Soit  Ij  la  racine  de 
Killing  qui  corres|)ond  à  S,,  de  telle  sorte  que  S/=e  ''.  Si  l'équation  carac- 
téristique n'a  pas  dv  racine  multiple,  il  n'\  a  pas  de  difficulté:  il  n'y  en  a  pas 
non  plus  si  S,    devenant  égal  à  S-..,  ^,   est  égal  à  i;j.  Il  reste  donc  à  examiner 

le  cas  où  r,  est  égal  à  >.,  plus  un  multiple  de  27:  y/ —  i,  de  telle  sorte  que  S| 
soit  égal  à  S.. 

Si  L  est  parabolique,  on  ne  pourra  pas  former  la  substitution  L='.  Si  cette 
substitution  existait  en  effet,  aux  deux   racines  distinctes  i,    et  l-,   correspon- 


222  QUELQUES    REMARQUES   SIR    LES   GROUPES   CONTINUS. 

ciraient  deux  points  dislincls  M,  et  Mo  qui  devraient  être  inaltérés  par  L«  et 
par  conséquent  par  L.  Or  il  n'en  est  pas  ainsi  puisque  le  seul  point  inaltéré  de 
D  est  le  point  M,  =  Mo.  Les  équations  qui  donnentles  6  sont  donc  ini/jossibles, 
c'est-à-dire  que  les  b  sont  des  fonctions  qui  deviennent  infinies. 

Dans  le  cas  où  tous  les  points  de  D  sont  inaltérés,  il  n'en  est  pas  de  même. 

Choisissons,  en  effet,  sur  D  deux  points  quelconque?  M,  et  M^.  11  v  aura  une 
substitution  L*,  et  une  seule,  qui  conservera  ces  deux  points  inaltérés,  le» 
racines  de  Killing  ayant  pour  valeurs  ;,  et  çj;  L  sera  une  ))uissance  de  cette 
substitution.  On  pourra  donc  résoudre  le  problème  d'une  infinité  de  manières. 
C'est  le  cas  d' indélerminalion. 

^  oyons  encore  le  cas  d'une  racine  triple  S|  ^  So^  Sj.  Si  trois  racines  S,, 
Sa,  S3  tendent  à  se  confondre,  les  trois  points  inaltérés  M,,  M.j,  M3  tendent 
aussi  en  généial  à  se  confondre,  les  trois  droites  MjMj,  M3M1.  ]\l,Mo  tendent 
vers  une  limite  commune  D,  le  plan  MjMjMs  tend  A^ers  un  plan  I'. 

En  général,  le  plan  l'  étant  invariant,  la  seule  droite  invariante  de  P  est  D, 
le  seul  point  invariant  de  P  est  M|  =  M2=M3.  On  verrait  comme  plus  liant 
que  nous  sommes  encore  dans  un  cas  d'impossibilité  (sauf  si  les  trois  racines 
de  Killing  ^|,  l-,,  ^3  sont  égales,  cas  où  il  n'y  a  pas  de  singularité). 

11  peut  se  faire  aussi  qu'il  y  ail  dans  P  une  droite  D,  et  une  seule,  dont  les 
points  sont  invariants,  et  sur  D  un  point,  et  un  seul,  tel  que  toutes  les  droites 
de  P  qui  passent  par  M  soient  invariantes. 

Nous  aurons  alors  impossibilité  si  les  trois  racines  de  Killing  sont  distinctes, 
indétermination  si  deux  de  ces  racines  sont  égales,  la  troisième  en  différant 
d'un  multiple  de  27;  y' —  1  ;  et  enfin  il  n'y  aura  pas  de  singularité  si  les  trois 
racines  sont  étrales. 

o 

Il  peut  arriver  enfin  que  tous  les  points  et  toutes  les  droites  de  P  soient  inva- 
riants; on  retombe  alors  sur  le  cas  d'indétermination. 


III.  —  Formation  du  groupe  paramétrique. 

J'avais    donné    en    outre   une  seconde  formule  d'une   forme  analogue   mais 
entièrement  nouvelle.  Supposons  que  l'on  ail 

eV  ,.1  _,  ,,>^.'v. 


QUELQUES    REMARQUES   SUR    LES    GROUPES    CONTINUS.  2*^ 

les  l  étant  infiniment  petits.  INoiis  pourrons  écrire 
et  d'autre  pari 

Les  intégrales  doivent  être  prises  le  long  d'un  contour  enveloppant  toutes  les 
racines  de  l'équation  de  Killing  F(t)  =  o;  pour  l'intégrale  (2),  le  contour  est 
assujetti  en  outre  à  ne  pas  envelopper  les  racines  de  i  — 6"^=  o,  la  racine  zéro 
exceptée. 

La  formule  {2)  nous  apprend  en  outre  que  les  substitutions  du  groupe  G,  ou 
plutôt  de  son  groupe  paramétrique,  peuvent  être  mises  sous  la  forme 

Que  signifient  ces  trois  formules  et  d'abord  la  formule  (i)? 
Les  t  sont  des  fonctions  linéaires  des  t/r  et  les  coefficients  sont  de  la  forme 
suivante  : 

i;H/,(c0/,)-^i:e-",.S^(0VJ, 

où  P<.j!,(^«y,)  et  S/,(wp)  sont  des  fonctions  rationnelles  de  (,)p  et  des  c.  Le  dénomi- 
nateur commun  de  R,,  et  de  S^  est  un  polynôme  homogène  de  degré  r,  divisible 
par  w!^-,  si  Wp  est  une  racine  d'ordre  /jl.  Le  numérateur  de  K/,  est  un  polynôme 
homogène  de  degré  (r — i);  celui  de  S^  est  un  polynôme  non  homogène  de 
degré  (;•  —  1)  dont  les  termes  du  degré  le  moins  élevé  sont  de  degré  (/•  —  p.). 

11  y  a  exception  pour  la  racine  o)y,  =r  o;  pour  cette  racine  les  deux  termes  de 
la  formule  peuvent  être  réunis  en  un  seul;  le  dénominateur  est  un  polynôme 
homogène  de  degré  (/■  —  y)  par  rapport  aux  r,  si  zéro  est  une  racine  d'ordre  fx; 
le  numérateur  est  un  polynôme  non  homogène  de  degré  (/• —  i),  dont  les  termes 
du  degré  le  moins  élevé  sont  d'ordre  ir  —  17.). 

Que  nous  apprend  maintenant  la  formule  (2)? 

Elle  montre  que  les  dv  sont  des  fonctions  linéaires  des  t.  Elle  nous  apprend 
aussi  quelle  est  la  forme  des  coefficients  de  ces  fonctions  linéaires  qui  sont  en 

même  temps  les  coefficients  des  — ^  dans  les  expressions  des  X,(y")  [voir  for- 
mule  (3)]. 


12.\  OL'ELQUES    REMARQUES    SL'U    LES    (iROLPES    CONTINUS. 

Soit 


I  —  e-"> 


el  D,j{(,]p)  la  q'"""'  dérivée  de  D^^oj^,)  par  rapport  à  (.>/,:  nus  coet'licienls  seront 
lie  la  forme 

Q'.  Q'„  ■•■!  Q^',  étant  des  fonctions  rationnelles  homogènes  des  r  et  de  Up  dont 
le  dénominateur  commun  est  d'ordre  (r  —  ;j-)  et  dont  les  numérateurs  sont 
d'ordre 

Pour  la  racine  (0/,:=o,  la  même  formule  pourra  être  conservée,  seulement 
les  Dj(cxip)  devront  être  remplacés  [lar  l'unité  et  les  degrés  des  numérateurs 
des  Q  devront  être  abaissés  d'une  unité. 

Nos  coefficients  seront  donc  des  termes  de  l'une  des  deux  formes  suivantes  : 

1°  Une  fonction  rationnelle  des  r  (provenant  de  la  racine  ùip=  o). 
2°  Une  puissance  négative  de  (i  — c'^r)  multipliée  par  une  finicti(U)  lalion- 
nelle  des  c  et  de  co^. 

Exemjilc. 

Un  exemple  simple  fera  d'ailleurs  mieux  comprendre  la  portée  de  cette  tor- 
mule  (2). 

Considérons  le  groupe  des  rotations  d'un  corps  solide  autour  d'un  point  fixe. 

Soit  une  rotation  d'un  angle  2&  autour  de  l'axe  de  cosinus  directeurs  «,  p,  /; 
nous  pouvons  la  représenter,  en  employant  la  notation  des  quaternions,  par  les 
quatre  paramètres 

À  =  cosO,  ;ji  =  a~inO.  v  =  ^JsinO.  f.  =  vs-inO. 

NFais  nous  pouvons  également  la  représenter  par  les  trois  parauiètres 

.•,  =  xO,  (■î  =  ;30,  c:,=  70. 

Si  alors  ^,  /;,,  I3  représentent  les  paramètres  d'une  rotation  infinimeni  petite, 
si).,  (J.,  V,  p  ou  t|,  i'.j,  f,  définissent,  non  seulement  une  rotation  finie,  mais 
l'orientation  où  cette  rotation  finie  amène  le  corps  solide  en  partant  de  son 
orientation  initiale,  cette  orientation  variera  si  le  corps  subit  la  rotation  infini- 
ment petite  /,,  ^J,  ti,  de  sorte  que  les  >.  et  les  r  subiront  des  accroissements  iD. 


Ql  ELOIKS    REMAKOl  FS    SI  II    LES    GIlOl  l'KS    CONTINUS. 

Cl  (/r.  La  lliédiie  des  quaternions  nous  donne  (  '  ) 

(II.   —  —  ;j./, —   -il., —  p/;:. 

^u  =       \t,—  zt.—  -il-.. 


•jt,         x/,-*-  /.A,. 


On  en  déduit,  par  (■\em]>le, 


</.•,  =  i)  ,fx  -  -xt/O  = 


6  rfjji         flaPosOf/À         -x  f/'/. 


••in-l)  >inll 


d'où 


/._.(— r_;        x'ii  I  — 0  rot  0  i] 
rjc—  ï-i  I—  0  l'ol  0  1  I. 


Ci)nipai-iiiis  ce  lé^ultat  avec  ce  que  iluniu-  la  l'niimile  {  :>.  ).  ^Joll^  aiiron- 


'(/•  .  '//  .//■          '/f 

(II.  ilx  lii                II-. 

V                  '//■  '//•  -  '//•            <lf 

^'-  =  —  ''  -r    —  .'  7"  '•    Y  '■■'■    )    ■ 

fil.  irx  fvi            II', 

..                  <lf  df  .If  .   ,lf 

ili.  irx  (Il            ilz 


d'oi' 


L'équatidii  de- Rilling  s'écrit 


Fi  Ci 


elle  admet  trois  racines,  qui  ^ont  o  et  ±  lih. 

On  a 

F('?')  =  —  ?(«_  ifl-:!). 

r',,=  4c,r,,— oti-.: 


et  la  formule  (•>  I  doniK 


A-,=  ^-   /  -   •      -  -     -  -  -  ■        - 


■>r.  \  —  I  ■  '    1  —  ' 
Les  résidus  sont  : 


_;,==_  46^) 


Voir  au\  ]Sotes. 

H.  \\  —  in. 


■lift  QlEI.Ql'KS    RF.MAROl'FS    SUB    LKS    CnOl  PES    rONTIM'S. 

i"  Poni-  la  racine  o, 

2"  Pour  la  racine  —  2/9,  , 


_/         tl^''7— O-.l 


1((|||  — ^-'«i 


'      ',(6(1  — e^'":  '     ijei'l  — (.-'0)    ' 


.'i°  Pour  la  racine  2j'5, 


'  4(0(<»-='''— I)  "4f  Oi  e--'"— Il         ■'  4,-6i  e-ï'^J— II' 

En  faisant  la  somme,  on  irouve  :. 
1°   Pour  le  coefficient  de  /,, 

,       4i''î— 0-1  e-='f-i 


2"   Pour  le  coefficient  de  ^2. 

4^■.^•■.    (e-='-8^l) 


3."-  —  0  col  61  I  —  X-  \ 


—  ',/fl  i,,-:rt_n 


f'3  =  a  j  —  6  rot  6.  a  ;  ■ 


i  "   Pour  le  cciefficient  de  fg, 


,,,,,  K-'«^n  ^,,  =  ,.._  0  00, 0.. --..,. 


_4,-6  (e-'M- 

On   retrouve  donc  bien   par  la  formule  (  a  )  les  résultats  auxquels  conduisait 

la  théorie  connue  des  quaternions. 

Si  nou.s  avons,  comme  nous  l'avons  suppcisé  plus  haut, 

p\  p^  _  pV  .</v 

et  si  nous  .•-uppt)sons 

T  =  ;  \  , 

£   étant  une  constante  infiniment  petite,  les  deux  substitutions  \  et  T  seront 
permutables,  de  sorte  qu'on  aura  aussi 

Si  donc  les  équations  linéaires  qui  lient  les  r/i'  aux  t  s'écrivent 
il  viendia 

(4  i  >•,  =  -^  /,'•/.• 

Ce   sont  là  des   relations  importantes   auxquelles  les   fonctions  \ f,,  devront 


QUKLQIJKS    REMARQUKS    SUR    I.KS    (iROlU'ES   CONTINUS.  )77 

satisfaire    identiquement  et   qu'il  est  d'ailleurs  aisé  de   vérifier  sur  l'exemple 
simple  c|ue  nous  venons  de  traiter. 

lic'liilioii  f'fitri'    le    nroupe  iKliiimi'lfKjUi'   cl    h'   ^  nui  pi'   (idjoinl. 

Dans  le  paragraplie  précédent  nous  avons  dunné  le»  équations  du  gruu|i(' 
adjoint:  dans  celui-ci  nous  donnons  celles  du  groupe  paramétrii|ue.  Il  est  aisé 
de  voir  quelle  relation  il  y  a  entre  ces  deux  groupes. 

Soient  e^,  e^ ^  (?'  trois  transformations  du  groupe  G  :  la  première  finie,  1rs 
deux  autres  infinitésimales.  Posons 

gV  pT  _  f\  ^i\  .    . 

la  transformation  qui  change  les  i',  en   CjJrih'i  appartient  au  groiipr   paraim- 
trique,  je  continue  à  l'appeler  é^  ;  c'est  d'ailleurs  la  transformation 

ow  les  X^iy  )  sont  définies  |)ai-  la  formule  (  .5  ). 
Posons  encore 

(V  =  s.vX;.  \'=  i:,-;X;i. 

l^a  Iranslormatiiiii  ipii  ciiauj^c  les  r,  eu  r,  appai'liciil  au  ^mupr  adjoliil  :  je  la 
représenterai  par  c^'  poin-  ue  pas  la  confondre  avec  la  transformation  corres- 
pondaiile  /''   du  i;i-nupe  |iaram('lricnir.   .Soll  ensuite 

je  vois  que  la  mi-m<'  trausfoinialion  linéairi-  c'",  qui  eliaujje  les  r,  eu  ij  ,  cliaii-^e 
les  /,  en  /,  et  les  r/c,  en  <U-)  ;  et  par  conséquent  les  1',+  '/'',  en  i',  +  rlv] . 
On  aura  aussi 

p-U  pT  (,1    -  ,.1'  ,,    i  ,,\  -  /\  ,,i         ,,\      ,;\  ,.    I   ,,\  ,.i         ,.\ 

d'où 

,.V^./V_-  g— L' pV4-AVL' _-  f     l  f,\  g\   ,,l       -  ,,     I    ,.\   ,  I    ,      1,1    ,1  ,.\    ,.l    . 

c  est-à-dire  que  la  transfoi-malion  r-' ,   ijiii   appailicul   au  gioupe  paraniclrl(nic. 
change  les  cj  en  v-  -f-  c/i ■'- . 

Il  est  donc  indifférent  de  faire  subir  aLix  i,,  d'ahord  la  [iMusf'orMiali(]ii  c' ■  iiui 
les  change  en  i-,  ,  puis  la  transformation  c'  ({ui  change  les  v)  eu  r^  c/i  ;  :  on 
de  taire  d'ahurd  la  I  l'ansforinal  ion   c^  (jui  c  liante  les  r,  en  r,  ^  r/i,.  puis  la  Ira  us- 


228  OURLQIES   REMARQUES    SLR    LES    GltOUPES   CONTIMS. 

formation  e'"  qui  change  les  r/^-  </f,-  en  i']  +  r/i,  ;  ce  qui  s'écrit 

f'I  u  f  f  '  =  <»T  pi  „ 
OU 

OU,  puisque  les  suh^tilulions  sont  infinitésimales, 

T'=T-(TUo). 

D'autre  part,  l'équalion 

pi    ^;   ^— l    pT  ^l 

nous  donne 

T'=  T      m  ). 

d'où 

(5)  (Tr„i  =  iTL-). 

Pour  l'iiilelligence  de  cette  formule  (  f)  )  il  importe  de  se  rappeler  que 

où  les  \<  sont  donnés  par  la  foiniule  {'.^),  tandis  que  les  t/,  et  les  iif,  sont  des 
coefficients  constants.  Quant  à  L  „  il  est  de  la  forme 

t  „      1"/  \,.if<. 
où 

les  '/,;(,  étant  des  fonctions  linéaires  des  i-. 

C'est  ce  qu'on  peut  encore  exprimer  de  plusieurs  aiilies  manières. 

Reprenons  les  équatmiiN 

'/',-    IN/.,'/,. 

l'aisons  subir  aux  i  .  aux  t  et  au  t/i  une  même  substitution  linéaire  appar- 
tenant au  groupe  adjoint;  soient  i',  l  ,  dv'  ce  que  deviennent  les  c,  les  /  et  les 
di-  par  suite  de  cette  substitution.  Soit  \^,  ce  que  devient  \  a,  quand  on  y 
change  les  i-  en  c':  des  écpialions  proposées  on  pourra  déduire  alors 

Ou  bien  encore,  coii-idéri>ns  l'expression 

C'est  une  forme  bilinéaire  |)ar  rapport  aux  i/  et  au\  /  dont  les  coefficients 
sont  des  fonctions  des  e.  Celte  forme  ne  sera  pas  altérée  quand  ou  fera  subir 
aux  r  et  aux  /  une  sub-titutiou  liiiéaire  du  L;roupe  adjoint,  et  aux  ii  la  substitu- 
tion linéaire  contragrédiente. 


QUELQUES    KEMARQUES    SLR    LliS    (illOUPES   CONTINUS.  ^-".I) 

La  formule  (5)  peut  aussi  s'interpréter  connue  il  suit  :  L' ensemble  des  Ivitns- 
formallons  du  gyntipc  ndjoinl  el  du  ifioiiiie  paramétrique  engendre  aussi 
un  groupe  F,  cl  dans  ce  groupe  T  le  groupe  parainélriiiue  est  un  sous- 
groupe  invariant ,  et  en  ellel  (TU  )  fait  aussi  partie  de  ce  sous-i;toupc. 

Nos  formules  (  i  ),  (2)  et  (.3)  nous  suggèrent  encore  difl'érenles  remarques  f|ui 
nous  seront  utiles  dans  la  suite. 

.Sup|)osons  (juc  notre  groupe  G  admette  un  certain  nondirc  de  transformations 
inlinitésimales  distinguées,  c'est-à-dire  permutables  à  toutes  les  transformalu)ns 
du  groupe.  Soient  \,„,  1,  X„,4.j,  .  .  .,  \,  ces  transformalions  que  j'appellerai 
pour  abréger  les  \ ',  tandis  (jue  les  autres  transformations  \,,  X..,,  ....  \„, 
s'appelleront  les  X\  Comme  au  dernier  paragraphe  du  Mémoire  eité  de 
Cambridge,  j'apjiellerai  les  //  et  les  v'  ceux  des  eoeflieienls  /  et  c  qui  affectent 
1p^  X',  et  les  t"  et  les  r"  ceux  rpii  affectent  les  X",  el  je  |30serai  |iar  exemple 

Si  nous  envisageons  alors  le  delerminant  de  Killing  nous  \errons  que  les 
( /■  —  m)  dernières  colonnes  sont  entièrement  composées  de  zéros  sauf  les 
termes  de  la  diagonale  principale  qui  se  rédursent  à  —  ï.  Il  en  résulte  que 


I,a  formule  (a)  nous  donne  alors,  poui-  /       m. 

C'est  d'ailleurs  ce  qui  est  presque  évident;  car  V  "  et  T"  étant  permutables  à 
toutes  les  Mibstilutions  du  groupe,  on  a  (pour  T'=  o) 

,.\    ,/\  .  -  ,.\  ,,r  -^  ,,v  pi"  ~  pV  I  r 

d'où 

^A  =  T",         rfV'=  (I.         ^A"=  T": 

ce  qui  équivaut  à  la  formule  que  nous  venons  de  trouver. 
Cela  posé,  je  reprends  la  formule 

gV+rfV_  p\  gi- 

et  je  dis  que  les  dv  ne  peuvent  jamais  s'annuler  tons  à  la  fois.  Si  cela  arri- 
vait en  effet,  on  aurait  c/V^=  o,  ddù 


■23(1  QIIXOIKS    KEMAUQl  K!i    SUll    LKS   GIUIlPI.!i    CONTIMS. 

Cl  <i  l    l'sl  uiieisii  bsliiulion  quelconque  du  ojroupe 

eu  nosant 

e-v  U  e^'  =  U'. 

cela  (levienl 

Mais  U'  est  une  substitution  quelconque  du  groupe.  En  effet,  quelle  que  soit 
U',  nous  pourrons  toujours  poser 

U  =  e^  l    f-^. 

puisque  l  cs|  ;u-l)ilrairf.  La  tnniiule  précédente  signifie  donc  que  T  est  une 
Iransfornifilion  dislinguéc.  ou,  a\ec  nos  notation».  <jue  T  =  T  .  Mais  on  ne 
peut  avoir  (à  nioin>  que   1    uc  si'  iédui>e  à  zéro 

I  =  T".         ^V  =  o: 

car  nous  avons  vu  plu»  haut  que  pour  T  =  T"  on  a 

d\  =  l  . 

I .a  proposition  c>l  dciiic  démontrée. 
S<Hl  mainleuanl 

i  .=  i;//,\,.       \v  =  ï.c,\,.      \=ic,x,. 

(  )n  peut  >(■  ilciiiaiider  dana  i/iii'ls  eau  les  c  cessent  d'être  des  fntutioiis 
/ii)/o/}ior/dies  des  u  et  îles  w, 

\  Iroij  transformations  f' ,  ('**,  e^  correspondent  troi?  substitutions  linéaires 
du  groupe  adjoint;  soient  V,,.  A,,  I.  ces  trois  substitutions.  Soient  À"-,  Xj-,  lij 
leurs  coefficients.  Il  csl  clair  que  L  sera  la  résultante  de  \„  et  A,  et  pur  consé- 
ipieiil  que  les  /  sont  îles  poljnouies  du  premier  degré  tant  par  rapport  aux  X" 
que  par  rap|)Oil  aii\  À' . 

La  roriiiule  \'i)  du  paragraphe  11  nous  apprend  <[iie  les  )"  et  les  À'  sont  des 
fonctions  entières  des  u  et  des  u;  il  en  est  dune  de  même  des  /.  Daulre  part, 
la  formule  [-)  du  paragraphe  II  et  la  discussion  de  celte  formule  qui  termine 
ce  même  paragraphe  nous  apprend  que  les  bu,  ne  cessent  d'être  des  fonctions 
holoinorphes  des  l  que  quand  L  est  une  substitution  singulière.  Si  donc  cette 
dernière  circonstance  ne  se  présente  pas,  les  bih  sont  des  fonctions  holomorphes 
des  //  et  des  n\ 

Distinguons  maintenant  parmi  les  c  ce  que  nous  venons  d'appeler  les  c'  et 


OUKI.(,)l!KS    KEMAROIKS    SUll    Mis    GROUPES    CONTINUS.  23l 

les  v".  Les  ft,A,  comme  je  viens  de  rexpliquer,  ne  dépendent  que  des  c'  et  pas 
des  1  "  :  ce  sont  d'ailleurs  des  fonctions  linéaires  des  r'.  La  connaissance  des  bik 
en  fonctions  des  u  et  des  w  nous  fournit  donc  un  certain  nomhrc  d'équations 
linéaires  enlre  les  i'.  U  reste  à  savoir  si  ces  équations  suffironl  pour  déterminer 
les  t'',  c'est-à-dire  si  les  déteiniinants  formés  à  l'aide  de  ces  équations  ne  seront 
pas  tous  nuls. 

Si  cela  arrivait  c'est  que  les  bik  reprendraient  les  mêmes  valeurs  pour  deux 
syslème>  différents  de  valeurs  des  c',  c'est-à-dire  qu'il  existerait  deux  transfor- 
mations 

(  sans  que  V,  soit  é^al  à  \  '„  )  et  telles  que  l'on  ait,  quel  que  soit  T, 

(  V,Ti  =  (\,T\: 

et  comme 

(  V'î  T  I  =;  I  \  o  T  I  =  i>, 

on  aurait 

I  V'iTi  =  ^V:,T). 

ou  * 

i\\  —  \:,.  Ti    -  ii: 

c'est-à-dire  que  \\  — V'.,  serait  une  iransformation  distinj^uée  ;  ce  qui  est 
impossible,  puisque  \  ,  et  V.,  sont  supposés  correspondre  à  des  valeurs  diffé- 
rentes des  i''. 

Donc  nos  déterminants  né  sont  pas  tous  nuls;  doiicde  nos  équations  linéaires 
nous  tirerons  les  c'  en  fonctions  holomorphes  des  u  et  des  w. 

J'ajouterai  que  les  >v"  et  les  À' ,  et  par  conséquent  les  i'  dépendent  seulement 
des  a  et  des  tv',  et  pas  des  ii"  et  des  (v'. 

Passons  maintenant  aux  i  '  (  '):  nous  avons,  d'après  la  formule  i  i  ), 


■I.-  \  —  I  •--'  ï       ■■^    "^  '. 


'/"'  = =   /  «'î  — r —  >,  -ETçy- 


ou,  en  posant 


I  —  e-4 


rf«-,-rfc,=    ^^     /  Erft6<5)    >    ''-^J^: 


C)  H.  Poincaré  a  signalé  ptus  tard  [Nouvelles  remarques  sur  les  groupes  continus  {Ren- 
diconti...,  l.  ÎS,  1908,  et  Œuvres,  t.  3)]  que  le  premier  membre  rfiv,  doit  eue  remplacé  par 
l'expression  analogue  à  celle  qui  figure  au  second  membre,  mais  où  les  v,  sont  remplacés  par 
les  iV|.  II  prouve  que  la  conclusion  fomlamcnlale,  en  italiques  au  bas  de  la  page  suivante,  n'est 
pas  altérée  f  J.  D.  ;. 


iSa  qi;ki.qc'es  rbmabques  sur  les  groupes  continis. 

Je  suppose  que  les  indices  i,  2,  ....  m  correspondent  aux  transformations 
non  distinguées,  c'est-à-dire  aux  i',  aux  li  cl  aux  ir',  et  que  les  indices  ni-\-\, 
m  +  2,  ...,  ;■  correspondent  aux  transformations  distinguées,  c'est-à-dire 
aux  r",  aux  u"  et  aux  w".  Soit  i  >  m  ;  alors,  si  j  >  /»,  le  rapport 

P./ 

sera  égal  à  zéro  ou  à  7.  suivant  fine  «  est  diflerent  de  /  ou  égal  à  y'.  En  tout  cas 
le  terme  correspondant  de  l'intégrale  est  nul,  la  fonction  sous  le  signe  intégral 
étant  une  fonction  entière  de  ^. 

Nous  pourrons  donc  ne  conserver  dans  le  second  membre  que  les  termes  en 
chj  où  /  <i  m  -{-i,  c'est-à-dire  les  termes  (jui  dépendent  des  Je',  et  écrire 

(  (>  I  //il-, —  (/(■,  =  —     /  S  rtc  <ii  S  I    7     „    ,  I  /  ,     //(.  /  c   /Il  -     1  I. 


'  ^  va) 


Cette  formule  est  tout  à  fait  équivalente  à  la  dernière  formule  de  la  page  204 
(lu  Mémoire  cité  de  (îambrige. 

Le  seconil  incmbrc  ne  dépend  que  des  r' :  ce  doit  être  une  diltcreiitielle 
exacte,  soit  d&i(\\,  r.,,  .  .  .,  i„, ). 

L'équation  ((\)  nous  donne  alors 

<■,■='•■','— 8,  (c',.  (■.;, !•;„)-- i-iiii~i. 

Pour  IV  =  o  on  doit  avoir  t' =  u,  ce  qui  détermine  la  constante,  et  il  vient 

(,71  ''ii=  "ï—  "ï— H,(c'|.  l'.j !■;„)-,  H, w/|.  ».;, II],,,. 

Cuinnienl   b'^  i      pourniicnl-ils  cesser  d'être  binctioiis  biildiiiiirpbc^  des  //et 

J'observe  (jue  £|(;)  est  une  fonction  entièie  de  H.  Donc,  en  v<'rtu  dune 
remarque  fnlle  à  la  page  238  du  Mémoire  cité  de  Cambridge  (  '  ),  les  dérivées 

OS, 

.    ^ 

seriint  des  tonclions  entières  des  r'.  11  en  sera  donc  de  même  des  0,.  Donc  les 
c"  ne  pourront  cesser  d  être  de>  fonctions  holouKirphcs  que  si  les  i'  cessent 
eux-mêmes  de  l'être,  c'est-à-diie  si  la  suljstitution  L  est  singulière. 

En  résumé  :  les  c  seront  des  fonctions  holomorphes  des  u  et  des  (v,  // 
moins  que  la  substitution  L  tie  soit  singulière. 

(')  Ce  liinie.  p<if;e  ir)'|. 


l.lUKI.yUhiS    REMARQUES    SUR    LES  GROUPES   CONTINUS.  .».33 

Quand  je  dis  singulière  je  veux  dire  singulière  de  la  première  sorte;  le  cas 
de  ce  que  j'ai  appelé,  à  la  fin  du  paragraphe  précédent,  substitutions  singulières 
de  la  deuxième  sorte,  ne  se  présentera  jamais.  El  eu  eftét  ce  serait  le  cas  où  le 
déterminant  de  la  substitution  L  serait  nul.  Or  cela  n'arrivera  pas  puisque  c'est 
le  produit  des  déterminants  des  deux  substitutions  composantes  \„  elA,,  qui 
sont  tous  deux  difTérents  de  zéro. 

IV.  —  Groupes  de  rang  zéro. 

il  y  a  un  cas  ou  les  formules  se  simplilieul  considérablement,  c  est  celui  où 
l'équation  de  Killing  a  toutes  ses  racines  nulles,  c'est-à-dire  celui  où  le 
groupe  G  est  de  rang  nul.  Dans  ce  cas,  F(;)  se  réduisant  à  ( — >)'  l'intégrale  (3) 
(lu  pai'agraphe  11  prend  la  forme  suivante  :  nous  avons  sous  le  signe  intégral,  au 
numérateur  c  '^  multiplié  par  un  polynôme  enlier  par  rapport  aux  r  et  à  ;,  et 
au  dénominateur  £' . 

11  en  résulte  que  les  coefficients  de  la  substitution  linéaire  du  groupe  adjoint 
qui  change  T  en  T'  seront  des  polynômes  entiers  par  rapport  aux  c. 

Les  formules  (i),  (2  )  et  (3)  du  paragraphe  III  subissent  des  simplifications 
analogues.  Les  fonctions  sous  le  signe  intégral  se  réduisent  en  effet  à  des  poly- 
nômes entiers  par  rapport  aux  r  et  à  ;,  divisés  par  '••.''  et  multipliés  par  l'une  des 
deux  fonctions 


11  résulte  de  là  que  les  l  sont  des  fonctions  linéaires  des  dv  et  les  c/f  des 
fonctions  linéaires  des  t,  et  que  les  coeflicients  de  ces  deux  substitutions 
linéaires  inverses  sont  des  polynômes  entiers  par  rapport  aux  ^■. 

On  en  conclut  immédiatement  que  le  déterminant  de  l'une  ou  de  l'autre  de 
ces  substitutions  linéaires  se  réduit  à  une  constante.  En  efl'et,  ce  déterminant 
est  un  polynôme  entier  par  rapport  aux  r;  et  comme  les  coefficients  de  la  subs- 
titution inverse  sont  aussi  des  polynômes,  il  faut  que  ce  déterminant  divise  tous 
ses  mineurs  du  premier  ordre.  Il  divisera  donc  aussi  toutes  ses  dérivées  partielles 
du  premier  ordre;  et  cela  n'est  possible  que  s'il  se  réduit  à  une  constante. 

La  formule  (3)  nous  apprend  donc  que  l'on  a' 

âf), 

les  W i/i  étant  des  polynômes  entiers  par  rapport  aux  c. 

II.  r.  —  III.  ,3o 


■^34  QUELQUES    REMABQUES    SUR    LES   GBOUPKS   CONTINUS. 

Ces  polynômes  jouisseni  d'une  propriété  intéressante;  si  en  effet  on  a 

c  étant  une  constante  infiniment  petite,  les  deux  transformations  T  et  V  sont 
permutables,  de  sorte  que  l'on  a 

(/r,=  /,  =  cl,. 

Or 

Donc  on  a  identiquement 

Dautre  part,  les  transformations  X,  doivent  engendrer  un  groupe.  Donc  les 
crochets  (X/Xy)  doivent  être  des  combinaisons  linéaires  des  X^. 

Soit  m  le  plus  grand  degré  des  polynômes  Wa,-,  et  soit  W"'  l'ensemble  des 
termes  de  degré  ni  de  W/,,,  et  en  général  W^,  l'ensemble  des  termes  de  degré  q. 

Soit 

àv/. 

Considérons  le  crochet  (X"'X™);  ce  crochet  représentera  l'ensemble  des  termes 
de  degré  2m  —  1  dans  le  crochet  (X,Xy). 

Supposons  d'abord  m  >i.  Le  crochet  (X,Xy),  qui  est  une  combinaison 
des  X,,,  ne  contient  pas  de  terme  de  degré  supérieure  m,  et  comme  2m  —  i^ni 
il  faut  que 

{\i    Xy    )  =  O. 

Cela  veut  dire  que  les  transformations  X.f  engendrent  un  ^roii/ic  G"'  dont 
lotîtes  les  transformations  sont  permutables. 
D'autre  part,  la  relation  (1)  nous  donne 

Cela  veut  dire  que  la  transformation 

V    (      V'" 

du  groupe  (  i'"  n'altère  pas  le  point 

l-,  =  i,,  l'2=  ^ c,  =  /,■, 

ni  d'ailleurs  aucun  des  point^ 

1',  =  )./,.         pj  =),<,.         ....         p,.  =  /.<,.. 

quelle  que  soit  la  constante  À. 


QUELQUh'S    REMARQUES    SUR    LES    GROUPES    CONTINUS.  l'iS 

Cela  nous  avertit  déjà  que  le  groupe  G"'  est  intransilif.  En  effet,  un  poinl 
quelconque  étant  inaltéré  par  x'  transformations,  les  ■do''  transformations  du 
groupe  ne  pourront  transformer  ce  point  qu'au  plus  en  oo''"  '  points  différents. 

Avant  d'aller  plus  loin,  signalons  quelques-unes  des  propriétés  du  groupe  G'" 
et  des  fonctions  W^",. 

Nous  avons  vu  au  paragraphe  précédent  que  si 

est  une  substitution  de  notre  groupe  G;  si 

est  une  autre  substitution  de  ce  même  groupe,  et  L >  la  substitution  correspon- 
dante du  groupe  adjoint,  on  a  la  formule 

(TU„i  =  (.TL-.. 

Comme  (TU)  appartient  aussi  au  groupe  G,  nous  pouvons  poser 

(TU)  =  T'=  ï/i.\x-(/i. 
Nous  poserons 

T'/=i;/,\I.       T'j=zù\t 

en  définissant  comme  plus  haut  les  fonctions  W^,  et  les  symboles  X^.  On  aura 
alors 

Or  T*  et  T''  sont  homogènes  de  degré  g  par  rapport  aux  v.  Uo  (, comme 
appartenant  au  groupe  adjoint  dont  toutes  les  substitutions  sont  linéaires)  est 
homogène  de  degré  o  par  rapport  aux  c,  et  par  conséquent  (T^Uq)  est  homo- 
gène de  degré  q.  de  sorte  quon  aura 

iT'7U„)  =  T-'/ 
et  en  particulier 

(T'"Uo)  =  T'"'. 

Cela  signifie  que  le  groupe  G"*  est  permutable  aux  substitutions  du  groupe 
adjoint. 

Cherchons  maintenant  les  i/ntniants  du  groupe  G"'. 

La  Condition  nécessaire  et  suffisante  pour  que  le  point  Ci,  i^,  .  .  . ,  iv  ne  soit 
pas  altéré  par  la  substitution  T"',  c'est  que  l'on  ait 

Ce  sont  des  équations  linéaires  par  rapport  aux  t,  et  le  déterminant  de  ces 


•  M)  QUEI-OUES    REMARQUÉS    SUR    I,ES    GROUPES   CONTINUS. 

écjiialiolis  esl  nul  comme  le  prouvent  les  relations  (r  bis).  Ces  équations  (?>) 
déterminent  les  points  qui  ne  sont  pas  altérés  par  la  substitution  T'".  Je 
remarque  que  l'ensemble  de  ces  points  ne  sera  altéré  par  aucune  des  transfor- 
mations de  G'",  ji!  veux  dire  que  ces  transl'ornialions  transformeront  ces  points 
les  uns  dans  les  autres.  Si,  en  etFet,  M  est  un  pdini  inaltéré  par  T'",  et  si  c"  est 
une  substitution  quelconque  du  groupe  G'",  qui  change  M  en  M,,  le  point  M, 
sera  inaltéré  j)ar  la  transformation  e~"T"'e",  cVst-à-dire  par  T'"  j)uisquc  les 
substitutions  du  groupe  (i'"  sont  permutables.  Donc  e"  change  le  point  M  inal- 
téré par  T'"  en  un  autre  point  inaltéré  par  T'".  c.   q.   i.   d. 

Revenons  aux  équations  (.3).  .lai  dit  que  le  dctciiuinant  était  nul.  .Supposons 
que  les  mineurs  des  />' — i  premiers  ordres  soient  tou>  nuls  également,  mais 
que  ceux  du  A'*""'  ordre  ne  soient  pas  tous  nuls  à  la  foi-.  Conservons  alors  /• —  // 
des  équations  i'i);  les  autres  en  seront  des  conséquences;  et  adjoignons-y /(  —  i 
équations  linéaires  (|uelconques  à  coefficients  constants  entre  les  t.  Nous  aurons 
ainsi  /■ — i  équations,  qui  détermineront  1rs  rapports  de>  f/^  d'une  manière  cl 
d'une  seuh',  et  la  substitution 

T"'=i;/x.\'/' 

n'altérera  pas  le  point  c,,  c.,,  .  .  . ,  c,;  cette  substitution  el  ses  puissances  seront 
d'ailleurs  les  seules  substitutions  du  groupe  G'"  ipii  n'altèrent  pas  ce  point  el 
qui  satisfassent  à  nos  /(  —  i  équations  linéaires  à  coefhcicnts  constants. 

De  nos  équations  nous  tirerons  les  rapports  des  //^  en  fonction  des  t  .  Si  une 
substitution  qiu'lconque  du  groupe  G'"  change  les  r  en  r',  les  transformations 
qui  n'allèrent  pas  le  jioinl  v]  devront  être  les  mêmes  que  celles  ipii  n'altén-iii 
pas  le  point  c,.  Donc  nos  ;•  —  i  équations  doivent  encore  donner  les  mêmes 
valeiirs  des  rapports  des  U  quand  on  y  remphu^era  les  i'  par  les  r'.  En  d'autres 
termes,  les  rapports  des  /*  tirés  de  nos  équations  devront  être  des  invariants 
du  groupe  G'". 

Nous  pouvons,  pour  former  nos  /(  —  i  é([ualions  supplémentaires  à  coeffi- 
cients constants,  nous  borner  à  égaler  à  zéro  A  —  i  des  paramètres  t/^.  Dans  ce 
cas  les  autres  /a  sont  entre  eux  comme  des  mineurs  d'ordre  h  de  notre  déter- 
minant. 

En  résumé  :  les  rapports  des  mineurs  d'ordre  h  du  déterminant  des 
équations  (3)  sont  des  invariants  du  groupe  G'". 

Le  nombre  des  invariants  distincts  du  groupe  (i'"  doit  être  précisément/!; 
car  notre  grcuipe  contient  oo'  transformations.  Chacun  des  oc'  points  r,,  Cj,  ..., 


QUELQUES    REMARQUES    SUR    LES    GROUPES    CONTINUS.  •.),'J7 

f,  de  l'espace  domcure  inaltéré  par  «'''  Iransformalions  ;  il  peut  donc  èlre 
changé  en  co'"'''  autres  points  de  l'espace.  H  y  a  donc  /(  invariants,  et  h  seulo- 
iiienl. 

J'ai  dit  plus  haut  que  le  déterminant  des  \\  ,a  se  réduit  à  une  constante.  Il  est 
aisé  de  voir  d'abord  que  cette  constante  est  égale  à  i .  On  a  en  efYet  (i  i  : 


et  par  conséquent,  en  égalant  dans  les  deux  membres  les  termes  du  premier 

degré, 

-\^  ",'■/-  '•-■ 
d'où  l'on  déduit  : 

\\;;  ^  I.        \N  /,=-  "       '  '      /.  1. 

ce,  qui  montre  que  quand  les  c  s'annulent,  c'est-à-dire  quand  les  \\  n,  se 
réduisent  aux  W  "/ ,  le  déterminant  se  réduit  à  i.  (lomme  ce  déterminant  est 
une  constante,  il  est  toujours  égal  à  i . 

\'ojons  quels  sont  ses  mineurs.  Si  la  t'oruinle(i)  du  paragraphe  précédent 
s'écrit  : 

nous  avons  vu  que  les  Ua,  sont  des  polynômes  et,  le  déteuminant  étant  égal  à  i, 
ces  poh  nomes  ne  sont  autre  chose  que  les  mineurs  en  question. 

Comparons  maintenant  les  formules  (i)  et  (2)  du  paragraphe  précédent. 
Nous  verrons  que  les  polynômes  VV/;,  et  L'/;,  sont  les  uns  et  les  autres  les 
résidus  d'une  certaine  intégrale  et  (pie  les  quantités  sous  le  signe  intégral 
diflTèrent  seulement  par  un  certain  tacleiir,  (|ui  est 


pour  l'une  des  intégrales  et 


1  !•-' 

pour  l'autre.  Développons  donc  ces  deux  lacleurs 


_  V    ^      -'". 


Soit 

I*"'  sera  un  |jolynome  homogène  de  degré  m  pai-  rapport  aux  r. 

Nous  avons  défini  plus  haut  ^\  ',',.  De  même,  IJ'/,  sera  l'ensendjle  des  leruies 


■'38  QUELQUES    REMARQUES   SUR    l.hS   GROUPES    CONTINUS. 

de  degré  q  du  polynôme  U/,,;  nous  trouvons  alors  : 

d'où 

Les  deux  polynômes  homogènes  Ij'j.-  et  \\  '^,  ne  diffèrent  donc  que  par  un 
facteur  conslanl  facile  à  déterminer.  ' 

Entie  les  éléments  \\  /,,  de  notre  déterminant  et  ses  mineurs  U/i,  nous  avons 
les  relations  bien  connues  : 

En  égalant  les  termes  du  degré  le  plus  élevé,  il  vient  : 

quels  que  soient  /et  y;  et  puisque  U")  ne  diflere  de  W"'  que  par  un  facteur 
numérique  constant  : 

De  là  une  propriété  remar([uablc  du  groupe  Ci'".  Considérons  un  point  par- 
ticulier 

c'i'.    lii (■;: 

et  cherchons  parmi  les  transformations  du  groupe  (i'"  celles  qui  conservent  ce 
point  i'".  Soit  W"!"  ce  que  devient  W,'|  quand  on  y  remplace  les  c,  par  les  c". 
Les  substitutions  cherchées  seront  données  par  les  équations  : 

S<-'/   "«    =  O, 

lesquelles,  en  vertu  de  la  formule  (6),  admettent  pour  solutions  : 

(7)  //■=w;r      (y  =  i,  ?....., /-v 

Combien,  parmi  les  solutions  ainsi  obtenue>,  y  en  aura-t-il  de  distinctes? 

Le  déterminant  des  ^^  est,  comme  nous  l'avons  dit,  nul  ainsi  que  ses  mineurs 
des  h —  1  premiers  ordres.  Cela  fera  donc  r  —  /*  solutions  distinctes.  Comme 
le  problème  en  comporte  /j,  on  devra  avoir  : 

r  —  h<h, 

de  sorte  que  /(  est  au  moins  égal  à  -  • 


QUELQUES    REMARQUES    SUR    LES    GROUPES   CONTINUS.  2^9 

La  relation  (6)  nous  montre  enrore  que  si  les  dvi  satisfont  aux  relations 

qui  définissent  le  groupe  G'",  on  aura  : 

(S)  '^\\'"i  dv,=  n. 

Les  équations  (8),  dont  /■  —  /(  sont  distinctes,  peuvent  être  regardées  comme 
les  équations  différentielles  des  invariants  du  groupe  G'". 

Mais  la  formule  (6)  n'(>si  qu'un  cas  particulier  d'une  formule  beaucoup  plus 
générale.  Soit,  en  effet, 

On  déduira  de  là  : 


(io;i  I,;'  =  i;/i,\'/,. 

les  V^^  étant  des  polynômes  homogènes  de  degré  ij  p.ir  rapport  aux  r,  et  l'on 
verrait,  en  raisonnant  comme  plus  haut,  que  \  J,  ne  diffère  de  W'^,  et  de  U'^,  que 
par  un  facteur  numérique  constant  facile  à  calculer. 

Quant  à  la  signification  des  h^'i\  elle  est  facile  à  comprendre.  D'après  ce  que 
nous  avons  vu  dans  le  Mémoire  cité  de  Cambridge,  si  l'on  pose 

\  =  1  c.X,.         H  =  i;  /(,\,.         Ili'/i  =  Z  h'!'  \,. 

on  auia 

Hiil  =  (\  Il  I.         Hi'?)=  (  VHI'/-')). 

Si  donc  on  change   A,   en   h/'   dans   la   formule  (g),  il   faudra   ciianger  /;/' 
en  II'/'*'''  ;  on  a  donc 

iii;)  hr"  = -s. hf  \% 

Comparons  alors  trois  formules  qui  ne  diffèrent  des  précédentes  que  par  les 
notations  : 

nous  liûuverons 

ou,  puisque  les  V^  ne  diWérent  des  W  que  par  un  facteur  constant  : 

C  étant  un  facteur  numérique  dépendant  de  p  et  de  q. 


240  QUELQUES    REMARQUES   SUR    LES    GROUPES   CONTINUS. 

Si  p  -h  g  est  plus  grand  que  m,  W  'y,-  '  doit  être  nul;  de  sorte  que 

ioiniule  dont  l'équation  {6)  n'est  (ju'un  cas  particulier. 

La  formule   (Ghis)   nous  donne   un  procédé  simple  pour  former  les  poly- 
nômes ^\ . 

On  a  en  particulier  : 

de  sorte  que  des  équations  du  groupe  Ci'"  : 
on  pourra  déduire  : 

nouvelle  forme  des  équations  différentielles  des  invariants  du  groupe  G'".  On  a, 
en  particulier. 

(S/e/i  2  W,',  f/i/ =  o. 

11   esta   remartpier  que   le^   équations   (<S)el(<S  6/i)  ne  sont  que  des  consé- 
quences des  équations  (  (S  ter):  car,  en  \ertii  <lc  (d  Ois) . 

iw;',,/,-,-^  ilw/,  'il  \\,',r/,-,)|. 

Autre  re/»iirt/iie  :  Nous  avons  vu  plus  iiaul  que  dans  l'expression 

,,V^./V^  ,,V,.I 

d\  ne  peut  jamais  s'annuler.  Si  donc  nous  reprenons  nos  équiitions  ditl'éren- 
tielles 

nous  voyons  que  les  r  polynômes 

y.  \\ /.,/,,.    i;w,,,,o, i:W/„7/, 

ne  peuvent  s'annuler  tous  a  la  fois,  et   cela  (juels  que  soient  les  coefficients 
arbitraires  /| ,  /j,  .  .  . ,  1,  ■ 

Où,  pour  employer  le  langage  géoiuélrique,  les  équations 

représentent    ;■   variétés    à    /■  —  i    dimensions    dans    l'espace    à    /    dimensions. 
Ces  /•  variétés  ne  peu\ent  se  couper  qu'à  l'inlini. 

Ces  équations  difl'érentiellcs  peuvent  d'ailleurs  s'intégrer  aisément,  et  nous 


QUELQUES    REMARQUES    SUIl    LES    GROUPES    CONTINUS.  2^1 

allons  voir  quelle  est  la  forme  de  lintégrale  générale.  Soit 

et  clierchons  à  exprimer  les  c  en  fonctions  des  ii  et  des  ir. 

Soient  \o,  A|,  L  les  sul)stitiitions  linéaires  du  groupe  adjoint  correspondant 
aux  transformations  e^ \  e^^,  e^  ;  soient  Â"^,  À'^,  /,/  leurs  coefficients. 

Les  V'-  nous  seront  donnés  en  fonctions  des  m,  à  l'aide  de  la  formule 


,,0  _  '  fflfe-'-Vg 


OÙ  P^  est  ce  que  devient  P,,  quand  on  y  reuqjlace  les  c  par  les  u;  car  I"  (^)  se 
réduit  à  ( —  £)'.  Le  dénominateur  est  indépendant  des  ;/  ;  le  numérateur  est  un 
polynôme  entier  par  rap|)ort  aux  ii .  Donc  les  À"  sont  des  polynômes  entiers  par 
rapport  aux  u. 

De  même,  les  "/.■  seront  des  polynômes  entiers  par  L'apport  aux  iv,  de  sorte 
que  les  /  seront  des  polynômes  entiers  par  raj)|)ort  aux  (/  et  aux  iv. 

Calculons  maintenant  les  6,,  en  lonction  des  /  à  l'aide  de  la  foiinule  (  7  )  du 
paragraphe  II;  celte  formule  s'écrit  : 


car<I»(e~')  se  réduit  à  (i — ■e~''-)' .  Le  seul  facteur  dépendant  des  /  est  Q,,,  qui 
est  un  polynôme  entier.  Donc  les  b  sont  des  polynômes  entiers  par  rapport 
aux  /,  et  par  conséquent  par  rapport  aux  u  et  aux  n'. 

Nous  avons  vu  que  les  f'  sont  liés  aux  Ij,/  par  des  équations  linéaires;  les  c' 
sont  donc  aussi  des  polynômes  entiers  par  rapport  aux  u  et  aux  iv. 

[Reprenons  maintenant  la  lurinule  (())  du  paiagraphe  111  {  '  ).  Elle  peut 
s'écrire 

■>.r.  v —  1  •  '       ?  ' 

car 

i'(;i  =  (— çi'-. 

Ici  encore  P,/  est  un  polynôme  entier  j)ar  rapport  aux  c',  di;  sorte  que  le  second 
membre  est  un  polynôme  entier  par  rapport  aux  c';  on  déduit  de  là,  en  revenant 


(')  1^3  forriiulo  (li)   du    |iai-a;;[aplic  III  n'est   pas  exuile;  rf.  Note  de  la   pa^'c    !.!i.  Les  conclu- 
sions entre  crochets  sont  à  reprendre  (.1.  D.  1. 

H.  P.  —  m.  3i 


242  QUIÎLQUES    RK\fAnOUES   SUR    LES   GROUPES    CONTINUS. 

à  la  formule  (-  )  du  paragraphe  III  : 

que  0,  est  un  polvnonie  entier  par  rapport  aux  v'. 

Donc  les  r"  sont  des  polynômes  entiers  par  rapport  aux  u  et  aux  n'.  Ainsi 
les  i'  Sont  des  polynômes  entiers  par  rapport  aux  u  et  aux  iv;  c'est-à-dire 
que  si  l'on  intègre  les  équations  différenlieiles 

en  clierclianl  à  exprimer  les  i-  en  fonctions  des  u',  les  intégrales  seront  des 
polynômes  entiers.  ] 

V  —  Étude  plus  détaillée  du  groupe  paramétrique. 

Reprenons  l'équation 

<>r  pW  —  g\ 

du  paragrapiie  III  et  étudions  de  plus  prè>  les  c  regardés  comme  fonctions  des  u 
et  des  n'.  ^ous  conserverons  aux  lettres  \„.  \|,  L,  XJ'  ,  À,'  ,  l,j  la  même  signili- 
cation  qu'à  la  fin  du  paragraphe  III. 

Nous  avons  vu  dans  quel  cas  les  bu,  cessent  d'être  de>  fonctions  holomorphes 
des  /et  ])ar  conséquent  des  u  et  des  ir;  examinons  plus  complclemcnt  les  singu- 
larités qui  peuvent  se  produire,  et  [)our  cela  leprenons  la  lormule  (-)  du  para- 
graphe II.  Ci'ttc  formule  est  susceptible  de  simplilication. 

Le  contour  d'intégration  doit  envelopper  toutes  les  racines  de  l'équation  de 
Killing  en  laissant  en  dehors  ces  mêmes  racines  augmentées  d'un  multiple 
de  2?7r.  Nous  pouvons  donc  supposer  que  ce  contour  est  un  rectangle  dont  l'un 
des  côtés,  parallèle  à  l'axe  des  quantités  réelles,  est  très  gr.ind,  tandis  que 
l'autre,  parMlléle  à  l'axe  des  quantités  imaginaires,  est  égal  à  iir.. 

Désignons  par  •j'iO  l^i  fonction  sous  le  signe  intégral.  Si  l'intégrale  prise  le 
long  des  petits  côtés  du  rectangle  tendait  vers  zéro,  quand  les  grands  côtés 
tendent  vers  l'infini,  notre  intégrale 


I 


|)rise  le  long  du  rectangle  entier,  pourrait  être  rempl.icéc  par  l'intégrale 


r 


QUELQUKS    REMAROUKS   SUR    LES   GROUPES   CONTINUS.  >  I  > 

prise  le  long  de  l'un  des  grands  côlés  (par  exemple  le  long  de  l'axe  des  quan- 
tités réelles). 

Les  choses  ne  sont  pas  tuul  à  l'ail  aussi  simples.  Nous  avons,  en  efl'el. 


■^1?) 


■î>(f- 


Pour  t=  4-  co.  e~'  et  par  conséquent  ]/(;)  tendent  vers  zéro;  mais  pour  ;  =  — co, 
e^i  tend  vers  l'infini.  L'expression 

est  le  quotient  de  deux  polynômes  de  même  degré  en  e^^;  elle  tend  donc  vers 
une  limite  (inie  et  déterminée  que  j'appelle  A. 

Modifions  alors  légèrement  la  formule  {'])',  l'intégrale 


',  -  \   —  I   ■'         P-?— I 


prise  le  long  du  rectangle  est  nulle,  puisque  à  l'intérieur  du  rectangle  le  déno- 
minateur ne  s'annule  que  pour  ;  =o,  et  qu'alors  le  numérateur  s'annule.  Je  puis 
donc  écrire  : 

Je  poserai 

et  je  vois  que  0  tend  vers  zéro,  aussi  bien  pour  ^= — •  oc  (pie  pour  :  ^=  +  go. 
Alors  si  les  grands  côtés  du  rectangle  sont  très  grands,  l'intégrale  (7  (jt"),  prise 
le  long  des  petits  côtés,  est  nulle.  On  aura  donc 


\ 


l'intégrale  étant  prise  le  long  de  l'un  des  grands  côtés.  Mais  la  fonction  0 {'l)  est 
périodique,  de  sorte  que  9(;)  =  5(;  +  2/7:).  C'est  ce  qui  nous  permet  d'écrire 
tout  simplement  : 

•  Nous  avons  vu  qu'une  singularité  peut  se  produire  quand  deux  racines  de 
l'équation  de  Killing  ditièrent  d  un  niulti|)le  de  2i7T. 


244  QUELQUES    REMARQUES   SIR    LliS    GROUPES    CONTINUS. 

Soient  donc  w,  el  (o.i  deux  de  ces  racines  et  je  suppose  qu'à  un  moment 
donné  la  différence  u,  —  oj,  devienne  égale  à  imiv:. 

Originairement  le  chemin  d'intégration,  que  j'appelle  C,  [lassc  entre  les  deux 
points  cj|  et  <,>.;.-\-  imivr.  et  c'est  à  l'inslanl  où  ces  deux  points  se  conl'ondent 
qLi'il  peut  y  avoir  une  singularité.  Considérons  un  second  chemin  C  ayant 
mêmes  extrémilés  (|ue  C,  mais  laissant  les  deux  points  oj,  ei  !>i>-\-  -.iiiii-  d'un 
même  côté.  Le  point  iù2-\-  iniin  se  trouvera  |iar  exemple  entre  ces  deux 
chemins  C  et  C.  L'intégrale  prise  le  long  de  C  sera  alors  égale  à  l'intégrale  prise 
le  long  de  C  plus  27t\/ — i  Rj.  Ra  étant  le  résidu  de  0(;)  relatif  à  la 
racine  Wj  r-  'iinir..  ou.  ce  qui  revient  au  même,  à  la  racine  oj...  J  écrirai 

.1(0)  =  i(C:)^o_T.  s^^M-:. 

en  désignant  par  .l(G)  l'intégrale  le  long  du  chemin  C. 

(^uand  les  points  w,  el  '.12+  2min  se  conl'ondent.  .1  (  C  )  reste  hohunorphe. 
La  singularité  provient  donc  uniquement  du  terme  en  R^. 

Supposons  que  les  //  ou  les  u'  touincnl  autour  des  \iileurs  (jui  correspondent 
à  la  singularité.  11  pourra  arriver  : 

1°  Ou  hien  que  les  deux  points  m,  el  Wj-j- i< /;??  r:  tounuMit  autour  lun  (h' 
l'autre,  mais  sans  s'échanger.  Dans  ce  cas  R^  et  par  conséquent  .1  (  C  )  reviennent 
à  leur  valeur  initiale.  Lus  6,y  restent  donc  des  fonctions  uniformes  des  a  et 
des  (f.  Seulement  ces  fonctions  peuvent  desenir  infinies  parce  qu'en  général  le 
résidu  Rj  croît  indéliniruent  ([uaiiil  les  deux  points  'ii,  et  &),-(- 201/7:  tendent 
l'un  vers  laulre. 

2"  Ou  bien  que  les  deux  points  r,),  et  M-i-\-  'imir.  s'échangent.  Dans  ce 
cas  Rj  se  change  en  R,  et  par  conséquent  •l(<')  en 

Les  l>,j  ne  sont  plus  des  fonctions  uniformes  des  n  et  des  (v. 

Il  est  clair  d'ailleurs  que,  tant  ([ue  h'S  b,/  restent  fonctions  uniformes  des  1/ 
el  des  IV',  il  en  est  de  même  des  e.  Cela  est  évident  j)0ur  les  i  '  qui'  l'on  déduit 
des  6,7  à  l'aide  d'équations  du  premier  degré;  [cela  lest  également  pour  les  e" 
puisque  les  0,  sont  des  fonctions  entières  des  c'  {cf.  la  lin  du  §  111)]  ('). 

Plaçons-nous  donc  dans  le  cas  où  les  i'  cessent  d'être  des  fonctions  unifoinies 
des   II   el   des  n'.   el  supposons  que,   les   11   et  les  iv  revenant  à  leurs  valeurs 

(')  L'unifurmilé  des  v  n'est  pas  étalilif  ici:  K'Oir  la  Note  anlérieuie,  page  201. 


QLELQtES    REMAUQUES    SUR    LES    GROUPES   CONTINUS.  245 

initiales  apiè^  avoir  décril  des  contours  fermés,  les  c,  ne  reviennent  {)as  à  leurs 
valeurs  initiales,  mais  à  des  valeurs  dillérenles  que  nous  appellerons  c"  ; 
j'écrirai  dailleurs  : 

Alors,  en  faisant  varier  les  ii  et  les  (v  d'une  manière  continue,  ou  a  pour  les 
valeurs  initiales 

et  pour  les  valeurs  finales 

Considérons  maintenant  les  sub^tilutions  \|,.\|,  L  du  giou[)e  adjoint,  ([ui 
correspondent  à  e^.  e^'' .  p^.  Leurs  coefficients  '/.",  /.'.  /  sont  des  fonctions 
entières  des  ii  et  des  i\-;  ils  reviendront  donc  à  leurs  valeurs  initiales  quand 
les  it  et  les  iv  auront  décrit  des  contours  fermés.  Donc  la  substitution  L,  qui 
correspond  à  e^  •,  est  la  même  que  relie  qui  correspond  à  e^ . 

Considérons  maintenant  la  transformation 


la  substitution  correspondante  du  groupe  adjoint  sera 

1.1.  -'. 

c'est-à-dire  l'unité.  En  d'autres  termes,  la  transformation  e^  e~'* '  sera  permu- 
table à  toutes  les  transformations  du  groupe.  Elle  peut  d'ailleurs  dans 
certains  cas  se  réduire  à  la  transformation  identique. 

Les  transformations  finies  qui  jouissent  de  cette  propriété  s'appelleront  les 
transformations  spéciales.  Elles  forment  dans  le  groupe  proposé  un  sous-groupe 
invariant  discontinu.  Toutes  les  racines  de  l'équation  de  Killing  sont,  pour  ces 
transformations  spéciales,  des  multiples  de  2/77. 

Il  ne  faut  pas  confondre  ces  transformations  spéciales  avec  les  transforma- 
tions infinitésimales  qui  sont  permutables  à  toutes  les  transformations  du 
groupe  et  qui.  comme  nous  l'avons  vu,  existent  dans  certains  groupes. 

Tous  les  groupes  contiennent-ils  des  transformations  spéciales  ?  Soit 
d'abord  une  transformation  e\  et  supposons  que  les  racines  correspondantes  de 
l'équation  de  Killing  soient  toutes  distinctes  et  commensurables  entre  elles.  On 
pourra  alors  choisir  la  constante  x  de  telle  sorte  que  l'équation  de  Killing  cor- 
respondant à  e*^  ait  toutes  ses  racines  multiples  de  2/7:.  La  transformation  e*^ 
sera  alors  évidemment  spéciale. 

Mais  ce  que  nous  venons  de  dire  ne  s'appli([uerait  pus  toujours  au  cas  où 


•2i6  OHELOUES    HEMARQIES   Sl'R    LES    GROUPES   C0>T1M  S, 

l'équation  de  Killing  aurait  des  racines  multiples.  En  effet,  on  sait  qu'une 
substitution  linéaire  peut  toujours  être  ramenée  à  une  forme  appelée  canonique, 
mais  que  deux  cas  peuvent  se  présenter.  Tantôt  la  forme  canonique  est  la  sui- 
vante ; 

((    ()    (I    ( 

(t      h      o      < 


les  nombres  «,  h,  c,   d  pouvant  être  égaux  ou  diflerenls.  Tantôt  elle  est  ana- 
logue à  lune  des  suivantes  :    • 


() 

f) 

(1 

a 

1) 

(1 

<\ 

a 

<  t 

<t 

() 

a 

r» 

o 

e\ 

a 

(> 

(1 

C\ 

a 

(.1 

(> 

n 

h 

(t 

() 

(> 

h 

() 

("2 

C:k 

a 

() 

1) 

r; 

/; 

(I 

o 

c 

f» 

(> 

() 

/; 

les  nomjjres  e  n'étant  pas  tous  nuls. 

Dans  le  premier  cas,  je  dirai,  pour  abréger  le  langage,  que  la  stilisliliition 
linéaire  est  ordinaire  :  dans  le  second  cas  quelle  est  paraboliqiir. 

Or  aucune  |)\iissan(e  d'une  substitution  parabolii|ue  ne  peut  se  réduire  à  la 
substitution  unité. 


,.«^ 


■Ue- 


Si  alors  notie  groupe  admet  une  trau' fiuniation  spéciale 
une  puissance  d'une  certaine  iransformalioii  infinitésimale  c^  ;  si  L  est  la  subs- 
titution du  groupe  adjoint  qui  correspond  à  (.'\  celle  qui  correspond  ;w^^ 
sera  L^.  Comme  e^^  est  spéciale,  L"  se  réduira  à  la  subslitution  unité.  Donc  L 
ne  peut  être  |)araboliqiie. 

Si  l'équation  de  Killing  a  des  racines  multiples,  il  |ieiit  arriver  que  les  subs- 
titutions du  groupe  adjoint  soient  paraboliciues,  de  S(jrte  qu'on  peut  se 
demander  s'il  n'v  a  pas  des  groupes  qui  ne  eontieniienl  |)as  de  transformations 
spéciales.  On  peut  en  citer  au  moins  un  exemple  :  ce  sont  les  groupes  de  rang 
zéro. 

Soit  maintenant  e"  une  transformation  spéciale  quelconque, 


les  racines  correspondantes  de  l'équation  de  killing;  ce  seront  des  multiples 
de  2(7r.  Soit  e^  une  transformation  ([uelconque, 


OIKLOIES    IIE.MARQLES   SUR    LES   GROUPES   CONTINUS.  2)7 

les  racines  correspondantes  de  réqiialion  de  Killing;  posons  : 
et  ^oient 

(tj'j  ,      to'., .       ....      w^ 

les  racines  de  l'équalinn  de  Killins;  correspondant  à  e^ . 

Si  An,  A|  et  L  sont  les  substitutions  du  f^roupe  adjoint  correspondant  à  e' , 

c^'' ,  e\  on  aura 

A„.\,=  I..        A,  =  i: 

d'où 

.\„=  !.. 

Cela  nous  montre  (pie  les  '•>'  ne  difrérent  des  '.>  que  par  des  multiples  de  2/-. 

Faisons  varier  les  //  d'une  manière  continue,  les  e  varieront  aussi  d'une 
manière  continue  et  il  en  sera  de  même  des  '.)  et  des  'o'.  Mais  comme  la  diffé- 
rence de  1  un  des  m'  et  de  la  racine  oi  correspondanle  doit  rester  égale  à  un 
multiple  de  2/-.  cette  dilTérence  devra  demeurer  constante. 

Supposons  que  les  valeurs  initiales  des  (/  satisfassent  aux  proportions 

»,        «5  II,- 

(r,         (!•■        '  '  '       II,- 

de  telle  façon  qu'oiiginairement  ;''  et  ''^^  soient  des  puissances  d'une  même 
transformation  infinitésimale;  on  aura  originairement 

(0<  =  (.),  —-,-■ 

et  «l'après  ce  ({ue  nous  venons  de  voir,  celte  relation  lirvrd  .subsister  quand 
on  fera  varier  les  11  d'une  ■  manière  continue  en  partant  des  valeurs 
initiales  que  nous  venons  de  définir. 

Si  donc  l'équation  de  Killing,  pour  certaines  valeurs  des  c.  admet  les  racines 


pour  d  autres  valeurs  des  c  elle  admettra  les  racines 

e(.  plus  généralement,  pour  d'autres  valeurs  des  r  elle  admettra  les  racines 


),  et  a'  étant  deux  coefficients  quelconques. 

Si  l'on  fait  varier  les  //  d'une  manière  continue  pour  les  faire  revenir  à  leurs 
valeurs  initiales  après  leur  avoir  fait  décrire  des  contours  fermés,  il  arrivera  en 


248  QUELQUES  BEMXRQIES  SUR  LES  GROUPES  CONTI^US. 

général    que   les    racines   co    se    perniuleront    entre    elles:    supposons   qu'elles 
deviennent 


les  ',!,'    n  étant  autre  chose  que  les  t.),  placés  dans  un  autre  ordre. 

Les  racines  de  l'équation  de  Killing  relatives  à  (?\  cpii  étaient  primitivement 


(1) 


'■';■ —   ^r- 


deviendront 

Or  les  expressions  (2)  ne  sont  autre  chose  (^dans  un  autre  ordre)  que 
Ci)  (0,  — T,-i.     oj;  — T^r',      ....     (.),.— T,ri 

les  T,^'   n'élanl  autre  chose  que  les  r,  qui  sont  supposes  avoir  subi  une  jtermu- 
talion  inverse  de  celle  qui  (  hange  les  'o,  en  w,'  . 

Nous  avons  donc  deux  déterminations  des  c,  ou,  si  l'on  aime  mieux,  de  e^  ; 
dans  la  première  les  racines  de  l'équation  de  Killing  sont  les  f.j,-|-T,,  dans  la 
seconde  elles  sont  les  o),  +  t    '  .  Les  dilTérences  des  racines  sont  donc 


c'est-à-dire  des  multiples  de  27:\  —  i. 

Plus  généralement   :    soient  //   transformations  spéciales    indépendantes,   et 
soient 

I  1)  <  ''■■"     '■■' '''" 

les  racines  cori-espondantcs.  Si  les  7,  peuvent  s'échanger  entre  eux  (par  suite 
de  permutations  analogues  à  celle  qui  change  les  t,  (n  r,  '  et  dont  je  viens  de 
parler),  les  diverses  permutations  possibles  des  r,,,,  des  r,..j,  ...  devront 
figurer  dans  autant  de  lignes  du  tableau  (4)  comme  si  elles  correspondaient  à 
autant  de  transformations  spéciales  distinctes.  .Si.  par  exemple.  i=  .'i,  et  si  les 
racines  sont  r,,  7.,.  t^.  pour  une  des  transformations  spéciales  et  r,.  t.,.  t,  pour 
une  autre;  si  enfin  quand  on  fait  décrire  aux  c  des  contours  fermés,  les  trois 
racines  de  l'équation  de  Killing  peuvent  subir  une  permutation  circulaire,  le 


QUELQUES    RE.MAHQLES    SI  H    LES    GROUPES   CONTINUS.  249 

tableau  (4)  devra  èlre  formé  comme  il  suit  : 


.].  -!.  '3: 

-■,.  -j.  'f. 

~3-  ~1-  ~!j 

"l-  ~3-  ";l: 

~2-  ":i-  ~l: 

T,.  -,.  -„. 


Cela  posé,  si  pour  certaines  valeurs  des  c  les  racines  de  l'équation  de  Killing 
sont 

O),.         l'Ij '■),.. 

pour  d'autres  valeurs  de  c  elles  seront 

À,  /.|.  '/.-,,  ....  '/.p  étant /?  +  !  coefficients  quelconques. 

Revenons  maintenant  »ur  une  question  que  je  n'ai  fait  qu  efllcurer  plus  haut 
et  qui  est  assez  délicate. 

J'ai  supposé  que  e^  e^^  était  susceptible  de  deux  déterminations  c^  et  e^".  et 
j'ai  dit  que  e'^e^^»  était  une  transformation  spéciale.  J'ajoute  que  cette  transfor- 
mation peut  se  réduire  à  la  transformation  unité. 

On  pourrait  d'abord  croire  le  contraire.  Si.  en  effet,  on  avait 

eVc-V,=  ,. 
on  aurait 

et  les  deux  transformations*^^  cXc''"  seraient  identicjues.  contraiicnienl  àl  hvpo- 
thése. 

Ce  raisonnement  serait  in^uflisant.  Nous  avons  en  effet  obtenu  (;^  ■  en  faisant 
varier  les  ii  et  les  iv  dune  manière  continue,  partant  de  certaines  valeurs  ini- 
tiales et  revenant  à  ces  mêmes  valeurs.  Réservons  donc  les  notations  Ll,  \^  ,  u, 
IV  pour  désigner  ces  valeurs  initiales;  et  désignons  parL",  \\  '.  »',  w'  les  valeurs 
variables  de  ces  mêmes  quantités.  Nous  poserons  alors  : 

,,i  ■  ,.\\    —  ,,V' 

de  telle  façon  qu'au  commencement  IJ  .  \\  '  et  \  '  se  réduisent  respectivement 
à  L,  \\  et  \.  et  qu'à  la  fin  l  '  et  \\  '  reviennent  à  leurs  déterminations 
initiales  U  et  \\  ,  tandis  que  A'  alioulil  à  une  détermination  différente  ^  „. 
Envisageons  alors  la  transformation 

eVe-v'=eT. 
H.  P.  —  m.  3a 


25o  QlEl.ylES    HEJIABQllES    SIR    T.ES    GROIPES   CONTINUS. 

Au  commencement  elle  se  réduira  à  la  transtormalion  identique,  elle  prendra 
ensuite  diverses  déterminations,  et  à  la  lin  il  pourrait  se  faiie  que  e^  se  réduisit 
de  nouveau  à  la  transformation  identique.  Il  ne  s'ensuivrait  pas  forcément 
que  V  dût  se  réduire  à  V.  On  a  en  effet 


Si  l'on  suppose  T  =  o,  l'une  des  déterminations  possibles  du  second 
membre  est  certainement  e^ .  mais  il  peut  se  faire  que  ce  second  membre  ait 
d'autres  déterminations  (de  même  [que  e^e'^,  d  après  notre  liypolhèse,  est  sus- 
ceptible de  deux  déterminations  e^  et  e^°). 

Il  est  aisé  de  faire  des  exemples.  Je  suppose  que  les  r  soient  choisis  de  telle 
sorte  que  la  dilléience  de  deux  des  racines  de  1  é(|uation  de  Killinj;  relatives  à  c^ 
diffère  [)eu  d'un  nuilti|)le  de  2  û\  — i .  Faisons  ensuite  varier  les  /  dune  manière 
continue,  chacuue  de  ces  variables  partant  de  la  valeur  zéro,  décrivant  un 
|)etit  contour  fermé,  ei  revenant  à  la  valeur  zéro.  Nous  pourrons  clioisir  ces 
contours  de  telle  façon  que  les  deux  j)oints  très  voisins  qui  représentent 
l'une  des  deux  racines  de  Killing  dont  je  viens  de  parler  et  1  autre  racine 
augmentée  d'un  multiple  convenable  de  2 tt  y/  —  1 ,  que  ces  deux  ])oints  dis-je, 
s'échangent  l'un  avec  l'autre.  Alors,  au  début  r  '«"^  se  réduira  à  e\  et  à  la  fin 
ne  se  réduira  pas  à  e^  bien  que  T  se  léduise  de  nouveau  à  zéro,  l.e  raisonnement 
précédent  est  donc  insuflisant. 

Soient  maintenant  r^^  et  e""  deux  transformations  correspondant  à  une  même 
substitution  A  du  groupe  adjoint.  Soient  e'  une  autre  transformalKin  et  \'  la 
substitution  correspondante  du  groupe  adjoint.  Soient 


(12)  ei'eW=:eV 


o\t). 


Il  est  clair  que  les  deux  transformations  e^   et  e^°  correspondront  à  une  même 

substitution 

L  =  A'A 

du   groupe    adjoint.    Si   donc    nous    appelons    w,   et  t.j"  les   racines  de  Killing 
relatives  à  V  et  V,,,  les  différences  o), —  w"  seront  des  multiples  de  •j.ti\^ —  i . 

De  même,  si  nous  appelons  5,-  et  9°  les  racines  de  Killing  relatives  <à  '\^ 
et  Wd,  les  différences  6, —  Ô°  seront  aussi  des  multiples  de  2t.\/ —  i. 

Si  l'on  fait  varier  U  d'une  manière  continue.  W  et  AV„  ne  changeant  pas, 
les  différences  r,,,  —  wj'  devront  varier  d'une  manière  continue,  et  comme  ce 
sont  des  multiples  de  ht;  y/ —  i  elles  demeureront  constantes.  Or.  |)our  U  =  o, 


OlKl.QliES    niaiAROlES    StR    LES    I^ROl  l'ES   CONTINLS.  131 

1,1,  et  w"  se  réduisent  à  h;  et  (5"  :  on  iiiua  donc,  (|uel  que  soit  U, 

(6)  ■  (.),— 10,"=  0,— 0,". 

Une  observation  avant  d'aller  plus  loin  :  tout  à  l'heure  j'ai  démontré  1  "égalité 

((i  his  )  -  0)J  =  0),-^  -,■ 

on  partant  d Une  identité  analogue  à  (5) 

(  7  )  •  e^  f^^  =  e^ . 

OÙ  (?^^  était  spéciale.  Pourquoi  n'ai-je  pas  comme  ici  piis,  pour  valeur  initiale 
de  L),  U  =  o.  mais  ai-je  supposé  pour  ces  valeurs  initiales 

«1  II'.  "r  „ 


C'est  que,  pour  avoir  le  droit  de  prendre  à  l'origine  U  =  o,  il  faut  être  ?ùr 
que,  quand  les  u  sont  très  petits,  les  (\'  différent  très  peu  des  c;  c'est-à-dire  que 
les  accroissements  subis  par  les  r  sont  très  petits  quand  ceux  des  u  sont  très 
petits;  c'est-à-dire  que  l'on  n'est  pas  dans  le  voisinage  d'un  des  points  singuliers 
des  écjualions  dillérrutielles  auxquelles  satisfont  les  r.  C'esl  ce  qu'on  peut 
admettre  pour  l'idriitilé  (  5  )  où,  <?^^  est  quelconque,  mais  non  pour  l'identité  (7) 
où  <?"  est  .H|)éciale. 

.Ir  me  borne  à  ces  rapides  indications.  Mais  pour  faire  comprendre  le  parti 
qu'on  pourra  sans  doute  tirer  des  relations  (6)  et  (6  6/.s),  je  me  supposerai 
placé  dans  un  cas  simple,  celui  où  l'équation  de  Killing  a  loiiles  ses  racines 
simples.  Soit  /  le  rang  du  groupe.  Ou  pourra  alors  trouver  /systèmes  de 
valeurs  des  r,  telles  (|ue  les  valeurs  correspondanles  des  racines  de  l'équation 
de  Killing,  que  j  a[)pe!lerai 


soient  linéairement  indépendantes;  je  veux  dire  que  les  -  ne  soient  pas  liés  par 
des  relations  à  coefficients  constants  de  la  forme 

'i\'i\  -T-  (/;T:,i|-t-.  .  .   •-  (ii-ii=  O         [i  =  \ r). 

de  telle  façon,  en  même  temps,  que  les  rapports  des  éléments  d'une  même  ligne 
de  ce  tableau  soient  commensurables  ;  ou  mieux  encore  que  tous  les  (  soient 
des  multiples  de  27r\  —  1. 

Les    racines    étant    simples,    les    Iransformalions    correspondantes    seront 


■252  QUELQLES    REMARQUES    SUR    LES    GROUPES    CONTINUS. 

spéciales,  et  alors  nous  verrons  que  les  racines  de  l'équation  de  Killing  pour 
une  transformation  quelconque  seront  des  combinaisons  linéaires  des  t;  je  veux 
dire  que.  si 

tO].       to^ OJ,- 

sont  les  racines  de  l'équation  de  Killing,  on  aura  : 

(.),=  (1,1,1—  0,T,-,  — '.  .  .—  rt/T,7  (('  =  I r). 


les  a  étant  dt^s  fonctions  des  r. 

Ce  théorème  est  probablemenl  vrai  dans  des  ca>  beaucoup  plus  généraux, 
mais  je  me  suis  iiorné  à  un  cas  très  simple  parce  (\uv  je  ne  vnulais  qu'indiquer 
une  marcliL'  à  suivre. 


VI.  —  Quelques  mots  sur  les  équations  différentielles  du  groupe. 

Dans  le  paragraphe  précédent  nous  avons  envisagé  les  points  singuliers  des 
fonctions  i'  regardées  comme  des  fonctions  des  ii  et  des  n\  définies  par  1  équa- 
tion 

gl   f,\\  --  ^v 

Pour  cela  nous  nous  sommes  servis  des  relations  finies  qui  relient  les  v  aux  a 
et  aux  iv.  Mais  on  pourrait  également  faire  usage  des  équations  différentielles 
(pii  délinissi'nt  les  t'.  Rappelons  la  forme  de  ces  équations  différentielles. 

Si,  par  exemple,  nous  faisons  varier  les  n'  en  laissant  les  it  invariables,  si 
plus  particulièrement  nous  posons 

iVi=iti.         \\=eT, 

en  faisant  varier  £  et  laiss.int  les  t  invariables,  de  sorte  que 
^u  gôï  ^  pv  gU  g.c+./cT  =;  eV+./v 

on  aura  l'équation  difl'éruntielle 

pV  pT./î  _  eV+(/V 

ce  qui  peut  s'écrire,  d'ajtrès  la  formule  (2)  du  paragraphe  lU, 

Les —7-^  seront  dune   une  somme  de  termes  de  la  forme  suivante   :   chaque 

rtE  ' 

terme  sera  le  produit  de ^^  si  03^  est  une  racine  de  l'équation  de  Killing 


QIIELQUKS    nE.MMlOUKS    SUR    LES    GIIOUPES    CONTINUS.  '.')J 

OU  d'une  puissance  de  r-  si  w/,  esl  une  racine  niulliiile)  cl  d'une  fonctidn 

ralionnelle  des  r  et  de  (.ja. 

Comincnl  l'un  de  ces  termes  peul-il  cesser  d'ètie  une  fonclion  liolonior|)lie 
des  p»? 

i"  Si  &J/,  devient  un  niulllple  de  2-\  — i,  auf|nel  cas  le  premier  lacleur 
devient  inliiii. 

2"  Si  l'érjuation  de  Killing  a  une  racine  nudtiple,  oulre  celles  qui  existent 
toujours,  auquel  cas  le  second  facteur  cesse  d'être  une  fonction  unitornie  des  e, 
et  d'ailleurs  cesse  éralemenl  d'être  fini. 

C'est  le  premier  cas  auquel  nous  nous  attacherons  particulièrement. 

Si  nous  égalons  à  des  multiples  de  27r\/ —  t  les  dilierentes  racines  de  l'équa- 
tion de  IVilling,  nous  obtiendrons  autant  d'équations  entre  les  c  que  réqualion 
de  Killing  a  de  racines  distinctes.  Mais  il  ne  s'ensuit  pas  que  toutes  les  équa- 
tions ainsi  obtenues  (et  que  j'appellerai  les  équations  E)  soient  distinctes.  Il  y 
a,  en  ed'et,  entre  les  racines  de  l'équation  de  Killing  des  relations  linéaires,  et 
il  arrivera  souvent  que.  quand  une  de  ces  racines  deviendra  égale  à  un  multiple 
de  27r\  —  I,  il  doit  en  être  de  même,  en  vertu  de  ces  relations  linéaires,  d'une 
ou  de  plusieurs  autres  racines.  Si  donc  l'une  de  ces  équations  E  est  satisfaite, 
il  pourra  arriver  qu'une  ou  plusieurs  autres,  parmi  ces  équations  E,  en  soient  des 
conséquences  nécessaires.  Nous  supposerons  donc,  que  l'on  donne  aux  c  des 
valeurs  qui  satisfont  à  l'une  des  équations  E  et  à  toutes  celles  qui  en  sont  des 
conséquences  nécessaires,  mais  qui  ne  satisfont  à  aucune  autre  des  équations  E. 
Ces  valeurs  des  c  (si  d'ailleurs  l'équatloii  de  Killing  n'a  pas  jilus  de  racines  mul- 
tiples que  pour  des  valeurs  iinelcon(iues  des  c)  constitueront  ce  que  j'appelleiai 
un  [)oint  singulier  de  premiire  espèce  de  nos  équations  diU'érentielles. 

Soient  alors  r",  c!!,  .  .  .,  e"  les  valeurs  des  e  qui  correspondent  à  un  de  ces 
points  singuliers  de  première  espèce;  soit  «}'  la  valeur  correspondante  de  wa- 
Parmi  les  w"  il  y  en  aura  un  ou  plusieurs  qui  seront  multiples  de  27:  y/—  1 ,  soit 
par  exemple  oj",  oj",  .  .  . ,  w".  Les  équations  E 

0J,=  iumII.  ■<-  \  —  I  (2  =  1,  ■>. q) 

devront  (d'a|)iès  l'hypothèse  que  nous  venons  de  faire)  être  des  conséquences 
les  unes  des  autres.  Cela  veut  diie  que  o,,.  01.,,  .  .  .,  gi,,  devront  être  des  mul- 
tiples d'une  même  quantité  'o,  de  sorle  que  01",  '.)!|.  .  .  .,  w,"  seront  des  multiples 
de  la  quantité  correspondante  oi,))  laquelle  devra  être  un  multiple  de  i-k\/ —  i. 


234  QUKLOUES    [1EMAI\QI!ES   SUli    LES    GROUPES    COXTINIS. 

Dans  le   voisinage   de  ce   j)oint  singulier,  lus  —jj  seront  égaux  à  des  séries 

ordonnées  suivant  les  puissances  croissantes  des  l'y —  i"  divisées  par  une  puis- 
sance de  'jj  —  (ij„.  La  présence  de  cette  puissance  de  'i>  —  oi,,  au  dénominateur 

provient  de  l'existence  dans  les  diflerenls  termes  des  — r-'  d'un  facteur 

al 

I 


I  —  (»-"'< 


lequel  peut  être  élevé  au  carré  ou  à  une  puissance  sii|)éiieure.  si  la  racine  w; 
de  l'équation  de  Killing  est  double  ou  multiple. 
Mais  'jj  est  lié  aux  e  par  une  relation  algébrique 

/(   1-0.     l|.     1-. l',      I   =   (>. 

laquelle  se  déduit  iiuniédiutement  de  l'équation  île  Killing.  On  a  alors 

f/to    (Il  tlv ,    (h 

Les  dérivées  àe  f  sont  des  polynômes  entiers  par  rapport  aux  e  et  à  m.  1-e 

polvnome    ,-  n  est  pas  nid,  sans  quoi  deux  des  racines  de  Killing  ordinairement 

distinctes  viendraient  à  se  confondre  el  le  poiiil  singulier  ne  serait  jilus  de  pre- 
mière £spèce.  Ou  a  donc 

rf'"  V   II     '^''' 

les  II,  étant  développables  suivant  les  puissances  tles  e, —  e"  el  de  '.i  —  oj,,. 
Ainsi  --J-  (comme  les  -^-^  j  est  égal  à  une  fonction  bobmiorphe  des  cy —  e'-  et 

de  oj  —  ojo,  divisée  par  une  puissance  de  w  —  fij,,. 

Telle  est  la  (orme  des  équaticuis  difléreiitielles   dans  le  voisinage  de  notre 
point  singulier. 

Nous  pouvons  donc  écrire 

dw  Ù  ,l\-,  _  \ , 

(/;         I  (0  —  oj„  1/'  ih         I  (')  —  (1),,  )/' 

les  Î2  et  les  \ ,  étant  holomorphes.  Soit  maintenant 

d.=  ,      '''        ; 

(  10  0)0  )'' 

il  viendra 

fhti  f/i'j 

777  ""  "■        7h  "" 


OUEI.QLKS    KEMAIIOIES    SUR    LliS    GROUPES    CONTINLS.  255 

On  tirera  de  là,  par  un  théorème  bien  connu,  w  ut  les  i',  en  séries  procédant 
,  suivant  les  puissances  de  z  et  se  réduisant  à  w»  et  c)'  pour  r  =  o.  Soit 

(•2>  w  —  io„  —  n,^-^-'  rtjj.+,  Tl^+i  —  .  .  . 

ce  dévelopjiemenl  ;  ou  en  lirera 
d'où 


«'û 

-/'[>■■ 

u 

Pl^  +- 

I 

-  0)0  = 

b 

-J^ 

b  étant  un  coefficient  constant  facile  à  calculer.  Cela  montre  qu'en  général  w 
(et  par  conséquent  les  c)  n'est  plus  une  fonction  uniforme  de  z  dans  le  voisi- 
nage du  point  singulier. 

11  y  aurait  exception  seulement  dans  le  cas  où  a,,,  -c/jj.^!,  .  .  .  étant  nuls, 
l'équation  (2)  se  réduirait  à  oj  =  ',)».  c'est-à-dire  dans  le  cas  où  12  serait  dix  isible 
par  fjj  —  w„. 

Mais  dans  ce  cas,  si  \  ,  ne  s'annule  pas  pour  01  =  (.>,,,  t'^^i'",  nos  équations 
n'admettront  pas  de  solution  telle  ([uo  l'un  ait  01  :=  0)0,  ('a  =  t"  pour  £  =  o. 

Or  revenons  à  la  subslilulion  L,  qui  est  la  substitution  du  groupe  adjoint 
qui  correspond  à  e^  ;  et  étudions  les  équations  dillerenlielles  auxquelles 
satisfont  les  coefficients  /,/  de  cette  substitution;  elles  seront  de  la  lorme 

les  A  étant  des  fonctions  linéaires  do.-,  l.  Les  /  sont,  d'autre  part,  des  fonctions 
entières  des  e;  pour  (;(==  v\  ces  fonctions  entières  se  réduisent  à  /"■.  Les  équa- 
tions (3  )  admettront  une  solution  telle  que  hj^  l''j  pour  s  =  o. 

Considérons  celte  solution,  où  les  /sont  donnés  comme  des  lonctioas  liolo- 
morphes  de  £. 

Nous  savons  d'autre  paît  que  les  l  sont  des  fonctions  entières  des  (^  : 

(4)  ///•='I'„(i'x). 

Les  /,j  étant  connus  en  fonctions  de  £,  on  tirera  les  r/,-  des  équations  (.'[),  les- 
quelles équations  (4),  comme  nous  le  savons,  sont  satisfaites  pour 

Pour  discuter  ces  équations  (4)  je  ferai  usage  d'un  lemme  que  j'ai  démontré 
au  début  de  ma  Thèse  inaugurale. 


256  QrF.LQlES    REMARQUES    SLR    LES   GROUPES   CONTINUS. 

D'après  ce  lemme.  dans  le  voisinage  des  valeurs  (5)  : 

1°  Ou  bien  les  ça-  seront  des  fonctions  alaébroïdes  des  /,  et  tendront  vers  vl 
quand  les  lij  tendront  vers  /°y,  et  par  conséquent  quand  £  tendra  vers  zéro..  Ce 
cas  doit  être  exclu  puisque  les  équations  (i)  n'admettent  pas  de  solution  se 
réduisant  à  i"  pour  £  =  o. 

2"  Ou  bien  les  équations  (4)  cessent  d'être  distinctes  quand  on  v  fail  /,/=  /"y 
En  d'autres  termes,  pour  une  infinité  de  valeurs  des  i/,.  très  voisines  des  r", 
les  l,j  se  réduisent  à  /"y,  de  sorte  qu'une  infinité  de  transformations  e^  corres- 
pondent à  une  même  substitution  du  groupe  adjoint.  C'est  le  «  cas  d'indéter- 
mination »,  sur  lequel  nous  aurons  à  revenir. 

Nous  avons  laissé  de  côté  le  cas  où  tous  les  V,  s'annuleraient.  Sans  le  discuter 
à  fond,  je  me  bornerai  à  remar([uer  que  cela  ne  peut  pas  avoir  lieu  pour  toutes 
les  valeurs  des  r  compatibles  avec  la  condition 

t.)  =  0J„  =  iiiult.    >~\  I  . 

En  d'autres  termes,  tous  les  \',  ne  peuvent  |)as  être  divisii>les  par  oj  —  f.j,,. 

Il  résulte  de  là  que,  poiii-  c[u'une  singularité  se  présente,  il  ne  suflit  pas  que 
la  différence  de  deux  racines  soit  un  nuiltiple  de  aîi  y/ —  1  (condition  que  nous 
avons  trouvée  à  l'aide  des  relations  finies),  il  faut  encore  qu'une  racine  soit  un 
multiple  de  it.\j' —  1  (a(in  que  les  équatiojis  diU'érentielles  pri'senlcnl  un  point 
singulier  \. 

D  

Si  donc  la  dllférence  de  deux  racines  desient  ét;ale  à  un  multiple  de  3  7r\'' — 1, 
ou  bien  les  r  restent  des  fonctions  lioloniorplies  des  it  et  des  iv,  ou  bien  une 
troisième  racine  deviendra  égale  elle-même  à  un  multi|ile  de  2  tt  y —  1.  (hielle 
que  soit  celle  de  ces  deux  alternatives  qui  se  présente,  on  pourra  en  déduire 
d'intéressantes  conséquences.  Si  c'est  la  seconde,  on  pourra  trouver  des  cas  où 
la  différence  de  deux  racines  devra  être  elle-même  une  racine  ou  un  multiple 
d'une  racine. 

VII.  —  Formules   diverses. 

On  pourrait  évidemment  faire,  [)Our  un  groupe  quelconque,  quelque  chose 
d'analogue  à  ce  que  nous  avons  fait  pour  les  groupes  de  rang  zih-o. 

Par  exemple,  les  formules  (1)  et  (2)  du  paragraphe  III  sont  réciproques 
l'une  de  l'autre,  puisque  l'une  nous  donne  les  t  en  fonctions  linéaires  des  dv, 
et  l'autre  les  dv  en  fonctions  linéaires  des  t.  On  pourrait  déduire  de  ceUe  réci- 


QUELQUES   REMARQUES   SIR   LES   fiROlPES  CONTINUS.  2J7 

procité  certaines  propriétés  du  (iéterniinant  des  équations  linéaires  qui  donnent 
les  t,  par  exemple,  en  fondions  des  d^ .  C'est  de  cette  manière  que  nous  avons 
démontré  pins  haut  que  ce  déterminant  est  égal  à  i  dans  le  cas  des  groupes  de 
rang  zéro. 

D'un  autre  cùl('.  la  fm  iniilc  1  .!  )  du  paragraplic  III  nnu>  montre  que  les  coeffi- 
cients des  dérivées  de/ dans  \,(/)  sont  d'une  furmc  particulière.  Ce  sont  des 
sommes  de  termes,  chacun  de  ces  termes  est  le  quotient  d'une  fonction  ration- 
nelle des  i-  et  de  'j>/,('ji/,  étant  une  des  racines  de  l'équation  de  Rilling)  par  une 
puissance  de  i  —  e~'''K 

Considérons  maintenant  les  crochets  (X,Xy). 

Quelle  sera  leur  foiine  ".' 

Soit 

Z,  étant  une  fonction  rationnelle  des  r  vl  de  oj,,.  Zjj  une  fonction  rationnelle 
des  r  et  de  'jjj,  '^  ^  une  puissance  néi;ative  de  i  — e~'"«.  \o  une  puissance  néga- 
li\e  de  I  —  e~'"i.  On  trouvera 

'  lU-ii  \  fh-i,  '      '       (717,     / 

Nous  observerons  oue  '-r^  est.  comme  Z,,  une  fonction  r.ilionnelle  des  r  et 

1         th-i, 

de  '.y^\  que  —r^  peut  être  regardée  comme   la  somme  de  deux  termes  égaux, 

chacun  à  un  facteur  constant  prés,  à  une  puissance  négative  de  i  —  e""«;  et 
nous  pourrons  éei'ire 

(Il  ,  \,\/i-  i;i^:iZ:c-,-f^- 

Za'i  étant  une  fonction  rationnelle  des  r,  de  w,  et  de  oip;  ^  ^p  étant  le  produit 
d'une  puissance  négative  de  i  — r-'^apar  une  puissance  négative  de  i  — e~"V. 
Mais  d'autre  part,  ces  crochets  (\,Xy)  doivent  se  réduire  à  des  combinaisons 
linéaires  des  X*.  Ils  sont  donc  réductibles  à  la  forme 

Z",  étant  une  fonction  rationnelle  des  r  et  d'une  seule  racine  de  l'équation 
de  Killing  '.)...  tandis  que  Y",  est  une  puissance  négative  de  i  — f-"'.-. 

II.  p.  -  m.  '  33 


2J8  OIEI.QIIES    REMARQUES   SUR    LES   GROUPES   CONTINUS. 

Dans  quelles  conditions  une  expression  de  la  forme  (i)  peul-elle  être  réduite 
à  la  forme  (2)  ?  C'est  ce  qu'il  serait  très  intéressant  d'étudier,  car  celte  réduction 
n'est  évidemment  possible  que  s'il  y  a  certaines  relations  entre  li's  racines  to. 

En  égalant  les  expressions  (1)  et  (2)  du  crochet  (X,\y)  on  obtiendra  /■  rela- 
tions de  la  torme 

(3)  iY„3Za?=i:Y:z".. 

On  pourrait  évidemment  dans  ces  relations  (3)  chasser  les  dénominateurs  et 

les  mettre  sous  la  forme 

Il  =  (.. 

n  étant  un  polynôme  entier  par  rapport  aux  r,  aux  dj,  et  aux  exponen- 
tielles e'"».  Mais  une  identité  de  cette  forme,  où  (igurent,  d'une  part  des  fonc- 
tions entières  des  r  et  des  w,  et  d'autre  part  des  fonctions  transcendantes,  ne 
peut  avoir  lieu  que  si  elle  reste  vraie  quand  on  considère  les  exponcn- 
tielles  e^"'  comme  des  variables,  indépendantes  des  i-  et  des  oj. 

Les  relations  (3)  subsistent  donc  quand  ou  y  considère  les  t'^"  comme 
des  variables  indépendantes.  Si  donc  i",  i",  ...,  1"  sont  des  valeurs  parti- 
culières quelconques  des  c;  si  les  valeurs  correspondantes  des  ma  sont  cj"  et 
si  celles  des  ï,'-i  et  Z",  sont  ZJJt)  et  Z".",  on  aura 

Ce  sont  des  relations  linéaires  à  coefiicienls  constants  entre  les  ^  jis  et  les  Y.J.. 
Ce  sont  donc  des  relations  algébriques  entre  les  exponentielles  i'~'''.  On  peut 
obtenir  une  infinité  de  relations  de  cette  forme,  puisque  l'on  peut  donner  aux 
r»  des  valeurs  quelconques;  mais  /• —  /  de  ces  relations  au  plus  peuvent  être 
distinctes  (/•  étant  l'ordre  et  i  le  rang). 

L'élude  de  ces  relations  (3  bis)  pourrait  présenter  quchpie  intérêt:  elle 
pourrait  nous  renseigner  sur  les  relations  qui  peuvent  exister  entre  les  racines 
de  l'équation  de  Killing  et  les  valeurs  que  l'on  peut  attribuer  à  l'ordre  de  mul- 
tiplicité de  chacune  de  ces  racines.  On  peut  <)l)ser\er,  en  effet,  que  si  la 
racine  w-  est  d'ordre  m,  i  —  e'"'-!  figure  au  plus  à  la  puissance  —  m  dans  \.|.,  à 
la  puissance  —  (m+.i)  dans  Y-i,  à  la  puissance  —  (aw-^i)  dans  \-~.  Le 
degré  des  relations  algébriques  (3  his)  se  trouve  donc  limité  quand  l'ordre  de 
multiplicité  de  chaque  racine  est  limité. 

Mais  on  peut  encore  tirer  de  nos  é(piations  (1)  et  (2)  du  paragraphe  111  un 
parti  dillérent.  Soit 


QUELQUES    REMARQUES    SUR    LES    GROUPES   CONTINUS.  239 

Nous  avons  vu  que  l'on  peut  tirer  de  là  les  t  en  fonctions  linéaires  des  dv 
[relations  (i)  du  paragraphe  III |.  Soient 

ces  relations.  Nous  avons  vu  que  les  o,a  sont  des  sommes  de  termes,  chaque 
terme  étant  le  produit  d'une  exponentielle  ^■~''',  ou  de  l'unité,  par  une  fonction 
rationnelle  des  r  et  de  ',>. 
Posons  maintenant  : 

gV-K/V+ÔV  _  pV  gT  gU  _  gV+r/V  pi  . 

les   /,   les   II,   les  (Vf,   les  ôc  sont  supposés   très  petits,   tandis   que    lus   c  sont 
supposés  finis.  Posons  de  même 


d'où 


Nous  aui'an> 
La  formule 


„V^ÔV  _  gV  ,,1'  pV-./V+rjV  _  pV  pL'  ,.  I 

e^  e^  ^  e^'  e^' . 
V  —  T-h(TU)  =  U'-^T'. 

/,=  S  îu(c)rfc/. 

pV+</V+ÔV  _    -,V+r/V    -.1 


nous  montre  qu'il  v  a  entre  les  c  +  di\  les  oi'  et  les  u,  la  même  relation  qu'entre 
les  c,  les  dv  et  les  /;  nous  avons  donc 

Ui  =  S  o,/.(  r  —  </>■  I  ûiV;  =  S  f  ç  ,i  —  1  -^  chA  oc^.. 

D'un  autre  côté,  la  relation 

pV-f-6v  ^^^  gV  pU' 

montre  que  nous  avons  encore  la   même  relation  entre  les  i\  les  oi'  et  les  u' ; 
d'où 

((;.—  1  i,/,  617,. 

Enfin,  l'égalité 

pV+f/V  +  ÔV  _  gV+ôV  pT' 

montre  qu'il  v  a  encore  la  même  relation  entre  les  r-|-ôi',  les  r/c  et  les  <';  d'où 

En  comparant  les  valeurs  des  /  el  des  /  ,  on  trouve 

T- T  =  S1^  or,  (/.■,. \,; 
rtl's 


26o  QUELQUES    REMARQUES    SUR    LES    GROUPES   CONTINUS. 

el  fie  même,  en  comparant  le>  valeur^  des  //  cl  des  n'  : 

I  )"iin  autre  C(it(''  on  a 
(TU)  =  !(  /,//,—  /,/(,)(  X,\/~)  =  ^(rii.  ri.'—  ri'-  r/<  l  <  ^c/ -^r,— <A',  ov/,  |(X,\/). 

Dans  la  sommation  du  dernier  membre,  chacune  des  coml)inaisons  des  deux 
indices  /  et  j.  de  même  d'ailleurs  que  chacune  des  combinaisons  des  deux 
indices  /r  et  5.  ne  doit  (igurer  qu'une  lois. 

Si  maintenant  dans 

(TU)  =  T— T^U— U 

nous  t'oalons  les  coeÛicients  de  fh-^d^y,  il  viendra 


(1) 


^^'(è-fe)  =  -"^'^--^^'^'»^^^^^"- 


(Comparons  les  deux  membres  de  cette  égalité.  Chaque  terme  du  premier 
membre  est  le  produit  d'une  exponentielle  f"'"  par  une  fonction  algébrique 
des  r.  Chaque  lerme  du  second  membre  est  le  produit  de  deux  exponen- 
tielles ('  '•'  el  ('  "'"'  (  provenant,  par  exemple,  l'une  du  facteur  o,a,  l'autre  du  fac- 
leui  o,t)  par  une  foiicliou  algébrique  des  c. 

H  est  clair,  par  exemple,  que  si  w  +  w'  n'est  pas  une  racine,  le  produit  des 
deux  exponentielles  c'"'  et  r  '"'  devra  disparaître  du  second  membre  et  son 
coefficient  être  nul. 

On  peut  donc  encore  entrevoir  là  une  smirce  de  relations  intéressantes.        * 


NOUVELLES    REMARQUES 


SUR 


LES   GROUPES   CONTINUS     ^ 


Rendiconli  del  Circolo  Matematico  cli  Pa/erino,  t.  '25,  (içinS). 


I.   —   Introduction. 

J'ai  déjà  eu  deux  fois  l'occasion  de  présenter  quelques  remarques  sur  les 
groupes  continus,  une  première  fois  à  l'occasion  du  jubilé  de  Sir  Li.  G.  Slokes 
(Cambridge,  University  Press,  1900),  une  seconde  fois  dans  les  Rendiconli  del 
Circolo  Matematico  di  Palermo  (tome  XV  (1901),  p.  32t-368],  ce  sont  ces 
deux  Mémoires  que  je  citerai  plus  loin  simplement  en  disant  «  Cambridge  ■>  ou 
«  Palerme  ».  Je  crois  devoir  compléter  ici  ces  remarques  el  en  particulier 
étudier  les  propriétés  des  équations  différentielles  qui  définissent  ces  groupes 
au  point  de  vue  de  la  théorie  des  fonctions. 

Cette  élude,  à  vrai  dire,  pourrait  se  faire  par  des  procédés  [)uremenl  élé- 
mentaires, puisque  ces  équations  différentielles  sont  susceptibles  d'être  inté- 
grées complètement;  mais  il  n'est  pas  inutile  de  l'al)order  en  parlant  des  équa- 
tions elles-mêmes;  car  la  comparaison  des  résultats  obtenus  de  la  sorte  avec 
ceux  au\(|uels  on  arrive  en  partant  des  intégrales  de  ces  équations,  est  instruc- 
tive par  elle-même;  quelquefois  même,  celte  comparaison  conduit  à  certaines 
apparences  paradoxales,  qui  jettent  quelques  lumières  sur  les  propriétés  géné- 
rales des  groupes  el  qu'il  faut  parfois  quelque  atlention  pour  bien  expliquer. 

Rappelons  d'abord  les  notations  employées  et  les  résultats  obtenus.  Le 
groupe  considéré  dérive  d'un  certain  nombre  de  transformations  infinitési- 
males-; el  l'une  d'elles,  la  ("■""'  par  exemple,  transforme  les  variables 


(')  Prcsenlê  le  10  novembre  1907,  imprimé  le  '.n  noveml^re  190-;. 


'263  NOrVELLES  REMARQUES  SUR  LES  GROUPES  CONTINUS. 

en 

•r,-^  £(X,-,),     .f2^s(X,,) r„— £(\,„). 

c  élanl  une  constante  1res  petite  et  les  X,t  des  fonctions  données  des  s.  Elle 

transforme  donc  la  fonction 

/(j-,.  j:_.  ....  ./■„  ) 

en 

Ainsi  se  trouve  défini  l'opérateur 

XH.A^=;^(X.,)-^/>X,:.-...--^lX,.). 
n.fi  dj:.  flxn 

que  je  désignerai  le  plus  souvent  simplement  par  \,. 

Nous  avons  donc  /•  opérateurs  X, ,  X.,,  .  .  . ,  X,-  correspondant  aux  ;•  transfor- 
mations infinitésimales  du  ^;roupe  et  nous  devons  en  étudier  les  combinaisons. 

Nous  poserons 

Xi. \a.=  .\(\x  (./■)=  X,[Xx.(/)] 

et  X'"  OU   X'"(/')  se   définit  de  la  même  manière.  Il  l'iiul  remarquer  que  cette 

opération    n'est    pas  commiilnlive  et    (|ue    l'on    na    pas    X,X^=XaX,.    Nous 

poserons 

(\,A/,i-  X,\x-\xX,. 

Nt)us  envisagerons  aussi  d'autres  combinaisons  de  ces  opérateurs,  telles  que 

e'^^J-^  ^X(/)+iLx=(./)+.... 

Alors  la  transformation  infinitésimale  correspondant  à  X,  sera 

ce  que  je  puis  écrire  aussi 

on  simplen)ent  r'"',  en  négligeant  le  carré  de  i. 

La  transformation  la  plus  générale  du  groupe  pourra  alors  être  représentée 

par  (?^,  en  posant 

T  =  /,X,-4-...--<,.Xo 

les  I  étant  des  constantes  quelconques.  J'introduirai  d'ailleurs  d'autres  combi- 
naisons linéaires  des  X,-  que  je  désignerai  par 

U  =  S«,X„         V  =  Sr^X,-.  W  =  £«^,X,, 


y 


NOUVELLES    REMARQUES   SUR    LES   GROIPES    CONTINUS.  iCS 

On  doit  a\()ir,  coininr  on  sail,  les  rehitiuiis  d<-  sinictiire 

(X,\<.)  =  2,c,<.,\.- 

les  c  étant  des  constantes;  mais  ces  constantes  ne  peuvent  pas  être  quelconques 
elles  doivent  être  choisies  de  façon  à  satisfaire  aux  relations  de  Jaiobi 

[r\„X6  )N.c]  -  [(,X6X,1\„  1  -  [(XeX„  )Xi]  =  o. 

Nous  aurons  alors,  en  vertu  des  relations  de  struclure, 


ou 


Nous  envisagerons  le  déterminant 


F(Ç)^ 


bu- 


h,.. 


h,.,- 


contenant  l'indéterminée  ;;  l'équalion 

F  (  ?  I  =  (> 

dite  éqwilion  de  KilUnti   a   une   extrême  importance.  jNous  désignerons  les 
mineurs  de  ce  délcrniinanl  par 


P,/. 


On  sail  que,  lorsque  deux  groupes  sont  isomorphes,  l'étude  de  l'un  peut  se 
ramener  à  celle  de  l'autre;  il  suffira  donc,  parmi  tous  les  groupes  qui  ont  même 
structure,  d'en  étudier  un  seul  el  nous  choisirons  celui  que  nous  appellerons 
le  i>iou pe  parainit !■  il fue  et  que  nous  définirons  de  la  façon  suivante  : 

Soil  t'^  la  Mibstilution  générale  du  groupe,  où  \  =lr,\,;  nous  choisirons 
pour  variahles  r,.  iv, i,.  Posons  ensuite 

(où  nous  supposerons  toujours  T  =  i?,X,,  W=:-(V,X.,,  ce  qu'il  sera  inutile 
de  répéter  désormais);  les  w  seront  des  fonctions  des  v  et  des  i,  ou,  en  d'autres 
termes,  la  transformation  ti^  transforme  e^'  en  ('",  c'est-à-dire  les  r  en  iv;  c'est 
le  groupe  ainsi  défini,  à  /•  variables,  que  nous  appelons  le  groupe  paramétrique. 
Nous  avons  donné  le  mojen  de  former  les  équations  diflérentielles  de  ce 
groupe  quand  on  connaît  les  relations  de  structure  ;  soit  en  effet 

«V  ftX  —  «V-+-c/V 


264  NOUVELLES  REMARQUES  SUR  LES  GROUPES  CONTINUS. 

les  ti  étant  très  petits;  nous  aurons  en  faisant  varier  seulement  tf,.  par  exemple 

l'inlégrak'  étant  prise  le  long  d  un  contour  fermé  enveloppant  toute>  les  racines 
de  l'équation  de  Killing.  Si  par  exemple  toutes  ces  racines  sont  simples  et 
qu'elles  s'écrivent  oj,,  oj.j,  ....  oj, .  il  viendra 

f/r,         ^,  to  P,/,i  (0  I 

dt  1^        "  I  —  f-w     Fi  <•)  ) 

la  sommation  s'étendant  .iu\  di\  erses  racines.  L  ne  de  ces  racine>  est  toujours 
nulle;  si  elle  est  multiple,  Ic'-  autres  racines  étant  simples,  on  a 

,   .  "'•■,  .  ..  <«  l'î<(C)) 

(    I    lus   )  -;—     =     A      --    i     -p; 1 

l(ll.  1   —  C-<"       V  (  !•)  ) 

la  sommation  élant  étendue  telle  lois  aux  racines  diflérentps  de  zéro  el  A  repré- 
sentant le  coeflieient  de  -  dans  le  développement  de  la  fonction  sous  le  signe  / 

sui\ant  les  puissances  croissantes  de  l. 

Outre  le  groupe  parametri(|uc.  nous  considérerons  le  groujie  ad  joint.  A  la 

transformation 

«v  gï  ^  e« 

du  grou|)e  paramétrique  qui  change  V  en  \V,  nous  ferons  correspondre   une 

substitution  (pie  nous  appellerons  son  ailjdinic.    (|ui  sera  définie  ])ar  l'étjua- 

tioii 

e-i  e^  ('ï  =  <'i 

el  (pii  eliaiige  \    eu  l   ,  e"est-à-dire  e,,  t\, e,  en  h,,  h^.   •  .  .,  "/ .  Ces  suljs- 

litulions  adjointes  formenl  le  groupe  ad|oinl. 

On  sait  <pie  les  substitutions  du  groupe  adjoini  xml  linéaires,  c'est-à-dire 
ipii'  le>  a  soni  des  fondions  linéaires  des  r,  el  nous  avons  donné  [Païenne, 
p.  l^i  et  .)2()  (')l  le  moyen  de  former  les  coefficients  lu,  de  ces  substilutions 
linéaires. 

Il  y  a  isomorphismc  du  groupe  adjoint  et  du  groupe  paramétrique,  mais  cet 
isomorpbisme  n'est  pas  toujours  iioloédri(pie  el  l'on  doit  distinguer  deux  caté- 
gories de  groupes.  Ceux  de  hi  |ireiiiiére  catégorie  ne  eontienneni  pas  de  trans- 
formations distini(uè('s.,  c'est-à-dire  de  transformations  infinitésimales  |)crmu- 
tables   à    toutes    les    transformations    du    groupe;    l'isomorphisme    est    alors 

I  ')  Œuvres    de  II.  Poinraré,  ce  tome,  p.  216  cl  318. 


NOUVKLLES  REMARQUES  SUR  LES  UKOl  PES  CONTINUS.  265 

holoédrique.  Ceux  de  la  deuxième  catégorie  contiennent  des  transformations 
distinguées;  l'isomorphisme  est  alors  mériédrique,  car  chacune  de  ces  trans- 
formations distinguées  a  pour  adjointe  la  siibslilulion  identique. 
Si  l'on  a 

lies  \,  étant  les  opérateurs  simples),  V  sera  ce  que  nous  ap|ieller(ins  un  opè- 
raU'iir  composé  du  groupe.  Mais  à  chaque  opérateur  correspondront  ce  que 
nous  appellerons  des  opérateurs  ro/i  /us,'Hrs  de  \  .  Si  w  est  une  racine  simple, 
il  y  aura  un  opérateur  T  tel  que 

{■!)  (\Tj  =  wT; 

i-e  sera  un  opéra/eur  coiij ii^'ué  du  pre/niei-  onlre  appartenant  à  la  racine  ',i; 
si  celte  racine  est  simple,  cet  opérateur  est  entièrement  déterminé  à  un  facteur 
constant  prés. 

Si  la  racine  est  double,  par  exemjjle,  il  existe  toujours  au  moins  un  opéra- 
teur conjugué  du  premier  ordre,  mais  il  pourra  exister  également  un  opérateur 
coiijii i; né  du  secoiul  ordre  Tj  appartenant  à  la  racine  oj  et  tel  que 

(■î  bis)  I  \  T.j  I  —  mT.,—  t. 

Alors  cet  opérateur  n'est  pas  entièrement  déterminé,  puisqu'une  comijinaison 
linéaire  quelconque  de  T_.  et  de  T  satisferait  également  à  l'équation  (a  bis): 
mais  nous  ne  regarderons  pas  une  pareille  combinaison  comme  un  opérateur 
conjugué  du  second  ordre  distinct  de  Tj.  Nous  diions  cpie  T  est  le  dérivé 
de  T.. 

C'est  là  le  cas  général:  il  jieut  arriver  également,  si  w  est  racine  doidtlr,  qu'il 
n'j  ait  pas  d'opérateur  conjugué  du  second  ordre,  mais  deux  o|icrateiirs  conju- 
gués du  premier  ordre  distincts  T  et  T  ;  il  esl  claii'  alors  que  loiile  comijinaison 
linéaire  de  T  et  de  T'  satisfait  à  ré([uation  (2). 

Si  'j>  est  racine  triple,  il  peut  y  avoir  un  opérateur  conjugué  du  premiei- 
ordre  T,  un  du  second  ordre  Tj  et  un  du  troisième  ordre  T3  tel  que 

(  VÏ3)  =  wT:,-^  T,. 

Il  peut  y  avoir  aussi  deux  o[)éraleurs  conjugués  du  |)remier  ordre  et  un  du 
second  ordre,  ou  bien  encore  trois  du  premier  ordre.  Et  ainsi  de  suite. 

Si  les  opérateurs  conjugués  appartenant  à  une  racine  sont  tous  du  premier- 
ordre,  nous  dirons  que  cette  racine,  (juoiqiie  multiple,  se  coin/iorte  comme 
une  racine  simple. 

H.  P.  -  itl.  1', 


l66  NOUVELLES    REMARQUES    SUR    LES    GROUPES   CONTINUS. 

Remarquons  que  V  esl  un  de  ses  propres  opérateurs  conjugués  du  ])reniier 
ordre,  appartenant  à  la  racine  zéro. 

Tout  cela  peut  s'exprimer  dans  un  langage  géométrique.  Considérons 
ii,  l'a,  ....  r,-  comme  les  coordonnées  d'un  point  dans  l'espace  à  /■  dimen- 
sions;   1  équation 

F(i)  =  o. 

où  ;  a  été  remplacé  par  i,  représentera  une  surface  algébrique  que  i'a|)pellerai 
la  sulfate  de  Killiiiî;-.  Cette  surface  est  susceptible  d'être  engendrée  de  plu- 
sieurs manières  par  des  droites,  ou  par  des  variétés  planes  à  plus  d'une  dimen- 
sion. ^ 

L'étude  détaillée  de  celte  génération  ne  serait  pas  sans  inlérêl. 

Quoi  qu'il  en  soit,  à  tout  point  M  de  celte  surface  correspond  ini  opérateur  ^' 
pour  lequel  l'une  des  racines  de  l'équation  de  Killing  est  égale  à  i .  Si  nous 
envisageons  un  opérateur  T,  conjugué  du  premier  ordre  de  \  ,  à  cet  o|)érateur 
correspondra  un  point;  si  nous  le  joignons  à  l'origine,  nous  aurons  une 
droite  D,.  cpii  sera  l'une  des  droites  conjuguées  du  premier  ordre  du  point  M. 
Soient  Tj  un  opérateur  conjugué  du  second  oidre  et  T,  son  dérivé:  le  |dan  à 
deux  dimensions  qui  passe  par  l'origine  et  par  les  |)oints  correspondant  à  Tj 
et  T'i  sera  un  plan  conjugue'  du  second  ordre  du  point  M;  et  ainsi  de  suite. 

Si  1  esl  racine  simple,  la  droite  conjuguée  correspondant  à  la  racine  i  sera 
la  droite  con fii^iii'i'  /)iinrif)alr  de  Met  le  plan  à  /•  —  i  dimensions  qui  passe 
par  toutes  les  autres  droites  ou  plans  conjugués  sera  le  /i/nii  eonjugiiè  /u  i/i- 
cipal  i\v  M. 

Nous  ap])ellerons  série  régulière  d'opéra  leurs  cdii /lignes,  une  suite  d'opé- 
rateurs conjugués 

T,.     T. T„, 

!h  premier  du    [iremicr  didre,  le  second  du  secon<l.   .  .  .  ,  le  /?"""  du  /("  ""  ordre, 

et  tels  que  1  on  ait 

(VT,  1  =  i.)T,.         (NT.)  :^  ojT,  -/,,T,.         (\-T;,  )  =  i.)T;.+  /.,T,-^/..T| 

(VT„)  =  wT„  -  XiT„_i  T-  /..T„_. --.  .  .       /.„_,T,  ; 

les  constantes  w,  >.,,  1-,,  ■  •  ■•  ^n^i  doivent  élre  les  mêmes  dans  toutes  les  équa- 
tions de  la  série,  mais  sont  d'ailleurs  quelconques;  nous  n'excluons  pas  le  cas 
de  X,=  o  quel  que  soit  /;  seulement  dans  ce  cas  particulier  tous  les  opérateurs 
sont  du  premier  ordre. 

Deux  transformations  p^  et  e"*"  auront  alors  une  série  régulière  commune 

T,.     T^.     ...,     T„ 


NOOVKLLES    BEMARQUES   SUR    LES   GROUPES    rO.NTINl  S.  a()7 

si  l'on  a 

(VT,i  =  toT,.     (\-T,  1  =  0)  T.->.,T, (VT„)  =  c.  T„-->.|T„^, -...->.„_,  T,: 

(V'T,)  =  <'.'T,.     (VT,i  =  co'T,-).',T, (V'T„)  =  oi'T„- À',  T„_, -...-/,;,_, T,; 

les  constantes  'j.  À  et  '.l'.À'  peuvent  (railleurs  être  dlfFércntes  pour\  el  pour  V, 
mais  les  opérateurs  T,,  T^,  .  .  . ,  T„  sont  les  mêmes  pour  V  et  pour  \  '. 

Cela  posé,  la  condition  néccssain'  cl  suffisanlr  iioiir  ijiw  les  atljoinlcs 
de  e"  et  e*'  soient  perniutah/es,  c'csl  (jue  \  cl  \'  adnwtlcnl  un  certain 
nombre  de  séries  régulières  cutnniii nés ,  conijiycnanl  l'iiscinhlc  r  ojiéralciirs 
indépendants,  si  r  est  l'ordre  ilii  grimpe. 

Ainsi,  si  le  groupe  est,  par  exemple,  du  sixième  ordre  et  si  \  el  \  admellent 
une  série  régulière  commune  de  trois  opérateurs,  une  seconde  série  régulière 
commune  de  deux  opérateurs  et  une  troisième  série  régulière  commune 
formée  d'un  seul  opérateur  du  premier  ordre,  e^  et  ^',  seront  permutables. 

Plus  généralement,  je  dirai  qu'une  substitution  linéaire  quelconque  admet 
une  série  régulière  s'il  existe  n  combinaisons  linéaires  des  n  variables  indépen- 
dantes, combinaisons  que  j  a])pelle 

Je    y-- yn- 

qu'elle  change  respectivement  en 

(■)K|.      OK;—  Àl.>'i-      '^y.:  --''•\  y  ■<  —  ''■'_. V\ (■))•„—  Xir,,-,  —  ...— "/.„-i,r,. 

Alors  la  condition  nécessaire  et  suffisante  pour  que  deux  substitutions 
linéaires  soient  permutables,  c'est  quelles  admettent  des  séries  régulières  com- 
munes comprenant  ensemble  autant  de  combinaisons  linéaires  >•  indépendantes 
qu'il  y  a  de  variables. 

II.  —  Non-uniformité  des  fonctions. 

Soit 
(i)  eUfW=pV. 

les  i'  seront  des  fonctions  des  u  et  dos  w  el  notre  but  principal  est  d'étudier  ces 
fonctions  au  point  de  vue  de  la  théorie  générale  des  fonctions.  La  première 
remarque  que  nous  devons  faire,  c'est  que  ces  fonctions  ne  sont  pas  en  général 
uniformes.  Si  partant  de  certaines  valeurs  initiales  des  u  et  des  ir,  et  des 
valeurs  correspondantes  des  c,  on   fait   décrire  aux  //  et  aux  a-  des  contours 


■268  NOUVELLES    REMARQUES   SUR    LES    GROUPES    CONTINUS. 

fermés,  il  est  possible  que  les  valeurs  finales  des  r  ne  soient  pas  identiques  à 
leurs  valeurs  initiales. 

Si  j'envisage  au  contraire  l'équatidii 


f-"  e'-  (■"  =  (• 


qui  définit  le  gioupe  adjoint,  je  vois  que  les  c  sont  des  fonctions  uniformes 
•les  «  et  des  iv.  .Si  donc  on  pose 


f>  A  f^    ^  '     ' — '    f 


si  l'on  fait  décrire  à  A,  U  et  B  des  contours  fermés;  si  l'on  a  au  début  et  à  la  fin 

de  ce  contour 

—  A  =  B  =  W  . 

ou  sera  cerlaui  que  \   reviendra  à  sa  valeur  primitive,  si  Ion  a  eu  cun.stam- 

niint 

A-— B. 

Mais  on  n'en  sera  plus  certain,  si  cette  relation  n  a  lieu  qu'au  début  et  à  la  fin 
du  contour,  et  ne  s'est  pas  maintenue  constamment  sur  tout  le  contour. 

De  ce  défaut  d'uniformité  peuvent  résulter  certaines  particularités  déconcer- 
tantes au  premiei'  abord;  on  est  tenté  d'écrire 


et  en  effet  on  est  souvent  l'n  droit  dr  le  faire,  mais  |)as  toujours.  .Supposons  que 

l'on  envisage 

,,1  ,.\\ 

([ue  U  et  \V .  parlant  par  exemple  de  la  valeur  initiale  zéro,  suivent  un  cliemin 
quelconque,  à  la  fin  duquel  on  ait 

l   =  V.         \V  =— \, 

on  ne  sera  |)as  certain  que  r"  r^^  tendra  vers  i  {cf.  l^alerme,  p.  ^^37)  \  '  ). 

La  fonction  c^  c^^  n'étant  pas  uniforme,  i  est  l'une  des  valeurs  qu'elle  prend 
pour  U  =  V,  W  =  —  \  .  mais  ce  n'est  j)as  la  seule. 

Aiilri'  cii-niiilc  :  Supposons  (jue  la  substitution   \  „  soit  permutable  à  Uq, 
c'est-à-dire  (jue  l'on  ail 

(3)  e-v,  gt.eV„=  pl,,. 

(')  Œuvres  de  11.  I'i>incaré,  ce  tome.  p.    jjo. 


NOUVELLES    REMAnQlIES    SUR    LES    (JBOUPES    CONTINUS.  269 

A-t-oii  le  droil  ti'en  déduire 

c'est-à-dire  que  Ll„  est  permiilnlili'  à  \  „? 
Ecrivons 

1  i  his  )  < — ^  '  1'^  1'^  =  e^' . 

d'où  nous  déduirons 

(  ,'(  bis  I  ('~^  e^'  e^'  =  e^  . 

Si  nous  fnisons  varier  Ll,  V.  U'  et  V  d'une  manière  continue,  en  parlant  do 
zéro,  ot  suivant  un  chemin  quelconque,  mais  de  telle  façon  que  la  relation 
(.5  Ijix)  soit  toujours  remplie,  la  lelatioii  ( /j  l/is)  sera  aussi  toujours  remplie. 

Que  signifie  maintenant  la  relation  (3)?  Elle  signifie  que  si  l'on  a  sur  le 
chemin  constamment  \  =  V,  et  que  les  valeurs  finales  de  U,  \  et  \  '  soient  Vo. 
\  Il  et  V,,,  la  valeur  finale  de  U'  (qui  est  entièrement  délerminée  |>uisque  le 
groupe  adjoint  est  défini  par  des  fonctions  uniformes)  sera  L,,. 

Que  signifierait  maintenant  la  relation  (4)"^  Ce  serait  que.  si  Ion  a  sur  le 
i-hemin  constamment  U  =  U'.  les  valeurs  finales  de  U,  V,  L  '  étant  l^o,  Vo,  Un 
la  valeur  finale  de  \  sera  Vo.  Ce  n'esl  pus  tout  à  fait  la  même  chose,  puisque 
dans  un  cas  le  chemin  doit  être  choisi  de  telle  façon  que  l'on  ait  cimslamment 
\  =  V,  et  dans  l'autre  cas  de  telle  façon  que  l'on  ait  constamment  L'  =Li'.  On 
ne  pourra  donc  sans  un  examen  spécial  déduire  (4)  de  (.3). 

Si  toutefois  l'on  avait,  quelles  que  soient  les  indéterminées  tx  el  j3, 

oç  aurait  le  droit  d'en  déduire 

( \  1er  )  p— 3ii:„  f.|'l\„  ,»al„—  ^Ilv,, 

car  on  pourrait  faire  varier  s;  et  |3  depuis  o  jusqu'à  i  el  l'on  auiait  alors,  tuiil  le 
long  du  chemin,  dune  |)art 

et  d'autre  pari 

U  =  U'=  2U„. 

C'est  ce  qui  ari'ive  loisque  deux  transformai  ions  infinitésimales  sont  permu- 
lahies. 

Nous  avons  vu  dans  le  Mémoire  de  Palerme  que  si  dans  l'équation  (i)  les 
inconnues  r  (ou,  ce  qui  revient  au  même,  l'opérateur  V,  ou  la  transformation  e^) 
sont  susceptibles  de  plusieurs  déteiminations,  les  différentes  déterminations  de 


■270  NOUVELLES    REMARQUES   SUR    LES   GROUPES    CONTINUS. 

la  transformation  e^  ont  même  adjointe.  En  d'autres  termes,  si  \  '  et  \"  sont 
deux  déterminations  de  l'opérateur  \  ,  les  opérateurs  conjugués  des  divers 
ordres  de  \''  et  V"  sont  les  mêmes;  e.l  les  racines  correspondantes  de  l'équa- 
tion de  Kiliing  sont  les  mêmes  à  des  multiples  près  de  2n\/ — i.  D'où  cette 
conséquence  fort  importante,  que  si  e^  et  ('^  sont  deux  détei'minations  de  c'^ , 
les  deux  transformations  e*^'  et  e^'^"  sont  permutables  quel/es  que  soient  les 
constantes  x  et  |3,  pouri-u  toutefois  que  le  groupe  soit  de  la  première  catè- 
sorie,  c'est-à-dire  ne  contienne  pas  de  transformations  dist ifiguées. 

Dans  ce  cas,  en  eflet,  il  suffit  (puisque  l'isomorphisme  des  deux  groupes, 
adjoint  et  paramétrique,  est  holoédrique)  de  montrer  que  les  deux  adjointes  de 
e'^^"  et  (^1^^    sont  permutables. 

Or,  ^  et  V  ont  mêmes  racines  de  Kiliing  et  mêmes  opérateurs  conjugués; 
elles  difTèrent  seulement  parce  qu'une  racine  de  Kiliing,  qui  correspond  dans  \ 
à  uneicerlaine  série  régulière  d'opérateurs  conjugués  s'étant  échangée  avec  une 
autre  racine,  correspondra  d.ins  \  à  une  autre  série  régulière  d'opérateurs 
conjugués. 

Donc  V  et  \  '  auront  toutes  leurs  séries  régulières  communes.  Donc  les 
adjointes  f'^^  el  e'^^^'  et  ces  transformations  elles-mêmes  sont  permutniiles. 


III.  —  Transformations  spéciales. 

Cela  posé,  faisons  varier  dans  l'équation  (i)  U  el  \\  d'une  manière  continue, 
de  façon  que  \  varie  aussi  d'une  manière  continue:  soient  L^,  W,,.  \«  les 
valeurs  initiales  de  U,  \\  ,  \  :  supposons  que  L  et  W  décrivent  un  contour 
fermé  C  de  façon  à  revenir  à  leurs  valeurs  initiales  Lo  et  W„.  mais  (|ue  \  ait 
pour  valeur  finale  une  autre  détermination  \  „. 

Considérons  un  clieniin  L  sui\i  par  L  et  \\  el  allant  de  L '  =  W  =  o  à 
U=Uo,  W  =  \V|,;  parcourons  ce  chemin  de  façon  que  la  valeui-  de  \  qui 
correspond  à  L^  =  Lo,  W  =  W»  soit  \  =  \  „  et  supposons  que  la  valeur  de  \ 
(|ui  correspond  à  U  =  W  ^  o  soit  \  =  o. 

Supposons  maintenant  que  l'on  suive  h-  même  chemin  L  en  partant  de 
U  =  U„,  W  =  Wo  avec  la  valeur  \  =V|,.  On  n'arrivera  pas  à  U  =  W  =  o 
avec  la  valeur  \  =  o;  sans  quoi,  en  revenant  à  U  =  Llo,  W  =  W„  par  le  même 
chemin,  on  v  arriverait  avec  la  valeur  V=  \  »  et  non  avec  la  valeur  \  =  \  „. 
Donc,  s'il  y  a  plusieurs  valeurs  distinctes  pour  V  quand  elle  est  définie  par 
l'équation  il),   il    v  en   aura    plusieurs  également  quand   on  fei'a    l'  =  W  =  i); 


NOIVELLES   REMARQIES    SIR    LES    GROIPES    i:ONTINUS.  ->7I 

l'une  de  ces  valeurs  sera  \  =  o,  mais  il  _v  en  aura  d'autres  el  généralement  une 
infinité. 

Les  transformaticin?  f^  qui  sont  ainsi  les  diverses  soluliims  de  l'équalion 

^0  f>i)  ^  (>V 

s'a|)pellent  les  trinisjoi-iitulidiis  spi-cidlcs  (Palerme,  p.  353)  (');  elles  sont 
caractérisées  par  ce  fait  (pie  leur  adjointe  est  la  substitution  identique. 

Nous  p<iuvons  tout  de  suite  en  donner  un  exemple  simple.  Envisageons  le 
groupe  des  rotations;  on  a  (Palerme,  p.  332  )  (-) 

3!,  3,  ■/  étiint  les  cosinus  directeurs  de  l'axe  de  rotation  et  a  5  l'angle  de  rotation. 
Les  transformations  spéciales  correspondent  aux  rotations  diml  l'angle  est 
mulliple  de  a-,  et  sont  caractérisées  par 

D'après  ce  qui  précède,  ou  bien  il  y  a  des  transformations  spéciales,  ou  bien 
les  i-  sont  fonctions  uniformes  des  u  et  des  n-  (ce  qui  arri\e  par  exemple  dans 
le  cas  des  groupes  de  rang  zéro). 

Il  peut  se  faire  également  qu'il  existe  des  transformations  qui,  sans  être  spé- 
ciales au  sens  propre  du  mol  (c'esl-à-dire  susceptibles  de  s'échanger  avec  <■" 
quand  L  et  W  décrivent  des  contours  fermés)  ont  néanmoins  |)our  adjointe  la 
substitution  identique.  .Je  les  appellerai  quasi  f/ii'ciales^ 

Il  importe  de  remarquer  que  ces  transformations  quasi  spéciales  jouissent  de 
quelques-unes  des  plus  importantes  propriétés  des  transformations  spéciales. 
.Si,  par  exemple,  <?*  est  spéciale  ou  quasi  spéciale  et  qu'on  jiosc 

gl   g.\  _  pV 

f'  et  p^  auront  même  adjointe:  les  racines  de  l'équation  de  Killing  seront  les 
mêmes  à  des  mulli|)les  près  de  2  7:\  —  i  ;  ces  multiples  de\Mnt  demeurer  cons- 
tants quand  U  varie  d'une  manière  continue,  ne  pourront  être  autre  chose  que 
les  racines  de  c^  (Palerme,  p.  358)  (  '  ).  Donc,  chaque  racine  de  e^  sera  égale  à  la 
racine  correspondante  de  i'^ .  plus  la  racine  correspondante  de  e*.  laquelle  sr'ra 
un  multiple  de  a77\  — •  i. 

Ce  n'est  pas  tout.  Les  deux  transformations  <?'  et  e^  ayant  même  adjointe,  on 

(')  Œuvres  de  H.  Poincaré,  ce  tomt-,  p.  24''- 
!"■)  Œuvres  de  H.  Poincaié,  ce  tome,  p.  a>'|. 
I-)  Œuvres  de  H.   Puiararr,  ce  Inine,  p.   .''(7. 


>7'  N'OUVELLKS    REMARQUES   SUR    LES    GROUPES    CONTINUS. 

verrait  comme  plus  haut  que,  quelles  que  soient  les  conslantos  a.  el  (3,  f'*"  et  e^^' 

(ou  au   moins  lours  adjointes  si  le  j2;roupe  est  de   seconde  catégorie,  cas  sur 

lequel  je  me  réserve  de  revenir  plus  loin)  sont  permutables. 

Soit  iilors 

r-v.     ,.A= ,.A„ 

une  suite  de  transformations  spéciales  ou  quasi  spéciales  el  posons 

on  vrrrail,  toujours  pour  les  mêmes  raisons,  que  les  diverses  transformations 


sont  permutables  entre  elles,  quelles  que  soient  les  constantes  a  et  |3,  ;  l'ensemble 

des  transformations 

gar  -  Sfi,  V, 

forme  un  sous-groupe  continu  dont  toutes  les  transformations  sont  permu- 
tables. .Si  la  /,'*■""■  racine  de  l'équation  de  Killing  est  lo/;  pour  c^ ^  et  7,/i  pour  c^', 
elle  sera,  pour  la  transfornuuion  précédente, 

(c/.  l'aliTiue,  p.  .').")()  in  Jlnr)  (  '  ). 

(^.omparons  le  résultat  précrdenl  à  d'autres  qui  ont  été  obtenus  par  d'autres 
voies  et  poui'  cela  reportons-nous  à  la  Thèse  de  Cartan  (Paris,  Nony,  i894). 
Nous  voyons  qu'il  y  définit  un  certain  sous-groupe  y.  et  que,  dans  les  groupes 
simples  en  particulier,  toutes  les  transformations  de  ce  sous-groupe  sont  per- 
mutables. Soient  maintenant  deu\  opérateurs  \,  et  X^.  appartenant  respective- 
ment par  rapport  au  sous-groupe  y  à  deux  racines  égales  et  de  signe  contraire.  '>>x 
et  —  ',\rj,.  l'iirmoiis  le  crochet 

Cartan  démonti'e(p.  /ja)  cpie  pour  ^  ^^  les  racines  de  l'équation  de  Killing  ont 
leurs  rapports  commensurables.  Il  en  résulte  que  l'on  peut  choisir  le  coeffi- 
cient Aj  de  façon  que  [)Our  e'«-''"  toutes  les  racines  de  Killing  soient  des  mul- 
tiples de  2r\/ —  I,  et  comme  d'ailleurs  elles  se  comportent  conime  des  racines 
simples,  il  en  résulte  que  r'"^-  sera  spéciale  ou  (piasi  spéciale. 

I.e  sous-groupe  y  contient  donc  <les  Iransfoiinalions  S|)éciales  e*',  r'^'.  ...,  ('^'^ 

(')  Œin'res  de  II.  Pciimaié,  rr  tome,  p.   ''m. 


NOUVELLES   REMARQUES   SUB    LES   GROLPES   CONTINIS.  îy'i 

et  la  transformation  la  plus  géaérak'  di'  /  peut  s'écrire 

Comme  d'ailleurs  Carlaii  inuntri'  encore  que  les  racines  de  Téquation  de 
Rilling  dans  ce  sous-f;roupe  sont  des  fonctions  linéaires  des  p,  on  aperçoit 
l'identité  foncière  du  résultat  dr  Killing-Cartan  n\  er  celui  que  je  viens  d'obtenir 
par  une  voie  toute  difterente. 

Si  ('^  est  une  transformation  spéciale,  <-'('*  sera  une  autre  détermination  de  e^  : 
on  aura  d'ailleurs 


,-i 


gA   —    f,i    ,,l 


et 


\,,i  ,,\=  pi\ 


c'est-à-dire  que  e^  sera  permutable  à  c'';  cela  résulte  de  ce  que  l'adjointe  de  e^ 
est  la  substitution  identique,  mais  on  n'aurait  pas  le  droit  d'en  conclure,  ainsi 
que  nous  l'avons  remarqué  plus  liaiil, 

^.-L  ,,A  ,,v  ^  p.\ 

Prenons  pour  exemple  le  groupe  des  rotations,  et  représentons  chaque  rota- 
tion par  un  vecteur  avant  ])our  composantes  r,,  i^,  i;,.  Le  vecteur  i'~-^e^t'^ 
s'obtiendra  en  faisant  subir  au  vecteur  e*-  la  rotation  r.'\  et  comme  l'angle  de 
cette  rotation  est  un  multiple  de  '>r..  ce  vecteur  ne  changera  pas.  Au  contraire, 
le  vectem- e^*^  e^e'  s'obtiendra  en  faisant  subir  au  vecteur  r*  la  rotation  c'  qui 
altère  la  direction  de  ce  vecteur.  Donc  c^  e^<'^  et  e*  sont  deux  rotations  d'un 
même  angle,  multiple  de  2-,  mais  autour  d'axes  différents. 

Terminons  par  une  remarque  sur  le  sens  du  mot  isomorpliisme.  Nous  avons 
dit  que  les  groupes  paramétrique  et  adjoint  sont  holoèdrùjueiuenl  isomorphes, 
dans  le  cas  des  groupes  de  la  première  catégorie.  Cela  n'est  pas  exact  en  un 
sens,  puisque  le  groupe  paraméti-ique  contient  des  transformations  spéciales 
auxquelles  correspond  dans  le  groujte  adjoint  la  substitution  identique.  Cela  est 
exact  seulement  si  l'on  se  borne  à  envisager  les  transformations  injinitési- 
maies,  et  c'est  dans  ce  sens  que  nous  emploierons  ce  mot  d'ordinaire. 

IV.  —  Transformations  singulières. 

Reprenons  l'équation  e*^  c'^'^  :=  e'' ,  faisons  décrire  à  l    et  à   \\    un  contour 
fermé  de  telle  façon  que  \   ne  revienne  pas  à  sa  valeur  initiale.  Comme  les  «  et 
les  (V  sont  2/'  variables  indépendantes,  le   contour   feimé  décrit  par  1    et   \\ 
H.  P.  -  Itl.  ;, 


'•74  NOUVELLES  REMARQUES  SUR  LES  GROUPES  CONTINUS. 

pourra  se  décomposer  en  contours  fermés  infiniment  petits  (ce  qui  n'aurait  pas 
lieu,  par  exemple,  si  l'on  avait  deux  variables  x  et  y  non  indépendantes,  liées 
par  une  relation  algébrique,  de  telle  façon  que  le  point  analytique  r,  >•  soit 
assujetti  à  rester  sur  une  surface  de  Riemann  non  simplement  connexe).  Pour 
l'un  au  moins  de  ces  contours  infiniment  pelit>,  \  ne  re\iendra  pas  à  sa  valeur 
initiale,  la  transformation  correspondante  e^  s'appellera  une  traiisforniation 
stiifiiilicre,  de  sorte  que  les  diverses  déterniinalions  de  e^  s'échangent  entre 
elles  quand  on  tourne  autour  d'une  tran^formation  singulière. 

On  peut  voir  (Païenne,  p.  .'"ia^  à  33o.  338  à  34o)  (')  qu'il  y  a  trois  espèces 
de  transformations  singulières  (cette  classification  est  la  même,  en  principe, 
que  dans  le  Mémoire  de  Palerme,  mais  les  dénominations  .sont  modifiées)  : 

i"  Les  transformations  singulières  de  la  /ncni/ère  esjièce  sont  celles  dont 
l'adjointe  a  son  déterminant  nul.  l'our  (|ue  e^  soit  singulière  de  première  espèce, 
il  faut  que  l'une  des  transformations  e^ ,  e"  soit  singulière  de  première  espèce. 
Comme  nous  supposerons  en  général  que  f' ,  e^*  sont  régulières,  les  transfor- 
mations singulières  de  première  espèce  n'auront  pas  à  intervenir. 

2"  Les  transformations  singulières  de  la  dei(xième  espèce  sont  celles  pour 
lesquelles  deux  racines  de  l'équation  de  Rilling  diffèrent  d'un  multiple  de 
27r\/ — 1  ;  il  en  résulte  que,  dans  l'éqiialion  déterminante  de  l'adjointe,  les 
deux  racines  correspondantes  deviennent  égales,  mais  elles  se  eotnjiurlent 
comme  deux  r/iei/ies  ilisi iinles.  Dans  ces  conditions,  les  valeurs  des  r  sont 
des  fonctions  indèlei  minées  des  coefficients  /  de  l'adjointe.  Ce  sont  également 
des  fonctions  indéterminées  des  ii  et  des  ec.  Si  nous  prenons  |)0ur  exemple  le 
groupe  des  rotations,  une  rotation  d'un  angle  a-  autour  d'un  axe  quelconcpie 
(qui  est  en  même  temps  une  transformation  spéciale)  sera  une  transformation 
singulière  de  deuxième  espèce.  (Jii  voit  en  efl'et  que  l'adjointe  se  réduit  à  la 
substitution  identique,  de  sorte  que  l'on  trouve 

Cf.,  (3,  y  étant  trois  cosinus  directeurs  assujettis  seulement  à  la  condition 

ïï— [iî— ■;==  I, 
mais  d'ailleurs  indéterminés. 

3"  Les  transformations  singulières  de  la  troisième  espèce  sont,  comme  celles 
de  la  seconde,  telles  que  deux  racines  de  l'équation  de  Killing  diffèrent  d'un 

(')  (Hùn'ies  de  II.  t'oincaié,  ce  loiiii;,   |).   09  à  -2"..   fi}  à    'it. 


NOUVELI.KS    REMARQUES   SLR    LES    GIIOLPES   CONTINUS.  '.■^5 

multiple  de  2-^  —  i,  et  par  conséquent  que  deux  lacines  de  l'équation  déter- 
minante de  l'adjointe  soient  égales.  Seulement  ces  deux  racines  égales  ne  se 
compovient  pas  comme  deux  racines  dislincles,  et  l'adjointe  devient  une 
substitution  Vméah-ii  /larabolir/ite.  Dans  ces  conditions,  si  nous  regardons  les  i- 
comme  des  fondions  des  (/  et  des  i\',  ces  fonctions  deviennent  infinies  et  ncjn 
pns  indéterminées. 

^^ous  emprunterons  encore  notre  exemple  au  groupe  des  rotations. 
Supposons  que  e^  soit  une  rotation  imaginaire  d'un  angle 


arc  liini; 
autour  de  l'axe  des  ;.  de  telle  façon  (pie 


l'adjointe  sera 


-  nvc  (il nu    - 


i  () 

Il  I 


Supposons  maintenant  que  f"  soil  une  rotation  d'un  angle  2h~-\-  '-  autour 
de  l'axe  des  x^  ayant  pour  adjointe 


> 

<) 

n 

<l 

o 

I 

() 

—  I 

() 

La  résultante  e^  aura  pour  adjointe 


\  — f^ 


L'équalina  déterminante  en  S  ^'éciil 
i  —  S     \  —  ,s       (j 


=  —  (  ^  —  II" 


Elle  a  donc  une  raciiu;  triple,  mais  celte  racine  triple  ne  se  comporte  pas 
comme  trois  racines  simples,  ou  comme  une  racine  simple  et  une  racine  double.. 
Il  faudrait  pour  cela  que  les  mineurs  de  l'équalion  en  S  s'annulassent  tous  à  la 
fois  poui-  S  =  I .  ce  cpii  n'a  pas  lieu. 


276  NOUVELLES    REMARQUES    SUR    LES    GROUPES    CONTINUS. 

L'adjointe  de  c^  est  donc  une  substitution  parabolique.  Quant  aux  racines  de 
l'équation  de  Killing,  elles  doivent  être  l'une  nulle,  les  deux  autres  égales  et  de 
signe  contraire,  ainsi  qu'il  advient  toujours  dans  le  groupe  des  rotations.  Les 
deux  racines  qui  ne  sont  pas  nulles  doivent  être  multiples  de  27: y —  1  ;  le  rai- 
sonnement du  paragraphe  précédent  montre  t[u'elles  dépendent  de  /,  ;  on  peut 
choisir  la  détermination  de  l'arc  tangente,  de  telle  façon  qu'elles  soient  égales 
à  dz  2Â'7r  \/ —  I .  Elles  ne  sont  donc  pas  égales  entre  elles  en  général. 

Or,  si  une  substitution  parabolique  peut  être  une  puissance  d'une  substitu- 
tion linéaire  infinitésimale,  c'est  à  la  condition  que  cette  substitution  infinitési- 
male soit  elle-même  parabolique.  Si  donc  e^  a  piuir  adjointe  une  substitution 
parabolique  de  la  forme  précédente,  il  faut  que  r*^ ,  où  x  est  très  petit,  ait  éga- 
lement son  adjointe  parabolique,  et  par  conséquent  que  l'équation  de  Killing 
ait  ses  trois  racines  égales. 

Cela  est  en  contradiction  avec  ce  que  nous  venons  de  dire  et  la  contradiction 
ne  peut  s'expliquer  que  parce  que  les  c  cessent  d'être  finis. 

Il  reste  à  étudier  de  quelle  façon  les  transformations  s'échangent  entre  elles 
quand  on  tourne  autour  d'une  transformation  singulière;  cette  étude  peut  se 
faire,  soit  en  partant  des  équations  finies  du  groupe,  soit  en  partant  des  équa- 
tions dilTérentielles  et  c'est  précisémeTit  la  comparaison  de  ces  deux  méthodes 
(|ui  est  intéressante. 

■V.  -    Groupes  de  la  seconde  catégorie. 

Plusieurs  des  résultats  précédents  ne  s'appliquent  qu'aux  groupes  de  la  pre- 
mière catégorie,  et  nous  avons  à  voir  maintenant  comment  ils  doivent  être 
modifiés  en  ce  qui  concerne  les  groupes  de  la  seconde  catégorie,  c'est-à-dire 
ceux  f[ui  renferment  des  transformations  distinguées. 

Parmi  les  opérateurs  X,  qui  correspondent  aux  diverses  transformations  infi- 
nitésimales du  groupe,  nous  distinguerons  ceux  qui  correspondent  aux  trans- 
formations distinguées  et  que  nous  appellerons  les  X'',  et  ceux  qui  corres- 
pondent aux  autres  transformations  et  que  nous  appellerons  les  \,  (  Palerme, 
p.  33^)  ('),  et  nous  poserons 

distinguant  ainsi  les  r'  et  les  i '. 

(')  Œuvres  de  II.   l'oincaïc,  ce  lome,  p.  ■nç). 


NorVELLES    REMARQUES   SUR    LUS    GROUPES   CONTINUS.  277 

Nous  voyons  alors  que  les  è,*,  et  par  conséquent  les  P/k  el  !*'(;)  dépendent 
seulement  des  t'  et  pas  des  v",  et  que 

'■"'?> 

se  réduit  à  o  bu  à  -  si  le  second  indice  j  correspond  à  un  des  X",  à  savoir  :  à  o 

si  les  deux  indices  sont  différents  et  à  p  s'ils  sont  égaux  (dans  le  Mémoire  de 

Palernie  il  y  a  eu  une  permutation  d'indices). 
Si  nous  avons  alors 

„\'  <,T  _    „V+r/V 


T  étant  très  petit,  il  viendra  (Palerme,  p.  3.3  i)  (') 

•)-  \ —  i  J         I  —  e-?      l  (ç) 

d'où 

di'i  ^  dr'i 

-=-f  =  o.         ïauf  -~  =  I. 

dt^  dtj 

Cherchons  alors  à  former  les  équations   différentielles  d'où  dépeudenl   les 
relations  de  U.  \A   et  \  ;  nous  avons 

,A^,\V=pV 

ou  (T  élant  très  ])etil) 

pL  eW  gl  -_  gV  pT 

Or,  en  posant 
il  vient 

gl    ,,\V^rAV  _   gV^(/V^ 

ce  qui  délinit  la  relation  dillV-renliello  entre  les  f  et  les  iv,  les  «  restant  cons- 
tants. 

Mais  l'équaliou 

eV+,/v  ^  g>  ,,T 

peut  s'écrire  (Palerme.  p.  33  i)  (') 


"/     R/Sv     ' 


de  sorif  (pie  nos  relali(ins  difrérentielles  peuvent  sécrire  explicitemenl 
Cl  Œuvres  Je  II.  l'uincaré.  ce  tome,  p.  2_'3. 


278  NOIIVELLKS    REMARQUES    SlIK    l-ES   GROUPES   CONTINUS. 

OÙ  P,'^  et  F|  {l)  désignent  ce  que  deviennent  P,y  et  F(;)  quand  on  \  remplace 
le>  !■  par  les  tv.  Je  puis  les  écrire  aussi  sous  la  forme 

Ci'  i,\\„,/nv=i;,\,;r/,v. 

les  \  ,j  étant  des  IVinclions  enliéres  des  r,  et  les  \\  ,,  les  mêmes  fonctions  entières 
des  H-. 

Par  je  ne  sais  quelle  inadvertance,  j'ai  écrit  simplement  (Palerme,  p.  S.rig)  (') 

et  je  voudrais  d  abord  laire  voir  que  la  conclusion  fondamentale  n'est  pas 
altérée. 

Dans  le  cas  des  grou|)es  de  la  seconde  catégorie,  les  \  ,,  ne  dépendent  que 
des  r'   et  le  coefficient  de  /h'-   se   réduit   à   zéro  si  /'  est   diirércnt  de  (',  et  à  i 

si  y  =  /. 

.le  puis  donc  écrire,  si  l'indlcr  /  correspond  à  un  des  i' 
et  si  l'indice  /  correspond  à  un  des  c" 

Dans  l'un  et  l'autre  cas  on  ne  donne  à  l'indice  /  que  les  valeurs  (jui  corres- 
pondent aux  ('. 

Cela  posé,  si  c*  n'est  pas  une  transfonndliuiui'ingulière  (c'est-à-dire  si  son 
adjointe  ne  satisfait  pas  aux  conditions  énoncées  dans  le  paragraphe  précédent 
pour  définir  ces  substitutions  singulières),  les  e'  sont  des  fonctions  Indomorphes 
des  h'  (les  11  étant  regardés  comme  constants).  Si  dans  l'équation  (.'^  ter)  nous 
remplaçons  les  i'  par  leurs  valeurs  en  fondions  des  ir',  les  \"-^  qui  sont  des  fonc- 
tions enliéres  des  v'  deviendronl  des  fonctions  liolomorplies  des  ir';  il  en  sera 

1         •         I       ''''/      1  •  •     .     . 

(le  même  des  -r-.  >  fie  soite  ciuc  le  puis  écrire 

<hv  :  1  .1        1 

les  H/y  étant  des  fonctions  liolomorphes  des  iv';  on  m  cnnclut  (|ue  les  r"  sont 
des  fonctions  liolomorphes  des  n  '  et  des  h';  et  l'on  verrait  de  même,  si  l'on 
faisait  variei-  à  la  fois  les  ti  et  les  ir,  que  les  i  "  sont  des  fonctions  holomorphes 
des  (\ ',  des  n',  des  a"  et  des  //'. 

En  résumé,  si  e^    n'est  pas  singulière,  les  c  sunl  Jonctions  holomorphes 

(')  Œui'ies  de  H.  Poincaïc,  ce  lome.  p.  jii. 


NOUVELLES    REMARQUES   SUR    LES   GROUPES   CONTINUS.  ^79 

di's  II  et  //es  n'.  C'était  là  notre  conclusion  fondamentale  et  elle  subsiste;  en 
revanche  la  formule  (;;)  (Palerme,  p.  •i4o)  (')  où  figurent  les  fonctions 
entières  0,-  est  inexacte. 


VI.  —  Échange  des  déterminations. 

Examinons  maintenant  de  quelle  manière  se  fait  l'échange  des  diverses 
déterminations  des  fonctions  c  quand  on  tourne  autour  d'une  transformation 
singulière  de  la  seconde  espèce.  Ce  qui  caractérise  ces  transformations  c'est, 
comme  nous  l'avons  vu.  que  les  r  sont  des  fonctions  indéterminées  des  ii,  et 
des  n',  ou  bien  encore  des  fonctions  indéterminées  des  coefficients  /  de 
l'adjointe. 

Supposons  par  exemple  que,  pour  une  transformation  singulière  quelconque, 
il  j  ait  trois  racines  de  l'équation  de  Killing  différant  entre  elles  de  multiples 
de  2/7:,  et  deux  autres  racines  différant  entre  elles  de  multiples  de  2171.  L'équa- 
tion déterminante  de  l'adjointe  aura  donc  une  racine  triple  et  une  racine  double 
(se  comportant  comme  des  racines  simple^,  [niisque  la  transformation  est  sin- 
gulière de  seconde  espèce).  Par  un  choix  convenable  des  variables,  cette 
adjointe  peut  donc  être  mise  sous  la  forme 

a  0  1 

(t  a  o     o     4  ) 

o  o  fj      o      o 

o  n  i)      A      n 

Il  II  (I       11       0 

tous  les  coefficients  étant  nuls  sauf  ceux  de  la  diagrmale  principale,  Irois  de  ces 
derniers  étant  égaux  à  a  et  deux  à  b. 

Soit  e^  la  transformation  qui  correspond  à  celte  adjointe. 

Reprenons  la  terminologie  de  la  fin  du  paragraphe  I.  Pour  définir  \  il  finit 
se  donner  d'.ibord  les  racines  de  l'équation  de  Killing;  ici,  tinis  de  ces  racines 
sont  égales  ;i  trois  déterminations  difl'érentes  de  logo;  et  deux,  à  deux  déter- 
minations différentes  de  log6.  Il  faut  se  donner  ensuite  les  o/)i''raleiirs  roiiju- 
giiès  lin  preDiicr  ordre  correspondant  à  ces  diverses  racines.  ]Mais  ici  ces  opé- 
rateurs ne  sont  pas  entièrement  déterminés;  nous  savons  seulement  que  les 


(')  C/Euvres  de  H.  Poincaié,  ce  tome.  p. 


28o  NOUVELLES    REMARQUES    SUR    LES    GROl'PES    CONTINUS. 

trois  premiers  (correspondant  à  logo)  sont  de  la  forme 
et  les  deux  suivants  (correspondant  à  logft)  de  la  forme 

Les  opérateurs  conjugués  n'étant  pas  enlièrement  déterminés,  les  c  ne  le  sont 
pas  davantage,  ce  sont  des  fonctions  indéterminées  des  coefficients  de  l'adjointe 
et  c'est  pour  cette  raison  (  Piilerme,  p.  338)  que  ce  sont  également  des  fonctions 
indéterminées  des  a  et  des  w. 

Une  remarque  aviint  d'aller  |)lus  loin;  l'analyse  précédente  suppose  que  les 
racines  de  l'équation  de  Killing  sont  simples  ou  se  comportent  comme  des 
racines  simples. 

On  verra  plu>  loin  cumiueni  lanalv^e  devrait  être  modifiée  s'il  n'en  élail  pas 
ainsi. 

Envisageons  maintenant,  non  plus  la  transformation  singulière  elle-même, 
mais  une  transformation  très  peu  difTérente.  Dans  ce  cas  l'indétermination  dis- 
paraît. Si  donc  e^'  est  une  transformation  singulière  et  A„  son  adjointe,  A„  ne 
suffira  pas  pour  déterminer  \  „;  mais  si  e^  est  une  transformation  non  singulière 
ayant  pour  adjointe  A,  et  si  nous  faisons  varier  V  et  A  en  les  faisant  tendre  vers 
les  limites  V,,  et  Au,  \  „  sera  déterminé  quand  on  connaîtra  la  suite  des  valeurs 
de  A  et  la  façon  dont  A  a  tendu  vers  Au. 

l^.ir  exemple,  dans  le  groupe  des  rotations,  toute  rolalioii  d'un  angle  27T  a 
pour  adjointe  la  Mibslilution  identique;  la  connaissance  de  cette  adjointe  ne 
détermine  donc  pas  la  rotation,  puiscjue  nous  ignorons  la  direction  de  l'axe  de 
rotation;  mais  si  nous  savons  de  plus  que  celte  rotation  est  la  limite  pour  £  =  o 
d'une  rotation  d'un  angle  2  7:  +  £,  la  rotation  sera  déterminée  puisqu'elle  aura 
|ioiir  axe  hi  limilc  vers  lacpiellc  tend  l'axe  de  la  rotulion  27:-f-c. 

Supposons  (|ue  l'adjointe  A„  soit  représentée  par  le  tableau  (i),une  adjointe  A 
infiniment  peu  difTércnte  s'obtiendra  en  combinant  Aq  avec  une  substitution 
infinitésimale  du  groupe  adjoint.  Cette  substitution  infinitésimale  corres|iondra 
à  la  transformation  infinitésimale  c'  du  groupe  paramétrique  et  s'écrira 

I  1  —  ''11         f>i".        ''1:1 
(2)  /j.,        1  ^-  />._.     />.,     .. 

les  lettres  b,/,  ayant  même  signification  qu'au  paragraphe  I  ;  mais  les  c  doivent  y 
être  remplacées  par  les  a  (puisque  notre  transformation  est  désignée  pare^); 


donc 


NOUVKLLES    REMARQUES   SIR    LES   GROUPES   CONTINUS. 


hik  =  -  <•.</  ".-■ 


281 


et  les  (/  seront  des  quantités  très  petites. 

Alors  A,  qui   correspond  à  la  transformation  l'^=z(j^«c^  du  f;roupe  paramé- 
trique, s'écrira 


(3| 


a6;i  a  —  (il).,,  ''(>■,:■, 

bb:t\  bl>,n  bbyi 

bb-,  I  b//  ,n  bb-,:; 


Il  ^'agit  maintenant  de  formei-  les  opérateurs  conjugués  relatifs  à  cette  nou- 
velle transformation.  Formons  pour  cela  l'équalifin  déterminante  en  S.  en  ajou- 
tant S  à  tous  les  termes  de  la  diagonale  principale  du  tableau  (3)  et  égalant  à 
zéro  le  déterminant  ainsi  obtenu.  A  chaque  racine  de  cette  équation  en  S,  cor- 
respondra nu  opérateur  conjugué  T  =  i/,X,  défini  par  les  équations  suivantes: 


(4) 


(  a  ^-  ab,i~  i  )li  —  ab,^U^-  abt^tj  —  .  .  .=  n. 
ab.,t,  -(-  (a  H-  ab.,-i-  S)t.-r-  aS.a's-^- . .  =  o. 
(ibi,  I,  -~  abj^t-,  —  (a  -i-  abx,^  S) h,  —  .  .  .  =  o, 

bb;,',-~    hb;.!.^-   bb;;,,l:;—(b-\-   bb  ;  i  —  S)  /  ;  ~  .  .  .=    (>, 


Envisageons  en  particulier  celles  des  racines  de  1  équation  en  .S  qui  sont  voi- 
sines de  — ■  n  et  qui  sont  au  nombre  de  3  ;  posons  donc 

S  =  —  «  —  7. 

5-  étant  très  petit.  Considérons  la  quatrième  équation  (4):  les  On  étant  très 
petits  ainsi  que  cr,  tous  les  coefficients  de  cette  équation  sont  très  petits,  sauf 
celui  de  /•,  qui  s'écrit 

b  -  -  bb;,,  —  a  —  -j 

et  qui  est  très  voisin  de  b  —  n;  cette  équation  donne  donc  sensiblement 


et  l'on  trouverait  de  même 


"    =    /.!=/.  =^.. 


Dans  ces  conditions  les  trois  premières  équations  (4)  peuvent  s'écrire  (eu 
divisant  par  n  ) 

!(_i!>,,—  Tl/,  ;-  b^.J,—  b,3t3=  o, 
651  /,  --  (  b,. —  ■s)t,  -  bn.'J-f  =  o. 
6:11    'l—    bjnl,        -    (633—    3)^1   =    o. 

H.  p.  —  III.  06 


282  NOUVELLES    HEMABQUES   SUR    LES    GROUPES    CONTINUS. 

ce  qui  détermine  à  la  fois  o-  et  T.  Ainsi  les  opérateurs  conjugués  de  Vq  et  par 
conséquent  \  o  lui-même  se  trouveront  entièrement  déterminés  quand  nous 
saurons  que  e'"  est  la  limite  de  e'  ^  e^"e^'  et  que  nous  nous  donnons  la  trans- 
formation inlinilésimale  IJ.  Si  nous  ne  connaissions  pas  U,  nous  saurions 
seulement  que  les  trois  premiers  de  ces  opérateurs  conjugués  sont  de  la  forme 

Les  indéterminées  <,,  /j,  t^,  dépendent  de  U  et  nous  voyons  qu'ils  dépendent 
seulement  des  6,/t,  où  les  indices  i  et  k  prennent  les  valeurs  i,  2  et  3. 

Si  j'élimine  les  /  entre  les  équations  (5)  j'obtiendrai  une  équation  du  troi- 
sième degré  en  o-,  présentant  quelque  analogie  avec  l'équation  de  Killing.  Si 
alors  l'équation  en  S  relative  à  A„  admet  h  racines  distinctes,  f/,  6,  etc.,  il  y 
aura  k  équations  en  t  et  le  degré  de  chacune  d'elles  sera  l'ordre  de  multiplicité 
de  la  racine  correspondante;  par  exemple pourcelle  que  nousvenons  de  former, 
elle  est  du  troisième  degré  parce  qu'elle  correspond  à  la  racine  a  qui  est  triple. 
D'autre  part,  les  b,i,  étant  des  fonctions  linéaires  des  »,  le  premier  membre  de 
l'équation  en  a  sera  un  polynôme  entier  homogène  parrapport  à  ct  et  aux  u. 

Nous  pouvons  maintenant  répondre  à  la  question  :  comment  s''rcliangent 
entre  elles  les  di ffèvenles  dèteviniiuttions  (luand  on  tourne  diilnur  d'une 
transformation  singulière? 

Soit 

et  l'egardons  les  r  comme  fondions  des  :  et  des  ^r^,  je  suppose  que 
pour  W  =  Wo,  on  ait  \  =  \\,  et  que  e^°  soil  une  transformation  singulière 
ayant  pour  adjointe  A,,.  Donnons  à  W  des  valeurs  voisines  de  \\  o»  et  pour  cela 

faisons 

p^v  — -  g\\„  gV ^         gV  _  gV|,  pi:^ 

U  étani  inlinilésimale.  Nous  nous  demandons  si  les  diverses  détei  luinations 
de  V  s'échangent  quand  W  tourne  autour  de  W„,  c'est-à-dire  quand  l  tourne 
autour  de  O.  Ces  déterminations  s'échangeront  si  les  opérateurs  conjugués 
s'échangent. 

Les  seuls  opérateurs  conjugués  qui  puissent  s'échanger  entre  eux  sont  ceux 
qui  correspondent  à  des  racines  égales  de  l'équation  en  S  de  A„,  c'est-a-dire 
ceux  qui  correspondent  à  une  même  équation  en  -7.  Tout  revient  donc  à  savoir 
si  deux  racines  d'une  des  équations  en  a  s'échangent  quand  ou  fait  varier  les  u; 
c'est  ce  qui  arrivera  certainement  si  cette  équation  est  irréductible. 


NOIJVELI-ES    REMABQtlES   SUR    LKS    GROUPES    UONTIMS.  l83 

Reprenons  le  oronpe  des  rotations  et  envisageons  une  rotation  d'un  angle  tî; 
les  racines  de  l'équation  de  Killing  sont  in,  cet  —  ir^.  Deux  d'entre  elles  difl'è- 
rent  de  2ir.;  on  pourrait  donc  croire  que  la  transformation  est  singulière.  Ici 
l'équation  en  S  de  A,,  a  deux  lacines  égales  à  —  i  et  une  à  +  i .  Le  tableau  des  h;i, 
s'écrit 


'adjointe  A,,  s'écrit 


celui  des  coeflicients  des  équations  (  \  ) 

—  I  —  S  u, 

—  113       —  I  —  S 


■i  +  S 


On  (d)tient  deux  équations  en  a-,  l'une  en  faisant  S  =  -|-  1  —  c,  correspondant 
à  la  racine  double  —  r ,  l'autre  en  faisant  S  =  —  1  —  a-,  correspondant  à  la 
racine  simple  +  1  ;  la  seconde  de  ces  équations  est  tout  simplement  —  c;  ^  o  ;  et 
la  première  est 

(7=—  1(1  ) 


"3 


Comme  le  premier  membre  se  décompose  en  deux  facteurs  linéaires  ct  dr  iii,. 
il  ne  peut  pas  y  avoir  d'échange  entre  les  racines,  et  la  transformation  n'est  pas 
effectivement  singulière.  Si  nous  prenons  au  contraire  une  rotation  d'un 
angle  an,  il  y  a  une  racine  triple  égale  à  1 ,  et  une  seule  équation  en  t  qui  >'écrit 

a(  T-^  II]  -r-  lû,  —  »5  j  =  (). 

Les  deux  racines  ±  i \' a], -\- u'î  +  it'l  pouvant  s'échanger,  la  transformalion 
est  effectivement  singulière. 

Supposons  que  l'équation  déterminante  en  S  ait  une  racine  double  égale  à  i, 
correspondant  à  deux  racines  de  l'équation  de  Killing,  l'une  nulle  et  l'autre  dif- 
férente de  zéro,  égale  par  exemple  à  2ir.;  il  ne  peut  y  avoir  d'échange  entre 
ces  deux  racines,  de  sorte  que  la  transformation  ne  sera  pas  efTectivement  sin- 
gulière. Pour  {[u'une  transforniiition  soit  singulière,  il  f.iut  donc  non  seulement 
que  deux  des  racines  de  l'équation  de  Killing  dillèrent  d'un  multiple  de  liu, 
mais  que  ces  deux  racines  soient  toutes  deux  différentes  de  zéro;  il  ne  suffit 


284  NOIVKLLES    REMARQUES    SUR    LES   GROUPES    CONTINUS. 

donc  pas  qu'une  racine  de  l'équation  de  Killing  devienne  égale  à  un  multiple 
de  2  171,  auquel  cas,  comme  il  y  a  toujours  au  moins  une  racine  nulle,  on  pour- 
rait dire  que  la  différence  de  deux  racines  est  multiple  de  2/71. 

Soit  A,i  une  adjointe,  correspondant  à  une  transformation  singulière,  celle  du 
liihleau  (  I  )  par  exemple. 

différentes  transformations  admettant  cette  même  adjointe:  on  peut  en  trouver 
une  infinité  puisque  les  v  sont  des  fonctions  indéterminées.  Je  dis  que  les  puis- 
sances de  ces  diverses  transformations  appartiennent  toutes  à  un  même  sous- 
groupe  que  nous  allons  étudier.  Soient 

B.     B'.     H".     . . . 

les  adjointes  de 

,.a\„       ,.ï'v'|i       pjc'V,'.' 

OÙ  a,  a',  a"  sont  des  nombres  quelconques. 

Il  est  clair  que  toutes  ces  adjointes  jouiront  d'une  propriété  commune;  celle 
de  transformer  tout  opérateur  de  la  forme 

/|   \,-^   <;X.2—   /;,X:,  on  /.,\..^    /i\,,. 

par  exemple,  en  un  Opérateur  de  la  même  forme,  et  que  cette  propriété  com- 
mune définit  un  sous-groupe  dans  le  groupe  adjoint,  et  un  sous-groupe  corres- 
pondant (  que  j'appellerai  F)  dans  le  groupe  paramétrique. 

Reprenons  la  transformation  infinitésimale  c^ ,  dont  nous  avons  parlé  plus 
haut,  et  son  adjointe;  supposons  qu'elle  appartienne  au  sous-groupe  T.  Dans 
ce  cas  tous  les  bu  sont  nuls,  à  moins  que  les  indices/ et  k  ne  soient  égaux  tous 
deux  à  1 ,  2,  ou  à  3,  ou  bien  tous  deux  à  4  ou  à  5,  ... ,  ou,  plus  généralement,  ne 
correspondent  à  deux  racines  égales  de  l'équation  déterminante  en  S,  c'est-à-dire 
il  deux  termes  égaux  de  la  diagonale  principale  du  talileau  {  1  ) 

Si  nous  formons  ensuite  l'équation  de  Killing  relati\e  à  cette  transfor- 
mation r' ,  je  vois  qu'elle  se  décompose  en  autant  de  ficteurs  qu'il  y  a  de 
racines  distinctes  dans  l'équation  déterminante  en  S  ;  quelle  relation  y  a-t-il 
entre  ces  d i (Té rents  facteurs  et  les  différentes  équations  en  ct  que  nous  venons  de 
former?  C'est  ce  que  nous  expliquerons'plus  loin,  dans  un  cas  plus  général,  au 
paragraphe  VIII. 

Si  nous  revenons  encore  au  groupe  des  rotations  :  jiour  une  rotation  d'un 
angle  271,  toutes  les  racines  de  l'équation  en  S  sont  égales  à  1 ,  et  le  sous-groupe  F 
ne  diffère  pas  du  groupe   total;  pour  une   rotation  d'un  angle  ;:,  deux  racines 


NOUVELLES    REMARQIIKS    Sl'R    LES    «ROUPES    CONTINUS.  îSj 

seulement  sont  égales  entre  elles,  et  ég;iles  à  -  -  i  ;  le  groupe  F  comprend  toutes 
les  rolalions  possibles  autour  d'un  axe  déterminé,  l'axe  des  z  par  exemple;  dans 
le  premier  cas,  l'équation  de  Killing  du  sous-groupe  F  est  la  mèiiu'  (|iie  pour  le 
groupe  total 

et  elle  n'est  pas  déconiposable  en  facteurs  linéaires  :  la  transformation  est 
effectivement  singulière;  dans  le  second  cas,    cette  équation  se  réduit  à 


et  <:lle  est  décomposahle   en   facteurs  linéaires   :    in    Iriinslormatujn   n'est    pas 
eHecli ventent  singulière. 

Remarquons  maintenanlqu'il  peut  très  bien  se  faire  qu'une  transformation  ne 
soit  pas  eJfectUeinenl  siiigulit're,  c'est-à-dire  ((u'il  n'j  ait  pas  échange  entre 
les  valeurs  des  c  quand  on  fait  décrire  aux  u  et  aux  iv  des  contours  fermés  inti- 
niment  petits,  et  que  cependant  elle  soit  (juasi  singulière,  je  veux  dire  que 
les  r  soient  des  fonctions  indi-lerminèfis  des  u  et  des  ti' ;  ou,  ce  qui  revient  au 
même,  soient  des  fonctions  indéterminées  des  coeflicients  de  l'adjointe.  On  peut 
en  citer  un  exemple  simple;  considérons  le  groupe  des  transformations 

(  ./•.   ri  ./■  —  /;  t  ; 

il  (léri\e  des  deux  transformations  infinitésimales 

[.r.   1  1         £    ,/  ].      (  .r.  J-  —  £') 

que  j'appellerai  X,  et  \..  Alors,  si  l'on  pose 


on  a 


d'où 


7n  =  ev_        \-=  ,-,X,  -  ,-,\,. 


a  =  e'''.  h  =  (  e'' 


(■.>  ,  tu  iV> 

—  (<"'i —  I  )  =  (  e''i —  e"'t  I  --  -  -  I  (■•'■i  —  I  I  -^ 
'•i  "i  ir. 


Cette  formule  nous  montre  que  les  c  sont  des  fonctions  uniformes  de  u  et 
des  IV,  mais  en  même  temps  que  ces  fonctions  peuvent  devenir  indéterminées; 
c'est  ce  qui  arrive  quand  f,  et  «',  sont  multiples  de  2ir.. 

Nous  avons  dit  plus  haut  que  si  une  racine  de  l'équation  de  Killing  était  nulle 
et  une  autre  multiple  de  2ir.,  sans  que  la  différence  de  deux  racines,  distinctes 
l'une  et  l'autre  de  zéro,  devînt  égale  à  un  multiple  de  lir..  cela  ne  suffisait  pas 


286  NOUVELLES  REMARQUES  SUR  LES  GROUPES  CONTINUS. 

pour  que  la  transformation  pût  être  effectivement  singulière;  mais  en  revanche 
elle  peut  être  quasi  singulière,  l'exemple  précédent  le  prouve  suffisamment. 

Enfin,  il  peut  arriver  que  la  différence  de  deux  racines  de  l'équation  deKilling 
soit  multiple  de  lir..  sans  que  la  transformation  soit  singulière,  ni  quasi  singu- 
lière; c'est  ce  que  prouve  l'exemple  ci-dessus  des  rotations  de  180". 

Reprenons  le  groupe  paramélrlque  li  ;  son  groupe  adjoint  G»;  le  Sdus-groupe 
r  défini  plus  haut  et  contenu  dans  G;  et  le  sous-groupe  F,  qui  lui  correspond 
dans  Gj.  Les  substitutions  de  F^  sont  linéaires;  de  plus,  si  le  groupe  G  est 
d'ordre  r,  il  y  a  r  variables,  mais  ces  variables  se  répartissent  en  autant  de  sys- 
tèmes qu'il  V  a  de  racines  distinctes  dans  léquation  déterminante  en  S.  Chaque 
substitution  linéaire  de  F^  résulte  de  la  combinaison  de  substitutions  linéaires 
partielles,  chacune  de  ces  substitutions  linéaires  partielles  portant  sur  les 
variables  d'un  seul  système.  C'est  là,  on  s'en  souvientrla  définition  même  de  F. 
Ainsi,  si  l'on  se  reporte  au  tableau  (  1  ),  chaque  substitution  de  F^,  se  décompose  : 
i"  en  une  substitution  linéaire  portant  seulement  sur  i,.  i»,  l'u  ;  2"  en  une 
subslitutii)n  linéaire  portant  seulement  sur  c. .  cr,,  etc.  Alors  les  substitutions 
linéaires  partielles  portant  seulement  suri',,  iv,,  iv,,  par  exemple,  formeront 
un  groupe  que  j'appellerai  H,;  ce  groupe  sera  isomorphe  à  F^,,  mais  l'isomor- 
phisme  pourra  dans  certains  cas  être  mériédrique.  Si  nous  formons  le  groupe 
adjoint  de  H,,,  de  façon  à  calculer  les  racines  de  l'équation  de  KlUing  relative 
au  groupe  Hjj,  nous  ariiverons  au  résultat  suivant  :  Considéions  le  déterminant 
des  coefficients  d'une  subsliluliiui  lim  aire  iiifinitésimali' de  II3,;  égalonscodétcr- 
minant  à  zéro  après  avoir  ajouté  —  ('  +  '')  au^'  termes  de  la  diagonale  princi- 
pale, nous  obtiendrons  une  certaine  équation  en  a.  Nous  distinguerons  ainsi 
3  équations,  à  savoir  ;  l'équation  (r/),  c'est-à-dire  l'équation  de  Killing  relative 
au  groupe  G  ;  l'équation  (6),  c'est-à-dire  l'équation  de  Killing  relative  au 
•groupe  H^;  et  enfin  l'équation  en  c,  (pie  nous  appellerons  (c).  Nous  formerons 
ces  é(piati(>iis  poiii'  une  tran>fi)rmatii>ii  quelinnque  de  G  et  |)our  la  substilulion 
correspondante  de  Hjc 

Nous  trouverons  alors  que  les  racines  de  {c)  sont  quelques-unes  des  racines 
de  (a)  (à  savoir  celles  qui  deviennent  égales  entre  elles  et  à  a  pour  la  transfor- 
mation singulière  qui  nous  a  servi  de  point  de  départ);  chaque  racine  de  (6) 
est  égale  à  la  différence  de  deux  racines  de  (c)  (deux  racines  de  (r)  n'étant  pas 
nécessairement  distinctes,  une  des  racines  de  {b)  est  toujours  nulle].  Or,  pour 
notre  liansformation  singulière,  les  racines  de  (c)  deviennent  égales  entre  elles 
à   des  multiples   près  de   iir.\   donc   toutes  les  racines  de  CA)  sont  égales  à  des 


NOUVELLES    REMAROIES    SI  R    LES   CROL'PES    CONTINUS.  2Î^7 

multiples  de  2  j'r,  de  sorte   que  la   transformation  correspondante   de  II^  esl 
spéciale. 

Les  iraiisfontiatiuiis  sini,'u/irr>'s  i/i-  G  cùrrespondciit  ilouc  (iii.i  tiaiisjor- 
mations  spéciales  de  11^. 

Reprenons  :  notre  transformation  singulière  e^°,  son  adjointe  Ao,  les  autres 
transformations  singulières  r-^'o,  qui  ont  même  adjointe  et  qui  appartiennent 
comme  e^»  au  sous-groupe  F,  la  transformation  infinitésimale  r' ,  la  transfor- 
mation finie  «'^  =  (■"•'"e^ .  qui  a  pour  adjointe  A  et  qui  tend  vers  e^"  quand  U  tend 
vers  zéro.  Nous  avons  vu  plus  haut  comment  on  forme  les  opérateurs  conjugués 
de  V,',  en  formant  les  tableaux  (2  )  et  (3)  et  les  équations  (4)  et  (5).  Dans  le  cas 
où  e^  appartient  au  sous-groupe  Y  (c'est-à-dire  où  6,a  =  o,  à  moins  que  les  deux 
indices  i  et  /,■  ne  se  rapportent  à  des  variables  dun  même  système),  le  résultat 
peut  s'énoncer  comme  il  suil  :  les  o/irrateurs  cottjugnès  de  \  „  soiU  les  mêmes 
({tie  ceux  de  U.  Il  en  résulte  cpie  Y,,  et  U  sont  permutables. 

Donc,  parmi  les  transformations  singulières  qui  ont  pour  adjointe  Aq,  il  en 
existe  toujours  une  qui  esl  permutable  à  une  substitution  donnée  e^  (d'ailleurs 
quelconque)  du  sous-groupe  T. 

Si,  en  particulier,  toutes  les  racines  de  l'équation  déterminante  en  S  sont 
égales  :  l'adjointe  A»  se  réduit  à  la  substitution  identique:  la  transformation 
singulière  1"^»  devient  une  transformation  spéciale;  le  sous-groupe  T  n'est  autre 
chose  que  le  groupe  G  lui-même.  Donc,. v/ m/;  groupe  G  contient  des  transfor- 
mations spéciales,  il  en  cdiilieni  une  i/ui  est  permutable  à  Vune  quelconifue 
de  ses  transformations. 

Ou  bien  considérons  un  groupe  G;  prenons  dans  ce  groupa  deux  transfor- 
mations t'^'  et  e^'.  la  seconde  tout  à  fait  quelconque,  la  première  assujettie  aux 
conditions  que  ses  racines  de  killing  se  comportent  comme  des  racines  simples 
et  que  le  rapport  de  deux  quelconques  d'entre  elles  soit  commensurable  ; 
alors  il  y  aura  toujours  dans  le  groupe  une  transformation  permutable  à  e^^ 
et  ayant  mêmes  racines  pour  l'équation  de  Killing  que  e'':  el  en  effet  une  des 
puissances  de  e^'  est  une  transformation  spéciale  ou  quasi  spéciale. 

VII.  —  Discussion  des  équations  différentielles. 

Dans  le  paragraphe  précédent,  nous  avons  étudié  la  façon  dont  se  comportent 
les  fonctions  i-  dans  le  voisinage  d'une  tiansf'ormalion  singulière,  au  moins  dans 


2.S.S  NOUVELLES    REMARQIES    SUB    LES    GKOl'I'ES    CONTINUS. 

le  cas  où  toutes  les  racines  de  l'équation  de  Killing  se  com|)orlenl  comme  des 
racines  simples;  pour  cela  nous  nous  sommes  servis  des  équations  finies  du 
groupe;  il  conviendrait  de  reprendre  cette  étude  en  se  servant  des  équations 
différentielles.  Nous  nous  rappelons  quelle  est  la  forme  de  ces  équations;  si  T 
étant  infinitésimale  on  a 

,.V  pT  _  ^V— //V 

on  peut  expi'inier  -^  en  fonction  des  r  et  l'on  trouve,  A  étant  fixé. 


Les  A  el  les  B  sont  de>  fondions  algébriques  des  r;  de  plus  'jj/,  est  l'une  des 
racines  de  l'équation  de  Killing  el  m  est  un  entier  positif  qui  ser.i  égal  à  i,  si, 
comme  nous  le  supposons,  toutes  les  racines  de  rr-cjuation  de  Killing  se  com- 
portent comme  des  racines  simples. 

Les  seconds  membres  ne  peuvent  devenir  infinis  f|ne  si  o)/,  est  un  multiple 
de  o-iT.. 

Donc,  iinr  Iransforinalion  ne  peut  ilcieiiir  siii<;ii/ièri'  //ne  si  une  des 
racines  de  f équation  de  Killing  est  multiple  de  'ait:.  Ainsi,  pour  une  rotation 
de  i8i)"  les  trois  racines  de  l'équation  de  Killinj;  sont 

—  /r.     ().     ir.  : 

la  difl'érence  de  deux  entre  elles  est  2t  t:  (ce  qui  est  la  condition  que  nous  avions 
envisagée  jusqu'ici),  mais  aucune  d'elles  n'est  multiple  de  2/7:,  el  (;"est  pour 
cette  raison  qu'elle  n'est  pas  effectivement  singulière. 

Soit  cp  une  fonction  algébrique  quelconque  des  r:  on  aura  évidemment.  (>our 
tout  /  fixé, 

(2) 


S-'- 

S  ir  - 

1 1 

I 

—  f     '' 

Al  -7 

"l'i 

^■Ê 

V       ^'? 

^^'.Av 

B'  =  B I  -p= B,  -j-^ — -  . . .  —  B,.  -~- 

sont  des  fonctions  algébriques  des  r.  De  plus,  si  set  ses  dérivées  restent  finies, 
les  seconds  membres  ne  pourront  devenir  infinis  que  pour  e^"A  ^  i. 

Si  cette  condition  est  remplie,  ou  près  del'étre,  on  se  trou\e  dans  le  voisinage 
d'une  transformation  singulière  ou  quasi  singulière.  Supposons  donc  que 
1  — e~"''''  soit    une    quantité  très    petite  de   l'ordre    de  z    el   qu'il   en    soit   de 


NOI  VELLES    RKMA[\OtES   SI  11    LES    UHOLl'ES    CONTIM  S.  ^Sl) 

même  df  //,  :  on  aura  alors  srnsihlemciil   ( //i  étant  égal  à   i  l 


1- 


-'•>/, 


o 


f  soi'te  que  d-^  scia  liui,  a  uioins  ([uc  B   ne  soit  nul. 

Les  deuT»  li'anslcirmations  r^  et  r^+''^  différeront  donc  d  une  tjuiintiti'  linu'. 

Cela  lient  a  oe  iju'ellcs  sont  inliniinenl  voisines  de  deux  tiaiislornialions  sin- 
gulières (,'*"  el  ('*";  mais  rfi.v  deux  Iransfomial ioux  dniicni  /unir  /m'iiic 
adjointe. 

Si  donc  9  est  un  des  coefficients  de  l'adjointe,  ou  une  lonclion  bien  délei- 
minée  des  coefficienls  de  l'adjointe,  d<f  devra  être  infiniment  petit,  c'est-à-dire 
que  B'  devra  être  nul. 

Supposons  par  exemple  que  w  soil  une  des  racines  de  l'équation  de  Killin^. 

Si  l'adjointe  subil  une  variation  infiniment  petite,  les  racines  de  son  équation 
en  .S,  qui  sont  e"',  subiront  des  variations  infiniment  petite,-  et  il  en  sera  de 
même  de  t.).  Si  donc  on  prend  y  =  m,  on  devra  avoir  B=  o.  On  a  par  suite 

(3)  B,i^-B.,#^-    ^...-B,.^=o. 

«f  I  '  di'.,  dv,. 

Cette  relation  n'est  ainsi  établie  que  [jour  (o/,  =  -ikiT:]  mais  comme  les  B  et'jj 
sont  des  fonctions  homogènes  des  c,  elle  devra  subsister  pour  toutes  les  valeurs 
de  o)/i. 

Pour  étudier  cette  relation  chercbons  à  nous  rendre  compte  de  ce  que  sont 
les  B,.  On  a,  par  la  formule  (n  )  (Païenne,  p.  3.Si  :  voir  aussi  plus  haut  )  (  '  ) 


./>■,= 


ti'Pii 


I  df       ^       S  '■    '' 


Si  nous  envisageons  une  racine  simple  w/,  de  l'équation  de  Killingl''  (  £  )  r=  o. 
cette  racine  nous  donnera  dans  le  second  membre  un  ternie 

I  —  e-'^i'"     F'(oj/,  ) 

Si  ce  terme  était  le  scid  qui  devienne  infini  quand  «""* —  i  s'annule,  les 
quantités  B,  seraient  simplement  proportionnelles  à  P,/(w/,)6' "O"*  P*^^"'i"'"n* 
écrire,  pour  t  =  tj, 


(')  Œuvres  de  H.  Poincan-,  ce  lomi-,  p.  lii. 
H.  P.  —  III. 


290  NOIVKI.I.ES    REMARQIKS    SIR    LES   GROl'PES   CONTINUS. 

Mais  il  peut  arriver  que  d'autres  racines  de  Kiliing  deviennent  multiples 
de  2/7Ï  foutes  les  fois  que  oj/,  est  lui-même  multiple  de  2/r,  par  exemple  s'il  y  a 
une  racine  qui  est  loujour--  multiple  entier  de  w/,,  et  par  exemple  égale  à  —  «^. 

Si  nous  avons  ainsi  deux  racines  égales  et  de  signe  contraire  '»/,  et  —  oj/,,  il 
faut  envisager  les  deux  termes 

1  —  e-''"'' "     F'i  (.);,  1  I  —  e'"!'"     K'( — co/,  1 

d'où 

F'i  (.)/,  1  "^    F'(_(o,,  )  J 

On  pourrait  alors  se  demander  si  la  relation  (4)  va  subsister;  pour  s'en  rendre 
compte,  il  faut  examiner  ce  que  représentent  les  quantités  P,y(w/,);  si  les 
racines  de  réi|ualii)n  de  Kiliing  se  ((importent  comme  des  racines  simples,  il 
existe  /■  o|)érali  urs  (dits  conjugués  du  premier  ordre) 

l;i'"=  Zii':\,      I  /i  =  1.  ' /•). 

tels  que 

I  \  l  '"  I  =  w/,  Li''" 

ou 

(■  ï)  -iliii.  l'i  =  '■'/,  l'I- 

Si  nous  formons  le  déterminant  A  des  /•'-  coefficients  iij ,  Cf  déterminant  ne 
sera  pas  nul  et  nous  envisagerons  les  mineurs 

-•'~  .h,';' 

Nous  pourrons  même,  sans  restreindre  la  généralité,  supposer  A  =;  1 .  puisque 
les  coefficients  //  ne  sont  déterminés  que  par  leurs  rapports. 

Cela  posé,  clierclions  à  déterminer  deux  opérateurs  ^  et  /  satisfaisant  à 
l'idehlité 

(6)  '  (VY)  =  ÇY-Z- 

ce  qui  peut  encore  s  écrire 

(7)  .ni-"(0  =  si';/;,-. 

Sup|)OSons  que  l'on  ait 

V  =  /,U"'i—  2\\.  ï  =  (0/,  —  ï.  Z  =  :Z', 

£  étant  un  coefficient  constant  très  petit;  nous  aurons  sensihlement.  en  suppo- 
sant ',)/,  racine  simple. 

ji  I-"'»  w/,  )  =  X  z'i  f',,1  '■>/,  I. 


NOIIVKM.es    BKMARgl  F.S    SI  K    I.ICS    (ilUII  l'RS   CONTINIS.  )()] 

On  vdit  aiiiM  C[iie  À  doit  tMic  une  tuiulinii  liiiéaiii'  ^io^  .", 

À       1  ;  ,  ;, 

et  il  vicnl  (  en  l';iisanl  tendre  £  V(■l■^  zéru) 

P,, (<■'/,)  =  l''(  w/,  1>.,//J'. 

Il  reste  à  déleiininor  "A;  pour  cela  ndus  avons  la  rt'latmn 
(  0  his)  {  \  W  j  =  to/,  W   ^  À  II'"       Z'. 

qui  se  déduit  de  l'identité  (6)  en  négligeant  les  puiNsanees  supérieures  de  £. 
Supposons  rpie  tous  les  z\  soii'nl  nuls  sauf  jj,  et  que  ;'^=  i  ;  de  -(irle  (pie 

Z'=X/,  >.  =  )./. 

Soil  ensuite 

Pieniarquons  que  la  résolution  des  équalions  linéaires 

va  nous  donnei' 

de  sorte  que 

Z'=  Xy=  S.-.kD'kK 

Si  donc  nous  remplaçons  dans  (6  bis)  \\'  et  Z'  par  leurs  valeurs,  il  vient 

■  '  I         '         ' 

ou,  en  égalant  le  coefficient  de  U'''', 


d'où 


()=  )J ---'!. 


P,/(  w/,~)=— F'(  (0/,  )-.'•„'; 


et 

Bi  =  —  Mi,('';ii';—-'i'  II';').   . 

l'indice  h'  étant  celui  qui  correspond  à  la  racine  — •  o)/,.  Notre  relation  (.i.!)  (qui 
doit  avoii-  lieu  (piel  que  soit  /)  devient  alors 

flv,  '  (IVi 

Mais  les  coefficients  t''  ne  sont  pas  proportionnels  aux  coefficients  r',';  sans 
quoi  le  déterminant  A  serait  nul.  On  aura  donc  séparément 

'  ai',  ai't 


■^9'*  NOl  Vi:l.l  KS    RK.MARQlliS    SI»    LES    GHOIPFS    COMIMS. 

c  l'St  à-dire  que  la  reliilion  (4)  sera  vraie  séparément  pour  li  racine  oj/,  et  pour 
la  r.icine  — w/,,  puisque  les  P/yifo/,)  sont  entre  eux  couinie  les  ii'l  ei  que  les 
P,/( — wa)  sont  entre  eux  comme  les  uf. 

Il  est  aisé  de  démontrer  la  relation  (4)  dans  des  ras  plus  compliqués.  Si  |iar 
exemple  on  avait  à  la  fois  les  racines  ±  x  el  rtast,  on  commencerail  par  • 
donner  aux  i  des  valeurs  telles  que  2  x  soit  multiple  impair  de  a  «r  ;  alors  les 
racines  ±  y.  n  interviendraient  pas  et  l'on  démontrerait  comme  plus  haut  les 
relations  {  j)  pour  ooy,z=2j:  et  pour  oj^  =  —  2  y..  Cela  fait,  on  donnerait  aux  r 
des  valeurs  telles  que  y.  soit  multiple  de  atTi  el  Ion  démontrerait  ensuite  aisé- 
ment les  équations  (4)  pour  w/,  =  rha.  On  pourrait  aussi  faire  directement  la 
démonsiration,  par  un  |irocédé  tout  semblable  à  celui  qui  précède  (B,  étant  une 
combinaison  de  quatre  termes  de  lu  forme  -'j  ii'l  au  lieu  de  deux  seulement). 

La  relation  (■()  estrlonc  générale;  elle  a  lieu  quelles  que  soient  les  racines  ',> 
el  WA,  que  ces  lacines  soient  identiques  ou  distinctes  (le  cas  de  to/,=  o  devant 
être  exclu).  Revenons  maintenant  aux  équations  (i),  où  nous  supposons  tou- 
jours m  =  I . 

Donnons  aux  c  des  \al(:urs  qui  rendent  une  r.icine  multiple  de  a/rt;  généra- 
lement d'autres  racines  de\ien(lr<int  en  iiiénu'  Icnqis  multiples  de  :>.(';:.  Soit 

lu/,  =  niji  3. 

ces  racines,  où  ni/,  est  un  entier  posilif  ou  négatif  el  y  la  conimune  mesure  de 
toutes  ces  racines,  laquelle  doit  être  elle-même  un  multiple  de  a/n;  nous  con- 
tinuerons à  désigner  ces  racines  par  oi/,.  el  nous  désignerons  par  ',}•,  K's  racines 
qui  no  deviennent  pas  multiples  de  a/-. 

Si  y.  est  1res  voisin  d'un  multiple  de  a/rr,  les  termes  qui  conlienneni  au  déno- 
minateur une  expression  de  la  forme  i  —  e  '"'■  seront  seuls  sensibles;  si  l'on  a 
f*=  I  -I-  c,  on  aura  très  sensiblement 

1  —  e-^'i  —  ni/i  i 
et  les  l'quations  (  i)  se  réduiroiil  sensiblement  à 


'-/'■, 

dti. 

ou, 

en  posant  ////,  ^=  s  '/.sa. 

iSl 

fhi. 

-J' II'- 

1(0/,  ■ 

m ,, 


Les  r  et  les  (/  peuxenl  èlre  regardés  comme  des  fonctions  algébriques  des  r, 
de  sorte  que  ces  équations  (8)  nous  représentent  des  équations  différentielles 


.NOl  VKLLKS    IIKMMIOIKS    SI  11    ils    (.Roi  l'K-    (CINTI.MS.  .yj 

auxquelles  doivent  satisfaire  les  f.  Quelle  est  la  >if;nifiralii)n  de  les  é(|Mali(iii^ 
différentielles? 

On  voit  que,  si  //s/^  est  un  inlininient  pelit  de  Idrdre  de  r,  vl  |iar  conséquent 
(/t/i  un  inlinimenl  petit  de  l'ordre  de  £',  c/i-  sera  un  infiniuieiil  pclil  de  l'ordre 
de  Ç;  de  sorte  que  les  deux  transfunnations  e*  et  f»^-^'^  difléieroni  d  infiniment 
petits  de  l'ordre  de  Ç,  tandis  que  leurs  adjointes  différeront  d'infiniment  petits 
de  Tordre  de  Et-,  c'est-à-ilirc  d'ordre  supérieur. 

Donc,  quand  les  r  varieront  de  façon  à  satisfaire  aux  é(|ualion>  difléren- 
lielles  (8),  l'adjointe  de  e^  ne  variera  pas.  .Si  donc  nous  considérons  les  diffé- 
rentes transformations  singulières  qui  onl  même  adjointe,  les  équations  diffé- 
rentielles (S')  nous  feront  passer  des  unes  au\  autres  d'une  façon  continue. 

Prenons  encore  un  instant  pour  exemple  le  j^roupe  des  rotations,  et  soil 

a,  5.  y  étant  les  cosinus  directeurs  de  l'axe  de  rotation  et  \i'j  l'anole  de  rotation: 
on  aura  pour  les  équations  (8  ) 

dv-^ 
ds, 

:-  -r-  ■'-i  -; —  =■  —  y.'\ 

as, 

ds  ; 

et  l'on  \erra  que 

d'où  S^const.  Le  point  représentatif  restera  consi, imment  sur  une  sphère 
(dont  le  rayon  devra  être  multiple  de  ir.)  et  aux  différents  points  de  cette 
sphère  correspondront  diverses  transformations  qui  auront  même  adjointe  et 
qui  seront  d'ailleurs  spéciales. 

Appelons  ^',A  le  second  membre  de  (8);  l'équation  (8)  définit  une  transfor- 
mation infinitésimale  Sa  qui  change  i,  en  i,^  dsi,\ .k-  et  dépendant  de  l'opé- 
rateur 

Il  importe  de  remarquer  que  les  opérateurs  Sa  ne  forment  pas  un  groupe  de 
Lie,  comme  on  pourrait  le  croire,  mais  les  opérateurs 

où  <t>  est  une  fonction  arbitraire  des  r,  forment  un  groupe  continu  d'ordre  injiui. 


±1   ^3-._.,:. 

di. 

ds^        '      '    '  ' 

ds, 

dv. 

di-. 

ds. 

ds. 

rf., 

dv. 

ds-,  ~       '■■ 

ds; 

'294  NOIVKI.LES    RKMARQl  i:S    SIB    LKS    GKOl  PES    CONTIMS. 

La  condilion  pour  qu'il  en  boil  ainsi,  c'est  que  l'on  ait 

19  '  (  S,S<.  I  =  2<!>/<.,S,. 

les  <t>yA.5  étant  (ii;s  fonctions  d(!S  c.  Pour  le  montrer,  considérons  un  opérateur  T^ 
du  groupe  G;  on  ohtiondra  l'opérateur  correspondant  S/i  en  multipliant' Ta  par 

et  faisant  tendre  ensuite  les  r  vers  des  limites  telles  que  £  tende  vers  zéro.  On  a 
alors 

(,)r  le  criichet  (sT*)  est  une  fonction  des  c  et  si,  par  exemple. 

T         V     "ff 

"C, 

on  aura 

le  crochet  (sTa)  se  préseule  couinie  une  .sini|jl(_'  tonction  de>  r,  où  ne  tigureul 
pas  lesdéi'ivées  -j--  La  relation  (10)  est  donc  bien  de  la  forme  (())  en  prenant 

<l',</=  £(■//■/—  (  eT/-  1.         */*<■=  ec/i-A-— (  =  T/  1.  c.  y.  F.  D. 

Ce  résultat  établi,  vovons  quelles  en  sont  les  conséquence^.  Dans  l'espace  à 
/•  dimensions,  considérons  un  point  r,,  Cj,  ...,  i'/,  tel  que  x  soit  multiple 
de  2  17:;  je  l'appelle  Mo-  Prenons  ensuite  l'équation  (8),  pour  chaque  valeur  de /. 
elle  définira  une  famille  de  courbes  telle  qu  il  en  passe  une  par  cluuiue  point 
de  l'espace  à  /■  dimensions.  Nous  aurons  donc  ;•  familles  de  courbes 

1-,.     K,.     ....     F, 
corresponijaiit  aux  \aleurs 

k  =  u        k=î k  =  r. 

Par  Mo  je  fais  passer  une  courbe  C|  de  la  famdle  Fi  ;  par  chacun  des  points 
de  C|  je  fais  passer  une  courbe  de  la  famille  Fo  ;  l'ensemble  de  ces  courbes 
engendrera  une  surface  Co,  par  les  divers  points  de  cette  surface  Cj  je  fais 
passer  des  courbes  de  la  famille  F3  qui  vont  engendrer  une  variété  C^  à  deux 
ou  trois  dimensions,  et  ainsi  de  suite,  jusqu'à  ce  qu'enfin  parles  divers  points 
de  la  variété  C,-  1  je  fasse  passer  des  courbes  de  la  famille  F,  qui  engendreront 
la  variété  C,-  qui  aura  toujours  moins  de  r  dimensions. 


NOU\KI.LKS    REMARQUES    SIR    LIS    (JROUPES    CO.NTIM'S.  'ili 

Comme  les  opérateurs  ^S/,  formonl  un  groupe,  celte  xariétéC,-  sera  inaltérée 
|)ar  les  transformations  S^,  ce  sera  iiii  invariant  pour  les  équations  (<^);  elle 
représente  donc  le  lieu  des  points  r,,  r^,  .  .  .  ,  i ,  f[iii  correspondent  aux  diverses 
transformations  singulières  admettant  une  même  adjointe. 

Or  le  déterminant  des  tjJ'  n'étani  pas  nul,  nous  pouvons  déduire  des  équa- 
tions (iS)  certaines  relations  linéaires  entre  les  c/r,,  relations  qui  peinent  s'écrire 


les  quantités 

correspiuideul  aux  //  riK'iiies  m/, 


'A-, 


"(.' 


qui  (levieniienl  siimillanéiuenl  miilliples  de  -iiT:. 

Le  tableau  (i  i  )  a  plus  de  colonnes  que  de  lignes,  et  il  faut  entendre  fjue  tous 
les  déterminants  obtenus  en  supprimant  un  nombre  convenable  de  colonnes 
dans  le  tableau  (i  i")  doivent  être  nuls  à  la  fois.  Cette  équation  (i  i  )  délinit  le 
plan  tangeiil  à  la  variété  C,-,  et  ce  "  plan  langenl  ■■  est  une  variélé  plane  ayant 
autani  de  dimensions  ipie  C,  ;  or  il  en  a  />. 

Donc  le  nombre  des  dimensions  de  C,  est  égal  au  nombre  p  des  racines  qui 
deviennent  simultanément  mulli[iles  de  y.ir.:  et  les  transformations  singulières 
qui  admettent  cette  même  adjointe  sont  au  nondire  de  oo/'.  Si  une  seule  racine 
devient  multiple  de  :>,in,  la  variéli'  C,  se  réduit  à  une  simple  courbe. 

Au  sous-groupe  V  du  paragraphe  précédent  correspond  dans  l'espace  à 
/■  dimensions  une  variété  plane  passant  par  l'origine  et  qui  doit  ronlenir  la 
variélé  C;-. 

Jusqu'ici  nous  avonsî  supposé  tpie  les  r  n  étaieul  assujettis  qu'à  une  seule 
condition;  de  telle  façon  que,  seules  deviennent  multiples  de  a/'r  diverses 
racines  dont  le  rapport  est  constant  et  comniensurable,  à  savoir  celles  qui  sont 
égales  à  une  certaine  fonelion  des  r,  que  nous  avons  appelée  et,  mnlllpliée  par 
l'entier  ni/,. 

Considérons  niaintenanl  les  racines  qui  s(Uil  de  la  forme 


(.)/,  =  /II/,  y. 


".)'")  \OliVEI,l,KS    llliMARQI  i;s    Sl'R    MiS    liUOtCES   CdNTIMS, 

X  et  (j  sont  (Jeu\  tondions  déterminées  des  i';  m/,  et  ti/,.  indépendantes  l'une  de 
l'autre,  sont  des  entiers;  nous  appellerons  colles  racines  qui  ne  sont  pa;- de  cette 
forme.  Si  nous  donnons  aux  i-  des  valeurs  telles  que  :z  el  (3  soient  multiples 
de  ain,  il  en  sera  de  même  de  loules  les  racines  w/,  et  nous  obtiendrons  une 
nouvelle  naléf;orie  de  transformations  sinffullères.  Soit 

;  el  ;  étant  très  petite,  les  équations  (  i  )  ?e  réduiront  sensiblement  à 

(1.4) 


avec 
(.8  bis) 


dv, 

y 

oj/,  -Jj^  ii'l 

dt. 

"/,=-  -*-  "/,  ^ 

? 

dvi 
dfk 

ni,,i  —  ni,'. 

di-, 

dsn 

dVi 

dsu 

=  <'';■ 

opérateur 

S,,= 

^"ff 

On  aurait  ainsi  défini  V 


qui  correspondrait  à  une  transformiilion  infinitésimale  ciiangeanl  e,  en 

Ici  encore  le>  opTiateurs  S/,  ne  forment  pas  un  groupe,  mais  les  opéralcurs  <1>S/, 
cu"i  <I>  est  une  foiiclion  arbitraire  des  r,  forment  un  groupe  continu  d'ordre 
infini;  nous  trouvons  en  effel,  en  résolvant  les  équations  (i)  par  rapjiort  aux  u'' 
el  aux  u'j 

les  Xk,h  étant  des  fonctions  des  e  dép(^ndanl  des  indices  /  el  //,  mais  indépen- 
dantes de  l'indice  /,  ou  bien  encore 

Sa=(i  — c-«'v)i;A<-,/,T/.. 

En  se  serviinl  de  cette  formule  [par  un  raisonnement  analogue  à  celui  qui 
piécède  et  où  intervenaient  les  équations  (())  el  (n))],  on  élablirail  que  les  'l'S/, 
forment  un  groupe  et  l'on  en  conclurait  que  les  équations  analogues  aux  équa- 
tions (il) 


1 1 1  bis  ) 


rfl'l      rfl'j      .  .  .      dvr 
u'!      u'.\      . . .      II'.': 


NOUVKl.LKS    llliMAIlOlIKS    SLR    LES    GROUPES   CO^■Tl^•l;S.  297 

OÙ  h  prend  /)  valeurs  distinctes  s'il  y  a  p  racines  qui  deviennent  multiples 
de  2 «71,  où  par  conséquent  le  premier  membre  est  un  tableau  à  r  colonnes  et 
p  -\-  I  lignes,  on  en  conclurait,  dis-je,  que  ces  équations  définissent  une  variété 
qui  n  est  autre  que  C,-  et  qui  a  précisément  p  dimensions.  Ce  seraient  donc  les 
mêmes  résultats  que  dans  le  cas  simple  examiné  d'abord. 

Considérons  par  exemple  le  groupe  lin('aire  fractionnaire  à  deux  variables 


[ax 
J-.  y:  — — 
a  ./•  - 


by 


■  b'y 


b"r 


b"y  - 


^] 


11  est  d'ordre  8.  Si  a,  'p.  y  sont  les  trois  racines  de  l'équation 


a 

a" 


h 


les  huit  racines  de  l'équation  de  Killing  sont 
Si  l'on  a 


<i.      y.  —  j.      X  • 


y..      j  —  "', 


(je  veux  dire  par  là  que  x  est  égal  à  3  plus  un  multiple  de  a/n).  on  aura 

3(  —  ,3  =  ri  —  2  =  0 

et  1  on  aura  une  première  famille  de  transformations  singulières,  la  variété  C, 
étant  à  deux  dimensions.  Si  l'on  a 


toutes  les  racines  non  nulles  sont  multiples  de  2  (  tt  et  l'on  a  une  seconde  famille 
de  transformations  singulières,  d'ailleurs  spéciales,  pour  lesquelles  la  variété  Cr 
est  à  six  dimensions. 


VIII.  —  Cas  des  racines  multiples. 

Dans  les  deux  paragraphes  précédents,  nous  avons  toujours  supposé  que  les 
racines  de  l'équation  de  Killing  se  comportaient  comme  des  racines  simples; 
qu'y  aurait-il  à  changer  s'il  n'en  était  pas  ainsi?  L'adjointe  A,,  ne  pourrait  plus 
en  général  être  ramenée  par  un  choi\  convenable  des  variables  à  la  forme  du 
tableau  (i)  du  paragraphe  VI.  Elle  peut  toutefois  être  ramenée  à  une  autre 
forme  canonique. 

H.  P.  ~  ni.  "  38 


•i.ljS  NOUVELLES    REMARQUES   SUR   LES    GROUPES    CONTINUS. 

Considérons  le  groupe  des  substitutions  linéaires  permutables  à  A,,. 

Le  groupe  commun  à  ce  groupe  et  au  groupe  adjoint  s'appellera  l\:  de 
sorte  que  les  substitutions  de  T^  feront  partie  du  groupe  adjoint  et  seront  per- 
mutables à  Ag  (qui  est  par  défînititm  l'adjointe  de  e^",  r^",  .  .  .  ),  mais  pourront 
ne  pas  l'être  aux  adjointes  de  e*^",  e?*°.  ....  Le  groupe  paramétrique  (j  étant 
isomorphe  à  son  groupe  adjoint,  au  sous-groupe  F,  du  groupe  adjoint  corres- 
pondra dans  le  groupe  G  un  sous-groupe  que  j  appelle  ï. 

11  est  clair  alors  f[ue  f^^  ",  i-^^'".  .  .  .  feront  partie  de  F,  de  sorte  que  ce  sous- 
groupe  joue  bien  le  même  rôle  (|ue  le  groupe  du  même  nom  dans  le  para- 
graphe ^  I. 

Soit  alors  c'~  uue  Iranslormatuin  inruiit<Mniale  (Hii'lciiii(|iii'  du  gioupe  d; 
posons 


e^  aura  une  adjointe  A  très  peu  dillénnte  de  A„  :  (piand  V  tendra  vers  zéro. 
V  tendra  vers  un  certain  opérateur  \  „.  et  A  vers  A,,,  de  sorte  que  la  Iransfor- 
malion  limite  e^"  aura  pour  adjointe  A,,. 

Quand  on  connaît  la  fagoii  dont  Lî  tend  vers  zéro,  les  opérateurs  conjugués 
de  N'i,  se  trouvent  cntièiement  déterminés,  et  il  en  est  de  même  de  \  ,,  lui-inètiic. 
Cela  se  verrait  par  une  analyse  toute  pareille  à  celle  du  paragraphe  VI.  Si  en 
particulier  e^^  fait  partie  de  F,  le  résultat  s'énonce  très  simplement  ;  les  opéra- 
teurs conjugués  de  \  ,  et  à  la  limite  ceux  de  \  „,  sont  les  mêmes  (|ue  ceux  de  L  . 
En  effet,  si  /'^  fait  partie  de  F,  son  adjointe  B  est  permutable  à  A„  ;  je  dis  à  A,,  et 
non  à  l'adjointe  de  (?**•. 

Cela  veut  dlrr  ijur  les  deux  substitution^  linéairis  A,,  et  B  [à  r  v, niables) 
admettent  des  si-rifs  régulitncs  communes  com|)renant  ensemble  /■  combi- 
naisons linéaires  (indépendantes  entre  elles)  des  varialdes.  Et  cela  (tu  moins 
d'une  manière  t^rj .  §  I,  //(  fini').  Ces  séries  aj)partiendront  également  à  leur 
résultante 


Elles  nous  ilmuieronl  doue  les  ojx'rateurs  conjugués  de  e^  (pu  seront  les 
mêmes  (|ue  ceux  de  c^ . 

Nous  ne  restreignons  pas  la  généralité  en  supposant  que  r'  iail  partie  de  F; 
je  veux  dire  (|ue  si  e^"  est  la  limite  de 

[K)ur  y.=zo.  e'  ne  faisant  pas  partie  de  F,  nous  pourrons  trouver  une  substitu- 


NOUVELLES    REMARQIES   SUR    LES    GROUPES    CO.MIXliS.  •M)!,) 

tiou  f''  falsiiiil  partie  de  F  et  telle  que  c^"  soit  également  la  limite  de 
11  suflii  en  elTet  de  prendre  Ll':i=  V,,;  car 

gV(,  gav,j  ^  (jia-t-i  iV  0  ^ 

puisque  ces  deux  transfurmalinns  ont  même  adjointe  et  ne  sont  [)as  singulières; 
et  |)onr  a  ^  u  il  reste  , 

Supposons  maintenanl 

e^  "  =  lim  p^»  1'^^  : 

(^^  ne  taisant  pas  forcément  partie  de  P,  faisons  varier  Ij  d'une  manière  continue 
et  de  façon  à  le  faire  revenir  finalement  à  sa  valeur  initiale;  dans  quelles  condi- 
tions les  ditïerentes  déterminations  de  A  „  |)ourront-elles  s'échanger?  Les  coef- 
ficients de  l'adjointe  de  e^'e*"^  sont  des  fonctions  uniformes  des  ii,  ils  devront 
donc  revenir  à  leurs  valeurs  initiales;  il  en  est  donc  de  même  de  V ensemble 
des  opérateurs  conjugués  de  \  „  ;  ces  opérateurs  conjugués  [)euvent  seuleuieiit 
s'échanger  entre  eux;  les  racines  de  ré(|uation  de  Killing  d  autre  part  n'ont 
pas  varié,  car  elles  sont  restées  égales  aux  logarithmes  des  raeines  de  r(M|iiatioii 
en  S  de  l'adjointe  A,,. 

Soient  alors  r"'  et  ''"'  les  valeurs  Initiale  et  liuale  de  c^';  les  racines  de 
l'équation  de  Killing  de  15,,  seront  slors  f.),,  ',hy.  .  .  .,  oi,  correspondant  aux  opé- 
rateurs conjugués  "/,,  Ài,  ....  "/,,  ;  les  racines  de  ré(|uation  de  Killing  de  B, 
seront  encore  w,,  '.u,  ...,  oj,-,  correspondant  aux  fipérateurs  conjugués  y.,, 
ij.-^,  .  .  . ,  /jt,  qui  ne  seront  autre  chose  (|ue  les  opérateurs  /.| .  Âo,  .  .  . ,  À, ,  dans  un 
autre  ordre. 

L'ensemjjle  des  opérateurs  conjugues  élanl  les  mêmes  pour  e""  et  pour  e"', 
ces  deux  transformations  sont  permutahles  et  si  nous  considérons  la  transfor- 
mation 

,,/iii„-.- 1— /i  iii^ 

où  /)  est  un  nombre  ^irliilraire,  celte  transformation  ([ui  fait  d  ailleurs  partie 
de  l"  a  mêmes  opi'rateurs  conjugués  (jue  (?""  et  cjue  c"';  (|uand  nous  ferons 
croître  h  de|Hiis  u  jus(|u'à  i ,  les  opérateurs  conjugués  ne  changeront  pas,  et  les 
racines  de  l'équation  de  Killing  varieront  d'une  manière  continue;  la  transfor- 
mation se  réduit  pour  //  =  o,  à  e"'  et  elle  admet  jiar  consé(|uent  les  racines  to,, 

OJ.J.   .  .  .,  '.),  cf)rresponilanl  aux  opérateurs  y,,  [j.^ /j,  ;  pour  //  =  i ,  elle  se 

réduit  à  c"",  les  opérateurs  sont  restés  /jti,  [j.j,   .  .  .,  ;/, ,  (;t  les  racines  sont  deve- 


ioo  NOUVELLES    REMARQUES    SUR    LES    GHOIPKS    CONTINUS. 

nues  C0|,  (o.,,  .  .  . ,  oj,  .  Gomme  nous  sommes  revenus  à  la  transformation  initiale, 
les  racines  w'  ne  sont  autre  chose  que  les  racines  m  dans  un  autre  ordre,  de 
même  que  les  pi  ne  sont  autre  chose  que  les  À  dans  un  autre  ordre;  la  corres- 
pondance entre  les  racines  et  les  opérateurs  doit  être  rétablie,  de  sorte  que 
c'est  la  même  permutation  qui  fait  passer  des  w  aux  &>',  et  des  1.  aux  /j.. 

Ainsi  donc,  nous  sommes  partis  de  r^'  et  nous  sommes  allés  à  c"'  en  faisant 


et  faisant  varier  (J  d'une  manière  continue  comme  nous  lavons  dit  ;  puis  nous 
sommes  revenus  de  c^'  à  f""  en  prenant 

(j/;tl„-.-  I— A  11,^ 

\(i(ic  liiinsjorniiil inn  n  ii  /itninis  cessé  th'  /nin-  /lurl ir  de  V  <■/  les  vannes 
lie  I' i'(funti<ui  de  Killin<;  se  sont  permutées . 

A  tout  échange  entre  deux  déterminations  de  \  ,,,  correspond  donc  un 
échange  entre  deux  racines  de  l'équation  de  Killing  relative  au  sous-groupe  T. 
Je  veux  dire  rc(|ualion  obtenue  en  égalant  à  zéro  le  déterminant  caractéristique 
relatif  à  ce  sous-groupe;  cette  équation  est  de  degré  ;■  et  il  ne  faut  pas  la  con- 
fondre avec  l'éfjuation  de  Killing  du  sous-groupe,  obtenue  en  égalant  à  zéro  le 
déterminant  caractéristique  du  sous-groupe,  et  dont  le  degré  est  égal  à  l'ordre 
du  sous-groupe.  Pour  ces  distinctions,  voir  Cartan,  Tlièsc  inaui;iirale,  p.  28. 

RéciprO(|ueinenl,  si  deux  racines  de  cette  é(|uation  s'échangent,  deux  de> 
déterminations  de  \\^  s'échangeront,  sauf  une  restriction  sui'  liu|uelle  nou> 
reviendrons. 

Reprenons  ré(|uation 

g    t     (I      ^        ^  Vq      ^J  JE  l 

et  supposons  maintenant  (jue  e^  fasse  partie  de  1";  alors  les  opérateurs  conju- 
gués de  U  sont  les  mêmes  (|ue  ceux  de  \'„.  Si  deux  racines  de  U  s'échangent, 
les  opérateurs  conjugués  correspondant^'  de  l  s'échangent  également,  de  sorte 
que  deux  opérateurs  de  V„  s'échangent. 

Si  les  deux  opérateurs  de  \  j,  qui  s'échangent  ainsi  correspondent  à  deux 
racines  de  l'équation  de  Killing  de  V,,  (ou  ce  qui  revient  au  même  de  V,, )  cjuine 
sont  pas  égales,  deux  déterminations  différentes  de  \\  se  seront  échangées.  Tl 
est  clair  d'ailleuis  que  si  ces  deux  racines  ne  sont  pas  égales,  leur  dillérence  doit 
être  multiple  de  2/7:,  puisque  ces  deux  déterminations  diftérentes  de  e^"  doivent 
avoir  même  adjointe. 


NOt  VKI.LFS    REMARQI  ES    SIB    LES    GIIOI  PES    CONTINUS.  'iol 

Soit  F(£,  t',.  i2,  ■■•,  1;)  le  premier  memhre  de  l'équalion  de  Killing.  Le 
sous-groupe  F  est  caractérisé  par  un  certain  nombre  de  relations  linéaires  entre 
les  (•;  à  l'aide  de  ces  relations,  on  peut  exprimer  les  v  en  fonctions  de  m  d'entre 
eux,  par  exemple  de  i  , ,  i...,  .  .  .,  i„,,  m  étant  l'ordre  du  sous-groupe  F. 

On  aura  par  exemple 

les  a  étant  des  fonctions  linéaires  de  i,,  vn,  ....  v,„.  Nous  nbliendrons  ainsi 
l'équation 

qui  est  Vi'qiKtlion  de  Killing  relative  au  saus-grùupe  V  et  dont  le  premier 
membre  est  homogène  de  degré  /•  par  rapport  à 

Si  le  premier  membre  se  décompose  en  facteurs  linéaires,  il  est  impossible  que 
deux  de  ses  racines  s'échangent  entre  elles;  et  par  conséquent  que  deux  déter- 
minations de  ^^'  s'échangent.  La  transformation  ^^'  est  .seulement  ijuasi 
singulière. 

Supposons  au  contraire  que  le  premier  membre  ne  se  décompose  pjs  en 
facteurs  linéaires  el  soit 

un  facteur  irréductible  non  linéaire,  homogène  d'ordre  y  piir  i-.ippoil  à  ;  et 
aux  r. 

Il  est  certain  alors  ([ue  les  racines  de  <I'  =;  o  sont  susceptibles  de  s'échanger 
entre  elles. 

Alors  plusieurs  déterminations  de  \^  s'échangeront  entre  elles  et  c^-  sera 
effectivement  singulière,  à  moins  que  les  racines  qui  s'échangent  ainsi  entre 
elles  ne  correspondent  à  des  racines  égales  de  ^  '„  (ou  ce  qui  revient  au  même 
de  V  o).  Soient  alors 

'■.=  "V-  '■.=  '■!! 0„=c)l, 

les  valeurs  des  r  qui  correspondent  à  \  „  ;  alors  r^  ^era  ed'ectivemeul  singulière 
à  moins  que 


H  i.  i-  .  !•; 


ne  soit  une  puissance  yo"""*^  parfaite. 

Si  ^(ç,  ('")  ne  se  léduit  pas  à  une  puissance />'"""'  parfaite,  e^   admet  plusieurs 
déterminations  susceptibles  de  s'échanger,  d'où  il  suit  que  le  groupe  G  cimtient 


^Oi  NOIVELLES  REMARQUES  SUR  LES  GROUPES  CONTINUS. 

certainement   des    Iransforniations  spéciales.   Ces    considérations    s"appli(|uent 
également  au  cas  du  paragraphe  VI  et  nous  font  comprendre  les  relations  enlre 
les  équations  en  ct  de  ce  paragraphe,  et  les  facteurs  de  l'équation  de  Killing 
relative  au  groupe  T. 
Reprenons  ré(|ualion 

nous  voyons  que  ^*'  et  e'i^''"  sont  permutables.  Donc,  parmi  les  transformations 
singulières  qui  ont  pour  adjointe  Âo,  il  en  existe  toujours  une  qui  est  permu- 
table à  une  subsliuilion  donnée  r'  (d'ailleurs  quelconque)  du  soiis-groupe  F;  et 
si  un  groupe  (j  contient  des  transformations  spéciales,  il  en  contient  une  qui 
est  permutable  à  l'inie  que!ci)U(|ue  de  ses  transformations. 

Eludions  maintenant  li-s  transformations  sini;uliéres  en  parlant  des  équations 
did'érentielles 

du  paragraphe  \  II.  Dans  le  cas  du  paragraphe  \  II,  lonles  les  racines  se  coni- 

porlant  comme  des  racines  simples,  l'exposant  tn  élail  loujours  égal  à  i .  Ici  nous 

examinons  le  cas  où  toutes  les  racines  ne  se  cuiii|ioricnt  pas  eoninie  des  racines 

simples. 

Supposons  par  exemple  que  oj/,  se  comporte  comme  une  racine  triple,  alors 

l'exposant  m   pourra   prendre  les  valeurs    i,    \i   el   .1,  et   les  termes  du  second 

membre  de|i).   ipji  contiennent  au   dénominateur  une  puissance  de  i — e"'"'', 

puniront  s'écrire 

H/  Ht  li;' 


Il  s'agit  d'étudier  la  forme  de  B,',  B7  el  B;'.  -Supposons,  pour  (ixer  davantage 
les  idées,  (|ue  la  racine  ',>/„  tout  en  se  comportant  comme  une  racine  triple, 
soit  quintuple  et  (]ue  les  opéraleurs  conjugués  correspondants  soient  au  nombre 
de  cinq,  à  savoir  :  deux  iln  |)remier  ordre 

Lï,=  1»,'  \,.         \V,=  Sic;  \,: 
deux  du  second  ordre 

L,=  i:«;'\,.       w.,  =  i:uf\;. 

ayant  respectivement  pour  dérivés  U(  et  \\  ,  ;  el  un  du  troisième  ordre 

ayant  pour  dérivé  \  ;\  il  est  aisé  de  voir  alors  que  les  B  sont  de  la  forme  sui- 


NOl  VELLES    REMARQUES    SI  B    LES   GROUPES   CONTINUS. 


vante  : 


h;'  =  7.1.11; . 


■;/."', 


'  ",-  —  ",'/"; 


%"■'  -  i^^"f- 


les  ^A,   les  Sa   et   les  /a    étant  des  fonctions  algébriques   des  r,  dépendant   de 
l'indice  A"  mais  indépendantes  de  l'indice  /. 

Cela  posé,  reprenons  l'équation  (2)  du  paragraphe  \  Il 


(■i) 


Si  <p  est  un  des  coefficients  de  l'adjoinlc  et  si,  en  paiticulier,  c'est  une  des 
racines  de  l'équation  de  Killing,  on  verrait  comme  au  paragraphe  \  1 1  que  -jj  doit 
rester  fini  quand  e""-  devient  très  voisin  de  1  et  par  conséquent  que  B'  doit  èln- 
nul.  On  en  conclut,  si  ',>  est  une  racine  quelconque  de  l'équation  do  Killing, 


</v,     '  ,lv,     ' 


,lv,      ' 


-1-  "r  =  "• 


Ce   sont   là   des   équations    tout    à   t'ait    analogues   à   l'équation    ( /j  )   du    para- 
graphe \  1 1 . 

Si  donc  M  est  \\\w  ratine  quelconque  de  l'équation  de  Killing,  et  si 

est  un  opérateur  conjugué  quelconque  de  \  (^cet  opérateur  peut  être  d'ordre 
quelconque,  et  se  rapporter  à  une  racine  de  l'équation  de  Killing  (juelcontpie, 
la  racine  zi-ro  seule  c.Tccjtlèr .  distincte  ou  non  de  w),  on  uLii-a  alors 


(3) 


'"TU:. 


7h,. 


et  celte  équation  sujjsisto  (juand  on  \   reniphice  m  }>ar  un  coefficient  (pielconque 
de  l'adjointe. 

Soit  alors  C  la  variété  foruK'e  pai-  les  divers  points  e,,  t\,,  .  .  .,  v,.  qui  corres- 
pondent aux  diverses  transformations  r^  admettant  une  même  adjointe  sin- 
gulière A,,.  Cette  variété  satisfera,  d'après  ce  qui  précède,  à  une  équation 
difl'érentitdle 


1 41 


ii\        II', 

II]  llr, 


,/r, 


II',: 


Jo4  NOUVEI.LtS    HKMARQIIS    MH    LKS    (;IIU11PKS    COMINI  S 

loiit  à  fait  analogue  à  l'équation  (i  i)  du  paragraphe  VII.  Soil  C,  l'une  des  varii-iés 
définies  par  celte  équation  diflérenlielle  ;  elle  |)eut  ne  pas  être  identique  à  C:  il 
peut  se  faire  que  le  nombre  des  dimensions  soit  plus  petit  pour  les  variétés  C, 
que  pour  la  variété  C;  que  par  chaque  point  de  C  passe  une  variété  C^,  de  telle 
façon  que  C  soit  engendrée  par  une  infinité  de  variétés  C,-  de  la  même  façon 
qu'une  surface  l'est  par  une  courbe  mobile.  Les  p  opérateurs 

Sm/X,-,     2m?X, SwfXi 

sont  les  divers  opérateurs  conjugués  du  premier  ordre  de  \  correspondant  à 
celles  des  racines  de  l'équation  de  Killing  qui  deviennent  simultanément  mul- 
tiples de  2  4  7;.  Le  nombre  p  est  donc  égal  au  nombre  de  ces  r.icines  sans  tenir 
compte  de  leur  degré  de  multiplicité. 

Il  resterait  à  montrer  que  cette  variété  C,  a   précisément  p  dimensions;  et 
pour  cela  il  faul  démontrer  que  si  l'on  forme  les  p  opérateurs 


<L     .,.  <L        „  .A  <L 


les  différentes  transformations  infinitésimales 

(111  ti>  esl  une  fonclion  arbitraire  des  c,  engendrcronl  un  groupe  continu  d'ordre 
infini. 

C'est  ce  que  l'on  verrait  par  un  raisonnemeiil  analogue  à  celui  du  para- 
graphe VU. 

IX.   —  Le  groupe   des  W ,. 

Nous  avons  trouvé  (Païenne,  p.  33r)  (')  quelle  esl  la  forme  des  opérateurs 
fondamentaux  du  groupe  paramétrique.  Celte  forme  est  la  suivante  : 

L'intégrale  doit  être  prise  le  long  d'un  contour  quelconque  enveloppant 
toutes  les  racines  de  l'équation  F(;)  =o.  Ce  contour  peut  être  décomposé  en 
contours  partiels,  enveloppant  chacun  une  des  racines,  ce  qui  permet  d'écrire 

XK/)=£X,(<o,/}, 

(  '  I  Œuvres  de  H.  Poincaré.  ic  tome,  p.  233. 


NOUVELLES  REMARQUES  SUR  LES  GROUPES  CONTINUS.  3o5 

X,(fjj,y)  élanl  la  même  intégrale  prise  le  long  d'un  contour  enveloppant  seule- 
ment la  racine  ?  ^  tu. 

Examinons  séparément  chacun  de  ces  termes,  et  d'abord  X,(o,  /).  Si  E  =  o 
est  racine  d'ordre  p.,  on  peut  poser  F(t)  =  ^i^F,  (Q  et  développer  ensuite  suivant 
les  puissances  de  ^ 

=  Ao+  A,  Ç -;-..., 


P.7 


B„-i-B,Ç 


1^  V 

p 

Nous  remarquerons  que  Aq,  Ai,    .  .  .    sont  des  nombres;  que  -j^  étant  une 

fonction  rationnelle  homogène  dordre  y.  —  i  par  rappoit  aux  r  et  à  ;.  B,  sera 
homogène  d'ordie  p.  —  i  —  i .  On  trouve  d'ailleurs 

(?.)  X,Co./)  =  2-^(  A„B^._,--  A,  B„._,--.  ..+  A|,_,Bo). 

On  voit  que  X,(o,y')  est  une  fonction  rationnelle  des  r. 

Un  cas  particulier  intéressant  est  celui  où  les  [j.  racines  qui  sont  égales  à  zéro 
se  comportent  comme  des  racines  simples.  On  a  alors 

>;-("./)  =  2 -^B[._,. 
Passons  maintenant  à  X,('jj,  /).  Si  u  est  racine  simple,  on  a  simplement 

I  3  )  \,(  <•>.  /   I  =  - Th-, 7^  • 

I  —  e~'^    r  (  w  )    rfc, 

Si  (o  est  racine  multiple,  d'ordre'  p.,  nous  pouvons  écrire 

•/=v--  ' 
('i/>is)  X.,.((.j.y)=    7    l.l,,i  o)  it!,/. 

7  =  1) 

où  Ry  est  une  fonction  rationnelle  des  r  et  de  oi  (algél)ri(|ue  |)ar  conséquent  par 
rapport  airx  t)  et  où  l'on  a  posé 

On  remarquera  fjue  Onf',.),  \),j(r,))  et  enfin  X,(fj),  /)  tendent  vers  zéro  pour 
tiJ  =  —  ce. 

On  voit  en  outre  que  X,(/')  est  le  quotient  de  deux  fonctions  entières  par 
rapport  aux  r;  au  contraire,  chacun  des  termes  \,(w,/')  n'est  plus  une  fonction 
H.  P.  —  111.  39 


3o6  NOUVELLES  HEMARQUES  Sl'R  LES  GROUPES  CONTINUS. 

uniforme  des   c;  c'esl  une  fonclion  rallunnelle  des  c,  de  oi  cl  de  la  transcen- 
dante e"'". 

Maintenant  X,(/')  doit  satisfaire  aux  relations  de  structure 

(4)  ^  (X,X,)  =  2f//,..X, 

et  nous  dcviins  reclierehcr  quelle  est  la  forme  du  premier  membre:  on  aura 
évidemment 


la  sommation  devant  être  étendue  à  tous  les  couples  de  racines  oi^.  '.ly.  Quelle 
est  la  forme  de  (X^X^')?  On  aura 

.-  ,/\{'   ,/\'f,       ,/\'i'    d\l 


Oi'  si  l'on  se  rep(U'tc  à  la  lormule  (3  liis)  ou  voit  que  l'on  aura  encore 


V=iJ.~l 


R    et  R"  étant  comme  R,^  rationnels  en  c  et  o)/,. 

Dans  le  cas  (u'i  oj^,=  o.  les  dérivées  de  \('  sont  rationnelles  par  rapport 
aux  f. 

On  conclut  de  là 

(5)  (Xf  X'i)  =  SR^s  DJco,,)  l);ii  <o,/ ,). 

l(;s  ï{y,ifi  étant  rationnels  par  rapjiorl  aux  r,  à  ',ip  et  rj:>q\  quant  à  c.  et  (3  ils  varient 
de  o  à  [ji.  et  de  o  à  p.',  /a  étant  l'ordre  de  multiplicité  de  is)/,  et  p.'  celui  de  co^;  la 
combinaison  a  ^  p,  p  =  p.'  étant  d'ailleurs  exclue. 

J'ajoute  que  R^  est  homogène  de  degré  '/ +  i  pai'  rapport  aux  r  et  auxw; 
que  par  conséquent  R'  est  de  degré  q  -h  i ,  Pv"  de  degré  ij  et  H^i  de  degré 
a  -(-  (3  +  I .  J'observe  encore  que  les  équations  [?>  bis)  et  (  .j  )  peuvent  se  mettre 


NOl'VELI.ES    KEMAROIKS    SIR    LES    GROUPES   CONTINUS.  307 

SOUS  la  forme  suivante  : 

(.5  6(-.0  (X?XX)  =  SSafi. 


les  S  étant  des  fondions  rationnelles,  non  lidniogènes  cette  fois,  des  r  et  des  w. 
L'équation  (4)  peut  encore  s'écrire 

(,\bis)  s(xr\n  =  sc,7,,,x';, 

les  sommations  portant  sur  les  indices  ji,  q,  s.  Elle  doit  devenir  une  identité 
quand  on  j  remplace  \f  et  (X^'X'/)  par  leurs  valeurs  (3  trr)  et  (5  bis).  Parmi 
les  termes  des  seconds  membres  de  (3  ter)  et  (5  6i'.s),  nous  distinguerons  trois 
catégories  : 

i"  Ceux  qui  ne  dépendent  d'aucune  transcendante;  ce  sont  ceux  ([ue  l'on 
obtient  dans  (3  ter)  si  w^  =  o,  ou  dans  (5  bis)  si  00^=  01^=  o. 

2°  Ceux  qui  ne  dépendent  (|ue  d'une  seule  transcendante  exponentielle;  ce 
sont  :  a.  les  termes  de  (3  ter)  où  w^,  o  ;  b.  les  termes  de  (5  bis)  où  l'une  des 
racines  o),,,  oi^  est  nulle  et  l'autre  dill'érente  de  zéro  ;  c.  les  termes  de  (.)  bis)  où 
le  rap[)ort  des  deux  racines  oj,,  et  w^  est  une  constante  commensurable. 

3"  Ceux  qui  dépendent  de  deux  transcendantes  exponentielles.  On  les  ren- 
contre dans  (5  bis)  ipiand  le  rapport  —  n'est  pas  une  constante  commensu- 
rable. 


Ciimme  quelques-uns  de  ces  lermes  ne  soni  pas  susceptibles  de  se  réduire 
avec  ceux  des  autres  catégories,  on  est  conduit  à  certaines  relations  (pie  nous 
allons  examiner. 

Pour  cela,  nous  répartirons  les  racines  co  en  groupes,  en  réunissant  les  racines 
dont  le  rapport  est  constant  et  commensurable. 

Soient 

les  diverses  racines  d'un  même  groupe,  les  k  étant  des  constantes  commensu- 
rables  et  oj^  une  fonction  des  r.  En  général,  nous  supposerons  que  /. , -=  1  et 
(|ue  'itp  est  elle-même  une  racine.  Soit 

\''i^  \l\Ml,.f  )  =  \,(Â-,(0,,./)  —  .  .  .-I-  X,(  /.-/,  w,,./). 

Nous  devons  encoi-e  faire  une  autre  distinction  :  les  rapports  /. , ,  /.j,  .  .  .,  /./, 
sont  par  lijpothèse  tous  réels  et  commensurables,  mais  quelques-uns  d'entre 


3o8  xouveli.es  remarques  sur  les  groupes  continus. 

eus  peuvent  être  négalifs.  Supposons  par  exemple  A'  <i  o.  Nous  avons  vu  que, 
quand  u  tend  vers  — oc,  les  expressions  D^((,j)  tendent  vers  zéro.  Considérons 
maintenant 

et  faisons  tendre  oj^  vers  — co.  Alors  D^  tendra  encore  vers  zéro  si  ij  >  o,  mais 
Do  tendra  vns  i.  Soit  alors,  d'après  la  formule  (3  6;*), 

nous  poserons 

(  6  I  X ,  (■  /,-  (.),_, .  f  I  =  N  / 1  /.■  M,, .  /  1  —  X  ",  i  k  M,, .  f } 

avec 

Si  /,  est  positif,  je  conserverai  la  formule  (6),  mais  je  poserai 

x;\At.)/,./)  =  o. 

On  voit  que  dans  lous  les  cas  X"  est  alj;éljrique.  *t  que  \  •  tend  vers  zéro 
pour  'j)p= —  00.  Je  poser.ii  ensuite 

zf=  z,(to,,. /)  =  S  x;i /,,.,,,./). 

vr=  Zf-i-Tf 

(les  sommations  pnrlant  sur  les  diverses  valeurs  attrlbuahles  au  nombre  /■),  de 
sorte  que  Zf  lende  vers  zéro  pour  ru^,  =  —  oo  et  que  T'/  soit  algébrique.  On 
observeia  que  cette  décomposition  peut  se  faire  de  deux  manières.  Et  en 
effet,  nous  pouvons  faire  jouer  le  rôle  de  ',)/,  à  la  quantité  — tjip,  ce  qui  revient 
à  changer  les  signe>  de  toules  les  conslanles  /, .  On  trouve  alors 

\i(  kt.,,,./  )  =  x,i  (—  /.-)  (— (.)/,  I.  /  j  =  \;i  I— A- )  (—  <o/,  ).  / 1  ^  x';[  (—  /.  I  (— Mf,  ).  f]. 

X';(  koy.  f)  +  X:[(-  k)  (-  .>,,),  /]  =  K„. 

z,- (-  \.,, .  /)  =  s  x;  [  (-  A-  )  (-  <o/,  ),  ./•  ]. 

T/(—  CO/,.  /)  =  i;  \"i\(-  k  )  (-  to/,  I.  ./•  1. 
Vf  =  Z, (- w/,.. /•  I  +  T,i -<.,/,. /.. 

Adoptons  une  fois  poui'  toutes  l'une  ou  l'autre  de  ces  deux  décompositions; 
et  jiosons  encore 

z,"=x,.(o./)-!-i:Tr. 

d'où 

(;;  X,(/)  =  Z,''--2Z?. 


NOUVELLES    IIEMARQIJES   SIR    LES   GROUPES    CONTINUS.  ■:ioi) 

les  sommations  s'étendant  aux  divers  groupes  de  racines,  caractérisés  par  la 
quantité  '.i,,  (qui  ne  diffère  des  racines  du  groupe  envisagé  que  par  un  facteur 
constant)  ou  plus  simplement  par  l'indice  j». 

Envisageons  le  second  membre  de  (7);  nous  voyons  que  Z"  est  une  fimclion 
algébrique  des  r,  et  (jue  chaque  terme  Zf  dépend  d'une  transcendante  unique 
e~"('  el  tend  vers  zéro  pour  '.1^  =  —  00.  Il  est  clair  tpie  \,  ne  [teut  être  décom- 
posé ifitc  fT une  seule  manière  en  une  somme  de  termes  Siitistaisant  à  ces  con- 
ditions. Il  vient  l'usuite 


(8) 


(Xi\i)  =  i;(z?zi'j, 


les  indices  p  et  >/  |iouvanl  prendre  sous  le  signe  —  toutes  les  valeurs  possibles, 
y  compris  la  valeur  zéro.  Les  divers  ternu^s  du  second  membre  de  (S)  peuvent 
être  algébriques  (si  yo  =  ry^o),  ou  dépendre  d'une  transcendante  unique 
(si  /)  =  o,  ou  (j  =  o,  ou  p  =^  (/).  ou  dépendre  de  deux  transcendantes  r^"V,  e~'"'K 
Geux  qui  dépendent  d'une  ou  de  deux  transcendantes  tendent  vers  zéro,  quand 
l'une  ou  l'autre  de  ces  transcendantes  tend  vers  -|-co.  Ici  encore  celte  décom- 
position n'est  possible  que  d'une  seule  manière. 

Si  alors  dans  l'équation  (4)  nous  remplaçons  (X,\/,)  et  X,  par  leurs  valeurs 

(8)  et  (7),  les  deux  memljres  de  cette  équation  se  trouvent  décomposés  en 
termes  satisfaisant  aux  conditions  que  nous  venons  d'énoncer. 

En  faisant  dans  cette  équation  (9)  toutes  les  transcendantes  e^'"i'  infinies,  il 
vient 

(9)  '  (z,"z!;)  =  i:c,,,z«. 

L'équation  (9)  nous  apprend  que  les  opérateurs 

définissent  un  groupe  isomorphe  au  groupe  donné. 
Etudions  le  groupe  des  'L"{f):  nous  axons 

X,(o,y")  nous  est  donné  par  la  formule  (2),  et  nous  en  concluons  que  c'est  une 
somme  de  termes  rationnels  el  homogènes  de  degré 


par  rapport  aux  e  [y.  est  le  degré  de  multiplicité  de  la  racine  o);  le  terme  de 
degré  o  subsiste  seul  si  les   diverses  racines  nulles  se  comportent  comme  des 


3lO  NOrVELLES  REMARQUES  SUR  LES  GROUPES  CONTINUS. 

racines  simples.  Quant  aux  Tf ,  ce  sont  des  sommes  de  termes  de  la  forme  Ro  ; 
ils  sont  donc  algébriques  et  homogènes  de  degré  i  par  rapjiort  auï  i-. 
Je  puis  écrire  alors 

z?  =  u;'-u/+...+  u/-, 

llf  étant  homogène  de  degré  A'. 
De  là  les  identités 

(iiruif)^(u;ur')-...^(urui-)-(L'n)°,)  =  so/,-.at-'     <>-.  ^  i), 
'  ( Vf  uï) - (u;  Lir) +. . .- (ur' ui)  -^ (ur-Li",)  = ..  , .x - ,  >  x». 

En  |iartiriiliei',  si  les  racines  nulles  se  comportent  comme  des  racines  simples 
(ou  tout  au  plus  comme  des  racines  doubles),  on  a  ),  =  i ,  d'où 

|(U?U?)  =  o, 

(  (u;ui)  =  2:c,uj; 

ce  qui  montre  que  les  opérateurs  U]  définissent  un  groupe  isomorphe  au 
groupe  donné. 

Pour  aller  plus  loin,  reprenons  les  relations  de  structure,  lu'i  figurent,  comme 
nous  rav(in>  vu,  à  côté  de  fonctions  algébricjues  des  r,  un  certain  nombre  de 
transcendantes  indépendantes  c~"i'.  Dans  ces  relations,  remi)laçons  chacune 
des  transcendantes  ('~"'i'  par  lpe~'^p;  Ip  étant  une  constante  quelconque,  ces 
relations  ne  cesseront  pas  d'être  satisfaites. 

Soient  donc 

ces  relations.  Soit  \V,  ce  que  devient  X,  q\iand  on  y  change  f^'V  par  '/.pi:'^'''r. 
J'observe  : 

I*  Que  le  crochet  (W,W/i)  n'est  autre  chose  que  ce  que  devient  le  cro- 
chet (\,X/,)  quand  on  y  remplace  e"^"/'  par  lpe^"'r.  En  effet,  on  a  par  définition 

.    -.      ..    ,          ^.     rfX,     r/X/.           d\,     d\,, 
(    A;     A/,  )  =  -/i  -j j j j ) 

«'•/,    (fp/i         dph    dvu 

(  W  ,  W  /,  )  =  i./,  -j —  -j -j -i —  , 

di-h     dpi,  dpi,     dvi, 

en  écrivant  |ionr  abréger  pi,  au  heu  de  -f-  • 

Cela  posé,  observons  que  X,  dépend  des  c  de  deux  manières;  d'abord  algé- 


NOIVELI.ES    REMARQIES    Sl'll    IKS   GROl  l'ES    CONTINUS.  iu 

hriqueineul,  eu>uite  par  l'iuteinifcliaire  dus  exponentielles  /'-'"/■;  c'est   ce  que 

j'exprimerai  en  écrivant 

\,=  !•;(>/,.  17,,  e-"/.), 

F,  devant  être  une  fonction  alj^tibrique  de>  p/,^  des  17,  et  des  .1,,  =:r^"V.  On  a 

alors 

\V,=  F,i>/,.  .7,.  À,,  e-""!-). 

Il  vii'nl  alors 

>/X,  _  ^  _  V  <^  I    'H: 
-r/(7,  ~  e*r/,        "  c/J,,    ''  f/17,  ' 

en  représenlaiit  par  des  ()  les  dérivées  prises  en  regardant  les  c^  et  les  J^,  comme 
des  variables  indépendantes.  On  a  de  même 

d'où 

■     '      '''^^{di',,    dp,,  ,hi,     dp,,)       ^'"'' d^-,\di,,    dp,,  ,)},.     dp,,)' 

'      ''        "\ài',,     dp,,         di,,     dp,,/  ''dv,,\d};,     dp,,  di,,     dp,,) 

On  voit  que  la  seule  dillerence  entre  les  deux  crochets  (X,X/,)  et  (^^  ,^^  a), 
c'est  que  dans  le  premier  on  doit  tairi'  Jp  =  r^''V  et  dans  le  second  J/,=  ).pe~'^p. 

2°  La  relation  (\)  a  ses  deux  membres  algébriques  par  rapport  mm  j),,,  aux  {/, 
et  aux  transcendantes  S p  =1  ,'^'''i' .  Elle  doit  donc  être  une  identité  cpiand  on  y 
reganle  les  fi,,,  les  c/,  et  les  ,1/,  comme  des  variables  indépendantes. 

Elle  doit  donc  subsister  tjuand  on  y  fait  J^,  = /.^e""/',  c'est-à-dire  ([ue  l'on  a 

(WiW,,)  =  i:c,7,,,W,,. 

En  d'autres  termes,  les  npi-ratcurs  \Y ,■  engeiiflrcrnul  un  i;r<iupe  isamni-phc 
au  groupe  des  Z,. 

Pour  bien  préciser  le  résultat  obtenu,  supposons  par  exemple  qu'une 
racine  W3  soit  égale  à  la  somme  de  deux  autres  oj,  -4-  'jj.  Alors  les  trois  transcen- 
dantes 

Ji  =  e-"s         J.  =  e-™'.         J;i  =  e-'»" 

ne  scuit  plus  indépendantes.  Si  l'on  veut  les  remplacer  par 

les  constantes  À,  et  ?..  peuvent  être  choisies  d'une  manière  quelconque;  mais  il 
n'en  est  pas  de  même  de  1  %,  qui  est  assujettie  à  la  condition 

/..,  =  À,  À,. 


3r2  NOUVELLES    REMARQLES    SLR    LES    GROUPES    CONTINUS. 

Le  groupe  des  A\  ;  contient  des  cas  particuliers  remarquables.  Si,  par 
exemple,  on  suppose  que  toutes  les  constantes  >.  sont  nulles,  on  tombe  sur  le 
groupe  engendré  par  les  Z"  ;  si  on  les  suppose  toutes  nulles,  sauf  /.^  que  l'on 
fait  égal  à  i,  on  tombe  sur  le  groupe  engendré  par  les  opérateurs  Z"  +  Zf . 

On  a  vu  aussi  que  la  définition  de  Z|^  peut  être  modifiée  si  l'on  fait  jouer  le 
rôle  de  Wy,  à  — Wp.  Si  Z,"  est  ce  que  devient  Z"  par  suite  de  cette  modification, 
le  groupe  des  Z}"  est  encore  isomorphe  au  groupe  donné.  Mais  il  rentre  encore 
comme  cas  particulier  dans  le  groupe  des  ^\  ,■;  il  suffit  de  faire  tous  les  ).  nuls, 
à  l'exception  de  t./,  que  l'on  suppose  iiilini. 

Le  groupe  des  W,  contient  donc  nimme  cas  particulier,  non  seulement  le 
groupe  donné,  celui  des  X,,  mais  encore  les  autres  groupes  que  nous  avons 
envisagés  successivement  dan>  ce  paragraphe.  Remarquons  que  l'isomorphisme 
du  groupe  des  AN  ,  à  celui  des  X,  est  m  grin'-rnl  holoédrique;  en  elfel  les  ^^  , 
dépendent  de  certaines  constantes  À  -que  l'on  peut  faire  varier  d'une  manière 
continue. 

Pour  certaines  valeurs  des  À,  à  savoir  pour  A  ^  i ,  l'isomorphisme  est  cert;ii- 
nement  holoédrique,  puisque  les  deux  groupes  sont  identiques.  L'isomorphisme 
ne  pourrait  donc  cesser  d'être  holoédrique  que  pour  certaines  valeurs  particu- 
lières des  A. 

On  verrait  de  même  que  les  deux  groupes  sont  en  général  semblables,  au 
sens  de  Lie,  de  sorte  qu'on  peut  passer  de  l'un  à  l'autre  par  un  simple  change- 
ment de  variables. 

Quel  est  ce  changement  de  variables?  C'est  ce  que  nous  allons  voir  plus  loin. 

Quelques  exjjlications  sont  ici  nécessaires;  le  groupe  des  X,.  c'est-à-dire  le 
groupe  paramétrique,  est  sim/)lemeitl  tninsilif.  de  telle  sorte  qu'étant  donnés 
deux  systèmes  quelconques  de  valeurs  des  variables  c",  r",  ....  ("et  r| ,  i.', ,  ...,  t'I 
il  V  a  une  transformation  du  groupe  et  une  seule  qui  tr.insforme  le  premier 
système  dans  le  second.  Le  groupe  des  W  ,,  dont  celui  des  X,  n'est  ((u'un  cas 
particulier,  correspondant  à  certaines  valeurs  particulières  des  À,  devra  être 
encore  aussi,  en  général,  simplement  transitif  et  par  conséquent  semblable  à 
celui  des  ;,.  Appelons  i\  les  variables  indépendantes  relatives  au  groupe  des  W  , 
pour  ne  pas  les  confondre  avec  les  variables  c,  relatives  au  groupe  des  X/.  Soit 
l'j"  un  système  quelconque  de  valeurs  des  i',,  que  j'appellerai  le  système  initial. 
Jl  y  aura  une  transformation  e^  (où  \  =  ii-,X,),  et  une  seule,  qui  changera  ce 
système  initial  <■•'"  en  un  système  quelconque  i).  Les  v\  sont  alors  des  fonctions 
des  valeurs  initiales  rj"  et  des  paramètres  r,  qui  définissent  cette  transforma- 


NOUVELLES    REMARQUES   SUR    LES   GROUPES    CONTINUS.  )I5 

lion  <''■',  et  c'est  là  la  relation  entre  les  r,  et  les  f„  le  changement  de  variables 
(|ui  fait  passer  du  groupe  des  Z,  à  celui  des  W,.  Pour  certaines  valeurs  priiUi- 
cuUcres  des  >..  le  groupe  des  W,  peut  cesser  d'être  simplement  tninsitif  et 
semblable  à  celui  des  X,;  nous  verrons  plus  loin  que  cela  [leut  arriver  en  parti- 
culier pour  le  groupe  des  Z". 


X.  —  Application  au  groupe  des  rotations. 

Prenons  d'abord  pour  exemple  le  groupe  des  rotalions  et  renvoyons  pour  les 
notations  à  (Palerme.  p.  .33:i  et  33:))  (').  Nous  avons  désigné  par  m9  l'angle 
de  rotation  et  par  a,  j3,  y  les  cosinus  directeurs  de  l'axe  de  rotation;  et  nous 
avons  posé 

(i)  (■,  =  20.  f,=  ;iO.  r;..=  -.-0         (0'=  cj-i- (•H+ i'5  ), 

de  lelle  façon  rpie  le  vecteur  r,,  r.,  r.i  a  pour  direetion  celle  de  l'axe  de  rotation 
el  pour  longueur  la  moitié  de  l'angle  de  rotnti(ui.  Dans  ces  conditions,  nous 
avons  formé  les  opérateurs  Z,,  Z^,  Z;,  et  trouvé  p.ir  exemple 

(■X)  Z,  =  ^^.  [DcolOu  — :(M-.-^.-l 

^  EL  r ,.  +  -jju  ,  _  fl  col  0  )  I  -:-  4^  I—  .■,+  y.-(i  —  0  (■"!  0  i]. 

Piiur  former  le^  W  d'npres  le  paragraphe  précédent,  il  suffil  de  changer  cot9 
en  cot(6i  +  /;),  h  élanl  une  constante  quelconque.  Je  puis  donc  écrire  l'expres- 
sion de  W,.  mais  il  sera  préférable  de  ne  pas  confondre  les  variables  qui 
figurent  dans  Z,  avec  celles  qui  (igurenl  dans  W,  ;  et  pour  éviter  celle  confu- 
sion, j'accentuerai  les  lettres.  Je  poserai  donc 

(/,  =  x'o',      e';,=  [5'0',      p3  =  y'o'      (  e'î=  c','-'-- c:^-  iv) 

el  j'aurai 

(3)     \Vi=  ^[e'c<)t(6'^/M(i  — a'"-}^3t'=| 
«(■| 

+  4C  ]  .''3  ^  «■  :i'[  1  —  0'  col( 0'-  /i  )]  i  -  vt  !  -  <•',  ^  ^'-('[i-  fl'  <•"'  K^'-r-h)]',. 

D'après  le  paragraphe  précédeni,  le  groupe  des  Z  et  celui  des  W  doivent 
être  isomorphes  et  même  semblables,  de  sorte  que  l'on  peut  passer  de  l'un  à 

(')  Œuvres  de  H.  I^oincart-,  ce  Uinie,  p.  324  el  'iii. 

H.  P.  -  III.  4' 


3l4  >OUVELLES  REMARQUES  SUR  LES  GROUPES  CONTINUS. 

l'autre  par  un  changement  de  variables.  11  s'agit  de  déterminer  ce  changement 
de  variables,  c'esl-à-dire  de  voir  quelles  relations  il  doit  y  avoir  entre  les  r'  et 
les  c. 

Pour  cela  reprenons  le  calcul  de  la  lin  de  la  page  332  et  du  commencement 
de  la  page  333  (Palerme),  mais  en  posant 

I    !■',  =  :t(0  — A),  (.'.,=  'i(0  — h).  p'3  =  -;(0  — /!). 

Nous  trouverons  par  exemple 

,  ,        „,    ,  ,„,        0'(/'Ji         O'acosflf/X         a  rfÀ 

MiiO  bin-O  siiiO 

et  linalenKiiil  nous  arrixerons  à  la  même  foiinule  délinitive,  sauf  que  ';  sera 
remplacé  par  0'  quand  il  est  en  dehors  des  signes  trigonomélriques,  ou.  ce  (jui 
revient  au  même,  que  les  lettres  y  seront  accentuées  et  cotO  remplacé  par 
rot(6''4-  h). 

Le  vecteur  i|,  r.,,  i'.  a  donc  même  direction  que  le  M'Cleui-  r,,  i.;,  e,  (celle 
de  l'axe  de  rotation),  nuiis  la  longucui-  du  vecteur  n  est  j>as  la  même;  la  diffé- 
rence des  longueurs  est  égale  à  la  conslanle  /i .  li/isi  se  Innuf  définie  la  rrla- 
lion  cherchcc  entre  les  v  et  les  r'. 

Mais  cette  solution  n'est  pas  unique.  .Soit  en  ellet 

,.'(1        ,.'n  .'(1 

i  ,  ,      i  ._,  .       i   i 

un  système  cjuelconque  de  valeurs  des  r  (pu^  n^u^  appellerons  le  système 
initial. 

Appliquons  à  ce  système  une  rotation  quelconque  du  groupe  t'^,  caracté- 
risée par  les  valeurs 

r,  =  aO,  C;  =:  [jO,  <'3  ^  yO 

des  variables  e.  Après  cette  rotation,  les  variables  r'  auront  pris  les  vahnirs 
et  nous  aurons 

(5)  ,/=/,(,■■;',.•;;',  e;;',  ,■,,  c„  ,-3)      (^  =  i,v.  3). 

Si  l'on  se  donne  les  valeurs  initiales  r'-",  les  relations  (o)  délinissent  le  chan- 
gement de  variables  qui,  en  passant  des  variables  c  aux  variables  r',  nous  fait 
passer  du  groupe  des  Zj-  à  celui  des  W/.  On  voit  que  ce  changenu'nt  de  variables 
n'est  [)as  unique,  puisqu'il  dépend  des  trois  paramètres  arbitraires  i'',". 

La  solution  (pie  nou>  xenons  d'étudier  correspond  à  un  choix  particulier  de 


NOlVELr.ES    HEMARQIES    SLR    LES   GROIPES    CONTINIS.  3l5 

ces  paramètres;  une  rotation  nulle  v  correspondra  à  un  vecteur  de  longueur  h 
de  dlreclion  d'ailluurs  quelconque  :  or  cette  rotation  nulle  doit  correspondre  au 
système  inilial  c  "  ;  notre  solution  particulière  suppose  donc 

La  solution  la  plus  générale  s'obtiendrait  de  la  façon  suivante.  Elle  dépen- 
drait de  la  constante  //  et  de  la  rotation  constante  c^,  où 

A  =  «iXi-T-  a;X.-7-  «3X3. 

Construisons  avec  les  variables  l'i,  l'j,  i'3  la  rotation  c^  ;  combinons  les  deux 
rotations  l'une  constante  ('\  l'autre  variable  e"  et  soit 

Construisons  le  vecteur  f^,.  112-1  1I31  prolongeons-le  d'une  longueur  égale  à  /(, 
et  nous  aurons  le  vecteur  r,,  c.,,  c.,  ;  ce  qui  nous  donne  les  i'  en  fonctions 
des  ('. 

Voyons  maintenant  ce  qui  se  passe  en  ce  (]ui  concerne  le  groupe  des  Z'/ ; 
pour  le  former,  il  faut  prendre  ',)p  =  id,  ou  bien  f.jp=  —  iô  ;  cela  revient  à  rem- 
placer cotô  par  -\-i,  ou  par  — i.  En  effet,  nous  passons  des  groupes  des  Z,  à 
celui  des  W,-  en  changeant  cotS  en  col{0 -i- h)  ou  c'^  en  e''^+^)  =  Xe'^, 
où  l  =  <-'''. 

INIais  le  groupe  des  Z"  s'obtient  cuninn'  mius  l'avons  vu  quand  on  fait  ),  =  o 
ou  l=:cc.  Il  faut  donc  faire  /i  =  00,  la  partie  imaginaire  de  h  étant  égale  soit 
à  H-  00,  soit  à  — 00,  ce  (jui  donne  cot(9  +  A)  =±:  /. 

Il  V  a  donc  deux  groupes  des  ZJ'.  Nous  considérerons  l'un  d'eux,  par  exemple 
celui  où  cot(5  -!-/()  =  +/. 

Prenons  donc  les  formules  de  la  page  333  de  l'alerme  (').  et  remplaçons-y 
col9  par  i. 

Il  viendra 

(6)  dt>,  =  /,[;■  6(1  —  :(=)  —  ^î]  +  /,[_  c,-^  «[^(i  _  /B)]  -r-  /jLi';^  x-fd  —  (9)]; 

les  valeurs  de  (h\  et  df3  s'en  déduiraient  par  permutation  circulaire. 
On  en  déduit  aisément  (en  tenant  compte  de  ia-=  i) 


(')  Œuvres  de  H.  Poincaré,  ce  tome,  p.  23.5. 


Jl6  NOUVELLES  REMARQUES  SUR  LES  GROUPES  CONTINUS. 

et 

1   doc  =  (V|(,3=T-  ■]'-)  —  ^(  Y  -t-  ioi'fi)  -4-  ':i(|i—  (ï-;,). 

(8)  .    (/[!  =  /,(  Y  — (7.|3)  +  (75(a=+Y=)  —  ;3{;a-(-/;iY)' 

et  l'un  reniar(|iiera  ([ur  les  accroissements  des  cosinus  directeurs  a,  (3,  y,  |iro- 
duils  par  une  transformai  Ion  Infinitésimale  quelconque,  dépendent  uniquement 
de  CCS  cosinus  directeurs  eux-mêmes  et  sont  indépendants  de  B. 
De  plus  on  a,  comme  il  convient, 

3C  rfx  -T-  [i  r/[j  -^  Y  </y  =  o, 

piiisqui^  a^  +  P'  +  y^  doit  rester  constant  et  égal  à  i .  On  a  d'ailleurs 

dx-  -r  d'fi-  -r  d-;'-  =  (). 

Ce  n'est  pas  tout.  Si  l'on  regarde  a,  p,  y  comme  les  coordonnées  rectangu- 
laires d'un  point,  on  a 

a=+  [i--\-  y-=  l, 

c'est-à-dire  cjue  le  point  a,  |3,  y  esl  sur  une  spliére.  Cette  sphère,  comme  loules 

les  surfaces  du  second  degré,  possède  deux  systèmes  de  génératrices  reclilignes. 

Je  dis  que  les  i^'riirralricrs  de  l'un  des  sysli-incs  iw  sonl  pas  allérres  par  les 

transformations  dit   L^rinipe.  11  suffira  de  faire  la  vérldcation  pour  l'une  de 

ces  généralriees 

a  =  i,        ii=(Y- 

.le  vais  vérifier  (|ui'  si  l'on  a  a  =  i ,  [î  =  iy ,  on  aura  également 

rfa  =  n,  ^/3  =  i  d-{. 

Il  vient  en  efTet 

I      d-J.    r=    0. 

^9)  I  '/[S  =  -'Y'! -+- ' 'î',' -+- Y')  — '3(1  — Y')' 

(  r/v  =  —  af'Y^-)- ^(I-f■  Y"-)-^ ''.1"  — Y') 

et  la  vérification  esl  immédiale. 

On  volt  ainsi  que  le  iirtnijte  des  7"  n'est  pas  transi/ if.  puiscju'il  ne  permet 
pas  de  jjasser  d'un  système- de  valeurs  des  variables  à  un  antre  système  quel- 
rontpie^  mais  seulement  à  un  système  correspondant  à  une  même  génératrice 
rectUigne  de  la  sphère.  Le  groujje  des  'U\  n'est  donc  |>as  semiilaiile  à  celui 
des  Z,-,  et  il  n'est  pas  possible  de  passer  d'un  groupe  à  l'autre  par  un  simple 
changement  de  variables. 

Nous  avons  vu  qu'il  y  a  deux  groupes  des  Z",  que  l'on  obtient  en  prenant 


NOUVELLES    REMARQUES    SIR    LES    GROUPES   CONTINUS.  3l7 

!,>p=i'j  OU  (i)/,  =  — 15,  OU  bien  en  prenant  A  ^  o  ou  K=:cc.  Ces  deux  groupes 
correspondent  aux  deux  systèmes  de  génératrices  rectiligues  de  la  sphère. 

La  dernière  des  équations  (9)  montre  que  les  transformations  du  groupe  se 
réduisent  à  des  transformations  homographiques  sur  chacune  des  génératrices 
rectilignes  de  la  sphère  du  [ircniier  système.  Quels  sont  les  [)oints  doubles  de 
ces  transformations? 

Si  nous  considéions  par  exemple  une  rotation  autour  de  l'axe  des  x,  c'est-à- 
dire  si  nous  faisons  /j=  ^3  ^  o,  nous  voyons  que  l'on  a 

pour 

2  =  1.         [j  =  —  î'v         ou         Qi  —  —  I.         '■j  =  !'-;; 

c'esl-à-dire  que  le  lieu  des  points  doubles  se  compose  de  deux  génératrices  rec- 
tilignes du  second  système,  qui  rencontrent  l'axe  de  rotation. 

Remarquons  cju'à  r,  =  (  .j  =  cj  =  o,  c'rsl-à-dire  à  une  rotation  nulle,  corres- 
pondent des  valeurs  indéterminées  des  r',  puisque  la  longueur  du  vecteur'  r, , 
i'.,,  \\j  est  égale  à  h,  mais  sa  dneclion  inditerminée.  Le  point  c,,  r'.,.  v'.^  est  donc 
un  [loint  indéterminé  d'une  sphère.  Lue  transformation  infinitésimale  pourra 
alors  transformer  un  point  très  voisin  d'un  point  de  cette  sphère  en  un  point 
très  voisin  d'un  autre  point  de  cette  sphère  et  pouvant  être  1res  distant  du  pre- 
mier point.  Donc  les  rfc,  deviennent  infinies. 

C'est  en  effet  ce  qui  arrive.  Avec  le  groupe  des  Z,,  nous  rencontrions  ^  cotÔ; 
cot5  devenait  infini  pour  0  =  n,  mais  ^ii  colh  restait  fini.  Avec  le  groupe  des  \\  ,, 
5  cot9  est  remplacé  pai-  6  cot(0  -4-  // ),  qui  devient  infini  pour  9  =  —  //. 

XI.  —  Extension  au  cas  général. 

Je  me  propose  maintenant  d'étendre  au  cas  général  les  résultats  obtenus  dans 
le  paragraphe  précédent  relativement  au  groupe  des  rotations.  Considérons 
donc  un  groupe  jiaraniétrKpie  (1  <|uelciinqiie,  dérisé  des  /•  opéiateurs 

X,,     X„     ....     X, 

et  la  substitution  la  plus  générale  <■''  de  ce  groupe.  Considérons  également  son 
groupe  adjoint  G»,  et  dans  ce  groupe  l'adjointe  de  e^ .  Nous  savons  que  cette 
adjointe  est  une  substitution  linéaire  qui  transforme  les  /•  coefficients  u  de 

L  —  »,  \|    -  (/,  \,  — ...  —  ((,\,- 
dans  les  /•  coefficients  u'  de 


■JlS  NOUVELLES    REMARQUES    SLR    LES    GROUPES    CONTINUS. 

OÙ  Fou  pose 

U'  =  p-'v  U  e'f. 

Nous  savons  également  coiiiment  les  coefficients  de  cette  substitution  linéaire 
dépendent  des  v.  Ce  sont  des  fonctions  algébriques  des  f  el  d'un  certain  nombre 
de  transcendantes  indépendantes,  de  la  forme  e'''"r. 

Le  nombre  des  coefficients  de  l'adjointe  est  r-,  et  ils  se  trouvent  exprimés  en 
fonctions  de  /■  variables  indéjiendantes.  Il  y  a  donc  entre  eux  au  moins  /-  —  /• 
relations.  Il  v  en  a  exactement  /- — /■  si  le  groupe  G  e>l  de  la  première  caté- 
gorie. 

Il  \  eu  a  davantage,  s'il  est  de  la  seconde  catégorie,  parce  qu'alors  le  groupe 
adjoint  est  d'ordre  inférieur  à  /■. 

Dans  le  cas  particulier  du  groupe  des  rotations,  ces  /- —  /■  relations  ne  simt 
autre  cliose  que  les  relations  bien  connues  ([iii  hciil  les  neuf  cosinus  directeurs 
de  trois  directions  rectangulaires. 

Quelle  est  la  nature  de  ces  /■-'  —  /■  relations  (je  me  suppose  ici  placé  dans  le 
cas  des  groupes  de  première  catégorie,  mais  si  l'on  voulait  passer  à  celui  des 
groupes  de  seconde  catégorie,  il  n'y  aurait  rien  à  clianger  (|ue  le  nombre  des 
relations)?  et  d'abord  sont-elles  (oujoiirs  algébriques'.' 

Ne  voulant  pas  aborder  la  (|iiestiou  tlans  toute  sa  généralité,  je  me  bornerai  à 
l'aire  observer  (|u'il  en  est  ainsi  dans  un  très  grand  nombre  de  cas.  comme  le 
montre  un  tliéorème  de  Gartan  [loc.  cit.,  p.  i33  ).  Ge  théorème  nous  apprend 
(|ue  pour  tout  groupe  linéaire  serni-sini/ili',  on  peut  choisir  les  paramètres  de 
façon  (|iie  les  coelTicienls  des  é(piations  Unies  du  groupe  soient  des  fonctions 
nilioniielles  de  ces  paramétres.  Les  lel, liions  entre  ces  coefficients  sont  donc 
algébii(|iies. 

Si  ces  /■- — /■  relations  sont  algébriques,  elles  ne  cesseront  pas  d'être  satis- 
faites si  dans  l'expression  des  coefficients  de  l'adjointe  en  fonction  des  r, 
expression  où  ligurciit  d'une  part  des  fonctions  algébri([ues  r  et  d'autre  part 
des  exponentielles  e^'",  on  considère  ces  exponentielles  comme  des  variables 
indépendantes.  Elles  ne  cesseront  donc  |)as  de  l'i'tre  si  l'on  y  remplace  r  '■'  par 
!(''•',  les  1  étant  des  constantes  aibitraiies. 

Soient  alors 

les  coefficients  de  l'adjointe,  et  écrivons 

(l)  rti=  a;(c.  e-"), 

<p,-  étant  une  fonction  algébrique  des  r  et  des  exponentielles  e^'"'. 


NOL'VEI.LES    REMARQUES    SIR    r.ES   GROIPES    CONTIM'S.  ilc) 

Si  nous  regardons  les  a.;  comniL'  donnés,  ces  équations  (i)  nous  donneront 
les  r,  et  elles  seront  compatibles,  pourvu  que  les  valeurs  des  c/,  satisfassent  aux 
/•- —  /■  relations  algébriques  précitées. 

Posons  maintenant 

Les  À  sont  des  constantes  quelconques,  choisies  une  fois  pour  toutes;  les  c' 
sont  des  variables  nouvelles,  les  ai'  sont  formés  avec  les  v'  comme  les  m  l'étaient 
avec  les  r. 

Ces  rquritioiis  (2)  sont  loni/iatihles,  car  les  relations  algébriques  enire  les  «, 
obtenues  en  éliminant  le>  r'  entre  les  étjuations  (:>)  scint  les  niâmes  que  celles 
que  l'on  avait  obtenues  en  éliminant  les  (^  entre  les  écpiations  (i),  ou  bien 
encore  en  regardant  les  i-  et  les  c  '•'  comme  des  variables  indépendantes  et 
éliminant  à  la  fois  toutes  ces  variables  indépendantes  entre  les  éijuatious  (1). 

Nous  pouvons  donc  écrire 

ce  qui  définit  les   relations   entre   les   anciennes    variables   e    et    les    nouvelles 
variables  e'. 

Considérons  maintenant  une  autre  transformation  du  groupe  paraniéli  ique 

gy  (.B\t~  gVt-./v         (;  éliiiil  très  peiii  I. 
Nous  aurons,  comme  nous  le  savons, 

les  5,-  étant  des  fonctions  algébri{|U(!s  des  r  et  des  exponentielles  r   '".  Ce  sont  là 
les  équations  diB'érentielles  du  groupe  paramétrique  engendré  jiar  les  \,. 

Pour  obtenir  ces  équations  (4),  nous  aurions  pu  opérer  de  la  f  içon  suivante  : 

Les  deux  transformations 

ont  respectivement    pour  adjointes    les    substitutions    linéaires   A'   et    A     iiui 
changent  U  en 

U'  =  e-'^'  U  c^ ,         U"  =  c--^'  <?-">"  U  e^'  e=X(  =  e-^'^»  l  '  e'"'. 

Soient  «;;  l'un  des  coefticients  de  l'adjointe  A';  a^-irda,  le  coefficient  cor- 
respondant lie  l'adjointe  A'.  On  aura 

«a^  raf''-  '""'") 


3-20  NOUVELLES  REMARQIES  SUR  LES  GROUPES  CONTINUS. 

et 

puisi|ue  cpï  dépend  des  diverses  variabk's  c,,  d'une  part  directement  et  d'autre 
part  par  l'intermédiaire  des  diverses  exponentielles  r~^''. 

D'autre  part,  on  passe  de  U'  à  U  "  par  une  substitution  linéaire  inliiiitésinmle, 
celle  qui  change  U'  en 

Gela  veut  dire  (|ue  <Ui:^  est  une  fonction  linéaire  à  coetlicients  eonstants  des  «3, 
ce  que  j'écrirai 

(Ida.         V  ,  ■ 

Cela  nous  conduit  aux  relations 

(5  )  32  Cyi  ;^:il  e.  <-'■')  =  i  -^  .A,-  lï  -j^  ^-»—  r/r,. 

De  ces  relations,  on  pourrait  tirer  les  — -'  et  l'on  de\  rail  retrouver  les  équa- 
tions (4)- 

Cliangeoiis  de  vari.diles  en  passant  aux  variables  r  .  Observons  pour  cela  que 
la  dérivée  totale  de  V^i,'',  c   '")  par  rapport  à  i,  est 


'-t  V  i_±_  ^— ro 


et  de  même  que  la  dérivée  totale  de  9,(^1',  'le   '"  Vpar  rajiport  à  rj  est 

— - —  2  ■ ,  A  G — W    • 

(h']  fl').  f—w  i/r'i 

En  (iitîéientianl  les  é(|ualions  (  j)  nous  trouverons  donc 

'/s,    ,         „„    th,  (loi    ,         „  f/ï-a   ,  ,       ^.,     '/oa     .  ,'ho'   ,  , 

'  ilr,  1/  e-'»  clii  dv[  ilh  c^"  dv] 

El  alors,  en  tenant  compte  des  équations  (':>)  el  (6),  les  éipialioiis  (5) 
deviennent 

(7)  ^^Ç.^,,,^i^.Xo-^■)='L'^,W,-^^^Xe-'^^■''^,K. 

Si  nous  comparons  leséqualions  (5)  el  (7),  nous  voyons  (jue  les  deux  membres 
de  (5)  sont  algébri(|ues  par  rapport  aux  r  et  aux  expoiienlielles  e  '".  l'our  passer 
de  (5)  à  (7),  il  suffit  de  diangei-  lU-,  en  <U-\,  r,  en  deliors  des  signes  exponentiels 

en  r'.,  et  t'  '■'  en  /<-"'"'. 


NOUVELLES  REMARQUES   SUR   LES   GROUPES   CONTINUS.  321 

La  résolution  des  écjuations  (5)  nous  ayant  donné 

(4)  t/.-,=  .e,((..,  e-"). 

celle  des  équations  (-  )  nous  donnera  donc 

(8)  rft';=  £  Oi(v'.  X  e-'"'). 

On  reconnaît  les  équations  différentielles  du  };roupe  des  ^\  ;  défini  au  para- 
graphe IX. 

Ainsi,  au  moins  dans  les  cas  très  généraux  où  le  théorème  cité  de  Cartan 
s'applique,  on  obtiendra  ce  grou[)e  des  W,  par  le  changement  de  variables  (3). 

C'est  là  la  généralisation  du  résultat  obtenu  au  paragraj)he  jtrécédent. 


H.  p.  -  III.  4, 


DElXIÈMi:   PARTIE 

i\Ti;r.  n  \lil-    ^mpLi-s    i;  r    ml  ltiplics 

TllÉOlilE     m:  s     FONCTIONS 


ANALYSE 


DE    SES 


TRAVAUX   SUR   LES   INTEGRALES 

Faite   par   H.    POINCARÉ. 


Acla  mathematica,  t.  38,  p.  73-77  (igii). 


VIII.  Intégrales  multiples.  [52,  o3.  60,  103,  168,  172.  181.  190,  200.] 

La  théorie  qui  a  le  plus  contril)ué  à  facililer  l'étude  des  fonctions  d'une  variable 
est  certainement  celle  dos  intégrales  prises  entre  des  limites  imaginaires.  Elle 
conduit,  comme  on  le  sait,  à  envisager  les  périodes  de  ces  intégrales  et  à  distin- 
guer les  périodes  polaires  (correspondant  aux  résidus)  des  périodes  cycliques. 
Un  des  points  les  plus  importants  est  d'ailleurs  l'étude  des  intégrales  abéliennes, 
c'est-à-dire  des  intégrales  de  différentielles  algébriques  ;  cette  théorie  est  ordi- 
nairement présentée  sous  une  forme  géométrique,  ce  qui  a  amené  à  dire,  pour 
abréger,  que  ces  intégrales  «  appartiennent  à  une  courbe  algébrique  ». 

Quand  on  passe  aux  fonctions  de  deux  variables,  la  notion  de  ces  intégrales 
et  de  leurs  périodes  peut  se  généraliser  à  deux  points  de  vue  différents  :  par  les 
intégrales  de  différentielles  totales  et  par  les  intégrales  doubles.  Je  ne  m'éten- 
drai pas  beaucoup  sur  le  premier  de  ces  modes  de  généralisation.  11  ne  m'appar- 
tient pas,  en  effet  :  c'est  M.  Picard  qui  en  a  tiré  les  premiers  et  les  plus  beaux  résul- 
tais. Je  n'ai  fait  qu'appeler  l'attention  [52],  à  la  suite  de  la  Note  de  M.  Picard,  sur 
quelques  points  de  détail.  Ainsi  ce  géomètre  avait  démontré  qu'une  surface 
algébrique  ne  possède  d'intégrales  abéliennes  de  différentielles  totales  de  pre- 
mière espèce  que  dans  des  cas  particuliers. 

Je  veux  dire  que,  si 

est  l'équation  d'une  surface  algébrique  définissant  ;  en  fonction  de  x  et  de  y, 


3?6  VNALYSK    DE    SES    IKAV.VUX    SUR    LES    INTÉGRALES. 

il  n'y  :iur;i  pas,  en  général,  de  différeulielle  exaclu 

V  .l.r         {),l\. 

OÙ  V  et  Q  soient  rationnels  en  .r,  )',  ^,  de  telle  façon  que  l'intégrale 

P  d.v  -  Q  dy 


f' 


reste  toujours  finie. 

Partant  de  là.  j'ai  trouvé  les  conditions  pour  qu'une  surface  du  quatrième 
ordre  possède  de  pareilles  intégrales.  Il  faut  et  il  suffit  qu'elle  soit  une  surface 
réglée  ou  qu'elle  se  ramène  à  une  surface  de  révolution  par  une  transformation 
linéaire.  J'ai  indiqué  également  un  certain  nombre  de  cas  où  il  n'v  a  jamais, 
et  d'autres  où  il  y  a  toujours,  des  intégrales  de  première  espèce. 

J'ai  reconnu  que  le  théorème  d'Abel  s'étendait  immédiatement  aux  intégrales 
de  différentielles  totales  de  première  espèce  ;  mais  il  semblait  au  premier  abord 
qu'il  ne  serait  plus  applicable  aux  surfaces  qui  ne  possèdent  pas  de  pareilles 
intégrales,  c'est-à-dire  à  la  grande  majorité  des  surfaces  algébriques. 

Il  n'en  était  rien.  J'ai  démontré  |53]  le  théorème  suivant  : 

Si  (j^i.  11,  z,),  (.^.j,  V.!,  ;j).  •..,  {-T,/.  y,j,  c^)  sont  les  y  points  d'inter- 
section d'une  surface  algébrique  S  et  d'une  courbe  algébrique  C;  si 
(  .r,  +  d.r,,  y,  H-c/),,  :,  'rd:,.  ...)  sont  les  t/  points  d'intersection  de  cette 
même  surface  S  av(!C  une  courbe  C  infiniment  peu  différente  de  C,  ou  aura 
un  certain  nombre  de  relations  de  la  forme 

\i  dj'\        \>  d.i:.,  -'.-...        \,y  d.r,f       ii. 

où  X,  est  une  fonction  rationnelle  de  .r,,  )•,,  ;,.  Ces  relations  peuvent  être  regar- 
dées comme  la  généralisation  du  théorème  ir.\bel. 

Les  iliflicultés  (|iii  s'attachent  a  l'élude  des  intégrales  d()ul)le>  et  multiples 
étendues  à  un  domaine  imaginaire  sont  d'une  nature  différente.  Il  semble  que 
la  théorie  des  intégrales  simples  prises  entre  des  limites  imaginaires  serait  d'une 
exposition  beaucoup  plus  laborieuse  si  l'on  n'avait  pour  s'y  guider  une  repré- 
sentation géométrique.  On  perd  ce  guide  (juand  on  passe  aux  intégrales  doubles  ; 
il  faudrait  alors  recourir  à  la  Géométrie  à  quatre  dimensions,  ce  qui  serait  une 
complication  plutôt  qu'une  simplification. 

Cet  obstable  ne  paraît  pas  d'abord  très  sérieux  ;  cependant  il  arrêta  longtemps 
les  géomètres.  M.  Picard,  à  propos  des  fonctions  hyperfuchsiennes,  avait  traité 


ANAUjlK    1)E    SK»    TKA\Al\    SLK    I.KS    I.NTKGRAl.ES.  il' 

iiiit'  ijueïlioii  qui  présente  quelque  analogie  avec  celle  qui  nous  occupe,  mais 
((ui  n'est  pourtant  pas  la  même  ;  les  quantités  qu'il  a  ainsi  introduites  ne  peuvent 
être  en  aucune  façon  regardées  comme  la  généralisation  des  périodes  des  inté- 
grales simples.  11  importe  de  ne  pas  les  confondre  avec  les  périodes  cycliques 
que  ce  même  savant  a  étudiées  peu  de  temps  après  la  publication  de  ma  première 
Note  à  ce  >ujet,  et  qui  se  rattache,  au  contraire,  très  directement  à  la  théorie 
que  j'ai  cherché  à  fonder. 

Je  fus  donc  le  premier  à  étudier  méthodiquement  cette  importaule  question 
dans  une  Note  [60]  que  j  "ai  eu  l'honneur  de  présenter  à  l'Académie  le  23  janvier 
i886  et  dont  j'ai  développé  les  résultats  dans  un  Mémoire  plus  étendu  [  181  ]. 

Le  premier  point  était  d'imaginer  un  mode  de  représentation  géométrique 
sans  employer  l'espace  à  quatre  dimensions.  On  peut  y  arriver  par  diverses 
méthodes  que  je  n'exposerai  pas  ici  et  dont  j  m!  fait  tour  à  lour  usage.  Il  faut 
ensuite  donner  une  définition  dos  intégrales  doubles  jjrises  dans  un  domain<' 
imaginaire,  (^ràce  aux  modes  de  représentation  dont  je  viens  de  parler,  on  peut 
donner  cette  définition  sans  qu'il  subsiste  aucune  équivoque.  Il  faut  ensuite 
démontrer  le  théorème  fondamental,  analogue  à  celui  de  Cauchy,  et  d'après 
lequel  une  intégrale  double  prise  le  long  d'un  contour  fermé  est  nulle  en  général. 
Celte  démonstration  ne  présente  aucune  diflicullé.  On  peut  trouver,  sous  une 
forme  simple,  les  conditions  d'intégrabilité  de  difTérentielles  doubles 

A  f/y  dz  —  B  </;  -/,<■       C  -//■  </i       .... 

qu'il  faut  d'abord  définir  sans  ambiguïté.  Ces  conditions  présentent  presque  la 
même  forme  que  celles  qui  e.vprinient  l'intégrabilité  d'une  différentielle  ordi- 
naire. Seulement  certains  signes  ([ui  sont  tous  positifs  pour  les  intégrales  d'ordre 
pair  et,  en  particulier,  pour  les  intégrales  doubles  sont,  au  contraire,  alternati- 
vement positifs  et  négatifs  quand  il  s'agit  d'intégrales  d'ordre  impair  et.  en 
particulier,  d'intégrales  simples.  Ces  conditions  une  fois  trouvées,  le  théorème 
fondamental  s'ensuit  immédiatement. 

Il  admet  cependant  des  exceptions,  comme  la  proposition  correspondante  de 
la  théorie  de  Cauchy,  et  ce  sont  ces  exceptions  qui  sont  l'origine  des  périodes 
des  intégrales  doubles.  Ces  périodes  se  distinguent,  comme  dans  le  ras  d'une 
seule  variable,  en  périodes  cycliques  et  en  périodes  polaires.  .le  me  suis  occupé, 
en  particulier,  des  périodes  polaires  ou,  si  l'on  veut,  des  résidus  des  intégrales 
doubles.  M.  Picard  a  étudié  ensuite  les  périodes  cycliques. 

J  ai    envisagé    l'intégrale    d'une  fonction  rationnelle  que   j'ai  écrite  sOus   la 


328  ANALYSE  DE  SES  TRAVAUX  SUR  LES  INTÉGRALES. 

forme  suivante  : 


// 


f(x,y)dxdy 
o(x,  y)'h{x,  y)' 


en  décomposant  le  dénominateur  en  fadeurs  irréductibles,  et  j'ai  reconnu  que 
celle  intégrale  présente  trois  sortes  de  périodes  : 

1°  Celles  de  la  première  sorte  sont  égales  à  2/77  multiplié  par  l'une  des  périodes 
de  [première  espèce  de  l'intégrale  abélienne 


/ 


fdx 

d^ 

•   d^ 


(rapportée  à  la  courbe  algébrique  ij'  =  o). 

2°  Celles  de  la  seconde  sorte  se  rapportent  aux  divers  points  d'intersection 
des  deux  courljes  o  =  ']>  ^  o  et  sont  égales  à 


../(•'•„.  .)■„) 


-t-   /.  TT-  ■- 

\(x„,   Ko) 

^{x,  y)  étant  le  déterminant  de  o  et  de  '|  par  rapport  à  a:  et  à  )•  et  x^  et  yç, 
étant  les  coordonnées  du  point  d'intersection. 

.'V'  Enfin  celles  de  la  troisième  sorte  se  rapportent  aux  divers  points  doubles 
de  ces  deux  courbes  et  ont  une  expression  analogue. 

Mais  la  théorie  serait  incomplète  si  l'on  se  bornait  à  ces  trois  sortes  de  périodes. 
Il  peut  arriver  que  la  fonction  sous  le  signe  intégral  devienne  infinie  en  divers 
points  du  contour  d'intégration  sans  que  l'intégrale  elle-même  cesse  d'être  finie. 
Cette  circonstance  ne  pouvait  pas  se  produire  dans  le  cas  des  intégrales  simples, 
lorsque  la  fonction  à  intégrer  était  rationnelle;  il  n'en  est  plus  de  même  ici.  D'un 
autre  côté,  on  ne  saurait  exclure  de  parti  ])ris  les  intégrales  de  cette  sorte  ;  car, 
autant  qu'on  en  peut  juger  aujourd'hui,  elles  doivent  jouer  un  rôle  important 
dans  les  applications. 

Or  les  intéerales  de  cette  nouvelle  sorte  ont  un  caractère  bien  différent  de 

o 

celui  des  intégrales  à  périodes.  Celles-ci,  en  effet,  ou  bien  restent  constantes 
quand  on  fait  varier  le  chemin  d'intégration  d'une  manière  continue,  ou  bien 
s'accroissent  par  sauts  brusques  ;  celles-là,  au  contraire,  varient  d'une  façon 
continue  comme  le  chemin  d'intégration  lui-même.  C'est  là  la  principale  diffé- 
rence entre  la  théorie  nouvelle  et  celle  de  Cauchj. 

Ces  résultats  s'appliquent,  mutalis  mulandis,  aux  transcendantes  et,  en 
particulier,  aux  fonctions  uniformes. 


ANALYSE    DE    SES    TRAVAtX    SIR    LES   INTÉGRALES.  320 

Celte  théorie  nouvelle  sera-t-olle  aussi  féconde  que  l'ont  été  les  découvertes 
de  Cauchj?  Elle  est  encore  trop  jeune  pour  qu'on  puisse  se  prononcer  sur  ce 
point.  Certainement  quelques-uns  des  résultats  qu'on  peut  obtenir  ainsi,  et  par 
une  généralisation  immédiate  des  méthodes  de  Cauchy,  auraient  pu  èirc  atteints 
plus  aisément  par  d'autres  voies.  Mais  on  peut  espérer  qu'il  n'en  sera  pas  tou- 
jours de  même,  et  déjà  je  suis  sur  la  voie  de  propositions  réellement  nouvelles 
dans  la  théorie  des  fonctions  abéliennes. 

Les  périodes  dont  il  a  été  question  jusqu'ici  sont  analogues  à  celles  qui  se 
rapportent  aux  singularités  polaires  des  intégrales  simples.  !Mais  lorsque  la 
fonction  sous  le  signe  /  ji'est  pas  uniforme,  les  intégrales  multiples  peuvent, 
outre  ces  périodes  polaires,  présenter  des  périodes  cycliques. 

C'est  une  question  de  Mécanique  Céleste,  celle  du  développement  de  la 
fonction  j)erturbatrice,  qui  ma  amené  à  m'en  occuper. 

Si  la  fonction  sous  le  signe  /  dépend  d'un  paramètre  (comme  par  exemjjle 
les  intégrales  elliptitjues  du  module)  les  périodes  cycliques  seront  des  fonctions 
de  ce  paramètre.  De  même  que  dans  le  cas  des  intégrales  simples,  ces  fonctions 
seront  définies  par  des  équations  linéaires  à  coefficients  algébriques.  J'ai  étudié 
ces  équations  linéaires  et  leurs  groupes  [I72J.  J'ai  montré  qu'il  y  a  un  lien 
intime  entre  l'équation  linéaire  qui  définit  les  périodes  des  intégrales  doubles 
dépendant  du  radical  yF{x,  y)  et  celle  qui  définit  les  périodes  des  intégrales 
abéliennes  simples  engendrées  par  la  courbe  algébrique  F(x,  )•)=.- o.  J'ai  fait 
voir  |)ar  quelle  transform.ition  on  peut  passer  de  l'une  à  l'autre. 

Cette  dernière  recherche  se  rattache  à  mes  travaux  sur  l'Analysis  Situs. 

D'un  autre  côté,  étant  données  plusieurs  intégrales  multiples  dépendant  du 
radical  \/F{x,  y),  on  peut  se  proposer  de  faire  une  théorie  de  la  réduction  de 
ces  intégrales,  analogue  à  la  théorie  classique  de  la  réduction  des  intégrales 
elliptiques  (ou  hyperelliptiques),  à  un  petit  nombre  d'intégrales  types  (dites 
de  première,  seconde  et  troisième  espèces).  J'ai  résolu  ce  problème  qui  m'était 
utile  pour  le  développement  de  la  fonction  perturbatrice  [168,  196,  206]. 

La  réduction  des  intégrales  doubles  et  celle  des  intégrales  de  diflerentielles 
totales  se  présentent  d'ailleurs  ici  comme  deux  questions  intimement  liées. 


H.  P.  —  m.  43 


BIBLIOGRAPHIE  DE  LA  DEUXIÈME  PARTIE 

INTÉG IULES    SIMPLES   ET   MULTIPLES 
de  l'Analyse  des  Travaux  scientifiques  de  Henri  Poincaré,  faite  par  lui-même. 


.'ri.    Sur  les  inlégrales  de  diliérenlieiles  totales   (Comptes  rt-ncliis  des  séances  de 
/  Aradeniic  des  Scii'iires.  29  décembre  1884). 

.'13.    Sur  une  généralisation  du  théorème  d'Abel  (Ibid.,  5  janvier  i885j. 

(Jtl.    Sur  les  résidus  des  inlégrales  doubles  {Ibid.,  -i"!  janvier  1886). 

10,').    Sur  les  Iransl'ormalions  des  surfaces  en  elles-mêmes  ( /A(V/..    103,   p.  j'i-î-j-l'i, 
i88tij. 

168.    Sur   les    périodes  des  inlégrales   doubles  et  le  développement  de  la    fonction 
peilurbatrice  (Ibid.,  liV,    p.   199-200,  189-). 

IT'i.    Sur  les  périodes  des  inlégrales  doubles  (Ibid.,  i-i.'!,  p.  99'-997,  1897;. 

181.    Sur  les  résidus  des  inlégrales  doubles   (    {i:ta  iinilkematica,  t.  9,    p.  .iai-SSo. 
1887). 

1!M).    Les  propriétés  du   Potentiel  el  le>  l'onclions  abéliennes  ilbid..   I.  'li.  y.  S9- 

178.  1898). 

iOO,    Sur  les  équations  aux  dérivées  partielles  de  la  Physi([ue  mathémati<(ui'  I  iiiu'- 
ri((tn  Journal  ol  Miillieiiiatics.  l.   12,  p.  89-178.   1899). 


SUR 

L4  RÉDUCTION  DES  INTÉGRALES  ARÉLIENNES 


Bulletin  de  la  Société  mathématique  de  France,  l.  12,  p.   i24-i43  (i884). 


I.  Tous  les  lecteurs  de  ce  Bulletin  connaissent  les  remarquables  travaux  de 
M.  Picard  Sur  la  r<''duction  des  intégrales  abèliennes,  qui,  après  avoir  paru 
dans  divers  numéros  des  Comptes  rendus  des  séances  de  V Académie  des 
Sciences,  ont  été  réunis  ici-même  en  un  Mémoire  unique.  La  même  question  a 
été  l'objet  des  recherches  des  géomètres  étrangers,  et  en  particulier  des  géo- 
mètres allemands. 

En  18741  '^I""'  Kowalevski  a  envoyé  à  l'Université  de  Gôttingen  un  Mémoire 
qui  va  paraître  dans  les  Acla  matliemalica.  Dans  ce  Mémoire  {Lcber  die 
Réduction  einer  bestimmlen  Klasse  AbeCschen  Intégrale  S""*  lianges  auf 
elliptische  Intégrale)^  elle  cite  les  deux  théorèmes  suivants,  dus  à  Weierstrass  : 

Si  l'on  envisage  un  système  de  0  intégrales  abèliennes  de  rang  p, parmi 
lesquelles  il  y  en  a  une  qui  est  susceptible  d'être  réduite  aux  intégrales 
elliptiques,  et  si  l'on  considère  également  la  fonction  0  correspondante  : 

i"  Cette  fonction  0  à  p  variables  peut  être  changée,  par  une  transforma- 
tion d'ordre  k,  en  un  produit  d'une  fonction  0  à  une  variable  et  d'une 
fonction  0  ô  p  —  i  variables. 

2"  Elle  peut  également  par  une  transformation  linéaire,  c'est-à-dire  du 
premier  ordre,  être  amenée  à  une  forme  lellc  que,  le  tableau  des  périodes 
s' écrivant  comme  il  suit  : 


(k) 


I      o 

O        I 


avec  les  conditions  habiluelles 


ta3  =  "3a, 


334  SUR    I.A    RÉDUCTION    l>KS    INTÉGRAI.IÎS    ABKLIENNES. 

la  prriode  T|2  snil  rointnensurable  cl  (/ue  1rs  périodes 

soient  /m //es. 

Le  premier  de  ces  ihéorèmes  a  été  communique  à  M.  K.onigsberger  el  le 
second  à  M""  Kowalcviki  par  des  lettres  de  AI.  \^  eierstrass.  Mais  ils  ne 
paraissent  pas  avoir  été  publiés. 

Le  premier  de  ces  théorèmes  peui  se  généraliser  comme  il  suit  ; 

Si  l'on  eiivisage  un  sjstéme  de  p  intégrales  abéliennes  de  première  espèce  et 
de  rang  o,  parmi  lesquelles  il  y  en  a  ij.  qui  sont  susceptibles  d'être  réduites  au 
rang  fjt,  la  fonction  0  correspondante  à  p  variables  peut  être  changée  par  une 
transformation  d'ordre  /.',  en  un  produit  d'une  fonction  0  à  tj.  variables  et 
d'une  fonction  0  à  (p  —  fx)  variables. 

Le  second  théorème  est  également  susceptible  d'une  généralisation,  ainsi 
qu'on  le  verra  pins  loin. 

11  n'est  pas  douteux  que  ces  généralisations  ne  soient  connues  de-  M.  Weier- 
strass;  mais,  comme  il  serait  diflicile  en  l''rance  de  s'en  procuier  la  démonstra- 
tion, je  crois  qu'il  ne  sera  pas  inutile  de  la  développer'  ici,  ignorant  d'ailleurs 
si  la  marche  que  je  vais  suivre  est  la  même  (lu'a  employée  l'illustre  anaivste 
allemand. 

"2.   Soit 
un  s\slème  quelconque  de  ■>  o  périodes.  Posons 

KZH  I 

x\,  j?.,,  .  .  .,  x\ç,  désignant  un  nouveau  système  de  2p  périodes,  et  les  coeffi- 
cients fiik  liant  entiers,  il  est  clair  (|ue  toute  fonction  qui  admettra  les  nou- 
velles périodes  x'  admettra  également  les  anciennes  périodes  x. 

Si,  de  plus,  le  déterminant  des  «,*•  est  égal  à  -+-  i ,  les  nouvelles  périodes  x' 
pourront  réciproquement  s'exprimer  linéairement  à  l'aide  des  anciennes  par 
des  expressions  à  coefficients  entiers.  Les  deux  systèmes  de  périodes  seront 
alors  équivalents. 

Soit  une  fonction  de  p  variables  admettant  ap  périodes  linéairement  indé- 
pendantes.  Ces    ■.>.p    périodes   formeront   un  système   primitif,  si    toute  autre 


srn    I.A    RÉDUCTION    DES    INTÉGRALES    ABÉLIENNES.  Vi'i 

période  s'exprime  à  l'aide  des  ap  périodes  considérées,  par  une  expression 
linéaire  à  coeflicienls  entiers.  Tous  les  systèmes  primitifs  sont  équivalents. 

Un  système  de  jjt  périodes  (fji  <  20)  sera  un  système  incomplet;  il  sera  pri- 
mitif si  l'on  peut  lo  compléter  en  lui  adjoignant  2p  -^  ,u  nouvelles  périodes  con- 
venablement choisies,  de  telle  façon  que  le  système  ainsi  complété  soit  lui- 
même  primitif. 

Soit 

.^1.        ■'-■1 '^■20 

un  s\  slème  complel  iniinitif.  l-'orruoiis  un  système  incomplet 

;'  «1,1 
\  «2.1 


(ij 


^1  X\  —  a-Il  Xt  - 


.  .  —  ûE^^so  X-2p^  X,,, 


"■j.,i>f''2c  —  ■'"a: 


iiù  les  coefficients  sont  entiers.  Pour  que  ce  s\>tème  soll  primitif,  il  faut  et  il 
suffit  que  les  détermiiuint^  compiis  dans  la  matrice 


«1,1     "1,2 

«2.1 


aient  pour  plus  grand  commun  diviseur  l'unité. 

Envisageons  l'ensemble  des  périodes  qui  peuvent  s'écrire 


les  «  étant  comme  n  s  arables  et  les  x'  étant  toujours  les  périodes  du  système 
incomplet  (2).  Toutes  ces  périodes  pourront  .s'exprimer  linéairement  à  l'aide 
de  [X  d'entre  elles  x'\,  xl,  .  .  .,  a^^  par  une  expression  à  coefticients  entiers.  Si 
le  système  des  x'  est  primitif,  il  est  équivalent  au  système  des  x".  Si  le  système 
des  x'  n'est  pas  primitif,  le  système  'des  x",  i/ni  est  toujours  primitif,  pourra 
s'appeler  la  base  du  système  (2). 

Dire  que,  dans  un  système  de  p  intégrales  abéliennes  de  première  espèce  et 
de  rang  p,  il  y  en  a  ;jt  linéairement  indépendantes,  qui  sont  susceptibles  d'être 
réduites  au  rang  ,a,  c'est  dire  que  l'on  peut  trouver  un  système  de  10 — ap. 
périodes  qui  sont  nulles  à  la  fois  dans  ces  [j.  intégrales. 

On  peut  toujours  supposer  que  ce  système  incomplet  est  primitif:  car,  s'il 
existe   un    système    incomplet    non    primitif  de   -lo  —  I'j.  périodes  qui    soient 


336  SUR    LA    RÉDUCTION    DES    INTÉGRALES   ABÉHENNES. 

nulles  à  la  fois  dans  [ji  intégrales,  la  base  de  ce  système  non  primitif  jouira  de 
la  même  propriété.  D'où  la  conséquence  suivante  : 

On  peut  toujours  trouver,  pour  nos  p  intégrales  abéliennes,  un  système  pri- 
mitif de  2p  périodes,  de  telle  façon  que  les  2p  —  2p.  dernières  périodes  soient 
nulles  dans  ^  des  0  intégrales  considérées. 

3.  Mais  ce  système  primitif  ne  sera  pas  en  général  un  système  de  pcriodes 
normales. 

A  chaque  système  primitif  de  périodes  de  p  intégrales  abéliennes  est  attachée 
une  forme  bilinéaire  à  deux  séries  de  2p  variables 

F(a-,,  .r.,,  ....  ^2p;  ^,,7..,  ■■••.>'2p). 

Si  dans  cette  forme  on  remplace  .r,,  J"2,  .  .  . ,  x^p  par  les  périodes  (formant  le 
système  primitif  considéré)  d'une  de  nos  p  intégrales  abéliennes  et  )i,j)'2î  •  •  •? 
y-ip  par  les  périodes  correspondantes  d'une  seconde  intégrale,  la  forme 
s'annule. 

Si  l'on  y  remplace  les  .r  par  les  parties  réelles  des  périodes  d'une  des  inté- 
grales et  les  }'  par  les  |)ariies  imaginaires  de  ces  mêmes  périodes,  le  résultat  de 
cette  substitution  sera  posilif. 

La  forme  P  est  une  forme  bilinéaire  if/rnti//r/c,  c'est-à-dire  que  l'on  a  identi- 
quement 

FfX|,  x-2,  . . .,  Jr-2p:  X,,  iv-, j-.ip)  =  o. 

On  SMil  que  les  (ormes  bilinéaires  identicjues  ont  un  >eul  invariant  qui  est  le 
déterminani  où  le  m"''""  terme  de  la  n"""'  colonne  est  le  coefficient  de  .r,,,  )■„. 
Cet  invariant,  qui  est  toujours  un  carré  parfait,  est  égal  à  1  dans  le  cas  qui 
nous  occupe. 

Une  forme  bilinéaire  d'invariant  1  est  rcduilc  lorsqu'elle  s'écrit 

(3)  ■^^y-i—^^.y^  -H  ■i-?.y^—  .i\y^^...^  ■'■•jp^i.r-jp—  ^--jpj'-'p-i- 

Le  système  primilif  considéré  est  alors  un  système  de  périoilcs  unriitales. 
Qu'arrive-t-il  maintenant  lorsque  1  on  passe  d'un  système  primilif  à  un  autre 
système  primitif  équivalent?  Posons,  comme  plus  haut. 

(i)  -rj  =  2j  cik-^'l.- 

les  Uiii  étant  des  entiers  dont  le  déterminant  sera  égal  à   i.   Les  ./'  formeront 
comme  les  x  un  système   primilif,   et  si  l'on  désigne  par  y\  la  période  de  la 


SBR   LA    RÉDUCTION  DES   INTÉGRALES   ABÉLIENNES.  337 

seconde  intégrale  qui  correspond  à  x].,  on  aura 

(ibis)  Vi^'^an-//,. 

«•=1 

En  remplaçant  dans  F  les  .r  et  les  y  par  leurs  valeurs  (i)  et  (i  bis),  on 
obtiendra  une  forme  bilinéaire  en  x'  et  en  )'',  arithmétiquement  équivalente 
à  F  et  d'invariant  i.  Ce  sera  la  forme  bilinéaire  correspondant  au  système  pri- 
mitif des  x'. 

On  pourra  toujours  choisir  la  substitution  linéaire  (i),  de  telle  façon  que  la 
forme  F  ainsi  transformée  soit  réduite,  et  par  conséquent  que  le  système  pri- 
mitif des  x'  soit  un  système  de  périodes  normales  {cf.  Clebsch  et  Gordan, 
Abelsche  Functionen.,  p.  io6).  11  existe  également  des  substitutions  linéaires 
qui  changent  la  forme  (3)  en  elle-même  et  qui,  par  conséquent,  changent  un 
système  de  périodes  normales  en  un  autre  svstème  de  périodes  normales  [loc. 
cit.,  p.  3ooV  C'est  ce  qu'on  a|)pelle  le>  I ransformatioiis  Um'alres  ou  du  pre- 
mier ordre. 

Imaginons  maintenant  que  dans  les  relations  (i)  et  (i  bis)  les  «,<  soient 
encore  entiers,  mais  que  leur  déterminant  soit  égal  à  A(A>.  i).  Alors  le  sys- 
tème des  x'  ne  sera  plus  un  système  de  périodes  de  nos  intégrales  abéliennes. 
mais  ce  sera  un  système  de  périodes,  primitif  ou  non,  d'autres  intégrales 
abéliennes. 

Si  Ion  remplace  dans  F  les  x  et  les  y  par  leurs  valeurs  (i)  et  (i  bis),  on 
obtiendra  une  forme  bilinéaire  identique  en  x'  ely',  d'invariant  A-. 

Je  dirai  qu'une  pareille  forme  est  réduite  lorsqu'elle  s'écrira 

(4)  ki{x,y.—  .c.,yi)-r^  /;,(  j:.^y ^—  x^y-j)  -^ .  .  . ^  A-p(x,p_,  j'.,p— j-.,p  K,p_i), 

el  il  est  aisé  de  voir  que  l'on  peut  toujours  réduire  une  forme  bilinéaire  iden- 
tique par  une  substitution  linéaire  à  coefficients  entiers  et  de  déterminant  i. 
Supposons  en  particulier  que  la  forme  F  soil  réduite,  de  telle  façon  que  les  x 
soient  les  périodes  normales  des  intégrales  abéliennes  données.  Supposons,  de 
plus,  qu'après  la  transformation  noire  forme  soit  encore  réduite,  c'est-à-dire 
qu'elle  se  réduise  à  une  expression  telle  que  (4),  ei  de  telle  sorte  que 

1:,= /:,  =  ...=  k,=  /,. 

Alors  les  x'  seront  les  périodes  normales  d'un  nouveau  système  d'intégrales 
abéliennes;  par  conséquent   la    substitution  (i)  aura   changé   un   svstème   de 
H.  P.  -  III.  /|3 


3ï8  SUR   LA   RÉDUCTION   DES   INTÉGRALES  ABÉLIENNES. 

périodes  normales  en  un  autre  système  de  périodes  normales,  mais  appartenant 
à  de  «oui'e//e.s  intégrales.  Elle  s'appellera  alors  une  transforviation  d  ordre  k. 

4f.  Ces  préliminaires  posés,  passons  à  la  démonstration  du  premier  théo- 
rème de  M.  Welerstrass,  généralisé. 

Nous  avons  supposé  que,  les  x  formant  un  système  primitif  de  périodes  et 
F  étant  la  forme  correspondante,  les  20  —  21J.  dernières  périodes  étaient  nulles 
pour  p.  de  nos  p  intégrales.  Posons  encore 

(l)  J-/=  2a,i.r',,.,  r,=  Sa,j.y,,. 

les  a/,;-  étant  entiers,  mais  leur  déterminant  étant  en  général  plus  grand  que  i . 
Si  les  2p  —  2  |j.  dernières  périodes  du  nouveau  système  ne  dépendent  que  des 
2p  —  2f/  dernières  périodes  de  l'ancien  système,  si,  en  d'antres  termes,  on  a 

(  5  )        CTiA-  =0  (  ('  =  2  ,a  +  1 ,   2  fl  -I-  2.   .  .  .  ,   2  3  —  1 ,   2  p  ;    A-  =  1 ,   2,    ....   2  pi  —  I  ,   2  [0.  ), 

les  2 G  —  2 p.  dernières  périodes  du  nouveau  svstème  seront  nulles  comme  celles 

de  l'ancien  pour  les  ij.  intégrales  dont  il  vient  d'être  question. 

Si  l'on  peut  trouver  une  substitution  linéaire  de  la  forme  (i)  satisfaisant  aux 

conditions  (5),  et  réduisant  le  système  de  périodes  à  un  système  de  périodes 

normales  des  intégrales  transformées;  si,  en  d'autres  termes,  on  peut  trouver 

une  pareille  substitution  qui  réduise  la  forme  F  à  une  expression,  telle  que  (4), 

avec  les  conditions 

A-,  =  A.,  =  . . .  =  Ap  =  A. 

le  théorème  énoncé  sera  démontré. 

Remarquons  même  qu'il  le  sera  encore,  si  nous  arrivons  au  même  résultat 
en  appliquant  siicci^ssùenti'/il  à  notre  forme  F  plusieurs  substitutions  assujetties 
aux  conditions  que  nous  venons  d'énoncer;  car  la  résultante  de  deux  pareilles 
substitutions  satisfait  également  à  ces  mêmes  conditions. 

Quand  dans  la  forme  F  ou  annule  les  2p  — 2/jt  derniers  x  et  les  ap  —  2p.  der- 
niers j,  il  reste  une  forme  bilinéaire  F,  admettant  deux  séries  de  ap  variables, 
X, ,  X3,  .  .  . ,  XjM  ;  yi ,  )-2,  .  .  . ,  J'sji-  Je  puis  toujours  su|)|)oser  qu'elle  est  réduite 
et  s'écrit 

F,  =  k,( .r,  y..—  x^y,)  -^  fc«{Xiyi—  a:^yi)  -- . . .  ^  A-a(.roji_,  jk-j[j.— .ï2ii..X2(j.-i  ); 

car,  si  cela  n'était  pas,  on  ferait  subir  aux  variables  une  substitution  linéaire  de 
déterminant  1,  ne  portant  (/ue  sur  les  2  iJ.  premières  périodes,  et  qui  réduirait 
la  forme  F, . 


SUR    LA    RÉDUCTION    DES    INTÉGRALES   ABÉLIENNB8.  339 

Nous  pourrons  alors  écrire 

F|  ne  conlenaiil  que  les  ap.  premières  périodes,  Fj  ne  contenant  que  les 
2p  —  2fx  dernières  et  F3  représentant  l'ensemble  des  termes  qui  dépendent  à  la 
fois  d'une  des  2 y.  premières  et  d'une  des  2p  —  2p.  dernières. 

Nous  allons  chercher  par  une  suite  de  substitutions  linéaires  à  faire  dispa- 
raître successivement  tous  les  termes  de  F3. 

Soit,  par  exemple,  à  faire  disparaître  un  lerme 

a(-r,ri—xtyt  ), 
x,  étant  une  des  2p  —  sjjl  dernières  périodes;  nous  poserons 

x^  =  x'.,  —  a x'i,         Xi  =  /»!  x'i  ; 

de  même,  si  l'on  veut  faire  disparaître  un  terme 

on  posera 

x,  =  x\-hbx'i,         Xi=  kix'j, 

et  ainsi  de  suite. 

Toutes  ces  substitutions  satisfont  aux  conditions  (5)  et  l'on  obtiendra  finale- 
ment une  forme  F'  transformée  de  F  qui  s'écrira 

(6)  F'=F,-i-F:,, 

F|  ne  dépendant  que  des  2|jl  premières  et  F.,  des  2p  —  2|ji  dernières  périodes 
du  nouveau  système  :  les  deux  catégories  de  périodes  sont  séparées.  La 
forme  F',,  ne  différant  d'ailleurs  de  F|  qu'en  ce  que  les  anciennes  variables 
sont  remplacées  par  les  nouvelles,  sera  réduite.  On  réduira  ensuite  la  forme  FI, 
par  une  substitution  linéaire  de  déterminant  i  ne  portant  que  sur  les  2p  —  2/jl 
dernières  périodes;  la  forme  F'  transformée  se  réduira  alors  à  une  expression 
telle  que  (4)j  d'où  il  est  aisé  de  passer  à  l'expression 

o.  Mais  on  peut  craindre,  en  suivant  la  marche  qui  précède,  d'être  conduit  à 
employer  une  transformation  d'ordre  trop  élevé.  C'est  ce  qui  nous  amène  à 
nous  poser  le  problème  suivant  : 

Trouier  toutes  les  substitutions  satisfaisant  aux  conditions  (5)  et  qui 
ramènent  la  transformée  F'  de  F  à  la  forme  (6),  où  les  deux  calégorics  de 
périodes  sont  séparées. 


34o  SUR  LA  RÉDUCTION  DES  INTÉGRALES  ABÉLIENNES. 

Ce  problème  se  ramène  au  suivant  : 

Trouver  toutes  les  substitutions  linéaires  portant  sur  les  20  —  2|-(.  der- 
nières périodes  et  telles  qu^ après  la  transformation,  tous  les  coefficients 
des  termes  qui  contiennent  à  la  fois  Xi  ou  x^  et  une  des  2.0  —  2fi  dernières 
périodes  soient  divisibles  par  A',  ;  que  tous  les  coef ficienls  des  termes  qui 
contiennent  à  la  fois  x^  ou  X:,  et  une  des  2p  —  2^1  dernières  périodes  soient 
divisibles  par  A' 3,  etc. 


Soit 


{i  =  I,  2,  ....  2[i.;    A-  =  2[J.  —  I,  2[JL  -i-  2,  ....  2p). 


Posons  maintenant 

{k  =  liX  -rl,   2(1-1-2.   ....   2,0;    A  =  2fJl  -H  I,   2[J.  +  2,    ....   2p), 

d'où 

F3=  ZlfaCihixiy)^—  .r)j'i). 

Les  conditions  énoncées  se  réduisent  à 

(7;  Zthuc/ci,=^o        (moàk/) 

(en supposant  t  =12/ ou  2/  —  i). 

Le  nombre  total  des  congruences  (-)  est  2^.(20  —  2,u).  Il  est  aisé  de  voir  de 
quelle  forme  en  est  la  solution  générale;  on  trouve 

Dans  celle  expression,  k'S  d  ont  des  valeurs  déterminées;  les  a  peuvent 
pnmdre  toutes  les  valeurs  entières  positives  ou  négatives;  enfin  l'indice  »t  varie, 
comme  les  indices  A  et  /*  eux-mêmes,  depuis  2jLi  +  i  jusqu'à  20.  Il  résulte  de  là 
que  la  substitution 


Xk=~  Ckli  X 


h 


peut  être  regardée  comme  la  résultante  des  deux  suhslitulions  suivantes 


m> 


(8)  Xk='^dltmX"n 

(9)  a;m=  Sa„,/,a-^. 


La  substitution  (8)  est  la  plus  simple  de  toutes  les  substitutions  linéaires  qui 
satisfont  aux  congruences  (7),  pendant  que  (9)  est  une  substitution  linéaire 
quelconque  à  coefficients  entiers. 

Ainsi  l'on  obtiendra  toutes  les  substitutions  qui  satisfont  auxdites  con- 
gruences en  faisant  suivre  la  plus  simple  d'entre  elles  d'une  substitution  quel- 


SUR    LA   RÉDUCTION    DES    INTÉGRALES   ABÉLIENNES.  34  I 

conque  à  coefficients  entiers.  Nous  pourrons  donc  nous  borner  à  envisager  la 
substitution  (8)  elle-même. 

Appliquons  donc  à  notre  forme  F  la  substitution  (8);  tous  les  coeflicicnts 
de  F3  satisferont  aux  congruences  (7).  Par  exemple,  le  coefficient  du  terme 
X\  n — y\Xi,  Xi  étant  une  des  2p  —  ly.  dernières  périodes,  sera  divisible  par  A',, 
et  ce  terme  s'écrira 

de  sorte  qu'on  pourra  le  faire  disparaître  en  posant  simplement 

X  "2  —  jO  ij G,  OC  j  j 

c'est-à-dire  par  une  substitution  de  déterminant  i . 

Ce  sera  là  la  manière  la  plus  simple  défaire  disparaître  tous  les  termes  de  F3. 
Si,  après  avoir  séparé,  comme  nous  venons  de  le  dire,  les  deux  catégories  de 
périodes,  on  applique  à  la  forme  F  une  substitution  linéaire  quelconque  ne 
portant  que  sur  les  2]:/  premières  périodes,  puis  une  substitution  linéaire  quel- 
conque ne  portant  que  sur  les  2p  —  2;jl  dernières  périodes,  il  est  clair  que, 
dans  la  forme  ainsi  transformée,  les  deux  catégories  de  périodes  seront  encore 
séparées.  On  est  ainsi  conduit  à  une  infinité  de  manières  de  faire  disparaître 
tous  les  termes  de  F3,  et  il  est  aisé  de  voir  qu'«7  n'y  en  a  pas  d'autres. 

0.  Occupons-nous  maintenant  de  démontrer  le  second  théorème  de 
M.  Weierstrass.  Nous  supposons  qu'une  intégrale  est  réductible  aux  intégrales 
elliptiques,  et  par  conséquent  jli  ^  i .  Dans  le  système  primitif  d'où  nous  par- 
tons, les  20  —  2  dernières  périodes  sont  nulles.  Il  s'agit  de  ramener  ce  système 
à  un  système  normal^  mais  celte  fois  par  une  transformation  de  détermi- 
nant I.  Nous  devons  de  plus  supposer  que  dans  le  nouveau  système  les 
2p  —  3  dernières  périodes  ne  dépendent  que  des  10  —  2  dernières  périodes  de 
l'ancien  système  (de  façon  qu'elles  soient  nulles  dans  l'intégrale  réductible),  et 
que  la  deuxième  et  la  troisième  nouvelle  période  ne  dépendent  que  des 
20  —  I  dernières  périodes  de  l'ancien  système  (de  façon  qu'elles  soient  com- 
mensurables  entre  elles  dans  l'intégrale  réductible). 

Quand  la  possibilité  d'une  pareille  réduction  sera  établie,  le  théorème  de 
M.  Weierstrass  sera  démontré. 

Nous  avons  encore  notre  forme 


342  SUR   LA    RÉDICTION    DBS    INTÉGRALES   ABÉLIENNES. 

qu'il  s'agil  de  réduire.  Ici 

F,=  «oC^iXa— .ro^i  ). 


Nous  poserons  d'abord 

C'est  là  une  subslitulion  linéaire  satisfaisant  aux  conditions  énoncées,  pourvu 
que  son  déterminant  soit  égal  à  i.  Or,  les  coefficients  «21  «3-  ••■>  «2p  devant 
être  premiers  entre  eux,  puisque  l'invariant  de  F'  est  égal  à  i ,  on  pourra  tou- 
jours choisir  les  a  et  les  (3  de  telle  façon  que  ce  déterminant  soit  égal  à  i. 
Après  cette  substilulion  la  forme  F  se  changera  en 

F'=F', +  f,-(- F3, 
où 

^"'i  =  -^'i  y'-i  —  ■r'ii/i  >      F3  =  2  f;  (  x\  y\  —  x\y.,  ). 

Il  suffira  pour  faire  disparaître  F.j  de  poser 

Après  cette  nouvelle  transformation,  la  forme  F  deviendra 

F"=  x",y':,  —  x':,y[  +  F'L 

Il  reste  à  réduire  F!,,  mais  de  telle  façon  que  les  ap  —  3  dernières  périodes 
du  nouveau  système  ne  dépendent  que  des  2p  —  3  dernières  périodes  de 
l'ancien.  Cela  peut  se  faire  absolument  de  la  même  manière. 

Nous  pouvons  écrire,  en  effet,  en  supprimant  les  accents, 

F;;  =  J:(i,(x,yi—X!y;,)-i-  l.ei(Xiyi—Xiyi)-i-  F';, 

OÙ  /  est  plus  grand  (jue  3  et  où  Fj  ne  dépend  que  des  2p  —  4  dernières  périodes. 
Nous  poserons  alors 

x'i,  =  «/i  ^4  H-  di  a-r,  -+-...  H-  rfop   ^2ç>, 
x'i  =  S,-,iJ-i-t-  S,-,5 j:-3  +  .  ..-h  o,-,2p.r2p, 

en  choisissant  les  d  de  façon  que  le  déterminant  de  cette  substitution  linéaire 
soit  égal  à  i . 

II  viendra  après  transformation 

F'^=-r'.,r:-y.y'3+^/d-^\y:-x'iy\)^P7; 


SUR    LA    RKDUCTIOIS    DRS    INTÉGRALKS    ABÉLIBNNES.  343 

F""  ne  dépend  que  des  20  —  i  dernières  périodes,  Nous  poserons 
d'où,  après  la  lran^formalion, 

11  reste  enfui  à  réduire  F^',  mais  celte  fois  par  une  substitution  quelconque 
de  déterminant  j  .  ce  qui  se  fera  aisément. 

Le  second  théorème  de  M.  Welerstrass  est  donc  démontré. 

7.  Occupons-nous  maintenant  de  généraliser  ce  résultat  en  supposant  que, 
au  lieu  d'une  intégrale  réductible  aux  fonctions  elliptiques,  nous  ayons  pt  inté- 
grales réductibles  au  genre  ,u.  Supposons,  pour  fixer  les  idées,  p.  =  2,  de  telle 
façon  que  les  2p  —  4  dernières  périodes  de  notre  système  primitif  soient  nulles 
pour  nos  [j.  intégrales.  Notre  forme  F  s'écrira  encore 

F  =  F,+  F2^-F, 
et  nous  pourrons  supposer  que  F|  est  réduit  de  telle  sorte  que 

F,  =  a.,{a:,yi  —  J:,yi  »  -H  6v(  J-j  Ji—  ^1^3), 
Fa  =  ^"i(-i'ij'i  —  -i-ijt  )  —  -biijCsVi  —  j-iy^)  —  Se,  (x..yi  —  d-iyi)-^  I.di(x;yi  —  Xiyi) 

Posons 

(10) 

L'invariant  de  la  forme  F  étant  égal  à  +1,  les  déterminants  contenus  dans  la 

matrice 

a,      I)      «5     ar,      ...      «20 

o      bi      b:,      b,;      .  .  .      bop 

sont  premiers  entre  eux.  Il  eu  résulte  que  l'on  peut  choisir  les  a,  de  telle  sorte 
que  le  déterminant  de  la  substitution  linéaire  (10)  soit  égal  à  i. 
Après  cette  transformation,  la  forme  F  deviendra 

F'=F',^F,-+-F'3. 
où 

F'i  =  -r'i  y.,  —  X., y\  -i-  J-;, y'.,  —  x\  y\ . 

F's  =  tc\(x'.,y\—  x'i/.^ )  ^  ^d\{x\y\—x\y\ ). 


a,x,—  «5X5-^ 

«0  Xe  — . 

.-h  a.2f,X,r,=  X.,, 

64X4—  br,X-,— 

bi  j-6  —  • 

.—  b,r>x,ç,=  x\. 

X,      a  =  ->. 

1.  5.  C.  . 

. .  >  p :  /  =  5.  6.  .  . 

. .  'i 

344  SUR    LA    BÉDUCTION    DES    INTÉGBALES   ABHLIENNES. 

On  posera  alors 


x\  =  a;"  H-  s c-.r',',         x'^  =  ^3  -f-  S  d'jx'- 


('>4), 


et  la  forme  F  se  réduira  à 

F"  =  (  x'\  y':,  —  xlf\-^  œly"„  —  x\  yl  )  +  F'^ , 

F!^  ne  dépendant  que  des  2p  —  4  dernières  périodes.  Il  reste  à  réduire  ¥"^.  Cette 
réduction  une  fois  opérée,  le  sjstème  des  périodes  sera  ramené  à  un  système 
normal,  et,  ainsi  qu'il  est  aisé  de  s'en  assurer,  lune  quelconque  des  ap  —  4 
dernières  périodes  s'exprimera  linéairement  à  l'aide  de  la  deuxième  et  de  la 
quatrième  par  une  expression  à  coefficients  commensurables. 

Or  nous  pouvons  toujours  supposer  que  la  deuxième  période  est  égale  à  1 
dans  la  première  de  nos  deux  intégrales  réductibles  et  à  zéro  dans  la  deuxième, 
et  que  la  quatrième  période  est  égale  à  zéro  dans  la  première  de  ces  deux  inté- 
grales et  à  I  dans  la  deuxième.  Voici  quel  sera  alors  le  tableau  des  périodes  de 
ces  deux  intégrales 

A        I       B       O      «5      <7f,       . . .       «20 

A'     o     B'     I      &:,     ho     ...      /^«p 

les  a  et  les  b  étant  commensurables . 

Il  s'agit  maintenant  de  simplifier  ce  tableau  en  transformant  les  périodes, 
mais  de  façon  qu'elles  ne  cessent  pas  d'être  des  périodes  normales. 

Or  :  1"  les  périodes  ne  cesseront  pas  d'être  normales  si  l'on  applique  à  une 
période  de  rang  impair  et  à  la  période  de  rang  pair  qui  la  suit  une  substitution 
linéaire  à  deux  variables  et  de  déterminant  1 . 

Ainsi  l'on  peut  poser,  par  exemple, 

(11)  a';  =  a(a!5+ (Bac,         a\  =  "^d-^—- oOf,.         xS — [jy  =  i. 

et  remplacer  dans  le  tableau  05  et  a^  para,,  et  «,,  ;  le  système  de  périodes  ainsi 
défini  sera  encore  normal. 

On  choisira  les  coefficients  de  cette  substitution  de  telle  façon  que  a^  soit 
nul;  on  opérera  de  la  même  manière  sur  chacune  des  p  —  3  dernières  paires  de 
périodes,  de  façon  à  faire  disparaître  dans  chacune  d'elles  les  périodes  de 
rang  pair  de  la  première  intégrale;  par  conséquent  on  peut  toujours  supposer 

«6  =  ag  =  ajo  =  .  .  .  =  «2p  =  o- 


SUR    LA    HÉDICTION    DES    INTÉGBALES   ABÉLIENNES.  345 

2°  Posons 

1      «i{l_l=   «Ojpi— 1-^-   i^f'2V— i>               flt2V_l  =  ".'«'IJ.— 1  -i-  Sa,.,— 1j 

(1-2)  <     a',^,.        =  Saoji       T<Ï2Vj  <^21       = ;J«21J.        +a<z,v, 

Si,  dans  le  système  des  périodes,  on  remplace 

<^2a— Ij        '^îti)        ÛÎ2V— 1,        0Î2V 

par 

fltja— 1:      Cfîii,      CÎ2V— II      "^«v, 

ce  système  restera  normal. 

Appliquons  la  substitution  (12)  en  faisant 

JJL   =   p .  ''    =    P  1  • 

En  choisissant  les  coefticienls  de  la  substitution,  nous  pourrons  faire  dispa- 
•      raître  «ap.i,  sans  que  ajp  et  a^p-i  cessent  d'être  nuls. 

On  appliquera  ensuite  la  même  substitution,  en  faisant 

ji  =  p  —  I ,  V  =  p  —  2, 

et  l'on  fera  disparaître  rtop_:i. 

Et  ainsi  de  suite  jusqu'à  ce  que  tous  les  a,  excepté  «5,  soient  nuls;  on  aura 

Oc  =  «7  =  «8  =  ■  •  •  =  a2p  =  o. 

Opérons  maintenant  sur  les  h.  Appliquons  la  substitution  (11)  aux  p  —  3  der- 
nières paires  de  périodes,  de  façon  à  faire  disparaître  dans  chacune  d'elles  les 
périodes  de  rang  pair,  ce  qui  s'écrft 

.bi=  bi„  =  ...=  b,a=  o. 

Nous  ne  pouvons  opérer  de  même  sur  la  paire  656,!,  sans  quoi  an  cesserait 
d'être  nul. 

Appliquons  maintenant  la  substitution  (12)  aux  deux  dernières  paires,  de 
façon  à  faire  disparaître  b-ia-it  puis  aux  paires  de  rang  p  —  2  et  p  —  1 ,  de  façon 
à  faire  disparaître  b-2o-3,  et  ainsi  de  suite  jusqu'à  ce  que  l'on  ait 

6s  =  69  =   6|0  =  •  ■  ■  =  ^2?  =  "• 

On  ne  peut  opérer  sur  les  troisième  et  quatrième  paires,  de  façon  à  faire  dis- 
paraître i-,  sans  quoi  a^  cesserait  d'être  nul. 

Toutes  ces  réductions  faites,  le  tableau  des  périodes  s'écrit 

A       iB      0(/5      o       o      00...      o 

A'     o     B'     1      b^     bf,     67     o     o     ...     o 

H.  P.  -  m.  « 


346  SUR    LA    RÉDUCTION    DES    INTÉGRALES   ARÉLIENNES. 

II  reste  à  faire  disparaître  b^.  Pour  cela  nous  appliquerons  la  substitution  (12) 
à  la  deuxième  et  à  la  troisième  paire,  de  façon  à  faire  disparaître  la  sixième 
période  de  la  deuxième  intégrale;  le  tableau  des  périodes  s'écrit  alors,  après 
cette  dernière  transformation, 

A       I      B|      o     ().  H-|j.B,)     o     o      ...      o 
A'     o     B'i      I     (À'+jiB'|)     o     V      ...      o 

OÙ  /.,  [j.  et  V  sont  conimensurables  et  il  est  aisé  de  voir  que  A'=:  B,. 

Le  résultat  ainsi  obtenu  se  généralise  aisément  pour  le  cas  de  ;j.  >-2,  la 
démonstration  étant  absolument  la  même.  Pour  énoncer  ce  théorème,  je  sup- 
poserai, pour  fixer  les  idées,  |j.::=  3,  p  ^  j,  et  j'imaginerai  que  le  tableau  des 
périodes  ait  été  écrit  sous  sa  forme  habituelle  (V). 

On  aura 

~i"  ^  ~-n  =  "37  =  "ic  =  "sii  =  o, 

"36  =  ''3j  "^U  =   ^'1 -H   '■2"l2+  '-s'iSi 

"2V  =    l-'-l    "t~   '■2"-22  ^"   '-3~23i  "Sl  =  '' 1  "r^  '■2'^23  +  /-S'aS- 

■^1.5  =   '■l'^Ur  "2Ô  =   l-'2 -*"'■! '-23;  '^SS  =  "'2  "i"  ''i'^aS; 

les  }.,  les  ,u.  et  les  v  étant  cominensitrables.  Ce  qu'il  faut  surtout  retenir,  c'est 
qu'on  peut  choisir  le  système  normal  des  périodes,  de  telle  façon  que  les  ^  pre- 
mières intégrales  normales  [cf.  Glebsch  et  Gordan,  Abeische  Functionen, 
p.  K17),  qui  correspondent  à  ce  système  soient  précisément  jjt  des  intégrales 
réductibles. 

Dans  ces  p.  intégrales  normales,  les  périodes  de  rang  2^.4-2,  2|h  +  4î 
2^4-6,  ....  20  —  2,  2p  sont  nulles;  de  ])lus  il  y  a  des  relations  linéaires  à 
coefficients  entiers  : 

i"  Entre  les  périodes  de  rang  r^^u  +  i,  2,  /i-  6 2/ji,  3,  5,  7,  .  .  . ,  2/j. —  i  ; 

2"  Entre  les  périodes  de  rang  2/j.  -f-  3,  4,  6,  .  .  . ,  2fj.,  5,  7,  ...,2p.  —  i  ; 
3"  Entre  les  périodes  de  rang  2p.-f-5,6,8,  ...,3juL,n,9,  ...,2p.  —  i; 

jjL  —  1°  Entre  les  périodes  de  rang  4p-  —  3,  ap  —  2,  2p.  et  2p.  —  1; 
|i.°  Entre  les  périodes  de  rang  4p-  —  i  et  a  p. 

J'ai  conservé  pour  les  rangs  des  périodes  le  même  mode  de  désignation  que 
j'ai  employé  dans  tout  ce  travail,  de  telle  façon  que  la  période  de  rang  2 À 
occupe  la  X'"™"  colonne  dans  le  tableau  (A),  pendant  que  la  période  de  rang 
2À  —  1  y  occupe  la  (p  +/.)"""  colonne. 


SUR   LA   HÉDUCTION   DES  INTÉGRALES  ABÉLIENNES.  3^7 

Ainsi  se  trouve  généralisé  le  second  ihéorème  de  M.  Weier.strass,  dont  il  est 
inutile  de  faire  ressortiri'analogie  avec  l'un  des  plus  beaux  résultats  de  M.  Picard. 

8.  La  démonstration  qui  fait  l'objet  du  paragraphe  précédent  peut  se  pré- 
senter sous  une  forme  un  peu  différente. 

Soient  a;,,  x^^  .  .  .,  x...p  un  système  de  périodes  normales  de  nos  p  intégrales 
abéliennes,  et^,,  çaj  ■  ■  ■  ■,  i;2[jL  mi  sjstème  primilif  quelconque  de  périodes  des 
;j.  intégrales  réduites. 

On  aura,  pour  une  quelconque  des  intégrales  réductibles, 

,r,-  =  2/,  2,7.  ?A  (  (■  =  I  ,  2,   .  .  . ,   2  p  ;    À-  =  I  ,  2,   ...,■-'.  [i  ), 

les  a  étant  des  coefficients  entiers. 

Appliquons  à  nos  périodes  les  substitutions  (i  i)  et  (12),  de  façon  que  le  nou- 
veau système  soit  encore  normal. 

1"  Appliquons  à  toutes  les  paires  de  périodes  la  substitution  (11),  de  façon  à 
faire  disparaître  «2,1,  oc,  ,,  .  .  .,  a.jp^. 

2"  Appli(juons  ensuite  aux  deux  dernières  paires  la  substitution  (la).  de 
façon  à  faire  disparaître  oCip^i,!,  puis  aux  paires  de  rang  p  —  2  et  p  —  1,  cette 
même  substitution,  de  façon  à  faire  disparaître  «2p-3,( ,  et  ainsi  de  suite  jusqu'à 
ce  que  tous  les  ot,  ,  aient  disparu,  excepté  «,,(. 

3°  Appliquons  ensuite  à  toutes  les  paires  de  périodes,  excepté  à  la  première, 
la  substitution  (1 1),  pour  faire  disparaître  «4,;.,  9.^,^,  ....  «ap,'.)- 

4°  Appliquons  ensuite  la  substitution  {12)  aux  deux  dernières  paires  pour 
annuler  3t2p_^2.  pn's  aux  paires  de  rang  p  —  2  et  p  —  1  pour  annuler  a!2p_3,),  et 
ainsi  de  suite  jusqu'à  ce  que  tous  les  «,,2  aient  disparu,  excepté  «i,,.,  a^^j  et  «3,2- 

5"  Appliquons  la  substitution  (11)  à  toutes  les  paires,  sauf  aux  deux  pre- 
mières, de  façon  à  annuler  a,;, 3,  0^8,3,   •  •  —  c<2p,3- 

6°  Faisons  ensuite  disparaître  à  l'aide  de  la  substitution  (12),  tous  les  «,^3, 
excepté  et, ,3,  «2,3,  «3,3,  a^,,  et  «5,3. 

En  continuant  de  la  sorte,  on  arrivera  à  avoir 

(l3)  3C,-,A-=  O  (t  >  2—  1). 

Cela  fait,  nous  allons  chercher  à  faire  disparaître   les  coefficients  a,^/,  où 

l'indice  i  est  pair  et  plus  grand  que  aj-i;  il  reste  ^^ISL 1  coefficients  qui  ne  sont 

pas  encore  nuls  et  qu'il  faut  annuler;  mais  cela  ne  pourra  se  faire  qu'en  faisant 


348  SUR    L4    RÉDUCTION    DES    INTÉGRALES   ABÉLIENNES. 

reparaître  quelques-uns  des  coefficients  qui  avaient  disparu  dans  les  simplifica- 
tions précédentes.  Il  faut  s'arranger  pour  que  les  coefficients  an,  qui  reparaî- 
tront ainsi  aient  tous  l'indice  /  impair.  Pour  cela,  il  faut  que  les  périodes  ^ 
aient  été  choisies  convenablement,  comme  ou  va  le  voir. 

Le  choix  des  périodes^  est  resté  jusqu'ici  entièrement  arbitraire.  Mais  il  esi 
clair  que  nous  aurions  pu  remplacer  les  l  par  tout  autre  système  équivalent, 
rien  de  ce  qui  précède  n'en  aurait  été  changé.  Nous  pouvons  donc  supposer 
que  le  choix  des  périodes  ^  ait  été  fait  avant  la  réduction,  de  la  façon  la  plus 
convenable  pour  notre  objet. 

Voici  comment  nous  pouvons  supposer  que  ce  ciioix  a  été  fait. 

Considérons  les    '     ''^ formes  bilinéaires 

*/>(,=  '^k{.'^-2k-\,p^ïk,,,—  '^ih,!,^ik~\,r,]  (/>  =1,    2,    ...,    p). 

Les  substitutions  (i  i)  et  (12)  changent  ces  formes  en  elles-mêmes. 
Il  reste  à  voir  ce  qui  arrive  quand  on  remplace  le  système  des  ^  par  un  sys- 
tème équivalent. 
Posons 


V  3      c 


pr 


il  viendra 


X     R       a- 


Nos  formes  «t  seront  devenues 

OU 

''';■.<=  '^{v'pr'^qs —  P/JS  [^7r)'I'/>7- 

Supposons,  en  particulier,  que  la  substitution  qui  fait  passer  des  ï  aux  t'  ne 
porte  que  sur  les  2fi  —  i  derniers  \,  de  telle  sorte  (|ue 

Pi,i  =  i,        P),/.-=  fS;;-,i  =  o        (A- =  2,  3,  .  . ., -ifi). 

Il  viendra 

4'',,,=  2  ri,,,,*,,,,. 

On  pourra  donc  toujours  choisir  les  (3  de  telle  façon  que 
<l>'i  ,j  =  o        (  i  =  2,  3 2  [j.  —  I  ). 

En  conséquence,  on  peut  toujours  supposer  que  les  E  aient  été  choisis  de 
telle  sorte  que  tous  les  $,,y  soient  nuls,  excepté  •t|,2[i-  De  plus,  cette  propriété 


SUR    LA    nÉDirTION    DES    INTÉGRALES   ABÉLIENIN'ES.  349 

ne  sera  pas  altérée  par  une  substitution  linéaire  ne  portant  que  sur 

En  raisonnant  de  la  même  façon,  ou  verrait  qu'on  peut  trouver  une  substitu- 
tion linéaire  ne  portant  que  sur  'c.3.  ii.  ....  ;jti_i ,.  et  telle  que 

<!>;;, =  0        (^  =  3.  4)  •  •  ••  2,a  —  2). 

On  peut  donc  toujours  supposer  que  tous  les  $i,y  et  les  ^2,q  sont  nuls,  sauf 
'ï'i.aiji.  *ï*2,2u.î  ••••  'ï*2,2u.-i-  I^e  plus,  cette  propriété  n'est  pas  altérée  par  une 
substitution  linéaire  ne  portant  que  sur 

ni  1 

En  continuant  le  même  raisonnement,  on  verrait  que  l'on  peut  supposer  que 
^p,q  est  nul  toutes  les  fois  que 

J)  -i-  q  <  lix-r-l. 

J'aurais  même  pu,  si  cela  avait  été  utile  pour  mon  olijet,  montrer  que  l'on 

peut  choisir  les  ;  de    telle  façon  que  les  ^— formes  ^p,q  s'annulent,   à 

l'exception  de  p.  d'entre  elles. 

En  effet,  soient  ;, ,  ;2,  ....  ^^j.  les  périodes  d'une  de  nos  p.  intégrales,  à  l'aide 
desquelles  s'expriment  les  périodes  normales  .Ti,  5?o,  .  .  .,  x-^n  de  cette  même 
intégrale;  soient,  pour  une  seconde  intégrale,  vii,  yjj,  .  •  .,  jLiau.;  J't,  J'^î  •  •  •  i  J'ap 
les  périodes  correspondant  aux  i  et  aux  x.  Ou  aura 

S(^,/,_,J-2/,— a72A.X2A-,)  =  ^'i>,,q(.?.,,-riq—l,r„,). 

Or  on  aura  pu  toujours  choisir  les  ^  de  telle  façon  que  la  forme  bilinéaire  du 
second  membre  soit  réduite,  et  n'ait  par  conséquent  (jue  p.  termes.  Je  suppo- 
serai que  les  p.  termes  qui  ne  s'annulent  pas  sont  ceux  qui  ont  pour  coefficients 

*|.2IJL,      *2,»ii-i,      'i'a.îp.-; t'u.,a+i- 

De  plus,   aucun  de  ces  termes  ne  s'annulera,   sans  quoi  l'invariant  de    notre 
forme  bilinéaire  serait  nul  :   ce  qui  est  impossible   (cf.   Comptes  rendus  des 
séances  de  l' Académie  des  Sciences,  t.  \C\  II;  Picard  et  Poincaré,  Note  du 
3  décembre  i883). 
On  aura  donc 


'i>p,q   =    0 

5'  P-^  ^  <  ^  !^  +  I  > 

^'p.V  <   0 

si  />  +  y  =  2  ix  -f-  I . 

(i4) 

Les  substiiulions  (11)  et  (12)  n'altérant  pas  les  formes  <ï*p^,  ces  conditions 


350  SUR   LA    BEDUCTIOM   DES   INTEGRALES   ABELIENNKS. 

subsisteront  quand  j'aurai  annulé,  à  l'aide  de  ces  substitutions,   tous  les  a,*, 
où  />  2A'  —  I.  Mais  les  conditions  (i3)  et  (]i 4)  entraînent  les  suivantes  : 

a2h,k  =0  ^'    ''  —  A  <   «l-t  —  I. 

Nous  avons  donc  fait  disparaître  tous  les  3:,^  lorsque  l'indice  ('  est  plus  grand 
que  2Â  — I,  ou  lorsque,  étant  pair,  il  est  plus  petit  que  4[-i  +  2  —  k\  Cela 
posé,  nous  allons  faire  disparaître  le  coefficient  a2a+2.(i_2,  en  appliquant  la  sub- 
stitution (i2)aux(;j-f-i)''°°  et(;j.  -  i)'*'"' paires,  puis  le  coefficient  a..,u_o,;i^3  en 
appliquant  la  substitution  (12)  aux  (f/+  i)'"""'et  (',a.  —  2)''""''  paires,  puis  le  coef- 
ficient 3!2u.+2,[i^4  en  opérant  de  même  sur  les  (p.  4-  iV''"''et(|n  —  ^y^mv  paires,  ..., 
puis  enfin  le  coefficient  a^a^Oj^u.-  en  opérant  sur  les  (ij.  +  i)""""  et  première 
paires. 

On  aura  alors 

quel  que  soit  /. . 

On  opérera  de  la  même  façon  sur  les  (,u  —  2)"™"'  et  (jjt  —  a)'""'"  paires  pour 
faire  disparaître  «2;j.+4.u.+3,  puis  sur  les  (fjt  +  2 )'*''"'•  et  {p.  —  y)'"""  paires  |)Our 
annuler  «2,i._H»,(i+4,  ••■;  P"is  sur  les  (p -}- ;i  )'^""'  et  première  paires  pour 
annuler  «2g.^4,2u..  On  aura  alors 

3i:iji-t-v.-t  =  1, 

quel  que  soit  k. 

(  )ii  n"a  qu'ti  continuer  de  la  sorte  pour  avoir  enfin 

a.,/,,*  =0         (  /i  =  a  ^  1 .  tj.  -f-  i s  ;   A"  =  i  .>.....  i  [:i  ). 

Il  est  clair  en  elTet  qu'en  opérant  dans  l'ordre  que  je  viens  d'indiquer,  on 
pourra  faire  reparaître  des  coefficients  a,^  que  l'on  aura  fait  disparaître  anté- 
rieurement, mais  seulement  si  rindice  (est  ini/>air;  ou  n'aura  pas  à  craindre 
de  faire  reparaître  des  coefficients  a,A  dont  le  premier  indice  sera  pair. 

11  résuite  de  là  qu'après  toutes  ces  transformations  les  périodes  paires  des 
p  — fjL  dernières  paires  seront  nulles  dans  nos  <j.  intégrales  réductibles.  Mais  ces 
(jt  intégrales  ont  été  jusqu'ici  choisies  arbitrairement.  On  peut  toujours  les 
remplacer  par  ;jt  quelconques  de  leurs  combinaisons  linéaires.  Or  le  choix  de 
ces  combinaisons  linéaires  peut  être  fait  de  telle  façon  que,  dans  la  première 
d'entre  elles,  la  période  de  rang  2  soit  égale  à  i,  et  les  périodes  de  rang  4-  6. 

8 2|JL  égales  à  zéro;   que  dans  la  deuxième  d'entre  elles  la  période  de 

rang  4  soit  égale  à  i  et  les  périodes  de  rang  2,  6,  8 2/ji  égales  à  zéro,  ...  ; 

qu'enfin  dans  la  /ji''""  d'entre  elles  la  période  de  rang  2jji  soit  égale  à  i .  et  les 
périodes  de  rang  2,4.6,  ...,2fjL  —  2  égales  à  zéro. 


SIR    LA    RÉDUCTION   DES   INTÉGRALES   ABÉLIENNES.  35l 

Par  conséquenl,  si  nos  p.  intégrales  sont  choisies  de  la  sorte,  toutes  les 
périodes  de  rang  pair  seront  nulles  dans  chacune  d'elles,  excepté  une  qui  sera 
égale  à  i.  Ce  seront  donc  des  intégrales  normales.  c.  y.  y.  d. 

Ainsi  se  trouve  démontré,  par  des  méthodes  purement  aritlimétiquos,  ce 
théorème  si  utile  dans  la  théorie  des  fonctions  abéliennes,  ce  qui  prouve  une 
fois  de  plus  que  l'analyste  ne  saurait  se  passer  du  secours  de  la  Théorie  des 
nombres. 


SUR  LA  REDUCTION 


INTÉGRALES  ABÉLIENNES 


Comptes  rendus  de  (Académie  des  Sciences,  l.  99,   p.  853-855   (17   novembre  iS.S4). 


Si  un  système  d'intégrales  abéliennes  de  première  espèce  et  de  genre  n 
contient  plus  de  n  intégrales  réductibles  aux  intégrales  elliptiques,  il  en  contient 
une  infinité. 

Pour  démontrer  ce  résultat,  que  les  récentes  découvertes  de  M.  Picard 
laissaient  prévoir,  je  supposerai  /!  =  3,  afin  de  fixer  les  idées. 

Soient  ^'1,  j'2,  J'3  trois  intégrales  abéliennes,  la  première  réductible  aux 
intégrales  elliptiques.  M'appuyant  sur  un  théorème  de  M.  Weierstrass,  je  sup- 
poserai que  le  tableau  des  périodes  normales  de  ces  intégrales  s'écrit  : 


I 

0 

0 

t; 

/( 

0 

1  pour    )-,), 

0 

I 

n 

/( 

G' 

II 

(pour  fi), 

0 

0 

1 

0 

11 

G' 

1  pour  73), 

h  étant  commensurable. 

Je  dis  que  si  l'intégrale   «J'i  +  Pjs+zJ's  est  ^réductible,    il    en    sera    de 
même  de  va  Vi  +  (3  r^  +  yi's  (v  étant  un  nombre  commensurable  quelconque). 

En  effet  les  périodes  de  l'intégrale  o.y,  +  (3  Ja  +>'.»'.i  s'écrivent 


ro, 

=  a,          CT2=  p, 

733  = 

"iS 

h?.. 

TO3  =  /î,  X  -r-  G'  p  -1 

-Hy, 

T^e 

r^,=  Gx-i~h?j,         TO5=/î,a-r-G'|3-+-HY,         ^e  =  H  3  4- G"-,-. 

Pour  que  l'intégrale  soit  réductible,  il  faut  el  il  suffit  que  ces  périodes  se 
réduisent  à  deux,  c'est-à-dire  qu'il  j  ait  entre  elles  quatre  relations  linéaires  à 
coefficients  commensurables  de  la  forme 

(1)  A,ra|-(- BiTTjo-!- C,TO3-h  A';ra4+ B;t;î5H- C;rac=  o         (j  =  i,2,  3,  4)- 


Sun    LV    RKDUCTION    DES    INTÉGRALES    AllÉLIENNES.  353 

L'intégrale  'jy-ji  +  '^y-i  4-7J'3  a  pour  périodes 

ro'j  =  vGx  ^  /i[l,  ro'-  =  v/ja  -)-  G'p  -i-  H"/.  nr',.,  =  "  /  -"  ''  Y- 

Or  les  relations  (i)  peuvent  s'écrire 


(  I  l)ix  ) 


[A. -.„„;(;-,)]„, --[»,-„.(,-;.)], 


-i-  C,cî|,  +  - — ro',  —  B^rCj  h-  CJra'g  =.o. 


Il  j  a  donc,  entre  les  six  périodes  w',  quatre  relations  linéaires  à  coefficients 
commensurables.  Donc  l'intégrale  va  )•,  +[3)  ;■  H- '/J's  eslréduclible.    c.q.  f.  d. 

On  déduit  aisément  de  là  que,  si  le  système  d'intégrales  du  troisième 
genre  considéré  contient  plus  de  trois  intégrales  réductibles,  il  en  contient 
une  infinité.  Si  les  quatre  intégrales _y, ,  )\.,  y^  et  a  )■,  +  ^^y^  +  •/_)':!  sont  réduc- 
tibles, il  en  est  de  même  de  7a  ri  +  \>-^y-i.  +  '•'■/. ':!  Q-,  i^  et  v  étant  des  coefficients 
commensurables  quelconques  ). 

D'après  le  tbéorème  de  M.  Weierstrass,  cité  plus  haut,  on  peut  toujours 
choisir  les  périodes  normales  telles  que  le  Tableau  des  périodes  d'une  intégrale 
réductible  s'écrive  (pour  n  =  3,  par  exemple) 

I        n       n       G       ^       O, 

où  le  nombre  entier  D  est  l'entier  caractéristique  de  la  réduction. 

Il  est  toujours  facile  de  déterminer  cet  entier.  Supposons  en  effet,  que 
7i  =  2  et  qu'on  ait  trouvé  pour  les  périodes  normales  d'une  intégrale  réductible 

"k,  fji,  1'  et  p.'  étant  commensurables.  L'entier  caractéristique  sera  égal  à  jji  —  }. 
divisé  parla  plus  grande  commune  mesure  des  six  quantités  i,  ),,  p.,  V,  y!  et 
7,jjl'  —  V  IX. 

M""  Kovvalevski,  étudiant  un  système  d'intégrales  abéliennes  du  troisième 
genre,  a  rencontré  quatre  intégrales  réductibles  sans  que  sa  méthode  lui  en 
ait  fait  découvrir  d'autres.  Ce  fait,  en  apparence  contraire  à  ce  qui  précède, 
s'explique  aisément,  car  elle  ne  s'est  occupée  que  des  intégrales  pour  lesquelles 
l'entier  caractéristique  D  est  égal  à  2. 

Je  terminerai  par  la  remarque  suivante  : 

H.  P.  —  m.  .',5 


354  SUR    LA    RÉDUCTION    DES    INTÉGRALES    ABÉLIENNES. 

Soit  un  système  d'intégrales  du  second  genre  et  soit 

1     (I     G     II 
<)     I     H     C. 

le  tableau  des  périodes  normales  de  ces  intégrales.  Pour  que  ce  svslèmo  con- 
tienne des  intégrales  réductibles,  il  faut  et  il  suffit  qu'il  jait  entre  les  périodes 
G,  H  et  G'  une  relation  de  la  forme 

(  GG'—  H!|  — ÀG'— u'G  ^^(7.'^|ji)H  +  ÀiJi'— X'|ji  =  o. 

les  coefficients  À,  /jl,  à',  p.'  étant  commensurables. 

D'où    cette   conclusion   qu'un   système  quelconque   d'intégrales   abéliennes 
diffère  toujours  injinininnl  peu  d'un  système  réductible. 


SUR 

LES  LMÉGR\LES  DE  niFFÉRENTIELLES  TOTALES 


Comptes  renUus  de  l'  icadcinie  des  Sciences,  I.  9'J,  p.  '  i4S-i  '^7  (sq  décembre  iS84). 


La  découverte  récente  de  M.  Picard  sur  les  différentielles  totales  de  pre- 
mière espèce  a  ouvert  aux  analjsles  une  voie  toute  noLivelle  où  ils  rencontre- 
ront sans  aucun  doute  bien  des  propositions  import  ;ntes.  Aussi  ne  sera-l-il 
peut-être  pas  sans  intérêt  de  signaler  ici  certains  résultats  partiels  qui,  bien  que 
très  faciles  à  démontrer,  pourront  être  utiles  aux  géoniéties  qui  s'occuperont  de 
celte  question. 

J'ai  cherciic  d'a])ord  à  déterminer  quelles  sont  les  surfaces  du  quatrième 
ordre  qui  possèdent  des  intégrales  de  première  espèce.  J'ai  trouvé  que  toutes 
ces  surfaces  peuvent  se  ramener,  par  un  changement  linéaire  de  variables,  soit 
à  la  surface  réglée 

.r-{  (t  Z-—  zbz  —  f ■  I  —  1  xy (  a' z- -^-  aô's  H-  c')  — y-(a' z''-  —  lO"  ;  —  c"  )  =  o, 
qui  admet  l'intégrale 

f r^f ^ 

J  j-(  az--^  -ibz-i-  c)  -i-y{a'  z--i-  -ib'  z-^  c'  )^ 
soit  à  la  surface  de  révolution 

1  J-  —  y-  )--+-■>(  .rî  —  r-  )  Z.,  ^  Zi  =  o 

(Z-,  et  Zj  désignant  deux  polvnomes  de  degré  2  et  4  en  ;;),  qui  admet  l'intégrale 

dz 


J 


Z, 


Il  est  ailleurs  aisé  de  voir  que  toutes  les  surfaces  réglées  et  toutes  les  sur- 
faces de  révolution  admettent  des  intégrales  de  première  espèce,  à  moins  bien 
entendu  qu'elles  ne  soient  unicursales. 

Si  une  surface  admet  une  intégrale  de  première  espèce  u,  réductible  aux 
intégrales  elliptiques,  les  courbes  u  =  consl.  sont  algébriques. 


356  SUR    LES    INTEGRALES    DE    DIFFERENTIELLES    TOTALES. 

Si  l'on  peut  tracer  sur  une  surface  une  courbe  unicursale,  et  si  u  est  une 
intégrale  de  première  espèce  quelconque  de  cette  surface,  la  valeur  de  a  sera 
la  même  tout  le  long  de  la  courhe. 

De  même,  si  la  surface  admet  un  point  conique  de  second  ordre,  dont  le 
cône  tangent  soit  indécomposable,  la  valeur  de  u  en  ce  jioint  conique  sera 
déterminée. 

Si  l'on  peut  tracer  sur  une  surface  deux  séries  de  courbes  unicursales,  elle 
n'aura  pas  d'intégrales  de  première  espèce;  si,  sur  une  surface  non  unicursale, 
on  peut  tracer  une  série  de  courbes  unicursales,  de  telle  façon  que  par  cliaque 
point  de  la  surface  passe,  en  général,  une  seule  de  ces  courbes,  elle  aura  des 
intégrales  de  première  espèce. 

Supposons  que  l'équation  d'une  surface  soit  obtenue  par  l'élimination  de 
deux  paramètres  a  et  b.  entre  les  trois  équations 

^(x.  y.  z,  a,  b)  =  o, 

Çi(.r,  Y.  3-  a.  b)  =  o. 

•lu  a.  i)  =  o. 

Si  les  trois  polynômes  o,  cp,,  et  i]^  sont  tes  plus  i;énéraux  de  leurs  degrés, 
la  relation  'i  =  o  est  de  genre  plus  grand  que  u;  à  un  point  de  la  surface  cor- 
respond un  seul  système  de  valeurs  des  paramètres  et.  par  conséquent,  la 
surface  admet  des  intégrales  de  |Memière  espèce. 

Enfin  le  théorème  d'Abel  s'applique  aux  intégrales  de  différentielles  totales. 

Soient  M|,  M2,  .  .  .,  M^  les  points  d'intersection  de  la  surface  avec  la  courbe 


a,  (3,  y  étant  des  polynômes  entiers  en  x,  y,  :■  et  'k,  [j..  v  des  constantes.  Soient 
u,,  U'i,  .  .  .,  u,/  les  valeurs  d'une  certaine  intégrale  de  première  espèce  f/ en  ces 
ditl'érents  points. 

Soient  de   même  M,,  M.,,  ...,  M]^  les    points   d'intersection   de   la   surface 
avec  la  courbe 


V,  i^'  et  v'  étant  de  nouvelles  constantes:  soient  «', ,  u'.,,  ....  u]^  les  valeurs  de 
l'intégrale  u  aux  points  M,,  M!,,  .  .  .,  M,^. 
On  aura 

(/|  -H  »o-h.  .  . -r-  ",/=  «'1  -+-  Il'j  -h  ■  ■  ■         II',,- 


SUR 

UNE  GÉNÉRALISATION  DU  THÉORÈME  D'ABEL 


Comptes  rcinliis  i/e  l'Acadcmie  des  Sciences,  l.    lOl),  p.  40-4^  (  '  janvier  iS8)). 


Le  ihéorènie  d'Abel,  appliqué  à  une  courbe  algé]irii|ue  ./==  o  de  degré  m, 
peut  s'énoncer  ainsi  : 

Soient  (x^,  y,),  {x^,  y-,),  ...,  (.fy,  )-y)  fes  points  cV intersection  de  f  ^  o 
cnec  une  autre  courbe  algébrique  -y  =  o;  soient  {Xi  +  dxi,  J'i  +  c()'i), 
{X'^-\-dx-,,  y2+  dy-i)^  ...,  {xj-{-  dxq,  Vg-r-  d)-,/)  fes  points  d'intersection  de 
la  courbe  f  avec  une  courbe  algébrique  ç/ +  ê'|  =  o  infiniment  peu  diffé- 
rente de  o;  on  aura 

■I 
■^  Pi  ./•.,.  y.,  )  d.r-, 

2  — w —  =  "• 

P  désignant  un  polynôme  quelconque  d'ardre  m —  3,  qui  dei'ra  s'annuler 
aux  points  doubles  de  f,  si  les  courbes  o  et  o  +  e'])  vont  passer  par  ces  points 
doubles. 

Considérons  niaintenant  une  courbe  gauche,  intersection  complète  du 
deux  surfaces  /=  o,  f,  ^  o  de  degrés  ni  et  n.  Soit  (x.,,  y.„  z-,)  un  quelconque 
des  q  points  d'intersection  de  cette  courbe  a\ec  une  surface  9  =  o,  et 
(x.,-\-dx.,,  y-i-\-dy.,,  z.,-\-d:.,)  un  des  ]>oints  d'intersection  de  cette  même 
courbe,  avec  une  surface  o  4- £'^  =  o  infiniment  voisine  de  la  première.  On 
aura 

^    Pi  j-v.  y-,,  z.,  \il.r^ 


flW  dz-,         rly.,  dz; 


P  désignant  un  j)olvnonie  quelconque  d'ordre  m -\- n  —  4- 

Après   avoir   mis  le    théorème   d'Abel    sous  cette  forme,  qui  ne  diffère  pas 
essentiellement  de  la  forme  habituelle,   il  est  aisé  de  l'étendre  aux  surfaces. 


358  SUR  UNK  GÉNÉRALISATION  DU  THÉORÈME  d'aBEL. 

Soit  y'^  o  une  surface  de  degré  m.  Suit  {x,,,  y,j,  z.,)  un  de  ses  points  d'inter- 
section avec  une  courbe  gauche,  (x.,-\-  dx.,,  J'v+ <(,''■/,  Z'j+dz.^)  un  de  ses 
points  d'interseciion  avec  une  courbe  gauche  infiniment  voisine.  On  peut  se 
demander  quelles  relations  il  y  a  entre  les  différentielles  dx.„  dy,„  dz.,. 

Je  me  bornerai  pour  le  moment  aux  courbes  gauches  qui  sont  l'intersection 
complète  de  deui  suifaces  o  =  o,  91  =  o,  de  degrés  n  et  p. 

On  trouve  alors 

Dans  ces  forinules  I\  et  Q^  désignent  des  polynômes  de  degré  tn  +  p  —  4 
et  m  +  n  —  4  en  r,  j',  z,  où  l'on  a  remplacé  ces  variables  par  x~,.  y-j.  z.,.  Quant 
à  A.„  c'est  le  déterminant  fonctionnel  de  f,  »  et  o,  par  rapport  à  x,  y,  z,  où  ces 
variables  sont  remplacées  par  x.,,  yv,  z^. 

Un  cas  particulier  assez  intéressant  est  celui  où  la  surface  /  se  réduit  à 
un  plan. 

Soient  alors  cp  =  o,  »,  =  o  deux  courbes  de  degré  m  et  (x.,^  y.,)  un  de  leurs 
points  d'intersection.  Soit  (Xv+  dx.,,  y.,+  dy,,)  ce  que  devient  ce  point  d'inter- 
section, quand  ces  deux  courbes  varient  infiniment  peu.  11  vient 

-   r./  [d(z--Xç,)   ,  diz^Xo,)   j     "] 

y  ■       L        ^'-r-. dy.,  -^   J  ^  ^^ 

^  do    do,         d^i    do 

~  dx^  dy.,        dx.,  dy., 

P  étant  un  polynôme  quelconque  d'ordre   m — 3,   et  À   une    constante  quel- 
conque. 

Le  théorème  s'applique  même  si  la  surface  /  n'a  pas  de  point  singulier, 
auquel  cas  il  est  aisé  de  voir  qu'il  ne  peut  y  avoir  d'intégrale  de  première 
espèce.  Mais  il  contient,  comme  cas  parliculier,  le  résultat  que  j'ai  énoncé 
dernièrement  au  sujet  de  ces  intégrales.  Si  donc  du  est  une  diflerentielle  totale 
de  première  espèce  et  si  o  et  oi  sont  deux  polynômes  quelconques  d'ordre  n 
et  /;,  on  devra  avoir 

du  — — 7— i — -  1 

A 

P  et  Q  étant  deux  polynômes  d'ordre  m  -h  p  —  4  et  m  +  «  —  4i  et  A  éti'.nt  le 
déterminant  fonctionnel  de/,  9  et  9,  par  rapport  à  .r,  y  el  3. 

Le  problème  est  beaucoup  plus  compliqué  quind  la  courbe  gauche  dont  il 


SLR    INE   GKNÉRAI.ISATION    Ul     THÉOHÉME    d'aIIKL.  3D9 

s'agit  n'est  pas  une  intersection  complète.  Pour  faire  voir  de  quelle  manière  il 
devrait  être  traité  dans  ce  cas,  envisageons  le  cas  p^irliciilicr  d'une  cubique 
gauche. 

Supposons  d'abord  que  Ion  fasse  varier  cette  cubique,  de  telle  façon  que 
deux  de  ses  3m  points  d'intersection  a\ec  la  surface  /  restent  lises.  On  pourra 
alors  trouver  deux  surfaces  du  second  ordre  o  ^  o,  ç/,  =  o  qui  passent  parla 
cubique  donnée  et  par  la  droite  qui  joint  ces  deux  points  fixes.  La  formule  (i) 
reste  vraie,  si  on  l'applique  à  ces  deux  surfaces  et  aux  points  vdviables  d'inter- 
section de  la  surface  /' avec  la  cubique. 

Si,  ensuite,  on  fait  varier  la  cubique  d  une  manière  quelconque,  on  |)ourra 
toujours  regarder  cette  variation  comme  la  somme  d'une  variation  où  deux 
points  A  et  B,  communs  à  la  cubique  et  à  /',  restent  fixes,  et  d'une  autre  varia- 
lion  où  deux  points  C  et  D,  communs  à  la  cubique  et  à  /',  restent  fixes. 


SUR    LA   RÉDUCTION 


DES 


INTÉGRALES  ABÉLIENNES 


Comptes  rendus  de  l' Académie  des  Sciences,  t.  102,  p.  giâ-giG  (19  avril  1886). 


Le  |)robIénin  de  la  réduction  des  intégrales  abéliennes  de  genre  p  à  un 
genre  inférieur  ;j.  a  été,  dans  ces  derniers  temps,  l'objet  de  nombreux  travaux 
parmi  lesquels  nous  citerons  un  grand  nombre  de  Notes  de  M.  Picard,  insérées 
dans  divers  volumes  des  Comptes  rendus  et  réunies  ensuite  dans  le  tome  XI 
du  Bulletin  de  la  Société  mathétnatiquc  de  Fiance.  J'ai  moi-même  donné, 
dans  le  même  Bulletin,  une  généralisation  d'un  théorème  de  M.  Weierstrass, 
relatif  au  cas  de  /ji  =  i .  M.  Picard  ayant  montré  que  la  simplitication  peut  être 
poussée  plus  loin  encore  dans  le  cas  de  p  =  a,  fx  =  i ,  j'ai  voulu  voir  s'il  n'en 
était  pas  de  même  dans  le  cas  général.  Il  en  est  elfectivement  ainsi. 

Faisons  fj.  =  3,  p  =  6,  pour  fixer  les  idées;  on  peut  amener  le  Tableau  des 
périodes  à  la  forme  suivante  : 


0000 


0    0000 


A 

li" 

R' 

0 

0 

I 

—  ) 
a 

li" 

A' 

I! 

0 

^, 

0, 

W 

11 

A" 

I 

abc 

0 

0, 

0 

0 

al]C 

G 

H" 

II', 

0 

I 
â7> 

ri 

II 

G' 

II. 

I 
a 

0 

" 

II 

II 

G". 

a,  6,  ...  sont  des  nombres  entiers. 


SUR    l-A    RÉDUCTION    DES    INTÉGRALES    ABÉI.IENNES.  36l 

Il    y  a    des  cas  pariiculiers   où  la   simplificalioii   peut    encore  être  poussée 
plus  loin. 

Faisons,  par  exemple,  p.  ==  3,  p  r=r  5;  on  aura,  en  général, 


0 

0 
I 

0 

0 

4) 

0 

A 

B 

C 

*(> 

I 

I 
a 

0 

0 

f) 

I 

0 

0 

f) 

I 

C, 

H 

ir 

0 

0 

0 

I 

0 

I 

0 

11" 

G' 

H, 

o     o     o     o      I      0       0       H'  H  Cl". 

Mais,  si  a  =  I ,  on  pourra  ramem-r  le  Tableau  des  périodes  à  la  forme  suivante  : 

I     o     o     o     o     A     B       o  o  o, 

o        I        o        o        o        B         C         -I-  o  o, 

0 

o        o         I         o         o          o           -          (i  H"  ir, 

n      o      o      I       o       o        (I       II"  G'  11, 

o      o      o      o      I       o        o      II  H  G". 


H.  P.  —  III. 


SUR    LA    REDUCTION 


INTÉGRALES    ARÉLIENNES 


LES  FONCTIONS  FUCHSIENNES 


liendiconli  del  Circolo  Matematico  di  Palermo,  t.  27,  p.  28i-336  (1909). 


I.  —  Généralités  sur  la  réduction. 

11  est  à  peine  nécessaire  de  rappeler  ici  les  principes  de  la  lliéorie  de  la 
réduction  des  intégrales  abélieiines.  Considérons  une  courbe  algébrique  C  de 
genre yj  admettant/;  intégrales  de  première  espèce  2p  fois  périodiques.  Dans  cer- 
tains cas,  il  arrive  que  les  périodes  de  y  de  ces  intégrales  [q  </>)  ne  sont  que 
des  combinaisons  linéaires  à  coefficients  entiers  de  2<jr  périodes  seulement.  On 
dit  alors  que  les  intégrales  abélienncs  relatives  à  cette  courbe  sont  susceptibles 
de  réduction. 

Soient 

»i,     ('•>,      ...,     u,, 
ces  p  intégrales.  Soient 

Ci  ,     C^,      ...  1      Co^ 

■2p  cycles  distincts  tracés  sur  la  surface  de  Riemann  correspondant  à  notre 
courbe.  Quand  on  décrira  le  cycle  Ca,  l'intégrale  «<;  augmentera  dune  constante 
y-iii,  de  sorte  que  chacune  de  nos  p  intégrales  admettra  2p  périodes 

Il  y  a    réduction  .si  l'on  a 

(i)  x,i.=  S/mA-yP,-/         (j  =  I,  2,  ..  ..q;  k  =  1,2,  .  ..,2p;  j  =  1,2,  ...,29), 

les  m/tj  étant  4/>'/  nombres  entiers  et  les  {3,y  étant  4?"  constantes  quelconques. 


Sun    LA    RKUICTION    DKS    INTKGRALES    AllKl.IENNES    ET    LES    EONCTIONS    l'CTlISIENNES.        3Sj 

L'un  des  cas  les  plus  intéressants  est  celui  où  (7=1,  c'est-à-dire  où  l'une  des 
intégrales  u,  par  exemple,  ;^,,  esl  rédiicliljli'  aux  intégrales  elliptiques.  Les 
relations  (i)  se  réduisent  alors  à 

(I  bis)  ïl/,=  "Ul  ;i]l  —  »lkl'i>i-:- 

Soient  alors  x  ei y  les  coordonnées  d'un  point  quelconque  M  de  la  courbe  C. 
Soient  x'  et  y'  deux  fonctions  doublement  périodiques  de  ii^  admettant  |)Our 
périodes  |3|,  et  [îi^.  Si  nous  regardons  x'  Ql  y'  comme  les  coordonnées  d'un 
point  M',  ce  point  M'  va  décrire  une  courbe  algébrique  C  de  genre  i.  A  chaque 
point  de  la  courbe  C  correspond  une  valeur  cie  (z,  intérieure  au  parallélogramme 
des  périodes  et  une  seule,  et  inversement.  Or  à  chaque  point  Al  de  C  correspond 
une  vah'ur  de  u^  déterminée  à  une  période  près  et  une  seule,  et  par  conséquent 
un  seul  point  M',  d'où  il  suit  que  x'  et  y'  sont  des  fondions  rationnelles  de  .r 
et  )-;  au  coutraire  x  et  >•  ne  sont  pas  des  fonctions  rationnelles  de  x'  el y'  sans 
quoi  les  deux  courbes  C  et  C  seraient  de  même  genre.  Les  deux  courbes  C  et  C 
sont  donc  liées  par  une  transformation  unirai ionnelle. 

Réciproquement,  envisageons  deux  courbes  C  el  C  de  genre  />  et  i  et  telle 
que  l'on  passe  de  la  première  à  la  deuxième  par  une  transformation  uniration- 
nelle.  Je  dis  qu'une  des  intégrales  de  C  est  réductible  aux  intégrales  elliptiques  ; 
en  effet,  la  courbe  C  étant  de  genre  1  admet  une  intégrale  elliptique  de  première 
espèce 

«1  =   /  R (.<■',    y'}c/-r', 

R  étant  rationnel  en  x'  et  ) '.  Or  x'  et  y'  sont  eux-mêmes,  par  hypothèse,  des 
fonctions  rationnelles  de  x  et  )',  de  sorte  que 


u,=Jn,i.,-.y)d.,- 


Ri  étant  rationnelle  en  x  el  y.  Donc  11,  est  l'une  des  intégrales  abéliennes  de 
première  espèce  de  C  ;  et  u,  n'a  que  deux  périodes  distinctes.  c.  q.  f.  d. 

Cette  dernière  proposition  peut  s'étendre  au  cas  de  q  ^  i.  Supposons  deux 
courbes  C  et  G 'de  genre  p  et  q  {(/  <.  p)  et  telles  que  l'on  puisse  passer  de  C  à  C 
par  une  transformation  unirationnelle.  La  courbe  C  (-lant  de  genre  q  admettra 
q  intégrales  abéliennes  de  première  espèce 

M,  =   /  R(a:'.  y  )cix'  {i  =  i,a ç). 

qui  auront  2/)  périodes  distinctes.  Comme  x'  et  y'  sont  rationnels  en  x  et  )■, 


364        SUR    LA    RÉDUCTION    DES    INTÉGRALES   AUÉLIENNES    ET    LES    FONCTIONS    FUCHSIENNES. 

nous  pourrons  écrire 

de  sorte  que  les  q  intégrales  H|  qui  ont  2q  périodes  distinctes  seront  des  inté- 
grales abéliennes  de  proniiére  espèce  de  G.  Les  intégrales  de  C  sont  donc 
susceptibles  de  réduction. 

La  réciproque  n'est  pas  vraie.  D'abord  s'il  y  a  réduction,  il  peut  se  (aire  que 
les  constantes  p  ne  soient  pas  les  périodes  des  intégrales  abéliennes  relatives  à 
une  courbe  C  On  verrait  assez  aisément  que  ces  constantes  p  doivent  satisfaire 
aux  conditions  nécessaires  pour  être  les  périodes  d'une  fonction  abélienne. 
Mais  il  peut  très  bien  arriver  que  les  périodes  d'une  fonction  abélienne  ne  soient 
pas  les  périodes  d'un  système  d'intégrales  abéliennes  relatives  à  une  courbe 
algébrique.  Lin  système  de  fonctions  abéliennes  de  genre />  dépend  de  ~^ 

constantes  ;  une  courbe  algébrique  de  genre  /}  dépend  de  3/>  —  o  constantes 
seulement.  Les  deux  nombres  ne  sont  égaux  que  pour  j»  =  2  et  pour  y?  =  3. 
Donc,  pour  /' C>  -^  1^  fonction  abélienne  engendrée  par  une  courije  algébrique 
n'est  pas  la  fonction  abélienne  la  plus  générale.  Elle  peut  s'appeler  une  fonction 
abélienne  spéciale. 

Eh  bien,  les  constantes  ,3  seront  toujours  les  périodes  d'une  fonction  abélienne, 
mais  pas  toujours  celles  d'une  fonction  abélienne  spéciale.  Mais  ce  n'est  pas 
tout.  Supposons  que  les  [3  soient  les  périodes  d'une  fonction  abélienne  spéciale, 
c'est-à-dire  qu'il  existe  une  courbe  C  dont  les  intégrales  abéliennes  de  première 
espèce  aient  précisément  pour  périodes  les  constantes  (5.  11  ne  s'ensuivra  pas 
nécessairement  que  l'on  puisse  passer  de  C  à  C  par  une  transformation  uniralion- 
nelle  ;  ou  tout  au  moins  le  raisonnement  précédent  ne  permet  pas  de  l'affirmer. 

Reprenons  en  elFet  ce  raisonnement  et  considérons  q  points 

M'i,   m:, m;, 

de  la  courbe  C.  Soient  d'autre  part 

«1,       "j llq 

les  q  intégrales  de  première  esjièee  de  C.  Soit  u]/^  la  valeur  de  l'intégrale  «/,-  au 
point  M^,  et  posons 

Nous  savons  (pie  les  valeurs  de  i',,  r.,,  ...,  u]^  suffisent  pour  déterminer  (à 
l'ordre  près)  l'ensemble  des  </ points  M' et  que,  inversement,  (piand  cet  ensemble 
des  q  points  M'  nous  est  donné,  on  connaît  les  v)  à  une  période  près. 


SIR    LA    RKDIXTION    DES    INTÉGRALES   ABÉLIENNES    ET    LES    FONCTIONS    FLCHSIENNES.        365 

Maintenant  ces  q  intégrales  (/,  sûiit  aussi  des  intégrales  abéliennes  relatives 
à  C,  à  savoir  celles  qui,  par  hypothèse,  sont  susceplibles  de  réilmtion  ;  .si  donc 
nous  envisageons  (j  points 

M,.     M, M^ 

sur  C  et  ([ue  nous  désignions  par  ///^  la  valeur  de  l'intégrale  w,  en  M/;,  si  nous 
posons 

à  chaque  système  de  points   M,.   Mj,    ...,   M^  correspondra   un   système   de 
valeurs  des  c,  déterminé  à  une  période  près.  Supposons  qu'on  lasse 


celte  égalité  fera  correspondre  à  un  système  M|.  Mj.  .  .  . ,  M^  de  points  de  la 
courbe  C  un  système  de  valeurs  des  c,  déterminé  à  une  période  près,  et  par 
conséquent  un  système  M,,  M.,,  .  .  .,  M\^  de  points  de  la  courbe  C  entièrement 
déterminé. 

.Soient  X;,  -)',  les  coordonnées  de  M,  ;  x) ,  y)  celles  de  M, .  Il  résulte  de  ce  qui 
précède  que  toute  fonction  rationnelle  symétrique  de 

sera  une  fonction  rationnelle  et  symétrique  de 

{Xi,  yx;  Xj,  _)',;  ...;  x„  _)>). 

Mais  il  ne  s'ensuit  pas,  sauf  dans  des  cas  exceptionnels  (et  c'est  sur  ce  point 
que  je  veux  insister),  que  x\ ,  ) ',  soient  fonctions  rationnelles  de  .;, ,  )',  ;  x.,,  y'., 
étant  les  mêmes  fonctions  de  x^,  y 2  ;  etc. 

D'autre  part,  il  est  presque  inutile  de  rappeler  que  la  transformation  est 
unirationnelle  et  non  birationnelic  ;  et  que,  par  conséquent,  toute  fonction 
rationnelle  et  symétrique  des  X;,  y,  n'est  pas  une  fonction  rationnelle  et  svmé- 
rique  des  x) ,  y]- . 

Les  cas  de  réduction  peuvent  être  r.imenés  à  certaines  formes  canoniques 
simples  par  un  choix  convenable  des  périodes  et  dés  intégrales.  Pour  le  faire 
bien  comprendre,  je  vais  montrer  quel  est,  dans  deux  cas  de  réduction,  le  tableau 
des  périodes  normales  ramené  à  sa  forme  canonique  : 


366        SIR    LA    RÉDUCTION    DES    INTÉGRALES   ABÉLIENNES    ET    LES    FONCTIONS   FUCHSIENNES. 

PREMIER  EXEMPLE  : 
9=1.        /)  =  3. 

Cycles.. C,.  C.,.  C,.  C..  C,.  C^. 

•ii- 
Intégrale   », ii-  a  o  h  o 

■>i- 

tu o  2i-  o  (t  o 

X 

u~ o  o  -zir.  Il  />  c 

(u  entier). 

DEUXIÈME  EXEMPLE  : 

CNcles I.,.  C,.  C,.  C..         Cj.  C,;.  C.         C,. 

■ii- 
Inlégrale  «1 '(~         "  <>  »  "  ''  "        

t' 

Ï.3 


II (1  ■>  t~  Il  o  h  r 


■il-  ,  ,, 

»  II- «1  '»  i  l  ~  <>  '>  — i—  'I  f> 

Xj 

■21- 

„  II. IJ  (1  (I  HZ  Il  ''  '■ 

(a.   j  enliers). 

Ces  deux  exemples  siifllronl  pour  faire  comprendre  quel  est  le  sens  du  théo- 
rème général,  et  la  façon  de  ramener  à  la  forme  canonique.  Je  renverrai  pour 
plus  de  détails  à  un  df  mes  .Mémoires  ('). 

Quoi  qu'il  en  soit,  rappelons  ce  que  c'est  qu'une  fonction  6  d'ordre  /:.  .Xous 
aurons/)  variables  k,,  «-2,  .  .  .,  "p  et  2/>  périodes,  p  de  la  première  sorte,  p  de 
la  deuxième  sorte  ;  la  /.'''""  période  de  la  première  sorte  est  égale  à  2 /tt  pour  «a 
et  à  zéro  pour  les  autres  variables  ;  la  /r"""'  période  de  la  deuxième  sorte  est 
égale  à  o*/,  pour  U/,.  On  a  d'ailleurs 

Soient  alors,  les  m  étant  des  entiers, 

P  =  Sj-^i;/,-,         tQ  =  'S.ijna  iiiiin  j. 


(')  Sur    les  fonctions   abéliennes    i  American    Journal   of    Mathematics,    vol.    A III,     i886, 
p.  289-342). 


SUR    L\    KÉDICTION    DtS    INTÉGRALES   ABÉLIENNES    ET    LES    FO^•CTI0^•S    FUCHSIENNES.        36^ 

La  fonction  0  proprcmeni  dite  est  la  fonction  , 

e  =  Sef-O. 

Une  fonction  9  d'ordre  /.'  sera  de  la  forme 

p+p, — - 

0  =  ï  A  e  * , 

où  l'on  aura  P,,  =  i(m,ft,,  les  /tétant  des  consiantes  et  où  les  A  seront  des 
coefficients  dépendant  des  entiers  m,  mais  assujettis  à  reprendre  les  mêmes 
valeurs  quand  les  m  augmentent  de  multiples  de  /.■. 

Deux  fonctions  0  d'ordre  k  appartiennent  au  même  faisceau,  quand  elles  ont 
mêmes  multiplicateurs,  c'est-à-dire  quand  la  forme  P„  esl  la  même  pour  l'une 
et  pour  l'autre.  Les  fonctions  5  d'un  même  faisceau  s'expriment  linéairement  à 
l'aide  de  A''  d'entre  elles,  puisque  c'est  là  le  nombre  des  valeurs  distinctes  que 
peut  prendre  le  coeflicient  A. 

Supposons  maintenant  qu'il  y  ait  réduction  ;  nous  distinguerons  alors  les 
(j  premières  variables  que  nous  appellerons  les  u.  et  les  p  —  q  dernières  que 
nous  appellerons  les  (/'.  Ainsi,  dans  le  premier  exemple  ci-dessus  nous  aurons 
une  variable  u  qui  sera  u,  et  deux  variables  ii'  qui  seront 

dans  le  deuxième  exemple  nous  aurons  deux  variables  u  qui  seront  u,  et  u^  et 
deux  variables  u'  qui  seront 

(/',   =    1/3.  u'.,  =    II;. 

De  même,  nous  désignerons  par  //;,  et  m]  les  coefficients  entiers  qui  corres- 
pondent à  Ui  et  U; . 

Nous  pouvons  alors  poser 

P,  représente  la  partie  de  P  qui  dépend  seulement  des  m  et  Pj  celle  qui  dépend 
seulement  des  m',  de  telle  sorte  que 

P.i=  :Lm'ii'. 

De  même,  Q,  représente  la  partie  de  Q  qui  dépend  seulement  des  ni,  Q.^  celle 
qui  dépend  seulement  des  lu',  et  Q,  celle  qui  dépend  à  la  fois  des  m  et  des  m'. 
Tous  les  termes  de  Q,  sont  du  second  degré  par  rapport  aux  m,  tous  ceux 
de  Qs  sont  du  second  degré  par  rapport  aux  m'  :  ceux  de  Q,  sont  du  premier 
degré,  d'une  part  par  rapport  ;iux  m.  d'autre  part  par  rapport  aux  ru'.  Dnns  le 


368        SUR    LA    RÉDUCTIOX    DES   INTÉGRALES    ABÉLIENNES    ET    LES    FONCTIONS    FUCHSIENNES. 

premier  exemple  ci-dessus  on  a  donc 

■>  t  ~ 

Q3=    '"l  '"', 

et  dans  le  deuxième  exemple 

-iir.            ,         li- 
Q3  =  «h  m.,  H jj-  m.,  m  , . 

a  "  xp 

Nous  observerons  ensuite  que  e^**'  ne  peut  jjrendre  qu'un  ilombre  fini  de 
valeurs  distinctes.  Cela  tient  à  ce  que  les  m  et  les  m',  de  même  que  a.  et  (3,  sont 
des  entiers.  Dans  le  premier  exemple,  e""' ne  change  pas  si  //(,  ou  m\  augmente 
de  a,  et  comme  il  ne  dépend  d'ailleurs  que  de  «i,  et  in\,  il  ne  change  pas  quand 
les  m  et  les  m'  augmentent  de  multiples  de  x  ;  dans  le  deuxième  exemple,  il  ne 
change  pas  si  »j,  ou  «i.,  augmentent  d'un  multiple  de  x.  ou  si  iiu  ou  /«,  aug- 
mentent de  ajâ.  Il  ne  change  donc  pas  si  les  m  et  les  m'  augmentent  de  multiples 

4 
de  «(3.  Dans  tous  les  cas  il  existe  un  nombre  /■  tel  que  e^*^'  ne  change  pas 

quand  les  m  et  les  m'  augmentent  de  multiples  de  /  . 
Cela  posé,  nous  aurons 

La  sommation  doit  se  faire  par  rapport  aux  m  et  aux  /»'.  Regardons  pour  un 
instant  les  u  comme  donnés  ;  posons  alors 

A  =  i;fi".-u.-U.. 

où    la    sommation  se    fait    par  rapport   aux   m  seulement  ;    A  dépendra   donc 

des  u  et  des  m'  ;  l'essentiel  est  de  remarquer  que  A  ne  change  pas  quand  les 

m'  augmentent  de  multiples  de  A. 

Posons 

Q'=AQ,; 

Q'  sera  la  forme  quadratique  formée  avec  des  périodes  de  la  deuxième  sorte, 
k  fois  plus  grandes  que  celles  qui  figurent  au  table:iu  primitif:  et  ion  aura 

%  i  II .  u  )  =  -  k.  e        *  , 

la  sommation  devant  celte  fois  s'efTectuer  par  rapport  aux  m'  ;  ce  qui  montre 
que  0  considérée  comme  fonction  des  u'  est  une  fonction  9  d'ordre  /.  admettant 
comme  périodes  de  la  deuxième  sorte  celles  qui  ont  servi  à  construire  la  forme 
Q'.  Dans  le  premier  exemple  ci-dessus,  ce  sera  une  fonction  0  d'ordre  a  admettant 
comme  périodes 

o     iiT,      'xb     :i.c. 


SLR    LA    HKDLCTION    DES    INTKGIWl-KS    ABÉLIENNES    Eï    LES    FONCTIONS    FICHSIENNES.        'i<i9 

Dans  le  deuxième  exemple,  ce  sera  une  fonction  'i  d'ordre  aj3  admeltant  pour 
périodes 


•1  ir,        o        x[j/./'     a[5  h' 
o        lir.      ■ji'jh'     x'jf'. 


Remarquons  que  celle  nouvelle  manière  d'envisager  la  réduction  des  périodes 
abélienne?  esl  applicable  non  seulement  aux  fonelious  (■)  spéciales  (comme 
l'élaienl  les  précédentes  qui  parlaient  de  la  considéralion  de  la  courbe  algé- 
brique C),  mais  aux  fonctions  0  les  plus  générales. 


II.  —  L'invariant  de  la  réduction. 

Soient  y.i^  les  ayo  périodes  de  nos  intégrales  abéliennes  et  reprenons  la 
relation  (i)  du  paragraphe  précédent  : 

(i)  2,/,  1^  1/ /;(/.;  ;i,y  [i  =  \,-i. q;  k  =  1,1. >/)  ;  J  =l,i.  ....■>(/}. 

Je  ne  suppose  nullement  ici  que  les  périodes  choisies  soient  les  pèiiodes 
normales.  Nous  devons  d'abord  définir  la  forme  bilinèairr  F(ic,j)')  caracté- 
ristique de  ce  système  de  périodes.  Pour  cela  soient 

L'    —    [J.|  «1  -r     [J.,,  It.,-h..  .  \1.,,  llp, 

\^  '  ~  \x\  l(  f  -k-  \X'.,  Il .,  ...  \Xi,lli, 

deux  combinaisons  linéaires  quelconques  de  nos  j)  intégrales  abéliennes.  Soient 

X,,      .r.,,      ....      .i:,,,. 
fi:      Vi,       ....      .Vi,, 

les  Ajt  périodes  de  U  et  de  Li',  de  telle  sorte  que; 

Ou  aura  entre  les  x  et  les  v  une  ceilaine  relation  bilin(aire 

{■>.)  V(x.y)  =  o 

qui   subsistera   quels  que   soient   les  coeflicients  [j.  et  /j.'  ;   et  c'est  le   premier 
membre  de  cette  relation  qui  sera  \a  forme  bilinéaire  caractéristique. 
Dans  le  cas  des  périodes  normales,  cette  forme  se  réduit  à 

-(■'■■2/-  -\yik—  ■■'■■iky-ik-i  )  ■ 

Si  la  relation  (i)  a  lieu  de  façon  (ju'il  y  ait  réduction  et  que  U  soit  une  ct)m- 
binaison  des  intégrales  réductibles,  de  telle  sorte  que 

[j-k^'j.        (,/.    (/) 
II.  1'.  -  III.  1, 


->yo       suit    LA    IIEDUCIION    DES    INTEURXLES   AllELlENNKS    ET    LES    FONCTIONS    l'I'CllSIEN.NES. 

on  pourra  écrire 
OU  bien  encore 

Ci)  .r/--:    lyWi^.^OJ^.  (.);=   i:,[JL,  3,;. 

Si  nous  subsliluons  dans  (2)  à  la  place  des  x  leurs  valeurs  tirées  de  la  pre- 
mière écjuation  (3),  celle  relation  bilinéaire  prend  la  f(jrme 

où 

esL  une  combinaison  linéaire  des_)'. 

Nous  pouvons  assujettir  les  coeflicients  ;j.'.  restés  jusqu'ici  arbitraires,   aux 
■2(j  conditions 


("')  H,. 


■'(/  I. 


qui  Sont  des  relations  linéaires  entre  les  jj.',  puisque  les  y  sont  des  fonctions 
linéaires  des  r^.'.  Si  ces  relations  (  T)  )  étaient  distinctes,  elles  admettraient  y;  —  2q 
solutions  linéairement  indépendantes,  puisque  nous  aurions  jj  inconnues  '/ 
entre  lesquelles  nous  auiioiis  2(/  relations  distinctes.  Mais  ces  relations  (5)  ne 
sont  pas  distinctes,  puisque  les  lij  sont  liés  par  les  identités  (4).  Ces  iden- 
tités (4)  sont  au  nombre  de  cj,  puisque  L  désigne  une  quelconque  des  inté- 
grales abéliennes  réductibles,  de  sorte  que  nous  pouvons  |)rendre  indifférem- 
ment 

r  —  II,,      Il  =  II,.      ....      u  =  II,/. 

Les  équations  (5)  admettront  donc  ji  —  </  solutions  linéairement  indépen- 
dantes. 

Si  ces  équations  sont  satisfaites,  l'intégrale  abélienne  U'  sera  réductible  au 
genre  /> — ■(/.  En  effet,  ses  2p  périodes  )•  seront  liées  par  les  ay  relations 
linéaires  (5)  qui  sont  à  coeflicients  entiers,  de  sorte  que  ces  périodes  pourront 
s'exprimer  linéairement  à  l'aide  de  2/>  —  2Cj  périodes  distinctes  que  nous  appel- 
lerons Ç  et  que  nous  pourrons  écrire  (les  n  étant  des  entiers  ) 

(■  iVi  r,  =  ï  /lij  t/         (  i  —  i,-2;  . . ..  ■^j>;  /  =  1 .  2,  ....  ■2/1  —  ■>(/). 

En  résumé,  nous  aurons  d'une  part  cj  intégrales  \J  réductibles  au  genre  r/  et 
d'autre  paît  p  —  1/  intégrales  U'  réductibles  au  genre  //    -  </. 


SUU    LA    UBDUCTION    DES    INTÉGBALES    AUÉLIENNES    liT    l-ES    l'ONCTIONS    l'UCIlSlKNMiS.        3;l 

Rapprochons  les  égalités  {'■>)  et  (  (3),  (|ue  nous  écrirons 

,/■,       il/;/,/,  (0/,,         ji='^/i,iZj. 

el  formons  le  délerniinant  des  entiers  iti  el  n  ;  il  aura  ■>./>  lignes  et  2/j  colonnes, 
puisque  les  indices  /,  k  cXj  varient  respectivement  de  i  à  :'./),  de  \  à  2q,  de  i  à 
2p  —  217.  Je  remarque  ([ue  ce  déterminant  sera  un  imariant,  je  veux  dire 
qu'il  ne  cliangera  pas  :  1°  si  l'on  remplace  le  système  des  périodes  a  par  un  autre 
système  équi\alent  ;  2"  si  l'on  remplace  les  périodes  w,  ou  encore  les  périodes  'Ç 
par  un  système  équi\ aient. 

Je  suppose,  bien  entendu,  que  le  système  des  w,  de  même  que  celui  des  Ç,  a 
été  choisi  de  la  façon  la  plus  simple  possible  ;  c'est-à-dire  que  :  1"  si  l'on  forme 
le  tableau  des  coefficients  m,  tous  les  déterminants  formés  en  prenant  2(/  colonnes 
do  co  tableau  sont  des  entiers  premiers  entre  eux  ;  2"  que  le  tableau  des  coeffi- 
cients /(  jouit  de  la  mémo  propriété. 

l'osons  maintenant 

(7)  Fl,=  ïA„,r,; 

les  coefficients 


'"-jL,/.,-,,  ,ly, 

I. 

seront  des  entiers.  Piap[)rochons  mainlenanl  1rs  équations  (3)  et  {-),  (|uc  nous 
écrirons 

el  formons  d'une  part  le  tableau  lics  ///  et  d'autre  part  celui  des  h.  Dans  le 
premier  tableau,  mij  occupera  la  j'  ligne  et  la  /'  colonne  ;  dans  le  deuxième 
tableau  /i,,  occupera  la  /'"  ligne  et  la  /'  colonne. 

Soit  D  l'un  quelconque  Jes  déterminants  formés  à  l'aide  du  premier  tableau 
et  qui,  d'après  ce  que  nous  venons  de  supposer,  sont  tous  premiers  enire  eux. 
Soit  D'  le  déterminant  correspondant  du  deuxième  lableau.  (Considérons  la 
somme  iDD'  cl  com|)aiiins-la  au  délerniinant  A  des  m  et  des  /;,  ipii,  nous 
l'avons  vu,  est  un  invariant. 

IjCS  n  seront  définies  par  les  équalions 

Ou  a  en  eflét 

o=  n,=-  ^-/i,,: ,  -  -/'„",/.  w, 

el  celte  relation  doit  être  une  identité  par  rapport  aux  Ç/. 


i'I       Sun    LA    RÉDlcnON    DES    I.NTKGRAl.liS   ABÉLIKNNES    KT    LES    FONCTIONS    FUCHSIENNES. 

Forniiins  le  déterminant  M  des  /;  et  des  n  ;  il  aura  ip  ligues  et  2/?  colonnes. 
Soit  D'  l'un  des  déterminants  formés  avec  ■icj  colonnes  du  tableau  des  //  ;  ce 
sera  un  mineur  de  M  ;  nous  continuons  à  désigner  par  D  le  déterminant  formé 
avec  les  mêmes  colonnes  du  tableau  des  m.  Je  désignerai  de  même  par  Die 
déterminant  du  tableau  de>  n  correspondant  à  D'  ;  je  veux  dire  par  là  celui  (pic 
Ion  obtient  en  supprimant  dans  le  tableau  des  n  les  colonnes  que  Ion  conserve 
dans  le  tableau  des  //  quand  on  veut  obtenir  D'.  Il  résulte  de  là  que  D"  est  aussi 
un  mineur  de  M,  et  (pie  l'on  a,  en  développant  le  déterminant  M, 

\1  =  ID'D". 

On  aura  de  même  en  développant  le  déterminant  A 

A  -  ilDH". 

Et  enlin  nous  nous  proposons  d'éludier  l'expression 

.1  =  illU»'. 

Quelle  est  alors  la  signilicalion  des  égalités  (H)  ;  elles  signilienl  cpie  les  déter- 
minants D'  et  D"  sont  proportionnels,  c'est-à-dire  que  l'on  a 

n_  ).  11". 

I*ar  une  livpolbèse  faite  plus  haut,  les  J)"  sont  des  entiers  premiers  entre  eux  ; 
les  D'  sont  des  entiers.  Donc  "/.  n'est  pas  autre  chose  que  le  plus  grand  commun 
diviseur  de  ces  entiers. 

Pour  déterminer  ce  plus  grand  commun  diviseur,  iiou>  remarquerons  cpi  il 
ne  doit  pas  changer  quand  on  remplace  les  périodes  y.  par  un  système  de 
périodes  équivalent.  Soit  en  effet  un  nouveau  système  de  périodes  a';  les  a'  sont 
liés  aux  y.  par  1111  système  de  relations  linéaires  à  coefficients  entiers  et  de  déter- 
minant I  ;  les  X  et  les  j)''  sont  liés  respectivement  aux  x  et  aux  j'  par  les  mêmes 
relations  linéaires.  I.a  relation  F  (x,  j')  =  o  devient 

(2  bis)  V'{j-\)' )  —  11. 

F'  (oc',  y'  )  étant  ce  (jue  d('vieiit  F  (a;,  v)  quand  on  j  remplace  les  .r  et  les  y  par 
leurs  valeurs  en  fonctions  des  ./'  et  des  )■  . 
Les  relations  (3),  (1),  (<>),  (7)  deviennent 

(3  bis)  3:' -—  ï /«'('). 

(tibis)  i:H(.j  =  o. 

(G///.V1  ,)         ^-li'l. 

(■;  bis)  H  =  !/,•_)  •=  l/i.i. 


SLH    LA    REDL'CTION    DES    INTElillALES    AIlKLIENNEs    ET    LES    ('ONCTIONS    FICHSIENNES.        373 

On  voit  que  les  m  el  les  ni'  sont  liés  entre  eux  par  les  mêmes  relations  linéaires 
que  les  7.  et  les  y.'  :  el  que  les  li  et  les  li' ,  à  cause  de  l'idenlité 

"^hr        ^/i   y'. 

sont  liés  par  les  relations  conlraLçrédientes,  c'est-à-dire  par  des  relations  qui 
sont  comme  les  premières  à  coeflicienls  entiers  et  de  déterminant  1 .  Il  résulte 
de  là  que  ces  transformations  n'altéreront  ni  le  plus  grand  commun  diviseur 
des  D,  ni  celui  des  D'.  Nous  pouvons  donc  supposer  qu'on  a  choisi  les  périodes 
normales. 

On  a  alors 

I"(j-,.k)  = -(.î'i/. -i.t'»* — ■r.,/;  )■!/.■    1). 

/ii/..i  —  m-ik-y;.         /i-ii—i.i  =  —  "';/.■./. 

ce  qui  montre  que  dans  ce  cas  les  h  ne  sont  autre  chose  que  les  m  au  signe  et  à 
l'ordre  près  ;  de  sorte  que  les  D  ne  sont  autre  chose  que  les  D'  an  signe  et  à 
l'ordre  près. 

Or  les  D  sont  premiers  entre  eux,  il  en  est  donc  de  même  des  D'  ;  donc  on  a 

Nous  pouvons  supposer  "/.  =r^  1 .  quitte  à  permuter  deux  des  w.  Il  vient  ainsi 

n  :^  D".        J  =  A. 

Ce  qui  montre  que  l'cx/>rcssioii  J  est  rimai  irinC  clierc/ic. 

Appliquons  cela  aux  deux  exemples  du  paragraphe  I  ;  pour  le  piemier  il  vient 


(•).  =    J  Cl.,  =  /(, 


Le  tableau  des  m  est  donc 

(coi)  y.     i>     Il     'I     I     i> 

(  o>o )  (  I     4  »     0      I      0     ( » 

et,  comme  les  périodes  sont  normales,  celui  des  /i  est 

o     — i     o     y.     o     «1. 
—  1  o     o     o     <l     »>. 

Tous  les  D  sont  nuls  sauf  deux  d'entre  eux,  tpii  sont  respectivement  égaux 
à  I  et  à  y.  ;  de  même,  tous  les  D'  sont  nuls  sauf  deux  d'entre  eux,  qui  sont  res- 
pectivement égaux  à  1  et  à  3!.  Seulement  le  D  qui  est  égal  à  a  correspond  au 
D'  qui  est  égal  à  x,  tandis  que  le  D  qui  est  égal  à  i  correspond  à  un  D'  qui  est 


374        SUR    LA    HÉDUCTION    DES    INTÉGRALES   AllÉLIEN.NES    KT    LES    FONCTIONS    FUCHSIENNES. 

ogal  à   zéro   cl    Ir    D'  (lui  est   égal  à    i    à  nii   I)  qui  est  égal  à  zéro.   Donc  tous 
les  DD'  sont  égaux  à  zéro  excepté  un  d'eux  qui  est  égal  à  y.-  et  l'on  a 

Passons  au  deuxième  exemple 

l    =  ;j.,  u^  ^  rjt-,  /r,,  (.),  =  ,  (');  —   r — ) 

tOj  =  ;ji|  (7  -H  ;j^;  A.  (■).,  =  \i.\  b  -H  ;x.2C- 

I^es  périodes  ./•  sont  respecli\  ement  ; 

:>/n;Jii,       li-^i....      n.      o.      ;xi  ^( -i- ;xj  6.      ;j.i /< -1-  UjC.      ;|^)      J 

ce  qui  donne  pour  le  tableau  des  m 

{^^^i\)  y-     o      o    <>    ()    o    o     ï 

(tOo)  o      a[j      o      o     o      1)      1      o 

(lO.i)  Il         II  II        II         I         II        11        1) 

f  f ')  i  ')  11(1       11(1111(111 

et  pour  le  tableau  des  h.  les  périodes  étant  normales, 

(1  11  (I       1        V.         (I        o       l> 

o  11      — I  11      (1      i[i      (I      o 

1  o  II  o       I»  (1  (I        (1 

n      —  I  11  on       o .     o     o 

Le  seul  des  produits  DD'  qui  ne  s'annule  ])a.s  est  celui  où  les  déleruiinants  D 
et  D'  sont  formés  avec  les  colonnes  i  ,  a,  5  et  6  ;  et  dans  ce  produit  on  a 

On  aura  donc 

.1  =  i:i»D=:  a>  32. 

Ainsi,  si  Ton  clioisit  le  sv?lème  de  périodes  de  fa^on  à  mellrr  le  tableau  de> 
périodes  réductibles  sous  la  forme  canonique,  l'invariant  J  est  un  carré  parfait. 
Car  la  démonstration  (jiie  nous  avons  développée  dans  les  deux  exemples  précé- 
dents s'applique  évidemmont  à  tous  les  cas.  Or,  cet  invariant  ne  dé|)end  pas  du 
cboix  des  périodes.  Donc  V invariant  J  est  toujours  un  carré  parfait . 

Jusqu'ici  nous  avons  supposé  que  les  périodes  x  et  y  étaient  distinctes.  Ne 
faisons  plus  celte  hj-pothèse  ;  les  périodes  x  peuvent  n'être  pas  distinctes  et 
par  conséquent  leur  nombre  peut  être  plus  grand  que  a  p. 

Il  existera  alors  un  système  de  2p  périodes  distinctes  ./■'.  et  nous  aurons  entre 


SUR    l.A    BEDUCTION    DES    INTEGRALES    ABÉLIGNNES    ET    LES    l'DNCTIONS    ITCHSrliNXKS.         i" '> 

les  deux  systèmes  de  périodes  les  rulntions 

(9)  Xi=z    ^kXik^'n. 

les  >.  étant  entiers  ;  et  enlre  les  périodes  correspondantes  y  et  1'  les  relations 

(>.l  '"■'•■'  .1'/=   -''•;7,,>''/,- 

11  existera  encorr  une  forme  liilinéaire  J''(./-,  ))  telle  i[u'on  aura  pour  deux 
intégrales  abéliennes  quelconques  de  première  espèce 

Quand  on  remplacera,  dans  cette  forme,  les  ./'  el  les  )■  par  leurs  valeurs  (<)) 
et  (gl)is),  elle  deviendra  une  l'orme  bilinéaire  en  ./'  et  _)'  que  j'appellerai 
F'(x'.  y'),  de  sorte  qu'on  aura  l'identité 

F(.T.y)  =  F'i.r',y'). 
Nous  conserverons  les  mêmes  périodes  w  et  nous  aurons  la  relation 

pt  de  même  avec  les  périodes  x' 

Les  I»  et  les  m'  sont  entiers.  Le  tableau  des  m'  a  2j>  colonnes  et  g  lignes  ; 
celui  des  //;  a  q  lignes,  mais  peut  avoir  plus  de  a/J  colonnes.  On  aura  d'ailleurs 

(10)  '",;■=  Sa-X,7,-  m'ij. 

Nous  avons  d'autre  part 

et  avec  les  périodes  y' 
d'où  l'identité 

d'où 

(il)  lti,j=~i'>'ikhii.      . 

Les  relations  (10)  el  (11)  sont  les  relations  linéaires  qui  lient  les  nombres 
m  et  //  avec  les  nombres  m'  et  /t'  qui  jouent  le  même  rôle  par  rapport  aux 
périodes  .r'  et  >-'.    On  voit  que  ces  relations  linéaires  soni  contragrédienles. 

Considérons  le  tableau  des  m  et  désignons  par 

ni/,,   /.;.    .  .  .,   iq) 


076       SUll    LA    RÉDUCTION    DES    INTÉGBAl-ES    ABÉLIEN.NES   ET    LES    FONCTIONS    FUCHSIENNES. 

le  déterminant  formé  en  prenant  dans  ce  tableau  les  colonnes  de  rang  i,, 
«2,  .  .  . ,  iq.  Désignons  par  D'(/|.  i-,.  ....  iq)  le  déterminant  formé  de  la  même 
manière  avec  le  tableau  des /(  ;  par  D,  (/,.  /'o,  .  .  . ,  /^)  et  D,  (/| ,  Z^.  ....  ?,;)  les 
déterminants  formés  de  la  même  manière  avec  les  tableaux  des  ;»'  et  des  h'. 
Soit  ensuite 

/,  /.;  .   .   .  i,, 


/,,  /„ 


/.. 


le  déterminant  obtenu  de  la  façon  suivante  :  on  considère  le  tableau  des  À,  en 
|)larant  lu  dans  la  {''""  ligne  et  la  /,"'""  colonne  :  on  supprime  ensuite  dans  re 

tableau  toutes  les  lignes  sauf  celles  de  rang  /,,  i-2 /,/  (que  l'on  range  dans 

l'ordre  indiqué  )  et  toutes  les  colonnes  sauf  celles  de  rang  /c^ ,  /\2,  ■  ■  ■ ,  f^'q- 
On  aura  alors,  en  vertu  des  relations  (  10)  et  (  1 1  ), 


his 


I  I     />!•■   I 


n,  (/,,.  /.. 


'1    1-1 

A,      /.-. 
A-,     A-. 


1),(A,,A, A,,i, 


A, 


!)■ 


(  'I.  '... 


'./}• 


I"'ornions  l"in\  nriiinl  T  d'après  la  règle  énoncée  plus  hiiut 
)n.  ni  vertu  de  1  1  o  his), 


J  =  i:,-/ 


!    '1 


A,     /., 
i>ii.  en  \  cri  II  (If  (  I  1  />is  ), 

.1  -  ^i 


n.i  /,,.  /.-, /,,,  iD'(;i,  i.. 


i''/.i- 


A , .  /„ 


A... 


..A,,,. 


Nous  \  iivDiis  (iiii-  l;i  Irausfornialinn  11  allcie  |ims  la  (dimic  dr  1  ('X|>rcssion  .1. 
Or  dans  le  en--  ilo  |H'riodcs  .r'  et  )  ,  .1  rcprésenle  un  iiivarumt.  11  sera  donc 
encore  un  invariant  dans  le  cas  des  pt'riodi's  x  cl  i'.  Dailleuis  dans  le  cas  des 
périodes  distinctes,  le  même  calcul  aurait  pu  servir  piuir  démontrer  les  pro- 
priétés invariantes  de  l'expression  iDl)'. 

Donc,  /(I  ri'gle  pou  i-  former  l  iiHiirinnl  reste  lu  iiirine  ijudixl  h  x  périodes 
ne  sont  pas  distinctes. 

11  importe  toutefois  de  faire  attention  au  choix  de  la  forme  F(x,  y). 

Nous  ne  devons  pas  prendre  pour  cette  forme  bilinàaire  caractéristiejiie 
toute  forme  qui  s'annule  en  \erlu  des  relations  entre  les  périodes:  sans  quoi  la 
définition   s'applif|iierail    tout  aussi  l)ien.   non   seulement  à  la  forme  F(ar,  r), 


SLK    LA    REDUCTION    DES    INTEGRALES   ABELIENNES    ET    LES    FONCTIONS    FUCIISIENNES.         577 

mais  ù  la  forme  a  F(x,  j-),  quel  (|iie  soit  le  coefficient  a.  Il  faut  choisir  la  forme 
F  de  telle  façon  ([ue,  si  les  x' et  les  )■'  sont  les  périodes  normales,  on  ait 

Si  les  périodes  ,27  et _)/•  sont  distinctes,  cela  veut  dire  que  le  (liscrimiuanl  de 
la  forme  F  doit  être  é^al  à  i . 

Ou  bien  encore,  supposons  que  les  périodes  x  et  )•  n'étant  pas  distinctes, 
les  périodes  x'  et  k'  soient  distinctes,  sans  être  forcément  normales;  nous 
devrons  nous  imposer  la  i-ouilition  que,  si  l'on  a 

V{x.y)  =  V'{.r'.y'\, 

le  discriminant  de  F'  soit  égal  à  i . 

Si  les  périodes  x  el  y  sont  distinctes,  les  coefficients  de  F(,r,  v)  sont  entiers. 
.Si  ces  périodes  ne  sont  pas  distinctes,  ils  peuvent  être  fractionnaires,  mais 
rien  n'est  d'ailleurs  à  modifier  dans  l'analyse  qui  précède. 

Si  les  |)érioJes  x  et  y  sont  distinctes,  la  forme  Vix.y)  se  trouve  entièrement 

déterminée  par  les   conditions   précédenles.  11  n'en  est   jdus  de  mT^me  si  ces 

périodes  ne  sont  pins  distincles.   (  )n  a  eu  eU'et  entre  les  j-  cerlaines  relalions 

linéaires 

\,  =  \,  =  ...=  \,„  =  (. 

et  les  relations  correspondantes  entre  les  y 

Vi  =  Vo  =  ...=-_:  V„,  =  o; 

et  alors  nous  pourrons  reuiplacer  F  par 

l'(./-.,i-i  +  ii  li,  \,—  \,  \,i, 

les  A,  étant  des  fonctions  linéaires  quelconques  des   r,  et  les  B,  des  fonctions 
linéaires  quelconques  des  )■. 

Il  y  a  toutefois  une  condition  complémentaire  que  nous  devons  imposer  à  la 
forme  ¥(^x,y);  celle  forme  doit  s'annuler  identiquement  quand  on  y  fait 
Xi=yi.  Si  nous  tenons  compte  tic  celte  condition,  nous  ne  pouvons  plus 
choisir  les  fonctions  linéaires  A,  et  B,  dune  façon  tout  à  fait  arbitraire;  mais 
le>  B,  doivent  être  formi'-i  avec  les  )•  coiume  les  A,-  a\ec  les  x. 


II.  P.  -  lit. 


37S       SIR    LA   RÉDUCTION    DES   I.\TÉGR.4LES   ABÉLIENNES    ET    LES    FONCTIONS    KUCHSIENNES. 

III.  —  Introduction  des  fonctions  fuchsiennes. 

Reprenons  les  deux  courbes  C  et  G'  du  paragraphe  I.  ayant  respectivement 
pour  genre  yo  et  q.  Nous  désignerons  également  pai-  les  lettres  C  et  C  les  sur- 
laces de  Rieniann  correspondantes.  Nous  supposerons  que  ces  courbes  sont 
liées  par  une  transformation  unii'atioiini'Ue,  de  telle  façon  qu'à  un  point  de  C 
correspond  un  point  de  C  et  un  seul,  tandis  qu  ù  un  point  de  C  correspondent 
Il  points  de  C.  Ce  nombre  n  joue  un  rôle  important  dans  la  suite,  et  nous 
devons  tout  d'abord  chercher  quelle  relation  le  lie  à  l'invariant  de  la  réduction  ; 
ce  sera  là  l'objet  des  premiers  paragraphes  qui  vont  suivre. 

Nous  avons  vu  au  paragraphe  I  que  la  délinilion  de  la  réduction  peut  être 
élargie,  mais  nous  nous  bornerons  à  l'étude  des  cas  où  il  y  a  une  transformation 
unirationnelle  analogue  à  celle  dont  nous  venons  de  parler. 

Soient  M  un  point  mobile  de  C,  et  AI'  le  point  correspondant  de  C.  Supposons 
que  M'  décrive  un  contour  fermé  infiniment  petit  autour  d'un  point  fixe  A'  de 
la  surface  de  Rieniann  C;  il  peut  arriver  que  M  revienne  à  sa  valeur  initiale  et 
décrive  aussi  un  contour  fermé;  mais  il  j)eut  arriver  également  que  M  ne 
revienne  pas  à  sa  valeur  initiale,  et  que  les  n  déterminations  de  M  s'échangent 
entre  elles.  Dans  ce  cas  A'  est  un  point  de  ramification. 

Imaginons  par  exemple  que  les  n  valeurs  de  M  subissent  une  permutation  se 
décomposant  en  y.  permutations  circulaires  permutant  respectivement 

''■■    •'-• "'ï 

valeurs  de  M,  de  telle  façon  que 

Alors  au  point  A',  correspondront  sur  C  seulement  y  points  A,,  Aj.  ....  A, 
correspondant  à  ces  permutations  circulaires. 

Soit  par  exemple  n  =  6,  et  supposons  que,  quand  M'  tourne  autour  de  A', 

M,.     M,.     M,,     M,.     \l,.     M„ 

se  changent  respectivement  en 

M,.     •Nln.     Ml.     M,.     M,.     Mr.. 

La  permutation  se  décomposera  en  trois  permutations  circulaires 

(M,M.,M.-,)(M.,  M,iM„ 


SLll    LA    HEDUC110.N    DES   INTÉGRALES   ABÉLIENXES    ET    LES    FONCTIONS    FLCUSIENNES.        0^9 

el  l'on  aura 

•'1  =  3,  .   Vs=  2,  73=  I. 

Quand  le  point  M'  tendra  vers  A',  M,,  AL  et  M3  tendront  vers  A,  ;  Mi  et  M, 
tendront  vers  Ao  ;  el  M,,  vers  A:,. 

Cela  posé,  nous  allons  ronstruire  un  système  de  (onctions  luclisienues  de 
la  façon  suivante  : 

Soient  X,  y  les  coordonnées  de  M.  yt  x\  y'  celles  de  M'  :  >oit  ^  une  variable 
auxiliaire.  Je  veux  que  x,y,  x',  y'  soient  fonctions  fuchsiennes  de  z  ;  que  quand 
M  décrit  un  contour  fermé  sur.C.  la  variable  ;  revienne  à  sa  valeur  primitive 
ou  subisse  une  substitution  linéaire:  que  quand  M'  décrit  uncontour  fermé  sur 
C,  la  variable  ;  revienne  à  sa  valeur  primitive  ou  subisse  une  substitution 
linéaire;  que  j  soit  d'ailleurs  choisi  de  la  façon  la  plus  simple  possible. 

Supposons  que  M'  déciive  sur  la  surface  de  Riemann  C  un  contour  fermé 
infiniment  petit  enveloppant  un  point  de  ramification  A';  il  n'est  pas  possible 
que  ;  revienne  à  sa  valeur  primitive,  sans  quoi  x  et  j'  qui  sont  des  fonctions 
fuchsiennes  el  par  conséquent  uniformes  de  z  reviendraient  à  leurs  valeurs  ini- 
tiales et  A'  ne  serait  pas  un  point  de  ramification. 

11  faut  donc  que  ;  subisse  une  substitution  linéaire  elliptique;  quelle  est  la 
période  de  cette  substitution,  ou,  en  d'autres  termes,  au  bout  de  combien  de 
tours  décrits  sur  le  contour  fermé,  notre  variable  z  reviendra-t-elle  à  sa  valeur 
primitive?  Il  faut  pour  cela  que  toutes  les  déterminations  de  M  soient  revenues 
à  leurs  valeurs  primitives.  11  faudra  donc  v  tours,  v  étant  le  plus  petil  commun 
multiple  de 

Vl.        V-, V,.. 

Qu'arrivera-t-il  alors  si  lu  point  M  décrit  sur  C  un  contour  fermé  très  petit 

autour  de  l'un  des  points. 

\..      \. Aa? 

11  arrivera  que  la  variable  ;  suliira  une  substitution  linéaire  elliptique  ayant 
respectivement  pour  période 


Et  en  effet,  quand  M  décrit  -  tours  autour  de  A, ,  M'  en  décrit  v  autour  de  V. 

Si  l'on  regarde  x  et  _)'  comme  fonctions  fuchsiennes  de  j,  on  voit  qu'elles 
admettent  un  certain  groupe  fuchsien  G.  engendré  par  un  certain  polygone 
tuchsien  P.  Si  l'on  regarde  maintenant  j?'  ely  comme  fonctions  de  z,  ce  seront 


3bO        Slli    LA    UÉULCTIOIV    DES    INTÉGRALES   ABÉLIENNES    ET    LES    FONCTIONS    Tl CIISIENNES. 

encore  des  fonctions  t'uclisiennes  admettant  le  groupe  G,  mais  elles  admeltronl 
également  un  antre  groupe  fuchsien  G'  contenant  le  groupe  G,  et  formé  des 
substitutions  linéaires  que  subit  j  quand  M'  décrit  sur  G'  un  contour  fermé. 
Ce  groupe  G'  sera  engendré  par  un  polygone  fuchsien  P',  et  comme  G  est  un 
sous-groupe  de  G',  on  voit  que  le  polygone  P  est  dècomposable  en  n  />oly- 
gones  congiuents  il  V  .  \a\  question  de  la  réduction  des  intégrales  abéliennes 
est  ainsi  rattaciiée  à  celle  de  la  décompositiim  des  polvgones  fuchsiens  en  un 
certain  nombre  de  polygones  congruenls. 

Nous  voyons  que  le  polygone  P  aura  autant  de  cycles  de  sommets  qu'il  y  a 
de  points  analogues  à  A,,    \o,  ....  A^,  ...  ;  la  somme  des  angles  des  sommets 

du  cycle  qui  correspond  au  point  A,  sera  ^^^.  Do  même,  le  polygone  P'  aura 
autant  de  cycles  de  sommets  qu'il  v  a  de  points  de  ramification  A^  la  somme 
des  angles,  jiour  le  cycle  correspondant  à  A',  étant  — • 

Nous  pouriions.  si  nous  le  voulions,  con>lruire  les  polygones  I'  et  P'  de 
laçon  à  leur  donner  un  pbis  gr.ind  nombre  de  côtés  et  de  cycles  de  sommets; 
nous  pourrions  en  elfel  considérer  sur  la  surface  G'  un  certain  nombre  de  points 
choisis  d'une  façon  arliilrairc  et  les  traiter  comme  nous  avons  fait  des  points  A', 
bien  que  ce  ne  soient  pas  des  points  de  ramification.  La  seule  diflerence  serait 
que  les  nombres  v,  v,,  v^,  .  .  . ,  v,,  seraient  tous  égaux  à  i,  de  telle  sorte  que  pour 
les  cycles  correspondant  à  un  pareil  point  A'  ou  aux  points  A,-  correspondants, 
la  somme  des  angles  serait  it..  Ces  tainsi  par  exemple  que  le  groupe  fuchsien  G, 
(jui  est  engendré  par  un  <|uadrilatérc  dont  les  côtés  opposés  sont  conjugués  el 
dont  la  somme  des  angles  est  t:,  peut  cire  également  engendri'  par  un  hexagone 
dont  les  ci'ités  opposés  sont  conjugués,  la  somme  des  angles  de  rang  pair  étant 
T.  et  celle  des  angles  de  rang  impair  étant  27:;  plus  généralement,  un  groupe 
fuchsien  G  (|uelconque  peut  être  engendré  par  une  infinité  de  polygones  fuch- 
siens dilTércnts.  Mais  il  n'y  auialt  là  qu  une  coiiiplicaliun  qui,  la  plupait  du 
temps,  serait  inutile  (-aiif  dans  le  cas  ou  il  n'y  aurait  iinniu  point  de  ramifi- 
cation A'). 

Cela  posé,  soient  Q  et  Q'  les  nombres  des  cycles  de  sommets  de  P  et  P': 
soient  2N  et  2N'  lenombre  de  leurs  côtés.  On  a,  par  la  formule  qui  donne  le 
genre  d'un  polygone  fuchsien, 

i  an  =  N  -•  (I  -4-  1, 

(  -^(1  =  ^'_Q'-f-,. 

D'un   autre  côté,    on  trouve  pour  la  surface  de   P   (au    point  de    vue    de  la 


sua    LA    RÉDICTION    DKS    INTÉGIIALES    AUlil.IENXES    ET    LES    FONCTIONS    FUCIISIKN.NES.        38 1 

géomélrie  non  euclidienne  ) 

'2T.  -^  étant  Irt  somme  dos  angles  d  un  seul  cvcle  et  par  conséquent  ai:  7  —  celle 
de  tous  les  angles.  On  trouve  de  même  pour  la  surface  de  P' 

.,.v-„-,.v:. 

Ces  formules  supposent  t[ue  luul  sommet  d'un  des  polygones  congruenls  à 
I"  est  aussi  un  sommet  de  ['.  Klles  ne  seraient  plus  Niaies  si  un  de  ces  sommets, 
commun  à  plusieurs  polygones  congruenls  à  P',  était  à  l'intéi-ieur  de  P. 

En  tenant  compte  de  (i),  ces  expressions  peuvent  s'écrire  : 

-'.;:(.Q-Ha/j  — 2;  — -.-^-i'  =-  ■,-'^(^\  —  ^'j^->-{ip —  ■>.). 

2-(Q'-t-2y-'.,-.-2  \    =   '^2('~'  ;)  +  '-^(^'/--'-), 

Comme  I'  est  décomposal)le  en  n  polygones  congiuenls  à  1".  la  première 
surface  doit  être  égale  à  11  fois  la  seconde,  de  sorte  qu  on  a 

O  +  ■/;  -  •.  -2  ':;  -  n  ((1+   '  '/  -  '^  -^  J  j  " 

Mais  pour  un  même  point  A',  nous  avons 

et  pour  tous  les  points  A 

11  nous  reste  donc  la  formule 

(2)  O  -+-  >.p  —  2  =  /(  (  <J'-+-  2  (/  —  2  I. 

Cette  formule  subsiste  si,  usant  de  la  faculté  dont  je  parlais  lout  à  l'heure, 
on  cherche  à  construire  un  polygone  I'  d'un  plus  grand  nombre  de  côtés,  en 
prenant  un  point  arbitraire  sur  C  et  le  traitant  comme  un  point  A'.  Dans  ce 
cas,  en  effet,  Q  augmente  de  n  unités  et  Q'  d'une  unité. 

Si  l'on  réunit  un  polygone  II  de  2N  côlés  à  un  autre  polygone  H'  de  .2  N'  côtés, 
de  façon  à  former  un  polygone  II'  de  2ÎS"  côtés  et  simplement  connexe,  il 
arrivera  gi'nér, dément  que  11  et  H    n'auront  qu'un  seul  côté  commun,  qui  sera 


3.S(       SUR    LA    RÉDUCTION    DES    INTÉGRALES   AHÉLIENNES   ET    LES    FONCTIONS    l'IICUSlENNES. 

leur  frontièi-e  commune,  laquelle  disparaîtra  par  l'annexion.  On  aura  donc 

N"=  N  _hN'— 1. 

Si  exceptionnellement,  II  et  II'  ont  deux  cotés  communs,  ces  deux  cr)lés  devront 
èlre  c(iu>écutifs,  sans  quoi  II  ne  serait  pas  simplement  connexe,  et  alors  le 
sommet  qui  sépare  ces  deux  côtés  sera  à  l'intérieur  de  II';  on  aura  donc  généra- 
lement 

IX  étant  le  nombre  des  sommets  communs  à  II  el  à  II'  qui  sont  à  l'intérieur  de  II". 
Plus  généralement,  si  avec  trois  polygones  II,  II',  II",  de  2N,  2N',  2N"  côtés 
on  forme  un  polygone  II"'  de  2]N"'  côtés,  on  aura 

(N'" — i)  =  (^  —  Ti  -I-  (  N' —  ij  -1-  (^" —  1  )  —  ;j., 

p.  étant  le  nombre  des  sommets  appartenant  à  deux  ou  plusieurs  des  polygones 
II,  n',  II"  qui  seront  à  l'intérieur  de  H".  Si  nous  appliquons  cette  formule  à 
notre  polygone  P  de  2N  côtés  formé  de  n  polygones  congruents  à  P'  qui  a 
2N'  côtés,  il  viendra  : 

Ci  )  N  —  1  —  Il  (\'  —  Ti  —  ;j., 

jj.  étant  le  nombre  des  iommets  de  P',  ou  d'un  pohgone  congruent,  qui  sont  à 
l'intérieur  de  P.  Ces  sommets  devront  correspondre  à  un  point  A,  de  C  qui  soit 
tel  (jue 

A  de  pareils  points,  s'ils  existent,  peuvent  également  correspondre  des  cycles 
de  sommets  de  P  ayant  des  angles  dont  la  somme  est  27:. 

Nous  re\iendrons  sur  ces  hypothèses  à   la  fin  du  paragraphe  V. 


IV.  —   Calcul  de    la  forme  bilinéaire  caractéristique. 

Imaginons  un  p(d\gone  fuchsien  I*,  la  courbe  (^  coirespondante,  elle  système 
des  intégrales  abélicunes  de  première  espèce  relative  à  celte  courbe;  et  cher- 
chons à  déterminer,  pour  les  périodes  correspondant  aux  côtés  du  polygone  P, 
la  forme  bilinéaire   caractéristique   dont  il  a  été    question  au   paragraphe   11. 

Nous  emploierons  les  notations  suivantes.  Soient 

les  sommets  consécutifs  du  polygone  P  endécri\anl  le  périmètre  de  ce  polygone 


SIR   LA    REDUCTION    UES    INTEGRALES  AUELIENNES   ET    LES    l'ONCTIONS    l'ICllSIENNES.       383 

dans  un  ccrlain  sens.  Soient 

lus  côtés  consécutifs  de  1',  de  telle  sorte  que  le  côté  /;  soit  le  côté  a,_,o-,,  et  que 
le  côté  y,  soit  lo  côté  <J..y<J\. 

Soit  U  l'iuie  des  intégrales  abéliennes  de  première  espèce;  soit  .r,  cette  inté- 
grale prise  le  long  du  côté  ■/,,  et  soit  ;,  la  valeur  de  l'intégrale  U  au  sommet  u,  ; 
on  aura 

(I)  ■       ./•,=;  ;,—  ;,-, 

et  pour  (jue  cette  t'ornuile  soit  générale,  nous  conviendrons  de  poser 

Si  les  deux  sommets  o-,.  et  7<i  appartiennent  à  un  même  cycle,  ladillerence 

:-'-i  —  ^i  =  -''x  r-i  -H  'ï  -  »  -t- . . .  ^  •'■'j 
sera  une  période. 

Si  les  côtés  y,  et  ya  sont  conjugués,  on  aura 


ou 

IJans  ce  cas 

Z'i-i Z^—   Z'^ Z^     I      -    t  x 

est  une  période,  car  les  sommets  (T'i_i  et  7^^,  de  même  que  les  sommets  crr^  et  <Tx_i  , 
appartiennent  à  un  même  cycle.  Si  l'on  permute  les  lettres  y.  et  j3,  il  vient 

'■1.-'  —  '-'i  --  ^ï—  -3    1  ^  J  3- 
d'où 

l'i  I  •  ,la-l-.>  'i—  II- 

Si  l'on   l'ait  la    somme    des   équations    (a),    on   trouve   qut!   la    somme   des 
2N  quantités  x  doit  être  nulle 

Nous  avons  d'autres  relations  entre  les  )•.  Soient  par  exem|jle 

^jc-      '::!,      '•.■■      ^'~ 

les  sommets  consécutifs  d'un  même  cycle  :  les  cùl<'s  y,  cl  y^    ,  seront  eonjugués 


o84       SIK   LA    RÉDUCTION    DES   INTÉGRALES   ABÉLIENNES    ET   LES   FONCTIONS   FUCHSIENNES. 

et  Ton  aura 


yx=  -,3  — -a, 

,.•3=  z.,.—  :p. 

V..=  Z(,—  Z--, 

}'ô  =  -J —  -5: 

l'i-h  )---h  )î  = 

=  0. 

(5)  y^- 

11  j  aura  autanl  de  rflatimis  (5)  que  de  cycles  de  sommets,  >oil  Q  leur 
nombre;  le  nombre  des _)•  est  évidemment  y. N;  ils  se  trouvent  liées  par  N  rela- 
tions (3)  et  par  Q  relations  (5).  Ces  X  +  Q  relations  ne  sont  pas  distinctes;  car 
si  l'on  fait  la  somme  dos  relations  [o)  et  celle  des  relations  (5)  on  trouve  le  même 
résultat,  à  savoir 

Il  restera  donc  entre  les  y,  jN  +  Q  —  i  relations  qui  celle  fois  seront  bien 
distinctes.  Car  chacun  des  v  figure  une  fois,  et  une  seule,  dans  l'ensemljle  des 
relations  (3);  et  une  fois,  et  une  seule,  dans  l'ensemble  des  relations  (5). 

Si  nous  désignons  par  A;  les  premiers  membres  des  relations  (3),  par  B,  ceux 

des  relations  (5)  et  que  nous  cherchions  si  Ion  peut  avoir  idenliquemenl 

■^'ï    V  ^T-  X  '■!  P>  —  0 
—■^t  ■*  ( ^  -^  .-*'  ''I  —  *■'? 

les  X  et  les  fi  étant  des  coeflicients  constant!.,  chacun  do  r  tigurera  dans  l'un 
des  A  et  dans  un  seulement,  et,  d'autre  part,  dans  l'un  de?  13  et  dans  un  seule- 
ment; il  faudra  que  les  deux  coeflicients  a  et  |5  soient  égaux  et  de  signe  con- 
traire. Chacun  des  x  correspond  à  l'une  des  relations  (3)  et  par  conséquent  à 
une  paire  de  côtés  conjugués;  cliacun  des  ^  correspond  à  l'une  des  relations 
(5)  et  par  conséquent  à  un  cycle  de  sommets.  Chaque  côté  a|ipailenant  à  une 
paire,  à  chaque  côlé  correspondra  un  x:  iliaque  ■commet  appartenant  à  un 
cycle,  à  chaque  sommet  corropoudi  a  un  ^'i.  et.  d'après  ce  que  nous  venons  de 
dire,  le  coefficient  x  qui  correspond  à  un  côté,  et  le  coefficient  p  qui  correspond 
soit  au  sommet  sulxanl  xdt  au  sommet  précédent,  doivent  être  égaux  et  de 
signe  contraire.  D'où  il  suit  que  tous  les  a  doivent  être  égaux  à  —  1  (par 
exemple)  et  tous  les  ^  à  —  i .  Il  n'y  a  donc  pas  entre  les  A,  et  les  B,  d'autre 
identité  que  la  suivante 

Il  v  a  donc  N  +  Q  —  i  relations  distinctes  entre  les  j  ,  et  comme  les  y  sont  au 
nombre  de  2N,  il  y  aN  —  Q  +  '  quantités _}^  distinctes.  Le  genre  est  alors 

» 

* 
comme  il  couvienl. 


Sin    LA    REDUCTION    DIÎS    I.NTÉGI\A1,ES    Alil•;LlEN^ES    ET    I-ES    FONCTIONS    ELCHSIENNES.        385 

Cela  posé,  considérons  une  seconde  inlégrale  uhélienne  L';  désignons  par 
x' ,  y',  z'  lus  qiianlilés  relatives  à  culte  seconde  inlégrale  et  correspondant  à 
celles  que  nous  avons  appelées  x,  r,  :,  en  ce  qui  concerne  la  première.  11 
s'agit  d'obtenir  la  forme  bilinéaire 

Pour  cela,  prenons  l'intégrale 

tout  le  long  du  périmètre  de  P;  celle  intégrale  devra  être  nnlle.  Soient  -/,  et  y^ 
deux  côtés  conjugués,  et  deux  éléments  correspondants  de  ces  côtés;  soient  U^ 
et  U3,  Uj,  et  U3  les  valeurs  de  nos  intégrales  en  deux  points  correspondants  de 
ces  côtés  ;  on  aura 

Je  mets  le  signe  —  jiarce  que  si  les  deux  côlés  sont  parcourus  en  suivant  les 
points  correspondants,    ils    seront    parcourus    en   sens  contraire.     L'intégrale 

IJctW  prise  le  long  de  ces  deux  côtés  se  réduira  donc  à 


/ 


j\v.-Vx)dl=  f. 


i-.'/r 


le  long  du  côté  -'rj;  c'est-à-direyj..rJ3  ou  — yy^x^. 
L'intégrale  se  réduiia  donc  à 

la  sommation  s'étendani  à  toutes  les  paires  de  cèilés,  en  prenant  un  côté  seule- 
ment dans  cliaque  paire.  Mais  comme  on  a 

r«  =  —.'■?'      ■^k  =  — •'■■3'      .>•»•*■»  =  r?-'"3> 

cela  peut  s'écrire 


7.  -J'^  ''a- 


la  sommation  s'étendani  à  tous  les  côlés.  Nous  aurons  donc 

(fi)  1_K  ./•■=(), 

ou,  en  vertu  de  (i)  (appliquée  à  l'intégrale  U'), 

-r^l  '-'y—  -i-i)  =  o- 

ou,  à  cause  de  (3), 

H.  P.  —  m.  49 


386   SUR  LA  RÉDUCTION  DES  INTÉGKALES  ABÉLIENNES  ET  LES  FONCTIONS  FUCHSIENNES. 

Tenant  compte  de  la  relation 

il  vient 

-Xx  :-'i->-  -.'■;}  ;'j-i-  -  r;ij'3=  o. 

Mais  on  a  ' 

-fx  :'^  =  -y  fi  -'';i,  -.'-a/a  =  -,>i-l.'> 

En  elTel  l'indice  x  peut  prendre  loiilesles  valeurs  passibles  depuis  i  jus(]u'à  2N  ; 
et  quand  il  prend  ces  valeurs,  l'indice  p  du  côté  conjugué  prend  également  ces 
mêmes  valeurs  dans  un  aulre  ordre.  Je  puis  donc  écrire 

(7)  ■-2-J»-"a  +  -.'■a.'a=  "• 

Nous  devons  vérifier  d'abord  que  le  premier  membre  de  (-)  est  iiien  de  la 
forme  F()-,  )•'),  F  étant  une  forme  bilinéaire.  Choisissons  en  efl'et,  dans  chaque 
cycle  de  sommets,  un  sommet  que  nous  a|)pellerons  le  sommet  initial.  (  )n  aura 
alors,  pour  un  sommet  quelconque  o-j, 

a^  étant  lu  sommet  initial  du  cycle  et  ^  '  une  combinaison  linéaire  des  }■' ;  de 
sorte  que  le  ])remier  membre  de  (- )  devient 

Il  s'agit  de  démontrer  que  le  coefficient  de  :\^  dans  cette  expression  est  nul, 
de  telle  sorte  que  cette  expression  ne  dépend  ]>lus  que  des  >'  et  des)-'.  Eu  eilel, 
ce  coefficient  est  égala 

la  sommation  s'étendanl  à  tous  lessommets  du  cycle,  et  cette  somme  est  nulle 
en  vertu  des  relations  (5). 

Il  s'agit  maintenant  de  vérifier  sur  le  premier  membre  de  (7)  l'identité 

(8)  FO,  v')-i-l-0-,.r)  =  '> 
ou,  ce  qui  revient  au  même,  l'identité 

puisque 

F  (/,  y  )  ■+-  F  (y,  f)  =  F  (j-  -+-  y.  y  -+-  y  )  —  f  (j-,  y)  —  F  {y,  y). 

Il  est  clair  que 

FO',.)-)  =  ■■iSja^ï  +  ~yi- 

Or  on  trouve 

F(r,y)  =  2S-a<  -"B-i— -a)-<-  -(--.3-1— -:<? 


SUR    LA    RÉDUCTION    DES    INTÉliRAI.IÎS    ABÉLIENNES    ET    LES    l'ONCTIONS    KUCHSIENNES.        387 

OU,  en  développant, 

Or  le  second  niciubre  est  évidemnienl  nul  puisque,  quand  l'indice  a  [irend 
toutes  les  valeurs  possildes  il  en  est  de  même  de  lindice  (3  —  i,  quoique  dans 
un  autre  ordre. 

En  résumé  nous  avons  entre  les  )'  et  les  )'  une  relation  hilinéaire 

■>.l  vz'-h  1  );)•'=  (). 

Cela  prouve  que  la  forme  caractéristique  clierchée  P{y,y')  est  égale,  à  un 
facteur  co/istanf  près,  à  2ij's' +  2  )j',  et  11  reste  à  déterminer  ce  facteur 
constant. 

Pour  cela  supposons  que  U',  au  lieu  d'être  une  intégrale  de  première  espèce 
soit  une  intégrale  de  troisième  espèce  admettant  pour  points  logarithmiques 
deux  points  M,  et  M,  de  la  surface  de  Riemann  C,  le  premier  avec  le  résidu 
+  I ,  le  second  avec  le  résidu  —  i  ;  dans  ce  cas  on  aura 

Uo  et  l'i  étant  les  valeurs  de  U  en  M,,  et  M, . 
D'autre  part,  l'intégrale 

a  aussi  pour  expression  2  (7:(U„  —  U,  ),  de  sorte  que 

Mais    le    premier  membre   de    (-)    n'est  autre  chose   que  le   premier   memi)ie 
de  (6),  qui  a  été  obtenue  elle-même  en  multipliant  par  —  2  l'expression 

(pii  représentait  noire  intégrale;  on  aura  donc 
ou  enfin,  en  tenant  compte  de  (8), 

(9)  ^'{.y,r')  =  ^=y+-,^^yy, 

pu  encore 


388        SUR    LA    RÉDICTION    DES    INTÉGRALES   ABÉLIENNKS   ET    LES    FONCTIONS    FUCHSIKNNES. 


V.  —  Mode  de  correspondance  des  côtés. 

Représentons-nous  le  polygone  P  décomposé  en  un  certain  nombre  n  de 
polygones  congrueuts  à  P'.  Les  côtés  du  polygone  P'  sont  conjugués  deux  à 
deux,  ils  sont  au  nombre  de  aN';  le  nombre  total  des  côtés  des  divers  polygones 
congruenls  à  P'  sera  donc  2/tN';  parmi  eux  il  y  en  aura  2  JN  qui  n'appartien- 
dront qu'à  un  seul  de  ces  polygones  et  qui  feront  partie  du  périmètre  de  P; 
les  autres  appartiendront  à  deux  des  polygones  congruents  à  P'  et  leur  servi- 
ront de  frontière  commune. 

Nous  pourrons  représenter  ces  2«N'  côtés  par  une  notation  à  double  indice 

l'indice  a  variera  de  i  à  2N'  et  se  rapportera  aux  divers  côtés  de  P';  l'indice  (3 
variera  de  i  à  «  et  se  rapportera  aux  divers  polygones  congruents  à  P';  ainsi 
P'(J3)  sera  l'un  des  polygones  congruenls  à  P';  -/(a)  sera  l'un  des  côtés  de  P'  et 
j/(a,  (3)  sera  le  côté  de  P'((3)  homologue  au  côté  y  (a)  de  P'. 

Supposons  alors  que  les  côtés  y(o'.)  et  '/{y-')  de  P'  soient  conjugués,  et  consi- 
dérons un  côté  y  (a,  |3)  ;  il  existera  alors  toujours  un  côté  y{y-',  (3'),  et  un  seul, 
qui  sera  identique  ou  conjugué  à  "/(«,  P). 

Si  les  deux  côtés  ^(a,  (3),  •/(«',  j3')  sont  identiques,  ils  n'appartiendront  pas 
au  périmètre  de  P,  mais  ils  feront  la  frontière  commune  de  P'((3)  et  P'(P').  Si 
les  deux  c('ités  y{x,  (3),  /(a',  (3')  sont  conjugués,  ils  appartiendront  au  périmètre 
de  P  el  ils  représenteront  deux  r('ités  conjugués  de  P. 

Nous  pouvons  alors  envisager  la  substitution  S3,  qui  change  p  en  P';  c'est 
une  substitution  qui  change  l'ordre  des  ?i  h'ttres  p.  A  chaque  côté  de  P'  corres- 
pond une  pareille  substitution  et  les  substitutions  correspondant  à  deux  côtés 
conjugués  Sa  et  S;;,  sont  inverses  l'une  de  l'autre. 

Voyons  maintenant  comment  les  sommets  de  P  se  répartiront  en  cycles.  Nous 
désignerons  encore  par  it((x)  celui  des  sommets  de  P'  qui  est  compris  entre  y(ot) 
et  y(x-{-i),  el  par  a(a,  (3)  le  sommet  homologue  de  P'(,3).  Considérons  un  des 
cycles  de  sommets  de  P',  et  soient 

ces  sommets.  Considérons  alors  le  sommet  (T(a,,  jS,);  il  sera  identique  ou  con- 
jugué au  sommet  o-fa',  —  i,  ^\),  où  (3',  sera  le  transformé  de  ,3,  par  la  substitu- 


SUR  LA  REDUCTION  DES  INTEGRALES  ABÉLIENNES  ET  LES  FONCTIONS  FUCHSIENNES.   SSg 

lion  Sji^  :  j'écris 

P'i  =  pi  Sa,. 

On  aura  d'ailleurs  a',  — i  =  «j,  et  je  poserai   pour  plus  de    sjmélrie  dans    les 
notations 

O      rjf     o       r; 

i-'a—  Pi  —  l-'i  ^i," 
De  même,  le  sommet 

sera  identique  ou  conjugué  au  sommet 
où  y{(x'.,)  est  conjugué  de  '/(«a)  et  où 

1^3  =   i^2  =   p-2   Sa., 

et  ainsi  de  suite  :  et  enfin  le  sommet 

sera  identique  ou  conjugué  au  sommet 
OÙ 

i-'/n  ^^  i^m  Sa,,,  =  pi  Sa,  Sa.,.  .  .  Sa,,,. 

Ainsi,  pour  obtenir  |3'„,  en  partiint  de  [3,,  il  faut  appliquer  aux  n  lettres  (3  la 
substitution 

qui  change  leur  ordre. 
Soient  alors 

les  transformés  successifs  de  (3,  par  -,  i%  .  .  . ,  i?  ;  on  finira  par  arriver  à 

O"  o 

i-'?—    pi! 

c'est-à-dire  par  retrouver  la  lettre  initiale.  Alors  les  divers  sommets 

a(a,.ri,),      a(a,,fJ';),      a(a,,fi'^),      ...,     ^(a,,  p;^.,  ) 

appartiendront  à  un  même  cycle,  lequel  comprendra  en  outre 

cr(a,,  ?i  Sa,),     a(a.„  ,3','  Sa,),      <T(a,.  Si;  Sa,),      .... 
'(«3,  ,?i  Sa,  Sa,),      0(23,  [l'I  Sa,  Sa,),      

On  sait  qu'une  permutation  quelconque  entre  n  lettres  j)eut  toujours  être 
décomposée  en  un  certain  nombre  de  permutations  circulaires;   ici  l'une  des 


Sgo       SUR    LA    RÉDUCTION    DES    INTÉGRALES   ABKLIENNES    ET    LES    FONCTIONS   FUCHSIENNKS. 

permutalious  circulaires  de  —  est  la  suivante  : 

j|  .         |J|  ,         ^Jn,         .  .  .  ,         i^iy-l 

et  porte  sur  q  lettres. 

Supposons  donc  que  i  se  décompose  en  /  semblables  permutations  circu- 
laires; nous  avons  sur  P'  un  cycle  de  m  sommets.  A  ce  cycle  correspondront 
sur  P,  non  pas  un,  mais  >.  cycles  de  summels;  et  si  une  de  ces  permutations 
circulaires  porte  sur  g  lettres,  le  cycle  correspondant  comprendra  qm  sommets. 

Il  pourra  se  faire  que  plusieurs  de  ces  sommets  appartenant  à  divers  poly- 
gones P'(,3)  soient  identiques;  le  nombre  des  sommets  distincts  de  P  sur  ce 
cycle  sera  alors  moindre  que  qni]  il  pourra  même  se  faire,  et  c  est  une  Hypo- 
thèse que  nous  avons  déjà  envisagée  au  paragraphe  III,  que  tous  ces  sommets 
soient  identiques  et  que  la  somme  de  leurs  angles  soit  27:;  ce  sommet  n'appa- 
rtiendra plus  alors  au  périmètre  de  P,  mais  ce  sera  un  point  intérieur  à  P  appar- 
tenant à  la  fois  à  plus  de  deux  polygones  P'(|S)  et  étant  le  point  d'intersection 
des  frontières  de  ces  polygones. 

VI.  —  Calcul  de  l'invariant. 

Pour  calculer  notre  invariant,  nous  devons  d'abord  chercher  les  nombres  que 
nous  avons  appelés  /;  et  m  au  paragraphe  II.  Les  nombres  m  se  rapportent  aux 
différents  >,  et  par  conséquent  aux  différents  côtés.  Au  côté  -/(a,  (3)  qui  est  iden- 
tique ou  conjugué  au  côté  -/(a',  j3')  correspond  une  périodey(5c,  (3),  qui  est 
l'intégrale  U  prise  entre  les  sommets  u(y.,  p)  et  u{ot.' — 1,  3).  Si  les  deux  côtés 
j/(a.  P)  et  •/(«',  P')  sont  identiques  et  non  conjugués,. il  en  est  de  même  des  deux 
sommets  afx,  p)  cl  7(a' —  i ,  ,3')  et  l'on  a 

y{-j.,  ;i)  =  o 
et  de  même  pour  l'intégrale  U' 

(1)  /(=<.  ;i;  =  "- 
On  a  dans  tous  les  cas 

ce  qui  n'est  autre  chose  que  l'équation  (.'<)  du  paragraphe  I\  . 

Les  y  peuvent  s'exprimer  en  fonctions  linéaires  des  périodes  Wy  et  l'on  aura 

(2)  y{:,,'^)  =  SmU.\i,j^^<>j 
et  de  même 

les  m(o(,  [3,  y)  étant  entiers. 


SUK    LA    RÉDUCTION    DES    INTÉGKALES   ABÉLIENNES   ET    LES    FONCTIONS    FUCHSIENNES.        3ç)l 

Considérons  maintenant  la  valeur  z{(x,  (3)  de  l'intégrale  U  au  sommet  (j(x,  (3) 
et  la  valeur  s(3t„,  |3„)  de  Ij  au  sommet  initial  du  cycle  o-(a|i.  Po)  lel  qu'il  a  été 
défini  au  paragraphe  IV^,  nous  pourrons  écrire 

(3)  3(a.  ;i)  =  ;(2„.  %)-i-  ::/,■(:(,  >./)(•>, 

et  de  même 

les  /.(a,  fi,  /)  élanl  entiers. 

Remplaçons  les  )■  et  les  z  par  leurs  valeurs  dans 

F(y,y')  =  lzy+^^rr'. 

Observons  que  nous  pouxons  dans  les  sommes  du  second  membre  introduire 
les  termes  correspondant  à  des  côtés  y{x,  jS),  qui  n'.ip[iarlicnnenl  pas  au  péri- 
mètre de  1\  mais  servent  de  frontière  commune  à  deux  des  polygones  P'([3)- 
En  ert'et,  ces  termes  contiennent  en  l'acteur  )'(ot,  p)  qui  est  nulle  dans  ce  cas  en 
vertu  de  la  relation  (i).  De  plus,  nos  formules  sont  applicables  comme  nous 
l'avons  vu  au  paragraphe  IV,  bien  que  les  y  ne  soient  [)as  des  périodes  dis- 
tinctes. Le  premier  membre  doit  se  réduire  à  : 

FO-,.K')  =  i:lly<.,y. 

Quant  au  second  membre  il  va  prendre  la  forme  d'une  expression  linéaire  par 
rapport  aux  ;(oC|i,  p„)  et  aux  ojy,  puistjue  les  seconds  membres  des  coefficients 
(a  )  et  (  ;3)  sont  de  cette  forme.  Mais  le  coefiicient  de  :{x,,,  p,,)  est  égal  à 

V(=<.  H), 

la  >oiinnation  étant  étendue  à  tous  les  sommets  a-(a,  [5)  du  cycle  dont  crfa,,,  (3,,) 
est  le  sommet  initial.  Or  cette  somme  est  nulle  par  la  relation  (5)  du  para- 
graphe 1\'.  Donc  les  termes  en  :{y.„,  (3„)  disparaissent  et  le  second  membre 
est  linéaire  par  rapport  aux  'jtj  seulement.  On  trouve  alors,  en  identifiant  les 
coeflieients  de  ojy, 

Mais  on  a,  par  la  définition  des  nombres  //, 

H,=  i;/<(2,  fi,y)_)'(=<-  fi), 
d'où 

(4)  /'{y..  fi,y)  =  /,(,:(,  >,y) -H  ;^  «!(=<,?,/). 


39'.        SUR   L\    nKDl'CTION    DES    INTÉGRALES    ABÉLIKNNES   ET    LES    FO?sCTIONS    FUCHSIENNES. 

On  a  d'autre  p;irt 

_)•(  ï,  'il  =  — _r(,2',  ^j  =  31  -y —  I,  3')  —  -{ï.  ^1  =  z(x',  p'  )  —  z{-j.  —  I.  il 
et  par  const'quent,  en  égiilant  les  coefficients  de  oi^. 
1)1         «M  2,  p  I  =  —  «î  l'ï'.  |î'  )  =  /.  I  ï' —  I,  p)  —  /.  I  ï,  ^  )  =  /.  I  a'.  3'  I  —  A  (  2  —  1.3). 

11  faudrait  aliecter  les  /ii  cl  les  /.  d  un  troisième  indice  /  qui  ser.iit  le  uièiiie 
pour  tous  les  nombres  qui  )ii;urent  dan.s  cette  formule  (.')). 

Comparons  maintenant  deux  expressions  telles  cpie  ;(a,  |j)  et  z{x,  J3'). 

La  dérivée  de  U  prendra  la  même  valeur  en  7[x,  3)  et  en  (/(a.  ^')  ou,  plus 
généralement,  en  deux  points  correspondants  des  deux  polygones  P'(  3)  et  P'(p'); 
et  en  efl'et  nous  avons  supjjosé  que  l'intégrale  U  était  réductible,  cest-à-dire 
qu'elle  appartenait,  non  seulement  à  la  courbe  C,  mais  encore  à  la  courbe  C. 
La  différence  des  valeurs  de  L  en  ces  deux  points  est  donc  une  constante,  et 
pai-  conséquent  la  dillérence 

Cl  X.  (i  )  —  ;(  2.  Jb'  ) 

ne  dépend  que  des  indices  3  et  ,3',  et  ne  dépend  |)as  de  l'indice  x.  Il  en  est  donc 

de  même  de  la  différence 

/,('2.  [î, /i  —  /,(':<,  fj'.y). 

Il  résulte  de  là  que  nous  pouvons  écrire 

/.  (  X,  fi,  j  )  =  / 1  x.j)  ■+-  /,  I  ,'i,y  I 

et  considérer  le  nombre  /'{x,  3,  /)  comme  la  somme  de  deux  autres  nombres 
analogues  dépendant,  le  premier  seulement  ilr  l'inilice  :z  et  le  second  seulement 
de  l'indice  3. 

Cela  posé,  rappelons  comment  on  forme  l'invaiiant  .1  :  on  dresse  le  tableau 
des  ///  et  celui  des  /*  ;  on  désigne  [lar  D  l'un  quelron(|ue  des  déterminants 
obtenus  en  [irenant  nj  colonnes  dans  le  premier  tableau;  jiar  D' le  déterminant 
obtenu  en  prenant  les  /iiriin's  colonnes  dans  le  deuxième  tableau;  et  l'on  a 

J  =I.DD'. 

Je  dis  que  .1  ne  changera  |)as  quand  dans  le  premier  tableau  on  ajoutera  la 
première  colonne  à  la  seconde,  en  même  temps  qui^  dans  le  deuxième  tableau  on 
retranchera  la  seconde  colonne  de  la  première.  Désignons  en  ellèt  par  D  un 
déterminant  tiré  du  tableau  primitif  des  //;  ;  par  D',  A  et  A'  les  déterminants 
correspondants  tirés  du  tableau  primitif  des  h.  du  tableau  modifié  des  m  et  du 


SUR    LA    RÉDUCTION    DES    INTÉGRALES   ABÉLIEiNNES    KT    LES    FONCTIONS    FlfMlSIEIVNES.        'i[)3 

tableau  modifié  dos  /i .  II  s'ngil  de  montrer  que 

100=  SAA'. 

Soient  Dj,  l'un  quelconque  des  déterminants,  qui  ne  contiennent  ni  la  première 
ni  la  seconde  colonne;  D;:i  l'un  quelconque  des  déterminants  qui  contiennent  à 
la  fois  ces  deux  colonnes;  D-.  l'un  quelconque  des  déterminants  qui  contiennent 
la  première  colonne  sans  contenir  la  seconde  et  enfin  D"  le  déterminant  obtenu 
en  remplaçant  dans  D-,.  la  première  colonne  par  la  seconde.  On  aura 


r)^=A^,         D'^=A^,         Ds=A;i.         U'^=  ::^^. 
A.'!  =  Dy-*-  D!;, 
d'où 


A!!  =  Dy-*-D!;,         A:,=  d:,— d;,",         A..=  D.p         A;?=D'.i'; 


D^  ri'j,  =  Aï  A'j,       ii'i  r»'j  =  \i  Au,       IJ-.  n:, -+-  h»  r>:;'  =  a-  a:. -+-  a".  a:." ; 

et  par  conséquent 

i;DD'=i;AA'. 

On  pourrait  évidemment  opérer  de  même  sur  d'autres  colonnes  quelconques. 

Les  colonnes  de  nos  deux  tableaux  pourront  être  rangées  dans  un  ordre  tel 
que  celle  qui  se  rapporte  à  un  côté  y  (a,  p)  soit  immédiatement  suivie  de  celle 
qui  se  rapporte  au  coté  conjugué  y(o(.',  |j').  Nous  aurons  alors  dans  les  deux 
tableaux,  dans  chaque  colonne  de  rang  impair,  les  nombres 

in(:t/fi.j),     /i(x,'fl,j) 

et  dans  la  colonne  suivante  les  nombres 

Faisons  l'opération  dont  nous  venons  de  démontrer  la  légitimité,  d'abord  sur 
les  deux  premières  colonnes,  puis  sur  les  deux  suivantes,  et  ainsi  de  suite.  Alors 
dans  les  deux  tableaux   modifiés  nous    aurons  dans   chaque  colonne  de  rang 

impair  les  nombres 

/"(  s.  ;i,./),     /((>,  ';i,J)  —  /i{x',y.j) 

et  dans  la  colonne  suivante  les  nomjjres 

i/i  (  a,  [i.  /  )  +  i/i(  'J.\  '}' .  y),      h  (  x',  ;j',  j). 

Mais 

t)l(-J.,  [j,  j  I  -H  /;(  (  x'.  3',  y  )  =  o. 

Nous  pouvons  alors  supprimer  toutes  les  colonnes  de  rang  pair,  et  en  ell'et  tous 
les  déterminants  A  qui  contiennent  une  de  ces  colonnes  sont  nuls,  puisque  tous 
les  termes  de  ces  colonnes  sont  nuls  dans  le  premier  tableau  mudilié. 

H.  P.  -  III.  5o 


394        SUR    I.A    RÉDUCTION    DES    INTÉGRALES    ABÉLIF.NNES    ET    LES    FONCTIONS    FLCHSIENNES. 

Il  nous  reslera  donc  deux  tableaux  formés  respectivement  avec  les  nombres 

et  il  s'agit  de  former  la  somme 

relative  à  ces  deux  tableaux.  i 

On  a  d'abord 

et 

2/'(  =<.  'fi,  J)  =  /'i^ — i.y.) -t- /^o'^j)  +  f^(^,  j) -+- /'( ^  j), 

■1  h  (  a',  Y,  j)  =  k{3.  —  I .  y  )  -t-  A(  3,  j  )  -+-  /,  i  y.' ,  j  i  -t-  k{'j' .  j), 
d'où 

■>./((  ï,  3. y I  —  ■>ii{i','j,j)=^ki-j-' —  i.y  I  -t-  X ( 2,y )  —  /, (  ï  —  I. /)  —  /. I  ï'.,/), 

ce  qui  montre  que  les  nombres  du  deuxième  tableau  modilié  el  par  consé(juent 
les  A'  ne  dépendent  pas  de  l'indice  p. 

Chaque  colonne   dépendant   de    deux    indices  a  et  (3,   chaque  déterminant 
dépendra  de  deux  séries  de  '.nj  indices 

«],        ^J.        ••■,        '^■iq 

je  pourrai  donc  désigner  l'un  des  déterminants  A  par  ces  indices,  en  l'écri- 
vant 

A(  2],  xj,  . . ..  y-i,,;  fit,  fil,  ....  fi-i,,) 
ou  simplement  ^. 

Nous  pourrions  écrire  de  même  A'(^,,  ^,)\  mais  A',  comme  nous  venons  de  le 
voir,  ne  dépendant  pas  des  (3,  nous  écrirons  simplement 

A'(.ï,  I 
el  nous  aurons 

J  =  1  Al  :</,  [i,  I  A  (  2,  I. 

La   sommation  doit  s'efl'ectuer,    d'une   part    par    rapport   aux  indices  (j,   et 
d'autre  j)art  par  rapport  aux  indices  a.  Nous  pourrons  écrire 

la  sommation  sefiectiiant  seulement  par  rapport   aux   indices  p,  el  l'on  aura 
ensuite 

la  sommation  s'elTectuant  cette  fois  par  rapport  aux  indices  y.. 

Nous  devons  observer  que  les  indices  y.  doivent  être  tous  ditl'érents,  sans  quoi 


SUR  LA  BÉDUCTION  DES  INTÉGRALES  ABÉLIENNES  ET  LES  FONCTIONS  FUCHSIENNES.   Sgâ 

A'(3:,)  serait  nul;  en  revanche  deux  ou  plusieurs  des  ,j  peuvent  être  identiques; 
car,  si  (3,  =  [3.j,  par  exemple,  les  nombres 

«)(  z,.  ,Ji.,/ I,      i)t{y.i.  ,Ji.y  ) 

n'en  seront  pas  moins  différents.  De  plus,  on  doit  tenir  compte  de  l'ordre  des  (3 
et,  par  exemple,  les  deux  combinaisons 

et 

'J           'V           o           'J  o 

Hîi        /l-        /:■        ,-■■ ,'i'l 

doivent    êlre     tenues    pour    différenles,    puisque    la    première    conduit    aux 

nombres 

m  (  2| .  ^Ji .  y  I.     //(  (  3:.i.  jj.  y  I 

et  la  seconde  à 

im  Ui.  j,,  /  t.     III  i  X.,.  /\.  j ). 

Cela  nous  indi([ue  comment  doivent  être  faites  les  sommations. 

J'écrirai 

A(:.„:3,)  =  [/«(a,-.  3,.y)] 

voulant  dire  par  là  que  A (  a,,  j3,)  est  un  déterminant  où  l'élément  delà  ('"""'  colonne 
et  la  /"'""'  ligne  est  iii{Xi,  |3,,  J).  J'aurai  alors,  avec  la  même  notation, 

Or 

«i(ï,,  [j,y  )  =  ACï/  —  i.y  I  —  Âi  x/.y  I  -I-  Al  y.y  I  —  /,-(  ■j,j). 

ce  que  je  puis  écrire 

m  1 2,.  [j.  y  !  =  /«(■  2,.  /')  -H  /,  (  y,  y  i  —  /,  i  fi,  y), 

en  posant 

«î  (  3!,,  j  \  =  ]{[  x]  —  I  ■  y  '  —  I'  <  ^n  y  I- 

La  sommation  doit  sétendre  aux  ii  valeurs  de  ^.  Le  terme  /)i(y.,.  J)  étant  indé- 
pendant de  ,3,  on  a 

-un  u,,j)  =  iiiii(ui.  j  K 

D'autre  part,  quand  |3  parcourt  les  valeurs  i,  '>..   ....  /(,  l'indice  jj'  parcourt 

les  mêmes  valeurs  dans  un  autre  ordre,  de  sorte  qu'on  a 

lÂi  (i'.yi  — iiAi  y  y)  =  o 

et  qu'il  reste  simplement 

ou 

H  (2,-)  =  n-^'!\ixi), 

en  posant 

A(  2,  )  =  I  //((>,.y)j. 


SgG        SUB    LA   RÉDUCTION    DES    INTÉGRALES   ABÉLIENNES   ET    LES    FONCTIONS    FUCHSIENNES. 

de  sorle  qu'il  reste 

ou  bien 

J  =  rr-fi', 

y  étant  l'invariant  relatif  à  la  courbe  C  et  au  polygone  P'. 

Examinons  en  particulier  les  deux  exemples  du  jiaragraphe  I.  Dans  le  pre- 
mier de  ces  exemples  on  a  ry  =  i,  et  nous  pouvons  prendre  pour  périodes 

■?!r. 
a 

et  supposer  ijue  la  courbe  C  est  une  courbe  de  genre  i  admellanl  comme  inté- 
grale de  première  espèce  (/,,  laquelle  elle-même  aura  pour  périodes  fondamen- 
tales -    ''  et  A;  nous  reprenons  les  notalions  du  paragraphe  I,  de  sorle  c|ue  les 

lettres  y.  et  A  n'uni  plus  du  tout  la  même  signification  qu'au  début  du  présent 
paragraphe.  Quoi  qu'il  en  soit,  les  périodes  w,  et  o)._>  pouvant  être  regardées 
comme  des  périodes  normales,  on  aura 

J  =  i.        J  =  «- 

et  d'après  le  paragraphe  IT 

J  =  a-,  n  =  a. 

Mais  nous  pourrions  également  prendre  d'autres  périodes  (de  façon  que  toute 
fonction  périodique  admettant  les  périodes  '.>,  el  ',)..  admette  nécessairement  les 
périodes—^  et  fi\,  par  exemple 

(3  et  •/  étant  des  entiers  quelconques.  Dans  ce  cas  le  tableau  des  nombres  //( 
s'écrit  : 

a|i     o     o     o      J     (> 
u      {)     o     Y      1)     o 

et  l'on  a 

J  =  X-  [j-  Y'-;        •''=■.         ■'  =  ""•         "  =  *?T' 

Mais  nous  nous  tiendrons  à  la  première  lijj)0lhcse,  c'esl-à-dire  que  parmi  les 
systèmes  de  périodes  oi  qui  conduisent  à  la  réduction,  nuus  choisirons  toujours 
le  plus  simple;  on  aura  alors 

Passons  au  deuxième  exemple.  Ici  q=^2,  les  intégrales  h,  et  u^  admettent 


SUR    LA   RÉDUCTION    DES    INTÉGRALES   ABÉLIENNES    ET    LES    FONCTIONS    FUCIISIENNES.        SqJ 

pour  périodes 


■1 1  Z         (>         *>      <»      tl      b         <)         

■-',  /  - 
Il        ■\i-     (1     ()     b      c     — 7-        o. 


Nous  pourrions  donc  prendre  le  tableau  suivant  des  périodes  ',>  : 


(  s  I 


(0|  Wi  (»:;         (Oi 


■'  I  - 

II,      •        o         a       b, 


■II- 
II.  o  — r-         b        C. 


Mais  ces  périodes  ne  satisfont  pas  à  la  condition  que  doit  remplir  un  svs- 
téiue  de  périodes  d'intégrales  abéliennes  engendrées  par  une  courbe  de  genre  a. 
Nous  devons  donc  cliercher  un  autre  système  de  périodes  sous-multiple  du 
premier.  Je  dis,  pour  abréger  le  langage,  f[u'un  système  de  périodes  S  est  sous- 
inultiplc  d'un  autre  système  S',  cpiand  l'existence  des  périodes  S  entraîne  celle 
des  périodes  S',  sans  que  la  réciproque  soit  vraie. 

11  est  clair  alors  que  parmi  les  systèmes  sous-multiples  de  (S'),  et  satisfaisant 
à  la  condition  fondamentale  imposée  aux  périodes  des  intégrales  abéliennes,  le 
plus  simple  est  le  suivant  : 


(S') 


(0|  0>i  CO3        tOi 

■>i-  , 

Ht     — TT        o        a       b 


b 


et  que  tous  les  autres  ne  sont  que  des  sous-multiples  de  (S).  Nous  pouvons 
alors  supposer  que  «i  et  «2,  regardées  comme  intégrales  abéliennes  relatives  à 
la  courbe  G',  admettent  les  périodes  S'.  Alors  le  tableau  des  nombies  ///  ne  sera 
plus,  comme  au  paragraphe  II  : 


bien 


a 

<} 

0 

<> 

0 

0 

(t 

1 

0 

a  3 

0 

0 

0 

0 

I 

0 

0 

0 

0 

0 

l 

(t 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

(  t 

I 

0 

0 

z'i 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

? 

n 

K"' 

(1 

0 

n 

1) 

I 

0 

0 

0 

(1 

1) 

I 

0 

0 

0 

0 

(1 

1 1 

,, 

0 

1 

0 

*h 

SgS        SUR    LA    RÉDUCTION    DES    INTÉGRALES    ABÉLIENNES    ET    LES    FONCTIONS    KUCHSIENNES. 

On  n'a  donc  [ihis.  comme  au  paragraphe  II.  J  :^  îî'p-,  mais 

D'autre  part,  les  périodes  «  étant  normales,  ona 

J  =  I ,        J  =  /i  ■• , 

d'où 

Il  =  x3. 

Dans  le  premier  exemple,  nous  avons  trouvé  /;  ^  y,  dans  le  deuxième  nous 
trouvons  n  =:  y.fj\  la  loi  est  évidemment  générale  et  peut  s'énoncer  ainsi  : 

Le  iitiinbrc  ii  îles  /iii/)s,'(iiirs  I'  (  j)  n'es/  nuire  chose  ijiif  le  iionif/re  /«  re/diif 
Il  lu  lèiluclimi  cl  ilèfini  nu  paragraphe  1  ;  pour\u  du  nmins  que  l'on  choisisse 
le  système  des  périodes  oj  de  la  façon  la  plus  simple  possible. 

VII.  "  Autre  mode  de  calcul. 

O.i  peut  arriver  à  ce  même  résultat  dune  manière  plus  simple,  de  sorte  que 
je  n'aurais  pas  pris  un  chemin  aussi  détourné  si  les  propositions  intermédiaires 
ne  devaient  pas  nous  être  utiles  dans  la  suite. 

Soient  U  et  U'  deux  intégrales  abéliennes  appartenant  à  la  courbe  C,  à 
laquelle  se  l'apporte  le  polygone  P';  la  première  sera  de  première  espèce  et  la 
deuxième  de  troisième  espèce;  elle  admettra  deux  points  singuliers  logarith- 
miques M„  et  M,  avec  les  résidus  +  i  et  —  i. 

Prenons  l'intégrale 


/^ 


le  long  du  périmètre  P':  elle  sera  égale  à 

■'ITA   I    „—  l',), 

Uii  et  Ui  étant  les  valeurs  de  U  aux  points  M„  et  AI,  ;  le  résultat  serait  encore  le 
même  si  l'on  intégrait  le  long  du  périmètre  d'un  quelconque  des  polygones 
appelés  plus  haut  P'(h),  et  en  ellet  quand  on  passe  du  point  M„  intérieur  à  1'' 
au  point  correspondant  de  P'(P)i  l**  valeur  de  U,,  augmente  d'une  période;  et 
quand  on  passe  de  M|  au  point  correspondant  de  P'(Jj),  la  valeur  de  l'i  aug- 
mente de  la  même  période,  de  sorte  que  la  différence  U,  —  U,,  ne  change  pas. 
D'autre  part,  cette  même  intégrale  est  égale  à 

<1>((0,  0)'). 


SUR    LA    nÉDUCTIOPJ   DES    INTÉGRALES    AllÉLIENNES    ET    LES    FONCTIONS    FUCHSIENNES.        3l)Ç) 

les  '.>  étant  les  périodes  de  U  par-  rapport  à  la  courbe  C,  et  les  '■>'  olant  les 
périodes  correspondantes  de  U',  tandis  que  "t(oj,  w')  est  la  forme  bilinéaire 
caractéristique  relative  à  ces  périodes.  On  a  donc 

*(to,  (.)')  =  ■>.i-(\'„—  Hi). 

Prenons  niainlenaut  la  ménic  intégrale  le  long  du  périmètre  «te  P,  ce  sera  comme 
si  on  la  prenait  le  long  des  divers  polygones  P'(|3)  qui  sont  au  nombre  de  /;.  On 

trouvera  donc 

:>.iiir.(V„—  V,). 

D'autre  part  l'intégrale  sera  égale  à 

les  )•  étant  les  périodes  de  U  par  rapporl  à  la  courbe  C,  les  )'  étant  les  périodes 
correspondantes  de  U',  et  F(,)-,  ,)')  étant  la  forme  bilinéaire  relative  à  ces 
périodes.  On  aura  donc 

'■"'.r!,»'')    =     ^"/'^{V,,—   U|), 

d'où 

F  (  )-,.>-')  =  /mI>((.i,  w'). 

Si  nous  prenons  les  périodes  normales  et  le  premier  exem[)le  du  paragraplie  I, 
nous  aurons  :  pour 

les  valeurs 


y^'      .I::-        y-;      ^s.       Xo. 


■IIK,        (>,        O.        II.        )         O 

a 


(0|,        (•)i, 


les  valeurs 
d'où 


ri=  5(t"l,  y-l=  o,  fj  =  o,  74  =  Wj,  J--5  =  Wj,  J\  =  o 

avec  les  mêmes  relations  entre  les  y'  et  les  oj';  d'ailleurs 

p{y,y")  =  ji  /■.  —  j''.  .'''1  -+- j'.!.''5— i-a/i  -f- jsi'o— r»/:l> 
'I•((o,  w')  =  Oi  to'^ t.).,  lo'i , 

d'où,   en  remplaçant  les  y  et  les    y'   par  leurs  valeurs  en  fonctions  des  m  et 
des  (.)', 

et 

Il  =  71. 

Passons  au  second  exemple  du  paragraphe  l  ;  nous  aurons  (si  U  =  }v«,4-p.«j)  : 


ion        SUR    l,A    RÉDUCTION    DES    INTÉGKALES    AIIÉLIKNNES    ET    LES    FONCTIONS    FUCHSIENNES. 

pour 

yi-    y-i,   j'3-    v:,   7.-,,   fr.,   y-,   y*, 
les  valeurs 

...                              ,        ,           ,  .                        -î  /  -a        ■>,  /  -À 
■117-./.,     ■ii-'x,     Cl.     (>.     ii/.-i-b'j.,     6/. -+-f'j.,  — A-,      : 


poul- 
ies valeurs 

d'où 


(■J).  (O.j.  <■)■■.  (■);, 


xi  Xj 


-  )      a'/.  -\-  1)'!..      h'/.  -\-  r a  ; 


^)|  =   2,jC0],  _)-.2  =  2,'j(0^,  l:|  =  I).  _)'i  =  I), 

avec  los  mêmes  relations  vnXve  les  )'  ul  les  '7/;  d'ailleurs 

•^0'>  J'')  =  .>!  j':,  —.'■...»  '1  -^.'^^.''li— J'c/î  -t-.l':;.'  '7  —."'t.»':;  "^  Ji  .)■'»  — i'».>  a, 

'1>  (  (•).   0)'  )  =  (■),    w'j (0-;  (o'i   -h  (').,  (O'j  (Oi  w'., . 

d'où 

F(/.j-')  =  2;i«inw.  (■/) 

et 

Les  résultats  du  paragraphe  précédent  sont  ainsi  retrouvés  et  la  méthode  est 
évidemment  f;éncra!e. 

VIII.         Cas  où  v  =  i. 

Jcme  propose  mainlenani  d'étudier  de  plus  près  les  circonstances  de  la  réduc- 
tion et  je  commence  par  rappeler  et  compléter  les  relations  entre  les  nombres  N, 
N',  Q,  Q',  etc.  Nous  avons  trouvé  au  paragraphe  111  les  relations  suivantes  : 

1  •■•/'  =  ^-Q -H  >, 

\   xq  =  N'_0'-v  1. 
(  ■-',  )  Q  -t-  ay  —  2  =  /(  (  Q'  -I-  ■'.  (7  —  2  ). 

(3)  N  — 1  =  «CN'— n  — ;ji. 

La  formule  (2)  s'applique  au  ras  où  le  nombre  p.  est  égal  à  zéro,  c'est-à-dire 
où  il  n'y  a  pas  de  sommet  commun  à  plusieurs  polygones  P'd^  )  qui  se  trouve  à 
l'intérieur  de  P.  Nous  adopterons  cette  hvpolhèse:  si  d'ailleurs  elle  n'était  pas 
satisfaite,  et  que  A13('J)A  représentant  le  ])érimètre  de  P,  un  sommet  commun  E 
à  plusieurs  l''([3)  fût  à  l'intérieur  de  I',  nous  pourrions  joindre  AE  et  prendre 
pour  périmèire  de  I'  la  ligne  fermée  EABCDAE.  Dans  le  polygone  V  modifié, 
E  serait  regardé  comme   un  sommet,  dont  l'angle  serait  27:,  et  le  périmètre 


(1) 


SIR    LA    RÉDICTION-    DES    INTÉliRVLES    ABÉLIE.NNES    ET    LES    FONCTIONS    FUCHSIENNES.        4"' 

comprendrai!  deux  fois  le  côté  EA,  parcouru  une  fois  diiiis  le  sens  direct,  une 
fois  dans  le  sens  rétrograde.  Nous  pouvons  donc  toujours  supposer 

y.  =  o. 

Dans  ce  cas.  la  formule  (  î)  devient 
{3  bis)  ^—i  =  ,l(^'—^). 

elk'  est  une  conséquence  immédiate  des  foinuiles  (  i)  et  (2). 
La  formule  (2)  peut  s'écrire 

(4  )  /(  Q' —  Q  =  îip  —  I  )  —  'lui  q  —  I  ». 

Le  premier  inenihre  (k-  celte  relation  est  susceptible  d'une  inleiprétalion  par- 
ticulière. Nous  avons  vu  au  paragraphe  V  comment  se  forment  les  Q  cycles  de 
sommels  de  I'.  A  chacun  des  Q'  cycles  de  sommets  de  I*'  correspond  une  sub- 
stitution 

i:  =  Sa,  s»,...  Sa,,, 

portant  sur  /i  lettres.  Cette  subsliiution  se  décompose  en  un  certain  nombre  de 
permutations  circulaires.  A  chacune  de  ces  permutations  circulaires  correspond 
un  cycle  de  sommets  de  P.  Il  y  a  donc  en  tout  Q'  substitutions—,  et  le  nombre 
total  des  permutations  circulaires  dont  elles  se  composent  est  de  Q. 

Le  nombre  total  des  lettres  est  /iQ';  si  alors).,  est  le  nombre  des  permutations 
circulaires  qui  permutent  i  lettres,  on  aura 

d'où 

(5  )  -I  i  —  11/,,=  ■:>.( fi  —  i)  —  ••>.ni q  —  i). 

'  Voyons  en  passant  quelle  est  la  relation  de  ces  substitutions  i  avec  les 
nombres  v,  définis  au  paragraphe  IH.  Chacun  des  points  singuliers  A'  du  para- 
graphe m  correspond  à  un  sommet  de  P' et  par  conséquent  à  une  substitution  i. 
Cette  substitution  permute  /)  lettres  correspondant  aux  n  feuillets  de  la  surlace 
de  Riemann  C  du  paragraphe  III  ou  aux  /;  déterminations  de  AI,  c'est  précisé- 
ment la  perniiitation  que  subissent  ces  //  déterminations  quand  M' tourne  autour 
de  A'.  Les  points  A,  correspoodent  à  divers  sommets  de  P  et  par  conséquent 
aux  permutations  circulaires  en  lesquelles  se  décompose  i.  On  voit  ainsi  que 
ces  permutations  circulaires  porteront  respectivement  sur 

V|,        V,,         Vj 

lettres. 

II.   P.   —  III.  31 


(112        SLR    LA    REDUCTION    DES    INTEGRALES   ABELIENNES    ET    LES   FONCTIONS    FUCHSIENNES. 

Aous  allons  examine/-  en  particulier  le  cas  où  g  ^  i,  c'est-à-dire  celui  où 
la  courbe  C  est  dti  genre  i,  et  où  les  intégrales  abèliennes  sont  réductibles 
aux  intégrales  elUjUitines. 

La  formule  (n)  devient  alors  ; 

(  5  bis  1  11/  —  I  I  /,,=  ■?  I  /<  —  1  ). 

Ceci  nous  montre  d'abord  que  y/  ne  peul  être  nul,  ce  qui  était  d'ailleurs  évi- 
dent puisque  alors  C  n'admettrait  pas  d'intégrale  abélienne;  si  l'on  supposait 
/J  =  I ,  tous  les  nombres  i  devraient  être  égaux  à  i  ,  c'est-à-dire  que  toutes  nos 
substitutions  i  devraient  se  réduire  à  la  substitution  identique;  il  n'y  aurait 
pas  sur  la  surface  de  Riemann  C  de  |)oints  de  ramification  A',  nous  devrions 
prendre  pour  le  polygone  fuchsien  un  quadrilatère,  à  côtés  opposés  conjugués, 
dont  la  somme  des  angles  serait  2~;  ce  quadrilatère  se  réduirait  alors  à  un 
parallélogramme  rectiligne  de  la  géométrie  ordinaire;  puisque  la  somme  des 
angles  serait  27:  et  non  plus  petite  que  aTi  comme  dans  la  géométrie  non  eucli- 
dienne; nous  retomberions  en  définitive  sur  la  théorie  ordinaire  de  la  transfor- 
mation des  fonctions  elliptiques. 

Examinons  donc  le  cas  de 

^/  =  '       y  >  I  • 

Deux  hypothèses  sont  possibles  : 

i"  Ou  bien  toutes  les  substitutions  1  se  réduisent  à  une  |)ernuitation  entre 
deux  lettres.  Dans  ce  cas  chacune  de  ces  substitutions  se  décompose  en  un  cer- 
tain noml)re  de  permutations  circulaires,  qui  ne  portent  que  sur  une  lettre,  de 
sorte  que  le  terme  (  / —  i)  correspondant  est  nul,  excepté  pour  l'une  d'elles  (|ui 
porte  sur  deux  lettres,  de  sorte  (|ue  le  terme  (/  —  1)  correspondant  est  égal  à  i . 
Nous  aurons  donc  dans  le  premier  membre  de  (5  bis)  autant  de  termes  égaux 
à  I  qu'il  y  a  de  substitutions—,  tous  les  autres  termes  étant  nuls;  ce  premier 
membre  est  donc  égal  au  nombre  des  substitutions  i.  A  chacune  de  ces  substi- 
tutions i  correspond  un  cycle  de  sommets  de  P'.  Si,  comme  nous  l'avons  sup- 
posé au  paragraphe  III,  nous  choisissons  ce  polygone  P'  de  la  façon  la  plus 
simple  possible,  il  n'v  en  aura  pas  d'autres.  Ainsi  notre  premier  membre  est 
égal  au  nombre  de  ces  cycles  et  l'on  a 

(C)  Q'=2/)--.. 

et  ]>ar  consétpient 

(7)  N'=,^_,. 


SUB    LA    REDUCTION    DES    INTEGRALES    ABELIENNES    ET    LES    FONCTIONS    EUCIISIENNES.        .|OJ 

La  somme  des  angles  sera  tc  pour  chacun  de  ces  cycles  (puisque  le  nombre  v 
est  égal  à  2).  Les  polygones  P'  ainsi  définis  seront  dos  polygones  P'  de  la  pre- 
mière sorte. 

2"  On  peut  supposer,  au  contraire,  que  quelques-unes  des  substitulions  -  ne 
se  réduisent  pas  à  une  peruiutalion  entre  deux  lettres;  que,  par  exemple,  l'une 
d'elles  se  réduit  à  une  permutation  circulaire  entre  trois  ou  plusieurs  leltres, 
ou  à  deux  permutations  entre  deux  lettres.  Alors  le  premier  nieiiibre  de  (  J  bis) 
contient  plusieurs  termes  égaux  à  1 ,  ou  un  terme  supérieur  à  i  et  correspondant 
à  cette  substitution,  de  sorte  que  l'on  a 

Q'<2/)  — a,         ^'<^y?  — i. 

Les  polygones  I"  ainsi  définis  seront  des  polygones  I"  fie  la  deti.rième 
sorte. 

Les  cas  les  plus  simples  sont  ceux  d'un  quadrilatère  dont  les  côtés  opposés 
sont  conjugués  et  dont  la  somme  des  angles  est  égale  à  tt;  ou  bien  encore  celui 
d'un  hexagone  dont  les  côtés  opposés  sont  conjugués  et  qui  a  deux  cycles  de 

sommets,  avec  des  sommes  d'aiigh-s  de  r.  et  de  ^• 

Nous  verrons  plus  loin  que  les  polvgoiii's  P'  de  la  deuxième  sorte  peuvent  être 
regardés  comme  des  dégénérescences  de  ceux  de  la  première  sorte. 

Examinons  surtout  ceux  de  la  |)reniière  sorte.  Pour  déterminer  un  polygone 
de  2N'  =  4p  —  a  côtés,  il  Faut  8y>  —  -  données.  Mais  notre  polygone  est  assu- 
jetti à  certaines  condilions.  D'abord  les  côtés  conjugués  doivent  être  égaux  (au 
point  de  vue  non  euclidien  ),  ce  ([ui  fait  N'=  zp  —  i  conditions  ;  ensuite  la  somme 
des  angles  de  chaque  cycle  doit  être  égale  à  tt,  ce  qui  fait  Q'  =  2y>  —  2  condi- 
tions. Il  reste  donc 

(<V  -  7)  -  (■•^y  -  0  -  ('^y'  -  ■^)  =  4/'  -  4 

données  arbitraires. 

Mais  ces  données  sont  réelles.,  elles  équivalent  donc  à  ip  —  2  données  arbi- 
traires complexes. 

Comparons  ce  nombre  à  celui  des  périodes  arbitraires  de  notre  tableau.  Le 
tableau  des  périodes  peut  être  réduit  à  la  forme  canonique  comme  nous  l'avons 
fait  au  paragraphe  I;  reportons-nous  par  exemple  au  premier  exemple  de  ce 
paragraphe  où  (jr  =  i ,  /?  =  3  ;  nous  voyons  que  dans  ce  tableau  figurent  quaire 
arbitraires  A,  a,  b,  c;  le  noml)re  x  est  l'entier  caractéristique  de  la  réduction  et 
ne  doit  pas  être  regardé  comme  arbitraire;  c'est  noire  nombie  /;.  En  général, 


4o4        Sl'R    I.A    RliDLCTION    DKS    INTK(iRALKS   ABKl.IEN-NES    ET    LES    FONCTIONS    FUCHSl^NNES. 

nous  aurons  une  arbitraire  correspondant  à  li,  et  - — arbitraires  analogues 

à  a,  b,  c;  ^n  toul 


Ce  nombre  n'est  pas  é<;.il  à  [ip  —  2  et -cela  ne  doit  pas  nous  étonner,  puisqu'un 
système  quelconque  de  périodes  ne  correspond  pas  toujours  à  une  courije  C, 
ou,  pour  parler  le  langage  du  paragrajihe  I,  à  des  fonctions  abélicnnes  spécinles. 
La  diderencc 

i-t- '-  -h  1  —  ('p  —  i)  =  ^ :f 


est  le  nombre  des  conditions  qu'il  faut  imposer  à  un  système  de  périodes /•e(/»c- 
liblcs  pour  qu'il  conduise  à  des  fonctions  abélicnnes  spéciales. 

Considérims  maintenant  un  sjsténu'  de  périodes  queltoiniues.  m  in  réductibles 
en  général;  le  nombre  des  périodes  arbitraires  esl 

/'  (p  -+- 1  ) 
2 

Le  nombre  des  données  arbitraires  dont  dépend   une   courlie  C  de   genre  p 

(modules  )  est 

ip  —  3 . 
La  dillérence 

/";'  +  '>  _  j  3  ^   />-—  -.y» -4- fi 

représente  le  nombre  des  conditions  qu'il  faut  imposera  un  système  de  périodes 
ijuidcDiiqucs  pour  qu'il  conduise  à  des  fonctions  abélicnnes  spéciales. 

On  remarquera  que,  comme  il  convient,  ce  nombre  de  conditions  est  le 
même  dans  les  deux  cas. 

Si  l'on  avait  pris  un  polygone  de  la  deuxième  sorte,  on  aurait  vn  Q'  <  'ip  — •  2 
et  le  nombre  des  arbitraires  (réelles)  eût  été 

(.i>  —  ;i)  — N  —  Q'=3N'— Q'— 3  =  2Q'<4/'  — 1. 

Voyons,  en  nous  plaçant  à  un  poinlde  vue  entièrement dillérent.  àquoi  corres- 
pondent ces  Q'  points  singuliers.  Considérons  la  courbe  C,  qui  sera  de  degré»/ 

et  aura  par  conséquent 

,        \ni  —  1  )  (  m  —  ■>.  I 

a  =  — H 

"2 

points  doubles. 

Soit  W|  l'inti'grale  abélienne  de  C  qui  esl  réductible  aux  intégrales  elliptiques, 
l^es   [loiiits  A  correspondant  aux  sommets  de  I*'  seront  ceux   pour  lesquels  la 


SIB    LA    BÉDICTION    DBS    INTÉGRAI-ES    ABKI.IENNRS    HT    I.F.S    FONCTIONS    KUCIISIKNNES.        4o5 

dérivée  de  cette  intécralc  -j-^  j-'anniilera.  Ce  seront  (loue  les  points  d'iat(!rsec- 


lion  de  C  avec  la  courbe 

dit 


dx 


Cette  courbe,  adjointe  à  C,  et  passant  par  les  d  points  doubles,  est  de  degré 
m  —  3.  Elle  coupe  C  (en  dehors  dos  points  doubles)  en  ^ 

m(in  —  3)  —  id  =  ■!(/i  —  I) 

points.  A  chacun  d'eux  correspond  en  général  une  valeur  de  m,  et  par  consé- 
quent un  cvcle  de  sommets  de  P'. 

En  général,  ces  ip  —  2  points  d'intersection  sont  distincts  et  correspondent 
à  autant  de  valeurs  distinctes  de  «,.  Le  nonibie  des  cycles  de  sommets  de  V  est 
donc 

Le  polygone  P'  est  alors  de  la  première  sorte,  mais  il  peut  se  faire  également 
que  les  deux  courbes  se  touchent  de  façon  que  deux  des  points  d'intersection  se 
confondent  (c'est  le  cas  où  l'une  des  substitutions  i  permute  circulairement 
trois  lettres),  on  bien  encore  que  deux  de  ces  points  correspondent  à  une 
même  valeur  de  «,  (  c'est  le  cas  où  l'une  des  substitutions-  permute  à  la  fois  deux 
lettres  ,3,  et  Z.,.  et  deux  autres  lettres  ^3,  et  S,).  Le  nombre  Q'  est  alors  plus 
peiii  que  ip —  2  et  le  polygone  P'  est  de  la  seconde  sorte. 


IX.        Cas  de  7  >  1. 

Nous  avons  alors  à  a|)plifjuer  la  foimiile 
(i)  S(/  — 1)/.,=  af/i  —  i)  —  yniq  — i) 

et  nous  ferons  une  première  remarque:  si 

(2)  n  >  S^=^, 

q  —  l 

le  premier  membre  de  (1)  doit  être  négatif,  ce  qui  est  absurde.  Il  est  donc 
impossible  de  construire  les  polygones  P  et  P'  de  façon  à  satisfaire  à  l'inéga- 
lité (2),  Et  cependant  nous  pouvons  construire  un  tableau  de  périodes  réduc- 
tibles analogue,  par  exemple,  au  tableau  relatif  du  deuxième  exeiu|)le  du  para- 
graphe I.  Dans  ce  tableau  (y  =  2,  p  =  4  et  «:=a^.  11  est  clair  que  nous  pouvons 


4o6       SUR    LA    RKDICTIOX    DES    INTÉGRALES    ABKLIENNES    ET    LES    FONCTIONS    FUCHSIENNES. 

choisir  les  entiers  ^  et  ^  qui  sont  arbitraires  de  telle  façon  que  le  produit  a[5 

soit  plus  grand  que  3,  c"est-à-dire  que 

Nous  pouvons  donc  construire  un  tableau  de  périodes  réductibles,  tel  que 
l'inégalité  (a)  soit  satisfaite,  et  cela  non  seulement  pour  p^/^^  g  ^2  mais 
quels  f|ue  soient  p  et  q,  le  résultat  étant  évidemment  général.  A  la  vérité,  cela 
n'implique  pas  l'existence  des  courbes  G  et  C,  puisque  ces  périodes  pourraient 
engendrer  des  fonctions  abéliennes  non  spéciates.  Mais  dans  l'exemple  choisi 
(/^  =  4,  '7  =  2)  il  suflit  d'une  condition  pour  que  les  fonctions  abéliennes 
engendrées  soient  spéciales  et  pour  que  la  courbe  C  existe:  et.  en  effet,  pour 

yr?  =r  4i  on  a  — =  i .  Comme  il  reste  dans  notre  tableau  plusieurs  arbi- 
traires, nous  pourrons  disposer  de  l'une  d'elles  de  façon  à  satisfaire  à  cette 
condition,  et  la  courbe  C  existera.  Quant  à  la  courbe  C,  elle  existe  toujours 

(7-—  57  —  6 
puisque,  pnur  ^  =  2,  on  a =  o. 

Ainsi  nous  pourrons  trouver  un  système  de  périodes  réductibles,  telles  que  C 
et  C  existent  et  que  l'inégalité  (2)  ait  lieu.  11  suffira  pour  cela,  quel  que  soit  n_ 
que  le  nom])re  des  arbitraires 

?  i  <?-*-■  ;  ^  (/^  — ?)(/>  — y -^-') 

'1  2 

soit  plus  grand  que  le  nombre  des  conditions  à  remplir 

p-  —  J/j  -H  G       q-  —  5 7  -H  G 

■'.  2 

Qu'est-ce  à  dire?  Ainsi  que  nous  l'avons  vu  au  paragraphe  I,  si  l'on  consi- 
dère un  système  S' de  q  points  de  C.  on  peut  lui  faire  correspondre  un  système 
S  de  ij  points  de  C,  de  telle  façon  que  toute  fonction  rationnelle  symétrique 
des  coordonnées  des  divers  points  de  S'  soit  une  fonction  rationnelle  symé- 
trique des  coordonnées  des  dis  ers  points  de  S.  JNIais  il  ne  s'ensuit  pas  qu'à  un 
point  M'  de  C  on  puisse  faire  correspondre  un  point  M  de  (V,  de  telle  sorte 
que  toute  fonction  rationnelle  des  coordonnées  de  M  soil  une  fonction  ration- 
nelle des  coordonnées  de  M'. 

Quand  la  seconde  condition  (qui  cnlraine  la  première)  sera  remplie,  nous 
dirons  que  la  courbe  C  est  inuUijilc  de  la  courbe  C,  et  quand  la  première  con- 
dition sera  remplie  sans  que  la  seconde  le  sait,  nous  dirons  que  la  couriie  C 
Qsl  pseudo-multiple  de  la  courbe  C. 


SUR    LA    RÉDUCTION    DES    INTÉ(;l\ALES   ABÉLIKNNES    ET   LES    l'ONCTIONS    FUCIISIENNES.        40" 

L'analyse  qui  précède  nous  montre  que  pour  des  valeurs  convenables  de  p, 
ij  el  II  il  existe  certainement  des  courbes  pseudo-multiples. 
Maintenant  il  peut  se  faire  que 

(3)  ;,  =  ^i:=l. 

Nous  pouvons  alors  construire  les  polygones  P'  et  P;  seulement  le  premier 
membre  de  (i)  est  nul,  de  sorte  que  tous  les  nombres  /  doivent  être  égaux  à  i , 
c'est-à-dire  que  toutes  les  substitutions  ^  doivent  se  réduire  à  la  substitution 
identique.  Alors  il  n'y'  a  pas  de  poinl  de  ramification  tel  que  A'  sur  C.  Si 
nous  choisissons  le  polvgone  P'  de  la  façon  la  plus  simple  possible,  on  n'aura 
qu'un  seul  cycle  de  sommets  de  P'  et  la  somme  des  angles  sera  i~.\  on  aura 

donc  : 

Q'=i.         N'=4  7. 

Nous  dirons  alors  que  le  polygone  P'  est  de  la  troisième  sorte.  L'exemple  le 
plus  simple  est  ^  z=  2,  />  =  3,  «  =  2  ;  le  polygone  [*'  est  un  octogone  dont  les 
côtés  opposés  sont  conjugués:  le  polygone  P  est  un  polygone  de  i4  côtés  formé 
par  la  réunion  de  deux  de  ces  octogones  et  dont  les  côtés  opposés  sont  conju- 
gués. 

Supposons  maintenant 

p  —  I 
(4)  "<7^' 

nous  pouvons  alors  faire  deux  hypothèses  : 

1"  Ou  bien  toutes  les  suijslilulions  i  se  réduisent  à  une  permutation  entre 
deux  lettres;  on  a  alors 

S I  /  —  I )  À,-  =  Q'  =  1  (/>  —  I )  —  ■> « ( f/  —  I), 
N' =  Q' -H  2 y  —  I  =  7 (/î  —  1 1  —  ■' (■ /;  —  i)  ( (/ —  I)  H-  r . 

Le  nombre  des  données  arbitraires  (réelles)  qui  définissent  P'  est 

4N'— 3  — N'— Q'=  in'-HCw/  — G  =  \(p  —  \\  —  {^n  —  (i)(i/— i) 

et  elles  équivalent  à 

;  =  o(p  —  i\  —  {,n  -3U'/  — i> 

arl)itraires  complexes.  Nous  dirons  ilan>  ce  cas  (|ue  le  polygone  P'  est  de  la 
première  sorte. 

2°   Ou  bien  toutes  les  substitutions  i  ne  se  réduisent  pas  à  une  permutation 


io8        SUR    LA    RÉnilCTION    DES    INTÉGRALES   AliÉLlENNES   ET    LES    FONCTIONS    FLCEISIENNES. 

enlre  deux  lettres;  alors 

Q'   :  •>(/)  —  i)  —  ■'-«(</  —  i).         ■'  <  '-'A i>  —  i"»  —  ym  —  J,l  (</  —  0. 

Le  polygone  P'  e,->t  alors  de  la  deuxième,  xorte. 

Nous  pouvons,  ainsi  que  nous  lavons  fait  pour  le  cas  de  r/  ^  i .  loiuparer  lu 
nombre  des  arbitraires  du  polygone  P'  avec  celui  des  périodes  arbitraires. 
Nous  nous  bornerons  au  cas  des  polygones  de  la  première  sorte;  on  a  alors 

'I  =z  ■t{p  —  1  )  —  (  2  «  —  3  )  (  9  —  1  ' 

données  arbitraires  complexes  dans  le  polygone  I''.  Le  nombre  des  arbili-aires 
dans  le  tableau  des  périodes  réductibles  est 

H  ^  ?(?-n)    ,    ip  —  l^ip  — '!-*-'> 

Etant  donné  un  tableau  de  périodes  réductibles,  à  combien  de  conditions 
doivent  satisfaire  les  périodes  de  ce  tableau  pour  que  l'on  soit  conduit  à  une 
courbe  C  multiple  d'une  courbe  C?  Le  noml)re  cherché  de  ces  conditions 
est  H  —  V. 

Comparons-le  avec  le  nombre 

p-  —  ■")/>  -f-  (i 

des  conditions   pour  (iii'uii  svslème  (jnelconiiue  de  péiiodes  conduise  à  des 

fonctions  abéliennes  spéciales,  c'est-à-dire  pour  que  la  courbe  C  existe.    La 

dilTérence 

II  _  V  _  p"-— '</>-*-'> 

est  égale  à  (  i  —  'J )  {/>  —  7  +  2  —  2  "  ) • 

On  voit  que  l'égalité  a  lieu  jjuiir  7  =  1.  ainsi  (jue  nous  l'avons  vu  dans  le 
paragraphe  précédent;  en  revanche  elle  n'a  plus  lieu  en  général  pdur  1/  ~>  1. 

1°   Si 

(Il  p  =  q  -\-  ■>  Il  —  ■). 

le  nombre  des  conditions  pourqu  un  système  de  période^  /l'diK/ililes  engendre 
deux  courbes  algébri(|ues  C  et  C  telle  que  la  |)remlère  suit  mulli|ile  de  l'autie, 
est  égal  au  nombre  des  conditions  pour  qu'un  système  de  périodes  ij  ueltiiiiijiirs 
engendre  une  courbe  algébrique  C. 

■j."  Si 

(  C)  )  /)  <  q  -^  ■->n  —  ■i , 


Stin    LA    RÉDUCTION    DES    INTKUBALES    ABÉLIKNNES    ET    LES    FONCTIONS    FLCHSIENNES.       f\Og 

le  jjiiMiiier  nombre  est  supérieur  au  second;  c'est-à-dire  quil  peut  arriver  ([ue 
les  conditions  [)Our  que  C  existe  étant  satisfaites,  cette  courbe  C  ne  soit  cepen- 
dant pas  multiple  d'une   courbe  C:  et  cela  peut  s'expliquer  de  deux  manières: 

Ou  bien  la  courbe  G'  n'existe  pas.  En  ellel,  si  nous  avons  c/  intégrales  abé- 
liennes  réductibles  n'ayant  chacune  que  2*7  périodes  distinctes,  il  peut  se  faire 
(jue  les  périodes  de  ces  q  intégrales  engendrent  des  fonctions  abéliennes  à  q 
variables  non  Sfiéciales. 

Ou  bien  la  courbe  C  existe,  mais  la  courbe  C  est  seulement  pseudo-mulliple 
de  C.  Le  nombre  des  conditions  pour  que  la  courbe  C  existe  est 

(/'- —  ;j^  -t-  (i 

Si  donc 

il  peut  arriver  que,  les  conditions  |)our  que  les  courbes  C  et  G'  existent  l'une 
et  l'autre  étant  satisfaites,  la  courlie  G  ne  soit  rependanl  pas  multiple  de  G'.  Il 
est  certain  dans  ce  cas  que  G  est  pseudo-multiple  de  G'. 

li"   .Si  au  contraire 

(S)  P  >  'ï  -^  ' "  —  ■-■ 

le  premier  nombre  est  plus  petit  cpie  le  second. 

Pour  nous  résumer  :  soit  a  le  nombre  des  conditions  pcmr  cpie  G  existe,  les 
périodes  étant  quelconques;  soit  |S  le  nombre  des  conditions  pour  que  G  existe, 
les  périodes  étant  réductibles;  soit  y  le  nombre  des  conditions  pour  que  G  et  G' 
existent,  les  périodes  étant  réductibles;  et  enfin  ô  le  nombre  des  conditions 
pour  que  G  soit  multiple  de  G'.  On  aura  certainement 

^  -  Y  -  fit         '\'  =  *• 

Les  égalité-s  et  iné;;alités  (5),  (6)  et  (8)  entraînent  respectivement  les  consé- 
quences 

a  =  0,         2  •<  3,         a  >  S. 

Si  l'on  a  3(  >•  ô,  on  a  certainenu'nt  0  >  (3.  et  dans  l'hypothèse  (7)  on  a  même 
y  >•  [î  ;  si  Inn  a  5<  >  o,  (ui  a  certainement  :z  >  3  ;  mais,  même  dans  cette  hypo- 
thèse, il  peut  1res  liiiMi  se  faire  fine  idii  ^iil  pur  CMMnple 

ce  (pu  rntraînerail  encore  l'exisliiice  île  cciuibes  psrudo- multiples.  Tcuit  ce  tpu' 
11.  P.  —  III.  :>■>. 


4lO       SUR    LA    RÉDUCTION    DES    INTÉGBALF.S    ABÉLIENNES    ET    LES    FONCTIONS    FUCIISIENNES. 

nous  pouvons  dire,  c'esL  que  l'existeuce  de  ces  courbes,  cerlaine  dans  l'Iijpo- 
thèse  (7)  et  dans  l'hypothèse  (2),  est  possible,  on  pourrait  presque  dire  pro- 
bable, dans  les  autres  hypothèses. 

Plaçons-nous  maintenant  au  même  point  de  vue  qu'à  la  fin  du  paragraphe 
précédent.  Soit  d'abord  q  ^  1.  Soient  u  et  v  les  deux  intégrales  réductibles. 
La  courbe  C  sera  de  degré  m  avec 

d='"'-'^^;''-'^  -p 

points  doubles.  Les  courbes 

dx  dx 

seront  des  courbes  adjointes  de  degré  ni  —  3  qui  couperont  C  en  ay»  —  2  points 
en  dehors  des  points  doubles. 

Supposons  que  la  courbe  C  soit  pseudo-multiple  de  C;  soient  j?', ,  y\  ;  x'„,  j-!, 
un  couple  de  points  quelconques  de  C;  et  j?i,  i,;  x>,  l'o  le  couple  de  points 
correspondant  de  C.  (.Te  prends  un  système  de  2  points  parce  que  q^i.) 
Appelons  R'  et  K  ces  deux  couples  ;  à  un  couple  K  correspond  un  seul  couple  K'; 
mais  à  un  couple  K'  correspondent  plusieurs  couples  K.  Dans  quelle  condition 
ces  couples  s'échangent-ils  entre  eux?  11  y  a  certains  couples  qu'on  peut  appeler 
couples  de  ramification,  parce  que  deux  ou  plusieurs  couples  K  s'échangent, 
quand  le  couple  K'  subit  un  cycle  de  variations  en  tournant  autour  d'un  de  ces 
couples  de  ramification.  Ce  qui  caractérise  ces  couples,  c'est  que  le  jacobien 
est  nul  : 

/J(x,,  .r.j) 

Soient  j< ,  et  «j,  r,  et  iv  les  valeuis  des  intégrales  u  et  c  aux  poiiils  ,/■,  et  x-^; 

soient 

U  =  II,  -t-  II.,,         V  =  c,  -H  ('.,. 

Si  nous  considérons  deux  couples  K  correspondant  à  un  même  couple  K'  et 
par  conséquent  susceptibles  de  s'échanger  entre  eux,  les  valeurs  de  U  et  de  V 
seront  les  mêmes  pour  ces  deux   couples.    La  condition  ]n'écédente  équivaut 

donc  à  : 

(^(UjV)    _  du,    Ui'i        du-,  di\    _ 
i){x\,x.,)         dx,    dx-,         il.r.,  dx,  ' 

ce  qui  signifier  que  les  deux  points  j",  et  x-,  du  couple  de  ramification  sont  sur 
une  même  courbe  du  faisceau 

du        .   ilv 
(9)  dx-^^'Tx=''- 


SIR    LA    RÉDUCTION    DES    INTEGRALES   ABELIENNES    ET    LES   FONCTIONS    PL'CHSIENNES.         |II 

Pour  trouver  les  couples  de  ramificalion,  il  suffira  donc  de  mener  une  courbe 
quelconque  de  ce  faisceau  et  de  prendre  deux  de  ses  points  d'intersection 
avec  C. 

Supposons  maintenant  que  la  couriie  G  soil  multiple  de  G';  alors  {x\,y\) 
sera  une  fonction  unilormo  de  (x,,y,).  Si  donc  M'  ust  un  point  de  G';  M,  et 
^l-,  deux  des  points  de  G  qui  correspondent  à  M';  ii,,  u-,  et  i|,  t'a  les  valeurs 
correspondantes  des  intégrales  u  et  c,  on  aura 

Ux  =  Ho.  l'i  =  c.,. 

Soient  alors  A'  un  des  points  de  ramification  sur  G'  et  A,  le  point  corres- 
pondant de  G;  on  aura  en  A, 

du  d^  _ 

dx       dx         ' 

c'est-à-dire  que  A(  devra  être  un  des  points  bases  du  faisceau  (9)  en  dehors 
des  points  doubles. 

Supposons  que  le  polygone  P'  soit  de  la  première  sorte,  il  y  aura 

de  ces  points  bases  en  dehors  des  points  doubles,  puisqu'il  y  a  Q'  points  de 
ramification.  Il  restera  donc  pour  une  courbe  quelconque  du  faisceau 

?  n(q  —1) 

points  d'interjection  en  dehors  des  points  bases  et  des  points  doubles. 

Supposons  maintenant  que  l'on  considère  deux  points  M,  et  M^  correspon- 
dant à  un  même  point  M' et  qu'on  fasse  varier  d'une  manière  continue  M,,  M, 
et  M';  il  viendra 

(/,  =   (I.,.  Cl  =   f.,. 

d'où 

dui  _  du., 
f/i'i  di', 

ce  qui  veut  dire  que  les  deux  points. M,  et  AL.  sont  sur  une  même  courbe  du 
faisceau.  Mais  à  un  point  M',  correspondent  n  points  M  qui  sont  tous  sur  une 
même  courbe  du  faisceau.  Les  2/i(c/  —  1)  intersections  de  cette  courbe  avec  C 
se  répartissent  donc  en  2q  —  2  groupes  de  n  points;  les  n  points  de  chaque 
groupe  correspondent  à  un  même  point  M';  ainsi,  à  ces  211(1/  —  i  )  intersections 
correspondent  sur  G    seulement   2ç — 2   points  M'  qui,  correspondant  à   une 

même  valeur  de  -^  >  sont  tous  sitr  une  mdinc  courbe  adjointe  à  G',  de  degré 

di'  '  '  c' 

ni' —  3  si  G'  est  de  degré  m'. 


412       SUR    LA    RliDUCTlON    DES    INTÉcnALES   ABKMKNNES    KT    LRS    FONCTIONS    FÙCIISIENNKS. 

Dans  ce  dernier  cas,  considérons  un  couple  de  points  M,  et  M^  sur  C,  situés 
sur  une  même  courbe  du  faisceau,  mais  en  deliors  des  points  bases;  considérons 
le  couple  correspondant  M',  et  M.,  sur  C.  Comme  on  a 

>^(U.V)    _^ 

on  pourrait  croire  que 

et  que  ce  couple  est  de  raniificalion,  ainsi  qu'il  arri\e  pour  les  courlies  pseudo- 
multiples.  Mais  il  n'en  est  rien,  il  y  a  exception  dans  ce  cas.  Nous  avons,  en 
elfel, 

<){x\,x\)  d(x,.  .r.,)        t){a-t.j:.,) 

Le  second  membre  peut  s'annuler,  soit  quand  le  second  fadeur  du  premier 
membre  s'annule,  soit  quand  le  premier  facteur  s'annule.  Ici  c'est  ce  preuiier 
facteur  qui  s'annule,  puisque  M,  et  M„  sont  sur  une  même  courbe  adjointe  de 
degré  m' —  3. 

Si  le  polygone  P'  est  de  la  deuxième  sorte,  le  nombre  Q'  est  plii>  petit  que 

■>('/>  —  n  —  ■'/((</  —  i), 

mais  le  nojniiri'  des  |)oints  bases  situés  sur  C  est  toujours  le  même,  en  tenant 
compte  du  degré  de  multiplicité:  soil  parce  que  C  louche  toutes  les  courbes  du 
faisceau,  >oit  parce  que  deux  points  liases  correspondent  à  un  même  point  M' 
et  par  conséquent  à  un  même  soiiimel  de  I'',  SI  enlin  P'  est  de  la  lioisième 
sorte,  il  n'y  aura  pas  de  point  de  ramiliealion  et  par  consei|iieiil  pas  de  poini 
base  sur  ().  Le  noinbre  lolal  des  inteiseclions  sera 

>p  —  ■>,  =  ■'.//((/  —  1  ) 

se  réparlissanl  comme  plus  liant  en  '.(j  —  2  groupes  de  n  points. 

Si,  dans  un  cas  quelconque,  une  courbe  du  faisceau  devient  tangente  à  C, 
c'est  que  deux  de  ces  groupes  se  confondent,  ou  que  deux  points  d'un  même 
groujie  se  c(uifondent.  Dans  le  premier  cas  la  courbe  n'est  pas  simpleitwtH 
laiiL^enle  à  C,  mais  ji  fois  taniiente  il  C.  Dans  le  deuxième  cas,  le  contact  ne 
peut  avoir  lieu  (|u'en  un  point  base,  ])uisque  ce  n'estque  là  que  deux  des  points 
correspondant  à  M'  peuvent  s'éelianger;  et  comme  alors  deux  des  points  du 
groupe  doiveni  venir  se  confondre  au  point  base,  comme  d'ailleurs  en  un  point 

base  quelconque,  on  aura  '^  =  ^  =  o,  ce  qui  veut  dire  que  l'un  des  points 


SUR    LA    RF.nlCTION    DES    INTK(;RAI.ES    ARÉI.IENNKS    lîT    LE^    FONCTIONS    H  IIISIKNNKS.        /j  1 3 

du  groupe  ne  pi'ul  vciiii'  en  ce  pniul  hase  sim>  qu'un  autre  poiul  du  <;ioM|)e  y 
vienne  également;  nous  devons  conclure  : 

('elle  des  courbes  du  faisceau  qui  louche  Ci  en  un  jioinl  base  l'y  ren- 
conlre  en  trois  points  confondus. 

Le  cas  le  plus  simple  est  le  suivant  : 

/'  =  ■).  y  ~  ■>.  Il  —  •>..  m  =  /II' =  /\. 

La  courbe  C  est  du  f|ualriéme  degré  sans  point  double,  la  courije  C  du  qua- 
trième degré  avec  un  puinl  double;  V  est  de  la  troisième  sorte.  Les  courbes 
adjointes  à  G'  sont  des  droites  passant  par  le  point  <louble;  les  conrbes  du  fais- 
ceau (9)  sont  des  droites  passant  par  un  point  (ixe  B.  Ce  point  (ixe  B  nesl  pas 
sur  C  puisque  nous  ne  devons  pas  avoir  de  point  base  sur  C.  Si  ('■  est  multiple 
de  C,  toute  droite  [tassant  par  B  coupera  C  en  j  poinlscpii  correspondront  à 
2  points  de  C  situés  sur  une  même  droite  passtinl  par  le  point  doiibK'.  Toute 
tangente  menée  à  C  par  B  sera  une  tangente  double;  il  y  en  aura  6,  corres- 
pondant aux  6  tangentes  menées  à  C  par  le  point  double.  Donc,  sur  28  tan- 
gentes doubles  de  C,  il  y  en  a  6  qui  passent  par  un  même  point. 

Soit  maintenant 

p  =^  \.         17  =  2,         /(  =  ■>.         m  =  j,         m'  =  4  ; 

P'  est  de  la  ]iremière  sorte,  Q'=2;  C  est  du  cinquième  degré  avec  2  points 
doubles,  C  du  ([uatrième  degré  avec  1  point  double.  Les  courbes  du  faisceau  (9) 
sont  des  coniques  passant  par  les  2  |)oints  doubles  et  par  les  Q'=  2  points 
bases.  Ces  coniques  coupent  C  en  /j  |)oints  en  dehors  des  points  doubles  et  des 
points  bases;  ces  4  points  corres[)ondent  aux  2  intersections  de  C  avec  une 
droite  passant  par  le  point  double  de  C. 

Si  C  est  multiple  de  C,  il  y  a  6  de  ces  coniques  qui  sont  doublement  tan- 
gentes à  C;  celle  de  ces  conupics  qui  louche  C  en  un  des  points  bases  est 
osculatrice  à  C. 

Terminons  en  supposant  q^i.  Si  C  est  pseudo-multiple  de  C  au  lieu  de 
systèmes  de  2  points,  il  faudra  envisager  des  iriplels  ou  systèmes  de  3  points,  au 
lii'u  de  2  intégrales  u  et  v,  il  eu  faudra  considérer  3,  «,  v  et  iv;  le  faisceau  (9) 
deviendra  donc  un  réseau 

,  .  du        .  ilv  ilw 

(  1)  l>is\  -        -f-  A    --  -H  ;j.  -r—  =  i>. 

ilx  il.i:  dx 

Rien  à  changer  d'ailleurs  à  ce  qui  [)recède;  |)our  obtenir  le>>  Iriplets  de  ramili- 


4l  i        SUR    LA    RËDICTION"    DES   INTÉGRALES    ABKLIENNES    ET    LES    FONCTIONS    FUCHSIENNES. 

cation  on    prendra    une   courbe   quolconquo  de  ce  réseau  et  trois  des  points 

d'intersection  de  cette  coiirhe  avec  C. 

Su|)|)osons  maintenant  que  C  soii  multiple  de  C  :  en  un  point  de  ramilica- 

lion  on  aura 

du         i/v         'fw 

dx        dx        (tx  ' 

c'est-à-dire  que  ee  point  sera  l'un  de>  jjoinis  bases  du  réseau  situé  sur  C. 
Si  ^I,  et  M2  correspondent  à  un  même  point  AJ'.  on  aura 

dii\  di'i  {hv\ 

dii.^         i/ca         f/ii'j 

ce  qui  montre  que  toute  courbe  du  réseau  qui  passe  par  M|  passe  aussi  par  M». 

Si  f/onc  deux  cnirhcs  du  réseau  se  coupent  sur  C  e/>  un  jioint.  elles  ont 
n  points  d'intersection  sur  C  qui  correspondent  à  un  même  point  M'. 

Un  certain  nombre  des  théorèmes  précédents  sont  évidemment  généraux; 
celui  d'après  lequel  toute  courbe  du  réseau  en  dehors  des  points  bases  et 
des  points  doubles  coupe  C  en  2n(cj  —  i)  points  qui  si^  répartissent  en 
2  fj  —  2  groupes  de  /;  points;  celui  d'aprè>  lequel  toule  courbe  du  réseau  qui 
touche  C  en  dehors  de>  points  bases  touche  G  en  n  |i(iints,  etc. 

Le  cas  le  plus  simple  est 

P'  est  de  la  troisième  sorte,  C  a  5  points  doubles;  C  n'en  a  pas.  Le  réseau  est 
formé  de  cubiques  passant  par  ces  points  doubles.  Si  nous  envisageons  toutes 
celles  de  ces  cubiques  fpii  passent  par  un  point  R  de  C,  elles  iront  toutes  passer 
par  un  autre  point  B,  de  C. 


X.  —  Étude  spéciale  du  cas  elliptique. 
Suj)posons  (jr  =  I ,  d'où 


0'  = 


•>/>- 


Le  cas  le  plus  simple  est  [1  =  2;  d'où  Q'=2,  N'=  '),  le  polygone  P'  est  un 
hexagone.  Nous  pouvons  suppos(!r  d'abord  que  les  côtés  opposés  sont  conju- 
gués, de  telli'  faeim  que  les  côtés  -/(i)  et  "/(4);  "/(s)  et  "/(5)  :  "/(S)  et  "/(6)  soient 
conjugués.  Les  sommets  se  répartissent  alors  en  deux  cycles  auxquels  corres- 


SUR    LA    RÉDUCTION    DICS    INTKCRALES   AllÉLlENNES    HT    LES    FONCTIONS    FUCHSIENNES.        4l3 

pondent  les  deux  suhslilulions 

pour  employer  la  notation  du  paragraphe  V  . 

Mais  on  pourrait  faire  d'aulres  hypothèses  sur  la  loi  de  conjugaison  des  côtés; 
ces  hypothèses  se  ramènent  à  deux  que  j'écris   : 

(2)  i?.,     3ï,     4(i. 

(3)  i3,     •.<■.,     .',i^. 

Voici  la  signification  di'  cette  notation;  quand  j'écris  13  par  exemple,  je  veux 
dire  que  les  côtés  y{i)  et  7(2)  sont  conjugués;  de  sorte  que  r!i\  [)()lhèse  des 
côtés  opposés  conjugués  s'écrit 

(4)  14.     23.     36. 

Dans  l'hypothèse  {2)  les  substitutions  i  relatives  aux  deux  cycles  s'écrivent 

2  =  871,      i:'=  8,8387!  s^i  S; 

et  dans  l'hvpolhèse  (3) 

2  =  81  S.,         1.'=  S,  .S7I  S7'  87'. 

.Seulement  il  est  clair  que  ces  deux  dernières  hypothèses  ne  sont  pas  distinctes 
de  la  précédente;  si,  en  effet,  les  côtés  de  l'hexagone  P'  étaient  conjugués 
d'après  l'une  des  deux  lois  (2)  ou  ('^),  on  mènerait  l'une  des  diagonales  de  cet 
hexagone  qui  en  part  igerait  la  surl'ace  on  deux  parties  P,  et  P[,  ;  soient  C  un  des 
côtés  de  P'  appartenant  à  P,  et  (','  s(m  conjugué  que  je  supposerai  aj)partenir 
à  P..;  soient  S  la  substituiion  du  groupe  fuehsien  qui  change  C  en  G',  et  P.,  le 
transformé  de  P',  par  cette  substitution. 

Nous  pouvons  rem[ilacer  le  polygone  P'  =  P ,  +  P.j  par  le  polygone  P'„  +  P',  ; 
ce  nouveau  polygone  engendrera  le  même  groupe  fuchsijen,  et  nous  pourrons 
nous  arranger  pour  que  dans  ce  nouveau  polygone  les  côtés  opposés  soient 
conjugués. 

Revenons  aux  équations  (1);  les  deux  substitutions  —  et  i'  doivent  se  réduire 
à  des  permutations  entre  deux  lettres,  puisque  le  polygone  P'est  de  la  première 
sorte  pour  employer  la  terminologie  du  paragraphe  précédent.  Regardons  ces 
deux  substitutions  comme  données  et  proposons-nous  de  déterminer  les  substi- 
tutions S,,  S._,  et  S;,.  On  trouvera  successivement 


c    v s    SI  s„  S-I  —  v— 1  c- 


S871  =  S,  sj'  S,  S71  =  S,  Sô'  83  Sô'  8, 87'  =  .S,  S51  s'-i  87'  s.,  s 

i;87i  =  (S.,87i)-'(X'-iS7')(S.,S7'). 


4lG       SLR    LA    RÉDICTION    DKS    INTliGRALliS   ABÉLIENNES    KT    LES   FONCTIONS    l'I  CHSIENNES. 

La  signilicalion  de  celte  identité  est  que  les  deux  subslitulions  iSy'  et  2'~'  S,  ' 
sont  semblables  et  que  la  première  est  la  /rans formée  de  la  deuxième  par  la 
substitution  Sa  S7' . 

Nous  devons  donc  clierciier  à  déterminrr  S^'  de  telle  façon  que  les  deux 
substilulions  — S^'  et  i'^'S^'  (on  ce  ([iii  revient  au  nirme  dans  re  cas  |)arlicu- 
lier  i'Sy'.  puisque'  S'  M'  réduisaiil  a  une  peiinnliilion  cnlre  deux  lettro,  on  a 
2'=i'~')  soient  semblables. 

Dans  ce  cas  Sy'i  et  Sj'i'  sont  èi;aleuient  stinblaiiles,  puisqu'il  est  clair 
qneiS;'  et  S;' i  =  S,  '  (  iS;' )S,  sont  semblables. 

Voyons  comment  on  peut  recunnaitre  que  di'u\  peruuilations  enlic  />  Icltro 

soni   semblables.  Supposons  (jue  la  subslilutiou  S  se  réduise  à  x  |ii'i'iiiulalions 

circulain'S  entre 

/)!■     p-i,      Px  lellres. 

de  sorte  que  />i +/'j  +  .  .  . +/'ï= /(.    Nous  dirons   alors  <[ui'    S    iM'parlit    les 
n  lettres  en  a  cycles  comprenant  respcclivenienl  /i,.  ji-,^  .  .  .,  p,  lettres. 

La  condition  nécessaire  et  suffisante  pour  que  deux  substitutions  soient  sem- 
blables est  alors  que  les  nombres  a,  /<,,  p^,  .  .  .,  p^  soient  les  mêmes  ])our  les 
deux  substitutions  et,  quand  cette  condiiion  sera  remplie,  il  sera  facile  de  trouvt'r 
la  transformation  qui  transforme  l'une  de  ces  substitutions  dans  l'autre. 
•  Cela  posé,  imaginons  que  S  permute  deux  lettres  a  et  b  et  que  S7'  admette 
oc  cycles  de/;,,  /ji,  ■  .  ■ .  p^  lettres.  Alors  de  deux  choses  l'une  : 

1"  Ou  bien  a  et  i  appartiennent  à  un  même  cycle  de  Sy'-  Dans  ce  cas  S7'  1 
aura  les  mêmes  cycles  que  Sy'  ;  seulement  le  cycle  auquel  ap|)artenaient  a  et  b 
se  sera  décomposé  en  deux,  le  premier  commençant  par  a  et  le  second  par  h. 
Si  donc  le  e\cle  de  S,'  avait  p.  lettres  et  ipie  les  deux  lettres  a  et  b  s'y  ren- 
contrent à  un  intervalle  de  q  lettres,  les  dcLix  cycles  nouveaux  auront  respecti- 
vement p,  —  7  et  q  lettres. 

2°  Ou  bien  a  et  b  appartiennent  à  deux  cycles  diflérent^;  de  Sj'  ayant  res- 
pectivement /;,  et /:)._,  lettres;  dans  ce  cas  dans  S7'  i,  ces  deux  cycles  se  fondront 
en  un  seul  qui  aura  /),  -\- p-,  lettres. 

D'où  la  règle  suivante  |)our  former  S  |^'  ;  supposons  que  i.  permute  les  lettres  f/ 
et  b  et  que  1'  permute  les  lettres  c  et  d\  alors  S,  '  de\ra  satislaiie  à  l'une  des 
conditions  suivantes  : 

l"   (  )u    bien  les  quatre  lettres  a,  b,  r,   d  appartiendront   à    nn   même   cycle 


SUR    LA    RÉDUCTION    DES    INTÉGIIALES   AUÉLIENNES    ET    LES    FONCTIONS    FUCllSIENNES.        4'7 

de  Sj'  et  y  occuperonl les  rangs 

H,„     K,„     ]{,,     H,,, 
de  telle  façon  que 

c'est-à-dire  que  les  deux  distances  ab  et  ccl  soient  les  mêmes. 

2"  Ou  bien  que  ces  deux  couples  de  lettres  ab  et  cd  soient  dans  deux  cycles 
différents,  que  ces  deux  cycles  aient  le  même  nombre  de  lettres,  et  que  les  dis- 
tances ab  et  cd  soient  les  mêmes. 

3"  Ou  bien  que  les  quatre  lettres  a,  6,  c,  d  appartiennent  à  quatre  cycles  Ca, 
Ci,  C,.,  Crf  ayant  respectivement  N^,  iNj,  Ne,  N,;  lettres  et  de  telle  façon  que 

C«  5  Ci,        C,  >  Cj, 

(ouN„==Nrf,  Ni=N,). 

On  voit  de  combien  de  manières  on  peut  déterminer  S,  cl  ce  qu'il  y  reste 
d'arbitraires. 

Une  fois  S,  déterminée,  nous  connaîtrons  les  deux  substitutions  semblables 
iSy',  i'Sy'  et  il  nous  sera  facile  de  déterminer  la  substitution  S2S7'  qui  les 
transforme  l'une  dans  l'autre.  Nous  aurons  donc  So  et  nous  en  déduirons 
immédiatement  S3. 

Le  problème  comporte  donc  en  général  un  grand  nombre  de  solutions. 
Lorsqu'on  en  connaîtra  une,  voyons  comment  nous  pourrons  consti'uire  le 
polygone  P.  Parlons  de  l'iiexagone  P'.  Le  polygone  P  sera  formé  d(^  n  hexa- 
gones P'(i),  P'(2),  ...,  i''(«),  congruents  à  P'.  Représentons  symbolique- 
ment ces  II  hexagones  par  n  points  A,,  A2,  .  .  .,  A„.  Supposons  que  la  substi- 
tution S,  change  A^  en  Ap,  nous  joindrons  les  deux  points  A^  et  Ap  par  un 
trait  continu;  ces  traits  continus  seront  ce  que  j'appellerai  les  lignes  L,.  Nous 
définirons  de  même  les  lignes  Lo  et  les  lignes  L3,  à  l'aide  des  substitutions  S-.> 
et  S3.  Une  condition  à  remplir,  c'est  qu'en  suivant  les  lignes  L,,  Lo  et  Lj,  on 
puisse  passer  d'un  quelconque  des  points  A  à  un  autre,  c'est-à-dire  que  le 
groupe  dérivé  de  S|,  So,  Sj,  que  j'appellerai  le  groupe  (S, ,  Si,  S3),  soil  tran- 
sitif. 

Si  cette  condition  est  remplie,  on  pourra  en  général  aller  d'un  des  points  A 
à  un  autre  par  plusieurs  chemins  différents.  Pratiquons  alors  des  coupures  dans 
quelques-unes  des  lignes  L,,  L^,  L3  jusquà  ce  quon  ne  puisse  plus  aller  d'un 
point  A  à  un  autre  que  d'une  seule  manière  sans  revenir  sur  ses  pas.  Nous  dis- 
poserons alors  les  hexagones  P'(x)  de  la  façon  suivante  :  supposons  que  A^ 
H.  P.  —  III.  53 


4l8        SIR    LA    HÉDIT.TION   DES    INTÉGRALES    ABKLIEN.NES    ET    LES    FONCTIONS    FIXHSIENNES. 

et  A^  soient  reliés  par  une  ligne  L,  non  affectée  de  coupure;  alors  les  deux 
hexagones  P'(«)  etP'(P)  seront  conligus  de  tellf.i  façon  que  le  (î  +  S)'*"""  côté 
de  P'(a)  coïncide  avec  le  f'*"'°  côté  de  P'((3).  Si  la  ligne  L,  est  affectée  d'une 
coupure,  ces  deux  hexagones  n^  seront  plus  contigus,  mais  le  {i  +  ^y>^""-  côté 
de  P'(3f)  et  le  /'""""côté  de  P  (P)  seront  deux  côtés  conjugués  du  périmètre  de  P. 
Il  est  possible  de  choisir  S|  de  pluùeurs  manières,  de  façon  à  satisfaire  aux 
équations  (i)  et  de  telle  sorte  que  le  groupe  (S,.  Sj,  Sj)  soit  transitif.  Mais  il 
est  aisé  de  comprendre  que  toutes  ces  manières  ne  sont  pas  essentiellement 
distinctes.  iNous  supposons  en  effet /)=  2  et  nous  nous  donnons  l'entier  n  de 
telle  façon  que  le  tableau  des  périodes  réduites  s'écrive 


n  11  T. b. 

n 

11  dépend  donc  de  deux  constantes  a  et  b  qui  sont  :irl)itraires.  Ces  deux  cons- 
tantes définissent  la  courjje  C  qui  varie  d'une  manière  continue,  quand  les 
constantes  varient  elles-mêmes  d'une  manière  continue.  Les  courbes  C  réduc- 
tibles forment  donc  une  seule  série  analytii/uc. 

Si  nous  nous  donnons  les  substitutions  S,,  S2,  S3  et  le  polygone  P',  nous 
pourrons  construire  le  polygone  P.  Ce  dernier  polygone  et  par  conséquent  la 
courbe  G  \  arient  alors  d  une  façon  continue  quand  les  éléments  de  P'  varient 
d'une  façon  continue.  Les  courbes  C  ainsi  obtenues  forment  donc  une  série 
analytique. 

Partons  maintenant  d'autres  sul)stilulions  S,,  S.,,  S,  :  nous  obtiendrons 
encore  une  séiie  analytique  de  courbes  C;  mais  celte  série  sera  identique  à  la 
l)remière  puisqu'il  n'y  en  a  qu'une. 

On  doit  donc  pouvoir  |)asser  des  substitutions  S,,  Sj,  S3  aux  substitutions 
S|,  S„,  S.  en  transformant  l'hexagone  P' comme  nous  l'avons  expliqué  au  début 
de  ce  paragraphe;  c'est-à-dire  en  le  coupant  par  une  diagonale  qui  le  divise  en 
deux  polygones  P',  et  P!,  et  remplaçant  P'=  P',  +  P„  par  P.,  -f-  P.,,  P,  étant  l'un 
des  transformés  de  P,.  H  s'agit  de  voir  ce  (jue  deviennent  dans  ces  conditions 
les  substitutions  S|,  S2,  S3,  mais  pour  cela  je  préfère  traiter  le  problème  d'une 
façon  un  peu  plus  générale.  Su[)pos()ns  que  P'  soit  un  polygone  de  2N'  côtés, 
N'  étant  quelconque;  supposons  que  ^(s!)  et  yi^)  soient  conjugués,  et  soit  S« 
la  substitution  correspondante.  Soient  "/(a),  '/{h)  deux  côtés  conjugués  appar- 
tenant l'un  à  l'|,  l'autre  à  P.,,  et  soit  S„  la  substitution  correspondante.  Suppo- 


StR    LA   niiDUCTlON    DES    INTÉGRALES   ABÉLIENNES   ET    LES    FONCTIONS    FUCIISIENNES.        llQ 

sons  que  P^  soil  le  transformé  de  P,  pur  la  transformation  T„  du  groupe  fuch- 
sien  qui  change  "/(")  en  y{l>)- 

Soient  S^,  les  diverses  substitutions  relatives  au  nouveau  polygone;  SJ^  se 
rapportera  à  /(a),  si  ce  côté  appartient  à  P.,  et  par  conséquent  fait  partie  du 
périmètre  de  P., +  P'.,  ;  S»  se  rapportera  au  transformé  de  y{<x)  par  T„,  si  y  (a) 
appartient  à  P',  et  que  son  transformé  appartenant  à  P,  fasse  partie  du  péri- 
mètre de  P„  +  P',.  Dans  ces  conditions,  ni  y(a),  ni  son  transformé  y{b),  ne 
font  partie  du  périmètre  de  P!,  -f-  P.,  ;  nous  aurons  en  revanche  dans  le  nouveau 
|)oljgone  deux  nouveaux  côtés  qui  seront  la  diagonale  menée  dans  1",  et  sa 
transformée  par  T„.  Ce  sera,  par  définition,  à  cette  paire  de  côtés  (|ue  se  r-aj)- 
porlera  la  substitution  Sj,. 

Cela  posé,  on  aura 

S'„=S,„ 

et  quand  aux  autres  siil)stitutions  Sjj,  on  aura 

Sa  =  Sa  si  71, 3t)  et  7(,3j  apparliennenl  tous  deux  à  Pj, 

S'j,  =  S„  S^S;^'  si  y(<x)  el  "(Ji)  appartiennent  tous  deux  à  Pi, 

S'jj=  SotS;^'  si  ^((01)  apparlienl  à  V,  et  '({[j)  à  P.,, 

S^=  S,(  Sa  si  y{oi.)  appaiiient  à  \'.  et  7([j)  à  Pi. 


(5) 


Si  nous  supposons  en  particulier  que  P'  soit  un  hexagone  à  côtés'  opposés 
conjugués,  que  la  diagonale  joigne  deux  sommets  opposés  et  que  les  côtés 
y(a),  y(0)  soient  adjacents  à  celte  diagonale,  on  aura 

(5  bis)  S'i  =  S,,         S'.  =  Si  s.,,         S'.,  =  S,  S;,. 

Nous  devons  donc  prévoir  que  si  les  équations  (i)  admettent  deux  solutions 
et  que  pour  ces  deux  solutions  le  groupe  (S,,  S2,  Sj)  soil  transitif,  on  peut 
passer  de  l'une  de  ces  solutions  à  l'autre  par  une  série  de  transformations  de  la 
forme  (5  bis)  ou  (5).  Il  serait  intéressant  de  retrouver  ce  résultat  par  une  véri- 
fication directe. 

Supposons  maintenant  p  =  ^;  le  polygone  P'  sera    un  décagone.   Soit   par 

exemple 

v.i.    38,    41,1,    ;),io,    ^\■y 

la  loi  de  conjugaison  des  côtés.  On  aura  pour  les  substitutions  2 

^6)  S.=  S„         Z,=  Si',         1,       -;-,'  >.,>,', 

Des  équations  (6)  on  déduit 

iS   ii-i  O.,        .^  ;    .^    ,       .  — 3    .«1  _    ^3   ;>.,        35. 


420        SUR    LA    RÉDLCTION    DES   INTÉGRALES   ABÉLIENNES    ET    LES    FONCTIONS    FfCHSlENNES. 

Ces  équations  sont  de  même  forme  que  les  équations  (  i  ),  on  en  déduirait 
donc  que 

sont  deux  substitutions  semblables.  11  serait  possible  d'en  déduire  Sj  et  ensuite 
les  autres  substitutions.  Mais  je  ne  ferai  pas  le  calcul  jusqu'au  bout. 

Ici  encore,  et  pour  la  même  raison,  les  courbes  C  réductibles  ne  forment 
qu'une  seule  série  analytique  et  par  conséquent  si  les  équations  ((3)  admettent 
deux  solutions  (conduisant  à  un  groupe  transitif),  on  peut  passer  d'une  solu- 
tion à  l'autre  par  une  série  de  transformations  de  la  forme  (5). 

Soit  enfin />  =  \;  notre  polygone  P'  aura  i4  cotés.  Nous  ne  pouvons  plus 

démontrer  de  la  même  manière  que   les   courbes^  C  réductibles   ne   forment 

qu'une  seule  série  analytique.  Si,  en  effet,  nous  formons  le  tableau  des  périodes 

réductibles 

■jLir.o         G         o         n        — -     o     o 

n 


o         o       ■>  (  n       o  o  b       de 

o         o         o        a/-        o  r       e     f 

les  sept  constantes  A,  i-/,  b,  c,  d,  e,  f  ne  sont  plus  arbitraires.  Il  faut  leur 
imposer  une  relation,  si  nous  voulons  que  les  fonctions  abéliennes  engendrées 
soient  spéciales  et  que  la  courbe  C  existe.  Cette  relation  représente  une  surface 
de  res|)ace  à  sept  dimensions,  si  nous  regardons  nos  sept  constantes  comme  les 
coordonnées  d'un  point  dans  cet  espace;  et  nous  ne  snvons  ]>us  si  celle  sui  face 
n'est  pas  (/èconipiisahle. 

Il  serait  d'autant  plus  intéressant  de  vérifier  si,  lorsque  les  équations  ana- 
logues à  (i)  et  à  (6)  admettent  deux  solutions  (conduisant  toutes  deux  à  un 
groupe  transitif),  on  peut  toujours  passer  d'une  de  ces  solutions  à  l'autre  par 
une  série  de  transformations  de  la  formé  (5). 

XI.  —  Cas  de  dégénérescence. 

Comme  nous  savons  que,  tout  au  moins  si  p  =  2  ou  .'),  les  courbes  C  ne 
forment  qu'une  série  analytique,  nous  devons  prévoir  que  les  polygones  P'  de 
la  deuxième  sorte  ne  seront  que  des  dégénérescences  de  ceux  de  la  première 
sorte,  i'our  nous  en  rendre  compte,  voyons  ce  qui  arrive  lorsqu'un  polygone  P 
dégénère  de  telle  sorte  que  deux  de  ses  côtés  conjugués  se  réduisent  à  zéro. 


SUR    LA    RÉDUCTION    DES    INTÉGRALES   AHÉLIENNES    ET    LES    FONCTIONS    FUCHSIENNES.        4*1 

Soient  ■/(«)  et  "/(p)  les  deux  côtés  conjugués  qui  se  réduisent  à  zéro; 
soient  ff(a),  u{y.  —  i),  ^dS),  (7(j3  —  i)  leurs  sommets;  de  telle  sorte  que  o'(a) 
et  (t(j3  —  i)  d'une  pari,  ^(a  —  i)et!7(|3)  d'autre  part,  appartiennent  à  un  même 
cycle.  Deux  cas  sont  à  distinguer  suivant  que  les  quatre  sommets  appartiennent 
ou  non  à  un  même  cycle.  Si  ces  quatre  sommets  n'appartiennent  pas  à  un  même 
cycle,  le  genre  q  du  polygone  P'  ne  change  pas  par  suite  de  la  dégénérescence; 
dans  le  cas  contraire,  ce  genre  diminue  d'une  unité. 

Plaçons-nous  dans  le  premiei  cas,  qui  est  le  plus  intéressant;  avec  la  dégéné- 
rescence les  sommets  qui  nous  intéressent  font  partie  de  deux  cycles  différents  R 
et  K';  le  premier  de  ces  cycles  commencerait  par  exemple  par  le  sommet  ff(p) 
et  se  terminerait  par  le  sommet  <j{a  —  i),  d'où  l'on  reviendrait  au  sommet  ct(j3). 
La  substitution  i  correspondante  s'écrirait 

Les  substitutions  S).,  etc.  correspondante  divers  côtés  de  P' et  la  dernière  S,. 
au  côté  y(a  ).  Le  cycle  K' commencerait  par  o-((3  —  i)  suivi  dea(a)  et  des  autres 
sommets  du  cycle;  à  ce  cycle  correspondrait  la  substitution 

s'=  Sa  S.,... Se. 

la  première  des  substitutions  S  du  second  membre  étant  5^=  Sa'  et  correspon- 
dant au  coté  y(p  ). 

Après  la  dégénérescence,  les  deux  cycles  se  confondent  en  un  seul  où  l'on 
rencontre  successivement  c-(  (5  —  i  )  =  ct(  p  ),  puis  les  divers  sommets  du  cvcle  K, 
et  enfin 

z{y.  —  \)  =  ^{^), 

puis  les  sommets  consécutifs  du  cycle  K'.  La  substitution  correspondante  est 

-1=  SxS^..  .SctSv.  ..Srj=  S>,  S,;...  .ScjSaSpS.,. .  .So=  22'. 

Je  dis  que  le  genre  p  ne  pourra  pas  augmenter  par  la  dégénérescence.  Nous 
avons  en  effet,  comme  au  paragraphe  \  lil, 

i;((  —  i)  /.,=  ?,(/)  — ■\^  —  ■?,n{i'i^\'). 

Il  s'agit  donc  de  montrer  que  —  (('  —  i)X,  ne  peut  pas  augmenter  [lar  la  dégé- 
nérescence, c'est-à-dire  que  cette  somme  i(/ —  i)>.,,  étendue  aux  divers  cycles 
de  lettres  de  2,,  ne  peut  être  plus  grande  que  la  même  somme  étendue  aux 
cycles  de  lettres  de  —  et  de  — '.  A  chacune  de  nos  n  lettres  faisons  correspondre 
un  symbole  de  [3,;  égalons  ceux  de  ces  symboles  qui  correspondent  à  un  même 


422        SUR    LA    RÉDUCTION    DES   INTÉGRALES   ABÉLIEKNES    ET    LES    FON'CTIONS   FUCHSIENNES. 

cycle  de  lettres  de  la  substitution  1  par  exemple;  soit  h  le  nombre  des  équa- 
tions symboliques  distinctes  ainsi  obtenues;  ce  nombre  li  ne  sera  autre  chose 
que  la  somme  i(i  —  tp-i  étendue  aux  divers  cycles  de  lettres  de  1;  puisque  si 
l'un  de  ces  cycles  est  formé  de  /  lettre*,  cela  nous  fera  (  /  —  i)  équations  et,  s'il 
y  a  li  cycles  de  i  lettres,  cela  fera  en  tout  i(«  —  i)À,  équations.  Soient  /('  et  /(, 
les  nombres  analogues  relatifs  à  1'  et  à  i,;  je  me  propose  de  montrer  que 

Les  équations  symboliques  relatives  à  1,  sont  des  conséquences  de  celles  qui 
sont  relatives  à  -  et  à  i';  si  en  effet  1  change  «  en  b,  et  que  1'  change  b  en  c, 
1,  changera  a  enc;  cela  nous  donnera  l'équalion  symbolique  [3a  =  ;3(.  engendrée 
par  2|,  laquelle  sera  une  conséquence  de  l'équation  ^a^=  Pb  engendrée  par  i, 
et  de  3i=:  pc  engendrée  par  i'.  Cela  me  permet  d'écrire  l'inégalité  précédente; 
je  ne  mets  pas  simplement  le  signe  d'égalité,  pour  deux  raisons  :  i"  d'abord 
parce  que,  si  les  équations  dues  à  i,  sont  toutes  des  conséquences  de  celles  qui 
sont  dues  à  i  et  à  i',  il  ne  s'ensuit  pas  que  toutes  ces  conséquences  soient  elles- 
mêmes  des  équations  dues  à  i,  ;  a"  parce  qu'il  peut  se  faire  que  les  équations 
dues  à  2  ne  soient  pas  toutes  distinctes  des  équations  dues  à  1' . 

Le  cas  le  plus  simple,  eslcelui  où  i  se  réduit  à  une  permutation  entre  deux 
lettres  et  où  il  en  est  de  même  de  1' .  En  d'auires  termes  II  et  i'  contiendront 
chacune  un  cycle  de  deux  lettres,  tous  les  autres  cycles  n'ayant  qu'une  lettre. 
Alors  deux  cas  peuvent  se  présenter  :  i"  ces  deux  cycles  de  deux  lettres  ont  une 
lettre  commune;  :>"  ils  n'ont  pas  de  lettre  commune.  Dans  le  premier  cas  i, 
aura  un  cycle  de  trois  lettres,  et  dans  le  second  cas  deux  cycles  de  deux  lettres. 

Considérons  les  courbes  C  et  C  correspondant  au  cas  de  dégénérescence  et 
formons  le  polygone  P',  en  nous  astreignant,  comme  nous  l'avons  fait,  à  choisir 
ce  polygone  de  In  fnran  lit  /ilas  siiuplc  /inssibb' :  ce  sera  un  polygone  de  la 
deuxième  sorte,  et  l'on  aura 

Q'=  o.ryj  — i)  —  2/i  (y  —')  —  •• 

Deux  des  ocles  de  sommets  qui  existent  dans  le  cas  général  se  sernut  con- 
fondus en  un  seul.  Soient  :  P'  le  polygone  dans  le  cas  général;  P„  ce  que 
devient  ce  polygone  par  la  dégénérescence;  P,  le  polygone  le  /'lus  sii)i/>li'  qui 
peut  engendrer  les  courbes  C  et  C  dans  le  cas  de  la  dégénérescence.  P'  possé- 
dera deux  cycles  K  et  R'  correspondant  à  i  et  i';  sur  P„.  de  même  que  sur  P, , 
ces  deux  cycles  sont  confondus  en  un  seul  K,  qui  correspond  ai,.  La  somme 
des  angles  de  K  est  égale  à  r.  de  même  que  celle  des  angles  de  K';  quant  à  la 


SUR    LX   RlinUCTION   DES    INTÉGRAt.ES    ABÉLIENNES   ET    LES   FONCTIONS    FIIC.IISIENNES.        42-* 

somme  des  angles  de  R,,  elle  est  égale  à  zéro  sur  P„,  tandis  que  sui-  P, ,  elle  est 
égale  à  ^  si  i|  a  un  cycle  de  trois  lettres,  el  à  tt  si  i,  a  deux  cycles  de  deux 

lettres. 

Soit  par  exemple  q  ^=  \ ,  /*  =:  2  ;  le  polygone  P'  est  un  hexagone  à  cùlés 
opposés  conjugués,  la  somme  des  angles  est  au;  dans  les  cas  de  dégénérescence, 
ce  polygone  se  réduit  à  la  limite  à  un  quadrilatère  à  côtés  opposés  conjugués, 
et  dont  la  somme  des  angles  est  zéro.  Mais  le  quadrilatère  P,,  ainsi  obtenu  n'est 
|)as  le  plus  simple  qui  puisse  engendrer  les  courbes  C  et  C;  ce  quadrilatère  le 
plus  simple  P,  est  encore  à  côtés  opposés  conjugués,  mais  la  somme  des  angles 

est  -^  ou  TT. 

On  voit  ainsi  que  si  les  courbes  G  forment  une  série  analytique  continue,  il 
n'en  est  pas  de  même  des  polygones  P'  les  plus  simples  susceptibles  de  les 
engendrer.  Si  l'on  considère  une  série  continue  de  courbes  C,  et  la  série  des 
polygones  P'  les  plus  simples  correspondants,  cette  série  présentera  une  discon- 
tinuité au  moment  de  la  dégénérescence. 

XII.  —  Polygones  doublement  réductibles. 

Soient  q  =z  i .  p  ^  2;  nous  avons  une  courbe  C  de  genre  a  qui  est  multiple 
d'une  courbe  C  de  genre  i,  mais  si  la  courbe  C  admet  une  intégrale  abélienne 
réductible  aux  intégrales  elliptiques,  elle  en  admet  une  seconde,  c'est-à-dire 
qu'il  y  a  une  seconde  courbe  C"  de  genre  1  dont  C  est  multiple.  Existe-t-il  un 
système  de  fonctions  fuchsiennes  engendrant  à  la  fois  les  trois  courbes?  Soit  (i 
un  groupe  fuclisieu  de  genre  a,  et  engendrant  la  couibe  C,  c'est-à-dire  tel. 
qu'entre  deux  des  fonctions  fuchsiennes  attachées  à  ce  groupe,  il  y  ait  [iréci- 
sément  la  relation  algébrique  représentée  par  la  couibe  C.  Peul-ou  choisir  ce 
groupe  G,  de  telle  sorte  qu'il  soit  contenu  dans  un  autre  groupe  fuchsien  G'  de 
genre  i ,  et  engendrant  la  courbe  C',  et  qu'il  soit  en  même  temps  contenu  dans 
un  troisième  groupe  fuchsien  G"  de  genre  i  et  engendrant  la  courbe  G"?  Alors 
le  groupe  G  peut  être  regardé  comme  engendré  par  un  polygone  P  décompo- 
sable  en  /i  polygones  congruents  entre  eux  et  congruents  au  polygone  P'  qui 
engendre  la  courbe  G'.  En  même  temps  le  groupe  G  peut  être  regardé  comme 
engendré  par  un  polygone  P,  équivalent  à  P;  par  ce  mot  équivalent,  je  veux 
dire  que  P  el  [',  peuvent  être  décomposés  en  un  même  nombre  de  parties  et  de 
telle  façon  que  chacune  des  parties  de  Pi  ne  soit  autre  chose  que  la  transformée 
de  la  partie  correspondante  de  P  par  une  des  substitutions  de  G.  D'autre  part,  Pi 


424   SUR  L4  RÉDUCTION  DES  INTÉGRALES  ABKLIENXES  ET  LES  FONCTIONS  FUCHSIENNES. 

pourra  êlre  décomposé  en  «  polygones  congruents  entre  eux  et  congruents  au 
polygone  P   qui  engendre  la  courbe  C". 

Nous  allons  voir  bientôt  que  cela  n'est  pas  toujours  possible.  Reprenons  les 
trois  surfaces  de  Riemann  C,  C,  C  :  à  un  point  de  la  deuxième  correspondent 
n  points  de  la  première  et  de  même  à  un  point  de  la  troisième  correspondent 
/(  points  de  la  première.  Soient  :  M'  un  point  de  C;  IM|,  Mj,  .  .  . ,  M„  les  points 
correspondants  de  C.  Si  deux  de  ces  points  M,  se  confondent,  le  point  M'est  un 
point  de  ramification  de  C  et  Ton  définirait  de  même  ceux  de  C  .  Soient  A,, 
A'.,,  .  .  .,  A^,  ceux  de  C;  et  soient  B',',  B^,  .  .  .,  B'^,  ceux  de  C".  Aux  points  A',, 
A'.,,  .  .  . ,  A^  correspondront  l'un  des  cycles  de  sommels  de  P';  mais  ce  n'est  pas 
tout.  Considérons  B"  ;  à  ce  point  correspondront  sur  C,  n  points  B, , ,  B^,  .  .  . , 
B|„  dont  deux  au  moins  sont  confondus.  Soit  B,,  un  de  ces  n  points  qui  riese 
confond  avec  aucun  autre  (s'il  en  existe,  ce  qui  arrivera  en  général);  à  ce  point 
correspondra  sur  C  un  point  B',,  qui  devra  encore  correspondre  à  un  cycle  de 
sommets  de  P'.  A  ce  point  B',,  correspondront  sur  C,  /(points  parmi  lesquels  B,,; 
soitD,  un  autre  de  ces  points  auquel  correspondra  sur  iV  un  point  D'J  ;  à  D" 
correspondront  sur  G,  n  points  dontle  point  D|  ;  soilE,  un  autre  de  ces  points; 
soit  E'i  le  point  correspondant  de  C;  je  dis  qu'à  E',  correspondra  encore  un 
cycle  de  sommets  de  P' et  ainsi  de  suite;  on  poursuivrait  ainsi   indéliniuKînt. 

Voici  comment  on  verrait  par  exemple  que  B',,  correspond  à  un  cycle  de 
sommets  de  P'.  Soient  z  la  variable  qui  figure  dans  nos  fonctions  fuchsiennes; 
M,  M',  M"  les  points  correspondants  sur  C,  C,  C",  de  telle  sorte  que  les  coor- 
données de  ces  trois  points  soient  des  fonctions  fuchsiennes  de  ;.  Supposons 
que  ;  tourne  autour  d'un  certain  point  So,  en  même  temps  que  M,  M'  et  M" 
tournent  respectivement  autour  de  B,,,  B',,  et  B','.  Supposons  que  quand  z 
fait  a  tours,  M,  M'  et  M"  en  fassent  respectivement  [î,  y.  o.  Comme  B'J  corres- 
pond à  un  cycle  de  sommets  de  P',  on  devra  avoir  en  ce  |)oint 

(M" 

D'autre  part,  comme  B,,  ne  se  confond  avec  aucun  autre  |ioint  B|/,  et  qu'en  ce 
point,  |)ar  conséquent,  M  est  fonction  uniforme  de  M',  on  aui 

'dM<°- 

Comme  M'  est  fonction  unifornie  de  M,  on  aura 

dS\  ^ 


ira 


SUR    L\    RÉDUCTION    DES    INTÉGRALES    ABÉLIENNES    ET    LES    FONCTIONS    FUCIISIENNES.       4^5 

De  ces  relations 


(AVI 
rf.M' 


f/M"  ^ 


dM" 
dz 


on  déduira 


dM' 
'dJ 


ce  qui  veut  dire  que  s„  est  aussi  un  sommet,  du  polygone  P'. 

En  général  on  serait  conduit  à  attribuer  à  P'  une  infinité  de  cycles  de  som- 
mets, ce  qui  veut  dire  que  le  problème  que  nous  nous  étions  proposé  est  impos- 
sible. 

Cette  impossibilité  n'a  pas  lieu  dans  le  cas  de  /i  ^  2  ;  en  effet  nous  n'avons 


que  deux  points  B,,  et  B,2  qui  doivent  se  confondre,  et  il  n'existi;  pas  de 
point  B,,:  ne  se  confondant  avec  aucun  autre;  ce  que  nous  venons  de  dire  ne 
s'applique  donc  pas. 

H.  P.  —  III.  54 


426        SUR    LA    RÉDUCTION    DES    INTÉGRALES    ABÉLIENNES    ET    LES    FONCTIONS    FUCHSIENNES. 

Reporlons-nous  à  la  figure,  sur  laquelle  je  vais  d'abord  donner  quelques 
explications.  Les  proportions  et  les  courbures  n'y  sont  pas  observées,  jnènic 
nixissièrement.  On  ne  doit  s'attacher  qu'aux  positions  relatives  des  lignes  et 
des  points  au  point  de  vue  de  Y  A  nalysis  sitiis.  Toutes  les  lignes,  droites  ou 
courbes,  qui  y  sont  tracées  représentent  des  droites  nuit  euclidiennes,  c'est-à- 
dire  des  arcs  de  circonférences  orthogonales  au  cercle  fondamental.  (^)uand  je 
parlerai  de  ligne  droite,  d'égalité  ou  de  symétrie,  j'entendrai  toujours  ces  mots 
(III  sens  non  euclidien. 

Le  polygone  P  est  décomposé  en  deux  liexagones  P'  et  P,  ;  les  contours  de 
ces  deux  hexagones  sont  figurés  en  trait  plein,  leurs  sommets  sont  désignés  par 
la  lettre  A.  Le  polygone  P,,  équivalent  à  P,  est  décomposé  en  deux  hexa- 
gones P"  et  P,  ;  les   contours  sont  représentés  en   trait  mixte ,  leurs 

sommets  sont  désignés  par  la  lettre  ('.. 

Quand  un  hexagone  a  ses  côtés  opposés  égaux  et  que  la  somme  des  angles  de 
rang  pair  est  égale  à  la  somme  des  angles  de  rang  impair  (ce  qui  arrive  ici  où 
les  côtés  opposés  sont  conjugués  et  où  ces  deux  sommes  d'angles  sont  égales 
à  7;)  cet  liexagone  possède  un  centre  de  symétrie.  Ici  le  polygone  P',  formé  de> 
quadrilatères  1,  11',  4\  ■]',  5',  9',  et  le  polygone  P, ,  formé  des  quadrilatères  a, 
lo',  3'.  8',  6',  1:'.',  admettent  pour  centres  de  symétrie  deux  sommets  C  du  poly- 
gone I'";  le  polygone  P  formé  des  quadrilatères  1,  '.,  3,  4,  5,  'i,  a  pour  centre 
de  s^^métrie  un  sommet  A  commun  à  P',  et  à  P,  ;  le  polygone  P'[,  formé  des  qua- 
drilatères  -,   S,   9,    m,    II,    i>.,  possède  un  centre  de  s\métiie  (|ue  j'appelle 

encore  A. 

Les  points  B  et  L)  sont  les  milieux  des  cotés  de  P',  P, ,  P  ,  P,.  Noire  ligure 
se  trouve  décomposée  en  '>.■>.  quadrilatères  numérotés  de  1  à  1 -^  el  de  3'  à  i>-  . 
(>es  quadrilatères  présentent  les  symétries  suivantes  : 

y  ^uiii  s>  métriques  |)LU-  i"i|i|i(irl  à  C  1  (soiiiiiiel  1)  du  Liuadrilalère  11 

C> 
lii 
lii 
A  I 
Dj 
I  )  i 
A  7 
).  L)  I 

D?. 


I  , 

*  ; 

4. 

9  ; 

1 1  . 

J 

'i'. 

r.v  ; 

■''•  ; 

«'; 

ti', 

10' 

I  . 

10'; 

2, 

II'; 

3', 

9' 

«S 

V  : 

G'. 

7    i 

1?', 

4' 

1  , 

(■>  ; 

?, . 

>  ; 

4. 

■i 

(  . 

s  ; 

fJ: 

7  : 

'i. 

'.1 

1. 

Kl  ; 

■2  . 

1 1  ; 

1 . 

lo 

7- 

10  ; 

8, 

1 1  : 

M- 

X9. 

*    • 

4, 

12' 

SUR    LA    RÉDUCTION    DES    INTRCRALES   ABÉLIENNES   ET    LES    FONCTIONS    FUCHSIENNES.        4^7 

D'où  les  égalités  suivantes  : 

;    I  =  I  o'  =  I  o,  6  =  6'  =  7  =  7', 

(A)  4  =  12  =  4'=i?,'.         3  =  9  =  3'=  9', 

I  ■.,  =  II  =  II'.  5  =  8  =  5'=  8'. 

Ces  égalités  ont  lieu  de  telle  sorte  que  les  sommets  A,  B.  (1,  D  de  deux  qua- 
drilatères égaux  se  correspondent.  On  aura  d'autre  part 

1  =  6,         4  =  3,         ■'.  =  "., 

mais  de  telle  sorte  que  les  sommets  ABGD  d'un  des  quadrilatères  corresjjondent 
aux  sommets  ADCB  de  l'autre.  Il  en  résulte  que  dans  le  tableau  des  égalités  (A), 
les  sept  quadrilatères  de  la  première  ligne  sont  égaux  entre  eux,  de  même  que 
les  huit  de  la  deuxième  ou  les  sept  de  la  troisième. 

Les  quadrilatères  4  et  4',  5  et  5',  etc.  sont  transformés  l'un  de  l'autre  par  une 
substitution  du  groupe  G,  et  c'est  pour  cela  que  les  deux  polygones 

P  =  P',  -H  P',         i',  =  r";  -+-  P" 
sont  équivalents. 

11  est  clair  que  la  surface  du  cercle  fondamental  peut  être  décomposée  en 
quadrilatères  tous  égaux  à  l'un  des  trois  quadrilatères  i ,  2  ou  3,  de  telle  façon 
que  tout  sommet  de  l'un  des  quadrilatères  soit  un  centre  de  sjmétrie  de  la 
figure.  On  peut  les  assembler  6  à  6  de  façon  à  réaliser  la  décomposition  du 
cercle  fomlamental  en  polygones  congruents  à  i^';  on  peut  les  assembler  d'une 
seconde  manière  (i  à  6  de  façon  à  réaliser  la  décomposition  du  cercle  fonda- 
mental en  polygones  congruents  à  P". 

Considérons  la  courbe  C:  les  sommets  A  de  rang  pair  de  l'hexagone  1*'  cor- 
respondront à  un  poini  M,  de  cette  courbe,  les  sommets  A  de  rang  impair  à  un 
autre  point  M„  de  cette  coarl)e.  Soient  ii,  et  ii^  les  arguments  elliptiques  de  ces 
deux  poinis.  Le  point  C,  centre  de  symétrie  de  P',  correspondra  sur  C  à  un 

point  Ma  d'argument  elliptique —^-^ -^  tandis  que  les  arguments  elliptiques  des 

milieux  B  et  D  des  côtés  seront  encore  — à  une  demi-période  près.   L'ar- 
gument elliptique  de  tous  les  points  C  sera  le  iiirnie. 

Considérons  maintenant  les  arguments  elliptiques  sur  la  courbe  C";  nous 
trouverons  encore  que  ceux  de  tous  les  points  A  sont  les  mêmes;  que  ceux  des 
sommets  C  de  rang  pair  de  P"  sont  les  mêmes;  que  ceux  des  sommets  C  de  rang 
impair  sont  les  mêmes;  que  celui  d'un  point  A  est  moyenne  arithmétique  entre 
celui  d'un  sommet  C  de  rang  pair  et  celui  d'un  sommet  C  de  rang  impair. 


428        SUR    LA    nÉniCTION    DES    INTÉGRALES   ABELIENNES   ET    LES    FONCTIONS    FUCIISIENNES. 

Nous  remarquerons  que  l'hexagone  P'  est  quelconque,  de  telle  sorte  que  le 
résultat  est  général  et  nous  l'énoncerons  sous  la  forme  suivante  : 

Supposons  que  la  courbe  C  de  genre  i  soit  multiple  de  la  courbe  C  de 
genre  i,  de  telle  façon  qu'à  chaque  point  de  C  corresponde  un  point  de  C 
et  à  chaque  point  de  C,  deux  points  de  C  :  il  existera  une  autre  courbe  C" 
de  genre  i.  telle  quà  chaque  point  deC  corresponde  un  point  de  C"  et  à 
chaque  jioint  de  C"  deux  points  de  C. 

//  y  aura  sur  C  deux  jwints  M\  et  M,,  à  chacun  desquels  correspondront 
sur  C  deux  points  confondus  en  M,  pour  le  premier,  en  M-^pour  le  second; 
soient  M]  et  M",  les  points  de  C"  qui  correspondent  à  M,  et  Mj. 

Il  y  aura  de  même  sur  C"  deux  points  INj  et  N~  à  chacun  desquels  corres- 
pondront sur  C  deux  points  confondus  en  N,  pour  le  premier,  en  Nj  pour  le 
second;  soient  N'|  et  j\![  les  points  de  C  t/ui  correspondent  à  N,  et  N». 

Les  points  N',  et  N',  sont  identiques,  de  même  que  les  points  M'j  et  M",. 

Nous  poucons  supposer  que  G  et  C"  sont  deux  cubiques.  La  tangente  à  C- 
au  point  N',  =  N.,  et  la  droite  M\  M'.^  se  coupent  sur  C.  La  tangente  à  C"  au 
point  M'I  =  M!î  et  la  droite  N'^N'^  se  coupent  sur  C". 

Un  cas  [)articulier  intéressant  e>t  celui  où  l'hexagone  P'  est  régulier  et  où 
nos  trois  quadrilatères  sont  égaux.  Le  cercle  fondamental  se  trouve  alors  sub- 
divisé en  une  infinité  de  quadrilatères  égaux.  Ces  quadrilatères  engendreront 
alors  un  groupe  fuchsien  T,  qui  est  de  genre  zéro,  el  un  syslème  de  fonctions 
fuchsiennes  de  la  classe  de  celles  qui  sont  engendrées  par  la  série  hypergéomé- 
Irique.  Le  groupe  F  contient  comme  sous-groupes  G',  G"  et  G.  Considérons 
une  fonilion  fuchsienne  quelconque  engendrée  par  F;  ce  sera  une  fonction 
rationnelle  à  la  fois  des  coordonnées  du  point  M,  de  celles  du  point  M'  cl  de 
celles  du  point  M".  A  une  valeur  de  cette  fonction  correspondront  la  points  M 
sur  la  courbe  C,  6  points  M'  sur  la  courbe  C,  et  6  points  M"  sui  la  courbe  C". 


SUR    LA    REDUCTION 

DES 


INTÉGRALES  ARÉLIENNES 

ET 

.  LA  THEORIE  DES  FONCTIONS  FUCIISIENNES 


Seclis  Vortràge  iiber  ausgea'àhUe  Gegeimtànde  aus  der  reinen  Mathematik  und 
Malhematisrhen  Physik,  gehiiUen  zii  Giitlingen  vom  23-2S  Api'il  1909,  Leipzig 
und  Berlin,  1910  (  Vierler-Vortrag  ). 


Messieurs,  j'ai  l'inlenlion  de  vous  parler  aujourd'hui  de  la  réduction  des 
intégrales  abéliennes  en  tant  qu'elle  est  liée  à  la  tliéorie  des  fonctions  aulo- 
niorphes  et,  en  particulier,  des  fonctions  fuchsiennes. 

Un  système  de  fonctions  abéliennes  de  p  variables  et  2/1  périodes  est  dit 
réductible  c^ustad  il  se  laisse  rauieuer  à  un  système  de  q  variables  et  2/jr  périodes 
avec  q  <^p.  Il  est  tout  d'abord  ici  important  de  distinguer  deux  cas  : 

Dans  le  premier  cas^  le  système  S  de  fonctions  abéliennes  de  p  variables 
peut  être  engendré  par  une  courbe  algébrique  de  genre  p;  de  même,  le 
système  S'  à  ^  variables  a  pour  origine  un  domaine   algébrique  de  genre  q. 

On  sait  bien  que  ce  premier  cas  n'est  pas  le  cas  général,  car  la  courbe  C  ne 
dépend  que  de  ip  —  3  constantes  essentielles,  alors  que  les  fonctions  abé- 
liennes de/?  variables  renfei  ment  ^--^^- ^  paramètres.  C'est  ce  qui  nous  amène 

à  distinguer  le  deuxième  ras,  celui  où  l'un  au  moins  des  systèmes  S,  S' ne  pro- 
vient pas  d'un  domaine  algébrique. 

Dans  la  conférence  d'aujourd'hui,  je  me  restreindrai  exclusivement  au  pre- 
mier cas.  Mais  là  encore,  il  me  faut  distinguer  deux  cas.  Nous  basons  notre 
élude  sur  la  considération  des  deux  courbes  algébriques  C  et  C  ;  dans  le  cas  de 
la  réductibilité,  il  existe  entre  elles  une  correspondance  algébrique.  C'est  cette 
correspondance  qui  va  décider  de  la  nouvelle  distinction. 


43o  SIR    l,A    RÉDUCTION    DES    INTÉGRALES    ABÉLIENNES,    ETC. 

Dans  le  premier  cas,  en  vertu  de  la  correspondance,  à  chaque  point  M  de  C 
est  associé  un  point  M'  de  C  et  un  seul,  pendant  qu'à  tout  point  de  C  cor- 
respondent n  points  de  C.  Je  nomme  /i  le  nonihrr  caractéristique  de  la  corres- 
pondance et  dis  que  C  est  une  courbe  iiiiiltiple  de  C. 

Ce  premier  cas  n'est  pas  le  plus  général,  qui  est  en  fait  le  deuxième,  lia  cor- 
respondance n'a  plus  lieu  entre  deux  points  M  et  M,  mais  entre  deux  groupes 
de  points  Mi,  ...,  M,,  de  C  avec  les  coordonnées  ^,,  )•,,  ...,  x.,,  y\,  et 
M'i .  .  .  . ,  M.',  de  C  avec  les  coordonnées  x\ ,  y\ ,  .  .  . ,  .t\,  ,  y',, . 

A  chaque  groupe  de  G,  correspond  lui  et  un  seul  groupe  île  C  pendant 
(ju'iin  ersemcnt  î>  un  groupe  de  G'  sont  associés,  en  général,  plusieurs  groupes 
de  G.  Je  dis  alors  que  G  est  une  courbe  /iseuclo-multiple  de  C 

Dans  le  premier  cas,  .r'  et  j'  sont  des  fonctions  r,ilionnelles  de  .r  et  )',  alors 
que,  dans  le  deuxième,  on  peut  seulement  afiirmer  que  toute  fonction  symé- 
trique des  couples  {x\, yi,,  .  .  . ,  x'.,,y'.,)  est  une  fonction  rationnelle  de 
{x,.  }•(,  .  .  . ,  x~,,  )v).  11  e>t  facile  de  voir  que  chacjue  courbe  C  qui  est  multiple 
de  G'  est  aussi  courbe  pseudo-multiple  de  G'.  Mais,  inversement,  j'ai  pu  former 
plusieurs  exemples  montrant  que  toute  courbe  pseudo-mulliple  de  G'  n  est  pas 
multiple  de  G'. 

Je  ne  veux  pas  ici  insister  sur  ce  point,  d'autant  plus  que  les  considéralious 
qui  suivent  s'appliquent  expressément  au  premier  cas. 

Dans  le  eis  de  la  réductibilité  de  nos  intégrales,  il  est  possible  d'amener  le 
tableau  de  leurs  périodes  à  une  certaine /o/7«e  nnrmale.  Les  deux  exemples 
suivants  donneront  une  idée  de  cette  forme. 

i"  q^=i,p  =  '.i.  Le  tableau  des  périodes  peut  être  réduit  à  la  forme  sui- 
vante : 

■I I  z        o         (1  n o 

■.'./-  , 

o       •?.  f  z       1  »      — r       a       If 
y: 

t)  o        ■.»  îr.         o  b         c 

2°  (7  =  2,  /(  =  '\.   Les  j)ériodes  nr)rmalisées  sont  ici  : 

IIT.  ()  <>  <»  tt  If  O 

a 

.                        2»'- 
O  M-  o  O  6  C  r-  O 

a  [5 
2f-  ,  ,, 

()  ()       '*iT^       O         O       — r-       a  o 


SUR    LA    RÉnUCTION    IIES    INTÉGRALES    AHÉLIENNES,    ETC.  ffil 

Les  nombres   «   et   |3    représentent  dans  les  deux   tableaux  des  nombre»  en- 
tiers. 

Je  définis  maintenant  un  deuxième  nombre  caractéristique  z.  Il  désigne 
l'ordre  de  la  fonction  thêta  do  q  variables  en  laquelle,  dans  le  cas  de  la  réduc- 
libilité,  est  Iransfoniiée  une  fonction  ihêladu  premier  ordre  de  /)  variables. 

Dans  le  premier  exemple,  ou  a  /  =  a,  et  dans  le  d('uxième  /  =  x^.  Les  deux 
nombres  caractéristiques  n  cl  ■/.  sont  toujours  égaux.  J'ai  trouvé  deux 
démonstrations  de  celle  proposition  que  j'exposerai  maintenant  dans  leurs 
traits  essentiels. 

Première  démonstration.  —  Soient  M  et  M'  deux  intégrales  abélionnes  de 
première,  seconde  ou  troisième  espèce  de  la  courbe  C.  J'imagine  la  surface  de 
Riemann  correspondante  découpée  d'une  manière  canonique  par  2p  rétro- 
sections  issues  d'un  point  et  ne  partageant  pas  la  surface.  Les  intégrales  M 
et  M'  possèdent  alors  les  périodes  suivantes  : 

(i^i'j  ri,  i'2>    ••■'   r^-p- 

il  me  faut  maintenant  définir  une  forme  bilinéaire  caractéristique  fonda- 
mentale, .le  pose  donc 

F(.r,y)=   Aln'.M'.  i 

où  linlégrale  est  prise  le  long  du  contour  total  de  la  coupure.  Si  les  ,c  et  les  y 
sont  des  périodes  normales,  F(x,y)  prendra  la  forme 

/' 

y=  I 

Si  je  suppose  que  M  soit  l'une  des  intégrales  réductible,  ses  2/>  périodes 
pourront  s'exprimer  sous  forme  linéaire  à  coefficients  entiers  avec  seulement 
'iq  périodes  (0|,  .  .  .,  'j.iy.  J'ai  donc  alors 


■'■■'t  =  ^'«v./  <-"/  (y-  =  1.  ■'. ''p) 


où  les  my,j  sont  des  nombres  e'ntiers. 

Si    M  et  M'  sont  maintenant   des    intégrales  de    première   espèce,    on   sait 

(pi "on  a 

l-{.r,y)  =  o. 

En  remplaçant  dans  cette  équation  les  x  par  leur  expression  eu  co,  on  obtient 


432  SUR    LA    RÉDUCTION    DES   INTÉGRALES   ABÉLIENNES,    ETC. 

une  équation  bilinéairo  entre  les  y  et  les  w,  qui  peut  s'écrire  sous  la  forme 

2'/ 


Hjoij 


Soient  alors  «,,  .  .  . ,  iip,  p  intégrales  de  première  espèce  linéairement  indépen- 
pendantes  de  la  courbe  C;  nous  pouvons  poser 

U  =  iji,  (/ ,  -t-  [jt,  !/,  -f- . . .  -t-;ji/,  Up, 
ir=  10. 'i  »i  -(-  jji'„  ((j  ^. . .+  iJ-'piip- 

Les  coefficients,  encore  indéterminés,  fj.'  seront  choisis  de  façon  à  satisfaire 
aux  2q  équations  linéaires 

Hy  =  o         (j=i.> iq). 

Si  l'on  observe  que  ces  m/  équations  ne  sont  pas  linéairement  distinctes, 
mais  qu'il  existe  entre  elles  q  relations 

S  11/(0/  =  (),     , 

on  reconnaît  facilement  que  .M'  est  aussi  réductible  et  que,  de  même  que  M 
appartient  à  un  système  linéaire  de  q  intégrales  réductibles,  M'  est  aussi  l'élé- 
ment d'un  système  linéaire  de  {p  —  q)  intégrales  réductibles.  Mais  ceci  est 
seulement  dit  en  passant. 

Remarquons   maintenant  (jue  H/  est  une  fonction   linéaire  des  yy,,  de  telle 
sorte  fju'on  peut  écrire 

2/» 


où  les  h;j  sont  des  nombres  entiers.  Avec  le.s  /u,x  el  les  h,j,  on  peut  former 
deux  talileaux  ayant  chacun  2q  colonnes  et  2p  lignes  et  tirer  de  chacun  d'eux 
certains  déterminants  à  ''.q  lignes.  Je  désigne  par  D  l'un  de  ces  déterminants 
formés  avec  les  m  el  par  D'  le  déterminant  correspondant  formé  avec  les 
mêmes  lignes  de  h.  En  posant  J  =  — DD'  (où  le  signe  i  s'étend  à  tous  les 
déterminants  tels  que  D),  J  est,  au  sens  (jue  l'on  va  dire,  un  nombre  invariant. 
Il  ne  change  pas  si  l'on  remplace  un  quelconque  des  systèmes  de  périodes  x 
ou  w  par  un  système  équivalent. 

Deux  systèmes  de  périodes  sont  équivalents  quand  chacun  d'eux  s'exprime 
sous  forme  linéaire  à  coefficients  entiers  avec  les  éléments  de  l'autre.  On  peut 
alors  démontrer,  d'une  part,  que  .1  =  /-  et,  d'autre  pari,  que  .1  =--  n-. 

On  peut  donc  en  conclure  /.  =  n. 


Slll    I.A    RÉDUCTION    DES    INTÉGRALES   AliÉLlENNES,    ETC.  433 

C'est  la  piemièie  démonstraliou. 

Deuxième  déiiujiistialioti .  Elle   est  essenliellemeiit    |ilus    couiii;.    Elle 

repose  sur  la  comparaison  des  deux  formes  bilinéaires  F(,/'.  r)  et  $(w,  w  )  qui 
correspondent  à  C  et  à  C. 

Ou  a,  d'une  pari. 

!■  I  .r.  \  \  =  /."l'i  10.  w  I. 

et,  d'autre  part, 

d  OÙ  l'un  conclut  ti  ^=  /.. 

J'en  viens  maintenant  au  lien  de  la  théorie  de  la  réduction  a^ec  la  théorie 
des  fonctions  fuchsiennes. 

On  sait  que  chaque  courbe  algébrique  C  définit  un  système  de  t'unctions 
fuchsiennes.  Le  fait  que  C  est  une  courbe  multiple  de  C  peut  aussi  s'exprimer 
de  la  manière  suivante  :  il  est  toujours  possible,  de  diverses  façons,  d'associer 
à  C  un  groupe  à  cercle  limite  G'  (Grenzkreisgruppe)  et  à  C  un  tel  groupe  (  ■, 
de  telle  sorte  que  G  soit  un  sous-groupe  de  G'.  .Si  C  est,  en  particulier,  mul- 
tiple n  fois  de  C,  G  sera  un  sous-groupe  d'indice  n  de  G'. 

On  obtiendra,  par  suite,  un  domaine  fondamental  de  G  en  prenant  n  domaines 
fondamentaux  de  G',  convenablement  choisis,  dérivés  de  l'un  d'eux  par  des 
transformations  de  G'  et  contigus.  Le  polygone  P  de  G  paraît  donc  partagé  en 
n  polygones  P'(|3),  qui  sont  congruents  au  polygone  P'  de  G'  au  sens  de  la 
géométrie  non  euclidienne. 

Je  désigne  par  y(«)  les  côtés  du  polygone  P',  et  par  ^'{c-,  (3)  les  côtés  homo- 
logues du  polygone  P'(ij).  Ces  côtés  y(a,j3)  sont,  ou  à  l'intérieur,  ou  sur  la 
frontière  de  P. 

Admettons  que  le  côté  '/{v-')  se  déduise  de  y(^)  par  une  opératiun  du 
groupe  G'.  Si  y{y-,  p)  se  trouve  sur  la  frontière  de  P,  il  existera  un  autre  côté 
-/(«',  P')  de  celte  frontière  qui  sera  conjugué  de  y(a,  (5)  par  une  opération 
de  G.  Mais  si  -^(a,  3)  est  intérieur  à  P,  il  n'existe  pas  un  tel  céité  /(«',  |3')  diffé- 
rent de  -/(a,  |j),  car  y(a,  j3)  et  ^(st',  |3')  coïncident  et  forment  un  côté  commun 
à  P'((3)  et  à  P'(p').  Quoi  qu'il  en  soit,  dans  les  deux  cas  correspond  à  chaque 
côté  y{y-)  de  P'  une  permutation  des  n  nombres  1,2,  ...,«. 

Une  discussion  tout  à  fait  semblable  peut  se  faire  pour  les  sommets  de  P'. 

De  même,  que  les  côtés  s'associent  par  couples,  les  sommets  se  partagent  en 

cycles,  de  telle  sorte  que  tous  les  sommets  d'un  cycle  dérivent  de  l'un  d'eux 

par  des  opérations  de  G'.  A  chacun  de  ces  cycles,  on  peut  de  nouveau  associer 

II.  P.  -  ni. 


434  SUR    I.A    RÉDlflTrON    DES    INTÉGRALES    ABÉLIENNES.    ETC. 

une  peiinutilidii  déleiininée  des  noiiil)res  i,  2,  ...,  n  qui  peut,  d'ailleurs, 
s'olilenir  avec  les  permutations  associées  aux  côtés. 

.Supposons  que  P  possède  2N  côtés  et  Q  cycles  de  sommets;  soient  aN'  et  Q' 
les  nombres  correspondants  pour  P'. 

I^a  permutation  correspondant  à  un  cycle  de  sommets  do  P'  se  laisse  décom- 
poser en  permutations  circulaires.  Supposons  que  pour  l'ensemble  des  cycles 
de  P  ,  on  obtienne  ainsi  À,  permutations  circulaires  de  /  nombres.  On  aura  les 

relations  suivantes  : 

:>yD  =  \  —  (J -f-i. 

iq  =  N— Q'  +  I, 
Q -r- a/y  —  2  = /(  I,  Q' -+- 2  ç' —  2  ), 
«1  Q'  — Q  I  =  ■?.(p  —  i)  —  -in(q  —  i), 

Les  considérations  générales  que  nous  venons  de  développer  nous  per- 
mettent de  déduire  une  suite  de  propositions  belles  et  importantes  sur  la 
gèotnèlric  non  euclidienne  des  polygones  formés  d'arcs  de  cercle  et  sur  la 
géométrie  des  courbes  nlgèbriijues.  J'indiquerai  quelques  exemples  de  ces 
propositions  sans  m'attaclicr  à  les  démonlrrr  en  détail,  les  principes  des 
démonstrations  étani  cnutenus  dans  les  résultais  précédents  : 

(Il  p  =  i,         y  =  2,         n  —  2,         m  =  m'  =  4- 

Par  les  lettres  m  et  /»  ,  on  désigne  les  ordres  des  courbes  C  et  C.  La 
courbe  C  n'a  pas  de  poini  double,  C  a  un  point  double. 

Des  vingt-huit  tangentes  doubles  de  C,  il  y  en  a  six  (jui  passent  jiar  un 
point  extérieur  à  la  courbe. 

(II)  p  =  i,         5  =  2)         n  =  2.         w(  =  1.         m'  =  5. 

C  a  deux  points  doubles,  G'  un  seul.  .Si  l'on  égale  à  zéro  la  difFérenlielle  de 
l'intégrale  réductible  de  première  espèce,  on  obtient  un  faisceau  de  coniques, 
dont  les  quatre  points-base  sont  les  deux  points  doul)les  de  C  et  deux  autres 
j)oinls  de  cette  courbt\ 

Six  de  ces  coniques  louchent  C  deux  lois.  Celle  de  ces  coniques  qui  touche  C 
en  un  point  base  y  est  osculatrice  : 

(III  )  p  =  '■        1  —  ',        /i  =  2. 

La  courbe  C  est  u/ie  courbe  multiple  de  deux  courbes  difierentes  C  et  G". 
Il  existe  un  groupe  fuchsien  G  auipiel  on  peul  associer  un  premier  polygone  Pj 


SUR    LA   RÉDUCTION    DES    1^T1^UBAL^!,S   AUÉLIENNES,    ETC.  /135 

constitué  par  deux  [lolvgones  d'un  groupe  G',  correspondant  à  G'  et  aus^i  un 
second  polygone  Po  composé  de  deux  polygones  d'un  groupe  G"  corrcspondanL 
à  G'. 

La  figure  schémalique  ci-dessous  servira  à  la    compréhension  des  ra|>porls 
mutuels  de  ces  éléments. 


Les  deux  diuuaines  tVindauientaux  l',  et  l\,  .^oiU  icprésenlés  par  les  poly- 
gones avec  les  sommets  respectifs  A  et  G.  Ghaeuu  d'eux  se  décom]>ose  en  deux 
iiexagones  rpii  sont  les  domaines  Guulainentaux  de  (i'  et  de  G".  l'our  faire 
apparaître  plus  nettement  l'équivalence  de  Pi  et  P^.  on  a  lié  les  centres  de 
symétrie  de  ces  hexagones  au  milieu  des  côtés  de  telle  sorte  ([uo  tous  les  poly- 
gones soient  formés,  d'une  manière  visible,  de  quadrilatères. 

.le   passe  maintenant  aux  propositions  de  géométrie  des  courhes  algébjiijues 


436  SIR  i.X    nÉDlCTION  DES  INTÉGRALES  ABÉLIENNES,  ETC. 

que  cet  exemple  illustre.  Si  l'on  marque  sur  C  un  point  .M',  il  lui  correspond 
deux  points  M„  et  M4  sur  C.  A  chacun  de  ceux-ri  correspond  un  point  de  C, 
soit  M,,.  Ml,. 

On  peut  conclure  de  même,  qu'en  général,  à  chaque  point  de  C  corres- 
pondent deux  points  de  C. 

La  correspondance  ( C,  C)  a,  d'ailleurs,  deux  points  de  ramiticaliun  Al,,  M!,, 
à  chacun  desquels  ne  correspond  (ju'un  point  de  C  et  par  suite,  qu'un  point 
de  C";  soient  Mj,  M,i  ces  points. 

De  même,  la  correspondance  (C",  (1)  possède  deux  points  de  ramification N,, 
N.^  à  chacun  desquels  ne  correspond  qu'un  point  de  (-  ;  soient  N',,  IN,,  ces 
points. 

Nous  pouNous  alors  énoncer  la  ju'emière  proposition  en  disant  :  N,  et  N], 
d' une  part,  \\\  et  ^1",  d'aulre  part  coïncident. 

La  deuxième  proi)osition  suppose  que  (7  et  (',  '  sont  des  ('(Uirijes  de  Inusièrnc 
ordre. 

Menons  en  N',  (qui  est  aussi  N'.,)  la  tangente  à  C  cl  aussi  la  sécante 
M,  M.J.  Ces  deux  droites  se  coupent  sur  C . 

De  même,  si  l'on  mène  en  M,  (([ui  est  aussi  .M'^),  la  laugente  à  C"  et  si  l'on 
prend  son  point  d'intersection  avec  la  sécante  N'J  N'^,  on  obtient  un  point  de  C". 

Ces  quelques  exemples  font  reconnaître  suffisamment  combien  nombreux 
sont  les  cas  particuliers. 


SUK 

LES  RÉSIDUS  DES  INTÉGRALES  DOURLES 


Comptes  rciifliif  (k-  l'Académie  des  Sciences,  t.  I0'2.  p.  202-204  (iN  janvier  lïiSti). 


11- y  a  le  \Au>  ^laïul  inlérêl  à  tenliT  de  généraliser  les  ilicories  de  Caucli) 
sm-  k's  inlégrales  prises  enlrc  des  limites  imaginaires  et  les  résidus  des  fonc- 
lious  dune  variahle  :  c'est  Tohjet  des  considérations  snivanles. 

Soient 


:=    ,/■  M 


<leu\  variables  imaginaires  et 

F(5,  r,j  =  l'       ii) 

une   fonction  de   ces    varial>les.    Posons   eiiMiile.   pour   définir   le   contour    |iiii 
.uir/'ii'-i'\  d'intégration, 

.1- ^  ^,1  II.  !■  ).  \   =z  z.,(ii,  r).         ;  =  y:;I/',  I- 1.         /  —-  Z;i  II.  f), 

Il   et  P   étant  deux  j)araniètres  arbitraires  réels.   Soient    inainlenani    |\,  ^  ). 
(\,  /] diverses  t'onctions  de  x,  y,  ;;  et  /;  nous  supposerons 

[^.'>]--L''-\]-       [\.v]-o. 
Soit 

i){j\   y)        dx  ily        lie  d y 
'){ii,  c  i         du    dv         </{•  du 

le  déterminant  fonclionntd  de  ,r  et  )•  par  rapport  à  u  et  à  r.  Considérons  l'inté- 
grale doulde 

J  J    I      ^  '  àui,  c)        '-  '>{u,  (•)       '-  ^à{ii,  c) 

'-  ^i){ll,i-)         '-  'c)(lH-)         '-  ^<l(ll.i.-^\ 

Quand  on  permutera  u  et  r,  l'intégrale  changera  de  signe  :  je  dirai  alors  qu  on 
change  le    sens  de  l'intégration.    Considérons   trois   fonctions    entières   quel- 


438  SVn    LES    résidus    UES    INTÉGUALES    DOL'bLES. 

conques  de  x,  y,  5  et  /  et  envisageons-les  comme  les  coordonnées  d'un  point  M 
dans  l'espace.  Faisons  varier  ensuite  u  et  r  :  si,  quelles  que  soient  les  fonctions 
entières  considérées,  le  point  M  décrit  une  surface  fermée,  je  dirai  que  le 
contour  d'intégration  est  fermé. 

Les  conditions  d'intégraljilité,  c'est-à-dire  ie^  conditions  pour  (jue  l'inté- 
grale soit  nulle,  toutes  les  fois  que  le  contour  d'intégration  est  fermé,  sont  au 
nomlne  de  (lualre.  L'une  d'elle  est 

><'[\,V]       c/[V,Z]  _  cljl,  \|  _ 
,/z       "        <l.r  ,ly       ^  "' 

et  les  autres  s'en  déduisent  par  permutation  des  lettres  r,  y,  ^.  <:  X,  'i  ,  Z,  T. 
Xous  poserons  alors 

//,.■,=  ,,-.-,>//[  (p--Q,«^;  ..■■■-Q^^ 

-  (■•■•-'î''fel-(''--<3>^]''"''- 

Il  est  aisé  de  voir  (|ue  les  conditions  d'intégrabilité  sont  remplies. 

J'envisagerai  le  cas  où  la  fonction  !•'(;,  r/)  est  rationnelle  et  je  l'écrirai  sous 
la  forme 

9(^ -^i 


)■(:.  r,  ): 


.l'î,T,)0(t.T,)' 


en  décomposant  le  dénominateur  en  ses  facteurs. 

11  ne  faut  pas  que  la  fonction  K  devienne  infinie  eu  un  point  du  contour 
d  intégration.  En  ex|)rimant  que  i|;  ou  'J  s'annule  en  un  |)Oiut  de  ce  coulour,  on 
()i)tieal  (]uatre  équations  ali;él)ri(|ues  à  quatre  inconnues.  On  doit  s'arranger 
iiour  (pie  ces  quatre  é<piations  n  .lii'ul  aucune  solution  réelle. 

Je  ne  puis  exj)oser  ici  le  mode  de  re|)résentation,  grâce  auquel  on  peut 
s'afifrancliir  de  l'hypergéomélrie  et  reconnaître,  à  l'aide  de  la  Ciéométrie  ordi- 
naire, si  l'intégrale,  pri-e  le  long  d'un  contour  fermé,  est  réellement  nulle.  Je 
me  bornerai  à  indiquer  quelles  sont  les  différentes  périodes  de  1  intégrale 
double,  c'est-à-dire  les  valeuis  qu'on  obtient  en  prenant  l'intégrale  le  long  d'un 
contour  fermé.  Ces  pi'riodes  sont  de  trois  sortes  : 

1"  Le>  périodes  de  la  prcmiéie  soi-te  sont  égales  à  an /11,  Il  élanl  une 
période  di'  première  espèce  de  l'intégrale  ai)élienne 


J 


di, 


SIR    LES    lllisIDlS    DES    INTÉGRU.ES    UOl  BLES.  4jy 

relative  à  la  couibe  algébrique 

Il  en  est  de  même  pour  la  seconde  courbe  algébrique, 

:->,"   Les  périodes  de  la  seconde   sorte    se   liippoilcnl   aux  points  d  inlerscclion 
des  deux  couiIjos 

il?,  T,)=0,  0(ï.  "0  =  0. 

Elles  ont  |iiuir  valeur 

•    /  _..  r'  ;.  ^  ' 

;  Cl  r,  étant  les  coordonnées  du  point  dinterseclion. 

■V'   Les  périodes  de  la  troisième  soilc  se  lapporlenl.  par  exemple,  aux  points 
doubles  de  la  courbe 

IJl  ;.  Y,  I  =  n. 

Elles  ont  pour  valiiir 


''-'■' y  {jîurj  -T7F7?v 


i  et  r,  étant  les  coordonnées  du  point  double. 

Ainsi  se  Iriune  confirmé,  et  en  même  lemjjs  com|)lélé  et  précisé,  un  beau 
résultat  obtenu  dernièrement  par  ^L  Stieltjes  au  sujet  d'une  généralisation  des 
formules  de  Caïuhy  et  di'  Lagrange. 


SUR 

LKS  UÉSIDUS  DES  INTÉGKALES  DOUBLES 


Acta  niatliemalica,  t.  '.I.   |i.   .".ai-iiSo  (1887I 


C'est  à  Caucliy  que  lONienl  la  gloiri'  d'avoir  fontlé  la  ihéorie  tic-,  intégrales 
prises  entre  des  limites  iniaf^inaircs;  cette  théorie  a  [loui- ainsi  diie  doublé  la 
puissance  de  l'Analyse  mathématique  et  a  été  le  point  de  départ  de  tous  les  tra- 
vaux qui  ont  suivi,  dans  tous  les  pays  où  Ton  cultive  les  sciences  exactes,  et  en 
particulier  en  Allemagne  et  en  France. 

Il  semblait  qu'il  n'y  avait  plus  qu'un  pas  à  faire  pour  étendre  cette  théorie 
aux  Intégrales  doubles  et  qu'on  pouvait  se  promettre  de  cette  extension  d'aussi 
belles  conquêtes  ipie  de  la  considération  des  intégrales  simples.  Il  v  avait  là  de 
quoi  tentei'  l'ambition  des  géomètres  et  cependant,  au  bout  de  quarante  ans, 
nous  sommes  à  peine  plus  avancés  qu'au  premier  jour. 

La  plupart  des  tenlali\es  qui  ont  été  faites  n'ont  l'té  que  de--  échecs  ou  des 
demi-succès. 

On  croit  pouitanl  tjue  .lacobi  possédait  à  ce  sujet  plusieurs  résultats  impor- 
tants; mais  ces  résultats  n'ont  pas  été  publiés  et  ont  été  perdus  pour  la  Science. 

M.  Maximilien  Marie  a  entrepris  de  résoudre  la  question  et  écrit,  peu  de 
temps  après  la  découverte  de  Cauchj,  plusieurs  mémoires  qui  ont  été  publiés 
longtemps  après  dans  le  ii'  Cahier  du  Jnitrnal  de  l'Ecole  Polylcclmiiiuc .  Ses 
efTorts  néanmoins  n'ont  pas  été  heureux.  .le  ne  parlerai  pas  ici  de  l'insuflisance 
lie  certains  raisonnements  londés  sur  des  considérations  infinitésimales.  Bien 
(|U('  toutes  les  démonstrations  soient  à  refaire,  la  (onnule  à  laquelle  l'auteur 
parvient  est  exacte  si  on  linterpri-te  eonvenablement,  mais  elle  exigerait  poiii' 
pouvoir  è!  le  a  pplif[uée  sans  crainte  dCi  rein-  une  discussion  délicate  que  M.  Marie 
n'a  pas  faite. 

Pour  faire  coiii|iieiiilie  la  nécessité  de  cette  discussion,  je  ne  citerai  qu'un 


SCH    LliS    RKSIOUS    DES    INTl.GRAI.ES    DOUULIiS.  44l 

scLil  exemple    L'aïUeur  donne  [loc.  cit.,  p.  58)  l.i  formule  suivanle  : 


o-    r   r    dxdy  4.       ,   /- 


Celle  loriniile  est  iniinifeslenient  laiisse;  car  on  a  dans  le  premier  membre  a- 
cl  dans  le  si'cond  le  fnetpur  r/-'.  En  réalité  l'inlégrale  du  premier  membre  est 
nulle. 

Comment  l.i  formule  de  M.  Marie  se  Irouve-t-elle  en  défaut?  Il  est  aisé  de  1(^ 
voir  ;  dans  cette  formule  enire  le  volumelimilé  par  unesurface  qui,  dans  l'espace, 
a  pour  équation 

C'est  une  spliére,  et  l'auteur  éciit  cpie  ce  volume  est  -i^  7ra  ".  Mais  pour  appliquer 

correclemenl  la  formule,  il  aurait  fallu  regarder  cette  surface  non  comme  une 

sphère,  mais  comme  un   tore  dégénéré  dont  la  section  méridienne  aurait  son 

centre  sur  l'axe  de  révolution.  Le  volume  aurait  alors  été  nul,  et  l'on  aurait 

trouvé  : 

u-    f  /^    (l.v  dy 
1 


'JJ   ^~r 


On  voit  quels  pièges  aurait  à  redouter  l'analyste  inexpérimenté  qui  voudi'ail 
faire  usage  de  la  formule  de  M.  Marie. 

Les  premières  recherches  de  M.  Picard  présentent  beaucoup  plus,  d'intérêt, 
comme  tout  ce  rpii  sort  de  la  |dume  de  cet  auteur.  Mais  elles  ne  se  rapportent 
qu'indirectement  à  la  question. 

Dans  deux  ^Notes  insérées  aux  Comptes  rendus  le  29  janvier  i88.3  et  le 
1'''  février  188G,  M.  Picard  étudie  des  intéurales,  définies  comme  il  suit  : 

Soit  F(jr,j')  une  fonction  uniforme  de  x  et  de  y;  introduisons  deux 
variables  auxiliaires  u  et  c,  imi  posant  : 

,1e  supposerai  (pie  les  ffuictions  o  et  J/  sont  uniformes  et  de  plus  que 

r(  ./■.  Il     i\<i  II .  \-  \ 

est  une  loiKtion   uiulorme  de //et  dr  r. 

Cela  pose',  soient  (/„,  r„  et  r/ , .  r,  deux  svstémesde  valeurs  de  u  et  de  r.  Ima- 
ginons que  ces  deux  systèmes  de  valeurs  correspondent  à  un  même  svstème  de 
\alenrs  de  ./■  et  de  y. 

ti.  r.  -  Itl.  :,r, 


i<  SLK    LES    llliSlDLs    UES    l.\Tl.l,K\LtS   UUllll.ES. 

L'intégrale  envisagée  par  M.  Picard  est  alors  : 


M.  Picard  a  donné  à  ers  intégrales  le  nuni  de  périodes  :  je  ne  saurais  l'en  blâmer 
puisque  cette  dénomination  lui  a  permis  d'exprimer  dans  un  langage  plus  concis 
les  intéres>aiits  résultats  auxquels  il  e>t  parvenu.  Mais  je  crois  qu'Userait  fâcheux 
qu'elle  s'introduisit  déliiiilivement  dans  la  Science  et  qu'elle  serait  propre  à 
engendrer  de  nombreuses  confusions. 
Et  cela  pour  deux  raisons  : 

D'abord  ces  intégrales  ne  sont  |>is  drs  constantes,  comme  le  fait  fort  bien 
observer  !\1.  Picard. 

En  second  lieu,  il  y  a  une  infinité  de  systèmes  de  variables  auxiliaires  u  et  r 
(pii  satisfont  aux  conditions  énoncées.  Chacun  de  ces  systèmes  donne  pour  l'in- 
tégrale une  valeur  diflérente.  U  en  résulterait  que,  si  l'on  voulait  donner  à  cette 
intégrale  le  nom  île  période,  celte  j)éri()de  ne  dè]icndrait  pas  uniquement  de  la 
f(jnetion  V  [JC,  y)  à  laquelle  elle  appartient,  mais  bien  de  ees  variables  soi-disant 
auxiliaires  qui  joueraieni  ainsi  un  rôle  prépondérant. 

M.  .Stieltjes  a  adresséà  M.  Hermile  un  travail  foil  remarqirable  où  il  cherchait 
à  généraliser  diverses  formules  de  (^<auchy  et  de  Lagrange.  Malheureusement 
quelques  points  restaient  oi)scurs  et  l'auteur  ne  put  les  éclaireir  de  façon  à  se 
mettre  à  l'i.hri  de  toute  objection.  C'est  ce  qui  le  détermina  à  ne  pas  puijlicr 
son  mémoiie,  m  lis  je  tiens  à  lui  rendre  ici  justice.  Je  chercherai  plus  loin  à 
expli(pier  quels  sont  les  points  qui  avaient  arrêté  M.  Stieltjes  et  à  montrer 
comment  se>  démonstrations  peuvent  être   rendues  parfailement  rigoureuses. 

Le  J.:}  janvier  i88(i,  j'eus  l'honneur  île  communiquer  à  l'Académie  des 
Sciences  une  Note  où  j'étudiais  à  un  piùnl  de  vue  nouveau  les  périodes  des 
intégrales  doubles,  et  en  particulier  celles  qui  sont  analogues  aux  périodes 
polaires  des  intégrales  simples.  Ce  sont  les  résultats  de  eette  Note  (]ue  je  veux 
développer  dans  le  présent  travail. 

Peu  de  temps  après.  M.  Picard  (('oiiiptcs  rendus.  i5  et  atS  février  1886)  se 
plaçant  au  même  point  de  vue  que  moi,  a  obtenu  un  grand  nomlne  de  résultats 
remarquables.  Le  savant  géomètre  emploie  dans  ces  deux  Notes  le  mot  àe, période 
avec  la  siguificalion  que  nous  lui  donnerons  dans  la  suite.  Les  périodes  qu'il 
étudie  n'ont  donc   aucun  rapport  avec  les  intégrales  qu'il  avait  primitivement 


SLR    LES    ItÉSlDLS    DES    IMliGllALCS    DOIBI.ES.  ^/{'i 

désignées  SOUS  ce  nom.  Je  crois  devoir  insister  sur  ce  point  afin  de  rendre  toute 
confusion  impossible. 

I.  —  Modes  de  représentation. 

Les  difficultés  auxquelles  les  ^éonirtres  se  sonl  heurtés  si  souvent  dans  la 
théoiùe  qui  nous  occupe  n'oni  rien  d'essentiel  et  ne  sont  pour  ainsi  dire 
qu'une  question  de  langage. 

Dans  l'étude  des  intégrales  simples,  on  emploie  un  mode  de  représentation 
géométrique  très  commode  et  dont  il  semble  qu'on  pourrait  difficilement  se 
j)asser.  ( )n  ne  peut  le  transporter  sans  cliangement  dans  la  théorie  des  inté- 
grales doubles,  pour  une  raison  qu'il  est  aisé  d'apercevoir. 

Soient  î  et  r,  deux  variables  ('om[)lexes;  si  nous  |)Osons 

en  sépar.int  les  parties  réelle  et  imaginaire,  nous  aurons  quatre  variables  x,  y. 
:  et  /.  Nous  ne  pouvons  les  regarder  comme  les  coordonnées  d'un  point  dans 
l'espace,  à  moins  de  nous  résigner  à  admettre  un  espace  à  quatre  dimensions. 

On  se  tiouvu  donc  en  présence  du  dilemme  suivant  :  il  faut,  ou  renoncer 
à  toute  représentation  ou  employer  V hypeniéomèlvie :  mais,  dans  ce  dernier 
cas,  on  est  exposé  à  rebuter  la  plupart  des  lecteurs,  et  de  plus  on  ne  possède  que 
l'avantage  d'un  langage  comuiode,  mais  incapable  de  parler  aux  sens. 

Comme  cette  langue  hjpergéoméirique  répugne  encore  à  beaucoup  de  bons 
esprits,  je  n'en  ferai  qu'un  usage  peu  fréquent;  je  crois  néanmoins  nécessaire 
de  préciser  ici  le  sens  des  termes  que  je  lui  emprunterai. 

Un  point  est  un  système  de  valeurs  des  quatre  variables  ./•.)',  c  et  t. 

L'ensemble  des  points  qui  satisfont  à  une  seule  relation  entre  x.,  )',  z  et  l  est 
une  «  multiplicilé  à  trois  dimensions  »  que  l'on  appelle  liypcrsurfacc . 

L'ensemble  des  points  qui  satisfont  à  deux  rclalions  simultanées  est  une 
«  multiplicité  à  deux  dimensions  »  que  l'on  a|)pellera  suvfacf. 

L'ensemble  des  points  qui  satisfont  à  trois  rdations  simultanées  est  une  "  mul- 
tiplicité à  une  dimension  »  à  laquelle  on  conservera  le  nom  de  ligne. 

Deux  surfaces  quelconques  ont  au  point  de  vue  analytique  un  certain  nombie 
de  points  communs;  mais  il  peut  arriver  quêtons  ces  points  deviennent  imagi- 
naires; comme  nous  ne  considérons  que  des  points  réels,  nous  dirons  alors  ipie 
ces  deux  surfaces  n'ont  aucun  point  commun. 


444  SU"    LES    RÉSIDUS    DES    INTÉunALES    DOUltLES. 

Une  intégrale  double  doit  être  étendue  à  tous  les  points  d'une  surface.  Nous 
aurons  donc  une  surface  cV intégration  de  même  qu'on  a,  dans  la  théorie  des 
intéi^rales  simples,  un  chemin  d'intégration. 

De  plus  l'ensemble  des  points  singuliers  formera  une  sui-fare. 

Supposon'-  en  elVel  quo  la  fonction  sous  le  sii;ne   /    /   soit  le  (|nolieMl  de  deux 

polynômes  entiers  l'(£,ri)  et  OiJL.r,).  i'oiii-  ([uc  cette  lonction  dexienne  inlinie, 
il  faut  que 

(0  Q(^•^)  =  o. 

Mais  on  a,  en  séparant  les  parties  réelle  et  imaginaire. 

Q(;.  vi)r=Q,(.*^  r,  5,  0  +  'Q:^('-..'\  :^.  '), 

de  sorte  que  la  relatimi  (i  )  se  décompose  en  deux  : 

Qil^x,  »,  ■:;  l )  —  o, 
q.,(x,y,  :..  /)  =  n. 

Elle  représente  donc  une  surface. 

Il  faudra  alors  que  la  surface  d'intégration  et  les  surfaces  singulières  n'aient 
aucun  point  commun. 

Si  la  fonction  sons  le  signe  /    /  est  algébrique,  les  surfaces  singulières  seront 

algébriques.  \ii  contraire  la  surface  d'inti'gration  étant  purement  arbitraire  ne 
sera  [las  forcément  algébrique  ;  elle  pouna  être  transcendante  ou  se  composer 
de  portions  appartenant  à  diverses  surfaces  algébrir[ues. 

Je  vais  maintenant  exposer  les  artifices  à  l'aide  desquels  je  couipte  ui'afTran- 
chirde  la  nécessité  de  considérations  hjpergéométriques. 

Soient  À,  (ji..  V  trois  quantités  que  je  regarderai  comme  les  coordonnées  d'un 
point  dans  l'espace  ordinaire,  et  considérons  une  surface  algébrique  ou  portion 
de  surface  algébrique  S  sur  laquelle  se  trouve  le  point  /,  ,u,v.  Ecrivons  : 

où  o,,  cp2,  cp3,  o.,  sont  des  fonctions  rationnelles  de  À,  ;j.,  v  dont  le  dénominateur 
ne  s'annule  pour  aucune  \aleur  réelle  de  ces  variajjles.  Il  est  clair  que  quand  le 
point  ) ,  ij.,  V  décrira  dans  l'espace  ordinaire  la  surface  ou  portitin  de  surface  S, 
le  point  j",  1',  .;,  l  décrira  dans  l'hypc^'espace  une  certaine  surface  ou  portion 
de  surface  S'  ;  de  telle  sorte  cpie  la  surface  S'  est  définie  par  la  surface  S  et  par 
les  quatre  fonctions  fondamentales  <ai,  V2<?:i  g' 


^  \  • 


Sfh    LES   nÉSIDLS    DlîS    INTÉGltALES    DOIIILE:?.  445 

Si  la  surface  S  est  t'ennée,  nous  tlirons  aussi  que  la  suitace  S'  esl  fermée. 

La  notion  des  surfaces  d'intégralion  fermées  qui  va  jouer  un  si  grand  r(jlr 
dans  ce  qui  va  suivre  se  Irouvo  ainsi  neltenjent  définie. 

Le  genre  de  la  surface  S  (au  point  de  vue  de  la  géométrie  de  situation)  sera 
aussi  le  même  que  le  genre  de  la  surface  S',  à  moins  que  le  point  .r,  y,  z,  /  ne 
décrive  deux  ou  plusieurs  fois  la  surface  S',  ce  que  nous  ne  supposerons  pas. 

Lorsque  l'on  donnera  à  À,  ,a,  v  toutes  les  valeurs  réelles  possibles,  le  point 
À,  [J.,  V  décrira  l'espace  lout  entier,  et  le  point  x,  y,  :■,  t  décrira  dans  l'hjper- 
cspace  une  certaine  livpersurface  unicursale. 

Tant  donc  que  le  point  x,  y,  z,  t  restera  sur  cette  lijpersurface,  nous  pour- 
rons le  représenter  par  un  point  de  l'espace  ordinaire  et  nous  serons  affranchis 
de  riiypergéométrie. 

Dans  certaines  question-,  nous  n'envisagerons  que  des  surfaces  d'intégration 
situées  sur  une  même  hypersurfaee  unicursale  et  nous  pourrons  nous  servir  de 
ce  mode  de  représentation. 

La  plupart  du  temps  nous  supposerons  simplement  : 

Alors  le  point  x,y,  s,  i  sera  représenté  par  le  point  de  l'espace  ./",)-,  ;  et  la 
quatrième  coordonnée  t  sera  une  fonction  rationnelle  de  x.  )',  z. 

La  surface  d'intégration  sera  alors  définie  par  une  surface  S  située  dans 
l'espace  ordinaire  {x,y,  zj  et  par  une  fonction  rationnelle  o,.  (  *n  aura  : 

P(^-,.>-,  ^) 

P  et  Q  étant  deux  polynômes  entiers,  et  nous  supposerons  qu'on  n'a  en  aucun 

point  réel  de  l'espace  ix,y,  z) 

Q(.r.  y,  z)  =  o. 

il  est  aise  de  démontrci'  que  loule  surface  d  intégration,  ou  bien  esl  susceptible 
de  ce  mode  de  leprésenlatiou,  ou  bien  diffère  très  peu  dune  surface  qui  en  est 
susceptible,  ou  lîien  enfin  peut  être  décomposée  en  plusi(;urs  autres  ipii  dillércni 
très  peu  de  surfaces  algébriques  admettant  ce  mode  de  représentation. 

Ce  mode  de  représentation  est  donc  suffisamment  général  pour  s'appliquer  à 
tous  les  cas;  cependant  il  sera  quelquefois  plus  comniodede  le  modifier  un  peu. 

PLeprenons  les  quatre  relations  fondamentales 

dont  il  a  élè  question  plus  liaul. 


440  SLR    LES    HÉSIDLS    DES    INTEOIULES    DOUBLES. 

Nous  avons  supposé  jusqu'iri  que  ces  quatre  fonctions  élauiit  rationnelles  ;  il 
nous  suffit  qu'elles  soient  unifonucs  et  bien  déterminées.  11  peut  même  suffire 
que  sans  être  uniformes  dans  tout  Uespacc,  c'est-à-dire  pour  toutes  les  valeurs 
de  X,  m,  V,  elles  restent  uniformes  dans  une  certaine  région  de  l'espace  ().,p-,  v) 
pourvu  que  notre  surface  S  qui  représente  la  surface  d'intégration  soit  tout 
entière  contenue  dans  celte  région. 


II.   —  Conditions  d'intégrabilité. 
On  sait  ce  qu'on  doit  entendre  par  une  i/ih'gra/e  simple  : 


f 


\  i/.i-  ■+-  \  </)  -h  '/.</:} 


prise  le  long  d'une  courbe  gauche  quelconque  dans  l'espace  {x.y,  z).  On  con- 
naît également  les  conditions  d'intégrabilité:  c'est-à-dire  les  conditions  pour 
qiie  l'intégrale  soit  indépendante  du  chemin  d'intégration  el  ne  dépende  que 
des  deux  points  exUcines  de  ce  clicmiii.  i  On  suppose  bien  entemlu  que  \,  \ 
et  Z  sont  des  fonctinns  données  de  ,/■,  y  et  z.)  Ces  conditions  sont  : 


/\ 

,/\ 

,/\ 

,11. 

,/\ 

,/■/. 

/r 

=  ,77-' 

7h  ~ 

'-  7ty 

,/:■  ~ 

"  Viv 

Ces  résultats  s'élendcnl  iniiuédialeiuent,  coinuie  on  le  sait,  au  cas  d'un  espace 
d'un  nombre  quelconque  de  dimensions. 

Soient  Xi,  .^2.  ....  r„,  n  variables  indépendantes  el  soient  X,.  Xj,   .  .  .,  \», 
/(  fonctions  de  ces  ii  v.iriables:  il  est  aisé  de  définir  l'intégrale  simple  ■ 


U) 


/    (\,  '/./■,  -t-    \  .</./•.,  -t- .  .  .-4-    \„(l.l-,). 


En  effet,  inlruduisuns  une  v, niable  auxiliaire  el  posons  : 

(:>)  ./•|  =  ^i(h~).  .r..—  z.Jii) 3-„  =  z„{ii). 

Ces  équations  (a)  définiront  le  eheuiin  d  intégration. 

Nous  ferons  varier  u  depuis  u^  jusqu'à  «,.  Nous  poseions  : 

.'cj  =  5,  ('Mi") r^',  =  ç„C;/|V 

Les  deux  systèmes  de  valeurs  (.r",  ,f,',',  .  .  .,  j")  et  (,r|,  x\ a",',)  définiront 

les  deux  points  extrêmes  de  ce  chemin  d'intégration. 


SUIl    LES    RKSIDUS    DES    INTliGRALES    DOUBLES. 


t\'\l 


Alors  lintégrale  (i)  prise  le  loup  du  cliemin  d'iiitégralion  (ai  depuis  le 
point  (a:",  ...,  ,r")  juMju'iiii  poiiil  ix\,  ...,  r,',  )  ne  sera  autre  ciio>e  que 
l'intégrale  définie  • 


r'ï^.s 


V,: 


'In 


"''^)''"- 


Nous  cherclions  les  conditions  d'intégrabilité,  c'est-à-dire  lus  condition^ 
]i(iur  (pie  cette  intégrale  soit  indépendante  du  cliemin  dinlégration.  c'est- 
à-dire  ne  dépende  (jue  des  deux  points  extrêmes  de  ce  cliemin  {x",  .  .  .,  x"^) 

et  (.r;,  ...,  x],). 

r,                ,.  .                                     1          ,inn  —  1)  ,,         ,  .      . 

Les  conditions  sont  au  nombre  de et  elles  s  écrivent 

dxk         dxi 

Passons  niainlenant  au  cas  des  intégrales  doiibU'S.  et  d'abiud  dans  l'espace 
ordinaire.  Soil  une  intégrale  douhle 

11''^  'h   '/-■  ^  Wilz.l.r  ^  *.\,l.r,ly) 

A,  B  cl  C  étant  trois  ionclioiiN  de  ./■,  J',  ;. 

On  sait  ce  qu'on  doit  entendre  par  là.  La  surface  d'intégration  peut  n'être 
pas  fermée,  mais  on  peut  toujours  conxenir  de  regarder  l'un  des  côtés  do  la 
surface  comme  l'extérieur  et  l'autre  comme  l'intérieur. 

Soient  donc  (/'.)  un  élément  de  cette  suiface  et  a.  ,5.  -^  les  cosinus  directeurs 
de  la  normale  à  l'élément  dirigée  vei's  l'extérieur. 

I.'inlégrale  sera  alors 

/  (  .V  a -4-  15  > -I-  Cyi-Ao 

é!(!ndue  à  tous  les  éléments  itf,\  de  la  surface. 

On  peut  également  la  délinir  comme  il  suit,  ce  qui  revient  au  inéine  : 

Exprimons  j-,  )'  et  c  en  louetions  de  deux  variables  auxiliaires  u  et  e, 

Ces  équations  délininint  la  surfare  d'intégration.  L'intégrale  ne  sera  alors  autre 
chose  que  l'intégrale  double  ordinaire 


J   J     L      <)\ii,v)  (Jiii.f)  d(ii,i') 


lit  ,/,-, 


Nous  désignons  sui\anl  la  coulume  par  la  notation '—i-^  le  déterminant  fonc 
°  '  <)(  II.  Il) 


448  Sun   LES    RÉSIDUS   DES   IMEURALES   DOUBLES. 

tionnel 

llJ^  d)         dx  dj 
du    dv        dv  du 

La  fondilioii  d'inlégrabililé  (^ c'est-à-dire   la   cniuliiiou  jioiir  (jiip  rinlégrale 
[irise  le  long  d'iiiie  surface  fermée  quelconque  soil  nulle)  s'écrit  alors 

d\       r/li       dC. 
d.r         dy        dz 

Tous  ces  points  sont  trop  connus  pour  que  j  v  in>i>[e  davantage. 
Passons  maintenant  au  ca>  général. 

Soient  ./, ,  s-.,    ...,  .r„,   /;   variable.-'  independanle>.    Désignons  maintenant 
par  la  notation 

dlveises  fonctions  données  de  ces  n  \aria!)les.  l\ou^  supposerons  que  1  on  a 

(,3)  .\,,\,l..,..  (Xt,  X,)  =— (X;,  \<.). 

Nous  allons  envisager  l'intégrale  double 

J  =  1"  f^(\,.\/.ld.nd.r/,. 

où  l'on  fait  entrer  ^ous  le  si^ne  -  les  combinaisons  des  deux  indices  i 

et  A  . 

Pour  la  définir,  imaginons  qu'on  introduise  deux  variable.s  aii.xiliaires  ii  et  r 
de  telle  sorte  que 
(4;i  Xi=Si(^u,i}       ,/ -  1,  J,  :i,  ..., /(). 

Ces  équations  (  \)  définiront  la  surface  d'intégration.  Nous  donnerons  à  i/  et  à  e 
ouïes  les  valeurs  qui  satisfont  à  une  certaine  inégalité 

de  sorte  qu'en  réalite  la  Mirface  d'intégration  sera  coinpiélemenl  tiéiinie  par 
les  équations  (4)  d'une  part  et  par  l'inégalité  (V)  d'autre  part.  L'égalité 

'l{ll.  l')  —  o 

définira  ainsi  la  ligne  qui  servira  de  limite  à  la  surface  d'inlégialion. 
L  intégrale  proposée  sera  alors  l'intégrale  double  ordinaire 


du  cA' 


d{u,f) 
jui  devra  être  étendue  à  toutes  les  valeurs  de  //  et  de  v  satisfaisant  à  l'inéga- 


SIR  LES  RÉSIDLS  DES  IXTÉGRALES  DOIBLES.  449 

lite  (.1).  t^uanl  an  signe  — .  il  s  appliquora  aux  r.()nioinaison>  des  doux 

indices  i  et  /.". 

Mais  en  tenant  compte  des  relations  (3),  on  peut  écrire  1  intégrale  étudiée 
sous  la  forme 

ilxi  dru 


J    J      JmJ    ^^  <tll       lU' 


'A-, 


Il  est  manifeste  que  si  Ion  permute  les  variai>les  ii  et  r.  lintégrale  change 
de  signe,  mais  cette  opération  est  tout  à  fait  analogue  à  ce  que  serait,  dans 
l'élude  des  intégrales  simples,  un  changement  du  sens  de  lintégration. 

A  part  ce  changement  de  signe,  l'intégrale  est  indé|>endante  du  choix  des 
variahles  auxiliaires  ii  et  e. 

Aolre  intégrale  double  danl  ainsi  eomplélement  délinie,  il  faut  trouver  les 
conditions  d'intégrabililé;  je  veux  dire  les  conditions  pour  (jue  l'intégrale  ne 
dépende  pas  tle  la  surface  dinlégialion.  mais  seulement  de  la  courbe  qui  limile 
cetie  surface;  de  même  que  les  intégrales  simples  applicjuées  à  des  difTéren- 
tielles  exactes  ne  dépendaient  pas  du  chemin  d'inlégralion.  mais  seulement 
des  extrémités  de  ce  chemin. 

Su[)posons  que  1  on  remplace  les  équations  (  4)  par  les  suivantes  : 

.r  =  çj(  Il .  1  1. 

la  fonction  o]  élanl  différenle  de  la  fon<lion  -.>,.  Alors  on  changera  la  Mirface 
d  intégration. 

Mais  supposons  en  mêmi'  temps  que  Ion  conserve  l'inégalité  (  ")  )  sans  aucun 
changement,  el  que  l'on  ail 

Inules  les  fois  que  l'iui  a 

•\fi  II .  (•)  ^  o. 

Alors  la  cc)iiii)e  qui  limite  la  surface  d  intégration  ii  a  j)as  changé. 
Si  dans  ces  conditions  1  intégrale  n  a  pas  changé,  nous  dirons  que  I  expres- 
sion sous  le  signe    /    /    est  inlégrable. 
Imaginons  que  1  on  pose 

en  introduisant  une  troisième  variable  auxiliaire  iv.   Nous  calculerons  I  inté- 
grale proposée  J  en  l'étendant  à  toutes  les  valeurs  de  ii  et  de  i  qui  satisfont  à 
l'inégalité  (5)  et  en  regardant  ir  comme  un  jyaranièlre  arbitraire. 
H.  P.  -  m. 


45o  srn  LKS  hesidus  dks  i.ntegralks  doubles. 

Je  supposerai  de  plus  que  pour 

■Il  w/.  1-  I  =  o 

les  fonctions  o,  soient  inflépendanle>  de  ir.  Alors  la  surface  dintégralion 
dépendra  de  iv,  mais  la  courbe  qui  limite  cette  surface  n  en  dépendra  pas. 

J  sera  une  fonction  du  paramètre  ic  et  nous  clierchons  les  conditions  pour 
que  cette  fonclion  sciil   une  constante:  ce  seront  les  conditions  d'inlégrabililé. 

Nous  avons  donc  à  écrire  que 

ce  qui  donne 

ilw         ,1  J    ji^  ^        dw         au     lU- 

./    ,/      ^^  ^mi  \(1ll  lUy     ilv  r/{-  div     du  j 

La  première  intégrale  double  du  second  membre  peut  s'écrire 

/'     r  'V   XT"   V  ''l^i'  -^<  '    ''•'"'    ''•'■*    ''■''/'     (        ; 

jj2j22      d.rn       -d7,lûr-û^.'i"i^- 

i  k        h 

Clierclions  à  réduire  l.i  seconde.  Pour  cela,  remarquons  que  l'on  a 

dV 


J"""JJ^ 


dudv. 


l'intégrale  double  étant  étendue  à  toute  notre  surface  d'intégration  et  l'intégrale 
simple  du  premier  membre  au  contour  qui  limite  celte  surface  et  qui  est  délini 

par  1  équation 

■!j{u,  c)  =  o. 

l'aisons  dans  celle  équation 

1-  =  k\,.  \<  1-7-  -7— • 
du    (hv 

Nous  avons  supposé  que  les  fonctions  o,-,  c'est-à-dire  les  a-,,  sont  indépen- 
dantes de  w  pour  -.j/  =  o.  On  a  donc,  si  i|;  est  supposé  nul, 

-— -  =0,        V  —  o. 
dw 


SUR    LES    RÉSIDIS    DES    I.NTKOnALES    UOtlILES.  45l 

11  résulte  de  là  que  le  premier  membre  de  (6)  est  nul.  On  doit  donc  avoir 

<^'        //'^.'^"£  .S:.^'""— //'^">"<£  £S/"'* 


-// 


t/{Xi.  \i)  dxk  dx\ 


dv  dw    du 


-r^  du  dv. 


(Jn  peut  écrire  une  seconde  équation  analogue  à  l'équation  (6  ), 

dp 


-f^"'-fjt'- 


/>• 


d  où  1  on  déduit,  de  la  même  laçon, 

(7)  /        {^,-^0-j--, — —diidi-=—       /i\„\,.  ,_^ — 

J   J  ih'     ilu  ihv  J    J  (Itv    ihi  ih 

/'  »/(  \,.  \/,  I  il.r,   d.fi. 


-f.l 


(/(/  (/w     df 

Remarquons  maintenant  que 


du  dp. 


,  d£i    d-  J-,         du^    d-  .r/;   , 
\  dw   du  dv        div   du  dv 

En  effel  si  l'on  envisage  l'expression  suivante  : 

H  —  f  X     X   )  /'  —  ^^' ''^''  -+-  ^^   '^'^'  \ 
~  '  "  '        \  f/u'  du  dv         dw   du  dv  j 

on  voit  qu'elle  se  cliangc  en  —  II  quand  un  permute  les  indices  /  et  k . 

Dans  l'emploi  des  relations  (7)  et  [■-/)  nous  pourrons  donc  laisser  de  côté  le 
premier  terme  du  second  memlire.  Il  vient  donc  i)onr  l'expressioii  de   -;— 

r  f  "Sp  Sf  r</^X,,  Xx)  d.r,  d.i-i;  _  d{^\,.  X/.')  d.i-i  dr,,  _  di  X,.  X<.  1  </./■,  t/./y,  1   ^^^  ^^^ 
J  J    ^  ^  [         dw  du     dv  dv  du    dw  du  dw     dv  J  ' 

Observons  maintenant  que 

d{\,.  Xx-,i  _  ^  (/(X,.  \k  I  dru 

du  ^^         d.r/i  ilu 

h 

et  que  l'on  a  deux  formules  analogues  pour 

d(\i,  \k)     ^^     dy\,.  X,--| 
dv  d/ii' 

Ceci  nous  permet  de  transformer  1  expression  de  -j-  el  de  l'écrire 
•^  ^  dw 

J  J    ZàZuZà        d.r,,         {du     dv     dw  du     dv     dw  du      dv     dw  \      '      '  ' 


452  SUR    LES    RKSIDl'S    DES    INTÉGRALES    DOUBLES. 

Transformons-li\  encore  en  laissant  de  côté  les  lernies  où  les  indices  ('  et  k 
sont  égaux  entre  eux,  puisque  nous  savons  que  ces  termes  sont  nuls.  Réunis- 
sons de  plus  les  termes  en  (X„  Xa)  et  (X/;,  X,)  en  remarquant  que 


Cela  donnera 


JJ  2^ 


f/(  \,,  \/  I  J(.r,,  .r/,..  .)■/,  I 


'/»  (/f 


ô(n.  c.  »■  I 

Le  signe  i  porte  sur  toutes  les  coml)inaison>  (/,  /. ,  //)  si  1  on  convient  : 

i"  De  laisser  de  côté  le>  combinaisons  où  /  =  /r. 

2"  De  ne  pas  legarder   comme  diirérentes  les  deux    combinaisons  (/,  /. ,  /;) 
et  (/,,  /,  A). 

Nous  pouvons  écrire  aussi  : 


7h 


~v  " J  J    2miy         dsTh  d-''i  "'■'■/.         J      Ôill.  f,  \V) 


llll  l/f. 


Le  signe  i  change  alors  de  signifidition.  Il  porte  sur  toutes  les  combinai- 
sons (/,  /i,  //)  ^i  l'on  ne  considère  pas  comme  diflérentes  deux  combinaisons 
(lui  ne  diffèrent  que  par  l'ordre  des  lettres  /,  / ,  li . 

Il  est  clair  d'ailleurs  qu'on  peut  laisser  de  côté  les  combinaisons  où  deux  des 
lettres  /,  /,  h  sont  égales  entre  elles,  parce  qu'elles  donneraient  un  résultat  nul. 

L'expression  de  V-  doit  être  nulle  (luelles  que  soient  les  fonctions  o,.  Gela  ne 

'  (Al  '  ' 

peut  avoir  lieu  que  si  l'on  a 

,/(X,-.  .\,.)    ,    d{\/,,\/.)    ,    d{\,,.  \,)  _^ 


(«) 


(/.v/i  d.ri  d.ri; 


Telles  sont  les  conditions  d'intégraiiilité.  11  faut  prendre  pour  le  système  des 
trois  nombres  (t,  /.,  /()  toutes  les  combinaisons  possibles,  en  excluant  celles  où 
deux  des  lettres  seraient  identiques  et  en  ne  regardant  pas  comme  distinctes 
celles  qui  ne  iliffèrenl  que  par  l'ordre  des  lettres.  Les  conditions  d'intégrabilité 

sont  donc  au  nombre  de 

ni  n  —  i)  I  /(  —  ■>  ) 
6 

Considérons  en  particulier  le  cas  de  «  =  4  et  envisageons  l'intégrale  double  : 

[u\.  'V  }d.cdy  +  \\.  ljdj:dz-\-{\.  'T  )  d.r  dl 
(V,  Z)dfdi-h(\.  T  )  df  dt -h  (1.  1)dzdl]. 


JJ 


SIR    LES    RESIDUS    DES    INTÉGRALES    DOUBLES.  453 

Les  conditions  d'intégrabilité  seront 

dx  dy  ' 

d(\\  T1        rf(T,  X)  _ 


dz 

d(\. 

V) 

dl 

d{\. 

Z) 

dl 

d{\. 

Z) 

dx  dy 

d(Z,  T)  djl,  X) 
dx  dz 

djZ,  T)  dÇÏ,  \) 

dl        "^        dv  dz 


Si  l'on  compare  les  conditions  d'intégrabilité  relatives  aux  intégrales  simples 

./\,       d\,, 

(9)  dj,-d7;^" 

avec  les  conditions  (8)  relatives  aux  intégrales  doubles,  il  est  impossible  de 
n'être  pas  frappé  d'un  fait  remarquable. 

Dans  les  formules  (9)  on  a  alternalivenient  le  signe  +  et  le  signe  — :  dans  les 
formules  (8)  on  n'a  que  le  signe  +. 

Qu'arrive-t-il  si  l'on  passe  aux  intégrales  d'ordre  supérieur  ? 

On  trouvera  des  conditions  tout  à  fait  analogues  aux  condilions  (8)  et  (9)  et 
l'on  rencontrera  encore  le  fait  que  je  viens  de  signaler.  Pour  les  conditions 
relatives  aux  intégrales  d'ordre  pair,  tous  les  termes  seront  précédés  du  signe  -f-  ; 
pour  les  conditions  relatives  aux  intégrales  d'ordre  impair,  les  termes  seront 
alternativement  précédés  des  signes  -f-  et  — . 

Soit  par  exemple  l'intégrale  triple 


///2 


(Xj.  X'-j.   \..  td.r^t/x'-id./ 


l'intégrale  étant  définie  comme  plus  haut,  et  les  fonctions  (X^,  X^,  X-,)  étant 
des  fonctions  analogues  aux  fonctions  (X,-,  X*)  et  qui  changent  de  signe  quand 
on  permute  deux  des  indices  x.  ,3,  y.  Les  conditions  d'intégrabilité  s'écriront 
alors 

di\^.  X3,  X./>  _  di\H.  X.,.  X;)        d{\....  X;.  X^]  _  d{\,,,  X^,  X3) 
dx?j  dx^  dx'i  dx-. 

avec  alternance  des  signes  -+-  et  — . 

Soit  au  contraire  l'intégrale  quadruple 

f  If  r^  (^'*-  ^?-  '^ï-  ^''^>  ''■'^^  ''■''"  '^■^'t  ''■'"''• 


^54  SUR    LES    RÉSIDUS    DKS    INTEGRALES    DOUBLES. 

Les  condilions  d'intégrabilité  s'écriront 

di\^.  X3.  X,.,  Xô)         </(X8,  X-..  \z.  X,)         >/{\y.  Xr,.  \,.  Xa) 

■ J- — '- 1 ■ — y 1 -, 

rf.rj  tlr^  d.n^ 

rf(Xe,  X,.  Xa,  Xp)        ./(X„  Xa,  X3,  Xv) 
H j —  H ;j •■ =0 

avec  le  signe  +  parloul. 

III.  —  Théorème  fondamental. 

Reprenons  le  moile  de  représentation  du  paragraphe  I.  Soient  donc  1,  p.,  v 
les  coordonnées  d'un  point  dans  l'espace  ordinaire,  el  une  surface  ou  portion 
de  surface  S.  Posons  ensuite 

(l)        x  =  3i(À,  a,  V).  y  =  z,(\.  <x.  -/),  J  =  =:,(>.,  ut,  v),  /  =  ç..  (  À,  ^i,  v  ), 

les  CD  étant  des  fonctions  rationnelles. 

Envisageons  une  fonction  des  deux  variables  complexes 

;  =  .r  -t-  /)•,  T|  =  C  -H  il. 

tjue  l'appellerai 

Fl;.  r,) 

ou  bien  encore 

P  -f-  iQ, 


en  séparant  les  parties  réelle  et  imaginaire.  On  aura  alors 

[  </P 


,/p         f/Q        r/p  _     dq 

'    JT'  ,/z    "         dt 

(.■'■') 


(  (77-  ~  "  ^  '  dl   ~        dz' 


Il  s'agit  maiiiteuiiiit  de  définir  ce  qu'on  dnil  entendre  par  l'inlégrale  double 


If' 


prise  le  long  de  la  surface  d'inlégration  définie  par  la  surface  S  et  par  les  équa- 
tions fondamentales  (1). 

11  importe  d'abord  de  définir  le  sens  de  l'intégration.  Pour  cela  imaginons  un 
observateur  O,  avant  les  pieds  sur  la  surface  S  et  la  tète  dirigée  soit  vers  l'exté- 
rieur de  celte  surface,  soit  vers  l'intérieur.  C'est  la  position  de  cet  observateur  O 
qui  définira  le  sens  d'inlégration.  Nous  dirons  que  ce  sens  est  positif  si  l'obser- 
vateur a  la  tète  vers  l'iixtérieur  et  négatif  dans  le  cas  contraire. 

Si  la  surface  S  n'est  pas  fermée,  il  n'v  a  plus  à  proprement  parler  d'extérieur 


SIR    LES    ItKSIDlS    DRS    INÏKGRAI.ES    DOl  BI.ES.  -1  >5 

et  d'intérieur;  mais  nous  pouvons  toujours  convenir  do  regarder  l'un  des  côtés 
comme  l'extérieur  et  l'autre  comme  l'intérieur.  (Si  la  surface  S  n'avait  qu'un 
seul  côté,  l'intégrale  serait  nulle.) 
Envisageons  maintenant  l'expression 


r  A  P  -<-  ''Q ■)  Ulr  -H  /  <ly  '\  ( >lz  -I-  /  ,lt  ■). 

Celte  expression  n'a  absolument  aucune  signification  par  elle-même  et  ne 
pourra  avoir  que  celle  que  nous  conviendrons  de  lui  donner.  EfTectuons  néan- 
moins le  produit  sous  le  signe  /  /  d'après  les  règles  ordinaires  du  calcul  (  '  ); 
ce  ne  sera  là  qu'une  opération  purement  mécanique  et  deslinée  à  nous  servir  de 
règle  mnémonique.  11  viendra 


// 


i  (  P  -+-  /Q  1  J.r  ,/;  -I-  I  /  P  —  Q  •)  </.r  <lt  h-  .  / 1'  —  Q  i  r/i  dz  —  i  I'  h-  /Q  , ,/,  lU  ]. 

Imaginons  maintenant  qu'on  puisse  trouver  deux  variables  auxiliaires  u  et  r 
telles  qu'en  tous  les  points  de  la  surface  S  les  trois  coordonnées  /.,  p.,  v  soient 
des  fonctions  holomorphes  de  u  et  de  r. 

Alors  l'intégrale  cherchée  sera  l'intégrale  double  ordinaire 


//[■ 


,;i.r,  ;-)  .  d(.r.  t) 

I Q  1 h  (  ir  —  (Il  — 

Ji  II.  ri  J{  II.  !■) 

j{  \ .  z)  .     Oi  y.  rn 

P  —  Q  )  --^ —  I  P  H-  /  O  I  —^ du  ïA' 

0{  u.  r)  ^    ô(u.  V  )J 


étendue  à  tous  les  svstèmes  de  valeurs  de  u  et  de  r  qui  correspondent  aux  diflé- 
renls  points  de  la  surface  S. 

Si  l'on  ne  pouvait  trouver  deux  variables  u  et  e  satisfaisant  à  ces  conditions, 
on  décomposerait  la  surface  S  en  plusieurs  régions  et  (à  la  condition  que  ces 
régions  soient  assez  petites)  on  pourrait  toujours  trouver  dans  chacune  d'elles, 
deux  variables  u  et  c  telles  que  /,,  ;j.,  v  soient  fonctions  holomorphes  de  u  et  de  i', 
en  tous  les  points  de  la  région. 

L'ordre  des  deux  variables  u  ft  r  n'est  jias  indifl'érent.  11  estclairen  effet  que 
l'intégrale  change  de  signe  cjuand  on  permute  ces  deux  variables.  ^  oici  donc  la 
convention  que  nous  ferons  :  imaginons  que  u  et  c  représentent  les  coordonnées 
d'un  point  dans  un  plan.  Imaginons  que  le  point  /.,  ,u,  v  décrive  sur  la  surface  S 
un  contour  fermé  très  petit  C  autour  des  pieds  de  l'observateur  O  et  que  cet 
observateur  voie  ce  point  décrire  ce  contour  C  dans  le  sens  contraire  à  celui  des 

Cj    Sans  changer  l'ordre  des  facteurs. 


456  SUR    LES    RKSIOUS    DES    INTÉGRALES    POLBI-ES. 

aiguilles  d'une  montre.  Le  point  correspondant  («,  r)  décrira  dans  son  plan  un 
autre  contour  fermé  C.  Il  faudra  que  ce  second  contour  G'  soit  décrit  comme 
le  premier  diins  le  sens  contraire  à  celui  des  aiguilles  d'une  montre  (en  suppo- 
sant que  les  axes  des  u  et  des  c  positifs  soient  disposés  comme  le  sont  d'ordi- 
naire les  axes  des  x  et  des  )•  positifs). 

Notre  intégrale  double  est  ainsi  complètement  définie  et  elle  est  analogue  à 
celles  que  nous  avons  étudiées  dans  le  paragraphe  précédent.  On  a  d'ailleurs 

(X,  Y)  =  (Z,  T)  =  o, 

(\.  Z)  =  (T,  Y)=    P-+-/Q, 

(\.  T)  =  (Y,  Z)  =  ,r'_Q. 

Les  quatre  conditions  d'intégrahilité  s'écrivent  alors 

(/((■P  — Q)         f/(P-t-,Q) 


dx 

dy 

rl{P+,Q) 
dj- 

diiP- 
dy 

-Q) 

tliV  -+-1(1) 
dl 

dijP- 
dz 

■Q) 

d{iP  —  Q) 

d(P  ^ 

h     ' : 

'Q) 

dt  ■    dz =  °- 

Elles  seront  donc  remplies  en  vertu  des  relations  (2). 

U  est  aisé  de  tirer  de  là  diverses  conséquences. 

Imaginons  d'abord  deux  portions  de  surfines  S  et  .S'  limitées  par  un  même 
contour  C  et  que  ces  deux  |iorllous  de  surfaces  soient  situées  toutes  deux  dans 
l'espace  (À,  |jt,  v).  Nous  supposerons  d'ailleurs  que  les  deux  surfaces  d'intégra- 
tion sont  définies  lune  par  S,  l'autre  pai-  S',  mais  toutes  deux  par  les  mêmes 
équations  fondamentales 

(il         .;•  =  9,  (">.,  |i,  •/").  )•  =  s,j('/.,  ;j.,  V  I.  ;  =  S;,  (  À,  u,  V  ),  ?  =  ;.,(  X,  u.  v  1, 

Si  la  surface  S  peut,  par  une  déformation  continue,  arriver  à  se  confondre 
avec  S',  et  si  dans  celle  déformation  continue  il  n'arrive  à  aucun  moment  que  la 
fonction  1*'^  1*  -;-  /Q  devienne  infinie  ou  liisconliiiue  en  un  point  de  la  surface 
d'intégration,  à  ces  conditions,  l'intégrale  prise  le  long  de  S  sera  égale  à  l'inté- 
grale prise  le  long  de  S'. 

Considérons  maintenant  les  surfaces  sinnu/i<'res,c'esl-à-(Vivc  l'ensemble  des 
points  où  la  fonction  F  devient  infinie  ou  discontinue.  Soient 

il,  (.r,  y,  :,  t)  =  ■io(.r,  y,  z,  I)  =  o 
les  équations  de  ces  surfaces. 


SUR  LES  RESIDUS  DKS  INTEGRALES  POIBLES.  40" 

Remplaçons  dans  'i,  el  '|j,  x,  _)',  :;,  /  par  o,,  -vj.  93  et  o,.  les  deux  t-quallon» 
des  surfaces  singulières  se  r('duir(inl  à  deux  relalions 

/,  (  "/..  u.  V)  =  /.,(  À,  a,  V)  =  o. 

eiilre  "/.,  /j.  el  v.  Ces  deux  équatlcjiis  délinironl  certaines  courbes  apparlenanl  à 
l'espace  (A,  /n,  v)  el  que  j'appellerai  courbes  singulières,  parce  qu'elles  sont  le 
lieu  des  points  qui  appartiennent  ii  l'espace  (/,  y.,  v)  et  où  la  fonction  sous  le 

devient  inlinie  ou  discontinue. 


.ne//  , 


Nous  pouvons  donc  énoncer  le  résultat  précédexit  de  la  façon  -.ui\anle  : 

Les  deux  portions  de  surface  S  el  S'  étant  limitées  au  même  contour  C  divi- 
seront l'espace  ().,  fx,  v  I  en  deux  régions,  lune  intérieure  et  l'autre  extérieure. 
Si  dans  cette  région  intérieure,  il  n'y  a  aucun  point  des  courl)es  singulières, 
l'intégrale  prise  le  long  de  S  sera  égale  à  lintégrale  prise  le  long  de  S'. 

Si  la  surface  S  est  fermée,  elle  divisera  l'espace  (À,  p.,  v)  en  deux  régions;  si 
à  l'intérieur  de  S  il  n'y  a  aucun  point  des  courbes  singulières,  l'intégrale  prise 
le  long  de  S  sera  nulle. 

Si  la  surface  S' ajipartenant  comme  S  à  l'espace  (À,  ;j,  v)  e>t  fermée  comme  S 
et  tout  enlière  intérieure  à  S.  et  >i  dans  l'espace  compris  entre  S  et  S',  il  n'y  a 
aucun  point  des  courbes  singulières,  l'intégrale  prise  le  long  de  S  est  égale  à 
l'intégrale  prise  le  long  de  S'. 

-Si  deux  surfaces  S  et  S',  toutes  deux  fermées  et  appartenant  toutes  deux  à 
l'espace  ['/.,  [x,  v)  contiennent  à  leur  intérieur  les  mêmes  courbes  singulières  et 
les  mêmes  portions  de  courbes  singulières,  l'intégrale  prise  le  long  de  S  sera 
égale  à  l'intégrale  prise  le  long  de  S'. 

Il  faut  toutefois  avoir  soin  de  |jrendreles  deux  intégrales  dans  le  même  sens. 
Nous  avons  défini  le  sens  d'intégration  à  l'aide  de  l'observateur  O.  Nous  suppo- 
serons donc  que  cet  observateur  a  la  même  position  par  rapport  aux  deux 
surfaces  S  et  S  .  S'il  a  la  tête  vers  l'extérieur  de  la  surface  S.  il  devra  avoir 
aussi  la  tête  vers  l'extérieur  de  la  surface  S'  el  inversement. 

Il  peut  arrivei'  que  deux  >urtaces  fermées  S  el  S'  tout  en  n'up])artenanl  pas 
au  même  espace  (/.,  ,a,  v)  contiennent  néanmoins  à  leur  intérieur  une  même 
courbe  singulière. 

Soient  en  effet 

/,  (.r,  r,  z)  =  o,         t  =  fUx,  y,  z) 

les  équations  d'une  courbe  singulière  G. 

H.  P.  —  m.  58 


458  SUR  LES  RÉSIDIS  DES  INTÉGRALES  DOUBLES. 

Cette  courbe  C  appartiendra  à  la  fois  à  l'espace  (>.,  p.,  v)  défini  par  les  équa- 
tions fondamentales 

■r  =  À,  y  =  a.         c  =  V,         t=f,{X,  IX.,  v), 

el  à  l'espace  (/.',  [x' ,  v')  défini  par  les  équations 

X  =  V,  y  =  ;ji'.  z  =  ■/'.  t  =  /i(À'.  iji'.  v')  -!-/,().',  iz',  v'). 

Il  pourra  se  faire  alors  qu'une  surface  fermée  S  appartenant  à  l'espace  (^,  fi,  v) 
contienne  à  son  intérieur  la  courbe  singulièrr  C  el  n'en  contienne  pas  d'autre; 
et  qu'une  autre  surface  fermée  S'  appartenant  à  l'espace  {V ,  ix\  v')  contienne  à 
son  intérieur  la  courbe  singulière  C  et  n'en  contienne  pas  d'autre. 

L'intégrale  prise  le  long  de  S  e*l  alors  égale  à  l'intégrale  prise  le  long  de  S'. 
11  faudrait  toutefois,  pour  s'assurer  que  l'intégration  a  bien  lieu  dans  le  même 
sens,  une  discussion  délicate  que  je  réserverai  pour  le  paragraphe  suivant.  Je 
me  contenterai  donc  pour  le  moment  de  dire  que  les  deux  intégrales  sont 
égales,  ou  égales  et  de  signe  contraire. 

On  peut  résumer  tout  ce  qui  précède  en  disant  (pic  l'intégrale  prise  le  long 
d'une  surface  fer/née  S  7ie  dépend  (jite  des  courbes  singulières  (jui  sont 
contenues  ii  l'intérieur  de  cette  sur/are. 

rV.  —  Résidus  des  fonctions  rationnelles 
Soit  une  l'onction  rationnelle 

Ecrivons-la   en   mettant  en   évidence  le  numérateur  et  le  déiuiminateui'  et  en 

décomposant  le  dénominateur  en  facteurs  irréductibles.  Supposons  pour  fixer 

les  idées  que  ce  dénouiinateur  admette  drux  semblables  facteurs. 

Soit  donc 

Pi;,  ï,) 


F(;-^)  = 


Q(?,  T.tRlI.r.» 


P,  Q  et  11  étant  trois  polynômes  entiers  dont  les  deux  derniers  sont  irréduc- 
tibles. 

Considérons  un  espace  (>.,  p.,  v)  défini  \>nv  les  quatre  équations 

x  =  s,(/,,  [i,  v),         j  =  Çj(À,  [i.  v),  ^=  ï:,(/.,  [i,  V),  /  =  5,.(À,  |ji,  v) 

et  dans  cet  espace  une  surface  fermée  S. 


SIR    LES    llÉSIDi;S    nES    INTKGBALES    DOUBLES.  4^9 

Il  s'agil  de  calculer  l'intégrale  double 


// 


|•(^  T,)(/tr/r, 


[)iise  le  long  de  S,  l'observateur  O  étant  dirigé  vers  l'exlériour. 

Cette  intégrale  dépond  connue  nous  l'avons  vu  des  courbes  singulières  qui 
sont  contenues  à  l'intérieur  de  la  surface  S. 

Les  courbes  singulières  de  l'espace  (À,  p,  v)  sont  de  deux  sortes  : 

Les  unes  onl  pour  équations 

Q[s,(X,  iji,  'i)-his.,(l,  II,  v),      Ç;,(/.,  [x,  v) -f- (■o.,(/.,  [ji.  v)]  =  o, 

les  autres  ont  pour  équations 

R[9i-t-(Ç.,,      OjH- (cpv]  =  o. 

D'ailleurs,  celles  de  ces  courbes  qui  .--eront  contenues  tout  enlières  à  l'inté- 
rieur de  la  surface  fermée  S  devront  évidemment  être  des  courbes  fermées. 

Supposons  que  la  surface  S  contienne  à  son  intérieur  plusieurs  courbes 
singulières  fermées,  par  exemple  deux  que  j  ap|)cllerai  C  et  C.  Nous  pourrons 
toujours  construire  dans  l'espace  (/,  fx,  v)  deux  surfaces  fermées  i  et  i'  situées 
toutes  deux  à  l'intérieur  de  S  et  contenant  à  leur  intérieur,  la  première  C  et  C 
seulement,  la  seconde  C  et  C  seulement;  l'intégrale  prise  le  long  de  S  sera 
alors  la  somme  de  l'intégrale  prise  le  long  de  i  et  de  l'intégrale  prise  le  long 
de  i',  l'observateur  O  qui  définit  le  sens  d'intégration  demeurant  toujours 
dirigé  vers  l'extérieur. 

Nous  sommes  ainsi  ramenés  au  cas  où  la  surface  S  ne  contient  à  son  intérieur 
qu'une  seule  courbe  singulière  C. 

Toutes  les  surfaces  S  renfermant  la  courbe  C  conduiront  à  la  même  inté- 
grale. Il  n'est  pas  nécessaire  |>our  cela  que  ces  diverses  surfaces  S  appartiennent 
au  même  espace  (>,,  jx,  y). 

Construisons  donc  un  espace  Çk',  p.',  v')  particulier  contenant  la  courbe  C  et, 
dans  cet  espace,  une  surface  fermée  i  renfermant  cette  courbe.  Nous  choisirons 
cet  espace  et  celte  surface  de  telle  sorte  que  l'intégration  soit  facile  et  l'inté- 
grale cherchée,  c'est-à-dire  l'intégrale  prise  le  long  de  S,  sera  égale  au  signe 
près  à  l'intégrale  prise  le  long  de  i. 

Nous  pourrons  toujours  mettre  les  équations  de  la  courbe  C  sous  la  forme 


46n  SUR    LES    RÉSIDUS    DES   TNTÉGRALKS    DOUBLES. 

les  '\i  étant  des  fonctions  périodiques  du  paramètre  (o,  puisque  cette  courbe  est 
fermée.  Nous  supposerons  que  la  période  est  égale  à  271. 

Cela  posé  nous  introduirons  deux  autres  |)aramètrcs  p  et  cp  et  nous  écrirons 

).'=  cosw(  I -f- ;  cosi).         ij.'=  sin(o(  I -1- c  coSy).         ■/■=psiiiï, 

j-  =  'il  (  f)  ).         j-  =  'l-,  (■  to  ).  ;  =  'V|(  oj)  +  p  cos  ï, 

t  =  'i-.i  w)  -I-  5  sini. 

Ainsi  J?,_>',  ;  et  t  sont  définis  en  fondions  de  to,  0  et  i-  et  par  conséquent  en 
fonctions  de  /.',  ;j.',  v'.  Mais  il  faut  faire  ici  une  remarque  : 

X,  y,  z  et  I  sont  des  fonctions  uniformes  de  <.),  o  et  9,  mais  non  de  )/,  |j.',  v'. 
Toutefois  si  l'on  convient  que  0  devra  toujours  être  compris  entre  o  et  1,  à  un 
système  de  valeurs  1\  ;jl',  v',  correspondra  un  seul  système  de  valeurs  de  p, 
cosw.  sinoj,  coso,  sino  et  un  seul  système  de  valeurs  de  .r,  )',  ;,  /  ;  grât;e  à  cette 
rehlriclion  x,  y,  z  cl  t  deviennent  donc  des  fonctions  uniformes  de  "//,  ,u',  v'. 

A  un  point  de  l'espace  ("/.',  /i',  v')  satisfaisant  à  la  condition  p  <i,  c'est-à- 
dire  situé  à  l'intérieur  d'un  certain  tore,  correspond  donc  un  point  et  un  seul 
de  l'hyperespace. 

Dans  ce  mode  de  représentation,  la  courbe  C  est  représentée  par  le 
cercle  (p  =  u  ) 

À'--)-  ;ji'-  =1.  ■/'=  O. 

Nous  prendrons  pour  la  suiface  -  le  tore  dont  l'équ.itiun  est 

ç.  =  p„.  o  <  p„<  I. 

Ce  tore  enveloppe  m.inifeslement  la  courbe  C.  Nous  allons  voir  que  le  calcul 
de  l'intégrale 


//• 


le  long  de  celle  surface  i  est  parlicullèrement  simple. 

Décomposons  en  effet  l'intégration  en  deux  parties;  intégrons  d'abord  par 
rapport  à  r,,  en  regardant  ;  comme  un  païamètre  arbitraire.  Nous  avons  : 

3  =  'i/3(  (o)  -+-  o„  cosç.         I  =  Z;[  m)  -+-  Pu  sin;. 

Si  c,  est  regardé  un  instant  comme  une  constante,  u  sera  aussi  une  constante  ; 
il  en  est  de  même  de  po,  9  étant  la  seule  variable.  On  a  alors  : 

•r,  =  'l:i-¥-  /'ii-t-  pdP'î, 

ce  qui  montre  que  le  point  r,  décrit  dans  le  plan  des  y,  un  cercle  de  rayon  po 


SUR    LES    HBSIUUS    DKS    INTÉGRALES    DOURLKS.  4Gl 

ayant  pour  centre  le  point  ^^3-}- ri/-,.  L'intégrale  simple 

est  alors  égale  à  21-  multipliée  par  le  résidu  de  la  fonction  F(;,  ri  )  (regardée 
comme  fonction  de  r,  seulement)  par  rapport  au  point  'J>;,  +  /'];.,. 

Imaginons  pour  fixer  les  idées  que  le  long  de  la  courbe  C  ce  soil  le  premier 
facteur  Q(ç,  ri)  du  dénominateur  ijui  s'annule,  de  telle  sorte  que 

Le  résida  en  question  est  alors  facile  à  calculer  et  l'on  trouve  pour  l'intégrale 
simple  : 

OÙ 

el  où  par  conséquent 

Q(;.  T,)  =  o. 

Il  faut  maintenant  intégrer  par  rapport  à  ;  en  faisant  varier  ',>  de  o  à  27:, 
c'est-à-dire  en  suivant  toute  la  courbe  C.  On  est  donc  ramené  à  chercher  l'in- 
légrale  simple 

/Q 


le  long  de  la  courbe  C,  n  étant  supposé  lié  à  ;  par  la  relation  algébrique 

Q(?,  r,)  =  o. 

Cette  intégrale  est  donc  une  intégrale  abélienne  attachée  à  la  courbe  algé- 
brique Q  =  o. 

Il  suffit  d'un  peu  d'attention  pour  vérifier  que  si  l'on  veut  obtenir  l'intégrale 
le  long  de  2,  l'observateur  O  étant  dirigé  vers  l'extérieur,  il  faut,  en  prenant 
l'intégrale  J,  suivre  la  courbe  C  dans  le  sens  des  w  croissants. 

L'intégrale  prise  le  long  de  S  sera  donc  aussi  égale  à  J  ou  à  — .1  ;  car  elle  est 
égale  au  signe  près  à  l'intégrale  prise  le  long  de  i.  Il  reste  à  déterminer  le 
signe. 

Imaginons  que  l'on  fasse  varier  d'une  manière  continue  les  quatre  relations 
fondamentales 

.r  =  ;i(X,  1.1.  v),         J- =  î>.,(X.  ,u.  v),  ;  =  Sn(À,  H,  -'):  '  =  ?■.(>•,  [J^.  '') 


462  SIR    LES    RÉSIDL'S    DES    INTÉGRALliS    DOLBLES. 

et  qu'eu  même  temps  on  fasse  varier  également  d'une  manière  continue  la  sur- 
face S,  mais  de  telle  sorte  que  la  courbe  C  reste  toujours  dans  l'espace  (>.,  p.,  v) 
et  à  l'intérieur  de  S. 

L'intégrale  ne  variera  pas,  tant  que  la  surface  S  ne  contiendra  pas  d'autre 
courbe  singulière  que  C. 

Cela  posé  envisageons  les  douze  dérivées  partielles  de  x,  y.  s,  t  par  rapport 
à  À,  p.,  V  : 


Tri. 


d\ 


11' 


dz>. 


et  d'autre  part  les  quatre  dérivées  de  T,y.  :,  t  par  rapport  à  w,  en  supposant 
que  le  point  .r,  )-,  z,  l  décrive  la  courbe  <",  : 


r/j- 
rh'i 


dw 


dv_ 


Envisageons  ensuite  le  déterminant 


dy 

dx 

dx 

d.r 

dv) 

d'f. 

Tfi. 

d; 

d.r 

dy 

dy 

dy 

dw 

(h 

d^ 

d; 

dt 

dz 

dz 

dz 

d(D 

dX 

rfix 

7f, 

dz 

dt 

dt 

dl 

c/o) 

d\ 

da 

d; 

=  A. 


Je  dis  que  si  A  s'annule  en  un  point  ([uelconque  de  C.  il  y  aura  à  l'intérieur 
de  S  une  autre  courbe  singulière  que  C  (en  négligeant  certains  cas  exception- 
nels (|u'il  serait  d'ailleurs  inutile  d'envisager  ici) 

Pour  qu'une  courbe  gauche  possède  un  point  double,  il  suflil  en  général 
que  le  calcul  des  cosinus  directeurs  de  la  tangente  conduise  à  une  indétermi- 
nation. Cherchons  donc  à  déterminer  la  tangente  à  C;  l'éciualion  des  courbes 
singulières 

peut  se  résoudre  par  rapport  à  o,  d'où  : 


d'où 


B/. 


A  et  B  étant  les  parties  réelle  et  imaginaire  de  la  dérivée  de/(^). 


SIR   LES   RESIDUS    DES   INTEGRALES    DOUBLES. 


4OJ 


Cela  donne 


(•I 


(   (/z  =  X  <i.r  —  B  dy. 
I   (//  =  Bf/.r  -I-  Af/i-. 


Nous  devons  chercher  la  tangente  à  C  et  pour  cela,  il  faut  déterminer  les 
rapports  des  quatre  différentielles  dx,  dy.  dz,  dt.  Pour  cela  nous  avons  l'équa- 
tion 


(-0 


d.r 
dy 
dz 
dt 


dx 

dx 

dx 

dl 

dix 

f/v 

dy 
d\ 

dy 

d\>- 

dy 
d-> 

dz 

dz 

dz 

d\ 

d^j. 

d; 

,l( 

dl 

dl 

<n. 

dix 

d; 

qui  jointe  aux  équations  (  i)  suffit  en  général  pour  déterminer  dx.,  dy.,  dz,  dt. 
Mais  comme  d.r.  dy,  dz,  dt  sont  des  différentielles  se  rapportant  à  C,  elles 
doivent  être  proportionnelles  à 


dx        dy        dz 


'Il 

dw 


de  sorte  qu'on  a  toujours  : 


dx 

dx 

dx 

dx 

dto 

d'i. 

d\x 

di 

dy 

dt» 

dv 

d\ 

dy 

dix 

dy 

dz 

-dz 

dz 

dz 

dM 

d}. 

'h 

d, 

dl 

dl 

dt 

dt 

do, 

d'i. 

d\x 

d, 

On  a  toujours  d'ailleurs 


dz 

dl» 

dl 
7h» 

=  A 1-  b  —    , 

r/(o              (tio 

ce  qui  montre  que  les  différentielles 

—  dx  —  i-^,  dy 


,dy^ 

dv> 


dx 
dl» 


dt 
—  dz  =  t  -7-  » 
rfco 


,  dz 

dl  =  1-^- 

dl.» 


(où  £  est   une  quantité   infiniment  petite  quelconque)  satisfont  toujours  aux 
équations  (i). 


4(m 


SIR  LES  RESIDLS  DES  INTEOUALES  DOIBLES. 


Si  de  plus  on  a  A  =  o,  elles  salisferonl  ésaleiiienl  à  l'équation  (2).  Mais 
alors  ces  équations  (i)  et  (2)  ne  suffiront  plus  pour  déterminer  les  quatre  diffé- 
renlielles.  La  courbe  ('.aura  donc  un  point  double. 

Donc  si  en  un  point  de  la  courbe  C,  A  s'annule,  ce  point  esl  un  poinl 
double;  ou  bien  encore  nous  pouvons  dire  que  la  surface  S  contient  outre  la 
courbe  G  une  autre  courbe  singulière  qui  vient  couper  C.  Une  discussion  [)lus 
approfondie  montrerait  (ju'il  y  a  des  cas  d'exception,  mais  que  ces  cas  ne  se 
présenicront  pas  si  A  s'annule  en  changeant  de  signe. 

En  conséquence,  si  li  surface  S  ne  contient  pas  d'autre  courbe  singulière 
que  C,  lé  détermiiianl  A  conservera  le  même  signe  loul  le  b'ug  de  G.  Imaginons 
maintenant  que  l'on  fasse  varier  S  et  l'espace  (À,  y.,  v)  d'une  façon  continue 
comme  nous  l'avons  dit  plus  haut.  Tant  que  A  ne  changera  pa>  de  signe,  l'in- 
tégrale ne  variera  pas. 

Donc  le  signe  de  l'intégrale  dépend  du  signe  de  A. 

Voyons  riucl  est  ce  signe  pour  1  intégrale  prise  le  long  de  —. 

On  a  alors  : 


A  = 


,fy 

d.r 

d.c 

d.r 

r/io 

doi 

(1? 

dô 

d.r 

dy 

dy 

dy 

.7w 

dv, 

'':- 

d\ 

,h 

dz 

dz 

dz 

I 

dO-',  v-' 

9) 

dl 

dt 

dz 
dl 

r/w 

do) 

dl 

d-- 

vient  ensuite 


c-os;)    "  I)  ; 


A  est  donc  de  même  signe  que 


d.r 

dy 

f/o) 

,/w 

dy' 

d.r 

,L 

;/,.) 

dz 

dl 

dZ> 

~  Tkli 

dt 

dz 

do) 

dii) 

COSO  —  0  -111  t 


c'est-à-dire  positif. 


SUB    LES    RÉSIDUS    DES    INTEURALES    DOUBLES.  465 

En  résumé  : 

L'intégrale  double  prise  le  long  de  S  est  égale  à  l'intégrale  sini|)Ie  ahélienne 

/Q 


prise  le  long  de  la  courbe  C,  <^l  l'un  doit  parcourir  celte  courbe  dans  le  sens 
des  w  croissants  si  A  est  positif  et  des  co  décroissants  si  A  est  négatif. 
■  Ainsi  les  périodes  de  l' iiilègrale  double 


J  J  ~W~ 


sont  les  mêmes  que  celles  de  l' intégra  le  siiii/)le  abéln'n/i' 

•■>.ir.P,r- 


relaliie   ci  la   courbe  atgébriijue  Q  =  o  el  aussi  i/ue   celles  de   riiilégrale 
simple  abèlienne 


relative  îi  la  courbe  algébri(jue  11=  o. 

Nous  savons  qu'une  intégrale  abèlienne  possède  deux  sortes  de  périodes,  les 
périodes  cj'cliques  el  les  périodes  polaires.  Les  intégrales  de  i)reniicre  el  de 
deuxième  espèce  ne  présentent  que  des  périodes  cycliques. 

Eludions  d'abord  les  périodes  cycliques.  Si  la  courbe  Q  =  o  est  de  genre  y, 
l'intégrale  J  admettra  2^  périodes  cycliques.  Si  la  courbe  R  =  o  est  de  genre  /•, 
l'intégrale  J'  admettra  ac  périodes  cycliques.  L'inlégrale  double  aura  donc  en 
tout  2cy  +  2  /•  [iériodes  cycliques. 

Quelle  est  la  condition  pour  que  celte  intégrale  n'ail  que  des  périodes 
cycliques.  Il  faut  que  les  intégrales  J  cl  J'  soient  de  première  ou  i\v  deuxième 
espèce.  Pour  cela  il  fanl  et  il  suffit  que  la  courbe  P  =  o  passe  par  tous  les 
points  doubles  des  deux  courbes  1\  =  0,  Q  =  o,  ainsi  que  par  les  points  d'in- 
tersection de  ces  deux  courbes,  à  l'exception  toutefois  des  points  où  ces  deux 
courbes  se  touchent. 

Passons  maintenant  aux  périodes  polaires.  Les  pôles  de  l'intégrale  J  sonl  les 
II.  P.  —  m.  59 


406  8UB    LES   RÉSIDUS   DES    INTEURALES    DOUBLES. 

points  d'intersection  des  deux  courhes 

R  =  o.        Q  =  o 

et  les  points  doubles  de  la  courbe  Q  =  o. 

Pour  les  premiers,  le  résidu  est  facile  à  calculer.  On  lrouv(>  que  la  période 
est  égale  à 

'  '■    (/Q  (m  _  dO  dR 

<l'i    ~>l\  ~  <l\    'H 

OÙ  i,  r,  sont  remplacés  par  les  coordonnées  du  point  d'intersection  considéré. 

Si  Ton  considèri'   ce  même  point  d  intersection  comme   un  |)ôle  de  l'inlé- 
grale  J',  on  est  conduit  au  même  résultat,  au  signe  près. 

Pour  les  points  doubles  de  Q  =;  o,  on  trouve  : 

.    ,  P 


où  ç  et  /;  sont  remplacés  par  les  coordonnées  du  point  double. 

En  envisageant  l'intégrale  J'  et  les  points  doubles  de  Pv  =  o,  on  serait  conduit 
à  tles  périodes  de  la  forme 

En  résumé  si  les  deux  courbes  Q  =  o,  R  =  o  sont  respectivement  d'ordre  m 
et  ri  avec  /i  et  /.  points  doubles,  on  aura  : 

(m  —  i)( m  —'>.)  .  _  '  "  —  '  '  ( "  —  ■' ^        /. 


7  = 


et  l'intégrale  double  admelira  les  périodes  suivantes  : 

i"  les 

■),y  -i-  ■>  ,■  =  [^„i  —  i){in  —  2)  -h  (Il  — 1)("  —  ■■'■)  — ■>(/i  -+-  /•") 

périodes  cyclirpies; 

:>."  les  nin  péiiodes  relatives  aux  inn  points  d'inlerseclion  des  deux  courbes; 
3°  les  //  périodes  relatives  aux  h  points  doubles  de  Q  =  o  : 
4"  les  /.  jiériodes  relatives  aux  A  points  doubles  de  11  ;=  o. 

Il  V  aura  donc  en  tout 

m- -h  ma  -+-  n- —  'S{in  -(-  «  )  -t-  p  —  h  —  /. 
périodes. 


SUR  LES  RÉSIDUS  DES  INTÉGRALRS  DOUBLES.  467 

Si  l'on  considère  les  deux  courbes  Q  =  o,  R  =  o  comme  n'en  formant  qu'une 

seule  qui  a  pour  équation 

QR  =  o, 

elle  sera  de  degré  p  ^  m  -\-  n  et  aura 

(/  =  //)  ri  -^  /i  -h  /l 

points  doubles. 

l..e  nombre  des  périodes  auquel  on  est  conduit  est  alors 

p-—  i/j  -h  1  —  '/. 

Si  l'on  avait  eu  au  dénominateur  un  |)olynome  indécomposable  Q,  que  ce 
polynôme  eût  été  de  degré  p  et  que  la  courbe 

Q  =  o 

eût  eu  f/  points  doubles,  on  aurait   trouvé   pour  le  nomi)re  des  périodes,  en 
appliquant  les  formules  précédentes, 

//-  —  3p  -t-  3  • —  d. 

\  oici  donc  ce  que  nous  pourrons  dire  en  général  : 

Soient  p  le  degré  du  dénominateur^  v  le  nombre  de  ses  facteurs  irréduc- 
tibles^ d  le  nombre  des  points  doubles,  le  nombre  des  périodes  sera  : 

p-  — ■  iji  -+-  -1-  V  —  iL 

Ce  nombre  peut  se  réduire  dans  certains  cas  particuliers. 

Nous  ne  nous  sommes  occupés  jusqu'ici  que  du  cas  où  tous  les  facteurs  du 
dénominateur  sont  distincts.  Il  nous  reste  à  examiner  ceux  où  deux  ou  plu- 
sieurs de  ces  facteurs  se  confondent,  ce  qui  arrivera  par  exemple  si  le  dénomi- 
nateur est  un  carré  parfait. 

Il  f  ludrait  donc  étudier  les  périodes  de  l'intégrale  double 

r  r  P  di  de, 

J  J  (J^U?ST 

où  Q,  R  et  s  sont  des  polynômes  entiers  irréductibles,  et  où  a,  (3,  y  sont  des 
exposants  entiers. 

Il  nous  suffira,  pour  faire  comprendre  la  marche  à  suivre,  de  considérer  le 
cas  particulier  de  l'intégrale 

Les  courbes  singulières  ont  alors  pour  é([uations 

Q=o. 


'|()8  SIR    LES    RÉSIDUS    DES    INTÉGRALES    DOUBLES. 

Pour  calculer  l'intégrale,  il  faut  employer  le  procédé  de  la  diflerenlialion 
sous  le  signe    /    /  • 

Considérons  l'intégrale  double  [prise  le  long  de  S| 


r  rvd'jd-r, 


Nous  avons  \  u  qu'elle  est  égale  à  l'intégrale  simple  ahélienne,  prise  le  long  de  C, 


'-J 


'V  dl 
dq 

dr, 


relative  à  la  courbe  algébrique 


Q  =  a. 


C'est  une  fonction  de  y.  donl  la  dérivée  j)ar  rappori  à  y.  est  égale  à 

r  r  p  d'-  dr^ 

J  J  (Q-^r-' 

Différentions  de  même  l'intégrale  simple  J  par  rapport  à  y.;  nous  trouvons  : 


On  a 


d 

P 

d 

P 

dr, 

ch 

dq- 

dr, 

"  ;/r, 

dq 

dr, 

d% 

p 

dq 

. 

dY  dq      ^d-q 

dr\    dr,              dr,- 

/dqy- 

d 

h 

\ 

dr,  , 

1 

De  plusr,  nous  csl  donné  en  fonction  de  ;  et  de  a  par  l'égalilé 

Q  =  a. 
En  la  dilTéienliant  par  rapport  à  a  on  trouve 


Il  vient  donc 


dq  dr,  _ 
dr.   dru 


dr,    rh, t/V  ^/j 


m 


I3'où  l'on  conclut  que  les  périodes  de  Vintègrale  double 


Sun    LES    RÉSIDUS    DES    INTEGRALES    DOUBLES.  /jôg 

sont  les  mêmes  que  celles  de  r intégrale  simple  abèlienne 

clr,    t/r,  (tr,- 


(dqy 
VI' J 


vi'lali\rs  à  la  courbe  ali.'rbiiijuf  Q  =r  o. 

Un   cas  particulier  intéressant  est  celui  des   périodes  polaires.  Soit,  par 
exemple,  à  calculer  celle  des  périodes  polaires  de  l'intégrale  double 

ff'W 

qui  se  rapporle  au  point  d'intersection 

Ç  =  «,         r,  =  b 
des  deux  courbes 

R  =  o,        Q  =  o. 

On  pourrait  faire  le  calcul  à  laide  de  la  formule  précédente,  mais  il  est  plus 
simple  d'opérer  comme  il  suit  :  , 

Considérons  les  périodes  polaires  de  l'intégrale 

J  J    R(Q  — :() 

et  en  particulier  celle  qui  se  rapporte  au  point  d'intersection 

t  =  a'.         r,  =  b' 
des  deux  courbes 

R  =  o,        (>  =  a. 

Je  suppose,  bien  entendu,  que  a'  et  h'  se  réduisent  à  a  el  b  quand  y.  s'annule. 
Cette  période  est  égale  à 

■*"'  \{a'.b'y 

A  désignant  le  déterminant  fonctionnel  de  R  et  de  Q. 

Nous  n'avons  plus  qu'à  difTérentier  cette  expression  par  rapport  à  a. 
Appelons  o  la  fonction 

Appelons  D(ï,  r, )  le  déterminant  fonctionnel 

dz,  'iR_(J±dR 
7à  </r,        ,/r,    d';  ' 


iyO  SUR  LES  RÉSIDUS  DES  INTÉGRALES  DOUBLES. 

Nous  trouverons  que  la  période  Je  l'intégrale  double 

J  J     R«^^ 
est  égale  à 

__  D(a,  h) 
'^  A(a,  b)' 

On  voit  aisément  comment  on  opérerait  si  l'exposant  de  Q  était  plus  grand 
que  2. 

En  particulier,  l'intégrale  double 


f  r y  dj  d-n 

J  J    (Ç-a)«(7,-/>) 


n'a  qu'une  seule  période  qui  a  pour  expression 

4:r'-P'(a,  b) 
{n-iy.(p-iy. 
OÙ  l'on  a  posé 

(/iL  +  p-l   1> 


/"-'fdP-'r, 

De  même  l'intégrale 


(aÇ  -I-  [3ti)"(1'Ç-*-ôT|)/' 
a  utie  seule  période  dont  l'expression  est 

( aS  —  '^■{)"+J'  (n  —  i)\{p  —  i)\ 

Pour  définir  ici  la  fonction  P'(t,  ri)  qui  n'a  plus  la  même  signification  que 
plus  haut,  nous  supposerons  qu'on  ail  changé  de  variables  en  faisant 

et  nous  poserons 

f/n-t-/)-2p 


Y.  —  Méthode  de  M.  Stieltjes. 

M.  Stieltjes  a  découvert  il  v  a  quelques  années  une  remarquable  généralisa- 
tion de  la  série  de  Lagrange.  Considérant  l'intégrale  double 

//^ 

qui  a  fait  l'objet  du  paragraphe  précédent,  et  l'intégrant  le  long  d'une  surface 


StR    LES    RÉSIDUS    DES   INTKGRAI.ES    DOUBLES.  47' 

parliciiliéro,  il  découvrait  Fiino  de  sus  périodes,  qui  a  pour  expression 


(it 


i;  et  ri  étant   remplacées  par  les  coordonnées  d'un  des.  points  d'inlerseetion  des 

deux  courbes 

O  =  o,         R  =  o. 

On  n'a  plus  qu'à  faire  dans  cette  formule 

(  Q  =  ? -/'/(?■  r,x 

(/(  et  /  étant  deux  quantités  très  petites:/,  o  et  F  trois  polynômes  quelconques 
en  ^,  ri)  pour  retomber  sur  une  généralisation  de  la  formule  de  Lagrange. 

M.  Stieltjes  ne  publia  pas  toutefois  sa  découverte  et  se  borna  à  la  commu- 
niquer à  quelques  amis;  mais  de  graves  objections  lui  furent  faites  et  le  déter- 
minèrent à  ne  pas  publier  ses  résultats. 

Etait-il  certain  que  la  fonction  sous  le  signe  /  /  ne  devenait  pas  infinie  en 
quelques  points  de  la  surface  d  intégration? 

Comment  se  faisait-il,  puisque  rien  ne  distingue  Q  de  R,  qu'on  changeât  le 
signe  de  l'expression  (i)  en  permutant  Q  et  Pi? 

La  discussion  du  paragraphe  précédent  nous  met  aujourd'luii  en  mesure  de 
répondre'  à  toutes  ces  objections. 

Commençons  par  introduire  les  quatre  relations  fondamentales  qui  défi- 
nissent l'espace  (À,  ,u,  v);  nous  écrirons  : 

5(  A- —  Il  aXs  ?  ao  l'io 

Y  —  ■ 


k-  -(-  I  -  A-  -M  k-  H-  1  /. -  -f-  I 

où  l'on  a  posé  pour  abréger 

k-  =  X-+  [ji--(-  V-. 
Les  deux  équations 

s   =:  o  et  T,   =  o 

représenteront  respectivement  dans  l'espace  (X,  |jl,  v)  le  cercle 
(3)  À  =  o.         |J''-t-  ■'"=  I 

et  l'axe  des  'k 


47'*  SIR    LES    nÉ51DLS    DES    INTÉGRALES    DOl'BLES. 

Si  h  el  k  sont  assez  pelils,  les  deux  équations 

Q  =  o        et        P.  =  o 
ou  ce  qui  revicnl  ;iu  même 

;  ^  hf  et  T,  =  /ï 

représenteront  rcspectivenient  dans  l'espace  (/.,  [j..  v)  une  courbe  l'ennée  très 
peu  différente  du  cercle  (3),  el  une  autre  courbe  fermée  se  rapprochant  beau- 
coup de  l'axe  des  A  dans  Ions  les  points  situés  à  dislance  Unie. 

Il  importe  de  remarquer  que  ces  deux  courbes  sont  entrelacées  l'une  dans 
l'autre.  Je  veux  dire  par  là  qu'il  sérail  impossible  de  construire  une  portion  de 
surface  simplement  connexe  limitée  à  l'une  des  deux  courbes  fermées  et  qui  ne 
coupe  pas  l'autre  courbe  fermée. 

La  surface  irintégralion  considérée  par  M.  .Stieltjes  est  définie  comme  il 
suit  :  on  tail  décrire  à  ;,  dans  son  plan,  un  cercle  ayant  pour  centre  l'origine, 
pendant  que  r;  décrit  de  son  côté  dans  son  plan  un  autre  cercle  ayant  aussi 
pour  centre  l'origine. 

Les  équations  de  la  surface  d'intégration  sont  donc 

.Si  nous  revenons  à  notre  moile  de  représentai  ion.  il  faut  que  nous  sup- 
posions 

La  surface  tl'intcgratiun  sera  alors  représentée  dans  l'espace  (>,,  p,  v)  par  la 
surface 

(  /.  -  —  1  ■)-  p  'î  =    1  p5  (  fi-  --  V2  ). 

Celle  surface  esl  un  tore;  le  cercle 

?  =  " 
et  par  conséquent,  si  //  est  1res  petit,  la  courbe  fermée 

;  =  /'./■ 

se  trouvent  entièrement  à  l'inlérieur  de  ce  tore. 
Au  contraire  l'axe  des  À 

7)  =o 
et  par  conséqueni,  si  k  esl  très  petit,  la  courbe  fermée 

•r,  =  I:-. 
se  Uiiuveul  enlièreinrnt  a  l'extérieur  de  ce  tore. 


Sl'R    l.ES    RÉSIDUS   DES    INTÉGRALES    nOlRI.ES.  473 

On  voit  toul  de  suite  que  la  première  objection  faite  à  M.  Stielljes  est  levée, 
puisque  le  tore  ne  coupe  en  aucun  point  les  courbes  singulières. 

Nous  défmirons  le  sens  d'intégration  comme  nous  l'avons  fait  jusqu'ici,  par 
un  observateur  placé  sur  le  tore  ;  je  supposerai  par  exemple  que  cet  observateur 
est  dirigé  vers  l'extérieur. 

La  seule  courbe  singulière  située  à  l'inlériour  de  la  surface  d'intégration  est 


la  courbe 


i  =  l'.f- 


L'intégrale  cherchée  se  ramène  donc  à  une  intégrale  abéiienne  simple  rela- 
tive à  celte  courbe.  Il  suflil  d'un  peu  d'attention  pour  reconnaître,  en  appli- 
quant les  règles  du  paragraplie  précédent,  que  cette  période  est  une  période 
polaire  et  qu'elle  est  égale  à 


4::^P 


11  nous  est  facile  de  voir  maintenant  comment  tombe  d'elle-même  la  seconde 
objection  qui  avait  été  opposée  à  M.  Stielljes.  Il  n'est  pas  vrai  que  rien  ne 
distingue  Q  de  R.  La  courbe  Q  =  o  ou  ^  =  /;/  est  à  l'intérieur  du  tore  qui 
nous  sert  de  surface  d'intégration;  la  courbe  R  =  o  ou  r,  =  Acp  est  au  contraire 
à  l'extérieur.  Si  donc  nous  considérons  l'observateur  qui  déliiiit  le  sens  de 
l'intégration,  nous  verrons  qu'il  est  dirigé  vers  l'extérieur  du  tore,  c'est-à-dire 
du  même  côté  que  la  courbe  R  =  o,  et  du  côté  opposé  à  la  courbe  Q  ^  o.  Ces 
deux  courbes  jouent  donc  des  rôles  différents. 

La  seconde  partie  de  l'analyse  de  M.  Stielljes  ne  soulevait  pas  d'objection 
analogue  à  celles  que  nous  venons  de  discuter.  Néanmoins  comme  elle  n'a  pas 
encore  été  publiée  et  qu'elle  est  fort  courte,  je  vais  l'exposer  ici  en  quelques 
mots. 

Si  nous  donnons  à  P,  Q  et  R  leurs  valeurs  (2),  il  est  aisé  de  voir  que  notre 
intégrale  sera  égale  à 

\„  et  Y)„  étant  les  valeurs  de  ^  et  de  yî  très  voisines  de  o  qui  satisfont  aux  deux 
équations 


Kf- 


ïj  =  Âtp. 


D'autre  part  si  h  et  /,   sont  assez  petits  pour  qu'on  ait  en  tous  les  points  de 
notre  tore 


H.  V. 


111. 


Î74  SUR    LES   BÉSIDl'S    DES    INTÉGRALES    DOUBLES. 

rinlégrale  pourra  se  développer  en  série  comme  il  suit  : 


Z'-'-fr^m^-i'--// 


''/ 


F^J'-'fPr/^.d-n 


H"  T^+l 


'/-  ,. 


Ce  qui  donne,  d'après  les  principes  du  paragraphe  précédent, 


/•') 


(/(—!)!  (/v  —  O!  ' 

Dans  le  second  membre,  £  et  r,  sont  supposés  remplacés  par  o  et  o.  Quant  à  la 
notation  D„,p,  on  a  écrit  pour  abréger 

En  réduisant,  il  reste  pour  la  partie  entre  crochets 
ou  bien 
ou  enlin  en  réduisant  encore 

On  est  ainsi  conduit  à  une  généralisation  de  la  formule  de  Lagrange. 


VI.  —  Seconde  application. 

Il  n'est  pas  douteux  qu'on  ne  puisse  tirer  des  principes  qui  précèdent  une 
foule  d'applications  différentes.  Je  me  bornerai  à  exposer  ici  la  suivante. 

Il  est  aisé  de  démontrer  qu'f/«e  fonction  entière  (F une  variable,  dont  le 
modale  reste  inférieur  à  une  quantité  donnée^  se  réduit  à  une  constante. 


SUR    LES    RÉSIDVS    DES    INTÉGRALES    DOUBLES.  475 

(]e  résuUal  s'étend  immédiatement  aux  fonctions  de  deux  vaiialjles.  On  peut 
d'ailleurs  l'énoncer  comme  il  suit  : 

Une  fonction  entière  de  deux  variables  i^  et -n  qui  tend  vers  une  limite 
finie  et  déterminée  quand  \  et  -^  tendent  vers  V infini,  et  quelle  que  soil  la 
manière  dont  l  et  ri  tendent  vers  Vinfini,  se  réduit  à  une  constante. 

La  théorie  actuelle  nous  permet  de  faire  un  pas  de  plus. 

11  n'est  pas  nécessaire,  pour  que  la  fonction  se  réduise  à  une  constante, 
qu'elle  tende  vers  une  limite  finie  et  déterminée  quelle  que  soit  la  manière 
dont  I  et  ri  tendent  vers  linfini. 

Supposons,  pour  préciser  davantage,  que  l'on  pose 

5  =  (,a  -H  /  [i  ;>  p.         T|  =  (-.•-!-  /5)  p 
avec  la  condilioa 

(i)  a-^ ^ 'i'- -h -f^ -^  0- =  \ . 

Faisons  ensuite  croître  p  indéfiniment,  a,  (3,  y,  â  restant  constants. 
Les  théories  anciennes  nous  permettent  d'affirmer  ce  qui  suit  : 

Si,  quels  que  soient  «,  j3,  y,  ô,  la  fonction  entière,  F(ç,  o)  tend  vers  une  limite 
finie  et  déterminée,  cette  fonction  est  une  constante.  Il  n'est  d'ailleurs  pas 
nécessaire  que  cette  limite  'Soit  la  même  pour  toutes  les  valeurs  des  quatre 
quantités  a,  (3,  y,  ô;  il  suffit  qu'elle  soit  toujours  finie. 

Grâce  à  la  théorie  actuelle,  nous  pouvons  affirmer  quelque  chose  de  plus. 

La  fonction  entière  F  sera  une  constante,  non  seulement  pourvu  qu'elle 
tende  vers  une  limite  finie  pour  toutes  les  valeurs  possibles  de  a,  (3,  y,  ô,  mais 
encore  pourvu  qu'elle  tende  vers  une  limite  finie  pour  toutes  les  valeurs  de  a, 
j3,  y,  ô  qui  satisfont  non  seulement  à  la  relation  (i),  mais  à  une  autre  relation 
convenablement  choisie. 

Reprenons  les  quatre  relations  fondamentales  du  paragraphe  précédent  : 

p(k- — i)  2Xp  ajjip  --îvp 

>'  =  TT, )  s  =.  -n^ >  '  =  t:; ) 


A-  -h  I  )  ■  A 

Nous  avons  vu  que  les  équations 

5  =  1)         et         T,  =  O 

étaient  respectivement  représentées  dans  l'espace  (À,  p.,  v)  par  le  cercle 

X  =  O,         !•'■''  +  "'"  =  I 
et  par  la  droite 


47<J  SlIR    LES    RÉSIDUS    DES    INTÉGRALES  DOUBLES. 

Nous  avons  vu  en  outre  que  l'équiition 

iiiod-Ti  =  P5 

était  représentée  par  le  tore 

Ces  tores  sont  de  révolution  autour  de  l'axe  des  1  et  l'on  peut  les  définir 
géométriquement  en  disant  qu'ils  sont  le  lieu  des  points  M  tels  que  le  rapport 
de  la  plus  grande  et  de  la  plus  petite  distance  de  M  au  cercle  l  =  o  soit 
constant. 

Venons  maintenant  à  l'équation 

a?  -h  ?T,  =  o, 

où  :<  et  [î  sont  des  coefficients  imaginaires  quelconques.  Elle  représentera  aussi 
un  cercle,  lie  plus  ce  cercle  devra  se  trouver  tout  entier  sur  le  tore 


Ce  ne  peut  d'ailleurs  être  ni  un  des  cercles  méridiens  qui  ont  pour  équation 


;  corisl. 


ni  un  des  ceicles  parallèles  qui  ont  pour  équalioii 

I  =  consl. 

Mais  on  sait  (|ue  si  l'on  coupe  le  tore  par  un  plan  bilangent,  l'intersection  se 
décompose  en  deux  cercles.  Le  cercle 

X^  -f-  [i-i]  =  o 

sera  donc  l'un  de  ces  deux  cercles. 

Si  les  axes  sont  placés  comme  ils  le  sont  d'ordinaire,  ce  sera  celui  des  deux 
cercles  qui  e.--t  situé  à  gauche  d'un  ob^ervatcur  placé  suivant  l'axe  des  X  et 
regardant  la  partie  des  deux  cercles  qui  est  dirigée  vers  sa  tcte. 

En  faisant  varier  les  deux  coefficients  a  et  (3  on  obtiendra  donc  une  famille 
de  cercles  que  j'appellerai  les  cercles  C. 

Ces  cercles  seront  toujours  réels  et  leur  rayon  ne  pourra  s'annuler. 

Ce  qu'il  importe  de  remarquer,  c'est  que  deux  quelconques  des  cercles  C 
sont  entrelacés,  dans  le  sens  donné  à  ce  mot  au  paragraphe  précédent. 

En  effet  les  cercles 

a^  H-  'jr,  =  (I,  7;  +  3r,  =  o 


SUR    LES    BÉSIDL'S    DES    INTEGRALES    DOUBLES.  477 

sont  évidemmoiil  entrelacés  si 


X  =  i,         j  .-=  i>.        V  =  o.        o  = 


Faisons  ensuite  varier  d'une  manière  continue  les  quatre  coefiicienis 
X,  |3,  y.  0  et  voyons  si  les  deux  cercles  peuvent  cesser  d'être  entrelacés.  Ils  ne 
pourraient  cesser  de  l'être  que  s'ils  arri\uient  d'abord  à  se  couper.  Or  s'ils  se 
coupaient,  on  .lurait  un  point  d'interseclion  : 


-  =  r,  =  o, 


ce  qui  est  impossible,  puisque  l(;s  formule,'.  (■2)  conduisent  à  la  relation 


r,    -  =  p-. 


Pour  faire  comj)endre  l'importance  de  cet  entrelacement,  considérons  l'équa- 
tion plus  générale 


Sr.  =  V. 


Cette  équation  représentera  eiicurc  une  famille  de  cercles,  les  cercles  C, 
dont  les  cercles  C  ne  sont  que  des  cas  particuliers. 

Deux  cercles  C 

-A  —  H'-,  =  ï- 
a';  —  ?'-'-|  =  Y 

peuvent  être  ou  n'être  pas  entrelacés.  Ils  le  seront  si 

Ils  ne  le  seront  pas  dans  le  cas  contraire. 
L'intégrale  double 

J  J    ('A  -r-  [iT,  _  y  )  (a-?  -^  p'r,  -  -/)  ' 

prise  le  long  d'une  surface  qui  enveloppe  le  cercle 

=<;  —  r"^!  —  { 
en  laissant  en  dehors  le  cercle 

sera  égale  tantôt  à  o,  tantôt  à 

où  £0  t't  On  satisfont  aux  équations  simultanées 

Ai  +  e'Uo  =  Y,         2';o  —  ^^'■'■,1,  =  ■{'■ 


478  SVH    LES    BÉSIDUS   DES   INTEGRALES   DOUBLES. 

Elle  sera  égale  à  o  si  les  deux  cercles  ne  sont  pas  entrelacés  et  à 

s'ils  sont  entrelacés. 

Dans  le  cas  des  cercles  C,  comme  il  v  a  toujours  entrelacement,  on  aura: 

!•■  (Il  ,h.  4  r- 


,/i^ 


^  ?T,)(^'^-^  ?'■'))       ='>'—=''? 


773-F(<>,  o). 


De  même  l'intéorale  : 


s 


// 


F  di  dr, 


ia?+pT,)"H3c'$-i-|3'-r,)'' 


s"ex])rimera  très  simplement  à  l'aide  dus  dérivées  d'ordre  m -h p  de  F,  ou 
plutôt  des  valeurs  de  ces  dérivées  pour  ç  ;=  r;  =  o.  L'expression  sera  linéaire 
et  les  coefficients  dépendront  de  a,  (3,  y.',  (i'.  (  Voir  la  fin  du  paragraphe  IV.) 

Cela  posé,  voyons  comment  chaque  point  de  l'espace  (À,  p.,  v)  représente 
une  manière  pour  l  et  r;  de  tendre  vers  l'infini. 

Imaginons  que  1,  /Jt,  v  conservant  la  même  valeur,  p  croisse  indéfiniment. 
X,  y,  z  et  /  croîtront  indéfiniment  et  de  façon  que  leurs  rapports  demeurent 
constants.  Lors  donc  ([ue  3",  >',  ;,  t  croissent  au  delà  de  toute  limite,  mais  de 
telle  façon  que  leurs  rapports  tendent  vers  des  limites  finies  et  déterminées, 
cette  manière  de  tendre  vers  l'infini  sera  représentée  par  un  [)oint  de  l'espace 

!>■,  F'  ■•')• 

Une  surface  S  appartenant  à  cet  espace  représentera  donc  un  ensemble  de 

manières  de  tendre  vers  l'inllni. 

Imaginons  cpiune  surface  S  soit  telle  que  le  cercle 

aÇ  +  [iT)  =  o 
soit  tout  entier  à  son  inl('neur  et  le  cercle 

tout  entier  à  l'extérieur. 

Supposons  que,  quand  ç  et  r,  tendent  vers  l'infini  de  l'une  des  manières 
représentées  par  les  divers  points  de  cette  surface  S,  la  fonction  entière  F  tende 
vers  une  limite  finie  et  déterminée. 

A  cette  condition,  F  se  réduira  à  une  constante.  En  efï'et  l'intégrale 


// 


F  dk  dri 

la«  +  [J-f))"'fa'$-f-P'r,)/'' 


prise  le  long  de  S,   tendra  vers  o  quand  p  croîtra  indéfiniment  (à  moins  que 
m  =z p  =^  i).  Elle  est  donc  nulle. 


SUR    LES    RESIDLS    DES    INTEGRALES    DOUBLES.  .|79 

Donc  toutes  les  dérivées  de  F  s  annulent  pour  £  =:r  ■/-/  =r;  o. 

Donc  F  esl  une  constante. 

En  résumé,  si  l'on  sait  démontrer  que  F  tend  vers  une  liniiK;  finie  ([uelle  que 
soit  la  manière  dont  ;  et  rj  tendent  vers  l'infini,  F  est  une  constante  ;  voilà  ce 
(ju'on  savait  déjà. 

Supposons  maintenant  qu'on  sache  démontrer  seulement  que  ¥  tend  vers 
une  limite  finie  quand  1  et  r,  tendent  vers  l'infini  d'une  certaine  manière.  L'espace 
(X,  ^,  v),  dont  les  points  représentent  les  différentes  façons  de  tendre  vers 
l'infini,  sera  alors  partagé  en  diverses  régions.  Pour  les  unes,  on  saura  démon- 
trer que  F  tend  vers  une  limite  finie  ;  pour  les  autres  on  ne  saura  rien. 

Si  par  exem[)le  il  y  a  une  région  de  l'espace  qui  contienne  l'un  des  cercles  C 
tout  entier  et  en  tous  les  points  de  laquelle  la  limite  F  soit  finie,  on  sera  certain 
(jue  F  est  une  constante. 

Ou  bien  encore  supposons  que  l'espace  se  divise  en  trois  régions  Ri,  R^  etRu, 
de  telle  façon  que  l'on  ne  puisse  passer  de  R,  à  R3  sans  traverser  R2.  Imaginons 
que  R|  contienne  un  des  cercles  C  tout  entier;  que  R3  contienne  un  autre 
cercle  G  tout  entier  et  qu'en  tous  les  points  de  Ro  la  limite  de  F  soit  finie.  Nous 
serons  encore  certains  dans  ce  cas  que  F  est  une  constante. 


VII.        Périodes  variables. 

J'arrive  à  un  autre  ordre  de  considérations  où  l'on  verra  la  principale  diffé- 
rence qui  éloigne  la  théorie  actuelle  de  celle  des  intégrales  simples. 

Nous  avons  supposé  jusqu'ici  que  la  fonction  sous  le  signe  ff  ne  devenait 
infinie  en  aucun  des  points  de  la  surface  d'intégration. 

Cette  hypothèse  n'est  pas  nécessaire  comme  elle  l'était  dans  le  cas  des  inté- 
grales simples.  Il  arrive  en  effet,  comme  nous  allons  le  voir,  que  l'intégrale  reste 
finie  bien  que  la  fonction  sous  le  signe  /'/'  devienne  infinie. 

Soit  S  la  surface  d'intégration  appartenant  à  l'espace  (À,  p.,  v)  et  dans  ce  même 
espace,  une  courbe  singulière  C  en  tous  les  |)olnts  de  laquelle  la  fonction  F(i;,  r;) 
devienne  infinie.  Supposons  (|ue  cette  courbe  C  coupe  la  surface  S  de  telle 
sorte  que  lune  des  portions  de  (!  soit  à  l'intérieur  de  S  et  l'autre  à  l'extérieur. 

Prenons  maintenant  l'intégrale  : 


// 


Im;î.  T,)f/^f/T, 


48o  SUR    LES    HÉSIDtS    DES    INTÉcnALES    DOllILIiS. 

le  long  de  la  surface  S.  I^a  fonction  F  sera  infinie  aux  points  où  C  coupe  S, 
mais  en  général  elle  sera  infinie  de  premier  ordri'  seuleinenl.  L'intégrale 
restera  alors  finie. 

Nous  savons  en  efiet  (ju'une  intégrale  multiple  dordre  /(  reste  finie  quand  la 
fonction  sous  les  n  signes  /  devient  infinie  en  un  point  isolé,  pourvu  toutefois 
quelle  soit  infinie  d'ordre  inférieur  à  /;. 

Pour  évaluer  cette  intégrale  double,  on  peut  opérer  ai)solument  de  la  même 

façon  que  dans  le  paragraphe  IV.  Posons  alors 

i>,  t    .,  . 
Fi  s.  T,)  = 


'i;,  -u) 


<J<;-  •'•,,» 


Nous  supposerons  que  P  ne  devient  pas  infini  à  l'intérieur  de  S,  et  que  O  ne 
devient  infini  cjue  le  long  de  la  courbe  C.  Cela  suppose  que  S  ne  contient  pas 
d  autre  courbe  singulière  que  C  :  mais  cette  hypothèse  est  toujours  permise, 
car  s'il  en  était  autrement,  on  remplacerait  la  surface  S  par  plusieurs  autres 
ne  contenant  chacune  ([u'une  courbe  singulière. 

L'intégrale  doulile  sera  égale  alors  à  l'intégrale  simple 

't.V  ,11 


Celte  intégrale,  au  lieu  d  être  prise  tout  le  long  de  C,  sera  prise  seulement  le 
long  d'une  partie  de  celte  courbe,  puisqu'une  partie  seulement  de  celte  courbe 
est  intérieure  à  S. 

Si  P  est  rationnel  et  si  Q  est  un  polynôme  entier,  cette  int('grale  simple  est 
encore  une  intégrale  abélicnne  relative  à  la  courbe  algébrique 

Q(?,  •r,)  =  o. 

Mais  ce  n'est  plus  une  période  de  celte  intégrale,  c'est  une  intégrale  prise 
entre  deux  points  quelconques  de  la  courbe  Q  =  o. 

Quant  au  sens  dans  lequel  on  doit  suivre  la  courbe  C,  on  Le  déterminerait 
par  la  règle  du  paragraphe  IV. 

Nous  pouvons  donner  au\  intégrales  ilf)ubles  de  celte  forme  le  nom  de 
périodes,  puisqu'elles  sont  prises  le  long  de  surfaces  fermées.  Mais  elles  différent 
beaucoup  des  périodes  que  nous  avons  envisagées  jusqu'ici. 

Si,  en  effet,  nous  déformons  d'une  façon  continue  la  surface  d'intégration  S, 
l'arc  de  C  qui  sera  à  l'intérieur  de  S  variera  aussi  d'une  façon  continue.  Il  en 
sera  donc  de  même  de  la  période. 


SliR    LES    RÉSIDUS    DES    INTÉGRALES    DOURLES.  48l 

Ces  périodes  ne  sont  donc  pas  des  conslanles.  Ce  sont  des  périodes 
rariables.  Il  importe  d'ailleurs  de  ne  pas  les  confondre  avec  les  intégrales 
auxquelles  M.  Picard  avait  donné  ce  nom  dans  ses  Notes  du  29  janvier  i883  et 
du   i"  février    1886. 

Je  rappelle  que  dans  l'introduction  nous  sommes  convenus  de  ne  pas  le  leur 
conserver  afin  d'éviter  toute  confusion. 

VIII.         Applications  aux  fonctions  0. 

Je  vais  reprendre  les  notntions  dont  jai  fait  usage  dans  mon  Mémoire  5(//-  les 
fonctions  abèliennes  {American  Journal  of  Mat  hématies,  vol.  ^'III,  n"  4). 

J'envisagerai  une  fonction  ahélicnne  de  deux  variables  ;  et  /j  et  j'appellerai 
les  quatre  périodes  fondamenlak's 

it , .     II.,,     (/;,     </■,.      puiir  ^. 
(Il  -.         .  r 

//; .       A...       />:,,      //;,      pour  t,. 

J'envisagerai  une  fonction  inti'rini'tliuire  <I>  jouissant  des  propriétés  sui- 
\antes  : 

Elle  est  entière  et  de  plu^  011  a  pour  une  quelconque  des  cpialre  périodes 

Je  poserai  ensuite  : 

\1,(  =  %i,ai-~  i/,/>,—  oii'H—  p,A«.; 

M,A  sera  égal  à  un  entier  multiplié  par  2-  \  —  1 . 

Si  les  périodes  (i)  sont  des  périodes  normales,  on  aura  : 

"1  f>:t —  fjl'l  -r-  "j  (> .  —  Il  ,  Il     -  -  Cl, 

Si  les  périodes  (i)  ne  sont  pas  normales,  on  aura  une  relation  analogue 

où 

Lus  N  seront  des  entiers  dont  le  déterminant  est  égal  à  1 . 

En  d'autres  termes  le  premier  membre  de  l'équation  (2)  est  une  forme  bili- 
néaire  de  discriminant  1. 

On  aura  d'ailleurs  : 

M,/  =  un  -  \  —  I  N,(. 

ni  étant  1  mdre  de  la  iouction  intermédiaire  4». 

II.  f.  —  m.  1,1 


SUR    LES    RESIDUS    DES    INTEGRALES    DOUBLES. 


On  sait  que  les  fonctions  0  ne  sont  que  des  cas  particuliers  des  fonctions 
intermédiaires  qui  s'y  ramènent  d'ailleurs  aisément. 
Nous  allons  maintenant  définir  notre  espace  À,  p.,  v. 
Distinguons  les  parties  réelles  et  imaginaires  des  périodes,  en  faisant 


"/ 


n'i  ^/—  I  , 


b)  +  /y;  \  —  i. 


l'osons  ensuite  : 


a?  =  rt  I  /,  H-  f/j  fi  -h  «-,  V, 

y  =  II",  X  +  a'n  n  -i-  rt",  V. 

3  =  è'i  X  -t-  62  [i-t-  6'.,  V. 

I  =  h'\  À  -i-  6Ô  |ji  +  h\  V. 

Nous  étendrons  nos  intégrations   à  la   surface    totale  du    cube  dont  les  six 

■  o 

faces  ont  pour  équation 

).   ou    ji  ou  V  =  o   ou   I. 

Les  courbes  singulières  que  nous  considérerons  auront  toutes  pour  équation 

*  =  o. 

A  l'intérieur  de  notre  cube,  il  pourra  se  trouver  plusieurs  branches  de  la 
courbe  singulière  <I»  =  o,  mais  parmi  ces  branches,  nous  devrons  distinguer  les 
branches  fermées  et  les  branches  ouvertes  limitées  à  chacune  de  leurs  deux 
extrémités  par  l'une  des  faces  du  cube.  Les  points  qui  doivent  surtout  attirer 
notre  attention  sont  les  extrémités  des  branches  ouvertes,  c'est-à-dire  les  points 
où  la  courbe  <I»  =  o  coupe  les  faces  du  cube. 

Mais  nous  distinguerons  ces  points  en  deux  catégories.  Supposons  que  dans 
le  voisinage  d'un  de  ces  points,  les  équations  de  $  ^  o  puissent  se  mettre  sous 
la  forme 

ainsi  qu'il  est  dit  au  paragraphe  W . 

Nous  formerons  le  déteiniinnnl  A  du  paragraphe  IV  qui  s'écrira  ici  : 

cU 

'Il 

'Il 


A  = 


//,      //.,     h'., 


-f     i^'\    i>"i    lA 


SUR    LES    RÉSIDUS    DES   INTÉGRALES    DOUBLES.  483 

Nous  avons  vu  que  si  ce  délerminanl  est  positif,  il  faut,  dans  les  intégrations, 
suivre  la  courbe  it  ^  o  dans  le  sens  des  w  croissants,  et  qu'il  faut  la  suivre  au 
contraire  dans  le  sens  des  w  décroissants  si  A  est  négatif. 

Comme  w  reste  arbitraire  dans  une  large  mesure,  on  peut  toujours  choisir 
cette  variable  de  telle  sorte  que  A  soit  positif  el  que  par  conséquent  on  ait  tou- 
jours à  suivre  Li  courbe  dans  le  sens  des  co  croissants. 

Cela  posé  si  nous  considérons  un  des  points  d'intersection  P  de  la  courbe 
<I»  =  o  avec  une  des  faces  du  cube,  et  que  dans  le  voisinage  de  ce  point,  on 
suive  cette  courbe  dans  le  sens  des  oo  croissants,  il  pourra  se  présenter  deux  cas. 
Ou  bien  on  passera  de  l'extérieur  du  cube  à  l'intérieur,  ou  inversement. 

INous  distinguerons  doue  deux  sortes  de  points  P;  le  point  P  st'ra  pusillf  i\ 
l'on  passe  de  l'extérieur  du  cube  à  l'intérieur  et  nèitdlif  dans  le  cas  contraire. 

Pour  reconnaître  le  signe  d'un  de  ces  points,  imaginons  que  ce  point  appar- 
tienne à  la  face  \  '=■  o,  et  que  dans  le  voisinage  de  ce  point,  on  ait  pour  l'équation 
de  «I>  =  o 

Il  viendra  alors  : 

f/Ç  =  (  2  -t-  /  [i  )  clri 
OÙ 

.  r,         (If  dr\ 

di 

en  remplaçant  di  et  dn  par  leurs  valeurs  el  séparant  les  parties  réelle  et  imagi- 
naire, il  vient  : 

{n'\  —  a.b'\  +  (Bè'i)  dX  +  (al  —  x6ô  +  ,3  6V)  d^x.  4-  {a'\  —  ai",  +  pè'.)  r/v  =  o. 

Ce  sera  en  étudiant  les  coefficients  des  équations  (V)  qu'on  reconnaîtra  si  le 
point  P  est  positif  ou  négatif. 

Si  l'on  fait  varier  ces  coefficients  d'une  manière  continue,  le  passage  des 
points  P  positifs  aux  points  P  négatifs  se  fera  au  moment  où  d'k  est  nul,  c'est-à- 
dire  oii 

(4)     (rt'o  —  «^2  -f-  pftj)  (rt",  —  ot^'.'i  —  (i//.|  )  —  («j  —  a6'|  -f-  [i6"|  )  {a",  —  r3.b",  —  |36'^,  )  =  (j. 

Tout  dé|iend  donc  du  signe  du  premier  membre  de  l'équation  (4). 

Nous  n'avons  encore  rien  supposé  au  sujet  de  la  fonction  4»  qui  égalée  à  o 
définira  la  courbe  singulièie  ;  nous  choisirons  plus  tard  pour  il»  une  fonction 
intermédiaire,  mais  dans  ce  qui  a  été  dit  juscju'ici,  rien  ne  préjuge  ce  choix. 


484  SIB  LES  RÉSIDIS  DES  INTÉGRALES  DOUBLES. 

Faisons  en  particulier 

Alors  on  aura 

a  =  3  =  o 

el  le  premier  membre  de  (4)  se  réduira  à 

"■i  "à  —  "'a  "•;• 
C'est  la  partie  imaginaire  du  produit 

en  désignant  par  ?7o  la  quantité  imaginaire  conjuguée  de  (/.... 
Prenons  le  cas  [larticulier  où 

«2=1,  0:i  =  ('. 

Alors  le  premier  membre  de  (4)  se  réduit  à  i:  il  est  par  conséquent  positif. 
Nous  pouvons  supposer  en  même  temps  */,  =  o.  Les  équations  (3)  se  réduisent 
alors  à 

r/fJt  =1  f/v  =^  (>. 

On  en  conclut  que 

f/.r  =  (/y  =  o, 

(/z  =  h\  </X,         (Il  =  //;  r/À. 
Le  délernunanl  A  se  réduit  à 

-'^ihr  +  br^); 

il  est  donc  négatif. 

Donc  quand  le  premier  membre  de  (4)  est  positif,  le  poinl  P  est  négatif  et 
inversement. 

Nous  n'avons  considéré  jusqu'ici  que  les  points  P  situés  sur  la  face  du  cube 
(jui  a  pour  équation  ).  =  o.  On  raisonnerait  de  même  pour  les  cinq  autres  faces 
et  l'on  arri\eiait  aux  conclusions  sui\antes: 

Posons 

Posons  ensuite  : 

Ci  =  n  i —  lih, 

et  soit  ?,  la  quantité  imaginaire  conjuguée  de  c,-. 
Soit  eniin  I  (  '/ )  la  partie  inuiginaire  de  u. 


SIR    LES    ItÉSlOl'S    DI.S    l,NTKl.RALi;S    DOLBI.KS.  i^J 

Les  poiiils  P  seront  positifs  : 


pour  la 

fare 

À  =  o 

<l 

I(  C'jCu)  >  o. 

À  =  I 

^1 

'(c.Ca  1  <(), 

IX  =  ., 

^i 

I(CaC,)  >  o, 

Il  =  1 

SI 

!('-';)  Cl  )  <  ", 

V    =   (» 

si 

I(CiC,)>o. 

V    =    1 

-i 

l{ctC..)  <  o. 

Nous  devons  remarquer  que  si  nous  avons  sur  la  face  À  =  o  un  point  P  dont 
les  coordonnées  soient  (o,  p.,  v),  nous  aurons  sur  la  face  opposée  À  =:  i  un 
point  P'  dont  les  coordonnées  seront  (i,  fx,  v).  De  plus  les  points  P  et  P'  seront 
de  signe  contraire. 

De  même  à  tout  point  P  situe  sur  l'une  de^  faces  /j.  =  o,  v  =  o,  correspondra 
un  autre  point  l*  de  signe  contraire  situé  sur  la  face  opposée. 


Considérons  maintenant  l'intégrale 


fJ 


et  étendons-la  à  toute  la  surface  de  notre  cube. 

Soient  N|  et  Nj  les  nombres  des  points  P  positifs  et  négatifs  situés  sur  la 
face  À  =^  o.  Soient  de  même  IN,  etN.,,  N'J  etN^  les  nombres  des  points  P  positifs 
et  négatifs  situés  sur  la  face  f;.  ^  o  et  sur  la  face  v  =  o. 

L'intégrale  double  se  ramène  alors  à  l'intégrale  simple 


/■ 


lit  d^, 


prise  le  long  des  diverses  courbes  «I»  =  o.  Celle-ci  est  évidemment  égale  à 

•2,;:(lt,-2?.,). 

-il  représente  la  somme  des  l  relatifs  aux  divers  points  P  positifs,  —ïj  la  somme 
des  l  relatifs  aux  divers  points  P  négatifs. 

Or  à  chacun  des  N|  points  P  positifs  de  la  face  À  ==  o,  correspondent  N, 
points  P  négatifs  appartenant  à  la  face  >.  =  i .  La  différence  des  i  est  égale  à  a,. 

L'intégrale  est  donc  égale  à 

(o)  2(;c[(N,  — N,)«,-^(N',-N2)«,+  (N';-!\;)a,]. 

D'autre  part  considérons  deux  points  correspondants  des  deux  faces  opposées 


486  SIR    LES    BÉSIDIS    DES    INTÉGRALES    DOUBLES. 

>.  =  o,  ).  =  I .  Soient  'l,  et  -%  les  valeurs  de  ^-^  en  ces  deux  points,  on  aura 


de  soric  que  l'intégrale  double  étendue  aux  deux  faces  /.  =  o,  ),  ^  i   se  ramène 


à  rnUéjj;rale  double 


étendue  à  la  face  /,  =  o  toute  seule. 
Cette  intégrale  est  alors  égale  à 

PlCo.^è:,— (7:,6o). 

On  trouverait  des  expressions  analogues  pour  les  autres  faces  de  telle  sorte 
que  l'intégrale  totale  est  égale  au  déterminant 

p.     h     ?, 

«  l       (7  2       (7,-1 

6]      b.,      63 

Ce  déierminanl  est  donc  égal  à  l'expression  (5). 
D'une  façon  plus  générale,  posons  : 

r^  =  bjX-t-b/^li, 

et  envisageons  alors  l'équation 

<t'{n,'k  -i-rnix.  f>,l  -^  ft^.ix)  =  o. 

On  pourra  satisfaire  à  cette  équation  d'un  certain  nombre  de  manières  par 

des  valeurs  de  1  et  de  jjl  réelles  et  comprises  entre  o  el   i .  Parmi  ces  solutions 

qui  correspondent  à  divers  points  P,  distinguons  celles  pour  lesquelles  la  partie 

imaginaire  de  CiCk  est  positive,  de  celles  pour  lesquelles  cette  partie  imaginaire 

est  négative.  Soit  ensuite  Vu  l'excès  du  nombre  des  solutions  de  la  première 

sorte  sur  le  nombre  des  solutions  de  la  deuxième  sorte.  D'après  celle  définition, 

on  aura  : 

Pu=-r'A„        P„=o, 

p.,3=N,-N„      P3,  =  n',-n;,,      p,,=  n;-N2. 

Reniaïquons  de  plus  que  la  partie  imaginaire  de  c/Ca  peut  se  mettre  sous  une 
autre  forme  : 


SUR  LES  RÉSIDUS  DES  INTÉGRALES  DOUBLES. 

Elle  est  donc  de  iiiêine  signe  que  la  partie  imaginaire  de 


487 


De  plus  nous  pouvons  écrire  ; 

2  i-K(  cii  I'.23  -i-  (t.,  P31  J-  a-,  l']„)  = 

On  aurait  de  même  par  s_)  niétrie  : 

■2i7t{a3\'u-i-niï\~-¥-  «1P3,)  = 


P,  h  ?:, 

(7|  a-,  a-,; 

6,  /).  /*3 

?.  ,3:;  p.. 

«2  n,;  «i 

6,  63  61 

h  ?■.  P. 

«3  «4  «I 

6:,  64  ft| 


et  une  f|ualrième  équation  analogue. 

On  peut  réunir  ces  quatre  équations  en  une  seule,  en  écrivant  symbolique- 
ment : 

Xi       X-,       X3       X;  Xi        X-,       Xj       Xi 

[Ji      p.,      p:,      Pi  .         a,      a-,      «:,     Oi 

=  2  (71 
"1        f'j        "3       '''•.  f"l        Wo       0)3       Wi 

61  b-,  bi         b\  ÎÛ]         iÛ.2        S)-        Ô); 


(6) 


Dans  celte  identité  x,,  J^j,  373,  ar,  sont  des  quantités  quelconques.  Quant 
aux  co  et  aux  u)  ce  sont  des  quantités  qui  ont  un  sens  symbolique.  Nous  conve- 
nons de  remplacer  dans  le  développement  du  second  membre 

par 

P,x-. 

Comme  rien  ne  distingue  ;  de  0  nous  pouvons  écrire  de  même  : 


(7) 


Xi  X->  .2*3  X/^ 

«1  a-,  a3  a; 

bi  b-,  b-s  bi 

ai  «.  «3  a; 


Xi  X-i  X3  Xi 

bi  b.,  b,  b, 

0)1  U>2  IO3  (Uj 

OJi  OJ-T  tôy  (JJ.i 


Nous  écrirons  plus  simplement  encore  les  équations  symboliques  (6)  et  (7) 
de  la  façon  suivante  en  écrivant  les  déterminants  sous  une  forme  abrégée  : 


(6') 
(7') 


Posons 


{x'^ab)  =  iiTii xam  10  ), 
{xnba)  =  îir.^x  builTi). 

P,«=  h{i^ak—%ka,)-\-  k(^Jn—  '^kb,) 


4S8  SLR    LES    RÉSIDUS    DES    INTKGRALES    DOl'BLES. 

et  cherchons  à  délerminer  h  et  A"  par  les  équations  (6)  et  (7).  Il  vient  : 

1  xaiMw  )  =  lt(xaoi.a)  -+-  k{xa'^b)  =  —  k{.v'^al>), 
(xbiovj)  =  I){xb3.a)  -t-  ki.rb  ^ 6 )  =  —  /i ( ,f  a ba), 

de  sorte  que  les  équations  (6)  et  (7)  donnent: 


d'c 


k  =  ^, 


Nous  avons  donc  une  solution  des  équations  (6)  et  (7).  Je  dis  (ju'il  n'y  en  a 
pas  d'autres,  du  moins  en  nombres  entiers. 

En  effet  s'il  y  en  avait  deux,  on  pourrait  trouver  des  nombres  entiers  I'),  satis- 
faisant aux  huit  équations 

'U  l'/,/  +  <>k  1')/ -+-  ai  1'//,.  =  o, 
biV'ii.-^bky',i-^  btV;i.  =  o. 

En  d'autres  termes  si  l'on  pose  symboliquement  : 

P',7;=  to',-  m].—  w<-tû'( 

et  que  l'on  envisage  la  forme  bilinéaire  : 

cette  forme  bilinéaire  s'annulera  identiquement  quand  on  y  fera,  soit  : 

.)■:  =  «),  r„=«2,         y-i=  a,^         }\=  a-,. 

soit  : 

.Il  =  ^1 .      }'"-  =  *2>      y-i  =  ^3,      >i  =  ^4- 

Faisons  subir  à  .r  et  k  y  en  même  temps  qu'à  a  et  à  6  un  même  changement 
linéaire  de  variables  en  faisant  : 

Nous  choisirons  ce  changement  de  variables  (où  les  q  sont  des  entiers)  de 
façon  à  réduire  la  forme  bilinéaire  (xyu)''îZ')  qui  s'écrira  alors  : 

Al  •'■'ir'j  —  ■'■'■2.r\)  +  B(.r;,y..,  —  x',/^). 

On  devrait  donc  avoir  identiquement  : 

A  ( .r'i  «2  —  x'2  a'i  )  -f-  B  (  j.''.,  a',  —  .f',,  a'.,  )  =  o, 
.\  (.t\  b'2  —  x'2  ^'1  )  +  I^  (^3  ^ '1  —  *■*  ^3  )  =  o- 

Gela  ne  peut  avoir  lieu  que  si  A  et  B  sont  nuls  (mais  alors  la  forjne  bilinéaire 


SI  11    LES    IIÉSIDIS    DES    INTEGRALES    DOlillLES.  .1S9 

est  idciitiqnemeni  nulle  et  piu-  conséquent  tous  les  P,,  sont  nuls)  (c.  q.  f.  n.) 
ou  encore  si  un  seul  des  coetlicients  A  ol  B  s'annule,  A  par  exemple,  mais  alors 

il  faut  encore  ([ue 

«'.,  =^  Il  -^  =  60  =  6-,  =  (I. 

La  fonction  abélienne  n'aurait  j)lus  alors  que  deux  périodes;  la  seconde 
hypothèse  est  donc  inadmissible. 

On  doit  donc  conclure  de  celte  discussion  que  l'unique  solution  des  é([ualions 
(6)  et  (7)  c'est: 

Dans  le  cas  particulier  où  la  fonction  <I>  se  réduit  à  une  fonction  0  d'ordre  m, 

et  où  l'on  a  : 

ai  =  11-,         a.2  =  ")              Oi^f'-j, 
61  =  0,  bi=>.i-,  

a,  =  o,  a.j  =  (),  Xj  =  lit,  aj  =  o, 

P,  =  o.  p„  =  o,  Pa  =  o,  [3i  =  m, 

tous  les  N/A  sont  nuls,  excepté  N31  et  N.,.j  qui  sont  égaux  à  i . 

Tous  les  P,A  sont  donc  nuls  excepté  P^i  et  P42  qui  sont  égaux  à  m . 
Si  nous  reprenons  les  notations  N,,  N.,,  N', ,  N.,  etc,  de  telle  sorte  que 

P,3=Ni-N,,         P„  =  !N',-N;, 
nous  aurons 

et 

No  —  N'i  =  m. 

On  pourrait  trouver  plus  intéressant  de  connaître  le  nombre  N ,  +N'., ,  c'est- 
à-dire  le  nombre  total  des  P,  au  lieu  d'avoir  seulement  l'excès  du  nombre  des 
points  P  positifs  sur  celui  du  nombre  des  P  négatifs. 

Nous  avons  toutefois  un  renseignement  sur  ce  nombre  N,  +N.,.  11  est  plus 
grand  que  m  et  de  même  parité  que  m,  car  il  est  clair  que 

No -t-N',  >N2  — IS'i  ;         N'o-+-N'|  =  No  — N'i         (mod  2). 

On  pourrait  arriver  à  tous  les  résultats  qui  précèdent  par  l'emploi  des  difTcren- 
tielles  totales,  cela  serait  même  plus  simple  ;  mais  je  n'ai  voulu  donner  ici  qu'une 
application  de  la  théorie  des  intégrales  doubles, 

Paris,  24  clécuinlire  188G. 


H.  P.  -  m. 


SUR 

LES  PÉRIODES  DES  INTÉGRALES  DOIBLES 


Comptes  rendus  de  l'Académie  des  Sciences,  t.  I'25,  p.  gg^-rir)-;  (i  j  décembre  l'^g;). 


Je  considère  l'intégrale  double 

■  P  dx  dv 


'-f/m' 


où  p  et  F  sont  deux  puljnomcs  entiers  en  x  el  y,  el  où  ^  est  un  paramétre 
arbitraire. 

Considérons,  d'autre  part,  l'intégrale  simple 

r    p  d.r 


{%) 


Dans    celle    intégrale    simple,   je    suppose    que  y  est  lié  à  x  par  la    relation 

algébrique 

F  =  /, 

où  t  est  un  autre  paramètre  arbitraire.  Ainsi  y'  est  une  intégrale  abélieime  rela- 
liv(!  à  la  courbe  algébrique  F  =  t . 

Soit  11)  une  des  périodes  dey;  celle  période  sera  une  fonction  de  <,  et  l'on 
sait  que  cette  fonction  di  satisfait  à  une  équation  différentielle  linéaire  dont  les 
coefficients  sont  des  polynômes  entiers  en  /. 

Soit 

(■)  -US^=0 

cette  équation:  Ht  est  un  polynôme  entier  en  /. 

L'ordre  de  l'équation  (i)  sera  égal  au  nombre  des  périodes,  c'est-à-dire 
à  2}},  en  appelant  p  le  genre  de  la  courbe  F  =  ?. 

Soient 

tli       t-i,        ....       /q 


SUR    LES    PERIODES    DES    INTÉGRALES    DOUBLES.  491 

les   points  singuliers  de  l'équation  (i),   c'est-à-dire  les  racines  distinctes  du 
pohnome  IIo^. 

Alors  les  périodes  Î2  de  lintégrale  J  seront  représentées  par  la  formule 

f.i  dt 


0  =  .,  r_^ii^ 


Il  y  a  donc,  en  général,  ^pq  périodes  Î2,  puisque  Ton  peut  [irendre  pour  u 
l'une  des  7.p  périodes  dey  et  pour  t/,  l'un  des  q  points  singuliers  de  (i). 

Nous  devons  dire  également  comment  cette  formide  devrait  rtre  transformée 
si  w  devenait  infini  pour  t  =  t^. 

Soient  alors 

2. p  intégrales  de  l'équation  (i  )  (|iii  deviennent 

Xi(',.     ÀoP, Àj/, '■2» 

quand  t  tourne  autour  de  t^. 

Soit,  dans  le  voisinage  de  l'origine  O, 

to  =  z,  C,  -1-  ïoPj-T-.  .  .-r-  y-îpVip, 

les  a  étant  des  coefficients  constants. 
On  aura  alors 

o   =   ■>     CI     ''I  ''I        _^       ^-2  ''2       _  _     ^>p  '■■!,.    \  dt  _     r     M  dl 

J  \i  — >-i       I— >.2      "■■      I  — '-î/. /  \ T^ir:     J^TZT^' 

la  première  intégrale  étant  prise  le  long  d'un  lacet  partant  de  l'origine  et  y 
revenant  après  avoir  entouré  le  point  1^,  et  la  seconde  le  long  d'un  lacet 
partant  de  l'origine  et  y  revenant  après  avoir  entouré  le  point  ;. 

Il  est  clair  que  i2  est  une  fonction  de  ;  qui  va  satisfaire  à  une  équation  diffé- 
rentielle linéaire  dont  les  coefficients  sont  des  polynômes  entiers  en  z.  Soit 

(2)  £0,  =o 

«su- 
cette équation;  les  Q^  sont  des  polynômes  entiers  en  z. 

L'équation  (2)  se  déduit  de  l'équation  (1)  par  une  transformation  bien 
connue  qui  se  rattache  à  la  théorie  des  dérivées  d'ordre  fractionnaire. 

Les  points  singuliers  de  l'équation  (2)  sont  les  mêmes  que  ceux  de  l'équa- 
tion (i);  mais  le  point  sur  lequel  je  voudrais  surtout  insister,  c'est  la  manière 
de  déduire  le  groupe  du  l'équation  (2)  de  celui  de  l'équation  (i). 


igî  SUR    LES    l'ÉHlODES    DES    INTÉGRALES    1)01  ULES. 

Pour  fixer  les  idées  je  supposerai 

ip  =  i.  q=  ). 

L'équation  (i)  est  alors  du  second  ordre  et  l'équiilion  (2)  est,  en  général, 
du  sixième  ordre. 
Soient  alors 

a       I," 


a 

h 

a' 

(,• 

c 

d 

c' 

d' 

les  substitutions  fondamentales  du  groupe  de  (1);  les  subtitutions  correspon- 
dantes du  groupe  de  (2)  seront  : 


—  a 

—  h 

0 

0 

4) 

I      n 

1  Il 

—  // 

1)      0 

—  c 

—  d 

f> 

0 

() 

Il      1 

—  '■' 

i-<r 

n      0 

1  ■ —  a 

—  b 

I 

() 

0 

(t       ri 

—  a' 

—  />' 

0      <» 

—  c 

i-d 

0 

1 

0 

(»       0 

—  c 

—  if 

4>         0 

I  —  a 

—  h 

<_) 

(» 

I 

<l       0 

1  —  ri' 

—  // 

I     0 

—  c 

i  —  d 

0 

0 

() 

I 

0       0 

—  (,-' 

I  -  d' 

0     I 

I  (I  0     11  I  —  a"  —  />" 

II  1  00  —  c"  1  —  d" 

Il  II  I         O  ]  II"  —    ff' 

(1  11  11      I  —  c"  1  — ■  d" 

o  o  II     II  —  a"  —  ô" 

Il  o  o     ri  —  c"  —  t/" 


Le  groupe  de  (1)  a  tous  ses  coefficients  entiers;  on  voit  (|u'il  en  sera  de 
même  du  groupe  de  (2),  ainsi  qu'il  était  aisé  de  le  prévoir. 


SUR 

LES  PÉRIODES  DES  INTÉGRALES  DOLBLES 


Journal  de  Afalhi'itialii/iies,  6"  séiie.  l.  î,  p.   iS.Î-iSg  (igoti). 


Introduction. 


La  tlélernilnatioii  du  nombre  des  périodes  cycliques  d'une  intégrale  double 
exige  une  grande  attention,  comme  toutes  les  questions  d\4nalysis  situs,  dès 
que  le  nombre  des  dimensions  dépasse  j.  M.  Picard  a  abordé  la  question  dans 
son  Ouvrage  sur  les  fonctions  algéijriques  de  deux  variables,  que  je  citerai 
souvent. 

Je  m'en  suis  occupé  moi-même  dans  un  Mémoire  inlilulé  :  Sur  les  cycles  des 
surfaces  ul<;èbri<jnes,  el  inséré  au  Journal  de  Liouville  en  1902  (  '  ).  C'està  ce 
Mémoire  que  je  ren\errai  quand  je  parlerai  sans  autre  explication  du  Mémoire 
cité. 

L'application  des  règles  jiosées  ilans  ce  Mémoire  présente  quelquefois  quel- 
ques difficultés;  la  question  du  nombre  des  cycles  ne  se  pose  pas  d'une  façon 
aussi  simple  que  dans  le  cas  des  courbes  algébriques,  puisqu'il  y  a  plusieurs 
manières  d'envisager  les  points  à  l'indui  et  que  le  nombre  des  cycles  ne  reste 
pas  le  même  quelle  que  soit  la  convention  adoptée.  D'autre  part,  il  peut  arriver 
que  ce  nombre  ne  soit  pas  le  même  pour  deux  surfaces,  bien  que  l'on  puisse 
passer  de  l'une  à  l'autre  par  une  transformation  biralionnelle.  C'est  ce  qu'a 
montré  M.  l'icard. 

Si  l'on  ne  fait  pas  attention  à  ces  circonstances,  il  peut  arriver  qu'on  soit 
conduit  à  d'apparentes  contradictions  et  que  le  mimbre  des  cycles  dune  sur- 
face, tel  que  le  donnent  les  règles,  ne  demeure  pas  le  même  (piand  on  change 
d'axes  de  coordonnées. 

C'est  ce  qui  m'a  déterminé  à  revenir  encore  une  fois  sur  la  question  et  d'ail- 

I  '  )   Voir  ,\yi\  Notks. 


49i  SIR    LES    PÉRIODES    DES    INTÉGRALES    DOUBLES. 

leurs  sans  l'épuiser.  J'ai  iïH)difié  la  convention  relative  aux  points  à  l'infini,  de 
façon  que  tout  devienne  projectif  et  que  les  résultats  se  présentent  sous  une 
forme  plus  simple. 

J'ai  obtenu  ainsi  une  formule  générale  et  je  l'ai  appliquée  aux  surfaces  du 
troisième  degré. 

Ces  surfaces  présentent,  au  point  de  vue  qui  nous  occupe,  des  propriétés  qui 
semblent  paradoxales,  sur  lesquelles  M.  Picard  a  déjà  attiré  l'attention.  C'est  ce 
qui  m'a  engagé  à  les  étudier  en  détail. 

Il  faudrait,  pour  aller  plus  loin,  étudier  les  cas  où  la  surface  présente  d'autres 
singularités  que  les  singularités  ordinaires  qui  caractérisent  les  surfaces  aux- 
quelles toutes  les  autres  peuvent  être  ramenées  par  une  transformation  bira- 
lionnelle;  c'est-à-dire  les  cas  où  la  variété  à  quatre  dimensions  correspondante 
présente  un  point  singuliei'.  Mais  je  n'ai  pas  abordé  ce  problème.  Je  me  suis 
contenté  de  dire  quelques  mots  au  sujet  du  point  conique  ordiniiire,  et  sans 
épuiser  la  question. 

II.   —  Intégrales  doubles  relatives  à  une  surface. 
Soit 

fi)  F(.r.  y.  :■)  =  o 

une  surface  algébrique  quelconque,  et  soit 

f  r  P  (/./■  Jy         r  rv  dy  clz         r  r  P  dz  <i.r 


'-fr-^'fr^--f.f 


'\v 


une  intégrale  double  relative  à  cette  surface;  P  étant   une  fonction  rationnelle 
de  x.y ,  ;;.  Nous  supposerons  cette  intégrale  prise  le  long  d'un  domaine  à  deux 
dimensions  que  j'appellerai  k  et  qui  sera  généialemcnt  un  cycle  fermé. 
Soit  maintenant 

(  3  )  ï  d;  -H  !>_)'  -7-  Y  3  =  I 

un  plan  variable  quelconque,  et  soit  C  l'intersection  de  ce  plan  variable  avec  la 
surface  (i).  Nous  pourrons  supposer  que  le  domaine  d'intégration  K  est  engen- 
dré de  l.i  façon  suivante  :  le  plan  (3)  variera  d'une  manière  continue;  en  même 
temps,  nous  envisagerons,  sur  la  surface  de  Riemann  correspondant  à  la  courbe 
algébrique  C,  un  cycle  fermé  /r  :  quand  le  plan  (3)  variera  d'une  manière  con- 
tinue, ce  cycle  k  variera  égalemeni  d'une  manière  continue,  et  ce  sont  les  posi- 
tions successives  du  cycle  à  une  dimension  k  qui  engendreront  le  cycle  à  deux 
dimensions  K.  Que  devient  dans  ces  conditions  notre  intégrale  double? 


Sun    LES    PEIIIODES    DES    INTECKALES    DOUBLES. 


495 


Posons 


(4) 


X 

= 

/F;  — 

•;F'n 

Y 

= 

iKr- 

«Ft, 

Z 

: — 

^F'v- 

'iFV. 

l'osons  encore 


(/  =  A  .r  +  [ji _)'  -+-  ' 


A.  p.  et  V  étant  des  constantes  quelconques  ;  supposons  que  les  coefficients 
variables  a,  (3,  y  de  l'équation  (3)  soient  des  fonctions  d'une  certaine  variable  t 
el  prenons  (/  et  t  pour  nouvelles  variables  indépendantes.  Il  s'agit  de  calculer 
le  déterminant  fonctionnel  des  anciennes  variables  .r  el  y  par  rapport  aux  nou- 
velles u  et  t. 

Pour  cela,  nous  avons  les  éiiuations  suivantes  : 


(5) 


(h)  =  À     elj-  -h  fj.    c/y  -^  V     i/z, 

>//  S  ./•  i'  =:^     dx  -(-  3    (Iv  ^  -.     ,lz. 

al  -         1 

,/!■  =  F',.  ,/./•  +  F;.  dy  -^  ¥',  dz. 


Si  donc  nous  posons 


nous  trouverons 


'j.         ,3  7 

f:,   f;.   f: 

,)(u,  t,  F)  J_ 

(>(■'■■  y,  2)  "" 


=  ÀX-fjiY 


D'autre  part, 


d'où  enfin 


dl 


c)(  II.    t 


diii.  I,  F)  _  à(ii,  t.  F)   i)(ii.  I.  z)   _ 

i)(.r.  y,  z)~  (){ii.  t.  Z)    à(.i\y,  z)  ~      '"Oijc.y) 


à{x,  y)  _  '     '    dl 

d(ii.  0   ~  E^ 


de  sorte  que  notre  intégrale  double  devient 


dx 

PZx  -,^  du  dt 

dt 


ou  bien 

(6) 
avec 

(7) 


J  =   Ç{  \  d-j.  +  B  f/,3  +  C  ^v  ). 
rVxdu  „        fPvdii  „        rVzdn 


496  SUR    LES    PÉRIODKS    DES    INTÉGRALES    DOUBLES. 

On  peut  annuler  deux  des  trois  coefficients  arbitraires  l,  //,  v.   en  faisant 
l'autre  égal  à  i  ;  on  trouve  ainsi,  par  exemple, 


(  7  f'i's  ) 


Les  intégrales  (7)  et  {-bis)  sont  des  intégrales  abéliennes  simples  relatives  à 
la  courbe  algébrique  C  ;  et  si,  comme  nous  l'avons  supposé,  le  chemin  d'inté- 
gration/.  est  un  cycle  fermé,  ce  sont  des  périodes  de  ces  intégrales  abéliennes. 

Nous  devons  nous  attendre  à  ce  que 

soit  une  dillérentelle  exacte,  et  c'est  en  effet  ce  qui  arrive.  Vérilions  que 

Quand  nous  allons  parcourir  le  cycle  /. ,  le  point  u  va  décrire  dans  son  plan 
une  certaine  couibe  fermée  ;  nous  pourrons  toujours  supposer  que  celte  courbe 
ne  varie  pas  quand  on  donne  à  |3,^ar  exem()le,  un  accroissement  très  petit. 

En  effet,  par  liypotlièse,  notre  cycle  /.  est  fermé  et  varie  d'une  manière  con- 
tinue. Si  donc  k  est  la  courbe  fermée  déciite  par  u  dans  son  plan,  si  /,"  est  ce 
que  devient  cette  même  courbe  quand  ^  se  (diange  en  (3  +  f/,6,  ces  deux  courbes 
fermées  /,'  et  /,  '  différeront  infiniment  peu.  On  aura  toujours  pu  choisir  k'  de 
façon  que  celle  courbe  passe  à  distance  finie  de  tous  les  points  singuliers.  11  n'y 
aura  pas  alors  de  point  singulier  entre  /,'  el  /,  ".  L'intégrale  le  long  de  /,  "  est  donc 
égale  à  l'intégrale  le  long  de  /.':  on  peut  remplacer  la  courbe  /."  par  la  courbe  /,', 
c'est-à-dire  supposer  (|ue  la  courbe  /.'  n'a  |ias  varié.  Cela  nous  permet  de  cal- 
culer -jg  par  dili'éri'ntialion  sous  Je  signe  /  en  regardanl  le  ciiemin  d'inlégra- 
lion  comme  invai'iable.  On  Irouve  ainsi 


en  reniaïquant  que 


</A        rd  IV. r\ 

dT=J  dr.(-u)''"' 


d   _    d    d.r         d   dy         d    itz 
<i  ~  d7r  Tri''  dv  <i  "" 


en  représentant  par  -r^  avec  des  à  ronds  la  dérivée  prise  par  rapport  à  (3  en  tant 

que  celle  variable    figure   explicitement  dans  -j^i  mais  en   regardant  .v,  y,  z 
comme  des  constantes. 

Nous  observerons  (jue,  dans  le  numéraleiir  !'./.  la  lettre  jS  ne  ligure  pas  expli- 


SUR    LES    PÉRIODES    DES    INTÉGRALES    DOUBLES.  497 

citement,  mais  qu'elle  figure  dans  D  et  que  Ion  a 

Mainlenanl,   pour  calculer 'j^j  ^ ,  ^.  il  faut  dans  les  équations  (5)  faire 

du^o,  puisque  notre  chemin  d'intégration  est  invariable;  t/F  =  o,  puisque 
l'équation  (i)  a  toujours  lieu;  da  =  dy=o^  puisque  pour  chercher  la  dérivée 
partielle  par  rapport  à  |3  il  faut  regarder  les  deux  autres  variables  c  et  y  comme 
des  constantes,  On  trouve  ainsi 


(5  his) 


—  yd'.^  =  ^'J.d.r, 

t>  =  ZV',.dx. 


Nous  j  adjoignons  l'identité 

,/Px\  fdO,         dQ  ,         dq^\^^j         P'"'^'^^M 


en  posant 


«  =  È- 


Les  équations  {^bis)  nous  donnent  d'abord 


,    /'/"   ,      "  dO   ,         dO      \ 
\U  -^  dx  ^  -^dy-^  -^ds)  =  y  di 
\dx  dy    -^        dz        )       -'     ■ 

et  d  autre  part 


X         ;a         V 
F:,:     F^.     Fi 

Qx   QV   Qi 


-.y^d'{. 


Si  doue  dans  l'équation  (g)  nous   remplaçons  2^  dx.  dx  et  -rg  par  leurs 
valeurs,  nous  trouverons 

On  tr<iuvt'rait  de  même 

et  l'identité  des  deux  expressions  suffit  pour  démontrer  l'égalité  (8). 
Donc  KdoL  +  ^dyi-\-  Cdy  est  une  différentielle  exacte  c.  q.  v.  n. 

Afin  de  ne  pas  exclure  le  cas  où  le  plan  (3)  passe  par  l'origine,  il  convient  de 


H.  P.  —  III. 


03 


',Ç)i<  SLIl    LES    PÉRlOllES    DES    INTÉGUALES    nOl'BLES. 

rendre  l'équatiou  de  ce  plan  honiogèoe  en  l'écrivant 

(3  bis)  ax  -^-  'fly  —  y  z  =  î. 

Il  vient  alors 

A|,  B|,  G|  étant  ce  que  deviennent  A,  B,  G  quand  on  v  remplace  a,  (3,  y  par 
-)  -5  -  ;  dans  ces  condilions,  le  déterminant  D  se  change  en 

D 


Il  vient  ainsi 


D,= 


'  p  ,f  (/((        r  1  '  .'■  '/"  _ 


d'où 


A  ,  rf  -  =  A  rfa  - 


1) 
A  a  d'. 


d'où  enfin 

(^COis)  </i  =  Xd-JL  —  M  d'fi  ~  ('.  d-;  —  \i  di 


ou 


)•;  = 


\  J.  -^  \^  ;1  +  C.  Y  _    /  ■  p  (  a  ,r  —  [i  K  —  y  3  )  du 


~.l  HT 


ou  en  vrrtu  de  l'équation  (3  bis)  : 

Considéions  alors  .1  comme  fonction  de  ex,  (3,  y,  e;  nous  jinrlirons  de  certaines 
valeuis  initiales  do  ces  variables,  par  exemple  les  valeurs  i,  o,  o,  i  (  c'esl-à-dirt' 
le  plan  .r  =  i  ),  et  nous  les  ferons  varier  d'une  manière  continue  et  par  un  che- 
min (juelconque  jusqu'à  leurs  valeurs  finales  a,  (3,  y,  £  ;  le  cycle  à  une  dimen- 
sion /.  vari(!i'a  aussi  d  une  manière  continue  et  engendrera  une  variété  à  deux 
dimensions  K  qui  ne  sera  pas  fermée,  mais  (jui  aura  une  frontière  formée  du 
cycle  initial  (c'est-à-dire  du  cycle  k  de  la  surface  de  Riemann  corrcNpondant  au 
plan  initial  x^  \)  el  du  cycle  final  (c'esl-à-dire  du  cycle  />  de  la  surface  de 
Riemann  correspondant  au  plan  final  ax  -\-  ^y-\-yz  =  e).  C'est  le  long  de  cette 
variété  K  que  sera  prise  l'intégrale  double  .1. 

L'intégrale  .1  est  une  fonction  multiforme  des  variables  «,  (3,  y,  c  ;  parce  que 
les  cj'cles  k  s'échangent  entre  eux  lorsque  ces  variables  tournent  autour  d'un 
point  singulier,  et  parce  que  l'intégrale  J  jjrend  deux  valeurs  diilerentes,  quand 


SUR    LES   PÉRIODES   DES   INTÉGRALES    DOUBLES.  499 

les  variables  vonl  de  leurs  valeurs  initiales  à  leurs  valeurs  finales  par  deux  che- 
mins différents,  si  entre  ces  deux  cliemins  il  y  a  un  point  singulier. 

Quels  sont  ces  points  singuliers  ;  ce  sont  ceux  qui  correspondent  au  cas  où 
le  plan  (ibis)  est  tangent  à  la  surface  (i). 

Considérons  d'abord  le  cycle  /,  et  les  valeurs  correspondantes  des  intégrales 
A,  B,  C,  E  comme  des  fonctions  des  variables  a,  p,  y,  s;  quand  les  variables 
ayant  tourné  autour  d'un  point  singulier  reviendront  à  leurs  valeurs  initiales,  le 
cycle  A-  se  transformera  on  un  autre  cycle  de  la  même  surface  de  Rieinann. 
Soient  A|,  Ao,  .  .  .,  /.^/y  les  cycles  fondamentaux  de  cette  surface  de  Riemann 
(que  je  suppose  de  genre/j).  Après  une  rotation  autour  du  point  singulier,  ils 
se  transformeront  en  d'autres  cycles  de  la  même  surface,  qui  devront  être  eux- 
mêmes  des  combinaisons  des  cycles  fondamentaux  A,.  A 2,  .  .  . ,  /.y,. 

Soient  alors  A,,  Aj,  .  .  -,  A^^  les  \aleurs  de  l'intégrale  A  correspondant  à  ces 
2p  cycles;  ce  sont  les  périodes  fondamentales  de  l'intégrale  abélienueindélinie  A. 
Elles  se  transformeront  en  A',,  A!,,  .  .  . ,  A.  ^  et  les  A,  ne  seront  autre  chose  que 
des  combinaisons  linéaires  des  A,,  à  coefficients  constants  et  euliers. 

Donc  A,  considéré  comme  fonction  de  l'une  des  variables  a,  [3,  Y)  s,  satis- 
fait à  une  équation  différentielle  linéaire  d'ordre  2p,  dont  les  coefficients  sont 
des  fonctions  rationnelles  de  x,  (3,  j/,  s;  plus  généralement,  entre  2/j-f-  i  déri- 
vées partielles  de  A  par  rapport  aux  quatre  variables  (parmi  lesquelles  la 
fonction  A  elle-même  pourra  être  comprise),  il  y  a  toujours  une  relation  dont 
les  coefficients  seront  des  fonctions  rationnelles  de  x,  (3,  y,  e. 

Il  en  sera  de  même  en  ce  qui  concerne  B,  C  et  E.  Alais  il  v  a  quelque  chose 
de  plus.  Quand  les  variables  tournent  autour  d'un  point  singulier,  B,  G  et  E 
subissent  ta  même  transformation  linéaire  que  A.  Il  en  résulte  (pie  nous  aurons 
encore  une  relation  de  même  forme,  non  seulement  entre  2p-\-  i  dérivées  de  A, 
mais  entre  2p  -)-  i  dérivées  quelconques,  appartenant  les  unes  à  A,  les  autres 
à  B,  C  ou  E,  les  fonctions  A,  B,  G  et  E  elles-mêmes  n'étant  pas  exclues. 

Mais  A,  B,  C,  E  sont  les  dérivées  du  premier  ordre  de  .1  ;  et  les  dérivées  de 
ces  quatre  fonctions  sont  aussi  des  dérivées  partielles  de  .T,  de  sorte  que  nous 
arrivons  finalement  au  résultat  suivant  : 

Entre  2p-\-i  dériit'e.s  partielles  quelconques  de  i  {la  fonction  J  étant 
exclue)  il  y  a  toujours  une  relation  linéaire  dont  les  coefficients  sont  des 
Jonctions  rationnelles  de  x,  (3,  -/,  £. 

Prenons  un  nombre  suffisant  de  semblables  relations,  en  assez  grand  nombre 


500  SUR  LES  PÉRIODES  DES  INTKGHALES  DOUBLES 

pour  que  toutes  les  autres  n'en  soient  plus  que  des  conséquences;  nous  aurons 
un  système  de  relations  que  j'appellerai  le  système  (S).  Il  suffira,  par  exemple, 
pour  cela  de  prendre  les  quatre  équations 

ib[       ^      '  d-x^  di       jLd      '  doL'  ' 

Q,,  R-,  R,-,  R-  sont  des  fonctions  rationnelles  de  ^,  p,  ■/,  e;  dans  la  première 
équation  (S)  l'indice  i  peut  prendre  les  valeurs  1.2,  ....  2/>.  Qu'arrive-l-il 
maintenant  de  J  quand  les  variables  tournent  autour  d'un  point  singulier? 
Considérons  par  exemple  les  2/>  déterminations  de  A  : 

A,.     A, A,,, 

définies  plus  hnut  et  soient 

■I,.     -1. I.,. 

les  déterminations  correspondantes  de  .1.  Supposons  que,  quand  on  tourne 
autour  du  point  singulier,  A/  se  change  en 

les  \ih  étant  des  coefficients  constants  et  entiers  comme  on  l'a  expliqué  plus 
haut;  alors  .1,  se  change  eu 

II,-  étant  une  couslautc 

Une   combinaison    quelconque  ^>ia.T/,,  où  les  À;,  sont  entiers,  se  changera 

donc  en  2_,V-kik  +  H  où  les  /j.a  sont  des  entiers  et  oti  H  est  une  constante.  Cela 

posé  considérons  q  points  singuliers  -M,,  Mo,  .  .  .,  My.  Imaginons  que,  quand 
on  tourne  autour  de  M,,  une  certaine  combinaison 

se  change  en  7  PiaJa  +  Il|  ;  et  que  plusgénéralemenl,  quand  on  tourne  anlonr 
de  M,,  une  certaine  combinaison   /^A,a.Ia  se  change  en 

V,|J^<* ■'<■-+-  H,-. 
Les  X,/i  et  les  /jijt  sont  des  coefficients  entiers,  les  II,  sont  des  constantes. 


SI  n  i.RS  PÉRionES  drs  intégrales  doubles.  Soi 

Soil  (laillt'uis  K,  un  contour  à  deux  dimensions  défini  de  la  façon  suivante  : 

Soit  C,  un  contour  à  une  dimension:  pour  les  valeurs  initiales  (1,0,0,  1) 
des  quatre  variables,  il  est  choisi  dans  le  plan  (x  =  i  )  de  façon  que  la  période 

correspondanle    de   l'intégrale    A   soit  ^X,;tA/;.    Supposons    ensuite    que   les 

variables  x,  (3,  y,  s  tournent  autour  du  point  singulier  M,  en  partant  des  valeurs 
initiales  (1,0,  o,  i  )  pour  revenir  aux  mêmes  valeurs  finales,  et  que  le  cycle  C, 
varie  avec  elles  d'une  manière,  continue  ;  il  engendrera  le  cycle  à  deux  dimen- 
sions K,. 

Nous  pouvons  supposer  que  J,,  J^.  ....  Jo,,  (qui  ne  sont  définies  jusqu'ici 
qu'à  une  constante  près)  s  annulent  pour  les  valeurs  initiales.  Alors  H,  sera 
l'intégrale  double  prise  le  long  du  contour  K,. 

Soient  maintenant 

q  coefficients  entiers,  choisis  de  telle  sorte  que 

(")  \  ''/f  À,,  — 1^,1,1  =^''it  '-i^— [J.,,)  =.  .  .  =  V  v,(  À,-,;,— ,a,-2^)  =  o. 

Alors,  l'expression 

repi'ésentera  une  des  périodes  de  l' intégrale  double;  ce  sera  la  valeur  de  celle 
intégrale  double,  prise  le  long  du  cyclo  fermé  à  deux  dimensions 

Je  dis,  en  efl'el,  que  ce  cycle  est  fermé.  En  effel  le  cycle  K,  n'esl  pas  fermé, 
mais  il  admet  pour  frontière,  d'une  part,  le  cvcle  C,  dans  sa  position  initiale, 
c'est-à-dire 

d'autre  part,  ce  même  cycle  dans  sa  position  finale,  c'est-à-dire 
de  sorte  que  sa  frontière  complète  sera 


Soi  SUR    LES    PÉRIODES    DES    INTÉGRALES    DOUBLES. 

Donc  la  frontière  complète  du  cycle  N  v,K,  sera 

et  elle  se  réduira  à  rien  en  vertu  des  relations  (i  i). 

Supposons,  d'aulre  piirt,  que  nous  changions  l'origine,  je  veux  dire  quau 
lieu  de  faire  varier  a,  (3,  y,  s  depuis  les  valeurs  initiales  (  i,  o,  o,  i  )  jusqu'aux 
mêmes  valeurs  finales  nous  fassions  varier  a,  (3,  y,  e  depuis  d'autres  valeurs 
initiales  («(,,  |3o,  y^,  So)  auxquelles  nous  les  ferons  finalement  revenir.  La  défi- 
nition des  cycles  K,  se  trouvera  modifiée;  nous  n'aurons  plus  le  droit  dé  consi- 
dérer Jic  comme  nul  à  l'origine  et  l'intégrale  double  prise  le  long  du  cycle  K,  ne 
sera  plus  H,,  mais 

Elle  dépendra  donc  du  choix  de  l'origine  (a,,  (3o,  y^,  £o)-  Considérons,  au 
contraire,  l'intégrale  double  prise  le  long  du  cycle  ^v,K,;  elle  sera 

22 '''''^'''~ ''"'■''' ''^2  "'' "'■' 

expression  qui  se  réduira  à  N  v,H,  en  vertu  des  relations  (i  i).  Elle  sera  donc 
indéjjendante  du  choix  du  l'origine. 

III.        Lacets  rectilignes. 

M.  Picard  a  démontré  que,  par  une  Iransfurmatiun  birationnelle  convenable, 
une  surface  quelconque  peut  être  ramenée  à  une  sui'face  nitrinale,  c'est-à-dire 
à  une  surface  n'ayant  d'autres  singularités  que  des  courbes  formées  par  l'inter- 
section de  deux  najipes  sans  point  singulier,  ou  des  points  triples  formés  par 
l'intersection  de  trois  nappes  sans  point  singulier.  Néanmoins  la  courbe  double 
pourra  présenter  des  pincli-points  ('),  c'est-à-dire  des  points  où  les  deux  nappes 
se  touchent,  de  telle  façon  que  l'intersection  de  la  surface  par  un  plan  quel- 
conque passant  par  ce  point  présente  non  plus  un  point  double  à  tangentes 
séparées,  mais  un  point  de  rebroussement  ordinaire. 

r '  )  [ou  points-pinces. ] 


SUR    LES    PÉRIODES    DES    INTÉGRALES    DOIBLES.  ''o3 

Dans  ce  qui  v.i  suivre,  nous  supposerons  donc  en  tjéaéral  que  la  surface 

est  normale;  cependant,  dans  certains  cas,  nous  serons  amenés  à  considérer  des 
si^rfaces  qui,  outre  les  sinoularilés  des  surfaces  normales,  présentent  des  points 
coniques  isolés;  nous  supposerons  qu'en  ces  points  coniques  le  cône  des  tan- 
gentes est  un  cône  du  deuxième  degré  ne  se  décomposant  pas  en  deux  plans. 

Nous  avons  envisagé  dans  le  paragraphe  précédent  les  quatre  variables  homo- 
gènes a,  (3,  y,  e  et  nous  avons  considéré  en  particulier  le  cas  où  ces  variables 
prenaient  des  valeurs  correspondant  à  un  point  singulier;  et  nous  entendions 
par  là  des  valeurs  telles  que  le  genre  de  la  section  de  la  surface  (i  )  avec  le  plan 

que  ce  genre,  dis-je,  s'abaisse  d'une  ou  plusieurs  unités. 
C'est  ce  qui  arrivera  : 

i"  Si  le  plan  (3  6t.v^  est  tangent  à  la  surface(  I  )  ; 

2°  Si  la  surface  (1)  admet  des  points  coniques,  et  si  le  plan  (  3  bis)  passe  par 
un  de  ces  points  coniques. 

Je  ne  reviendrai  pas  sur  la  discussion  par  laquelle  M.  l'icard  a  démontré  que 
ces  deux  cas  sont  les  seuls.  Pour  une  surface  normale,  on  n'a  à  considérer  que 
le  premier,  et  alors  les  points  singuliers  seront  définis  par  l'équation 

(2)  <I>(a,  8,  V,  s)  =  o 

qui  est  l'équation  de  la  surface  (i)  en  coordonnées  langentielles  homogènes  ou. 
si  l'on  aime  mieux,  l'équation  de  la  dualistique  de  la  surface  (i). 

On  est  ainsi  amené  à  se  préoccuper  des  singularités  langentielles  de  la  sur- 
face (  1).  Mais,  par  un  raisonnement  tout  à  fait  pareil  à  celui  de  M.  Picard,  on 
verrait  que  l'on  peut  toujours  supposer  que  la  surface  (2),  dualistique  de(i), 
est  une  surface  normale. 

Nous  su])poserons  donc  en  général  dans  ce  qui  va  suivre  que  les  deux  sur- 
faces sont  toutes  deux  normales,  de  sorte  que  les  seules  singularités  tangen- 
tielles  de  la  surface  (i  )  seront  : 

1°    Des  plans  tangents  doubles  en  nombre  simplement  infini; 

2"   Des  plans  tangents  triples  en  nombre  fini; 

3"   Des  plans  lingents  dUn/fexion  correspondant  aux  points-pinces. 


5o4  Sl'R  LES  PBRIODRS  DES  INTÉGRALES  DOUBLES. 

Considérons  d'abord  un  point  singulier  M,  correspondant  à  un  plan  tangent 
simple  ordinaire.  Soient  A,,  /..,,  ...,  /,%,,  les  2/>  cycles  fondamentaux  de  la 
courbe  algébrique,  intersection  do  (i)  et  de  (ibis):  supposons  que  le  point 
analytique  (a,  (3,  y,  £)  parte  d'une  position  initiale  quelconque  que  j'appellerai 
O,  et  qui  correspondra  par  exemple  à  (o,  1,0,0),  c'est-à-dire  au  planj-  =  o, 
que  ce  point  analytique  tourne  autour  du  point  singulier  M;  et  revienne  en  O; 
que  seront  devenus  les  2j>  cycles  fondamentaux? 

11  résulte  d'un  raisonnement   de  M.    Picard  (  Théorie  des  /onctions  algé- 

briqiies,  t.  I,  p.  y6  )  que,  si  l'on  a  ciioisi  convenablement  les  2/7  c\cles  fonda- 

mentairx 

/.-,.     /.,.     Â-, /•.,,„ 

ils  se  changeront  en 

Il  va  sans  dire  que  le  choix  des  cycles  fondainenlaux  qui  permet  d'énoncer 
le  résultat  sous  cette  forme  simple  n'est  pas  le  même  pour  les  différents  points 
singuliers  M,. 

Lorsque  le  point  analytique  (a,  (3,  y,  s)  vient  en  M,,  le  plan  (3  bis)  devient 
tangent  à  la  surface  (i),  coupe  cette  surface  suivant  une  courbe  qui  n'est  plus 
que  de  genre  p  —  i  et  qui  par  conséquent  n'a  plus  que  :>./) —  2  cycles  fondamen- 
taux; ces  cycles  sont 

/,.       k; /,/,. 

Considérons  alors  le  c\cle 

/.■   =    À  ,    A-,   -^    À.;  /-,,  ^  .   .   .  +   À.,,,  /..,, . 

les  A  étant  des  cueflicients  entiers;  quand  le  point  analytique  (a,|3,  y,  s),  partant 
de  O,  reviendra  en  O  après  avoir  tourné  autour  de  M,,  en  décrivant  le  chemin 
lermé  C,  le  cycle  à  une  dimension  A  engendrera  un  cycle  à  deux  diuiensions  K; 
reprenons  l'intégrale  J  du  |)aragia|)he  précédant  et  prenons  cette  intégrale 
double  le  long  de  K.  Le  clieuiin  C  peut  être  remplacé  par  un  lacet,  c'est-à-dire 
par  un  chemin  allant  d'abord  de  O  en  N,,  point  infiniment  voisin  de  M,  le  long 
de  la  ligne  L/,  allant  ensuite  de  N/  en  N,  en  décrivant  autour  de  M,  le  contour 
infiniment  petit  C^  et  revenant  enfin  de  N,  en  O  par  la  ligne  L,. 

Je  remarque  d'abord  que  l'intégrale  .1  correspondant  au  contour  infiniment 
petit  C]  est  infiniment  petite.  En  effet,  cette  intégrale  peuts'écrire,  comme  nous 
l'avons  vu  au  paragraphe  précédent, 


-f.r-^-fj"^'-ff 


SUR    LES    PKRIODES    DES    INTÉGRALES    DOUBLES.  5o5 

Les  trois  dénominateurs  F^.,  F^.,  FI  ne  sont  pas  nuls  à  la  ("ois,  >i  le  point  singu- 
lier n'est  pas  un  point  conique;  de  sorte  que  nous  pouvons  toujours  supposer 
que  la  fonction  sous  le  signe  /  /  reste  iinie;  et  le  contour  dintégration  est  infi- 
niment petit. 

Nous  excluons  ainsi  le  cas  où  le  point  singulier  serait  un  point  conique  et 
aussi  celui  où  P  deviendrait  prccisément  in  finiau  point  singulier  M,-. 

Mais  le  premier  cas  ne  se  présentera  pas  si  la  surface  (i)  est  normale,  et  si 
l'autre  se  présentait,  c'est-à-dire  si  le  plan  langent  aj" -t- ^y -h  ys  =î  corres- 
pondant au  point  ^1,  touchait  la  surface  (i)  en  un  point  où  P  serait  infini,  il 
suffirait  de  remplacer  ce  plan  par  un  plan  tangent  infiniment  voisin  pour  c|ue  la 
difficulté  ne  se  présentât  plu-. 

Il  reste  donc 


(3; 


'-J'I-fL 


la  première  intégrale  étant  prise  en  parcourant  la  ligne  L,  dans  le  sens  direct. 

et  la  seconde  en  j)arcourant  celle  même  ligne  dans  le  sens  inverse,  mais  après 

que  le  cycle  k.,  se  serait  changé  dans  le  cycle  Ao-I-Ai,  et  le  cycle  A'  dans  le 

cycle  k', 

k'  =  k-k-  X2  ^1 . 
On  a  donc  simplement 

'—"If  ■ 

l'intégrale  étant  prise  depuis  O  jusqu'à  M,  en  suixant  la  ligne  L,  et  en  rempla- 
çant le  cycle  à  une  dimension  /,  par  le  cycle  A,.  Nous  aurons  donc 

(/,)  S  =  —  '/..,  j(\.i}. 

où 

.M 


l'intégrale  étant  prise  le  long  de  la  ligne  L,  ;  les  intégrales  A,  B,  C,  E  ont  le 
même  sens  que  dans  le  paragraphe  précédent;  elles  sont  supposées  prises  le 
long  du  cycle  A,  ;  le  cycle  A-,  est  choisi  parce  que  c'est  celui  qui  s'évanouit  au 
point  singulier  Af,  ;  c'est,  pour  prendre  le  langage  du  Mémoire  cité  [Journal  de 
Liouville,  5'  série,  t.  \  III,  1902,  p.  191),  le  cycle  É-Vanow?ss(««M-elatif  à  M,. 
Les  périodes  de  l'intégrale  double  J  sont  donc  des  combinaisons  linéaires  à 
coefficients  entiers  des  intégrales  /  (L,).  D'autre  part,  quand  la  ligne  L,  allant 
H.  P.  —  III.  64 


5o6  SUR    LES    PÉniODES    DES    INTÉGRALES    DOUBLES. 

de  O  en  M,  se  déforme  d'une  manière  continue  un  même  temps  que  se  déplace 
le  point  M,  et  de  telle  f.içon  qu'elle  ne  passe  jamais  par  aucun  point  singulier, 
son  extrémité  M,-  exceptée;  dans  ces  conditions,  dis-je,  rexpressiony(L,)  est 
une  constante. 

Si  le  point  M,  correspond  à  un  plan  tangent  double  ou  triple,  il  y  aura  deux 
ou  trois  cycles  évanouissants  correspondant  aux  deux  ou  trois  points  de  con- 
tact de  ce  plan  avec  la  surface;  l'inlégraley' (L,)  sera  donc  susceptible  de  deux 
ou  trois  valeurs  entre  lesquelles  il  faudra  distingue!-.  Il  en  sera  de  même  si  le 
point  M,  correspond  à  un  plan  tangent  d'inllexion:  seulement  les  deux  cycles 
évanouissants  correspondront  alors  à  un  uK-me  point  de  contact.  A  part  cela, 
aucune  différence  avec  ce  qui  se  passe  pour  un  plan  tangent  ordinaire. 

Supposons  maintenant  que  Ion  prenne  it  =  y  =  o,  p  =^  i ,  de  telle  sorte  que 
le  plan  (3  bis)  se  réduise  au  plan  y  =  e  ;  on  étudie  ainsi  les  sections  successiyes 
de  la  surface  par  des  plans  parallèles  à  r  =  o;  c'est  le  procédé  qu'a  employé 
M.  Picard  dan*  son  Ouvrage  et  j'ai  suivi  son  exemple  dans  le  Mémoire  cité. 

Marquons  dans  le  plan  des  j-  l'origine  O  correspondant  au  plan  initial  j--  ;=  o, 
et  les  points  singuliers  M,,  Mo,  ...,  M^  correspondant  aux  plans  _)-=_i|, 
y  =  J'a,  •  ■  • ,  J>'  =.}'ï  «lui  touchent  la  surface  (i).  Joignons  0M| ,  OM.2,  .  .  . ,  OM^ 
par  des  droites.  .Te  considère  une  ligne  L,  dont  tousles  points  satisfont  aux  con- 
ditions a=Y  =  o,  [j  =  I  ;  dans  ce  cas  s  est  seul  variable  et,  comme  notre 
plan  (3  bis)  a  précisément  pour  équation  y^=^s,  nous  pouvons  représenter  la 
ligne  L,  sur  le  plan  des  y.  Je  dis  que  l'intégrale  /(L,)  sera  une  combinaison 
linéaire  à  coefficients  entiers  des  intégrales 

y(OM,).    ,/\0M,) ./<'">M-,) 

correspondant  aux  droites  OM,. 

En  effet,  prolongeons  les  droites  OM,,OMj,  .  .  .,  OM,,  jusqu'à  l'infini  ;  nous 
poui'rons  considérer  les  prolongements  M,oo  des  droites  OM,,  comme  de^  cou- 
pures. 

Cela  posé,  la  ligne  L,,  tracée  dans  le  plan  des  )•,  ira  du  point  O  au  ])oint  M, 
en  traversant  un  certain  nombre  de  coupures;  supposons  pour  fixer  les  idées 
qu'elle  traverse  successivement  les  coupures  M,  00  et  M, 00;  il  faut  en  outre  pré- 
ciser le  sens  dans  lequel  elle  les  traverse;  je  su[)poserai,  par  exemple,  que  ce 
soit  dans  le  sens  direct,  c'est-à-dire  dans  le  même  sens  qu'un  mobile  qui  décri- 
rait un  cercle  de  rayon  très  grand  dans  le  sens  opposé  à  celui  des  aiguilles  d'une 
montre.  Alors  un  mobile  qui  décrirait  le  lacet  tout  entier,  c'est-à-dire  L,,  puis 


SUR    LES    PÉRIODES    DES    INTÉGRALES    DOLHLES.  Soy 

le  contour  infiniment  petit  C, ,  puis  de  nouveau  L,  en  sens  contraire,  coupera 
successivement  les  coupures  M,  oo,  IVLao,  M,oo  dans  le  sens  direct,  puis  Mjoo  et 
M|Oodans  le  sens  rétrograde.  Le  lacet  primitif  pourra  donc  être  remplacé  par 
cinq  laiels  rectilignes  consécutifs,  enveloppant  respectivement  les  points  sin- 
guliers M,,  M.,,  M,,  Mo,  M,  et  décrits  les  trois  premiers  dans  le  sens  direct,  les 
deux  autres  dans  le  sens  rétrograde,  f^es  intégrales  correspondant  à  ces  cinq 
lacets  seront  respectivement  égales  à 

/(OM,),    j\(m,),    yXO.M,),    jmh).    y(:oM,) 

multipliées  par  des  coefficients  entiers  convenables.  La  détermination  de  ces 
coefficients,  dont  quelques-uns  d'ailleurs  peuvent  être  nuls,  dépend  de  la  façon 
dont  se  transforment  les  cycles  fondamentaux  A,,  A.i,  .  .  . ,  A,^,  quand  on  tourne 
autour  des  points  singuliers. 

Nous  verrons  plus  loin  comment  on  peut  faire  une  réduction  analogue,  dans 
le  cas  où  la  ligne  L,  n'est  pas  tellf  que  tous  ses  points  satisfassent  aux  condi- 
tions a  =  y  =  o,  (5  =  I.  Mais,  pour  le  moment,  nous  remarquerons  que,  dans 
le  Mémoire  cité  du  Journal  de  Liouville,  j'ai  démontré  au  paragraphe  3  que, 
sous  certaines  hypothèses,  toutes  les  périodes  de  l'intégrale  double  J  sont  des 
combinaisons  linéaires  à  coefficients  entiers  des  expressions  y(OM,);  les 
points  Mi  correspondent  un  eflel  aux  points  A,  du  Mémoire  cité  et  les  chemins 
rectilignes  UM,  aux  coupures  OAy. 

Les  combinaisons  linéaires  qui  correspondent  aux  périodes  de  l'intégrale 
double  sont  les  suivantes.  Soit  A,  le  cycle  évanouissant,  correspondant  à  UM,  ; 
toute  combinaison 

où  les  V,  sont  des  entiers  tels  que 

correspondra  à  une  période 

Dans  ce  même  Mémoire,  à  la  fin  du  même  paragraphe,  j'ai  montré  que 
quelques-unes  de  ces  combinaisons  sont  nulles;  ce  sont  celles  qui  sont  engen- 
drées de  la  façon  suivante  :  je  suppose  qu'on  décrive  successivement  les  dilTé- 

rents  lacets 

OM,,     OM,,     ....     OMy 

dans  le  sens  direct  et  dans  l'ordre  où  ces  diflférents  segments  rectilignes  se  suc- 
cèdent autour  de  O;  de  telle  façon  qui-  le  contour  total  se  compose  d'une  ligne 


5o8  SUR    LES    PÉRIODES    DES    INTÉGRALES   DOl  BLES. 

termée  qui  enveloppe  tous  les  points  singuliers  jNI,  sans  couper  aucun  des  seg- 
ments OM,.  On  part  d'ailleurs  du  point  initial  avec  un  cycle  à  une  dimension 
quelconque  k,  et  l'on  revient,  par  conséquent,  au  point  final  avec  ce  même 
cjcle.  La  comhinaison  correspondant  à  ce  chemin  sera  nulle. 

Mais  il  est  nécessaire  de  revenir  sur  ce  point;  car,  dans  le  Mémoire  cité,  j'ai 
supposé,  entre  autres  hvpothèses,  qu'aucun  des  points  singuliers  A,  n'est  rejeté  à 
l'infini.  Or,  si  l'on  considère  une  surface 

(l)  V{X.    Y,    Z)  =  Il 

qui  soit  la  plus  générale  de  son  degré;  puis  la  section  de  <elle  surface  par  le 
plan  (3  bis)  y  =  £  qui  est  la  courbe  plane  C, 

Y{x.  t.  z^  =  n. 

On  peut  dire  que  pour  s  =  oo  celle  courbe  présente  des  singularités,  et  l'on 
pourrait,  par  conséquent,  se  demander  si  les  résultats  ne  s'en  trouvent  pas 
modifiés. 

Or  le  contour  que  nous  venons  de  définir  |'eul  être  remplacé  par  le  suivant  : 
la  variable  y  déciit  dans  son  plan  un  cercle  de  rayon  très  grand  ;  en  même  temps 
la  surface  de  Hiemann  correspondant  à  la  courbe  plane  C  se  déforme  d'une 
manière  continue;  nous  avons  sur  cette  surface  un  cycle  fermé  qui  varie  égale- 
ment d'une  manière  continue  et  r,:;vient  à  sa  position  initiale  en  même  temps 
que  la  variable  j>-;  les  variables  r  et  ^  sont  assujetties  à  rester  sur  ce  cycle. 

Supposons  d'abord  que  l'soit  un  polynôme  i-'iilicr  de  degré  m  —  'i  en  x,  y,  z. 
de  telle  façon  que  l'inlégrale  simple 

(6)  /'^ 

soit  une  intégrale  abélienne  de  premièi'e  espèce. 

Posons 

X  —  uy.        z  =  i>y. 

Nous  voyons  que  I'  deviendra  un  polynôme  d'ordre  m  —  3  etF'.  un  polynôme 
d'ordre  m  —  i  en  j,  de  lelle  sorte  que  pr-  pourra  se  développer  suivant  les  puis- 
sances décroissantes  de  j)-  et  que  le  premier  terme  sera  un  terme  en  —  •  Le  coef- 
ficient de  ce  terme  sera  d'ailleurs 

Po(«,  I,  e) 


en  désignant  par  f„{x,y,  z),  F»  (x,  j',  z),   V'„^.{x.y,  z)  les  termes  du  degré 


SDR    LES    PÉRIODES    DES    INTÉGRALES    DOimLES.  Sog 


le  plus  élève  en  )•  de  P{x,y,z),  F{x,y,  z),  F.(x,  y,  s).  J'écrirai  simplement 

P 

~  en  suppriiiiaut  l'indice  i'. 

''  0 

Nous  avons  d'autre  part 

fl.r  tly  =  y  du  dy. 

d'où 

Le  premier  terme  est  seul  sensible:  ii  reste  donc 

r  rdy  v„d,(  ri\,d„ 

'i\du 


/■ 


(I 


est  une  intégrale  abélienne  relative  à  la  courbe  algébrique 


(8)  F„(h,  I.  f)  =  o. 

Ainsi,  notre  période,  qui  est  égale  à  l'expression  (7),  n'est  pas  nulle  dans  le 
cas  qui  nous  occupe,  niiiis  elle  a  le  caractère  d'une  période  polaire  et  non  d'une 
période  cyclique. 

Il  en  sera  encore  de  même  si  P  est  de  la  forme — ^^-  ,  Q  étant  un  polvmime 

X  —  a      ^  '      • 

d'ordre  ?n  —  2,  c'esl-à-dire  si  l'intégrale  (6)  a  la  forme  d'une  intégrale  abé- 
lienne de  troisième  espèce  ayant  tousses  infinis  à  distance  finie.  Nous  laisserons 
de  côté,  pour  le  moment,  les  cas  où  celte  intégrale  abélienne  (6)  aurait  des 
infinis  à  distance  infinie. 


IV.        Théorie  générale 

J'ai  cité  plusieurs  fois  le  travail  que  j'ai  fait  insérer  dans  le  Journal  de  Liou- 
{■ille,  comme  4°  Complément  à  V  Analyses  situs;  je  crois  devoir  non  seulement 
en  rappeler  ici  les  résultats,  mais  les  présenter  sous  une  forme  nouvelle,  les 
différences  portant  non  seulement  sur  le  mode  d'exposition,  mais  sur  une  con- 
vention fondamentale  que  je  crois  préférable  de  modifier.  Quand  on  s'occupe 
des  propriétés  d'une  surface  algébrique  au  point  de  vue  de  V  Analysis  situs,  on 
s'aperçoit  promplement  que  la  question  peut  avoir  un  sens  très  différent  selon 
la  convention  que  l'on  adoptera  au  sujet  des  |)oiuts  à  l'infini.  A  l'égard  d'une 
surface  F[x,y,  3j=:o,  nous  pouvons  envisager  plusieurs  sortes  de  points  à 
l'infini;  nous  avons  d'abord  ceux  où  x,  v  et  ;  sont  infinis  à  la  fois,  et  ceux  où 
deux  seulement  de  ces  trois  coordonnées  sont  infinies.  Je  néglige  ceux  où  deux 


5lO  SLR    LES    PÉRIODES    DES    INTÉGRALES    DOUBLES. 

coordonnées  sont  finies  et  une  infinie;  ils  n'existeraient  en  eft'el  que,  si  la  sur- 
face étant  de  degré  m,  par  exemple,  le  polynôme  F  ne  contenait  pas  de  terme 
en  :;'",  et  ce  cas.  évidemment,  ne  se  présentera  pas  en  général. 

On  peut  ne  pas  considérer  comme  distincts  deux  points  x,,!', ,  s,  et  jCo,  i-j,  ;■> 
toutes  les  fois  que  les  sis  coordonnées  de  ces  deux  points  sont  infinies,  et  alors 

même  que  l'on  n'aurait  pas  —  ='—  =  ^  ;  on  regarderait,  au  contraire,  ces  deux 

points  comme  distincts  si,  par  exem|)le,  rnJKi)  -I'ï,  l'a  étaient  infinis,  c,  et  ;j 
finis  et  5|  diflerent  de  z-,.  C'est  le  premier  point  de  vue. 

Au  second  point  de  vue,  on  reg.irdera  deux  points  à  l'inlini  comme  distincts 
toutes  les  fois  que  l'on  n'aura  pas 

:£l  =  t^  =  -ii. 

Si,  au  contraire,   z^   et  ;j  sont  finis,   le  rapport  '-^  sera  égal  au   rapport  — 

puisqu'on  l'obtiendra  en  égalant  à  zéro  l'ensemble  des  termes  de  F  qui  sont  de 

degré  m  en  x  et  y;  d'autre  part,  les  rapports  —  et  —  seront  égaux  entre  eux  et 

égaux  à  zéro,  et  les  deux  points  devront  être  regardés  comme  mm  distincts, 
contrairement  au  premier  point  do  vue,  alors  même  que  z^  ne  serait  pas  égal 
à  z... 

Dans  le  Mémoire  cité,  je  m'étais  placé  au  premier  point  de  vue,  et  c'est  éga- 
lement ce  que  M.  Picard  avait  fait  le  plus  souvent.  Ce  premier  point  de  vue  peut 
être  le  plus  avantageux  dans  certains  cas,  mais  il  a  l'inconvénient  de  n'être  pas 
projectif,  ce  qui  m'empêcherait  d'appli([ucr  les  principes  des  deuxparagraphes 
précédents  et  j'adopterai  le  second. 

Si  nous  considérons  r  comme  une  constante,  l'écjuation 

F(a.-,  y,  Z)  =  (I 

définira  nue  courbe  algéi)ri(iiie  et  par  con^équenl  une  surface  de  Riemann  que 
j'apjJcUe  S(k).  J'observe  d'abord  que  deux  surfaces  de  Riemann  S(>'|  )  etSCva) 
ont  un  certain  nombre  de  points  communs. 

Soit,  en  elfet,  F„j(.r,  o,  ;)  l'enseuible  des  termes  de  F  qui  sont  d'ordre  m 
en  j;  et  en  ;;  l'équation  F„,  (.c,  o,  ;)  =  o  définira  m  valeurs  du  rapport  '-)  qui 
correspondront  aux  directions  asjmptoliques  de  la  courbe  algébrique 

F(,r,  .r,,  3)  =  (., 

directions     qui     seront     d'ailleurs     les     mêmes     que    celles     de     la    courbe 


SUR    LES    PÉRIODES    DES    INTÉGFULES    DOUBLES.  5ll 

F  (pc,  )'■!,  :;)  =:o;  à  ces  m  direclions  asymptoliques  correspondronl  m  poinls  à 
l'infini  sur  la  surface  S  (r,  )  et  de  mcnie  m  [joints  à  linlini  sur  la  surface  S  (jKs). 
D'après  la  conveniion  que  nous  venons  de  faire,  les  mpoints  à  l' infini  deS  {yC) 
ne  différeront  pas  de.  ceux  de  S  {y^  ). 

Pour  Y  =  X),  nous  avons  la  surface  de  Riemann  S  f  oo)  dont  les  dilTérents 
points  correspondent  aux  différents  systèmes  de  valeurs  des  rapports  de  x,  y 

et  ;  satisfaisant  à  l'équation 

F,„ (.•/■.  /,  s)  =  0, 

où  V„i  est  l'ensemble  des  termes  de  F  du  degré  m  en  .r,  )'  et  ;;  ou,  en  d'autres 
termes,  aux  dilléreuts  points  à  l'inlini  de  la  surface  F  =  o.  Parmi  les  points  de 
la  surface  S  (m),  nous  distinguerons  ceux  qui  sont  donnés  par 

F,„(.r.  o,  z)  =  o, 

et  qui  lui  sont  communs  avec  les  autres  surfaces  S(vi  ),  S(i':;),  .... 

Pour  certaines  valeurs  de  )•,  le  genre  de  la  surface  S(j-)  s'abaisse,  ce  sont 
celles  qui  correspondent  à  un  plan  )'=const.  tangent  à  la  surface  F  =  o. 
Soient 

ces  valeurs  singulières  de  )•. 

il  faut  maintenant  c|ue  je  définisse  ce  que  j'appelle  lAprojection  d'une  sur- 
fice  S(>'i)  sur  une  autre  surface  S(>'2)  quand  je  suppose  que  )\  et  y^  ont 
niém.'  iirgumunl.  A  ciiaque  point  de  S  (r,)  je  ferai  correspondre  un  point  do 
S(Kj)  et  inversement,  et  cela  d'une  fayon  biunivoque,  et  je  dirai  que  l'un  de 
ces  points  est  la  projection  de  l'autre.  Je  m'arrangerai  de  façon  que  deux  points 
inlîniment  voisins  aient  pour  projections  deux  points  infiniment  voisins  et,  par 
conséquent,  qu'une  courbe  continue  se  projette  suivant  une  courbe  continue  et 
une  courbe  fermée  suivant  une  courbe  fermée.  De  plus,  je  m'arrangerai  de 
façon  que  les  m  points  à  l'infini  ([ui  sont  communs  aux  deux  surfaces  soient 
leur  propre  projection.  Il  est  clair  que  toutes  ces  conditions  peuvent  être 
remplies. 

Imposons-nous  maintenant  une  condition  de  plus.  Soient  yi,  j'j.  >ii  v., 
quatre  valeurs  de  )•;  )'i  et  Kj  d'une  part,  v^',  e\. y\,  d'autre  part  ont  même  argu- 
ment; d'ailleurs  r,  diffère  très  peu  dey,  ^^y^i  ^^y-i-  Je  considérerai  alors  deux 
points  M,  et  M,  des  deux  surfaces  S  ()i  )  et  S  (j>'',  )  et  leurs  projections  Mo  et 
M,  sur  S  ()'.j)  et  S(y,),  et  /e  supposerai  que,  si  M,  et  "M,  sont  infiniment 
voisins,  il  en  est  de  même  de  M-,  et  M',. 

Celle  condition  ne  peut  pas  fou/ours  être  remplie.  Traçons  dans  le  plan 


5l>.  SIR    LES    PÉRIODES    DES    INTÉGRALES    DOUBLES. 

des  )■  le  quadrilatère  rectiligne  ViV,  )'.,,)'j5  doni  doux  côtés  Xiy\  et  r„yo  sont 
infiniment  petits.  Si  à  rintérieur  de  ce  quadrilatère  se  trouve  l'un  des  points 
singuliers  £|,  So)  •  •  ••  £ai  la  condition  ne  pourra  être  remplie.  Nous  joindrons 
donc  dans  le  plan  des  y  l'origine  O  aux  diderents  points  singuliers  £,-;  les 
droites  ainsi  tracées  partageront  le  plan  en  secteurs  et  la  condition  devra 
être  remplie  à  l'intérieur  de  chacun  des  secteurs.  Si  maintenant  y,  et  )■, ,  el, 
par  conséquent,  y^j  et  y'.,  n'appartiennent  pas  à  un  même  secteur,  la  condition 
pourra  ne  pas  être  remplie;  elle  le  sera  si  |  y,  |  el  \y-,  |  (el  par  conséquent  \y\  \ 
et  \y'.,  I)  sont  tous  deux  plus  grands  ou  tous  deux  plus  petits  que  ,  £,  j  (giétanl  le 
point  singulier  qui  se  trouve  entre  les  deux  ravons  infiniment  voisins  Oy-i  ii  et 
Oy'.,i:,  );  elle  ne  le  sera  pas  dans  le  cas  contraire. 

Cela  posé,  envisageons  un  cvcle  fermé  à  deux  dimensions  quelconques  de  la 
variété  V  à  quatre  dimensions  dont  les  différents  points  réels  correspondent  aux 
différents  points  réels  et  imaginaires,  regardt's  coinnu'  distiiiits,  de  la  surface 
F  =  o.  (Pour  expliquer  ce  qu'on  entend  par  regardés  comme  distincts,  je  rap- 
pellerai la  convention  que  nous  venons  de  faire  au  sujet  des  points  à  l'infini  el, 
d'autre  part,  que  si  la  surface  a  une  courbe  double,  aux  deux  nappes  qui  se 
coupent  en  un  point  de  cette  courbe,  doivent  correspondre  deux  points  distincts 
de  \  .)  Soit  K  ce  cycle  fermé  à  deux  ilimensions. 

Considérons  un  |)oint  de  ce  cycle,  et  marquons  sur  le  plan  des  )■  bi  vabiii- 
corresjiondante  de  y;  à  chaque  point  de  K  corresponcha  donc  ainsi  un  point 
du  |)lan  des  )',  et  inversement  à  certains  points  de  ce  plan  pourront  corres- 
pondre un  ou  plusieurs  points  du  plan  de  K.  Nous  sommes  ainsi  conduits  à  par- 
tager le  plan  des  )-  en  régions  diverses,  les  régions  R,,  aux  points  desquelles  ne 
correspond  aucun  ])oinl  k,  les  régions  R,  aux  points  desquelles  correspond  un 
seul  |)(iint  y.  les  régions  li-,  aux  poiiU>  desquelles  correspondent  deux 
points  y,  etc. 

Cela  suppose  loulefois  que  le  cjcle  K  ne  passe  par  aucun  des  m  points  à 
l'infini  communs  à  toutes  les  surfaces  ^{y),  sans  quoi  la  valeur  coriespondante 
de  y  serait  indéterminée.  S'il  en  était  autrement,  on  déformerait  légèrement  le' 
cycle  K  <le  façon  qu'il  cesse  de  passer  par  ces  points. 

Ce  n'est  pas  tout,  ce  cycle  K  est  tel  que,  dans  le  voisinage  de  chacun  de  ces 
points,  les  parties  réelles  et  imaginaires  de  .i-,  y,  :■  peuvent  s'exprimer  en  fon'c- 
lions  holomorphes  de  deux  paramètres  u  et  c;  si  nous  considérons  donc  deux 
domaines  à  deux  dimensions  faisant  partie  de  ce  cycle,  et  de  telle  façon  que  dans 
le  premier  tout  s'exprime  en  fonction  de  u  et  c,  et  dans  le  second  en  fonction 


Sin    LES    PÉRIODES    DEj;    I.NTÉGRALES    UOIBLES.  'l3 

de  deux  aulres  paramélres  (/'  et  r  ;  si  ces  deux  domaines  ont  une  partie  com- 
tiiuue,  le  signe  du  déterininani  fonctionne]  de  n  et  c  par  rapport  à  //  et  i'  sera 
constant  dans  toute  celte  partie  commune. 

Si  nous  supposons,  comme  il  convient,  (jue  le  cycle  K  est  bilatèrr.  nous 
pourrons  supposer  sans  restreindre  la  généralité  que  ces  paramètres  u,  i\  «',  (' 
ont  été  choisis  dans  chaque  domaine  de  telle  façon  que  ce  déterminant  fonc- 
tionnel soit  toujours  positif. 

Soit  alors  A  le  déterminant  fouctioanel  de  «et  r  par  rapport  à  y,  et  )^,  en 
désignant  pour  un  instant  par  j-,  et  j-j  les  parties  réelle  et  imaginaire  de  r.  Le 
signe  de  ce  déterminant  ne  changera  pas.  d'après  la  convention  que  nous 
venons  de  faire,  quand  on  passera  de  u  et  r  à  deux  autres  paramètres  «'  et  c'. 
Soit  alors  un  point  de  l'une  des  régions  15„  dont  nous  venons  de  parler:  à  ce 
point  coi-respondront  n  points  du  cycle  Iv;  je  suppose  qu'il  y  en  ail  p  \>in\v 
lesquels  A  soit  positif  et  n — />  pour  lesquels  A  soil  négatif.  Eh  bien. 
l'excès  '.p  —  /(  si'ia  constant  pour  tous  les  points  du  jilan  des  y  et  pour 
toutes  les  régions  R,,,  I>| 

D'iiù  Ton  peut  conclure  que  le  nombre  n  lelalif  aux  diverses  régions  l'>„  est 
constamment  de  même  parité.  S'il  y  a  des  régions  Imi.  l'excès  Ap  -  u  est 
constamment  nul. 

Nous  examinerons  d  aijord  le  cas  ou  le  point  )■  =  o  el  le  point  y  ^  y:  appat- 
lienni^nt  luii  et  l'autre  à  une  région  Kp.  Coupons  noire  c\cle  K  par  la  variété 

arg_^  =  con^t. 

Celte  variété  sera  représentée  sur  le  plan  des  )•  par  une  demi-droite  allant  de 
l'origine  à  l'infini.  Nous  remarquerons  que  cette  demi-droite,  partant  de  l'inté- 
rieur d'une  région  Ro,  traverse  des  régions  R„  («  ]>  o)  et  aboutit  linalement  à 
l'intérieur  d'une  région  1!,,.  Si  donc  nous  envisageons  les  points  qui  ajipar- 
tiennent  :'i  la  fois  à  cette  \ariété  et  au  cycle  K.  le  moilule  de  f  varicrn  |)our  ces 
|ioinls  entre  nn  certain  iniiiiiiiuni  ci  un  icrtMin  niaxiiiiuiii.  7/  r/i  résulte  i/uc 
l  intci'section  de  celle  variété  et  de  Iv  sera  un  rycle  fermé  n  une 
dimension  que  j'appelle  (  K.  to).  '.i  étant  l'argument  constant  de  )•. 

Tous  les  points  de  (K,  oi  )  ap|)arliennent  à  une  surface  de  Riemann  S  (  )),  où 
y:=oe"''  a  un  argument  constant  m;  nous  pouvons  donc  les  projeter  sur  l'une 
quelconque  d'entre  elles  .S(po<;"")  et.  par  exemple,  sur  .S(o):  j'appellerai 
(K,  0),  o)  la  projection  du  cycle  (K.  oi  )  sur  .S(o).  Comparons  niainlenant 
(  K.  '.).  o)  à  (K,  (,^' ,  o);  si  m  diffère  très  peu  de  '•>' .  il  résulte  de>  convention^ 
II.  p.  —  m.  (j.5 


âla  SUR   LES   PERIODES    DES   INTEGRALES    DOUBLES. 

faites  plus  liaiil  que  (K,  ',>,  o)  différera  très  peu  de  (  K,  ',y' ,  o).  à  moins  que 
Vargumeiit  de  l'un  des  points  singuliers  £/,  nesoil  compris  entre  w  el  o)'.  Si 
nous  adoptinis  la  notion  de  Y homologie.  nous  aurons  donc,  sur  la  surlace  S(  o), 

rhomologie 

I  K.  M.  o  I  ^  ^  K,  (')'.  <A 

et  elle  subsistera  quand  même  co  et  'J  différeront  d'une  quantité  linio  (  puisque 
cette  homologie  signilie  précisément  que  l'on  peut  passer  d'un  cycle  à  l'autre 
par  déformation  continue);  elle  subsistera,  dis-je,  à  moins  que  l'argument  de 
l'un  des  points  singuliers  £;;  ne  soit  compris  entre  u  et  ùj'  :  ou,  en  d'autres  termes, 
toutes  les  lois  que  les  demi-droiles  correspondant  aux  arguments  co  et  u' appar- 
tiennent à  un  même  secteur  (^si  l'on  suppose  le  pi  in  divisé  en  secteurs  parles 
droites  Oc/tel  leurs  prolongements). 

Comparons  maintenant  les  cycles  (K,  w,  o),  (K,  co',  o)  en  admettant  qu'il  j 
ait  un  point  ii,  dont  l'argument  soil  compris  entre  to  et  '^^  .  Projetons  les  deux 
cycles  (K,  (.))  el  (K,  ',>'  )  non  plus  sur  S  (o).  mais  sur  les  deux  surfaces  de  Rie- 
nianu  S  (&„<?"")  et  S(po<?""')  qui  différent  très  |)eu  l'une  de  l'autre;  soient  II 
et  l]  ces  deux  projections;  ce  sont  deux  cycles  appartenant  respectivement  aux 
deux  surfaces  S(pi,e"")  et  S(poe'"').  Soil  fl",  un  cycle  de  la  première  surface 
qui  diffère  infiniment  peu  du  cycle  H'  lequel  appartient  à  la  deuxième  surface, 
infiniment  peu  différente  de  la  première.  Quand  po  décroîtra  d'une  manière 
continue  de  x  à  o,  II'  et  II'  el  par  conséquent  II  '  el  n  —  Il  '  varieront  d'une 
manière  continue.  Pour  p,,  =  o,  nous  aurons 

I  k.  (•).  o  I  ~  I  K.  (o'.  o  I       II  —  II". 

i-aisons  niaiiilenanlp„  ^  ,'-k  '■  je  dis  que  pour  celle  valeur  de  pu  les  cycles  H, 
ir  et  II  différeront  inlinimenl  peu  l'un  de  l'autre.  En  effet,  dans  le  cycle  (K.  o  ), 
nous  dislingui'rons  deux  parties,  que  nous  a|ipellerons  II  et  II|  ;  la  première 
comprendra  les  points  tels  que  j-  <  £<  ,  el  la  seconde  les  points  tels  que 
ij'l  >  je*!-  De  même  dans  le  cycle  (L,  oj)  nous  distinguerons  deux  parties  H' 
et  H'|.  Alors  H  différera  infiniment  peu  de  H'  et  H,  de  M,.  Projetons  H  et  H' 
sur  les  surfaces  S(poe''''),  S(poe""'),  où  p,,  =  |  ca  |  —  ô,  ô  étant  infiniment  petit 
el  positif;  les  projections  seront  infiniment  peu  différentes.  Si  nous  considérons 
en  effel  deu.v  points  très  peu  différents  de  H  et  H'  pour  lesquels  j'  a  respeelive- 
ment  pour  valeur  poC"",  p(,e""',  (p  <  j  £a  )  cl  leurs  projections  pour  lesquelles  y 
a  pour  module  ,i^  .  —  'j,  le  quadrilatère  recliligne  formé  par  ces  quatre  \aleui's 
de  )•  ne  coulienl  pas  ■/,  à  son  intérieur. 


SUR    LES   PÉBIODES   DES   INTÉGBALES   DOUBLES.  5l5 

Donc  les  projeclions  de  ces  deux  points  dlIFéreronl  très  peu  d'après  les  con- 
ventions faites  plus  liant;  les  projections  de  H  et  de  H'  sur  les  surfaces 
p(i=:J£v,| — ô  et  par  conséquent  sur  les  surfaces  infiniment  voisines  po  =[  Sa  | 
dilTéreront  donc  très  pou.  (  )ii  le  (léninnlreiail  de  même  pour  les  projections 
de  H,  et  de  II,. 

Donc,  pour  p,,  =  j  £/i|,  II  el  H'  diffèrent  très  peu;  le  cycle  II  —  II"  est  infini- 
ment petit,  c'est  un  cycle  évanouissant  relatif  au  point  singulier  e^. 

Nous  arrivons  donc  à  la  conclusion  suivante  : 

Si  oj  et  u'  /l'appartiennent  pas  à  un  même  secteur,  mais  à  deux  secteurs 
contigus  séparés  par  la  droite  Oêa,  ies  cycles 

ne  sont  plus  homologues  en  général,  mais  leur  différence  est  homologue  à 
un  cycle  éianoitissant  n-lalif  au  point  singulier  e/,. 

Pour  aller  plus  loin,  pi-écisons  davantage  la  noùon  t\c  projection.  Nous  joi- 
gnons l'origine  O  par  des  segments  de  droite  (>£/,  aux  différents  points  singu- 
liers £/  cl  nous  regardons  ces  segments  comnu!  des  coupures.  Tant  que  y  ne 
franchira  pas  ces  coupures,  la  surface  S()')  restera  homéomorphe  à  (iUe-même; 
nous  pouvons  donc  établir  entre  les  points  des  deux  surfaces  S(ti))  ^{y'>) 
quelconques  une  correspondance  biunivoque  telle  que,  lorsqu'un  point  M 
variera  d'une  manière  continue  sur  une  suiface  S(  )'i)  el  qu'en  même  temps  j' 
variera  d'une  façon  continue  mais  sans  franchir  les  couj)ures.  le  point  M' de 
S())  qui  correspond  à  M  variera  d'une  façon  continue.  Seulement,  si  l'on  a 
deux  points  )  i  et  y^  infiniment  voisins  l'un  de  l'autre,  mais  de  |)arl  el  d'autre 
d'une  coupure,  et  deux  points  :M|  et  NL  se  correspondant  sur  &(>•,)  et  8(72), 
ces  deux  points  ne  seront  pas,  en  général,  inlininienl  voisins.  C'est  cette  cor- 
lespondance  qui  servira  à  définir  la.  projection  en  se  restreignant  alors  aux  cas 
où  )-,  et  y-,  ont  même  argument. 

Considérons  maintenant  une  coupure  Uca  et  le  point  singulier  correspon- 
dant cA-  Soient  j-|  elfi,  y\  et  )•.,  deux  couples  de  points;  je  suppose  que  j)'4  et 
)■■)  soient  infiniment  voisins  et  de  part  et  d'autre  de  la  coupure  et  qu'il  en  soit 
de  même  pour  le  second  couple.  Soient  M,  un  point  de  S(ji)  et  M-j  un  point 
de  S(  >-2),  infiniment  voisin  de  M.  D'après  ce  que  nous  venons  de  voir, M,  elM2 
ne  ])euv('nt  être  correspondants.  Soit  uiaintenant  M,  le  point  de  Sir,)  corres- 
pondant (le  M|,  el  M,  le  poiul  de  S()  .,  )  correspondant  de  jM^.  Les  deux  [loints 


■)lO  '^IR    LES    PÉRIODES    DES    INTÉGRALES    DOUBLES. 

Mi  L'I  -M.,  seruiil  intiiiimenl  voisins,  il  est  Imijouis  [jussiblu  de  le  supposer.  Eu 
revanche  il  y  a  une  chose  que  nous  ne  pf)niTi()n&su|)poser  sans  nous  lancer  dans 
de  grosses  diflicultés.  Soit  r,  un  poiiil  de  la  coupure:  considérons  la  surface  de 
Riemauu  correspondante,  nous  rappellerons  S  (  r,  )  si  )•  a  atteint  r,  par  l'une  des 
lèvres  de  la  coupure,  et  S  (t,' )  si  )■  a  atteint  r,  pai-  l'aulre  lèvre.  Les  deux  sur- 
faces S  (y,  )  et  S  (■/)')  sont  ideïitiques;  mais  le  point  de  cette  surface  qui  corres- 
pond à  un  point  donné  dune  autre  surface  S(  i)  ne  sera  pas  le  même  selon  ([u"ii 
sera  regardé  comme  appartenant  à  S  (y,  )  nu  à  S  (  r,'  ).  Il  en  résulte  (ju'il  \  a  une 
correspondance  entie  les  puints  de  S  (r,  )  et  ceux  do  .S  (  r!  )  ;  un  peut  se  demander 
si  cette  corres|)oudance  est  réciproque:  mais  ou  \oil  Itienlôl  qu'il  uesi  pas 
permis  en  général  de  supposer  cette  réciprocité. 

Diflerents  cas  sont  à  distinguer  suivant  la  uatuie  du  point  singuliei'  i/,  ;  le 
jjlus  simple  est  celui  oii  le  plan  )•  =;  ;<  est  tangent  à  la  surface  I-"  =  o  et  la  coupe 
suivant  une  courbe  présentant  un  point  diuible  ordinaire  à  tangentes  séparées. 
<)ue  pouvons-nous  dire  alors  de  la  c(irre>|)on(lancê  entre  les  points  de  S  (  r,  )  et 

de  S  (r/);  soit /;  le  genre  de  la  surface  S(r,):  soient  12,,  12.j 12-.>,,  un  système 

de  cjcies  fondamentaux  de  S(r,  );  soient  ii, ,  12^,,  ....  iï.,^.  les  cycles  corres- 
|iondant^  de  S(r,'i:  on  veiiait  qu'on  |ienl  rlioisii-  les  cycles  fondanienlaux  de 
telle  lacon  ijui'  1  on  ait 

o'i  :=  £2,  —  V...         tJ..=  lî'.,.  il.  ^   U'|.  .... 

Alor>  12j  est  un  cyclu  ri  anouissant  relalil  au  [loinl  singulier  i/,. 

Pour  nous  lendre  compte  de  la  correspondance  entre  les  points  de  Si  y,  i  et 
de  S(  r/),  nous  pouvons  supposer  que  dans  un  espace  E  à  six  dimensions,  par 
exemple,  on  construise  la  variété  \  à  quatre  dimensicms.  et  qu'on  se  soit 
arrangé  pour  que  celte  variété  n'ait  jjas  de  point  double  et  que  tous  ses  points 
soient  à  distance  finie.  Les  points  de  \  qui  correspondent  à  une  valeur  donnée 
de  )  formeront  alors  une  surface  fer/nrc  à  deux  dimensions  de  l'espace  E  (|iii 
n'aura  en  général  aucun  point  siiiguliei-  et  (pu  sera  notre  Si)').  Cepeuihint  la 
surface  S(c/i)  admettra  un  point  conique  1'.  .Si  r,  est  très  voisin  de  ;/..  la  sur- 
face S(r;),  identique  à  S(y/),  présentera  donc  un  clianglenieiit  dans  le  voisi- 
nage du  p(Mnt  P.  Nous  pourrons  tracer  sur  S(yj)  une  petite  ligne  fermée  qui 
embrasse  la  partie  la  plus  étroite  de  cet  étranglement  (tel  le  cercle  de  gorge  sur 
un  hyperboloïde  de  révolution  à  une  nappe).  Ce  sera  notre  cycle  évanouis- 
sant iii  :  nous  pourrons  tracer  dans  h?  voisinage  du  point  P  une  série  de  cycles 
fermés  analogues  sur  S(ry  i  tels  que  seraient  les  différents  parallèles  Mir  un 
livperboloïde  de  révolution:  nous  pouvons  ensuite  définii-  un  jioMit  ipielionque 


SIR    LUS    l'KIlIOKES    DES    INTKGHALKS    DOIUI-ES.  ■j\'i 

de  S(r;),  au  moins  dans  la  //ai  lie  ètranglce  roisinr  ilu  point  1^,  |)ar  deux 
coordonnées  p  et  oj,  choisies  de  telle  sorte  que  p  soit  constant  tout  le  long  de 
ilianin  de  ces  cycles  fermés,  et  que  w  augmente  de  27:  quand  on  faille  tour 
il  un  de  ces  cvrles.  Nous  [loiirnms  alors  ii(lmi'llir  la  loi  de  correspondance  sui- 
vante :  dans  la  partie  non  voisine  du  point  P.  nu  toutes  les  fois  que  0  ne  sera 
[)as  iiimpris  entre  o,,  el  p,,  riiaquc  point  de  Si/,  1  sria  son  propre  correspon- 
danl.  Si  p  L'"-!  eoiii|iris  entre  po  il  pi.  nous  ferons  correspondre  au  point  0.  oj 
de  S(r,  I  le  point  p.  '.i-f-o('p)  de  Si/,');  et  v(?)  *'^''^'  ""'^  lonclion  continue  de  o 
constamment  croissante.  (■i;alt'  à  o  pcjur  p  =  p,,  et  à  y.-  pour  p  ;=  p,.  En  d'autres 
termes  nous  ferons  subir  à  la  partie  étranglée  ciunprise  entre  les  ccljes  p  =  &„ 
et  p=:pi  une  torsion  progressivenienl  croissante  d'un  cvcle  à  l'autre,  de  telle 
façon  que  cette  torsion,  nulle  pourp  =po)  atteigne  un  toureomplet  pouro  =  o,, 
ce  qui  permet  le  raccordement  avec  la  partie  non  élranglée,  supposée  non 
déformée. 

\  mesure  que  0  s'éloignera  de  ;/,,  relranglcmenl  sera  de  moins  en  moins  pro- 
noncé el  nous  serons  conduits  à  étendre  la  déformation  à  une  partie  de  plu--  en 
plus  étendue  de  la  surface;  celle  loi  de  coii-espondance  restera  nénnmiiin>  arlii- 
Irairc  dans  une  très  large  mesure. 

C(.'s  c<invenlions  laites,  projetons  niainlenanl  le  cvile  (  l\.  '.>  1  sur  la  sur- 
face S(t,)  en  supposani  (pie  01  soit  l'argument  de  ;/,  ;  muis  ohtiendrons  deux 
projections  différentes,  selon  que  l'on  supposera  que  cet  aigumenl  '.1  a  i;té 
atteint  par  l'une  ou  par  l'autre  lèvre  de  la  coupure,  c'est-à-dire  selon  (lue  l'on 
projettera  sur  S(r;)  ou  sur  S(r/).  Soient  (  K,  oj,  r,).  1  K,  ',.,  r,')  ces  deux  projec- 
tions. Soit  M  un  point  de  (K,  10  )  :  >{  sa  projection  sur  S(r;),  N' sa  projection 
sur  S(/;').  N  et  N'  seront  identiques  si  Vy  du  point  !M  est  plus  petit  en  valeur 
absolue  que  ;/,.  Dans  le  cas  contraire,  ces  deux  points  seront  corrcsponr/a/i/s 

nformémeiil  à  la  loi  de  correspondance  adoptée  plus  liant.  I-i  ilillérence  des 
leux  cycles  (  K,  o).  r,)  —  (K,  ',t,  r,' )  sera  alors  un  c\cle  de  S  1  r,  1  homologue  à 
zéro,  au  C3'cle  évanouissant  il^.  ou  à  un  de  ses  multiples. 

L'ensemble  des  cycles  (K,  w,r;)  —  (K,'j),r/')  f|uand  on  fait  varier  r,  depuis 
zéro  jusqu'à  £t  engendrera  une  variété  A(£/,)  à  deux  dimensions.  Le  cycle 
(  K,  oj,  r,) —  (Iv,  Gj,  r,')  est  toujours  homologue  à  un  multiple  île  iij  :  suiiposons, 
par  exem|)le.  à  IL:  il  se  réduit  au  point  I'  pour/,  ^^  £/,  ;  mais,  pour/,  =  0,  il  ne 
se  ic'duil  pas  a  un  point,  mais  a  un  exile  ilc  l,i  ^nrfiice  S(ii)  qui  est  encore 
lii mu i!oi;Mi'  à  lij  cl  i|iii-  iioiis  poiiiruns  appelrr 


co 
( 


3)8  SUR   LES   PRRIOPES   DES   INTÉGRALES   DOUBLB^, 

La  variété  4(£a)i  ^"6  nous  pourons  appeler  un  doigt  fî  cause  de  sa  forme, 
n'est  donc  pas  fermée,  mais  a  pour  frontière  le  cycle 

(^K,  10,  o)  —  (K,  <o,  o' ). 

^lais,  jusqu'ici,  nous  avons  supjjosé  cpie  il,,  n'est  pas  homologue  à  zéro,  c'est- 
à-dire  que  le  cycle  infiniment  petit  que  l'on  peut  tracer  sur  S(r, )  quand  r,  est 
très  voisin  de  ea  ne  partage  pas  cette  surface  en  deux  régions  distinctes.  Alais  le 
cas  contraire  peut  aussi  se  |)résenter;  il  arrive  alors  que  la  surface  S(ca)  se 
décompose  en  deux  surfaces  distinctes,  c'est-à-dire  que  la  couibe  intersection 
de  F  =  0  et  de  y  =  îa  est  déconiposable. 

Dans  ce  cas,  le  cjcle  (K,  m,  r,)  —  (K,  '.3,  r/)  décomposera  la  surface  S(r,)  en 
deux  réglons  que  nous  appellerons  S,ro)  et  S_.(r,).  Considérons  la  variété  à 
trois  dimensions  engendrée  par  S|  (o)  quand  r,  varie  de  zéro  à  i^'.  elle  sera 
limitée  d'une  part  par  le  doigt  A(£y(),  par  S|(o)  qui  est  une  partie  de  S(o')  et 
par  .S,  (ea);  de  sorte  que 

Mais  .Si  (sa)  n\'st  autre  chose  que  hi  surface  de  Rietnann  relatice  à  Vune 
des  composantes  de  la  courbe  d'intersection  de  V  ^=.  o  et  y  ^  %k',  ce  cjui  nous 
fait  comprendre  la  signification  du  doigt  A(£a)  dans  ce  cas  particulier. 

Revenons  ai|  cas  général  et  reportons-nous  à  un  paragraphe  précédent,  nous 
verrons  que  nous  y  avons  défini  une  intégrale 

,/,l.,i: 

eli  hienl  cette  intégrales  n'est  autre  chose  que  l'intégrale  prise  le  long  du  doigl 
A(c/, )  lorsipie  la  ligne  L,  parcourue  par  le  point  a,  |3,  •/,  s  est  telle  que  y.  et  y 
soient  constaminenl  nuls,  {3  égal  à  i,  et  que  £  varie  avec  un  argument  constant 
de  zéro  à  £a. 

[.n  antre  cas  est  celui  où  le  point  singulier  ca  correspond  à  un  |)oint  conique 
ordinaire  de  la  surface  K  =  o.  Il  arrive  alors  que  1^8  cycles 

iJ,.      1^ 0..,,, 

se  (diangent  en 

o,J-i'Uj,      Uo U.i, 

et  non  plus  en  li|  -H  iij,  iij,  ....  flo^,.  Ce  que  nous  avons  dil  de  la  loi  de  cor- 
respondance subsiste;  seulement  la  fonction  0(9))  4"'  croît  constamment 
depuis  p  =  po  jusqu'à  p  =pi,  au  lieu  de  croître  de  zéro  à  ■>.-.  croîtra  de  zéro 
à  f\T..  La  définition  du  doigt  A(£a)  restera  la  même. 

Il  peut  arriver  ensuite  que  le  planj'  =  e/,  soit  tangent  à  !•' =:  o  en  deux  points 


Stll   LES    l'EllIUULS    I>KS    IM'ËGHALliS    DOlBLIiS.  rjH) 

(liHerenls.  Alors  la  surfine  S(r;  )  irès  voisine  de  S(-/,  i  présenlu  deux  élrangle- 
ments  au  lieu  d'un,  il  v  a  deux  cycles  rvaiwuissanlx  au  lieu  d'nu,  d'où  rc^ulle 
la  rirconstance  suivante  : 

Appelons  doigt  simple  et  désignons  par  A(£/i,  il)  la  variété  cnj^endrée  par 
un  cycle  de  S(r,  )  (jui  reste  homologue  à  12  quand  on  tait  varier  r,  de  zéro  à  ii,. 
Notre  doigt  défini  plus  haut  et  que  nous  continuerons  à  appeler  simplement 

A(c/)  serail  dans  cette  notation 

A[3/...  (K,  (■).  Ti  )  —  I  K.  (.).  r,' 1 1. 

Dans  les  cas  examinés  plus  liant,  d  u'\  a\ail  i[ii  un  cnçIc  cvanouissant  12^,  le 
cycle  (K,  '■),  r,)  —  (  K,  w,  r,')  était  loujonis  lionioliii;nc  à  un  multiple  de  12^, 
suit  à  nii..,  de  sorte  qu'on  avait  tDMJdurs 

a(o)  désignant  une  |)arlie  de  S(<)). 

Ici,  au  contraire,  nous  aurons  deux  cycles  évanouissant-  12o,  12.,  el  deux 
doigts  simples  At'cj,  I23  ),  A(£/v,  12!,)  et  l'on  aura,  (|uel  que  soit  le  cycle  /  . 

/(  el  n'étant  entiers,  de  sorte  que  AUa)  s'exprimera  linéairement  en  lonclimi 
non  plus  dun.  mais  de  deux  iloigts  simples. 

Il  peut  arriver  cpie  l'un  des  cycles  12^  el  12!,  qui  correspondent  aux  deux 
étr.inglemcnts  soit  lioniologue  à  zéro  sur  sa  siirlace;  soil.  par  exemple,  12.j  ; 
dans  ce  cas  la  surface  S(£/i  )  se  décompose  et  le  doigt  simple  A(£„,  lia  )  est  alm-s 
homologue  à  l'une  des  composanlosi  de  cette  surface  de  Riemann.  plus  nne 
région  de  S(o).  C'est  ce  que  nous  avons  vu  plus  haut. 

Nous  examinerons  un  dernier  cas,  c'est  celui  où  le  plan  y  =  £/,  coupe  F  =  o 
suivant  une  courbe  |)résentant  un  point  de  reliroussement.  Il  arrive  alors  que 
les  cycles 


-■-r>- 


se  changent  en 

I) o.,       Oj        o , 

de  sorte  qu'il  y  a  deux  cycles  évanouissants 


(!t  par  conséquent  deux  doigts  simples  A(£t,  12,).  A(£x,  12^)  dont  le  doigt  ^Uh) 
sera  une  combinaison  linéaire  à  coefficients  entiers. 


SUR    LES    PERIODES    DES    INTEGRALES    DOUBLES. 


Formation  des  cycles. 


Cela  posé,  reprenons  le  cycle  K,  menons  les  projetantes  de  ses  différents 
points  et  prolongeons-los  jusqu'à  la  surface  S(o).  Ces  projetantes  engendreront 
une  variété  W  à  trois  dimensions.  (^)uelles  sont  les  frontières  de  cette  variété? 
Ce  sera  d'ahord  le  cycle  K  dont  chaque  point  est  l'extriMnitci  de  l'une  des  pro- 
jetantes; ce  sera  ensuite  une  portion  So(o)  de  la  surface  S(o);  car  l'autre 
extrémité  de  chaque  projetante  se  trouve  sur  celte  surface.  Mais  ce  n'est  pas 
tout;  deux  projetantes  issues  de  deux  |joints  infiniment  voisins  pourront  ne  pas 
rester  infiniment  voisines;  si,  par  exemple,  oj  et  w'  sont  deux  arguments  infini- 
ment voisins,  l'un  plus  grand,  l'autre  plus  petit  que  celui  de  £/,,  les  projetantes 
issues  des  deux  cycles  à  une  dimension  (K,  ',>  )  et  (  K,  ',}' )  se  sépareront  et  s'éta- 
leront sur  le  doigi  1{  i^  i,  di;  sorte  que  ces  doigts  Ai  £/,  )  complélenl  la  frontière 
de  \A  .  .le  ]iuis  i|i>nr  éerii'e 

K  ^  S.ioi      y  Al  :/,  1. 

A(  :/,  )  a  pour  fi'iiuliére  (  K.  - )        i  K .  m,  o')  ;  S.j  (  o)  aura  |)n\n   l'ri)iitiéres 

7    [l  K.    '■),    o  i  —  I  K.    fl.   n'  1  I 

de  telle  taçiui  que  la  variété  totale  Sj(  n  ) -t-^Aù^")  soit,  comme  il  convient,  une 

variété  feruiée. 

Soil  .1  l'inlégrale 

/  ■   /  ^  1  '  i/.v  fl  \ 

.'  J       FT^ 

étendue  à  l\ .  l'.lle  sera  éi;ale  à  l'iuli'giaie  étendue  à  Sj(u)    -  >^A(-i).  Étendue 
à  Sailli  elle  l'vi   nulle.  piii-i|iie.  le   long  de  cette  surfiiee,  r  est  eoiislant  et  que 

,/.,-,/<       «. 

L'intégrale  étendue  à  A(ca)  sera  une  combinaison  linéaire  des  intégrales 
étendues  aux  diffiTcuts  doii;ts  simples  corrcspoudants.  intégrales  r| ne  nous  avons 
appelées^  (L,  ). 

L'intégrale  .J  e>t  donc  une  coiiiliinaisou  linéaire  des  intégrales  y'i  L,  ),  la 
ligne  L,  étant  telle  que  x^^y:=n.  S^i.  C  est  ce  ihh'  mous  avions  annoncé 
dans  un  ijaragraphe  antérieur. 


SUR   LES  PÉRIODES    DES    INTÉGRALES   DOUBLES.  521 

J'ai  dit  que  la  surface  82(0^  a  pour  frontière 

^[(K,  0),  o)  —  (  K,  w.  o'j], 
de  sorte  i|ue 

^    [1  K.  M.  o)  —  C  K.  '•).  f>'  1]  ~  n 

sur  la  surface  S(u).   Supposons  que  les  doigts  sim|)les  correspondant  à  ^(s/,) 
soient  ATea,  î2iV  A('£A,i2..)  et  soient  î^ij  et  i^  les  cvcjes  correspondants  de  S(n). 
Soit 

on  aura  sur  S(o  ) 

doù 

sur  S(o). 

linsi pour  un  cycle  K  de  l'espèce  considérée,  mais  quelconcfuc,  on  aura 
toujours 

(1)  K  ~  ?.,(  o'i -f-^  7?,- Al  £/.   Q;  ). 

S2(o)  étant  une  partie  de  S(c>  1.  //,  mi  entier  et  12,  un  des  cycles  ét-a/iouis- 
sanls  relalijs  à  i/,;  d'ailleurs  les  entiers  «,  et  les  cycles  12,  ne  devront  /)as 
être  quelconques .  car  on  devra  avoir  sur  S(ii) 

(2)  V«,q;'~ii. 

il"  étant  le  cycle  de  S(())  qui  correspond  à  ii/. 

Mais  nou>  nous  sommes  jusqu'ici  restreints  au  cas  oiï  le  point  jc^^o,  de 
même  que  le  point  )•  =  ce,  correspondait  à  une  région  R,,  par  rapport  à  K, 
c'est-à-dire  où,  pour  aucun  point  du  cycle  C,  on  n'a  ni  )- =  o,  ni  ^=^00.  Les 
cycles  qui  satisfont  à  celte  condition  pourront  s'appeler  de]n  première  sorte  et 
l'on  voit  que  tout  cycle  de  la  première  sorte  peut  être  ramené  à  la  forme  (1). 

Passons  aux  cycles  de  la  seconde  sorte,  ce  seront  ceux  où  l'excès  2p  —  n 
dont  il  a  éti-  question  au  paragraphe  l^  du  nombre  des  points  pour  lesquels 
le  déterminant  A  est  positif  sur  celui  des  points  où  ce  déterminant  est 
négatif,  où  cet  excès,  dis-je  (constant  pour  tout  le  plan  des  }■  d'après  ce  c|ue 
nous  avons  vu),  est  constamment  nul.  Je  dis  que  tout  cycle  de  1;»  seconde  sorte 
peut  être  ramené  à  la  première. 

il.  P.  -  m.  CG 


!i>-i  SIH   LES   l'KniOUËSi   UliS   INTEUHALtSi   DOlBUtiS. 

Supposons  en  effet  qu'un  cjcle  K  admelle  a/i  points  pour  lesquels^' =:  o,  et 
que  h  de  ces  points  soient  tels  que  A>  o  et  /(  tels  que  A  <  o.  Arcouplons  ces 
points  deux  à  deux  de  telle  façon  qu'à  un  point  tel  que  A  ^  o  soit  associé  un 
point  tel  que  A  <]  o.  Soient  M)  et  Mj  un  pareil  couple  de  points.  Entourons  M, 
sur  le  cycle  K  d'un  (-ontonr  infiniuienl  petit  C|  ;  soit  D,  1m  portion  très  petite 
de  R  limitée  par  ce  contnur.  Définissonv  de  même  autour  tie  Mo  le  contour  C2 
et  le  domaine  D,;  nous  pourrons  supposer  que  les  valeurs  de  y  correspon- 
dant aux  diff'érenls  points  de  C,  soient  les  niènies  (jue  celles  qui  corres- 
pondent aux  différents  points  de  Co.  Ces  valeurs  formeront  alors  dans  le  plan 
des  •)•  un  contour  fermé  très  petit  F  entourant  le  point  r  =  <i;  je  puis  alors 
imaginer  un  contour  mobde  C  à  une  dimension  el  un  douiame  mobile  0  à 
deux  dimensions  satisfaisant  aux  conditions  suivantes  ;  1°  le  contour  C  sera  In 
frontière  de  D;  a"  C  el  D  vai'ieront  d'une  manière  continue;  ri"  initialement  C 
et  D  se  confondront  avec  C,  et  D,.  et  (inalenient  avec  C^  et  D^;  4"  les  valeurs 
lie  j'  correspondant  au  contour  C  seront  sur  le  contour  fermé  très  petit  T. 

Dans  ces  conditions.  C  engendrera  une  vari('té  à  deux  diuiensions  L  ,  el  I) 
une  \ariélé  à  trois  dimensions  W  .  La  frontière  compléle  de  ^^  se  composera 
de  U,  D,  et  Do.  Car  W  est  assimilable  à  un  cylindre  dont  U  serait  1a  surface 
latérale  el  Di  «l  |),j  les  deux  lia>es:  on  aura  donc 

L  ~  |l|  4-  \),. 

i\  où 

K  ^  K  —  I),—  h,       t  . 

Aussi  nous  |iouvons  iciiiplacer  K  par  K  —  D, —  0^4- L  :  ce  c\cle  a  perdu 
ainsi  les  deux  points  M ,  et  M.,  el  n'a  gagné  aucun  autre  point  pour  lequel  )'  =  o, 
car  sur  l  la  variable  )•  reste  constamment  sur  le  coiilour  T.  cpii  ne  passe  pas 
par  i'r=o.  En  opérant  de  mèuie  sur  tous  les  auties  couples  de  poinis,  nous 
ferons  disparaître  tous  les  points  pour  lesquels _)'  =  o.  On  ferait  disparaître  de 
même  tous  les  points  pour  lesquels  y  =^  x.  de  sorte  que  le  cvcle  se  trouverait 
ramené  à  la  première  sorte. 

Restent  enfin  les  cycles  pour  lesquels  l'excès  a/> —  n  n'est  )ias  nul.  Le  pre- 
mier d'entre  eux  nous  est  fourni  par  la  surface  de  Riemaiiii 

où  jCu  est  une  constante  quelconque. 

Pour  celle  surface,  en  eiVet,  l'excès  en  question  est  égal  au  degré  de  la  sur- 
face F  =  o,  (pie  j'appellerai  id  ;  car  à  un  point  )■  =  ,)o  du  plan  des  k  çorrespon- 


suit    LES  PÉniOPES    DES   INTÉGHALISS   DOUIU.K».  SaS 

dront  m  points  de  In  surface  dont  le  ;  sera  donné  par  l'équalion 

I'(-''o:.rO:    =)  =  O. 

(Dans  cerlains  cas  parlicidiers,  le  degré  de  celle  équalion  en  ;  est  plus  petit 
que  celui  de  la  suif'ace  F  =  o;  c"e>l  alors  le  degré  de  l'équalioii  en  ;  que  nous 
appellerons  m.) 

Pour  ces  III  jiniuls  le  délerminani  A  esl  positif;  l'excès  2p  —  /;  est  bien 
égal  à  ni. 

Soit  doni-  K  un  cycle  pour  lequel  cet  excès  soil  égal  à  //  et  II  le  cycle  ,/■  =  x,,- 

Alors  le  cycle  niK  —  (j\l  aura  pour  excès  zéro;  d  sera  donc  de  la  deuxième 
sorte  elpouria  êlrc  ramené  à  la  première. 

Donc  le  cycle  /»  1\  sera  homologue  ù  (/  fois  le  cycle  x  =  t„  |)1us  un  cycle  de 
la  forme  (i  ). 

Ici  nous  apercevons  une  des  difTérences  les  plus  importantes  entre  les  résul- 
tais ([ui  ressortent  de  la. convention  adoptée  ici  et  de  celle  cjui  était  adoplée 
dans  le  Mémoire  cité.  Considérons  l'interseclion  de  la  surface  F  =:  o  a\ec  le 
plan 

el  l'interseclion  de  la  même  surface  avec  le  plan 

I',  =  2o.r  -^  'j-,y  -:-  Y-,  -  —  Oj  =  o. 

A  ces  deux  courbes  correspondronl  deux  surfaces  de  Riemann  et,  par  consé- 

cpieul.  deux  cycles  à  deux  dimensions  que  j'appellerai  Iv,  cl  Kj.  .le  dis  qu'on 

aura 

h,~K,. 

En  ellet,  considérons  les  intersections  de  F  ==  o  avec  P,-|-/,P2=o,  où  1  esl 
réel  et  positif,  mais  varie  d'ailleurs  de  o  à  co:  les  points  de  ces  différentes  inlei- 
sections  engendreront  une  variété  ^\  à  trois  dimensions.  Quelle'  est  la  frontière 
de  W?  Elle  se  compose  des  deux  cycles  K,  et  Ko,  de  sorte  que 

K,^  k,. 

Il  ne  pourrait  y  a\oii'  de  doute  (pi'en  <'e  qui  coueern<'  les  points  à  l'iulini  des 

courbes 

I-  =  l',-->,P,  =  (.. 

ce  sonl  des  points  de  la  surface  de  Riemann  S(oo);  à  clia(jiu'  valeur  de  t.  cur- 
respondent  un  nombre  lini  de  ces  points,  de  MUte  (pie,  qiiami  "/   variera  de  o 


S'il  Sun  i.KS  l'ERioriES  des  integiialks  dolulks. 

à  loo.  ces  points  décriront  une  ligne  à  une  dimension  seulement  ([ui  ne  sauiiiil 
constituer  une  frontière  pour  W  qui  en  a  trois. 

Ainsi  le  cycle  K,,  le  cycle  Ko  sont  homologues  entre  eux,  homologués  par 
conséquent  aussi  au  cycle  S(o),  ou  au  cycle  S())  quel  que  soit  _r,  ou  au 
cycle  .r  =  Xq. 

Il  n'en  sérail    pas  île  même  avec  la  convenlinii  du    Mi'innire  ciie,  car  pnur 

P,=:^,    par    exemple,    on    pourrai!    faire    tendre    :r     ei     i     vei»    I  inlini     el 

en    même    temps    '/    \ers   zéro,    de    telle    sorte    que    l*.^    tend    vers    l'infini    el 

—  '/.  p.,  =  [',  =  ;  tende  vers  une  limite  (iuie  quelconque  ;  or  avec  celte  convention 

les  points  t  ^  )•  =  oo,  z-  ^  z,  el  T  =  Y  =  00,   ;•  =  -lo  seraient  regardés  comme 

distincts  et  engendreraient  une  variété  à  deu.v  dimensions  que  j"aj)pellerai   Z 

quand  z,  et  Zj  prendraient  toute>  le>  valeurs  possibles.  Alors  la  Ironlnre  de  \\ 

se  composerait  non  seulement  de  K,  el  de  K-..  mais  encore  de  /,. 

On  a  donc  alor-. 

Jv,,  ~  l\,      /,. 

Soient  de  même  \  la  variété  à  deux  dimensions  formée  pai'  lc>s  |)iiinls  nù  ./■ 
est  fini.  )  et  ;  infinis,  et  ^  eelli'  qui  est  luriiiee  |iar  les  puiiils  cm  i csi  Uni, 
X  el  ;  infinis:  on  aura  alors 

el 

K2~\   !    ^       /.. 

el  eetle  lioinologie  sera  vraie  |ioiir  Ions  les  cycles  K^  engendrés  |)ar  le^  points 
satisfaisant  à  réquation  Zj,/ -}- |J.j  )• -|- '/l' ^  —  o.j=u.  à  moins  tjuf  ileux  drs 
coefficients  y.<.  '}■..  /■•  tir  soient  nuls  à  la  fois,  auquel  cas  le  second  menilire 
devrait  être  remplacé  par  V  4-  ^  si  j:^=z!32=o,  par  \  -^  Z  si  :z_,=  y^=:o, 
par  Y  -f-  Z  si  jSj  =  y.,  =  o. 

.le  n'entrerai  pas  dans  plus  tie  détails  il  ne  rechercherai  pas  s'il  y  a  une 
liumiilogie  entre  \,  ^  ,  Z,  me  contenlaiil  di;  laire  remarfiiier  que  le  evcle  x  =  J'o 
n'est  pas  homologue  à  S(o  ). 

Au  contraire,  avec  la  convention  nouvelle,  tous  les  cycles  engendrés  par  le.s 
points  satisfaisant  à  une  équalion  de  la  forme 

3.x  -7-  [iy  ■—•;:  =  t 

sont  homologues  entre  eux  et,  en  particulier,  il  en  est  ainsi  de  8(0")  et  dti 
cycle  X  =  x„. 

Nous  devons  loulefois  faire  observer  que.  pour  certaines  valeurs  des  eoeffi- 
iiPllIs    y..   3.   y.    ;,    le    rxele   y.X      -|3l'  +  y;^=;    peut    se   déeoin  |io-it   el    ipie,   en 


SLR   LES   PERIODES   DES   INTEGRALES   DOUBLES.  0:'.  J 

particulier,  la  .siirlacc  do  Riemann  S(  ))  peut  se  décomposer  pour  certiniies 
valeurs  de  y. 

Supposons  donc  (|ue  la  Mirt'ace  .S(^  ))■,  indécomposable  pour  la  \aleur  la  plus 
générale  de  )•,  se  décompose  en  S,  (£/,)  et  So(£a)  pour  y  =  •/,.  Il  est  clair  qu'on 
aura  alors 

S(J')^  S,(':/,)^-  82(5/,), 

niai><  cpi'il  un  aui'a  eu  ^éui'i'al  aucune  lioniologle  onire  S,[i/,)  et  .S.j(£i);  nous 
avons  vu  d  ailleurs  qui!  arrive  alors  ipie  S,(£^)  est  homologue  au  doigt  A(;/.)î 
plus  une  portion  de  S(o). 


VI.        Homologies  entre  les  cycles. 

Vinsi  tous  iio>  e\  eles  peuvent  >e  ramener  à  S(  11)  ou  à  unc_)cle  de  la  lorme(^i). 
Tous  les  cycles  (pic  1  on  peut  loinier  ainsi  sont-ils  distincts?  Poule  coud)inaison 
de  S((i)  el  de  cycles  de  la  lorme  (  i)  est  elle-même  une  combinaison  de  la 
forme  (i)  et,  par  conséquent,  en  tous  ses  points  )■  est  nul  ou  ajqiartlent  à  1  une 
des  coupures.  Est-il  possible  qu'une  pareille  combinaison  soil  homologue  à 
zéro?  C'esl-à-dire  existe-t-il  une  \ariété  à  Irois  dimensions  W  doTil  une  pareille 
combinaison  forme  la  frontière  complèlc? 

Soit  \\  une  paredle  xaricli'.  soil  )  „  une  xaleur  île  r  n  ap|)artenanl  pas  à 
l'une  des  cou|)iires:  soit  \\  (_)„)  1  ensemble  des  points  de  ^^  pour  lesquels 
)-  =  '>oi  alors  \\  (  )■())  formera  une  ligne  ou  variété  à  une  dimension.  Celle 
ligne  W  ()o)  peut-elle  aboutir  à  un  point  d'arrêt?  Non,  car  ce  point  darrèl 
appartiendrait  à  la  frontière  de  VV,  ce  qui  est  impossible,  puisque,  pour  tous 
les  points  de  celle  fronlière.  )'  est  nul  ou  se  trouve  sur  l'une  des  coupures  et 
ne  |ieut,  par  eonséquenl,  (Hre  éi;al  à  )(,•  A  moins  que  ce  point  darrèl  ne  soit 
1  un  des  ///  |iiiints  eommnus  à  loutes  les  siirlace>  de  Riemann  S(  ))  el  (iiil  vont 
donnés,  cuniine  nous  l'axons  \u  plus  liaul.  par  l'écpialion 

l'',„(  ./■.   n.    Z)  =  o. 

St)lenl  (^i,  (^j.   .  .  .  ,  ()„,  ces  /»  points. 

iin.si.  W  (  )||  )  st'  (oiiiposera  de  cycles  fernics  et  de  li^'/ies  allant  de  l'un 
des  points  ()  i(  lin  autre. 

La  llgnj'  W  (  1(1  )  apparlieni  à  la  surface  S(  y,,  ):  considérons  sur  la  surface 
S(i"|)  les  points  qui  eorrespomlenl  à  ceux  de  W(i|))  en  veilu  de  la  lui  de  cor- 


Ô2&  SUn   LES   PÉRIODES   DES   INTÉGRALES   DOUBLES. 

respondance  adoptée  plus  Iiaut;  soil  W()-(|,  j/-,)  l'ensemble  de  ces  points.  Je 
dis  que  lu  ligne  \^  (,>o..;)'i)  l'estera  toujours  homologue  à  elle-même  sur  la  sur- 
face S(  )-,)  quand  r,  restant  constant  on  fera  varier  Vo-  Si  en  ellel  )o  varie 
d'une  façon  continue,  W(>'o)  et  par  conséquent  W(  )o,  ,^'^)  varieront  d'une 
façon  continue,  sans  quoi  le  W(j'o)  pour  lequel  une  discontinuité  se  produi- 
rait devrait  ap|)arienir  à  la  frontière  de  W. 

11  résulte  de  là  par  exemple  que,  s'il  y  avait  des  valeurs  de  y  pour  lesquelles 
W  n'admette  aucun  point,  W(ro)  y^)  devrait  être  constamment  homologue 
à  zéro   sur  S(j)i)  et  que,  par  conséquent,  il  en  sera  de  même  de  ^^  (  To  )  sur 

S(jo). 

De  quoi  va  alors  se  composer  la  frontière  de  W?  Lorsque  i,,  approchera 
d'un  point  r,  de  l'une  des  coupures,  la  ligne  W(_}o,  .)i),  toujours  homologue  à 
elle-même  sur  S()-,),  tendra  vers  W(r,,  i,)  et  W(  )„)  tendra  vers  W(r/),  de 
telle  façon  que  W  (r,.  _Vi)  soit  le  lieu  des  points  de  •S(  )•,)  qui  correspondent 
aux  diffiTcnls  points  de  \^  (r,)  sur  S(r/).  Quand  maintenante^»  approchera  du 
même  poini  p;ir  raulre  lèvre  de  la  coupure,  la  ligne  W()'o,  J'i)  tendra  vers 
W(-/','.  )-,)  et  la  ligne  \\  (  Iq  )  tendra  \i'rs  ^V(r,').  En  général.  \V(r,)  ne  sera 
pas  homologue  à  W(r/),  car  les  poinis  de  W  (r/,  )',">  sont  les  points  de  S(  )',) 
qui  corres|)ondent  à  ceux  de  W(yî)  considérés  comme  appartenant  à  S(r,); 
les  points  de  W(r/,  y,)  sont  les  points  de  S(j'i)  ([ui  correspondent  à  ceux  de 
AV(r/)  considérés  comme  appartenant  à  S(r/).  Alors,  bien  que  ^^"(v),  _)-,) 
soit  liomologLic  à  ^^  (r/,  )■,  )  sur  S(y,),  il  n'en  résulte  pas  que  \V'(r))  soit 
homologue  à  W  (r/)  sur  S(ri). 

I-a  frontière  de  \\    sera  alois  engendrée  par  les  cvcics 

\\  (  r,  I  —  W  l'ï,'  I 

quand  DU  lait  décrire  successivement  à  //  toutes  les  coupures.  Quand  ou  fera 
vaiier  r,  depuis  d  jusc|uà  Z/,  le  long  de  la  coupure  Osa,  le  cycle  W  (r)) —  W(r)'), 
(|ui  devra  s'évanouir  pour/,  =  :/,,  engendrera  un  doigt  A(£a).  La  frontière  de  W 
esl  donc  bien  un  lAclc  de  la  forme  (r). 

Combien  pouvons-nous  obtenir,  de  cette  façon,  d'homologies  entre  les  cycles 
de  la  forme  (i)? 

Tout  dépond  de  l'hypothèse  faite  au  sujet  de  la  ligne  W  [y^.  y,).  Il  esl  clair 
<(ue,  si  l'on  remplace  cette  ligne  par  une  autre  (|ui  lui  soit  homologue  sur  S(  ),), 
les  deux  honudogies  cpie  l'on  obtiendra  ainsi  ne  seront  [)as  distinctes. 

La  ligne  W  ()•„.  )|)  pourra  se  composer  de  l'un   des    i/i  c\  clés  de  la  surface 


SUR    LES   PÉRIODES    DES    INTÉGRALES    UOl  DLES.  5^7 

de  Riemami  S(  >i),  un  (l'une  ligne  allant  sur  celle  surface  de  i),  à  lun  des 
//(  —  I  autres  points  Qj.  (^3,  .  .  .,  Q,„,  ou  d'une  combinaison  de  ces  lignes: 
aucune  autre  livpollièse  n'est  possible.  D'ailleurs,  si  l'on  envisage  deux  lignes 
allant  de  Qi  à  Qj,  il  suffira  de  considérer  la  première,  car  la  réunion  de  ces 
deux  lignes  formerail  un  cvcle.  Cela  nous  fait  donc  en  tout  2/'+  m  — •  1  liomo- 
logies. 

Ces  homologies  sont-elles  toutes  distinctes?  Si  le  c\cle 

W(-0-W(-r,') 

est  homologue  à  zéro  sur  S(r,)  et  cela  sur  toutes  les  coupures,  il  est  clair 
que  l'homologie  correspondant  à  ^^  se  réduit  à  une  identité.  En  effet,  dans 
ce  cas,  les  doigts  A(£^)  qui  figurent  dans  le  premier  membre  de  l'homologie 
S((^o)-(-  7  Ai£a)^^o  sont  iiomologues  à  zéro,  plus  une  portion  de  S(<i);  il 
reste  donc  S|(o)'^  o,  S|  (o)  étant  une  portion  de  S(o);  mais,  comme  une  variété 
ne  peut  èlro  iiomologue  à  zéro  sans  être  fermée,  cette  homologie  doit  se  réduire 
soit  à  une  identité,  soit  à  S(o)r^(j.  Cette  dernière  liv|)ollu'se  doit  être  rejetée 
puisque  S(u)  n'est  pas  homologue  ù  zéro.  Si  l'on  peut  former  ainsi  q  homo- 
logies se  réduisant  à  des  identités,  il  n'\  aura  plus  que 

■>.p  -4-  m  —  q  —  1 
homologies  distinctes. 

Si  W(j-||)  est  un  cvcle.  il  faut  que  \\  (v/)'^  \N  ro  ),  c'est-à-dire  (jue  le  cycle 
ne  soit  pas  altéré  quand  )'  tourne  autour  du  point  singulier  cyj  et  qu'il  en  soit 
de  même  pour  tous  les  autres  points  singuliers.  Il  faut,  en  d'autres  termes,  rpie 
\\  (  Ko)  soit  ce  que  nous  avons  appelé,  dans  le  Mémoire  cité,  un  cycle  inva- 
rniiil',  nous  aurons  donc  d'abnril  autant  il  iidumlo^^ie-.  identiques  que  de  c\cles 
invariants,  c  est-à-dire.  li'après  le  Méinoire  cité,  autant  que  de  cxcles  à  trois 
dimensions,  ou  encore  autant  que  de  c\cles  à  une  dimension. 

^  en  a-t-il  d'autres?  Supposons  que  la  ligne  W(j'|,)  aboutisse  à  un  point  Q,, 
considérons  la  portion  d(>  la  variété  à  quatre  dimensions  V  voisine  de  Q,  ; 
soit  M  un  [Hiint  de  \  inliniment  voisin  de  (J,;  soit  H  le  plan  tangent  à  la 
variété  V  au  point  Q,  ;  ce  sera  une  variété  plane  à  quatre  dimensions  apparte- 
nant à  l'espace  plan  à  plus  de  quatre  dimensions,  dans  lequel  nous  supposons  \ 
tracée;  la  droite  MQi,  si  les  deux  points  M  et  Q,  sont  infiniment  voisins,  sera 
dans  le  plan  II.  Portons  alors  sur  la  droite  MQ,  une  longueur  égale  à  i  à  partir 
de  Qi  et  soit  IKAIi  le  point  ainsi  obtenu;  les  points  HfM)  appartiendront  à 
l'hypersphère  de  rayon  1  et  de  centre  (^|,  (ui   |iliilôl  à  rinleisect  Ion  de  celle 


028  SUR    LES    PKKIODES    DES    INTÉGRALES   DOUBLES. 

h}pers[jlière  et  du  plan  H,  iiilersection  que  j'appelle  J  et  qui  est  une  Miriélé 
hvperspliérique  II  à  trois  dimensions.  Si  deux  points  M  et  M'  sont  de  part  et 
d'autre  de  Qi,  de  telle  façon  que  les  deux  droites  MQ,  et  Q,  M'  soient  dans  le 
])rolongenienl  l'une  de  l'autre,  les  deux  points  H(M)el  H(M')  seront  diamétra- 
lement opposés  sui- J. 

Considérons  maintenant  les  points  M  de  \\  (|ui  sont  1res  voisins  de  Q,; 
ic^  11(^1)  Correspondants  engendrei-ont  une  vaiiété  à  deux  dimensions  H(W) 
située  sur  J;  considérons  de  même  les  points  M  très  voisins  de  Qi  et  lels 
que  )■  =  )ol  les  11(^1)  correspondants  engendreront  une  variété  à  une  dimen- 
sion Il(ro)  située  sur  J.  Enfin  les  |)oints  de  ^^  (  )'o)  donneront  des  ll(M)  en 
nondjre  fini  el  dont  l'ensemble  pourra  s'appeler  ll(\\  ,1,,).  !^i  alors  un  point 
appartient  à  H(  )„),  il  en  sera  de  même  du  point  diaméiralement  opposé. 

Au  contraire,  si  un  poinl  appai-lient  à  II  (  W  .  )i,  i,  il  n'en  sera  pas  de  même 
du  point  diamétralement  oppost',  puis(jue  par  lixpolhése  la  ligne  \\  (  (i,  ) 
s  arrête  au  poinl  Q)  et  ne  se  prolonge  pas  au  delà.  Donc,  si  un  point  appartient 
à  H(W),  il  n'en  sera  pas  de  même  du  point  diamétralement  opposé,  sans  quoi 
nous  aurions  deux   |)()ints  diamélialemenl  opposés  sur  un  même  ll(\\  ,   )  „  1- 

Si  la  ligne  Wf),,)  doil  mius  conduiic  à  une  honiologie  >e  réduisani  à  une 
identité,  nous  venons  de  voir(|ue\\  (r/i  doit  être  homologue  à  \\  (^r,' )  sur  S(r,). 
.le  puis  sans  restreindre  la  généralité  supposer  que  \\  (r,)  est  non  seulement 
liomologue,  mais  identique  à  \A  (r/).  Si,  en  effet,  il  en  était  aulremenl.  soit 
C(r/)  la  portion  de  S(ï))  limitée  par  le  evcle  W  (r,)  —  \\  (r;  )  homologue  à  zéro. 
Soit  P(îa)  la  variété  à  trois  dimensions  engendrée  par  C(rj  )  quand  r,  varie  de 
zéro  à  £a  en  sui\anl  la  coupure:  elle  est  limitée  p>ir  l'ensemble  des  cveles 

W(-o)-W,-r,') 

(pii  la  séparent  de  W  ,  r[  par  Ci  O.  J/,  ).  en  désignant  par  C(  O,  £/,)  la  limite  vers 
huiui'lle  tend  (j(y,  )  ipiand  /,  Icnd  xers  /éro  rn  suivant  la  coupure  Oc/,.  Il  est 
clair  (jue  C(0,  ca)  esl  une  |kii  tion  de  .S(  o  ). 

Envisageons  alors  la  variété  à  trois  dimensions 

où  la  sommation  indiquée  |)ar  le  signe  ^  est  étendue  aux  dillérenles  coupures. 
La  variété  W  a\ait  |)our  Irontiére  l'ensendjle  des  cveles 

W  I  r,  I— \\  I  r/) 


SUB    LES    PÉRIODES    DES    INTÉGHALES    DOUBLES.  Sag 

plus  une  partie  de  S(o),  la  variété  VP(ea)  avait  pour  frontière  l'ensemble  des 
cycles  W(yj)— W(r/)  plus  VC(0,  et)  qui  est  une  partie  de  S(o).  Quand 

nous  annexons  les  deux  variétés  l'unu  à  l'autre,  la  partie  commune  do  la  fron- 
tière disparait,  de  sorte  que  la  frontière  complète  fait  partie  de  S(o).  Comme 
cette  frontière  complète  doit  être  une  variété  fermée  à  deux  dimensions,  ou 

bien  elle  se  réduira  à  zéro,  de  sorte  que  W  + 'Vp(£;,)  est  une  variété  fermée, 

ou  bien  elle  sera  la  surface  S(o)  tout  entière,  ce  qui  est  très  possible  puisque 
cette  surface  n'est  pas  homologue  à  zéro. 

Ainsi,  \V+^P(£a)  est  une  variété /ermée  à  trois  dimensions:  il  est  vrai 

qu'elle  présente  une  circonstance  toute  particulière,  puisque  pour  certaines 
valeurs  dey,  à  savoir  les  valeurs  )•  =  n,  les  points  de  celte  variété  pour  lesquels 
)/- =  r,  forment  non  plus  une  ligne,  mais  une  variété  à  deux  dimensions  C(rj). 
Mais  il  suffit  de  déformer  infiniment  peu  notre  variété  pour  faire  cesser  cette 
circonstance  gênante.  Nous  pouvons  donc,  sans  restreindre  la  généralité,  sup- 
poser que  W  est  une  variété  fermée  et,  par  conséquent,  que  W(r;)  est  iden- 
tique à  W(r/). 

Alors  H(W)  est  une  variété  fermée;  supposons  d'abord  que  Q,  soit  l'extré- 
mité d'une  des  branches  de  la  ligne  W(yo)  et  n'appartient  à  aucune  autre 
branche  de  cette  ligne;  il  suffit  évidemment  que  cela  ait  lieu  pour  une  valeur 
de  yo  pour  que  cela  ait  lieu  pour  toutes.  Dans  ce  cas  H(\V  )  a  un  seul  point 
commun  a\ec  H(  )•„);  ce  sont  deux  variétés  fermées  l'une  à  deux,  l'autre  à  une 
dimension  tracées  sur  l'hypersphère  H.  Si  elles  n'ont  qu'un  point  commun, 
c'est  (ju'elles  ne  sont  ni  Tune  ni  l'autre  homologues  à  zéro  sur  II;  or  cela  esl 
absurde  puisque  H  esl  simplement  connexe. 

Prenons  un  cas  plus  général;  chacune  des  branches  de  W(j-q)  peut  être 
parcourue  dans  deux  sens  opposés;  nous  distinguerons  donc  un  sens  positif  et 
un  sens'  négatif.  D'autre  part  nous  attribuerons  un  signe  à  l'intersection  de 
H(W)  et  de  H(j'o)  [d'après  le  signe  d'un  certain  déterminant  ainsi  qu'il  a  été 
expliqué  dans  VAnalysis  sitiis  (Journal  de  l'Ecole  Polytechnique,  a'"  série, 
I'''  Cahier,  p.  33  et  suiv.)].  Supposons  donc  que  p  branches  de  W  {yo)  abou- 
tissent à  Q,  de  façon  que  Q,  soit  à  \n  fin  de  la  branche  quand  on  décrit  cette 
branche  dans  le  sens  positif,  et  n  branches  quand  on  décrit  la  branche  dans 
le  sens  négatif. 

Alors  H(W)  et  H(j-„)  admettront  j)  intersections  positives  et  n  négatives. 
H.  p.  —  III.  G7 


53o  SUR    LES    PÉRIODES    DES    INTÉGRALES    DOUBLES. 

Ou  bien  alors  l'excès  p  ■ —  /;  ne  sera  pas  nul,  ce  qui  est  impossible  parce  qu'on 
pourrait  avoir  H(  W)  ^^  o  sur  H  et  que  H  est  simplement  connexe;  ou  bien  cet 
excès  sera  nul  et  alors  la  ligne  W( Jq)  pourra  être  remplacée  par  une  autre  ne 
passant  pas  par  Q,. 

Il  est  donc  impossible  qu'il  existe  une  variété  \V  satisfaisant  aux  condilions 
énoncées;  il  n'y  a  donc  pas  d'autre  homologie  identique  que  celles  que  l'on 
déduit  des  cycles  invariants. 

En  résumé,  soit  N  le  nombre  des  points  singuliers  £|,  £2,  •••)  en  tenant 
compte  du  degré  de  multiplicité,  un  de  ces  points  pouvant  être  doidde  par 
exemple  s'il  correspond  à  deux  cycles  évanouissants. 

Soit  2p  le  nombre  des  cycles  de  la  surface  de  lliemann  .S(  )■). 

Soit  m  le  nouijjre  des  points  tels  que  Q,,  Q^,  .... 

Soit  g  le  nombre  des  cycles  invariants  de  S(  j),  ou,  ce  qui  revient  au  même, 
le  nombre  des  cycles  à  une  ou  à  trois  dimensions  de  F(o). 

Nous  aurons  N  doigts,  tous  nos  cycles  seront  des  combinaisons  de  la  foruie  (  1  ), 
c'est-à-dire  des  combinaisons  de  ces  N  doigts  et  de  S(o);  mais  toutes  les  com- 
binaisons de  ces  N -|-  i  variétés  ne  conviennent  pas;  elles  doivent  satisfaire  à  la 
condition  (2);  celte  condition,  puisque  S(o)  admet  2/1  cycles,  équivaut  à  2p 
conditions  simples.  11  reste  ainsi  N  -)-  i  —  2/1  cycles. 

Mais  ces  cycles  sont  liés  par  des  honiologies,  engendrées  par  les  dillérentes 
lignes  W(>'o)  possibles;  il  y  en  a  2/)  provenant  des  2/>  cycles  fermés  qu'on 
peut  tracer  sur  S()'o);  '1  J  eu  a  /;(  —  i  provenant  des  m —  1  lignes  qui  vont 
d'un  point  Q  à  un  autre  point  Q.  .Si  ce»  2p  -+-  m  —  1  honiologies  sont  distinctes, 
ce  qui  arrive  en  général,  il  reste 

-M  +2  —  fip  —  m 

cycles  à  deux  dimensions  distincts.  Mais  il  y  a  r/  liomologies  identiques,  il  y  a 
donc  finalement 

(  3  )  N  +  1/  H-  -i  —  ;1  /'  —  //' 

CAcles  à  deux  dimensions. 


VII.  —  Application  aux  surfaces  du  troisième  degré. 

Appliquons  ces  principes  à  la  surface  du  troisième  degré.  Daus  les  para- 
graphes précédents,  un  rôle  essentiel  était  joué  par  les  surfaces  de  Riemann 
S(i')  correspondant  aux  inlcrseclionsde  la  surface  F  =  o  avec  le  |i]au  )'=eonsl. 


SVR    LIÎS    PliniODES    IIF.S    INTK(;nALES    1)01  «LES.  53 1 

Si  nous  prenons  les  coordonnées  lioniogènes 

X,    y,     s,     f, 

ces  plans  )■  =  con^t.  passenl  |)iir  une  droilc  fixe  située  à  l'infini  et  c|iii  a  pour 
équations  )•  =  <  =  o.  On  ponirail  ré|)i'ti;r  la  même  analyse  en  taisant  jouer  le 
rôle  de  cotte  droite  )-  ^  <  ;=  o  à  une  droite  (quelconque  D,  et  le  rôle  des  sur- 
faces S(jk)  aux  surfaces  de  Riemann  corresjiondant  aux  intersections  de  F=  o 
avec  les  plans  passant  par  D. 

Cela  revient  à  faire  un  changement  de  coordonnées  télraédriques  en  prenant 
cette  droite  D  pour  l'une  des  arêtes  du  tétraèdre  de  référence.  Tout  étant  pro- 
jeclif,  il  est  clair  que  le  résultai  doit  rester  le  même  quelle  que  soit  la  droite  IJ, 
el  l'on  en  comprendra  d'ailleurs  mieux  les  raisons  en  se  reporlant  à  ('e  (pu  a  été 
dit  aux  paragraphes  'i  et  3. 

L'application  de  la  formule  (3)  doit  conduire  au  même  nondjre  de  cycles  à 
deux  dimensions,  de  quelque  façon  que  soil  choisie  la  droite  D. 

Mais,  si  ce  résultat  est  certain  a  priori,  il  conduit  à  quelques  paradoxes 
apparents  el  il  est  inléiessant  de  voir  par  quel  mécanisme  se  tait  la  compen- 
sation. M.  Picird,  en  éludianl  une  surface  du  troisième  degré  parliculière,  sur 
laquelle  nous  reviendrons,  avait  déjà  mis  en  évidence  certaines  propositions 
paradoxales,  dont  il  avait  donné  l'explication. 

Dans  la  formule  (3),  le  nombre  q  représente  le  nondjre  des  cycles  linéaires. 
Ce  nombre  est  évidemment  indépendant  de  la  droite  D.  Il  est  d'ailleurs  nid, 
comme  l'a  montré  M.  Picard,  pour  \n  surface  du  troisième  degré. 

Le  nombre  N  est  le  nombre  des  plans  tangents  que  l'on  peut  mener  à  la  sur- 
face par  la  droite  D.  Ce  nombre  est  égal  à  12  dans  le  cas  le  plus  général. 

Le  nombre  p  est  le  genre  de  la  courbe,  interseclion  de  F  =  o  par  un  |)lan 
passant  par  la  droite  D;  il  est  égal  à  i . 

Les  points  Q,,  Q.,,  .  .  .  sont  les  intersections  de  la  surface  F  =  o  el  de  la 
droite  D;  le  nombre  m  est  le  nombre  dv  ces  intersections.  Il  est  égal  à  '.i  dans 
le  cas  général.  On  a  donc,  dans  le  cas  général, 

rj  =  o,         N  =  ri,        /;  =  I,         /)!  =  i 

et,  pour  le  nombre  de  cvclcs, 

N  -h  (/  -^  ■>.  —  \}i  —  m  =  7. 

Supposons  maintenant  (pie  la  surface  !<"  =  o,  restant  toujours  la  plus  géné- 
rale, la  droite  D  prenne  des  |posil ions  particulières. 


532  Sun    LES    PÉRIODES    DES    INTÉGRALES    DOUBLES. 

Supposons  d'abord  que  la  droite  D  devienne  tangente  à  la  surface;  deux  des 
plans  tangents  menés  par  D  se  confondront  et  N  se  réduira  à  1 1,  mais  deux  des 
points  d'intersection  de  D  se  confondront  et  m  se  réduira  à  2.  Le  nombre 

N  -h  ^  -i-  2  —  I  /<  —  III 
ne  changera  pas. 

Supposons  maintenant  cpie  Tun  des  plans  tangents  menés  par  D  coupe  la 
surface  suivant  une  courbe  préseninnt  un  point  de  rebroussement;  ici  encore 
deux  plans  tangents  se  confondront,  mais  il  faut  tenir  compte  du  degré  de  mul- 
tiplicité. Or  nous  avons  vu  que,  dans  le  cas  d'un  rebroussement,  il  y  a  deux 
cycles  évanouissants  et  que,  par  conséquent,  le  plan  langent  doit  être  regardé 
comme  double;  le  nombre  N  reste  donc  égal  à  12. 

La    surface    F  =  o    contient    vingt-sept   droites    que   nous   appellerons    les 


'f 


pt   aroites    que   nous   appc 


droites  A.  Supposons  que  D  renconlre  l'une  des  droites  A.  Le  plan  de  D  et 
de  A  coupe  la  surface  suivant  la  droite  A  et  une  conique;  c'est  donc  un  jdan 
tangent  double  avec  deux  points  de  contact  distincts. 

Le  nombre  des  plans  tangents  distincts  se  réduit  donc  à  1 1 ,  mais  ce  plan  DA 
doit  être  regardé  comme  double;  il  n'y  a,  il  est  vrai,  qu'un  seul  cycle  évanouis- 
sant, mais  la  ccuirbe  se  décompose;  cela  fait  donc  deux  doigis  simples,  l'un 
engendré  par  le  cycle  évanouissant,  l'autre  homologue  à  l'une  des  composantes 
de  la  surface  de  Riemann,  donc  I\  reste  égal  à  12. 

Les  divers  plans  menés  par  A  coupent  la  surface  suivant  des  coniques; 
deux  de  ces  coniques  touchent  la  droite  A.  Soient  P,  et  Pj  les  plans  de  ces 
deux  coniques  et  supposons  que  A  soit  dans  le  plan  P,.  Alors  trois  de  nos 
douze  plans  tangents  se  confondent,  les  deux  points  de  contact  du  plan  lan- 
gent DA,  qui  étaient  distincts  et  équivalents  à  deux  points  doubles  à  tangentes 
séparées,  se  confondent  en  un  seul,  équivalent  à  un  point  de  rebroussement. 
Nous  avons  cette  fois  deux  cycles  évanouissants,  cela  nous  fait  trois  doigis 
simples  dont  deux  correspondent  à  ces  deux  cycles  et  un  est  homologue  à  l'une 
des  composantes  de  la  surface  de  Riemann  (composante  relative  à  la  droite,  ou 
bien  à  la  conique);  donc  le  plan  tangent  P,  doit  être  regardé  comme  triple  et 
N  reste  égal  à  12. 

Ainsi  voilà  trois  cas  où  le  plan  tangent  correspond  à  deux,  deux  ou  tmis 
plans  tangents  confondus  :  ce  sont  ceux  où  ce  plan  coupe  la  surface  suivant 
une  cubique  à  rebroussement,  suivant  une  droite  A  et  une  conique  qui  la 
coupe,  suivant  une  droite  A  et  une  conique  qui  la  touche;  nous  venons  de  voir 
que  ce  plan  doit  être  alors  regardé  comme  double,  double  ou    triple.  Mais  il 


SUR    LES    PÉRIODES    DES    INTÉGRALES   DOUBLES.  533 

peut  arriver  que,  dans  l'un  de  ces  trois  cas,  la  droite  D  passe  par  le  point  de 
contact,  c'est  ce  qui  arrive  respectivement  si  D  touche  la  surface  en  un  point  où 
l'indicatrice  est  parabolique,  si  D  coupe  A  en  un  point  où  cette  droite  ren- 
contre la  conique  intersection  du  plan  DA  et  de  la  surface  F  =  o,  si  1^  coupe  A 
au  point  où  cette  droite  touche  la  conique  intersection  de  D  A  et  de  la  surface. 
Lo  plan  tangent  correspond  alors  à  trois,  trois  ou  quatre  plans  tangents  con- 
fondus, et  il  reste  double,  double  ou  triple;  le  nombre  N  se  réduit  donc  à  1 1, 
mais,  comme  D  touChe  la  surface,  le  nombre  m  se  réduit  à  2,  de  sorte  que  la 
différence  N  —  m  et  le  nombre  des  cycles 

N  --  y  —  ■?.  —  f\p  —  m 
ne  changent  pas. 

Si  la  droite  D  est  une  asymplole  de  Tindicalrice  en  un  point  de  la  surface,  le 
plan  tangent  correspondant  équivaut  à  trois  plans  tangents  confondus;  donc 
N  se  réduit  à  10,  mais,  d'autre  part,  D  coupe  la  surface  en  trois  points  con- 
fondus, de  sorte  que  m  se  réduit  à  i  et  que  la  différence  N  —  m  ne  change  pas. 

[1  peut  se  faire  que,  parmi  les  plans  tangents  menés  par  D,  il  y  en  ait  deux 
ou  plusieurs  qui  présentent  séparément  l'une  des  singularités  que  nous  venons 
d'étudier;  rien  n'est  à  changer  alors  à  ce  qui  précède.  11  peut  arriver  enfin  que 
par  la  droite  D  on  puisse  mener  un  plan  qui  coupe  la  surface  suivant  trois 
droites  A,  qui  soit  par  conséquent  triplement  tangent  à  la  surface.  Ce  plan  cor- 
respondra à  trois  plans  tangents  confondus.  Quel  est  son  degré  de  multiplicité, 
c'est-à-dire  le  nombre  de  doigts  simples  auxquels  il  correspond?  11  n'y  a  qu'un 
cycle  évanouissant,  mais  la  surface  de  Riemann  S(ca)  se  décompose  en  trois 
parties  S,(si),  'S^i'^k)-,  ^i{^k)  correspondant  aux  trois  droites.  Nous  aurons  donc 
trois  doigts  simples,  le  premier  engendré  parle  cycle  évanouissant,  le  deuxième 
homologue  à  S|(£/;)  plus  une  partie  de  S(o),  le  troisième  homologue  à  82(6^) 
plus  une  partie  de  S(o).  Le  cycle  qui  serait  homologue  à  'ii{tk)  plus  une  partie 
de  S(o)  n'est  pas  distinct  des  précédents,  car,  toutes  les  surfaces  'S(  j)  étant 
homologues  entre  elles,  comme  nous  l'avons  vu,  on  a 

Si(s/.)  +  S,(c/,)  +  S3(a/,)~S(o), 

de  sorte  tpi'une  combinaison  de  nos  trois  doigts  nous  ramène  au  cycle  S(r)). 
En  résumé,  ce  plan  triplement  tangent,  qui  équivaut  à  trois  plans  tangents 
confondus,  a  pour  degré  de  multiplicité  .3,  de  sorte  que  N  reste  égal  à  la. 

Il  nous  reste  à  examiner  le  cas  où  D  est  l'une  des  droites  A.  Alors  D  ren- 
contre dix  autres  droites  A,  que  j'appellerai  A,  et  B,,  Ao  et  Bo,  A,  et  B3, 
A4  et  B4,  As  et  Bj. 


534  SUR    I-ES    PÉRIODES    DES    INTÉGRALES    DOUBLES. 

Les  droites  A,  et  B,  se  rencontrent  quel  que  soit  i  et  il  n'y  a  pas  d'aiilrc  ren- 
contre entre  les  droites  A  et  B.  Par  D  on  peut  mener  cinq  plans  tangents  qui 
sont  les  cinq  plans  DA,B/;  que  sont  devenus  les  sept  autres  plans  tangents? 
Soit  D'  une  droite  très  voisine  de  D;  par  D'  nous  pouvons  mener  douze  plans 
tangents,  dont  cinq  tendront  vers  les  cinq  plans  1)A,B,;  vers  quelles  limites 
tendront  les  sept  autres  et  les  points  de  contact  correspondants?  Parmi  les 
plans  menés  par  D,  il  y  en  a  deux  P,  et  P^,  qui  coupent  la  surface  suivant  la 
droite  D  et  une  conique  qui  la  touche.  Eh  hien,  deux  plans  tangents  tendront 
vers  P,  et  deux  vers  P.j. 

Il  reste  à  voir  ce  que  deviennent  les  trois  plans  tangents  restants.  Soient  M, , 
M„,  M!j  les  trois  points  d'intersection  de  D'  avec  la  surface;  quand  D'  tendra 
vers  D,  ces  trois  points  tendront  vers  trois  |)oints  M,.  INIj,  M^  de  i);  eh  hien, 
les  points  de  contact  des  Iriiis  plans  tangents  restants  tendront  vers  M,,  M._,,  M3. 

Quant  aux  cycles  à  deux  dimensions  correspondants,  voici  ce  qu'ils 
deviennent.  Considérons  d'abord  un  plan  tangent  qui,  à  la  limite,  se  réduit  au 
plan  A,B,D;  la  surface  de  Iliemann  correspondant  à  l'intersection  de  ce  plan 
et  de  la  surface  se  décompose  à  la  limite  en  trois  parties  correspondant  aux 
trois  droites  A,,  B,,  D;  le  doigl  correspondant  est  à  la  limite  iiomologue  à 
l'une  de  ces  trois  parties,  par  exemple  à  la  surface  de  Riem.inn  corresjiondant 
à  la  droite  A,  et  que  j'appellerai  S(A/).  ^'oilà  donc  déjà  cinq  de  nos  sept  cycles 
correspondant  aux  cinq  surfaces  de  Riemann  S(A|),  S(Ao),  .  .  .,  S(  A:,).  Les 
sept  doigts  correspondant  aux  sept  autres  plans  tangents  nous  fourniront  à  la 
limite,  pai-  leur>  combinaisons  entre  eux  et  av(^c  S(o).  un  seul  cycle  nouveau 
(pii  sera  la  surface  de  Riemann  .S(l));  celle  notation  S(A,),  S(D)  ne  peut 
engendrer  aucune  confusion  avec  S(  j),  puisque  A,  et  D  sont  des  droites  et  y 
une  quantitt'.  Il  nous  reste  un  dernier  cycle  qui  est  S(o),  mais 

S(<))~  S(D)-+-S(A,)-t-S(li/), 

puisque  S(o)  est  homologue  à  la  surface  de  Riemann  correspondant  à  l'inter- 
section de  la  surface  avec  un  plan  (pielconque,  et  que,  quand  ce  plan  -est  le 
plan  l)A,B,,  cette  surface  de  Riemann  se  décompose  en  S(l)),  S(A,),  .S(B,). 
lui  conséqueuee,  tons  les  cycles  à  deux  dimensions  de  F  :=  o  sont  homo- 
logues à  des  combinaisons  des  sept  cycles  suivants  : 

S(n),     S(A,),     S(A,),     S(A;,),     S(AO,     S(A5),     S(B,), 

qui  ne  sont  antre  chose  que  des  surfaces  de  Riemann  correspondant  à  sept  des 
vingt-sept  droites  A. 


suit    LES   PÉRIODES    DES    INTEGRALES   DOUBLES.  535 

Quelques  mots  mainlenani  sur  les  interseclions  muluelles  de  ces  eycles  ; 
quel  est  rexcès  du  nombre  des  interseclions  positives  sur  celui  des  intersec- 
tions négatives,  en  ad<)|)tant  le  point  de  vue  du  paragraphe  !J  de  V .■tii(tl]sis 
silus  (Journal  de  l' Ecolr  Pulytecluiique^  2'  série,  I"  Cahier,  p.  33)?  Si  nous 
considérons  deux  surfaces  de  Riemann  S()'|  )  et  ^{y-^),  cet  excès  sera  évidem- 
ment 3;  si  nous  considérons  deux  surfaces  de  Piiemann  S(A,  )  et  SfAn)  corres- 
ponilanl  à  deux  droites  A,  cet  excès  sera  1  ou  zéro,  siii\an[  que  ces  deux  droites 
se  rencontreront  ou  non.  Si  nous  considérons  deux  cycles  K,  el  K-.. ,  nous 
représenterons  cet  excès  par  \(K|,  K^);  si  alors 

i\,~K,,       k,~k:,. 

on  aura  également 

\(  K,.  K,)  =  rS(K'|.  Ko). 
Si  maintenant 

K..  ~  n„  S(  l>  I  +  1/1,  S(  -V,  )  -+-  //,■,  S(  I5|  ). 
il  viendra 

N(K,.  k,)  =  «„ÎV[K,,  S(D)1-  i:«,N(k,.  S(  A,  )]  ^  »,;  !\'[  K,.  S(B,)], 
d'où  cette  conséquence  que  la  connaissance  des  sept  excès 

i\[K,.  S(,D,)|.     N[l\,.  ^(  A,!].     >[l\|.  S(I5,)] 

suflit  pour  déterminer  N(K|.  Ko),  K2  étant  un  cycle  quelconque. 

Soit,  en  particulier,  K|  =  S(A,),  K.j=.S(A2)5  -^1  et  A^  étant  deux  quel- 
conques des  vingt-sept  droites  A;  nous  voyons  que  la  connaissance  du  nombre 
des  points  d'intersection  de  A,  avec  D,  les  A;  et  B|  suffit  pour  déterminer  le 
nombre  des  interseclions  de  A|  avec  une  droite  quelconque  Aj,  c'est-à-dire 
j)our  déterminer  complètement  la  droite  A,. 

C'est,  en  effet,  ce  qu'il  est  aisé  de  vérifier;  une  des  vingt-sept  droites  sera 
complètement  déterminée  quand  on  saura  si  elle  rencontre  une  autre  des  vingt- 
sept  droites  choisie  au  hasard  D,  et  aussi  si  elle  rencontre  cintj  autres  des  vingt- 
sept  droites  qui  rencontrent  D  sans  se  rencontrer  entre  elles. 

On  sait  que  les  surfaces  du  troisième  degré  sont  unicursales.  Si  en  effet  on 
'prend  deux  des  vingl-sept  droites  A  qui  ne  se  rencontrent  pas,  soient  D  et  D'; 
quDn  |)renne  un  point  M  sur  D  et  un  point  M' sur  D'  ayant  pour  abscisse,  par 
exemple,  le  premier  «,  le  second  r,  la  droite  MM'  rencontrera  la  surface  en  un 
troisième  point  M,  dont  les  coordonnées  sont  des  fonctions  rationnelles  de  u  et 
de  V.  De  cette  circonstance  découlent  des  conséquences  paradoxales  sur  les- 
quelles M.  Picard  a  déjà  appelé  l'attention. 

Si  les  valeurs  de  (/  et  r  correspondent  à  l'une  des  droites  A,,  Ao,  A.i,  A.,,  A-, 


536  SUR    LES    PÉRIODES    DES    INTÉGRALES    DOUBLES. 

qui  rencontrent  à  la  fois  D  et  D',  la  droite  MM'  est  toul  entière  sur  la  surface  et 
les  coordonnées  du  point  M,  deviennent  indéterminées. 

Si  maintenant  nous  prenons  un  point  M|  sur  la  surface,  les  deux  plans  M,  I) 
et  M|  D'  se  couperont  suivant  une  droite  déterminée  MM',  les  points  M  et  M' 
seront  donc  déterminés  et,  par  conséquent,  a  et  c  seront  fonctions  rationnelles 
des  coordonnées  de  M|.  Si  cependant  le  point  M,  était  sur  la  droite  D,  le 
plan  M|  D  ne  serait  alors  autre  chose  que  le  plan  tangent  en  M,  et  ce  (jui  pré- 
cède subsisterait. 

Le  lieu  des  points  ;<  =  oo  est  une  conique  C  qui  coupe  D'  en  deux  points  et 
le  lieu  des  points  i  =  ao  est  une  conicpie  C  qui  coupe  D  en  deux  points. 

Reprenons  maintenant  la  variété  V  à  quatre  dimensions  engendrée  par  la 
surface  F  =  o;  et  sur  cette  variété  un  cycle  K  fermé  à  deux  dimensions  et  non 
homologue  à  zéro.  Soit  W  l'espace  plan  à  quatre  dimensions  engendré  par  les 
deux  variables  complexes  u,  r;  on  pourrait  d'abord  être  tenté  de  dire  que,  la 
surface  étant  unicursale,  \  et  W  doivent  être  homéomor|)hes,  qu'à  tout  cycle 
fermé  K  de  V  correspondra  un  cycle  fermé  K'  de  W;  que,  tous  les  cycles 
fermés  de  W  étant  homologues  à  zéro,  il  doit  en  être  de  même  de  tons  les 
cycles  fermés  de  V;  ce  qui  serait  contraire  aux  conclusions  ([iii  précèdent.  Les 
découvertes  de  M.  Picard  nous  ont  d'ailleurs  depuis  longtemps  mis  en  garde 
contre  un  pareil  raisonnement. 

Le  c^'cle  K,  en  efTet,  peut  rencontrer  l'une  des  droites  A,  ou  l'une  des 
coniques  C  ou  C.  S'il  rencontre  C,  par  exemjjle,  le  cycle  correspondant  K'  ne 
sera  plus  fermé,  mais  présentera  un  pointement  à  l'infini,  ainsi  que  l'a  signalé 
M.  Picard. 

Supposons  maintenant  que  le  cycle  K'  soit  fermé  et,  par  consé(juenl,  homo- 
logue à  zéro  dans  l'espace  W.  S'ensuivra-t-il  que  le  cycle  fermé  correspon- 
dant K  soit  iiomologue  à  zéro  sur  \  ?  Pas  du  tout.  11  y  a  dans  l'espace  W 
cinq  points  auxquels  correspondent  une  infinité  de  points  de  la  variété  ^  ;  ce 
sont  les  points  «  =  «,,  i' =  i',  qui  correspondent  aux  cinq  droites  A,;  nous 
avons  vu  en  effet  que,  pour  ces  valeurs  de  u  et  r,  les  coordonnées  de  M,  sont 
indéterminées.  Supposons  alors  que  le  cycle  K'  passe  par  l'un  de  ces  points  h,, 
c,;  étant  homologue  à  zéro  sur  W,  il  limitera  un  domaine  à  trois  dimensions 
de  cet  espace.  Mais  considérons  un  point  N  de  R  et  supposons  que  ce  point  se 
rapproche  indéfiniment  de  «,',  c,  qui  est  sur  la  frontière  de  R.  Soit  M  le  point 
de  V  qui  est  le  correspondant  de  N;  quand  N  tendra  vers  Uj,  c,,  le  point  M 
tendra  vers  un  point  de  la  droite  A,  et  ce  point  pourra  occuper  une  position 


SI  R    I.ES    PÉRIODES    DES   INTÉGRALES    DOUBLES.  537 

quelconque  sur  celle  droite,  suivant  la  façon  dont  N  tendra  vers  «,,  f,.  Soit  R' 
un  domaine  à  trois  dimensions  de  V  correspondant  a  R;  sa  frontière  complète 
se  composera  non  seulemeni  de  K.  cvcle  de  V  correspondant  à  K',  mais  de  la 
surface  de  Riemann  S  (A,);  car,  quand  N  se  rapproche  de  la  frontière  de  R,  le 
point  correspondant  M  se  rapproche,  soit  de  K  si  N  tend  vers  un  point  de  K' 
autre  que  Ui,  c,,  soit  d'un  point  quelconque  de  S  (A,)  si  N  tend  vers  «,-,  Vj. 
Donc  K.  n'est  pas  homologue  à  zéro. 

Dans  la  variété  W,  on  doit  considérer  comme  distincts  les  points  h  =:  oo, 
f  =  c,  et  iiz^oo,  (-'=('._,,  de  même  que  les  points  u^u,,  c  =  »  et  u=Uj, 
1^  =  00,  puisque  à  ces  points  correspondent  des  droites  AIM'  distinctes.  On  doit 
donc  adopter,  au  sujet  des  points  à  l'infini,  non  la  convention  du  Mémoire 
actuel,  mais  celle  du  Mémoire  cité.  Il  en  résulte  que  les  deux  surfaces  de  Rie- 
mann u  =  const.  et  c  =  const.  ne  sont  pas  homologues  entre  elles.  D'où  cette 
conclusion  :  les  cycles  K'  de  W  qui  sont  tout  entiers  à  distance  finie  sont 
homologues  à  zéro;  mais  si  l'on  tient  compte  de  ceux  r[ui  s'étendent  à  l'infini, 
il  y  en  a  deux  qui  non  seulement  ne  sont  pas  homologues  à  zéro,  mais  sont 
indépendants;  ce  sont  justement  ces  deux  surfaces  de  Riemann  a  =  const.  et 
f  =  const. 

De  plus,  parmi  les  c^'cles  K'  homologues  à  zéro,  il  y  en  a  qui  ne  corres- 
pondent pas  à  des  cycles  K  homologues  à  zéro  :  ce  sont  ceux  qui  passent  par 
l'un  des  points  m,,  r,  et  cinq  de  ces  cycles  doivent  être  considérés  comme  dis- 
tincts, puisqu'il  y  a  cinq  points  m,,  r,.  Nous  retrouverons  donc  bien  nos  sept 
cycles  distincts  et  la  conciliation  est  complète  avec  ce  qui  précède. 

Un  mol  encore  sur  une  circonstance  qui  peut  se  présenter  pour  certaines 
surfaces  du  troisième  degré  particulières;  il  peut  arriver  que  trois  des  droites  \ 
que  j'appellerai  A,,  Aj,  A3,  soient  dans  un  même  plan  tangent  P  et  passent  par 
un    même    point  M.    C'est  ce   qui  arrive  en   particulier   pour   la   surface    de 

M.  Picard 

x-'-^y'  —  z-=  I. 

Si  alors  la  droite  D  par  laquelle  doivent  être  menés  les  plans  tangents  se 
trouve  sur  le  plan  P,  quatre  des  plans  tangents  menés  par  D  se  confondront 
avec  I*,  de  sorte  que  nous  n'aurons  plus  que  neuf  plans  tangents  distincts  au 
lieu  de  douze. 

W  faut  voir  à  combien  de  doigts  distincts  ce  plan  correspond.  Pour  nous  en 
rendre  compte,  prenons  la  surface  de  Picard  et  coupons  par  exemple  par  les 
plans  z  =  const.  ;  la  droite  D  étant  alors  la  droite  à  l'infini  qui  est  l'intersection 
H.  P.  -  III.  68 


53S  St'B    LES    PERIODES   DES    INTÉGRALES    DOUBLES. 

comniuiii.'  de  tous  ces  plans  ;  ^  consl.  La  courbe  d'interseclion  esl 

x'^-h  y^  =  I  —  3'', 

où  ;  esl  regardé  comme  un  paramètre.  Les  deux  cycles  sont  des  combinaisons 
de  lacets  tracés  dans  le  plan  des  x  et  enveloppant  les  trois  ])oints  singuliers 


3/ —  3 .  3  ., 

X  =  y/\  —  3-,  .r  =  3  \  I  —  ;•.  .r  =  e-  (  I  —  s-, 

£  étant  une  racine  cubique  de  l'unité.  Pour  ;  :^  i,  ces  trois  points  singuliers  se 
confondent  avec  O,  les  lacets  se  réduisent  à  un  point  et  il  en  est  de  même  des 
cycles,  les  deux  cycles  sont  donc  évanouissants. 

De  plus,  pour  :^i,  la  courbe  se  décompose  en  trois  droites  A,,  Aj,  A.^  ; 
donc,  entre  les  deux  doigts  provenant  des  deux  cycles  évanouissants,  nous  en 
aurons  deux  autres  homologues  à  S(Ai)  et  8(^2);  je  ne  parle  pas  de  ^(Aa)  qui 
n'est  pas  distinct  des  précédents  puisque 

S(A,;^  S(A,  l  +  S(A;,)~  S(o). 

Ainsi  ce  plan  tangent  quadruple  donne  naissance  à  quatre  doigts  distincts.  Le 
nombre  N  n'est  donc  pas  altéré. 

Supposons  enfui  que  la  surface  présente  un  point  conique  II;  dans  ce  cas, 
six  des  droites  A,  comptant  chacune  pour  deux,  passent  en  H;  je  les  appellerai 
A|,  A2,  .  .  . ,  Ao  ;  il  y  a  quinze  autres  droites  qui  sont  dans  les  quinze  plans 
déterminés  par  les  six  premières.  Le  nombre  des  cycles  Iv  se  réduit  alors  à  6; 
(m  peut  le  voir  de  trois  nuuiières  : 

1"  Nos  sept  cycles  ^(D),  S(A,),  S(0)  du  cas  général  se  réduisent  ici 
à  S(A,)(/^  ',2,  .  .  . ,  6)  et  S(o),  parce  que,  si  l'on  piend  pour  la  droite  I)  la 
droite  A,,  les  droites  A,  ne  sont  autres  que  les  ciu(|  autres  droites  A,  :  or,  les 
droites  A,  forment  l'intersection  de  la  surface  avec  le  cône  langent  au  point  H 
qui  est  du  second  degré.  La  surface  de  Riemann  correspondant  à  l'intersection 
de  la  surface  avec  une  quadrique  quelconque  est  homologue  à  28(0),  on  a  donc 

l'homologie 

£S(A,)~2S(o), 

de  sorte  qu'il  ne  reste  que  six  cycles  distincts. 

2°  Si  la  droite  D  esl  (|uelconijue,  deux  des  plans  langeais  menés  par  D  se 
confondent  avec  le  plan  UH,  de  sorte  que  les  nombres  N,  p  et  m  deviennent 

égaux  à  I 1 ,  1 ,  3  et  que 

1\  +  2  —  \p  —  «(  =  (j. 


SUR    LES    PÉRIODES    FJES    INTÉGRALES    DOl'llLES.  ÔSg 

3"  Si  la  dioiie  I)  |)abse  par  H,  un  plan  ([uelconque  mené  par  I)  coupera  la 
surface  suivant  une  conique,  et  celle  conique  se  décomposera  en  deux  droites, 
quand  ce  plan  passera  par  l'une  des  six  droites  A,  ;  on  a  donc  N  =  (i,  la  conique 
étant  unicursale  p  =ro,  et  D  coupant  la  surface  en  deux  points  distincts  in=:2; 

on  a  donc 

N  +  2  ^  4/*  —  "'  =  ^• 

l*lus  généralement,  quand  une  surface  acquerra  un  point  conique,  le  nomlire 
des  cycles  à  deux  dimensions  diminuera  d'une  uniti'.  Soit,  en  ellel,  I'  le  point 
conif[uc,  et  supposons  d'aijord  que  la  droite  I)  ne  passe  ])as  par  ce  point,  le 
plan  PD  devra  être  regardé  comme  un  plan  tangent,  qui  comptera  pour  deux 
plans  tangents  confondus,  mais  pour  un  seulement  au  point  de  vue  de  l'évalua- 
tion du  nombre  N.  Le  nombre  N  se  changera  donc  en  N  —  i  et  les  autres 
nombres  ne  changeront  pas. 

Supposons  maintenant  qu'on  fasse  passer  la  droite  D  par  P;  les  points  de 
contact  de  la  surface  avec  les  plans  tangents  menés  par  D  sont  les  intersec- 
tions de  celte  surface  avec  une  certaine  courbe  gauche,  et  cette  courbe  coupe 
la  surface  au  [)oint  P,  non  plus  en  deux,  mais  en  six  points  confondus;  de  plus, 
ce  point  P  ne  comptera  plus  dans  l'éxaluation  du  nomln-e  N  puisqu'il  n'v  a  plus 
de  plan  PI).  Dune  N  se  changera,  non  plus  en  A  —  i,  mais  en  N  —  6. 

D'aulrr  part,  le  genre />  d'une  se<'tion  faite  par  un  plan  quelcoutpie  mené 
par  I)  se  change  en  p  —  i  puis<[ue  toutes  ces  sections  admettent  un  |)i>int 
double.  I^e  nombre /n  des  intersections  distinctes  de  D  avec  la  surface  se  change 
en  m  —  i  puisque  deux  de  ces  intersections  sont  confondues  en  P. 

I>e  nombre  1\  +2  —  \ /)  —  ni  se  change  donc  en  N  +  i  —  4 P  —  '«• 

Nous  n'avons  pas  à  nous  inciuiétcr  des  plans  tangents  menés  par  I)  au  ccuie 
tangent  a  la  siiifaee  au  point  P.  En  ellél,  pour  les  sections  faites  par  ces  plans, 
le  point  double  devient  un  point  de  rebroussemenl,  ce  qui  n'allére  pas  le 
genre. 


REMARQUES 


L'ÉQUATION  DE  FREDHOLM 


Comptes  rendus  de  l'Académie  des  Sciences,  t.  147,  p.  13117-1371  (21  cloccinbrc  ignS). 


On  sait  que  Fredholm  résout  l'équation 


par  la  formule 


ç(x-)  -T-  ''-J/i-r,  s)  z{s)c/s  =  ■^(..r) 


(2)  -Ax)  =  'h{j:)-J     —^^.h(y)dy, 

où  V),  fi    .  )  et  D, ,  sont  deux  fonctions  entières  de  \.  Le  développement  de  D,  f 
commence  par  le  terme  i ,  et  le  terme  général  est 

— ,    1  f\       '     -'■■■'     "1  dxi  d.c«  . . .  dx„. 
Le  terme  général  du  développement  de  D,/-/  '  j  est 

La  notation  /(     ''     '' "j    représente    le    déleriiiiiiant    à    n    lignes    et 

n  colonnes,  où  l'élément  de  la  t""'"'  ligne  et  de  la  A"'""'  colonne  est/(x,,  jx). 

Si/(a?,  )')  devient  infini  pour  x  =: y  les  formules  précédentes  deviennent 
illusoires,  puisque  certains  éléments  de  nos  déterminants  sont  infinis.  On  sait 
comment  Fredholm  s'est  tiré  de  cette  difficulté.  Soient  /'2, /j,  ...  ce  que  l'on 
appelle  les  noyaux  réitérés;  sif{x,y)  devient  infini  comme  {x — .))""*  et  que 
l'exposant  «  soit  suffisamment  petit,  il  arrivera  que  tous  ces  noyaux  réitérés 
seront  finis  à  partir  de  l'un  d'entre  eux.  Supposons  donc  que/,,  soit  fini,  ainsi 
que  tous  les  noyaux  réitérés  d'indice  plus  grand.  Fredholm  ramène  l'équation  (1) 


REMARQUES   SUR   l'ÉQUATION    r)E    FREDHOLM.  5/(1 

à  une  autre  équation  de  même  forme,  mais  où  )>   est  remplacé  par — (  —  1)" 
et /par/,,. 

Dans  l'équation  (2),  la  fonction  méromorphe  en  1 

iv(;: 


"à/ 

se  trouve  remplacée  par  une  autre  fonction  méromorphe  en  À,  •I»„(^),  dont  le 

dénominateur  est 

D„=D_j_-,),/„. 

Si/est  fini,  /'„  l'est  également,  et  les  deux  formules  sont  applicables;  les 
deux  fonctions  méromorphes  «I»  et  tp„  sont  donc  égales,  eu  qui  veut  dire  que 
l'on  peut  revenir  de  la  nouvelle  formule  à  l'ancienne  en  divisant  le  numérateur 
et  le  dénominateur  par  un  même  facteur  commun.  11  est  aisé  en  effet  de  vérifier 

que,  si  l'on  pose 

Dà/=F(à) 

et  si  X  est  une  racine  /i"'""'  de  l'unité,  on  aura 

D„=  F(/.)F(2/.)F(z2).)...F(ï"À). 

Qu'arrive-t-il  maintenant  quand  /  devient  infini  el  que,  par  exemple,  /a  est 
fini?  Ici  encore,  nous  devons  prévoir  que  le  numérateur  et  le  dénominateur 
de  <l>2  auront  un  facteur  commun,  et  que  D2  =  D_),,;,  qui  est  une  fonction 
entière  de  1-,  sera  le  produit  de  deux  fonctions  entières  G(X)  et  G( — ^),  le 
second  facteur  G( — 1)  divisant  également  le  numérateur. 

C'est  en  effet  ce  qui  arrive;  on  peut  alors  se  proposer,  puisque  la  fonction 
méromorphe  <1>  se  présente  sous  une  forme  illusoire  et  que  la  fonction  méro- 
morphe <I>2  n'est  pas  irréductible,  de  former  une  fonction  méromorphe  irré- 
ductible égale  à  «l».,.  Dans  ce  cas,  la  solution  se  présente  sous  une  forme  très 
simple. 

Nous  aurons 

N  et  D  étant  deux  fonctions  entières  de  >.  qui  se  formeront  de  la  même  manière 
que  l)x/(  '  )  el  D,y  ;  la  seule  diflerence,  c'est  que  les  déterminants 

■'  \u;  ,Xi,  ....  .r„  /  '         •'  \y,Xi,  .r,,  ...,  x„  ) 


54?.  REMARQUES   SUR    l'ÉQUATION    DE    FREDHOLM. 

seront  remplacés  par  d'autres,  formés  lout  à  fait  de  la  même  manière,  sauf  que 
les  élémonls  J\xi,  X;)  qui  deviennenl  infinis  seront  remplacés  par  zéro. 

Les  considérations  suivantes  permettront  de  mieux  comprendre  la  significa- 
tion de  ce  résultat.  Supposons  que  la  fonction /(j:,  j')  non  seulement  soit  finie, 
mais  admette  des  déri\ées  premières  finies.  Dans  ce  cas,  d'après  un  résultat  de 
M.  Fredliolm  sur  la  loi  de  décroissance  des  coefficients,  la  fonction  entière  Dy^ 
sera  de   genre  zéro.    Supposons,   au  contraire,   que  /{x,   )■)  devienne  infinie 

pour  ,r  =  }- romme  (x  —  >')-=' et  que  a  soil  plus  petit  que    -•  Supposons  même. 

pour  éviter  loule  conipiicalion  dans  l'énonce',  (|ue  l'on  ait 

la  fonction  (j/  restant  holf)morphe  dans  le  domaine  considéré.  On  aura  alors 

\f-ii-f',  j' )—fi^  ■'■.  .y)  i  <  -^  I ■'"'—  ■'■  r~-*, 

(■t,  d'après  le  théorème  de  M.  Fredholm,  le  coefficient  de  >.-"  dans  le  dévelop- 

pement  de   D_>!/.,  décroîtra  comme   (n")  -;    de   sorte  que,   si  a<^-,  celte 

i 

fonction  D^),^^  sera  une  fonction  enlière  de  genre  zéro  de  A-.  Nous  savons 
qu'une  fonction  entière  de  genre  zéro  de  À-  peut  toujours  être  regardée  comme 
le  produit  de  deux  fondions  entières  de  "k, 

G(À)G(-).), 

qui  sont  de  genre  i .  Nous  devons  donc  nous  al  tendre  à  ce  qu'en  appelant  D(/.  ) 
le  dénominal eur  de  la  formule  (3),  on  ait 

D_>,y>=  D(X)D(— À), 
de  sorle  que 

G(),)  =  e'>-D(À), 

où  k  est  une  constante  quelconque.  C'est  en  ellét  ce  qui  arrive.  Ce  qui  caractérise 
la  fonction  D(),)  et  la  distingue  de  toutes  les  autres  fonctions  G();),  c'est  que 
le  coefficient  de  1  est  nul.  Quand  la  fonction  /{x,  y)  reste  finie  de  telle  façon 
que  Djf  existe,  D,  /  sera  aussi  une  fonction  G(X)  et  l'on  aura 

E),/=  (!■*'■  D(),), 

k  étant  le  coefficient  de  À  dans  le  développement  de  D>y.  Dès  que  la  fonction 
f{x,  y)  devient  infinie,  cette  formule  devient  illusoire,  parce  que  le  coefficient 
k  devieni  Infini. 

Proposons-nous,  d'autre  part,  de  développer  log  D,/  suivant  les  puissances 


REMAHQUES   SLR    LÉplATION    DE    FREDHOLM.  543 

(Je  ).  ;  nous  trouverons 
en  posant 

r,,  =  (—1)"-^'  I  /tu-,,x.  )/|.ro,  J- :;!.../(  r„_i,J-„j/l^„,.'-|  )</■!■,  '/.'■■.  .  .  .  i/.r„. 

Un  peut  tirer  de  là  une  conclubion.  Reprenons  la  formule 

L'a./ 
Miiliiplions  haut  et  bas  par 

/,?,      '/.'  I,  _  'l' yy 

e      ~~    •'       '■■       /'    . 
Nous  obtiendrons  ainsi  la  formule 
(3 />«)  <I>(X)=^', 

où  N/,  et  1)/,  sont  des  fonctions  entières  de  >,.  Ces  fonctions  se  formeront  de  la 
même  manière  que  D>,y  (■*  j  et  D;,^,  avec  celte  différence  qu'après  avoir  déve- 
loppé les  déterminants 

/x,,.r.,.  ...,.r„\  /.r,ji,,x..,  ...,3r„\ 

il  faudra  supprimer  dans  le  développement  tous  les  termes  qui  contiennent  en 
facteur  un  |iroduil  de  la  forme 

yï,ri,.ri),     fUu->^i)f{-'^i,^l),     /(•^l,.^î)/(''-J--^:i)/(-^:i,  ■'■■) 

jusqu'à 

f{,Xt,x,)f(x.,,.r.)...f{r,,^t,x,,)f{Xi„3-^). 

Mais  il  arrivera  ceci;  supposons  quey(^,  ))  ne  reste  plus  Uni,  mais  |ireunela 
forme 

J'-^^y)=  -r— T7TÏ' 


i|/  étant  fini.   Alors  les  séries  D,,,  \\fi''^\  ne  seront  plus  convergentes, 
les  si'ries  N,,  et  D,,  resteront  convergentes^  pourvu  que 

/'-i 
de  sorte  (|ue  la  formule  (.5  bis]  resleia  applicable. 


544  BKMARQUES   SUH    L'ÉQUATION   DE    FREDHOLM. 

Si  l'on  suppose /{x,  y)  fini  et  pourvu  d'une  dérivée,  les  quatre  séries  D)y, 
D>/Y'ji  ]N/j  et  D/,  sont  toutes  convergentes;  mais  les  deux  premières  conver- 
gent plus  rapidement,  puisqu'elles  représentent  des  fonctions  entières  de  genre 
zéro,  tandis  que  les  deux  dernières  représentent  des  fonctions  entières  de 
genre  p. 

Remarquons  encore  qu'on  peut  obtenir  la  dérivée  logarithmique  de  D,j  de 
la  tacon  suivante  : 


Soit  0{x,  Ç)  la  solution  de  l'équation 

0(^,  Ç)  +  lJfi.T,  s)  0(.v,  T)  '/s  =f(-r,  K); 

^logD)./  =  Ç^(.r..c),l.r. 


on  aura 


SUR   QUELQUES   APPLICATIONS 

DE 

LA  MÉTHODE  DE  FREDHOLM 


Comptes  rendus  de  l'Académie  des  Sciences,  t.   U.S,  p.  i2.j-h<J  (iS  jarnier  igun) 


La  méthode  de  Fredholni  permet  de  résoudre  presque  immédiatement  cer- 
taines questions  relatives  au  développement  des  fonctions  en  séries  ou  à  leur 
représentation  par  des  intégrales  délinies. 

Par  exemple,  on  peut  résoudre  l'équation  intégrale  de  première  espèce 

f     ^(y)[  e'  '••'  -^/(  ■'■■  y  )  ]  <y  =  ■i'  (  •'■  )- 

*-  —  x 

où  o{y)  est  la  fonction  inconnue,  s\f{x,y)  n'u,  quel  que  soit  x,  ([u'un 
nombre  limité  de  maxima  et  de  minima,  si  elle  tend  uniformément  vers  zéro  pour 

1'  =  zfc  00.  si  4^  est  limité  et  satisfait  aux  mêmes  conditions. 

dj- 

Dans  le  même  ordre  d'idées,  une  fonction  satisfaisant  aux  conditions  de 
Dirichlet  sera,  pnur  toutes  les  valeurs  de  x  comprises  entre  o  et  2z.  dévclop- 
pable  en  série  procédant  suivant  les  fonctions 

gim.r_^  0,„(.i-)         (m  entier), 

pourvu  que  la  série  2|9,„(^)|  converge  absolument  et  uniformément.  Cette 
condition  est  suffisante;  il  serait  facile  de  trouver  les  conditions  nécessaires  et 
suffisantes,  que  je  n'énonce  pas. 

Par  exemple,  on  [jourra  développer  suivant  les  fonctions 


pourvu  (jue  la  série 


converge  absolument. 


cosuL,,,./'.     siniji,,,^'. 


y  (u,„— /») 


H.  i^  —  ni.  69 


■)46  SUR    QUELQUES   APPLICATIONS    DE    LA    MKTHODE    DE    FREDHOLM. 

Proposons-nous  encore  de  résoudre  l'équation  intégrale  de  première  espèce 


/ 


o(z)[ei~-^-^f(.i:,z)](/z='h(x). 


Nous  nous  proposons  de  déterminer  la  fonction  cp(;)  pour  les  valeurs  de  s 
comprises  entre  o  et  27:;  je  ne  dirai  pas  en  se  donnant  arbitrairement  la  fonc- 
tion 'i(>r),  cela  serait  impossible,  mais  en  se  donnant  les  valeurs  de  ii(x)  pour 
toutes  les  valeurs  entières  de  x  positives  ou  négatives. 

Pour  que  cela  soit  possible,  il  suffit  que  la  série 


2  '^^'"^ 


et  que  riiitégrale 


r\x,  z)d.r 


f 


convergent  absohinient  et  uniformément. 

Je  profite  de  l'occasion  pour  réparer  un  oubli  involontaire  qui  m'a  été  signalé 
par  M.  Picard. 

Dans  une  Note  récente,  j'ai  signalé  une  série  de  résultats  relatils  respective- 
ment aux  cas  où  le  noyau   de  l'équation   de  Fiedlioliu  devient  iiilini   ilOrdre 

<C-)  <C^'  <7'-"-;  'û  premier  de  ces  résultais  avait  déjà  été  obtenu  par  une 

autre  voie  par  M.  Hilbert. 


SUR 

LES  ÉOUATIONS  DE  FREDTIOLM 


Sechs  Vortriige  iiber  ausgewdltlle  ijcgenslnnde  aus  der  reinen  M'ithriiiatil, 
un'i  Malhematischen  P/iyiik.   F.i'ipzi^;  uml  Bi-rliii.  loi.i  (  l-:isti-r  Xorlrn;;).  p.  i-m. 


L'équalion  intégrale 
est,  comme  l'on  sait,  résolue  par  l'expression  inlégiale  de  même  espèce 

(l„)  z(.r)  =  'li(.r)-'r~l    j-    'U])Gi.r.])>h-, 

où 

N(^,.r;  >.|/). 


G  (./•.)•) 


i;»(À:/)        ' 


N  et  D  sont,  d'après  la  théorie  de  Fredholm,  deux  transcendantes  entières  en  À. 
Alin  de  pouvoir  écrire  explicitement  leur  développement,  nous  désignons  avec 

Fredholm  par /■(     ''     " ")  le  déterminant  à  7i  lignes  dont  léiémenl  général 

^       "^    \fu  7'.,    ■  ■•■.>•/;/  °  ° 

est  f{Xi,  y/:). 

Si  l'on  pose  alors 

'Il       •-   n  •-   Il 

on  a 

Nous  transformerons    cette    équation   en  introduisant   les  no  vaux   déduits    de 
f{jc,  y)  par  itération. 
Si  nous  posons 


548  SUR    LES    ÉOL'ATIONS    DE    FRKDUni  M. 

il  est  clair  que  /'(  '  ''  "  )  a  la  formel  ±  ïl/(Xx,  ■  ■  ■ ,  J",j.),  ainsi  qu'il  résulte 

du  développement  du  déterniinanl.  Soit  alors 


OÙ  A'  désigne  le  nombre  des  variables  d'intégration  x^^,  .  .  .,  J?a,  nous  pouvons 
aussi  écrire 

r'' 

bk=  /    /i(-'-,  ■'■)'/.>■, 
^  ,1 
en  regardant 

r''      r'' 

fk'.-r,  y)=  j      ...    I     J  {■r,.i-:i)J  {.r^.T'i)  .  .  .f{.r^,r)il.r^.  ..  ilxa 

comme  le  /,''""'  noyau  itéré. 

En  raison  de  celte  relation,  nous  avons  donc 

«„  =  Vrtii6/.. 

Si  nous  observons  que  certains  des  b^  figurant  ilans  un  produit  II  6/  peuvent 
être  égaux,  que  de  plus  certains  des  produits  Wbi  peu\ent  eux-nicnics  être 
égauï,  ceux  qui  se  déduisent  lun  de  l'aulie  par  une  permutation  des  a:,,  l'ana- 
lyse combinatoire  de  a,,  conduira  à  une  expression 

2  .<-:^^Y.-.."L6!c!...'^-""'^-l"l^-')'"'^3in(-0-"'fcr1----. 

d'où  l'on  conclut 

c'est-à-dire 


L     a\ùlr\...  \ 
II.  ''. 


d'où  l'on  tire 


.^h. 


loglX/.  )  =—  >    --^, 
D'(À) 


Le  numrrateur  N(.r,  y;  À)  de  la  fonction  G(x,  y\  1)  peut  être  défini  de  même 
par  l'équation 

(3)  N(.r,  .k;  ■a)  =  D(À).  V  ),/'/>,_,.,  (j-,  y). 


SIB    I.F.S    É(,)1;AT10NS   DK    l'nEDMOI.iM.  54'J 

Ces  équations,  (|ui  se  trouvent  d'ailleurs  déjà  dans  Fredliolm,  sont  utiles 
comme  point  de  départ  à  dv  nombreuses  considérations,  comme  on  va  le  voir 
sur  quelques  exemples. 

La  méthode  de  Fredliolm  n'est  immédiatement  applicable  que  pour  des 
noyaux  f(x,y)  qui  restent  finis.  Si  le  nojau  devient  intini  on  certains  points, 
il  arrive  parfois  que  l'un  des  noyaux  itérés,  y,, (a?,  y)  par  exemple,  ilemeuro 
fini.  L'équation  intégiale  relative  au  noyau  itéré  se  laisse  alors  traiter  par  la 
méthode  de  Fredholm  et  Fredliolm  montre  que  l'équation  initiale  (i)  se  laisse 
ramener  à  celle-ci. 

La  solution  en  est  encore  donnée  |)ar  une  foiniule  telle  que  (i„),  mais  on  a 

^=        D„(X)       ' 
où 

r)„i-A)  =  IX  À"  !/„) 
et 

N,(,r,  J-;  X)  =  D„(  5,  ).  V  )/'//,+,(  ,/■,  /  ). 

Les  fonctions  N,  et  D„  de  1  sont  encore  des  transcendantes  entières;  on  peut 
cependant  montrer  qu'elles  possèdent  un  diviseur  commun. 

Nous  allons  voir  comment  cela  résulte  de  nos  formules  (2)  et  (3)  et  comment 
on  |)arvienl  à  une  expression  fiactionnaire  pour  la  fonction  méromorphc  G, 
dont  les  deux  termes  sont  sans  diviseur  commun. 

De  notre  hypothèse  sur  les  noyaux  itérés,  il  suit  que  les  coefficients  b,,, 
6„^i,  .  .  .  sont  finis.  Formons  alors,  eu  égard  à  l'équation  (2^).  la  suite 


l'osons  maintenant 


li- 
nons avons  là  lexpression  cherchée.  Pour  l'établir,  il  nous  faut  montrer  que  e"^ 
et  e'^ . i )/y'/, ^ I  sont  des  fonctions  entières. 

t'ornions  dans  ce  but  -p-  j  on  oi)tient  aisément 

«A 


dx 


'-J!  ^'  ■'■'  -'ï'  --'-  X"/  ^^v»  w)-  *. 


55o  SUR    I.ES    ÉQIATIONS    DE    KBEUHOLM. 

On  en  conclut  d'abord  que  -p-  est  môroniorplie  en  }.,  car  elle  possède  au  plus 

des   pôles  aux  zéros  de  D„(_>.),   c'est-à-dire  aux   points  À  =  aÀ,   où   y.  est  une 
racine   /!''""■  de  l'unité,  et  \i  une  valeur  propre  du  noyau  /'„.  On  peut  alors 

montrer  qu'en  ces  points  de  discontinuité  possible  le  résidu  de  Cauchj  de  -jr 

est  I  ou  o  suivant  que  l'on  a  :z  =:  i  ou  a  ^3^  i .  Nous  ne  ferons  pas  le  calcul  ici; 

on  utilise   pour    cela  le   fait   que  le   résidu   de   -  '      '  —   pour   ),  =  >,<  est    égal 

à  o/(^).  't>a(j')  où  cp<,  é/i  sont  respectivement  les  fondions  propres  correspon- 
dant à  }.  =  }.<,  solutions  des  deux  équations 


i 
r<''i')//.i.r,-^  )'/•'■  =  K.''r/.-(r), 

I, 


Il   juit  de  là  que  c^  '    est  une  l'onction  entière  fjui  ne  s'annule  qu'aux  points 

A  =  \i. 

Si  l'on  envisage  de  même  le  numérateur  de  G,  on  voit  d'abord  que  c'est  une 
fonction  méromorphe  de  A  qui  ne  peut  devenir  infinie  qu'aux  points  ).  =  «>./. 
La  considération  des  résidus  montre  alors  que  cela  n'a  pas  lieu  et  par  suite  que 
le  numérateur  e^^V'f/,^,  est  aussi  une  fonction  entière  en  ),.  La  réduction 
annoncée  pour  la  fonction  de  Fredholm  est  donc  obtenue. 

Nous  obtiendrons  les  développements  en  série  des  deux  termes  de  la  fraction 
de  Fredholm  sous  cette  forme  réduite,  en  revenaiil  à  la  formation  de  K().);  si 
nous  posons,  pour  le  dénominateur. 


E 


-      Cil 
n  ! 


nous  aurons 

à  condition  de  poser 
et 


Z>3c  =  o     pour     a  <  « 


■y.=  j    /ïl-'-, 


pour  y.  ç.  n. 


Le  numérateur  est  formé  de  manière  analogue.  On  doit  donc  développer  les 
déterminants  selon  l'usage  courant,  puis  rejeter  les  termes  de  ce  développement 
qui  contiennent  un  facteury'(.r,,  x»,  .  .  .,  Xp)  avec  moins  de  n  variables. 


SIR    LES    ÉQIATI0,\S    DE    FtlEDHOLM.  55 1 

Nos  formules  (2).  (2^),  (o)  sonl  êgalemenl  utiles  lorsque,  avec  le  novau 
y"(.r,  y),  tous  les  noyaux  itérés  deviennent  infinis,  cas  où  la  méthode  de 
Fredholm  échoue  certainement. 

Supposons,  par  exemple,  les  nombres  b,,  />_.,  ....  h„^[  infinis  et  6„, 
.6„  +  i,  .  .  .  finis.  On  peut  former  la  série  K-(X),  chercher  si  elle  est  convergente 
et  si  e*^  '■'  est  encore  une  fonction  entière.  Dans  l'Iivpothcse  où  /'(j-,  y)  est  un 
noyau  symétrique,  c'est-à-dire  où  /{.r,  y)  =f(y,  x),  j'ai  pu  l'établir.  J'utilise 
dans  ce  but  les  relations 

qui  doivent  avoir  lieu  pour  n  ^  2,  car  le  genre  de  la  fonction  D("/.  ),  d'après  un 
théorème  d'Hadamard,  est  inférieur  à  2. 

Le  temps  me  manque  pour  indiquer  ici  ma  démonstration.  Je  n'ai  pas  traité 
la  question  pour  le  numérateur  de  la  fraction  de  Fredholm. 

Quelques  mois  encore  sur  l'équation  intégrale  de  première  espèce. 

On  peut  appliquer  directement  à  certaines  de  ces  équations,  quand  on  les 
ramène  d'abord  à  des  équations  intégrales  de  seconde  espèce,  la  méthode  de 
Fredholm. 

Soit,  par  exemple,  l'équation 

(I)  /     9(^)-)i  e'X>  — /./(a;,  y)]f/r       ^'1         '— v:        /        -zi, 

dans  laquelle  '^(x)  est  donné  et  o{x)  inconnu,  alors  que  la  partie  f(x,  y)  du 
noyau  est  une  fonction  donnée  (|!ii  est  assujettie  à  certaines  conditions  restric- 
tives indiquées  plus  loin. 

Faisons,  pour  la  fonction  cherchée  v(jl'),  1  hypothèse 


■••^''=/, 


<1>1  ;  }i—':}  i/\ 


de  laquelle,   en  vertu   d'un  théorème  de    Fourier  sur  les   intégrales,   on  tire, 
lorsque  <t(a;)  satisfait  aux  conditions  de  sa  valabilité, 

■>  -  <l<i  ./■  I  =    /        fiy)e'-^y  '/y. 

L'équation  (  1  )  se  transforme  alors  en 

!  ::'I'(  ,/■  I  —  À   /  /         <I>i  ;  1  /<  .r,  y)e-'-}  dz  dy  =  U'("*), 


->^2  SLR    LES    ÉQl'ATIOMS    DE    FREDIIOLM. 

OU  encore 

■i7:(]){j-)  —  '>•   j        'l'(  -  )  K(  .r,  z)dz  =  1'( J-), 
quand  on  pose 

'  -'  Ki.r,:)=   /        f{.r,y)é-i'ydy\ 

nous  sommes  ainsi  parvenus  à  une  équalion  intégrale  de  seconde  espèce. 

Le  nojau  (a)  permet  l'application  de  la  méthode  de  Fredholm  quand,  par 

exemple,  f{x,  y)  el    •     ,  tendent  uniformément  en  x  vers  zéro  lorsque 

y  devient  dr  oo  el  qu'on  a  l'inégalilé 

,r-f  IVI 

')V-  I  +Y- 

où  M  est  une  constante  indéjicndante  de  x  et  de  y. 

Pour  »r(.r),  il  suffit  d'admettre  que  dans  l'intervalle  ( — oo,  +00)  elle  n'a 
(|u'uii  nombre  limité  de  maxima  et  de  minima  et  qu'elle  est  absolument  inté- 
grable. 

On  peut  appli(|iier  la  mèuie  méthode  à  une  série 

l'iJ-)  =^  A, „[«'■"'■'• -^  ÀO,„(j-)|; 

le  problème  est  ici  aussi,  quand  ^V{x)  et  les  'i,„{x)  sont  donnés,  de  calculer  les 
coefficients  A,„  de  telle  sorte  que  le  développement  soil  valable.  De  même  que 
tout  à  l'heure  il  s'agissait  d'une  extension  du  théorème  intégral  de  Fourier. 
nous  avons  adairc  ici  à  une  extension  de  la  série  de  Fourier. 
Si  nous  posons 

y(  =j  =  >,  A,„e'"':;         2-A„,=  /        z(  z\c-i"'- riz, 


nous  aurons 


=  ^A,„e'"':;  ■i-\,„=f      z(z-\ 

m  " 

•l'f  .;•  j  =  9 (a-  )  -f-  ^    /       Y (  =  )  y] e->"'--tt,„(j: )  c/z. 

m 

Nous  devons  supposer  c|ue  la  série  qui  joue  le  rôle  de  noyau  est  absolument  et 
uniformément  convergente,  c'est-à-dire  nous  devons  admettre  que 

converge  uniformément. 


SIR  LES  ÉOIATIONS  DE  FREDHOLM.  553 

Posons,  par  exemple, 

À  =  1 ,  0,„  (  j-  )  =  e'V-m-i' —  c'"'-'', 

nous  obtieni]r(in>  un  développemenl  de  la  forme 

[m, 

La  condition  {?>)  est    remplie   quand  on  suppose   la   convergence   absolue 
<ie'^{lj.„,~-  m). 

(m) 

Considérons  encore,  enfin,  l'équalion 


■i  (  J-  )  I  —  K  <  .>• 


qui  se  dislingue  do  (i)  en  ce  que  l'intégrale  est  à  prendre  dans  un  intervalle 
fini  et  non  entre  —  oo  et  +00. 

Dans  ce  cas,  '\i{x)  ne  peut  être  pris  arbitrairement  :  elle  doit,  si  f{x,  y)  est 
holomorphe,  être  une  fonction  entière  pour  que  l'équation  (  "l  )  admette  une 
solution.  Mais  les  valeurs  '|(/'i)  de  cette  fonction  ]/  pour  tous  les  entiers  m 
peuvent  être  choisies  arbitrairement. 

Si  l'on  pose  en  effet 


?(3.)  =^-^™e-""-         où         ■.ir,X,„=l       9(j 


9(  r)e'"'yr/}-. 


(ml 


l'équation  (4)  se  transforme,  pour  x  =  m,  en 

1/'! 

Nous  obtenons  ainsi  un  système  d'une  infinité  d'équations  linéaires  avec  une 
infinité  d'inconnues,  tel  que  ceux  étudiés  par  Hill,  H.  v.  Koch,  Hill)ert  entre 
autres.  La  résolution  de  ce  système,  au  cas  où  nous  supposons  la  série 

(5)  V     /       (.-</'.>  f{  III.  r)  (/y 

(//,  ni) 

absolument  et  uniformément  convergente,  est  tout  à  fait  analogue  à  la  résolu- 
tion par  Fredholm  de  l'équation  intégrale  et  conduit  aussi  à  une  fonction 
méromorphe  du  paramètre  ).. 

La  convergence  absolue  et  uniforme  de  (5)  est  d'ailleurs,  comme  une  inté- 
II.  r.  —  III.  -0 


554  SIB  LES  ÉQUATIONS  DE  FREDHOLM. 

gration  par  pdrties  le  montre,  assurée  au  cas  où  la  somme  ^y"(;H,  :■)  ou  l'inlé- 

grale  /        /'{^^  r)  c/,r,  est  absolument  el  uniformémenl  convergenle. 

Oa  voit  nettement  l'analogie  et  la  dillérence  entre  les  deux  cas(i)  et(^); 
suivant  que  les  limites  de  l'intégrale  sont  infinies  ou  finies,  ou  aussi  suivant 
que  le  noyau  présente  aux  limites  (Finlégration  une  allure  régulière  ou  une 
singularité  suffisamment  élevée,  on  jieut  choisir  la  fonction  donnée  d'une 
manière  essentiellement  arbitraire  ou  seulement  fixer  une  suite  infinie  mais 
discrète  des  valeurs  qu'elle  doit  prendre.  Il  ne  serait  prohablement  pas  sans 
intérêt  d'approfondir  cette  distinction  |)ar  l'emploi  des  noyaux  itérés. 


REMAHQUES   DIVERSES 


SUR 


L'ÉQUATION  DE  FREDHOLM 


I') 


AcCa  inatheinatica,  t.  33,  1901,  p.  07-86. 


I.        Formules  fondamentales. 

Nous  écrirons  l'équation  de  Fredliolm  sous  la  forme  suivante  : 

9(.r)  est  la  fonction  inconnue,  'l'(.r)  une  fonclion  donnée,  /'(ar,))  le  novau 
(les  limites  de  l'intégrale  étant  deux  constantes).  La  solution  du  problème 
nous  est  donnée  par  la  formule  de  Fredholm 


N(>.;.^-,/) 


:/)•, 


OÙ  D(>.)  est  le  D_x^  de  Fredliolm,   tandis  que  N(?.;  x,y)  s'écrit  d'après  les 
notations  de  Fredholm 

Nous  aurons  donc 

D.  À,  =  V  I^^J:    /;/■(■'•'•  ■•-^- '■"  Va,-,  .r.r,  .  .  .  ,l.r„  =  .-  ;.   ffLr,.  .r,uU,^..  .  . 

.Je  n'écris  qu'un  signe  /  [)Our  une  intégration  multiple. 
Nous  aurons  de  même 

^Là      n\      J  ■'  \r,  .1-1,  ./•.,,  ...,  ./•„/ 


('j  IiTiiuinn''  le  vi  seplemlu'e  1901J. 


550  REMARQUES    DIVERSES   SUR    LÉQUATLON    DE    FREDHOLM. 

Nous  sommes  ainsi  conduits  à  examiner  la  formation  du  déterminant 


/./Ji.  ■'■■_., r,,  \ 


Un  des  termes  de  son  développement  s«ra  de  la  forme 

=z  n/i  j-,.  Xi). 

n  f{xi,  Tf,)  représentant  le  produit  d'un  certain  nombre  de  facteurs  de  la 
forme y(j",,  .r/,).  Ces  facteurs  doivent  satisfaire  à  la  condition  suivante  :  chacune 
des  lettres  x,,  j^,  .  .  . ,  Xn  devra  figurer  une  fois  et  une  seule  comme  Xi,  c'est-à- 
dire  comme  premier  argument  de  la  fonction /(x,i-)  dans  l'un  des  facteurs  du 
produit.  Elle  devra  figurer  une  fois  et  une  seule  comme  x^,  c'est-à-dire  comme 
second  argument  de  la  fonction  f(x,  y)  dans  l'un  des  facteurs  du  produit. 
A  chacun  des  termes  du  déterminant  correspondra  ainsi  une  permutation  des 
lettres  X| .  'a)  •  •  •  1  J-'n  '.  à  savoir  celle  qui  change  chacune  des  lettres  x,  en  la 
lettre  J?/,  correspondante.  Il  y  aura  autant  de  termes  dans  le  déterminant  qu'il 
y  a  de  semblables  permutations,  c'est-à-dire  «  !  ;  et  le  produit  H  devra  être  du 
signe  -f-  si  la  permutation  appartient  au  giou|)i'  alterné  et  du  signe  —  dans  le 
cas  contraire. 

On  peut  répartir  les  lettres  j-,,  x-.,  .  .  . .  x„  en  un  certain  nombre  de  cycles 
de  telle  façon  que  la  permutation  S  envisagée  permute  circulaircment  entre 
elles  les  lettres  d'un  même  cycle.  Si  nous  désignons  par  T(S)  celui  des 
termes  ztn/'(a7,,  Xk)  de  notre  déterminant  qui  correspond  à  la  permutation  S, 
et  si  nous  posons,  pour  abréger, 

nous  pourrons  écrire 

T(  S   I   =  ±    Il   /'(  .(•,.    JU    )   =r  =   ||/(  Jy..    ./Jj,      .  .  .  ,    ./•).     ./y  I. 

Le  dernier  membre  représente  un  produit  de  facteurs  de  la  forme 

/(•^x,  •'■,3,  •••.  ^'X,  •'>)• 

Cliai  un  de  ces  facteurs  correspond  à  un  des  cycles  de  la  permutiition  S  et  les 

lettres 

■*•»,    -r^,     n.     .r^ 

sont  les  lettres  de  ce  cycle,  qui  sont  j)ermutées  circulaircment  par  S. 

Quant  au  signe,  on  l'obtient  en  faisant  le  produit  de  dillerents  facteurs  ±  i 
correspondant   aux   difl'érents   {àcleurs  f{x^,  Xi,  ...,Xi^),  ces  facteurs  étant 


REMARQUES    l)lVERi-ES    SIR    u'ÉOlATION    DE    FREDHOl-M.  55^ 

égaux  à  +  I    pour  les  cycles  d'un  nombre  impair  de  lettres  el  à  —  i  pour  les 
cycles  d'un  nombre  pair  de  lellres. 


Nous 


s  poserons 


po 


Ci) 


/ji  =  I  f'- ■'■«,  -'''{i,  ■  ■  ■!  -n,  ■'>,) "'■''ï '/■'■[', ■  ■  ■  '/■'■), '/■'>.• 


Dans  celle  dernière  égalité,  l'indice  /.  de  b/t  représente  le  nombre  des  lettres 

du   cycle  x^,  J'i '"/■,    'u.;  l'intégrale  ne  dépend  évidemment  que  de  ce 

nombre,  puistpie,  quelles  que  soient  les  lettres  .Co.,  .  .  . ,  j^  envisagées,  on  les 
fera  toujours  varier  entre  les  mêmes  limites. 

Cela  posé  l'intégrale  c'(S)  va  se  décomposer  en  un  produit  d'intégrales  ù^, 
puisque  chacun  des  facteurs  de  T(S)  ne  contient  qu'un  certain  nombre  de 
lettres  .r^,  .  .  .,  .Cj  qui  ne  figurent  pas  dans  les  autres  facteurs;  nous  pourrons 

écrire 

a(S)=±nb/, 

ou  jiour  préciser  le  signe 

(A)  r/(S)  =  n|(— l)^+i/>/,  i. 

Si  par  exemple  «  =  i-  et  (jue  S  comprenne  i  cycle  de  4  letties,  2  de  .'>  lettres, 
3  de  :>.  lettres  et  2  d'une  lettre,  nous  aurons 

,7(  S  )  =(  —  />,  \{h;,)-{—h,  r(6|  )^=  h.hlh'il)']. 

Il  faut  maintenant  calculer 

a„  =  -rt(S  j. 

la  somm  iliiin  étant  étendue  aux  ditlérentes  permutations  .S  tie  u  Ictlres.  ?\ou> 
devons  donc  rechercher  combien  il  a  a  de  permulalions  comprenant  a  cvcles 
de  y.  lettres,  b  cycles  de  (3  lettres,  c  cycles  de  y  lettres,  d  cycles  de  0  lettres,  etc. 
En  d'autres  termes,  de  combien  de  manières  peut-on  répartir  /(  lettres  en 
a  groupes  de  7.  lettres,  b  de  3,  c  de  y,  d  de  0  lettres,  etc.?  On  rangera  les 
letlres  dans  les  différents  ordres  possibles  qui  sont  au  nombre  de  /;  !  ;  on  prendra 
ensuite  les  a  premières  lettres  qui  nous  donneront  le  premier  groupe,  puis  les 
a.  suivantes  qui  nous  donneront  le  second,  et  ainsi  de  suite  jusciu'à  ce  qu'on 
ait  les  a  groupes  de  y.  letlres;  on  prendra  ensuite  les  [3  letti-es  suivantes  pour 
former  le  premier  groupe  de  (3  lettres,  et  ainsi  de  suite.  On  obtiendrait  ainsi 
/(  !  solutions,  mais  elles  ne  sont  pas  distinctes;  on  obtient  la  même  répartition 
en  perniiitant  cirriilffirernrnl  les  lettres  d'un  même  groupe,  ce  (pii  nous  oblige 


330  REMARQlIliS    DIVERSES    SUR    I,  EQUATION    DE    FREDHOLM. 

à  diviser  par  a"|3*y' ô'.  .  .  ;  on  obtient  la  même  répartition  en  permutant  d'une 
manière  quelconque  les  dis'ers  groupes  qui  sont  formés  d'un  même  nombre  de 
lettres,  ce  ijiii  nous  oblige  à  diviser  par  alblcldl  .  .  .  ;  le  nombre  cherché  est 
donc 


■j."^''-,"  i''  ...a'.0\  c\d\... 
On  aura  donc 


^2<'P*Y"o''...«!  6!  c\  iV.  ..  . 

Xf(— l)»+i6al"[''  — I  13+163  l''|(—I)T^-'^y  ]'■[(— 1)5+' 65  I''.     .. 

Les  entiers  y.,  3,  y^  0,   .  .  . ,  a,  h,  c,  d,  .  .  .  sont  assujettis  à  la  condition 

2  a  -=-  [j  6  —  7  c  —  0(/  -'...=:  n. 
On  a  donc 

'h,  _       t-ii" (-''A"/-hY(- '": Vf- ''■' \ ■' 

n\        a\l>\c\,l\  ...\      -j.      )    \     3      I    \     V     /   \     o     /    ' 
Il  vient  ensuite 

(  -j  I     I  )  (  /.  I  =    > 

^      Il  : 

Zj(r'./>\c\,r....\        2        /    \        .3       J\        ■;       )\       0       j 
de  sorte  que  L)^^/.)  se  présente  sous  la  forme  d'un  produit 

-Mais  la  sonimatinn  est  immédiate  el  Ton  trouve 

9a=P       *    ;  log?a  = ^> 

a 

d'cjll 

I  ()  1  IogD(/,  )— — > 

et  en  prenant  la  dérivée  logarithmique  de  1)(/) 


rj'(  >.) 


;.^-'/>,. 


Ces  formules  ne  sont   pas  nouvelles,  elles  ont  été  énoncées  par  Fredholm 
qui  les  a   découvertes   par   une   vole   dillerenle   {Acta  mathematica,   t.   27, 

p.  :5S1). 


REMVRQIRS    tlIVIînSES   SUR    I.'kQL'ATION    DK    FREDHOI-M.  îSg 

Appliquons  la  iiiènie  nnalvse  au  calcul  de  N(/.  )  et  du  dclerminanl 

/x,  .r,,  .X., /-«N 

■   \y,  3-,,  œ.,, '•„/ 

Clia([ue  terme  se  présentera  sous  la  lornie 

±n/(.ra,  .r;i,   ....  .r|j.'). 

sauf  que  lun  des  facteurs  sera  remplacé  par 

(8)  /(.r,   r  ;  .r^i.  X'i, rx)  =./"(.r,  .ra).A(-«'a-  ■'•'^')  •  ■■/(■n,   V) 

Si  nous  posons 

/(  .r,   y  ;  j-^,  .r^ ri)  (U,.  d.rrj, .  .  .  i/.ri  =  //,+,  (  .r.  y), 


P 


cette  intégrale  ne  dépendra  que  du  nombre  /.  des  variables  x^,,  x^,  .  .  .,  x;.  par 
rapport  auxquelles  on  intègre;  c'est  ce  nombre  qui  figure  dans  l'indice  /,  +  i  • 
Cette  fonclion  fk+,{-f,  r)  n'est  autre  chose  que  ce  qu'on  appelle  le  noyau  itéré 
d'ordre  A"  +  i .  (  )n  aura  d'ailleurs 


=/. 


fiA  ■''.  ■>■  )  il.r. 


Si  alors,  par  analogie  avec  les  notations  adoptées  plus  haut,  nous  désignons 
par  T'(S)  un  quelconque  des  termes  de  notre  nouveau  déterminant  et  |iar 
a'(S)  l'intégrale  de  T'(S),  nous  trouverons  comme  plus  haut 

avec  la  condition 

h        )LI.  =  n. 

Le  fadeur  yy,^i  (./■,  ))  provient  de  l'inlégrallon  du  facteur  (  S)  et  les  divers 
facteurs  bi,  de  l'intégration  des  autres  fadeurs  de  la  forme  /(  .Ta,  '(i,  •  .  .,  '),). 

.le  puis  encore  écrire 

ii'i  <,)-{  —  -[  )i'l'i,_^^,n  S'  I. 

OÙ  S'  est  la  substitution  qui  permute  enlie  elles  les  lettres  qui  figurent  dans  les 
facteurs  autres  que  le  facteur  (  K  )  et  de  la  façon  indiquée  par  l'ordre  de  ces 
lettres  dans  ces  divers  facteurs.  Si  alors  nous  désignons  par  r/^,  l'intégrale  de 
notre  déterminant  lui-même,  il  viendra  en  remarcpiaut  qu'on  obtient  aut;int  de 

fois  le  même  terme  qu'il  y  a  de  manières  de  choisir  les  h  lettres  X:^,  .rvj, ', 

qui  figurent  dans  le  facteur  (S):  c'est-à-dire  aulant  de  fois  qu'il  y  a  d  arrange- 


56o  REMARQUES    DIVERSES    SUR    L  ÉQUATION    DE    FREUHOLM. 

«  ! 

menls  dv  /i  lellres  h  à  h  :  c'est-à-dire -7-,  ■> 

'  n  —  /i  ■ 


"  1! 
ou 


«;,  =^<  — 1  V'./'/,+,  «„-/,  ^^  _"^^ 


don  enfin 

Celte  formule  s'obtiendrait  immédiatement  en  chercliant  à  développer  suivant 
les  puissances  de  /.  la  solution  de  l'équation  (  i  ). 

Bien  que  les  séries  (6  ),  (  -  )  et  (  ()  )  ne  convergent  que  pour  les  petites  valeurs 
de  À,  leur  considération  peut  abréger  le  calcul  des  termes  des  séries  D(À) 
et  X(/.),  qui,  elles,  convergent  toujours.  Mais  ce  n'est  pas  là  l'usage  que  je 
veux  en  faire. 

II.         Cas  où  le  noyau  devient  infini. 
La  fonction 

se  présente  sous  la  forme  dune  fonction  méromorphe  de  X;  mais  elle  peut  être 
mise  d'une  infinité  de  manières  sous  la  forme  du  quotient  de  deux  fonctions 
entières.  En  eflel.  on  pourrait  écrire 

N ( À )  ^  iN(À)C.(À) 
D(X)        D(X)G(X)' 

G(/.)  élaul  une  fonction  entière  quelconque  de  À;  et  si  l'on  \eut  que  la  h  action 
du  second  membre  reste  iriéduclihie,  il  stiflit  de  pi-endre 

Il(>.  )  étant  une  fonction  entière.  En  particulier  nous  pouvons  prendre 

X=  I 

Alors  le  dénoniin.ileur  D("/.)G(A)  reste  une  fonction  entière,  et  le  développe- 
ment de  son  logarillime  est  le  même  que  celui  de  iogD('/.  )  en  supprimant  les 
n  premiers  termes. 


REMARQUAS    DIVERSES   SUR    LKQIATION    DE    FREDHOLM.  56l 

Ces  considérations  prennenl  surtout  de  l'intérêt  dans  les  cas  où  la  méthode 
de  Fredholm  ne  s'applique  pas  immédiatement,  et  où  il  faut  recourir  à  la  géné- 
ralisation exposée  par  Fredholm  pages  384  et  siiiv. ,  par  le  moven  des  noyaux 
itérés. 

f-ia  méthode  de  Fredholm  s'applique  immédiatement  quand  le  noyau  _/  reste 
partout  fini;  supposons  maintenant  que  les  premiers  noyaux  itérés 

./;  u  ■■■•  /-. 

deviennent  infinis,  mais  que/,,  et  les  noyaux  suivants  /'„+, .  .  .  .  restent  partout 
finis.  Nous  supposerons  de  plus  que  les  intégrales 

i  fii^-  y)'^(y)''ly         (/  =  !.■>,  ...,adinf.) 

restent  finies.  Toutes  ces  conditions  sont  remplies  dans  l'hypothèse  faites  par 
Fredholm  dans  son  paragraphe  0,  c'est-à-dire  si  le  noyau  f{x,  y)  ne  devient 

infini  que  pour  x  ^  j^  et  comme  {x  — y  y-  où  y.  < 

L'équation  (i)  du  paragraphe   1   peut  alors  être  remplacée  par  la  suivante  : 


(  I   hix  I 


z{:c)  =  A"    /  /„(■'•.  y)  'fiy)i/j--}-e{.-K), 


ou 

Bi.r)  =  ■!/(  ./-i  —  /  .!>(■  |.';[À/-j-  X2/2  +  . .  .-^  /,«-•/„-,]  //y 

est  une  fonction  connue.  La  méthode  de  Frediiolm  est  alois  immédiatement 
applicable  à  l'équation  (i  bis)  que  l'on  peut  résoudre  par  une  formule  ana- 
logue à  la  formule  (2)  du  paragraphe  1,  où  l'on  remplace  seuU'uienl  >.  par/.", 
f  par  /'„,  et  'j/  par  0.  Si  nous  convenons  d'écrire  N(/,,  /  )  etD("/.,  /')  au  lieu  de 
l\(À)  et  L)(},)  pour  mettre  en  éviden<c  la  fonction  /',  la  nouvelle  formule 
pourra  s'écrire 

(  a  '■"■'■■  )  9  (  X  )  =  e  (  .,■  )  +  /,  "   I  H  (  r  j  j))y''n    f{  ''y 

ou  bien  encore 

(  -7.  trv)  z  ,  ,,■  ,  =  ^h{,r)  ^  if'h(y)  177X^77)  'O--' 

Pcjur  définir  N,(/.),  nous  poserons 

et  nous  aurons  alors 

^  I  ('■/.)  =  FC/-,  ri  n  ()."/■„!    -À"  \(  )."./■„  )  -^  )."-^i    /   "^t  '•",  /'«;  ■'■,  z)¥{z.  y  }>/:-. 
II.  1'.  —  III.  -1 


562  REMARQUES    DIVERSES    SIR    L  ÉQUATION    DE    FREDIIOLM. 

La  fonction 


D{A",/„) 

se  présente  sous  la  forme  d'une  fonction  mi'ronior|jlie  :  et  nous  sommes  certains 
que  le  numérateur  et  le  dénominateur  sont  des  séries  entières  toujours  con\er- 
nenles.  Mais  il  n'est  pas  certain  que  celte  fraction  soit  irréductible;  il  est 
même  aisé  de  se  rendre  compte  qu'elle  ne  l'est  pas  en  général.  En  efiel  la  for- 
mule subsiste  quand  le  nojau/est  toujours  fini  ;  mais  dans  ce  cas,  la  formule  (2) 
est  vraie  également,  de  sorte  qu'on  a 

Ni  (À)       _      N  (  •/■  ) 
D(À",/„)  ^  D(>,./i' 

le  dénominateur  de  la  première  fraction  admet  tous  les  zéros 

À>,     >..,     ... 
du  dénominateur  de  la  deuxième;  mais  il  admet  en  outre  tous  les  zéros 

3tÀi ,      aX., 

OÙ  y.  est  une  racine  /z''™'  de  l'unité.  Cela  numlrc  que  la  première  fraction  n'est 
|)as  irréductible. 

Le  problème  que  je  me  propose  maintenant,  c'est  dans  le  cas  où  les  premiers 
novaux  itérés  ne  sont  pas  pailout  [\n\s,  de  trouver  une  forinale  aiuiloi;ue  à 
la  formule  (2  fe/'),  mais  où  figure  une  fraclion  irrédticliùle. 

Je  vais  établir  que  le  résultat  est  le  suivant,  il  suffira  de  remplacer  dans  la 
formule  (2)  N(À)  et  D(>.)  par 

où  1I(>,)  est  l'ensemble  des  /;  — i  premiers  termrs  de  logD(>,).  Reprenons  le 
développement  de  ce  logarithme 

logDi/.)=— 2^-^, 

h,,  b-2,  .  .  .,  bn-i  peuvent  être  infinis,  mai>  h„,  />„+t,  ■  ■  ■  ^on\  finis.  Formons 
alors  la  série 


K(À)=- 


I  n  -h  i)  (  «  H-  2 ) 


Nous  montrerons  que  la  série  K(/,)  est  convergente  pour  les  petites  valeurs 
de  '/. ;  ipie  e"''  est  une  fonction  entière;  (pie 


REMARQUES  DIVERSES    SL'R    l'ÉQUATION    DE    FREDHOLM.  563 

est  égalemenl  une  fonction  enlièrc,  sauf  pour  jf:=j' auquel  cas  quelques-uns 
de  ses  coefficients  deviennent  infinis. 

Revenons  un  inslaut  iiu  cas  où   /'  reste  fini    et  reprenons  l:i  f(jiniule  (ij)  du 
paragraphe  1 

Si  nous  revenons  au  cas  ou  J„  est  le  premier  nojau  itéré  (pu  reste  fini,  et  si 
nous  cliangeons  À  en  À"  ety' en  /'„,  cette  formule  deviendra 


h-- 


ou  en  mettant  en  évidence  les  variables  ./■  al  y 

d'où  en  supprimant  pour  abréger  les  indications  "/"  ety„  devenues  inutiles 
(4)  /    j^ r/./-=2^/."''A„/,+„ 


et 

(5)  j    ^—^^.fkiy-  ■r)d.r,lr=.^\"i'  f /„,,+„(  .r,  r  )/,.(  y,  .r),lr,l_y 

n-i-/.-- 


=  Và"''/.„/,+,h 


Reprenons  notre  fonction  K.(/.),  nous  aurons 

<'K       ,        ,        .     ,  ,        , 

le  second  membre  peut  s'écrire 

>,"-!  •LK"''b„„+„  +  À"  SA"'' A„ /,+„+,  -;-... 

ou  bien 

(0)  -...^^  f'^^.r-^''^  Xn^'^^^J'^J^f,,,y..rurr,ly. 


Comme    D  =  D(/,",/„)    et    N(x,  j)  =  N(À'',  /„;./,)- )   sont   des    fonctions 

7x 


entières  de  >.,  on  voit  que  l'expression  (6)  et  par  conséquent  ~  est  une  fonction 


méi-omorpiie  de  "k  et  que  les  infinis  de  cette  fonction  méroinorpbe  ne  soul  autre 
chose  que  les  zéros  de  D(X".  f,,). 


564  REMARQUES    DIVERSES   SUR    L'ÉOUATIO.N    DE    FREUIIOI.M. 

Or,  d'après  Fredholni,  si  l'on  a 

i>iÀK,./;,)  =  o 

et  si  Âjl  est  un  zéro  simple,  ce  que  je  supposerai,  il  exisleia  une  fonction  Wg^{-f) 
el  nne  seule  telle  que 

(7)  <?K(-r)  =  ÂK  j  rui  y )/„(■'<•■  y)  '()'. 

En  convenant  de  poser 

/  ?'.'■'.//''  ■'■■  .'''('■=  S/'ç;(  .r  ), 

d'où 

S/'[S'/if(.r)J.=  S/'+'/ç(.r), 

celte  relation  peut  s'écrire 

(y  /lis)  =">(•'•  ,1  =  ÀkS"çki'.''), 

on  en  déduit 

SçkC.'-  I  =  >.kS"+iSK(.r;  =  >.(|S"[S<fK(;.r)|, 

de  sorte  que  So,i(./)  sera  aussi  une  solution  de  l'équation  (7)  ou  (j  l'is);  comme 
celle  équation  ne  comporte  qu'une  solution,  on  devra  avoir 

Sçk(-'")  =  3c:K(-i'), 

V  étaul  un  coeflicienl  constant. 
On  en  tire 

S"ïk('',)  =  ""  rlvl  ■''>■ 

d'où  en  comparant  a\ec  (-  bis) 

I 

2"  =  —  1 

ce  qui  revient  à  diie  que  c.  est  éyal  à  ^1  à  une  racine  /;''""'  près  dt;  l'unité.  N'ous 

pourrons  toujours  choisir  A^  de  lelle  façon  (|ue  celte  racine  /("""■  soit  égale  à  1 
cl  que  l'on  ait 

?k(-'»")  =  ?.KSsK(.r). 

On  obtiendrait  un  résultai  analogue  dans  le  cas  d'une  racine  uuilliple;  je  ne 
reproduis  pas  ici  l'analyse  complète  qui  a  déjà  été  faile  l)ien  des  fois.  Cela  |)Osé 

reprenons  noire  lonclion  meromorpne  -yr  et  proposons-nous  tie  (ieterniiiier  le 

résidu  de  cette  ft)nclion  méroniorplie  pour  le  pôle  À  ^  "/.,,  el  poui-  les  pôles 
correspondants  a  =  x'/.^^,  y.  étant  une  racine  /)''""'  de  l'unité. 


REMARQUES    DIVERSES   SUR    l'ÉQIATION    1)K    I'RKOHOLM.  6(i5 

r'.licrclilins  d'abord  ce  résidu  pour 

Celte  expression  iiVst  autre  chose  que 

f/iogD  ("/,",/„  I 
77)7' 

Son  résidu  est  donc  —  i ,  si  l'on  considère  )/'  comme  la  variable  indépen- 
dante, c'esl-à-dire  que  le  terme  infini  st'ra  de  la  forme 


el  le  résidu  correspondant,  si  Ton  reprend  7.  comme  variable,  est 


n/.K 


c'esl-à-dire, /.^  "  pour  le  pôle  Àk  et (^''k)'    "  P'Hir  le  pôle  z/|^.  Pour 

le  premier  terme  de  l'expression  (6),  le  résidu  est  donc  -  tant  pour  le  pôle  X^ 

que  pour  le  pôle  a/,^.  Considérons  maintenaul  le  ternie  général  de  l'expres- 
sion (6),  c'est-à-dire 

T  -     •  J         J       i^  (^'.    K  )  -  ■  //  ■    1  .  1  -,  1 

Le  résidu  de       _  '     pour  /,"  =  /,,,  en  considérant  de  nouveau  A"  comme  la 

variable  indépendante,  sera  une  l'onction  de  .r  et  de  j-  de  la  lorme  Vk('  ) '-['kO')' 
en  vertu  d'un  théorème  connu,  d'après  ce  qui  précède  :  le  résidu  par  rapport 
à  "a"  de 

fB:^,,    - 

devra  être 

—  1  =  1   ^Ki-ej'lK^J- )  dx 
et  celui  de 

sera 

\   ?K (  .«••  j 'Ik (  J )  /■/,  (J-,  j: )  dx  dy. 

Mais  on  a,  d'après  l'équation  (8), 

/  ?k(-i-)/(7,  ■e)</-i-  =  S9u(j')  =  ^  çk(/) 


566  REMARQUES   DIVERSES   SUR    l'ÉQUATION    DIÎ    FREDHOLM. 

el  plus  généralement 


j    9  K<.i- ),//,(.>•,  -t-J'/j-  =  S/'9ii(7)  =   ~  rhiy). 


Le  résidu  chcrclié  sera  donc 

et  par  rapport  à  1 

-  i  ).lr"-''=^'-" 


nXjjÀ"-!  n 

pour  le  pôle  1  =  a};n.  Pour  le  terme  correspondant  de  l'expression  (fi),  qui  est 
afTecté  du  facteur  )i"+/'~' ,  il  faudra  multiplier  par 

de  sorte  cpi  on  trouvera 

I 
n 

Nous  avions  trouvé  pour  le  premier  terme  de  l'expression  ((i) 

I  _        I 
/i  n     ' 

de  sorte  (pie  le  résidu  lolal  de  l'expression  (6)  est 

- 1.  1  "■ 

Cela  fait  — i    pour  le  pôle  /.  =  /|^,   <"esl-à-dire  |)Our  a  =:  i ,  et  n  pour  le  pôle 
1  =  a>n  quand  a  est  une  racine  ji"'""'  de  l'unité,  dillérente  de  i . 

Ainsi,  l'expression 

'/l\  ,        ,        ,    , 

-^  =  —  '■'-'(>„  —  /."  b„+t~-... 

est  une  fonction  méromorphe  de  7  dont  tous  les  résidus  sont  égaux  à  i.  Donc 
l'expression 

sera  une  fonction  entière  de  )..  c.  q.  v.  n. 

Il  resterait  à  établir  que 

(9)  ^l"J),^,r'^'" 

est  éiialeinent  une  fonction  entière  de  ).. 


REMARQUKS    DIVKnSES    SUR    1,'ÉQUATION    DE    FREDIIOl.M.  667 

En  ellct,  niiiis  avons  ilaprcs  la  formule  (2  1er) 

re  qui  ni>ii>  prouve  i[ul'  l'exprt'ssion  (9)  est  une  fonction  mcromorplie  de  À,  qui  ne 
pourrait  devenir  inlinie  que  pour  D(/,",y'„)^o,  c'est-à-dire  pour  ).  =  l^  et 
pour  A  =  :z/,|^.  Comme  e^'"  s'annule  pour  >i  =>.,;,  nous  voyons  que  l'expression  (<)), 
c'est-à-dire 

1)       ' 

où  j'ai  écrit  D  au  lieu  de  D(/." ,  /„),  reste  finie  pour  À  =-  Âi,  :  il  nie  reste  à  montrer 
que  N|  (  >.  )  s'annule  pour  'l.  =  s:).,^  ;  ou  que  le  résidu  correspondant  de  j^  est  nul. 
Nous  avons  donc  à  évaluer  le  résitiu  de 

(.0)  ^=F-.X«%>:)-.X-/%i2K./3. 

Le  ])remier  terme  du  second  membre  de  (10)  ne  devient  pas  infini;  le  second 
a  pour  résidu 

n/.K 
et  le  troisième 

-T^,l^  ■■'■''■il"'    /   rK'-'' ''^ki -"•l*"'^-"-   y)'/^=  -tÎt^  y,2''>-K*''  /   vm.riiki --i/"/,i,  3.r.i"'-- 

Nous  sommes  donc  amenés  à  calculer 

Nous  démontrerons  ijientôt  que  l'on  a 

(11)  /  'Ihi  z  )/,,(  z,  y)  riz  ~  X'i~'''l\i{y), 

de  sorte  qu'il  viendra  pour  notre  résidu 

n  —  \ 
«Ali       -^J 

/'  =  ! 

et  pour  le  résidu  total  de  l'expression  (10) 

Il  —I 
.  „^|  /.iî  -!»'■'"  I  'i'Ki'v'i  /  3t'',     c'est-à-dire  zéro. 


568  REMAROIES    DIVEKSES    SUR    L  EQUATION    IIE    FREDHOLM. 

Donc  l'expression  (9)  ne  devenant  infinie  ai  pour  '/='/. f^  ni  pour/  =  3</^  est 
une  fonction  entière.  c.  q.  f.  d. 

Il  nous  reste  à  démontrer  l'égalité  (  1  1).  A  cot  effet,  remarquons  que  ^(y,  -f) 
et  fpiy,  x)  sont  à  f(y,  .v),  ce  que  N{.r,y)  et  //,('•,))  sont  à  /(j,  j).  Le 

résidu  de  j;  N(a-,  )•)  élanl  <f^{.f)'\i^{y)  et  par  conséqueni  celui  de  jTN(y,  x) 

étant  o^{y)'\iyi^{x),  nous  voyons  que  '-J'kC')  est  à/{y,.i)  ce  que  Oi^{u-)  est 
à  f{',y).  Alors  de  même  que  l'on  a 

ni\  9Ki'.r)  =  >.K    /   rK(  V)/»(J-.  .1- w/r 

et  que  Ok('^')  6st  la  seule  solution  de  celte  équation;  de  même  on  aura 

(12  ôis)  ■'■;'ii(-i-)  =  >-R  /  ■i'w(yKf"^y-  •'■)"'/ 

et  ■\('-)  sera  la  seule  solution  de  cette  équation.  De  l'équalicm  (i:>)  nous  avons 
déduit 

(ï3)  rh.(->^)  =  '^■fLjrK(y)/{J-;  y)  'ly, 

P   étant    une  racine  «'"""'  de  l'unité,    de    même    de    (12  bis)   nous   déduirons 

(i3ùis)  .iK(^)  =  ,3'ÀK  f'\'K(y)f(y,  ^)<ly, 

(3'  étant  une  racine  «'"'"''  de  lunité;  et  il  reste  à  l'aire  voir  que  (3  =  (3'=  i .  Pour 
cela  remarquons  quey',,^,  étant  toujours  Uni  conimey,,,  nous  pouvons  raisonner 
sur  l'un  de  ces  noyaux  comme  sur  l'autre.  Il  existera  donc  des  fonctions  <f'^{x) 
et  'J'k(x)  satisfaisant  aux  équations 

'•4)  rk'-i^)  = '(''-K  I  ^'s.(j')/(-v.  y)'f_y, 

(if,  ôisj  ■'i'K{-r)  =  y'àk  j  ■^^(fj/iy,  ^-j'/y, 

y  et  y'  étant  deux  racines  («  +  1)"""*  de  l'unité,  il  est  aise  de  vdir  que  y,,  est 
égal  à  'Jk)  et  'j'K  à  tj^u;  sans  quoi  on  aurait 


<f'K.(.i:)  =  T">-K  j  9Kiy)A(j;  y) ''y, 
'}k(-i-;  =  ï'"Âiî  fVn'y)f"^y,  •^)'^y, 


et  nous  devrions  conclure  que  D{l",f„)  admet  outre  la  racine  '/.'^  les  racines 
y"V^  et  y'"V^,  c'est-à-dire  plusieurs  racines  (deux  au  moins,  ou  une  racine 


REMARQUES    DIVERSES   SUR    L  ÉQUATION    IIE    KREDHOLM.  ^69 

double)  de  même  module  que  V^.  Cela  n'arrivera  pas  en  général  (et  il  est  aisé 
de  voir  comment  on  drvrait  raisonntsr  dans  les  cas  d'exco|ition). 
11  faut  donc  que 

ylv=?K.  'i'ii='^K,  ï  =  P-  T'=Î^': 

v'i  =  'i'i  ~  I ,  y'"  =  '('"  =  l",         T"  =  Y""^'  =  'i         ï'"  =  T'""*"  '  =  '  1 

d'où  enfin 

L'équation  (lo  6/5)  sécrit  alors 

(d  il  est  ais6  d'en  déduire 

ce  qui  n'est  autre  chose  que  l'équation  (11)  qu'il  fallait  démontrer. 

III.   —  Formation  de  la  fonction  méromorphe. 

On  peut  tirer  de  là  une  façon  de  calculer  les  divers  termes  du  développement 
du  numérateur  et  du  dénominateur  de  notre  fonction  méromorphe.  Nous  avons 
trouvé  plus  haut 

(,)  logD(/,)=-2^' 

formule  que  nous  avons  déduite  de  la  suivante  : 

Comment  pourrons-nous  passer  de  ces  développements  à  ceux  de  notre  nouveau 
dénominateur  e**  "  et  de  son  logaritiime  K(X).  Pour  passer  du  développement  (i) 
à  celui  de  K()v),  il  suffit  de  supprimer  les  n  —  i  premiers  termes,  c'est-à-dire 
de  remplacer  h,,  6j,  .  .  . ,  b,t_ ,  par  o:  on  obtiendra  de  même  le  développement 
de  e"  en  partant  du  développement  (2)  et  en  y  remplaçant  b,,  bn,  .  .  .,  bn-i 
par  zéro.  Soit  donc 

(26»)  gK,,V.^^(-^p». 

H.  1'.  -  III.  73 


57"  REMARQUES    DIVERSES   SUR    l'ÉQUATION    DE    l'nEDHOLM. 

Nous  avons  Iromé  plus  haut 

a,.=  Za{S)  =  -L  ±  ly^h'!^b''^l4 . .  . . 

Pour  obtenir  «', ,  il  suffira  dans  le  troisième  nipmhre  de  cette  double  égalité  de 
remplacer  /?,,  .  .  . ,  h„_^  par  zéro.  Mais  a(S)  provient  de  l'intégration  d'un  des 
termes  T(S)  du  déterminant 

/■/^■i,  -i--', ' 


et  />„  de  celle  de  la  l'onction  /(.ti,  a-,,  .  .  . ,  Ja).  D'où  la  règle  suivante  : 

Ouanrl  ic  noyau  deviendra  infini  pour  x^y  de  la  même  façon  que 
{x — yY  où  a  ■< ,  on  pourra  former  le  dèminiinatciir  de  notre  fonc- 
tion méromorphe  en  appliquant  la  règle  générale  de  Frcdliolm  :  et  par 
conséquent  en  partant  des  déterminants 

ff  Xi,  x-i,  .  .  . ,  .r,i  \ 

seulement  il  faudra  supprimer  tous  ceux  des  termes  de  ces  déterminants 
qui  contiennent  an  facteur  de  la  forme 

f{Xa.,  x<(„  Xy, XX,  j,-[j,)  =/(  ,Ca.  xtfi)f(x<^,  x.,)  .  .  ./(.fv,  J-|j.  )/(•'>.  J'a) 

les  lettres  Xy,,  x^,  x-^  .  .  .,  .?>,  x.^^  formant  un  cycle  de  moins  de  n  lettres. 

La  même  régie  s'applique  à  la  formation  du  numiralcur. 

Dans  le  cas  de  n  =  2,  il  suffira  donc  de  supprimer  les  facteurs  de  la  forme 
/'(.f,,  ./•,),  c'est-à-dire  de  remplacer  dans  nos  délerniinants  tous  les  ternies  de  la 
diagonale  principale  par  zéro.  Celte  règle,  dans  ce  cas  particulier,  axait  déjà 
été  trouvée  par  une  autre  voie  par  Hilbert  dans  le  dernier  paragraphe  de  son 
premier  Mémoire  {(lOttinger  Nachrichicn,  i()ii4)- 


IV.   —  La  question  du  genre. 


Fredholm    a   démontré    que   les   coefficients   de    la    fonction   entière^  D().) 
i 
décroissent  comme  (n")   -  ;  et  que  la  décroissance  est  plus  rapide  encore  quand 

le  noyau  f{x,  y)  satisfait  à  certaines  conditions  de  continuité.  Si  par  exemple 


RR.MVRQIKS    DIVERSES   SUR    L  EQUATION    DE    FREDHOLM.  571 

on  a 

J  l/(-'-, y) -/(■^, r') l< A I.)- -y  1=^, 

A  el  y.  ('iHiil  des  constantes,  les  coeflîcienls  a,,  flécroilroni  comme  («")         '. 

D'un  .iiilrc  côlé  Hadamard  a  démontré  que  si  le  /(''""'  coefficient  d'une  fonc- 
tion entière  est  do  l'ordre  de  (n")  ',  le  genre  de  cette  fonction  entière  sera  E, 
en  désignant  par  E -|-  i  l'entier  inimédiatemeut  supérieur  à  À.  Si  /T  est  entier,  il 
peut  y  avoir  doute  et  le  genre  peut  être  égal  à  /.  ou  à  À  —  i . 

Donc  le  genre  de  la  fonction  D(/, )  dépendra  de  l'exposant  y.  qui  figure  dans 

les  inégalités  (i);  il  sera  zéro  pour  a  >  -,  il  sera  au  [dus  égal  à  i   pour  x  >  o, 
«<-;  et  enfin  au  plus  égal  à  2  pour  st  ^  o.  Si  donc  le  noyau  a  des  dérivées 

premières  finies  de  sorte  (]ue  a  =:  1 ,  le  genre  de  D().)  sera  certainement  nul. 
Nous  pouvons  nous  demander  ce  que  devient  l'exposant  y.  quand  on  passe 
du  noyau  y'(a:,  }')  aux  noyaux  itérés  successifs.   Supposons  quL'  f(x.  j))  soit 
de  la  forme 

4'(x.  )•)  étant  holomorphe.  On  peut  alors  étaljlir  l'inégalité 

iM-e',  y)  -Ua;  y)  i<  A  1  x  -,i-'  ['--^ 
A.  étant  une  constante.  La  fonction 

sera  donc  nue  fonction  entière  de  genre  zéro  par  rapport  à  /.-  pourvu  que  l'expo- 
sant (1  —  'iy.)  soit  plus  grand  que  ->  cest-à-dire  pourvu  que 

I 
1 

Si  alors  le  noyau  f{j'.  y)  n'est  pas  partout  fini,  la  fonction  D(À,y')  n'existe 
|ias  en  général,  mais  nous  pouvons,  comme  dans  le  paragraphe  II,  former  les 
deux  fonctions  entières 

on  a  d'aiileur!. 

D(X-2, /.)  =  e^i'ig'»'-''. 

La  fonction  e^  '    sera  en  général  dans  ce  cas  de  genre   i,  de  sorte  que  e'*  ' 


5^2  REMABQIES    DIVERSES    SUR    L  EQUATION    DE    KREDIIOLM. 

sera  le  produit  d'un  certain  nombre  de  facteurs  primaires  de  la  forme 

e?'.(i-TÀ)- 

Le  facteur  primaire  corresjiondanl  de  e*^"~"  sera  alors 

e-P>'(i  +  YX) 
et  celui  de  D  (>.'-',  /"..)  sera 

ce  qui  explique  que  la  fonction  D().^.  /■,)  soit  de  genre  zéro. 

Les  résultats  des  trois  premiers  paragraphes  s'appliquent  sans  changement 
lorsque  les  intégrales  et  les  fonctions  connues  ou  inconnues  qui  figurent  dans 
IVquation  do  Fredholm  sont  des  intégrales  doul)Ies  ou  triples,  et  des  fonctions 
de  deux  et  de  trois  variables,  au  lieu  dêtre  des  intégrales  simples,  et  des  fonctions 
d'une  seule  variable.  Mais  il  n'en  est  pas  de  mèmi'  des  résultats  relatifs  au 
genre,  que  nous  venons  d'exposer.  Le  genre  ne  s'abaisse  plus  quand  les  inéga- 
lités (i)  sont  satisfaites,  ou  plutôt  il  s'abaisse  moins  i-apidcinent.  Un  résultat 
subsiste  toutefois,  et  c'est  le  seul  qui  nous  iniporte,  le  genre  de  D(/)  reste 
toujours  au  plus  égal  à  2. 

Comme  d'ailleurs  nous  avons 

D(X)  -      -'■       "" 
et  que  l'on  peut  écrire  en  décomposant  D(>.)  en  facteurs  primaires 

D(/.)  =  ll(i-£)eï-., 

À,  étant  les  valeurs  propres  de  l'équation  de  Fredholm,  c'est-à-dire  les  racines 
de  D(>.)  =  o  et  P,  étant  un  polynôme  du  second  degré  au  plus;  on  en  déduit 

D(/.)  -Zj /.-).('"  ZdZài'r'  ■  "'" 

il'oii  en  identifiant  les  deux  développements  de  -^  ^^  remarquant  que  IP,  ne 
peut  rionner  que  des  termes  de  degré  o  et  1  : 

égalité  qui  est  exacte  pour  n  >  2. 


REMARQUES   DIVERSES   SUR    l'kQI'ATION    DE    FREDHOI.M.  5yi 

V.  —  Tentative  de  généralisation. 

Au  paragrajilie  TI.  nous  avons  donné  une  règle  pour  former  noire  fonction 
méromorphe  de  À  quand  le  novauy'(j;,  y)  peut  devenir  infini,  tandis  que  lun 
des  noyaux  itérés  successifs/",, (a?,  y)  reste  partout  fini. 

On  est  naturellement  amené  à  penser  que  la  uiêini;  rrgle  restera  applicable 
dans  des  las  be;iucoup  plu^  généraux,  à  savoir  : 


i"  Si  les  intégrales 


/ 


f''i->-,y)'Hr)<r 


sont  tinies.  sauf  pour  des  \  aleurs  exceptionnelles  de  x. 

■a"  Si  en  même  temps  à  partir  d'un  certain  rarCg,  les  nombres  que  nous 
avons  appelés  b,,  sont  (inis. 

Il  est  clair  que  cela  peut  arriver  dans  des  cas  où  tous  les  noyaux  _/'„(. r,  j) 
présentent  encore  des  infinis,  et  l'on  peut  se  demander  si  les  régies  des  para- 
graphes II  et  III  peuvent  néanmoins  être  appliquées. 

Je  me  bornerai  au  cas  où  toutes  les  valeurs  propres'l.i  sont  réelles  et  posi- 
tives. Les  théorèmes  de  Hdbert  nous  permettent  de  reconnaître  dans  quel  cas 
cela  a  certainement  lieu.  Ainsi,  si  le  noyau  e^\.  symétrique^  les  /.,■  sont  certaine- 
ment réels;  ils  seront  positifs  quand  la  forme  quadratique  qui  correspond  ;'i  ce 
noyau  sera  définie;  et  par  e-xemple,  si  f\x^  y)  est  un  noyau  symétrique,  les 
valeurs  propres  relatives  au  noyau  redoublé /..(j;,  y)  seront  réelles  et  positives. 

Cela  posé,  nous  supposons  que  notre  noyau  f{.r.y)  symétrique  devient 
infini  pour  certaines  valeurs  de  x  et  de  )•;  par  exemple  en  certains  points 
singuliers  ou  sur  certaines  lignes  singulières  du  plan  des  jcy.  Nous  emploierons 
le  même  artifice  que  M.  Hilbert  à  la  lin  de  son  premier  Mémoire.  Nous  subdivi- 
serons la  pjirlie  du  plan  des  xy  à  laquelle  s'étend  l'intégration  (c'est-à-dire  par 
exemple  le  carré  o  <  .r  ■<  ■ ,  o<]j'<i,  si  les  limites  d'intégration  de  l'inté- 
grale de  Fredholm  sont  o  et  i).  Ce  carré  sera  ainsi  divisé  en  deux  aires  A  et  A' 
que  nous  assujettirons  aux  conditions  suivantes  :  i"  Tous  les  points  et  lignes 
singulières  devront  se  trouver  dans  A'.  2"  Chacune  des  deux  aires  A  et  A' 
devrait  être  symétrique  par  rapport  à  la  droite  x^y.  Nous  définirons  ensuite 
un  noyau  symétrique /'(iC,  y)  de  la  façon  suivante  : 

/■(■'■.,)■■)=./'(.'■.  .)!     (dans  A  1.         7' .  ./•,   1  )  ^  o     ûlans  A;. 


574  REMARQUES   DIVERSES   SUR    l'ÉQUATION   DE    FREDHOLM. 

Nous  désignerons  par  li  el  b„  les  valeiii-s  de  ces  quantités  qui  correspondent  à 
f{x,  )■)  et  par  A,  et  6„  les  valeurs  des  quantités  correspondantes  pour_/''(.r,  y). 
Nous  ferons  ensuite  tendre  l'aire  A'  vers  zéro,  de  telle  sorte  que  ).,  tende 
vers  li  et  b)  vers  O,,.  Le  nojaa  f  (x,  y)  étant  symétrique,  les  >,',  seront  tous 
réels,  et  nous  pouvons  nous  arranger  de  façon  qu'ils  soient  tous  positifs. 
Comme  le  noyau  /"(.r,)' )  est  partout  lini,  les  résultats  du  paragra[)lie  IN  seront 
applicables  et  nous  aurons 

Nous  supposerons  les  À,  rangés  par  ordre  de  grandeur  croissante.  Nous  aurons 

ensuite 

/;„  =  lim  li'i,. 

,1e  dis  d'abord  que  \  //„  tend  vers  une  limite  ]ir>ur  /;  =  x.  En  effet,  les  A,  étant 
réels  positifs,  les  quantités  yT*,,  sont  positives;  de  plus  on  a 

d'où 

i  1—1  I 

et  enlin 


'•  I  ^  "il  •  "ii+  I      -^  "n  • 

Les  (juantités  y///„  vont  donc   en  décroissant   quand   n   croît:    il  en  résulte 

qu'à  la  limite  les  quantités  '\/bn  iront  en  décroissant  quand  n  croît  (ou  du  moins 

ne  pourront  croître)  et  comme  ces  (|uantil('S  sont  positives,  elle>  tendront  vers 

une  limite  pour  «  =  oo;  cette  limite,  je  l'appelle  Ay' . 

Je  dis  maintenant  que  Ion  a 

À|  =  liiii  À'i . 

Observons  d'abord  que,   an  moins  si  u  es/  /mil ,  //,  va  en  décroissant  quand 
n  étant  constant,  l'aire  A'  diminue;  ou  a  en  effet 

'''-•/,=  /./;,(•'•■  ,r,i/;,i.i  ,  .'■  )'/.'■  </r. 
Mais  le  noyau  étant  symétrique,  cela  peut  s'écrire  , 

'''2n=J /;:-{■'■•  r )''■'■ '(y 

el  d'après  sa  définition  f,;(x,  y)  ne  peut  (pie  croître  (piaud  Taire  A'  diminue;  on 

aura  donc  si  n  est  pair 

f''„  <  /'„  ■ 


REMARQUES    DIVERSES    SUR    l'ÉQIATION    DE    FREDIIOI.M.  575 

Dé  plus  pour  ti  >/>,  (lapri's  notre  hypothèse,  les  quanlllés  b„  sont  (inies; 
nous  aurons  donc  si  p  est  un  nombre  pair  suffisamment  grand 

b',,=  r>:r"<i>,,. 

Les  quantités 

l>'n 

vont  en  croissant  quand  n  croîi  :  il  en  est  donc  de  même  des  limites  vers 
lesquelles  tendent  ces  quantités  cjuand  l'aire  A'  tend  vers  zéro,  c'est-à-dire  de 

I',. 

Les  quantités     "r'  et  -^  tendent  pour  /(  =  oc,  vers  les  mêmes  limites  que 
On  (>„  '  • 

les  quantités  v/i»,,,  \/bn,  c'est-à-dire  vers  ï.'~'  et  Xy'  ;  mais  elles  tendent  vers  ces 
limites  en  croissant,  tandis  que  y//,,,  \/6'„  tendent  vers  ces  limites  en  décrois- 
sant. Un  aura  donc 


d'où 

On  tire  de  là 


",  '-"  ^  /.'    ^  /)'  )  7'-"  ,''  /,     )  7'-" 
A  I         <^  "/i   ^   "/.A  i'  -^  O/,  A  i'  , 

A  I      ^,  "n    ^  ''/(  A  I 


Nous  ne  savons  pas  encore  si  X',  tend  vers  une  limite  quand  l'aiie  A'  tend 
vers  zéro:  mais  nous  pouvons  parler  de  la  limite  supérieure  et  de  la  limite 
inférieure  de  'A|  ;  je  veux  dire  (pie  À,  oscillera  entre  deux  limites,  dont  l'une 
tendra  vers  limsupX,  et  l'autre  vers  liminfX|  quand  A'  tendra  vers  zéro;  à  la 
limite  les  inégalités  (2)  deviendront  donc  puisque  (linii„=  />„)  : 


(3)  nmsupr.  ^^^^.,7^. 


liiii  int  A  1         ,  — ;  ,  ~;, 


Mais  comme  nous  pouNons   prendre   /(   assez   grand   pour  (|ue    les    seconds 
membres  de  l'inégalité  (3)  soient  aussi  voisins  de   i   que  nous  voudrons,  nous 

pouvons  écrire 

liin  sup  À'i    ,               lim  inf  À',  ^ 
;— ' S 1  ;  1^ >  I . 

Al  -  A,  - 

c'est-à-dire 

c.  y.  r.  II. 


',-6  REMARQUES   DIVERSES    SUR    l'ÉQUATION    DE    FREDHOLM. 

On  verrait  comme  plus  haut  que  les  quantités 

(  '>'„  -  >■',-"  )"  =  0-  -r"  -^  '■  :r" +•■•)'' 

vont  en  décroissant  quand  n   croît    indéfiniment,    et   que    l'aire    A'   demeure 
constante.  D'autre  part  on  a 

limC//,,— >,■,-")  =  />„— Xy" 

quand  n  restant  constant,  A   tend  vers  zéro.  On  voit  qu'i'i  la  limite 

décroît   quand    n    croît.    Cette    expression   pour  «  =  oo  tend    donc    vers    une 
limite  que  j'appelle  /.^' . 

On  verrait  ensuite  que  les  expressions 

"il '•  1 

et  par  ctmséquont 


A,,  —  /.," 
\ont  en  croissant  avec  n  et  l'on  en  déduirait  les  inégalités 

À2"<  /'«— AT"  <  (/'/'-  '■T'')>-r"  <  'v'-r". 

et  en  raisonnant  ensuite  sur  b„ — A^",  Z)„  —  À'"",  /.,  et  Àj  comme  nous  l'avons 
t'ait  sur  /(„,  A^,,  À,  cl  À,,  ncius  verrions  que 

lini  '/.'.,  —  À... 
Et  ainsi  de  suite. 

Je  dis  maintenant  que  si  nous  considérons  la  fonction 

|V(_A)  = '- '- . . .. 

c'est  le  logarithme  d'une  fonction  entière  de  7.  .Soit  en  ell'et 

'=* 
K,(;.;=K(>,)-Vlog(,-A)  =  -2T^'- 

Nou^  aurons  pour  q  ^ p 

r,,=  />„-Aj'/-\7,'/-...-lJ,''  • 

et  par  conséquent 

lim  v^Cy=  À/;?,. 

La  fonction  K,(/.j  est  donc  liolonior|)lie  pour  |À|<|).^||  ]  et  il  en  est  de 


REMARQUES    DIVERSES   SUR    l'ÉQUATION    DE    FREDHOLM.  iyj 

même  de  e"*'  ou  de 

Mais  nous  pouvons  prendre  h  assez  grand  pour  que  }./,+\  soit  aussi  grand 
que  l'on  veut.  On  a  en  effet  ' 

l>p  >  ).T''  ^Xt/'  +  ...+  l-^i'  >  h  X-f,'i , , 
d'où 

Donc  e^  reste  holomorphe  pour  un  module  de  ).  aussi  grand  que  l'on  veut. 
C'est  donc  une  fonction  entière.  c.  q.  f.  d. 

Il  faudrait,  pour  compléter  le  résultat,  démontrer  le  même  théorème  en  ce 
qui  concerne  le  numérateur  de  la  fonction  méromorphe;  je  me  propose  de 
revenir  ultérieurement  sur  cette  question. 

VI.  —    Équations  intégrales  de  première  espèce. 

Il  y  a  des  cas  où  la  méthode  de  Fredholm  permet  presque  immédiatement 
l'intégration  des  équations  intégrales  de  première  espèce,  c'est-à-dire  de  la 
forme 

/  ./■(•^i7)?(/)<>'  =  4'(-'^)> 

où   'ji(x)   est   donnée   et   'f(jK)  inconnue,  les  limites  de  l'intégrale  étant  des 
constantes. 

Soit  par  exemple 

(i)  /        <p(7)[e'^^'+'>/(^./)]«(r  =  4'(-^)- 

Dans  le  cas  de  \  =  o,  elle  se  réduit  tout  simplement  à  l'équation  de  Fourier 

d'où  l'on  tirerait 

^ —  » 
Posons  alors 

?(/)=  /         <^{z)e-i'-y  dz, 
H.  P.  —  III.  7* 


578  BEMARQUES   DIVERSES   SUR    l'ÉQUATION    DE    FREDHOLM. 

d'où 

l'équalion  (i)  deviendra 

^+» 

(2)  iK^(x)^A  ^{z)f{x,j)e-i~ydz.dy  =  'i^{x) 

J  —  se 

et  prend  ainsi  la  forme  d'une  équation  de  Fredholm,   où  $(;r)  est  la  fonction 
inconnue  et  où  le  noyau  est 

K{x,z)=J        f{x,y)e-i-ydy. 

Quelle  est  la  condition  pour  que  la  niélhode  de  Fredholm  soit  applicable  à 
Téquation  (2)  qui  peut  s'écrire 

•27c*(.r)H-X  Ç       <i{:.)K(x,z)dz  =  'l(x). 

*-  —  » 

L'intégrale  étant  prise  entre  des  limites  infinies,  il  faut  chercher  d'abord  à  la 

ramener  à  des  limites  finies;  c'est  ce  qui  est  possible  si  K.(a?,  z)  s'annule  pour 

;  ^  rh  00,  et  pour  j  :;  |  très  grand  est  de  l'ordre  de  j  5  |~'^,  où  /i  >  1 .  Si  nous 

posons  en  effet 

.r  =  tangf,         ;  =  tangÇ, 

l'écjuation  prend  la  forme 


•l>(lanf,'î)  k(lang|,  langÇ)-^7  =  l-Cang? 
71  cos-i: 


ou  mieux  encore  si  nous  posons 

X  =  tanj^'Ç,         3  =  tang*Ç, 

A'  étant  un  nombre  suffisamment  grand  pour  que 

ce  qui  est  toujours  possible  si  /i  >  i ,  notre  équation  deviendra 

/  dt 

k'\>{  tang-î- ■Ç)K(  lang* |,  tang^' t )  tang*- 1  Ç  - — ■—  =  J> ( tang* f  ) 
—  '  OS"  ». 

Nous  voyons  que  le  nouveau  noyau 

/.■K(tang'(?,  tang*r)  lang*-'î 


cos-Ç 


REMARQUES    DIVERSES   SUR    l'ÉQUATION   DE    FREDHOLH. 

se  comporte  pour  Ç  =  zh-^  comme 


579 


tanj;-<''Ç  taii^''-'? 


c'est-à-dire  comme 


cos-Ç 


(cdsÇ)*''"''-' 
et  par  conséquent  reste  fini  puisque 

/.A— A— 1>  o. 

Pour  préciser  davantage  nous  supposerons  que 

|K(:i-,  =)1<A;-'', 

A  étant  une  constante  indépendante  de  x  et  de  z,  et  Tinégalilé  subsistant  pour 
toutes  les  valeurs  de  a?  et  de  ;  depuis  —  00  jusqu'à  -\-  ce. 

A  quelles  conditions  cela  correspond-il  pour  /'(a?,  y).  11  faut  d'abord  que  l;i 
méthode  de  Fouriur  puisse  être  appliquée  à/(j7,j'),  c'est-à-dire  : 

1"  Que/(j:,  )■)  considérée  comme  fonction  de  )■  n'admette  ([u'un  nombre 
fini  de  maxima  et  de  miuima  (quelle  que  soit  la  valeur  constante  attribuée  à  x); 

2"  Quey"(a;,j^)  tende  uniformément  vers  zéro,  qu;ind  j'  tend  vers  l'inlini, 
et  cela  quel  que  soit  a;. 

Si  nous  supposons  de  plus  ([nef(x,  y  )  admet  des  dérivées  des  deux  pn-miers 
ordres;  que  -j-  tend  uniformément  vers  zéro,  quand _)■  tend  vers  l'infini  et  que 


,   .,  1  <  M : 


et  qu'enfin  -~  n'ait  comme  /'qu'un  nimibre  Uni  de  maxima  et  de  minima,  on 
aura  en  intégrant  par  parties  : 


I   fe-'->dy—  -  ft—'-)  -r-  ~T-    ~  e-'~y /    -r^  e-'-i  dy 


ou  en  prenant  pour  limites  j'  =  ±  qo 

|K(.-,.):<|-L|m    r"'^^  =  iLl. 


d'où 


Et  comme  d'ailleurs  j  K(x,  s)  |  reste  fini  même  pour  c  =  o,   on  voit  que  les 
conditions  sont  remplies  pour  que  la  méthode  de  Fredholm  soit  applicable. 


58o  •  REMARQUES    DIVERSES    SUR    l'ÉQUATION    DE    FREDHOLM. 

11  est  à  peine  nécessaire  d'ajouter  qu'elle  le  serait  dans  des  cas  beaucoup 
plus  généraux  et  qu'il  serait  aisé  de  déterminer. 

Cherchons  à  appliquer  le  même  principe  à  des  séries  analogues  à  celles  de 
P^ourier  et  écrivons 

O)  •H-r)  =  i:A„,fe''"^-(-/,e,„(a-)]. 

Partons  de  la  formule  de  Fourier,  en  posant 

■ir.A„,=  l        ziz)  €-••>'■- dz\         ç(3)  =  i:A,„e''"'--. 

notre  équation  de\  iendra 

(4)  i,{x)=  a(x)—  —    f      z(ztl.e-"":Q,„{.v):/:. 

Dans  l'équation  (3),  il  s'agissait  de  déterminer  les  coefficients  A,,,,  connais- 
sant les  fonctions  '4'(.'f)  et  ô,„{x),  c'est-à-dire  de  développer  la  fonction  donnée 
'\'(x)  en  série  procédant  suivant  les  fonctions  e""'  +  â9„, (a") .  Dans  l'équation 
transformée  (4),  il  s'agit  de  déterminer  la  fonction  inconnue  's{x)  connaissant 
la  fonction  4'(^)-  Les  deux  problèmes  sont  manifestement  équivalents,  mais  le 
second  se  ramène  à  une  équation  intégrale,  et  la  méthode  de  Fredholm  y  sera 
applicable  pourvu  que  le  noyau 

soit  toujours  liai. 

C'est  ce  qui  arrivera  évidemment  si  la  série 

est  absolument  et  unlformémeut  convergente. 

Soit  par  exemple  à  développer  4'(.3;)  pour  les  valeurs  de  x  comprises  entre 

o  et  2  7r,  suivant  les  exponentielles 

e'V-,,.'-, 

Nous  pourrons  ramener  ces  exponentielles  à  la  forme 

,■''"■      >,«,„ 
en  posant 

Or  on  a 

I  6m  I  <  I  }J-,„—  'Il  \x 

puisque 


-/ 


e",/l 

m  V 


REMARQUES   DIVERSES   SUR    LÉQUATION    DE    FREDHOLM.  58l 

et  que  |  e"  j  =  i .  Comme  j:  varie  de  o  à  2  r,  on  aura 

I  flm  l<  2  7:  I  ,U,„—  /Il  \. 

Il  suffit  donc  que  la  série 

-  I  Km—  '"  1 

soit    absolument   et    uniformément   convergente.    C'est   ce    qui    arrivera,    par 

exemple,  si  l'on  a 

I 

fi,„  =  m  ^ -• 

III- 

Ici  encore,  il  serait  aisé  d'étendre  le  résultat  à  des  cas  beaucoup  plus  étendus. 
Soit  maintenant  l'équation 


(5) 


•^0 


qui  diflere  de  (i)  parce  que  les  limites  ne  sont  plus  infinies.  Nous  ne  pouvons 
pas  nous  proposer  de  déterminer  la  fonction  inconnue  cp,  connaissant  la  fonc- 
tion ■]/;  el  cette  fonction  étant  quelconque;  le  problème  serait  en  général  im- 
possible. 11  suffit  pour  s'en  convaincre  tle  faire  )i  =  o;  on  voit  alors  que,  quelle 
que  soit  la  fonction  9(_)),  la  fonction  '^  sera  une  fonction  entière  qui  tend  vers 
zéro  quand  x  tend  vers  l'infini,  avec  un  argument  compris  entre  oetTï;  et  telle 
que  '^e~-''^-''  tende  vers  zéro  quand  jc  tend  vers  l'infini  avec  un  argument  compris 
entre  r.  et  271.  La  fonction  i^  ne  peut  donc  pas  être  choisie  arbitrairement. 

Ce  que  nous  nous  donnerons,  ce  sont  les  saleiirs  '!/(/»)  (|ue  prend  la  fonction 
ij/  quand  x  prend  une  valeur  entière  positive  ou  négative.  Il  est  aisé  d'ailleurs 
de  se  rendre  compte  que  ces  vnleurs  4'('")  suffisent  pour  déterminer  une  fonc- 
tion entière  satisfaisant  aux  conditions  que  nous  venons  d'énoncer. 

Posons  encore 

o(s)=  2  A, „<■-'■'"=,  i.T.K,„=  f      <f{z)ei"'-dz. 

L'équation  (5)  devient  alors 
(6)  2;tA,„+X   f      Z\,,e'''/'yfim,j)dy  =  '\,{iii). 

Celte  équation  doit  permettre  de  déterminer  les  coefficients  A  et  par  consé- 
quent la  fonction  inconnue  9,  quand  on  connaît  les  quantités  ^{in). 

Cette  équation  n'a  plus  la  forme  d'une  équation  intégrale,  mais  celle  d'un 
système  d'une  infinité  d'équations  à  une  infinité  d'inconnues,  tel  que  ceux  qui 


582  REMARQUES    DIVERSES   SUR   L  ÉQUATION    DE    FREDHOLM. 

ont  fait  l'objet  des  éludes  de  M.  ^onKocll.  L'analogie  des  deux  théories  est 
d'ailleurs  évidente. 

Pour  que  la  mélhode  soit  applicable,  il  faut  et  il  suffit  que  le  déterminant 
infini  converge:  il  suffit  donc  qu'il  soit  normal  au  sens  de  ÎM.  vonKocli,  c'est- 
à-dire  (jue  la  série  double  en  m  et  p 

converge  absolument.  Si/(m,v)  e^l  une  fonction  périodique  de  y  avec  une 
dérivée  seconde,  nos  intégrales  peuvent  se  transformer  par  une  intégration  par 
parties  et  la  série  (7)  devient 

Vr'~  p-'/'x 

Les  teruies  en  sont  plus  petits  que  ceux  de  la  série 

Il  suffit  donc  que  la  série 

!/■(/».  3) 

converge  absolument  et  uniformément,  ou  encore  que  l'intégrale 

J       f{.r,z),lz 

converge  absolument  et  uniformément. 

On  voit  par  cet  exemple  quelles  différences  il  y  a,  en  ce  qui  concerne  les 
équations  intégrales  de  première  espèce,  entre  le  cas  où  les  limites  sont  finies 
et  celui  dû  elles  sont  infinies,  cas  auquel  se  rattacherait  d'ailleurs  celui  où  le 
noyau  présenterait  des  singularités  entre  les  limites  d'intégration.  Je  me  réserve 
de  revenir  sur  cette  question  par  des  méthodes  fondées  sur  l'itération  des  noyaux 
et  qui  mettront  en  évidence  d'une  autre  manière  les  mêmes  particularités. 


NOTES   ET  ERRATA. 


1.    Pages  6  et  if\.  Sur  les  rr/uations  a  points  critiques  Ji-res  : 

I.  L'extension  des  recherches  de  Fuchs  el  de  Poincaré  a  donné  lieu  à  des  travaux 
imporlanls.  maintenant  classiques,  dus  essentiellement  à  MM.  Emile  Picard  et 
Paul  Painlevé  (')  et  à  leurs  élèves.  Nous  en  donnons  ici  une  bibliographie  som- 
maire, les  questions  soulevées  étant  loin  d'être  épuisées.  M.  P.  Painlevé  a  d'abord 
observé  que  les  raisonnements  de  Fuchs  et  de  Poincaré  doivent  être  complétés  : 
ils  sous-entendent  des  propriétés  des  solutions  de  l'équation  du  premier  ordre,  non 
encore  établies,  qui  ne  sont  plus  vraies  pour  les  ordres  supérieurs. 

Fuchs  exprime  que  toute  solution  de  léquation  F(j'',  y,  x)  =:  o  qui  prend,  pour 
un  point  arbitraire  jr=^u:„,  une  valeur  délerininée  y„,  est  uniforme  dans  le 
domaine  de  j:„.  Painlevé  démontre  (Thèse;  Sur  les  lignes  singulières  des  fonc- 
tions analytiques,  Paris,  1887,  p.  38,  et  Annales  de  la  Faculté  de  Toulouse,  1888, 
p.  38-07)  que  toute  solution  y(-r)  d'une  équation  V(y',  y,  a;)z=o,  où  F  est  un 
polynôme  en  y' ,  y  à  coefficients  analytiques  en  x,  ne  peut  admettre  comme  points 
singuliers  non  algébriques  que  certains  points  y?j;e,ç,  x^Ç,  mis  en  évidence  sur 
l'équation.  Si  les  coefficients  sont  algébriques  en  x.  ces  points  sont  en  nombre 
limité.  Il  n'y  a  donc  pas  pour  une  solution  y{x)  de  point  variable  x„  pour 
lequel  j'(x)  ne  tendrait  vers  aucune  valeur  déterminée  quand  x  tend  vers  x^. 

Au  contraire,  dès  le  second  ordre,  les  solutions  y{x)  peuvent  présenter  des 
points  transcendants  ou  essentiels  mobiles,  o'est-à-dire  variant  avec  les  constantes 
d'intégration.  Il  suffit,  par  exemple,  de  remplacer  dans  l'équation  précédente  x  par 
X -t- c  et  d'éliminer  c  entre  l'équation  et  sa  dérivée  pour  obtenir  une  équation  du 
second  ordre  en  )',  indépendante  de  x.  dont  les  solutions  possèdent  les  points  trans- 
cendants x  =  ^  —  c,  variables  avec  c. 

La  méthode  de  Poincaré  s'appuie  sur  l'existence  d'une  correspondance  bira- 
tionnellc  entre  les  valeurs  y{x),  y' {x)  et  les  valeurs  initiales  y„,  >''„,  mais  il 
démontre  seulement  que  cette  correspondance  est  biuni forme.  S'il  était  prouvé 
que  la  correspondance  n'admet  que  des  points  singuliers  isolés,  on  en  conclurait 
aisément  qu'elle  est  birationnelle,  mais  a.  priori  elle  peut  admettre  des  singu- 
larités plus  compliquées;  cela  arrive  pour  les  ordres  supérieurs.  Si  dans  la  rela- 

(')  Les  pa{;es  qui  suivent  étaient  écrites  au  moment  île  la  moi-t  de  l'illustre  yéomètrc:  elles 
peuvent  tout  juste  faire  pressentir  l'importanee  île  son  œuvre  dans  la  théorie  des  équations 
diflérenlielles. 


584  NOTES    ET    ERRATA. 

tion  1  =cp(j:,  )„.  j?„)  on  regarde  jc  et  jc„  comme  fixe?.  Painlevé  montre  que  si 
leurs  valeurs  diflfèrent  des  valeurs  ;.  pour  une  équation  à  points  critiques  fixes 
la  fonction  ^  de  la  seule  variable  )„  ne  présente  dans  le  plan  complexe,  même  à 
rinfioi,  que  des  singularités  algébriques.  Il  suit  fie  là,  sans  restriction,  que  la 
correspondance  entre  v,  i  '  et  i,,,  ^'i,  est  biralionnelle. 

Ces  propositions  ont  permis  à  Painlevé  d'étudiei'  les  équations  du  premier 
ordre  F(v,  y',  j:^)  =  o,  où  F  est  un  polvnonu>  en  i ',  r  à  coefficients  analytiques 
en  .r,  dont  ta  solution  i^vnérale  y(x)  n\icquierl  fjuc  n  déterminations  quand  .r 
tourne  autour  des  points  critiques  mobiles  (nécessairement  algébriques).  [La 
variable  jt  ne  tourne  donc  pas  autour  des  points  transcendants  ;.  c'esl-à-dire  que 
la  variation  de  l'argument  de  .r  —  1.  pour  tous  les  points  ;.  est  nulle  pour  tous 
les  contours  fermés  envisagés.  ]  >- 

'Le  résultat  est  simple  :  ces  équations  se  ramènent  algébriquement  à  des 
équations  à  points  critiques  fixes.  (Cf.  Leçons  sur  la  Théorie  analytique  des 
équations  différentielles,  professées  à  Stockholm  en  iSgS,  Paris.  t897.  p.  28-60 
et  \!\i-!\&2,  eV  Comptes  rendus  Acad.  Sciences,  Paris.  28  et  .3o  juillet,  .5  novembre 
1888.) 

La  recherche  des  équations  Vtj'.y,  .i)  =  o,  algébriques  en  i.  >'  à  coefficients 
uniformes  en  .r  dont  la  solution  générale  1  (.r)  est  uniforme,  ou  à  un  nombre 
fini  de  branches,  est  un  problème  beaucoup  plus  difficile  lorsque  ./  ligure  dans 
Péqualion.  Le  cas  simple  de  Téqualion  de  Hii-rali  n'est  pas  encore  traité. 
(Cf.  1^.  Painlevé.  Leçons  de  Stoc/diolm.  p.  3i<)-238  et  une  Aote  étendue  dans 
l'ouvrage  de  Pierre  Boutroux  :  Leçons  sur  les  fonctions  définies  par  les  équations 
différentielles  du  premier  ordre.  Paris.) 

La  question  a  été  reprise,  avec  les  méthodes  de  I'.  Houlroux.  par  J.  .Malmquist 
(Acta  mathematica.  36.  1910,  p.  297-343)  pour  les  équations  où  y'  est  rationnel 
en  X  et  r.  Cf.  aussi  les  résultats  curieux  obtenus  ]iar  M.  IVtrovitch  (Comptes 
rendus  Acad.  .Sciences.  118.  iSg^,  p.  1190.  et  Thèse.  Paris.  iS9.5:  aussi  E.  PicABD, 
Traité  d' .inalyse.  111.  3'  édition,  p.  37S). 

II.  Les  mêmes  questions  se  posent  pour  les  é(|uations  du  second  oidre.  algébri- 
ques en  )•".  )•'.  )•,  analytiques  en  x.  Quelles  sont  les  équations  à  points  critiques 
fi. ces?  Parmi  celles-là.  quelles  sont  celles  dont  la  solution  i;énérale  v(.r)  est  une 
fonction  uniforme  ou  à  un  nombre  fini  de  branches?  Peut-on  les  intégrera  l'aide 
de  fonctions  unifoimes  déjà  définies  ou  déterminent-elles  des  transcendantes  nou- 
\  elles'.' 

M.  E.  Picard  a  consacré  à  ces  questions  entre  1880  et  iSgà  plusieurs  Mémoires  et 
de  nombreuses  Notes  (cf.  Comptes  rendus  Acad.  Sciences,  Paris,  91,  1880,  p.  724; 
103.  1886.  p.  549;  lO'f.  1887,  p.  41;  11'*,  189-'-  P-  '3io;  116,  1898,  p.  .365;  117. 
1898.  p.  472  et6o3;  1-20.  1895,  p.  402).  Citons  en  particulier:  Sur  une  propriété 
des  fondions  uniformes  d'une  variable  liées  par  une  équation  algé'  rique  et  sur 
une  classe  d'équations  différentielles  (Bulletin  Se.  math.,  k,  1880.  p.  4i6-432); 
Mémoire  sur  les  fonctions  algébriques  de  deux  variables  {Journal  de  Liou ville. 
5.  1889,  p.  228-249  et  268-819);  Remarques  sur  les  équations  différentielles 
(Acta  mathematica,  17,  1898,  p.  296-800);  Sur  une  classe  de  transcendantes 
nouvelles.    18,   1894,  p.  i88-i54;  23.   1900,  p.  838-887;  Sur  l'inversion  des  inté- 


NOTES   ET    ERBATA. 


585 


grales  à  multiplicateurs  {American  Journal.  16.  iSg'i.  p.  111-123),  el  Traité 
(T Analyse,  t.  III,  3''  pdition.  1937,  p.  67-81. 

M.  Picard  s'occupe  d'abord  des  équations  algébriques  de  la  forme  F(j",  ))=:o. 
puis  de  >■"=  1 '- A(  )■)  et  détermine  tous  les  cas  où  la  solution  générale  y  est  uni- 
forme en  x:  on  n'a  pas  ainsi  de  fonctions  nouvelles. 

Passant  au\  équations  )•"=  R()',  )•),  oii  H  est  rationnel  en  v'  et  )•,  M.  Picard  a 
donné  des  conditions  i«//«a/i<e5  pour  que  j(x)  n'ait  ni  points  critiques  algébriques, 
ni  points  transcendants  d'une  certaine  espèce;  la  solution  y{x)  est  à  apparence 
uniforme,  elle  n'est  pas  toujours  uniforme.  (Cf.  les  applications  particulières  de 
Forsyth.  Theorr  of  diJJ'erential  équations,  III,  p.  276-806;  Wallenbebg,  Journal 
de  Crelle,  119.  1898,  p.  87-118;  120.  1899,  p.  ii3-i3i.) 

Lorsque  x  figure  dans  l'équalion  et  qu'elle  a  la  forme 

y"  =  y'[aix)y  -^-  h(x)]-¥-  A(,r  )y^-i-  B(  x)y--^-  Cl  x)y  -^  D(j-). 

M,  E.  Picard  a  donné  deux  conditions  pour  que  )  (x)  présente  des  pôles  mobiles; 
Painlevé  (Acta  mathematica,  25,  1902,  §  30)  a  montré  que  ces  conditions,  non 
nécessaires,  sont  suffisantes  et  qu'on  peut  former  toutes  les  équations  qui  y  satis- 
font. Dans  le  cas  oii  les  coefficients  «.  ....  \.  ...  sont  constants,  Mittag-Lœftler 
{Acta  mathematica.  18,  1894,  p-  233-245)  etPi-ansén  ont  prouvé  que  les  conditions 
de  M.  Picard  entraînent  lintégrabilité  de  l'équation  par  les  fonctions  uniformes 
élémentaires. 

La  grande  difficulté  de  l'étude  des  équations  du  second  ordre  à  points  critiques 
fixes,  reconnue  par  M.  E.  Picard,  est  dans  l'existence  de  points  transcendants  ou 
essentiels  mobiles.  La  solution  de  l'équalion 

V(x.y,y) 

■^    <->'■'•, y, y)'    . 

définie  par  les  valeurs  initiales  ;  )„,  l'o  pour  j  =j"„  présente  en  général  un  point 
transcendant  quand  ces  valeurs  initiales  annulent  à  la  fois  P  et  Q. 
Pour  l'équation 

.„  •  '-  K  —  I  ) 

y  =  y  —^ r 

(  '  -+-  y  )  ■ 

dont  la  solution  générale  est 

y  =  tang[  log  A(  .r  —  ai, 

lorsque  X  tend  vers  a  dans  une  direction  quelconque,  v  est  indéterminé  :  ce 
point  est  essentiel  et  critique. 

L'équation,  rencontrée  par  M,  E.  Picard,  retrouvée  et  étudiée  plus  tard  par 
Painlevé, 

\f  =  yi  1  y  [  -2  l<\y^-  _(  i  -+-/,=  ,]  -h  ^  ^  Â  | , 

oii  A:=(i— _y-)(i  —  A",}')  et  }.  est  une  constante,   est  telle  que  1  (.;)  n'a  comme 

point  singulier  algébrique  que  des  pôles;  toute  solution  j-  qui  tend  vers  une  valeur 

déterminée,  finie  ou  non,  quand  x  tend  vers  x„  est  holomorphe  on   méromorphe 

H.  r.  -  ni.  74 


586  NOTES    ET    EHR4TA. 

pourx  =  oro.  Cependant,  comme 

y  —  î/i<-,[  X  logA(,/-  —  a  )J, 

le  point  ^  =  (7  661  un  point  d'indétermination  complète  pour  >;  sur  un  chemin 
donné  tendant  vers  (7,  quel  qu'il  soit,  r  ne  tend  vers  aucune  limite  et  une  infinité 
de  déterminations  de  r  se  permutent  autour  de  ce  point,  à  moins  que  nitû.  ne  soit 
une  période  ou  fraction  de  période  de  sn^-.  l'ourque  »■  soit  à  points  critiques  fixes 
(ici  uniforme),  il  faut  et  suffit  que  celle  condition  soit  remplie  :  2«7iÀ  est  période 
de  snk-.;  on  ne  sait  pas  le  reconnaître,  >,  el  A  étant  donnés,  par  un  nombre  limité  de 
calculs. 

M.  E,  Picard  a  obtenu  enfin  {Acta  niathematica,  18,  iSg'i.  p-  i33).  en  partant 
de  fonctions  uniformes  définies  directement,  des  é(iuations  difi'érentielles  à  solution 
générale  unifoinie,  mais  il  a  reconnu  que  celte  solution  dépend  algébriquement 
des  constantes.  Ces  équations  sont  alors  réductibles  aux  quadratures  ou  aux  équa- 
tions linéaires  (cf.  Fainlevé,  Leçons  de  Stockholm,  p.  35i-394). 

La  méthode  par  laquelle  P.  Fainlevé  a  obtenu  de  nouvelles  conditions  néces- 
saires à  la  fixité  des  points  critiques  est  très  simple  en  principe  :  elle  consiste  à 
introduire  dans  les  coefficients,  supposés  holomorphes,  du  système  dillerentiel 
étudié,  par  une  transformation  des  éléments  (variable  el  fonctions)  qui  conserve 
cette  holomorphie,  un  paramètre  variable  c,  tel  (pie  les  coefficients  soienl  aussi 
holomorphes  en  c/..  Si  le  système  a  ses  points  critiques  fixes  pour  a  ([uelconque,  non 
nul.  il  en  sera  de  même  pour  at  =  o  el  le  développement  des  solutions  suivant  les 
puissances  de  a  aura  pour  coefficients  des  fonctions  de  la  variable  à  points  critiques 
fixes. 

Un  choix  convenable  de  la  transformation  amène  pour<z=oà  des  équations 
simplifiées  pour  lesquelles  on  sait  exprimer  la  fixité  des  points  crilii[ues  ou  l'uni- 
formilé  de  la  solution. 

Cette  méthode  est  susceptible  d'applications  variées  (cf.  I'ainlbvé,  Acla  mathe- 
niatica,  23,  igoîî,  p.  82-85).  Les  équations  difierenlielles  qui  peuvent  être  à  points 
critiques  fixes,  ou  à  solution  i^énérale  uniforuie,  étant,  par  la  méthode  précédente, 
réduites  à  un  petit  nombre  de  types,  il  s'agit,  pour  celles  que  Voanepeul  intégrer 
à  Caide  de  fonctions  uniformes  définies  par  des  équations  du  premier  ordre  ou 
lies  équations  linéaires,  de  décider  si  les  points  critiques  sont  réellement  fixes,  ou 
si  la  solution  est  uniforme.  La  méthode,  imaginée  par  M.  Painlevé  pour  le  second 
ordre,  s'étend  au  troisième  el  aux  ordres  supérieurs,  mais  la  difficulté  de  son 
application  croît  avec  Tordre  de  l'équation. 

Les  résultats  essentiels  de  Painlevé  sont  résumés  dans  un  Mémoire  étendu  : 
Sur  les  équations  différentielles  du  second  ordre  et  d'ordre  supérieur  dont  l'in- 
tégrale  générale  est  uniforme  (Acta  mathematica,  25,  igoa,  p.  i-86);  la  déter- 
mination explicite  de  toutes  les  équations  à  points  critiques  fixes,  du  type 

y"  =  a(.r)y-(-  b{x)y--\-  c(.r  )y  -h  rH  x), 

et  la  démonstration  des  propriétés  fondamentales  de  l'éipiation 

(I)  y=fi/=-H.r, 


NOTES    ET    EllRATA.  5Bj 

qui  est  la  plus  simple  de  celles  qui  délinissenl  des  fondions  uniformes  (méro- 
morphes)  nouvelles,  sont  données  en  détail  au  Mémoire  sur  les  équations  di/fé- 
rentiflles  dont  l'intégrale  générale  est  uniforme  {Bulletin  de  la  Soc.  math,  de 
France,  28,  1900,  p.   iot-sôi). 

Une  omission  dans  les  tableaux  publiés  aux  Acta  matliematica  a  conduit 
M.  Gambier  à  reprendre  l'application  de  la  méthode  de  l'ainlevé  (Comiiles 
rendus  Acad.  Sciences,  Paris,  143,  1906,  p.  -,'|  1 ,  et  Acta  matliematica.  33,  1910, 
p.  1-55);  c'est  ainsi  qu'a  été  trouvée  léquation 

I  \  1 1  y  =  -  {  -  -; 1 1 ! —  )/-—  (  -  H !—  -H  - — ! —  )  y' 

'i  \y      y  —  i       r  —  .rl"  \  j-       ./■  —  1        r~  xj- 

if          'yr        -ix  —  w        ,j(.r  — 1)1 
\  J.-^   —  -t- h  o 

[         y-        (  >•  —  11=         (  v  —  ./■  I-  J 


yi  y  —  \M  y  —  ./•  1 


y       ,  >-i  )•  -(-  1) 

—  -I-  <j- — = 1 

c  (  i--  —  1 ,1 


.r-[x  —  I)- 

(y.,  (3,  y,  (î  constantes).  Painlevé  montre  alors  (Comptes  rendus  Arad.  Sciences, 
Paris,  143,  1906,  p.  iiii)  que  cette  équation  (\lj  donne  par  dégénérescence  les 
cinq  équations  : 

\>.y       y  —  \}-'  X  X'-       \  -         y) 

i,                •.          V'          i      ..         ,                           .                         '!' 
(  I  \  I      >'   =  ^ 1 —  y-^  I  xy-  -\-  ■ii.x-  —  '^ij'H ) 

(III)      y   =  ^ ^  -h  -^ -+-  VJ'-f-  -  , 

^       '      -^  y  X  X  y 

1")      y"  =  -'-y'-^-'y-^^, 

(1)  y  ==  ti_K--l- -r. 

Ces  six  équations  sont  les  tyi'es  auxquels  se  ramènent,  algébriquement,  toutes 
les  équations 

y"  =  R I  y',  y,  x  ), 

où  R  est  rationnel  en  y',  algébrique  en  i  ,  analytique  en  jc  dont  les  points  critiques 
sont  fixes  et  qui  ne  s'intègrent  pas  à  l'aide  de  fonctions  uniformes  classiques 
(données  par  des  équations  du  premier  ordre  ou  par  des  équations  linéaires). 

La  solution  générale  de  (NI)  est  méromorphe,  ifi»// a«j;  trois  points  homologues 
(x:^o,  I,  30)  qui  sont  des  singularités  transcendantes.  M.  R.  Garnier  a  étudié 
)(x)  au  voisinage  de  ces  singularités  par  l'emploi  des  approximations  successives 
de  M.  E.  Picard  (Ann.  Éc.  A'orm.,  34.  1917,  p.  239-253). 

La  solution  générale  de  (1)  esl  partout  méromorphe;  les  égalités 

y=,ol,x,x^,,y^,,y„),         y  =  J^' 

qui  la  déterminent,  expriment  entre  )•,  r' et  leurs  valeurs  initiales  une  correspon- 
dance biuniforme.  On  peut  écrire 

Y't Y  V" 


588  NOTES    ET    ERRATA. 

OÙ  Ç(j)  est  une  fonction  entière  définie  par  le  système 


h  2  r,  '  -I-  j-  T|  —  T,  =  o. 


F.  Boiilroux  a  étudié  en  détail  l'allure  des  solutions  )(j")  quand  j:  croit  indéfini- 
ment; une  transformation  simple  le  conduit  à  les  regarder  comme  asymptotes  aux 
fonctions  doublement  périodiques  (.J««.  Èc.  /Vor/»!.,  30.   igiS,  p.  gôô-SyS,  et  31. 

'9''!'  P-  99-139). 

La  solution  générale  de  (II)  est  encore  méromorphe  et  s'exprime  comme  quo- 
tient de  deux  fonctions  entières  qui  satisfont  à  une  équation  du  troisième  ordre. 

Quand  on  passe  à  (IIIj,  )'  a  un  point  transcendant  pour  x  =  o,  mais  si  l'on 
pose  j  =  e",  Y  est  méromorphe  en  u  et  F.  Fainlevé  a  montré  qu'on  pouvait  aussi 
l'obtenir  comme  quotient  de  deux  fonctions  entières  qui  satisfont  à  un  système 
du  troisième  ordre. 

Les  fonctions  méromorphes  (ou  entières)  définies  ainsi  ont  été  nommées  fonc- 
tions de  Pninleré.  La  raison  profonde  de  leur  nom-eaiité  doit  être  cherchée  dans  la 
théorie  du  groupe  de  rationalité  (au  sens  de  M.  Drach)  de  l'équation  aux  dérivées 
partielles  correspondante  : 

^•'         r)x       ày^        i)y  •' 

Four  toutes  les  équations  de  Fainlevé,  ce  groupe  est  le   groupe   infini,  primitif, 
simple,  de  transformations,  défini  par  l'équation 

9,  '^i  sont  deux  intégrales  de  \(/)  =  o,  formant  un  système  fondamental  et  satisfai- 
sant à  une  relation 


•Hr,y'^ 


M, 


où  M  est  un  dernier  multiplicateur  de  Jacobi,  rationnel  en  .r,  v,  v'.  On  parvient 
facilement  à  l'expression  de  M,  pour  f  VI).  en  remarquant  que  cette  équation  peut 
être  obtenue  en  annulant  la  variation  de  l'intégrale  simple 


oii  l'on  a  posé 

„  .r( X  ■ 


y<y  —  i){y  —  x) 
on  peut  prendre  alors 


y- 


jV{x,y,y')(lx, 

>      I  'yr        (  ./■  —  i)      .  .'1  .(•  —  ni 

-  ■ \  ^V  — Y °  ~i > 

'  -i-  —  1  •  L  y        LK  —  I  )        (y  —  -i)i 


r7-F  ïjf.l—  I) 


Four  (  I  )  et  (  Il  ).  on  a  simplement 

M  =  I . 

Toutes  les  fonctions  uniformes  définies  antérieurement  à  l'aide  d'équations  diflé- 
entielles   correspondaient    à    des    groupes    de    rationalité   finis   ( projectifs   ou 


NOTES    ET    ERRATA.  580 

linéaires);  il  y  a  donc  lieu  de  regarder  les  transcendantes  uniformes  de  Painlevé 
comme  de  nature  essentiellement  nouvelle  (cf.  P.  I'aislevé,  Comptes  rendus  Acad. 
Sciences.  Paris,  135,  27  octobre  1902  et  1902-t!)()3.  possini;  .1.  Drach,  Bulletin 
Se.  math.,  39,  igiS,  p.  i^g)- 

Une  autre  «  correspondance  »  allait  accroître  leur  intérêt.  Alors  que  M.  Gambier 
trouvait  l'équation  (VI),  M.  Richard  Fuchs  poursuivant  les  recherches  de  son  père 
]j.  Fuchs  et  de  M.  Schlesinger  sur  les  groupes  des  équations  linéaires,  la  rencon- 
trait aussi  (cf.  Comptes  rendus  Acad.  Sciences,  Paris,  141,  igoS,  p.  555,  el  Math. 
Ann.,  63,  1906,  p.  3oi).  Si  l'on  considère  l'équation  difFérentielle  linéaire  (E,)  à 
coefficients  rationnels,  réguliers,  possédant  les  quatre  points  singuliers  o,  i,  x,  oo 
et  un  point  ^'iw^aW^v  apparent  y, 

(E,) 


I    d-^z          a 
=    dt^    =--   l^-^ 

'J                                              - 

a 

■i 

1  ?  —  1  1-         (  ;  — 
a 

■  ■'■  ) 

-     '     ^1/  — Il     '     i 
b 

i(<- 

-y)- 

f{  I  ~  i)i t  —  .V)        t{t  —  \\{l—r) 

et  si  l'on  cherche  à  déterminer  )•  el  les  coefficients  en  fonction  de  .r.  de  manière 
que  le  groupe  de  monodromie  de(E,)  soit  indépendant  du  païamètre  x,  on  trouve 
que  )■  doit  vérifier  l'équation  (VI),  a.  (3,  y,  i5  ayant  les  mêmes  valeurs,  constantes, 
et  que  a  el  h  s'expriment  rationnellement  à  l'aide  de  v',  y,  x. 

L'équation  (  VI  )  est  ainsi  mise  en  relation  avec  le  problème  de  Riemann  qui 
consiste  à  déterminer  les  arbitraires  d'une  équation  didërentielle  linéaire,  où  les 
points  singuliers  sont  fixés,  de  manière  qu'elle  admette  un  groupe  donné. 

On  déduit  de  là  une  interprétation  des  intégrales  premières  de  (VI)  au  moyen  des 
transformations  linéaires  que  subissent  les  solutions  fondamentales  de  (F,)  quand 
t  tourne  autour  des  points  singuliers  (cf.  R.  Garnier,  Comptes  rendus  Acad. 
Sciences,  Paris.  159,  1914,  P-  396)- 

Tout  ceci  s'étend  à  un  ordre  quelconque,  c'est-à-dire  qu'en  partant  d'une  équation 
ditTérentielle  linéaire,  ou  mieux  d'un  système  linéaire  el  homogène  à  n  inconnues 
dont  les  coefficients  n'ont  que  des  pôles  simples,  comme  le  fait  F.  Schlesinger, 
l'étude  du  problème  de  Riemann  conduit  à  des  systèmes  difierentiels  qui  définissent 
des  transcendantes  dont  les  points  critiques  sont  fixes,  les  pôles  seuls  étant  mobiles 
(cf.  L.  Schlesinger.  Journal  fiir  die  reine  Math.,  123,  1901,  p.  i38,  el  Vorlesun- 
gen  liber  lineare  Differenlialgleicliungen,  Leipzig  iind  Berlin,  1908,  p.  7). 

Pour  le  développement  des  recherches  de  Painlevé  sur  les  équations  du  second 
ordre,  on  doit  citer  encore  J.  Malmqiiist  {Archiv  for  Math..  17,  22,  et  Comptes 
rendus  du.  h"  Congrès  des  Math.  Scandinaves,  1922,  p.  233-253)  et  F.  Tricomi 
{Atti  délia  r.  Ace.  dei  Lincei,  \ .  32,  1923)  qui  étudie  les  équations  du  second 
degré  en  y" . 

L'élude  des  équations  du  troisième  ordre  à  points  critiques  fixes,  commencée  par 
M.  Painlevé  {Acta.  mathematica,  25,  1902,  p.  67),  a  été  continuée  par  MM.  J.  Chazy 
el  R.  Garnier.  M.  ,1.  Chazy  {Comptes  rendus  Acad.  Sciences,  Paris,  14.5,  1907, 
p.  3o5,  et  Acta  mathematica,  34,  1910,  p.  3i6-386)  a  étudié  en  détail  la  simplifiée 
correspondante 

y"  =  (1 )  '—r  -t-  6(  )•)  r'  v" ^  ci  V)  v"-\ 


DgO  .NOTES    ET    ERRATA. 

OÙ  b(y)  et  f(  )')  sont  rationnels  et  où  n  est  un  entier  positif  ou  négatif,  ou  infini 
mais  diflTérent  de  —  i  et  de  zéro,  dont  la  solution  générale  est  uniforme. 

Pour  n^ —  2.  b(  »)^o,  on  trouve  les  fonctions  fuchsiennes  ou  kleinéennes  de 
Poincaré.  Lorsque  n  jzi  —  2.  M.  Painlevé  avait  annoncé  que  b(y)  et  c{  )  )  étaient 
de  genre  zéro  ou  un,  sauf  si  les  points  singuliers  de  j'(jr)  forment  un  ensemble 
parfait,  et  <]ue  j'  s'obtenait  avec  les  fonctions  uniformes  classiques. 

M.  R.  Garnier  reprenant  le  cas  b{y).  c{v)  rationnels  a  traité  en  outre  (Comptes 
rendus  Acad.  Sciences.  Paris.  Wà,  1907.  p.  3o8,  et  147,  1908,  p.  9i5)  le  cas  oii 
ces  fonctions  sont  de  genre  un. 

M.  Chazy  a  formé  une  équation  à  points  critiques  fixes  qui  donne  par  dégéné- 
rescence les  six  équations  du  second  ordre  de  M.  Painle\é.  mais  son  étude  n'est  pas 
terminée.  Il  a  également  étudié  quelques  équations  du  quatrième  ordre. 

M.  E.  Borel  avait  observé  (Comptes  rendus  Acad.  Sciences,  Paris,  138,  igoq, 
p.  3.57)  que  l'ensemble  des  termes  de  poids  le  plus  élevé  par  rapport  aux  indices  de 
dérivation,  dans  certaines  équations  dont  la  solution  générale  est  entière,  est  iden- 
tique à  un  imariant  d'une  forme  binaire 

«*"'-(-  n\  H"'-i'-i-.  ..-+-/(/."-'((' -H  X"  (/. 

Par  exemple,  les  trois  invariants 

uu" —  «'-,     UH'^  —  4  "  "    -•-  3//'-,     H«" —  f)H'«'-t-  ij»"f("  —  io;("'- 

donnent  des  éijuations  dont  les  solutions  respectives  sont  les  fonctions  entières  : 

e'iT^h^       gn.r^h  5(  ^  ^_  c^  o^   ({-^^       gn.,+l,  a  {  X  -^-  C  \  O,   C  )  H  X  -I-  d  ;  o,   —  e), 

on  la  dernière  ne  dépend  que  de  cinq  constantes.  iM.  Cliazy  a  développé  ces 
remarques,  sans  aboutir  à  des  conclusions  définitives  ;  toutefois  léquation  obtenue  en 
annulant  l'invariant  de  la  suite  qui  correspond  à  «  >  6  a  des  points  critiques  trans- 
cendants. 

Un  autre  travail  de  M.  Chazy  (Ado  malliematiia,  h\ ,  192(1,  p.  1-69)  est  essen- 
tiellement consacré  à  la  limitation  des  degrés  dans  la  fonction  rationnelle  R.  pour 
que  l'équation  d^ordre  n 

r"'=R<>""-".  •••■/, -r) 

ait  ses  points  i'rilii)ues  fixes. 

M.  R.  Garnier.  dan<  sa  Thèse  (Ann.  lie.  Norm.  sup..  3''  série,  29,  1913, 
p.  3'|-i6o).  a  généralisé  ré(]uation  (F,)  qui  conduit  à  (  \  I  )  en  portant  à  (n  -+-  3)  le 
nombre  des  points  essentiellement  singuliers;  dans  l'équation,  régulière  au  sens  de 
Fuchs, 

l_  d-y  _  r,,,-i  c„^«  c„+?. 

Y   de-  X-  (x  —  I)-        x{x  —  I) 


(E„) 


i—  I 

-if-^— - — ^ — ^1' 


NOTES    ET    ERRATA.  Sgl 

qui  possède  a\ec  les  points  singuliers  /,,  les  points  apparents  '/./,  simples  et  en 
même  nombre  /(,  il  s'agit  île  déterminer  les  À/  et  a,  (et  par  suite  les  c,.  ^/  qui  en 

résultent)  en  fonction  des  /i  variables  /, /„  de  manièie  que  les  coefficients  des 

transformations  du  groupe  de  monodromie  G,  soient  indépendantes  de  /,.  ...,  /„. 

M.  R.  tiaiiiier  obtient  pour'  les).,  urr  système  (  /'„.  F„)  comprenant é((uations 

du  preiirier  or-dre  (/„)  et  //  é(piations  dir  second  ordre  (F;,),  complètement  inté- 
grable,  qui  donne  par  dégénérescence  un  systènre  liyperellipti([ue  jacobien  de 
genr-e  n. 

Il  montre  ([ue  les  fonctions  symétriques  des  ),,,  considéi-ées  comme  fonctions  de 
Fun  des  ar-gumenls  /,.  ont  leurs  points  critiques  fixes  (ti=ztj,  o,  i ,  oo)  et  sont  méro- 
morphes  en  dehors  de  ces  points. 

Dans  la  suite  {Ann.  Éc.  Norm.  sup.,  3''  série.  4-3,  1926),  M.  R.  Garnier  a 
étendu  ses  recherches  au  pr'oblème  de  Riemaun  généi'al,  en  étudiant  autour  de 
leurs  singularités  essentielles  [comme  il  l'avait  fait  pour  (VI)]  les  solutions  du 
système  (A)  par  lequel  L.  Schlesinger  définit  les  i-ésidus  des  pôles  simples  des 
coefficients  de  son  système  linéaire  (S)  au  moyen  des  affixes  de  ces  pôles  (piand  on 
fixe  le  groupe  G  de  monodr-omie  de  (S).  Ce  système  {K)  est  d'ordre  (/j  «  -1-8).  il  pos- 
sède (■iirt-i-y)  intégrales  premières  algébriques,  dont  («-1-3)  quadi-atiques  ;  M.  R. 
Garnier  a  réussi  à  le  r-emplacer  par  un  système  plus  simple  d'ordr-e  2«,  auquel  il 
applique  la  méliiodc  des  approximations  successives  de  M.  E.  Picard. 

2.  Pages  95  et  101.  Sur  rintégration  algébrique  des  équations  différentielles 
linéaires  : 

Cette  question  a  été  l'objet  de  nombreux  travaux  à  la  fin  du  siècle  dernier. 
II.  Valentiner  (Mémoires  de  V Académie  de  Copen/iague,  6'"  série.  V,  r889),  recher- 
chant à  nouveau  les  gi-oupes  d'ordre  fini  contenus  dans  le  groupe  linéaire  homogène 
à  trois  variables  d'ordre  36o,  a  découvert  un  nouveau  groupe,  ijui  avait  échappé 
à  C.  Jordan. 

E.  Goursal  ( /!««.  de  VÉcole  Norm.,  3°  série.  II,  i885)  relie  l'étude  des  inté- 
gr-ales  algébriques  de  l'équation  du  second  ordre  à  la  transformation  de  cette  équa- 
tion, par  changement  de  variable  et  de  fonction,  en  une  équation  hypergéométii([ue 
(de  Gauss)  dont  l'intégrale  est  algébrique. 

Le  passage  aux  équations  du  troisième  ordre,  et  aux  systèmes  vérifiés  par  derrx 
fonctions  de  deux  variables  dont  toutes  les  déterminations  se  déduisent  de  l'une 
d'elles  par  un  nombre  fini  de  transformations  projectives.  a  été  fait  par  E.  Goursat 
{Comptes  rendus,  lO'i.,  r6  mai  1887)  et  I'.  Paiiilevé  {Comptes  rendus,  104,  3i  mai 
1887),  qui  ont  formé  des  invariants  différentiels  I  et  J  analogues  à  celui  de  Cayley- 
Schwarz  pour  le  groupe  projectif  à  une  variable.  Pour'  l'application  particulière 
au  troisième  el  au  quatrième  ordre,  on  peut  consulter  P.  Painlevé  {Comptes  ren- 
dus, 104-,  27  juin  1887;  10i>,  '4  juillet  1887)  dont  les  indications  ont  été  développées 
par  A.  Boir  langer  {Thèse,  Paris,  juin  1897)  avec  une  application  au  groupe  de  Hesse 
d'ordre  21  G. 

La  voie  nouvelle  ouverte  par  M.  Emile  Picard  {Comptes  rendus,  96,  i883; 
Annales  de  la  Faculté  des  Sciences  de  Toulouse,  1,  1887),  qiri  l'a  condirit  à  la 
notion  du  groupe  de  rationalité  pour  une  équation  dillér-entielle  linéaire  dorrt  les 


Sg/  NOTES    ET    ERRATA. 

coefficients  appailiennenl  à  un  ceriii'wi  do/naiiie  de  rationalité  [R],  amène  à  recher- 
cher, dans  un  domaine  de  rationalité  donné  [R],  les  équations  dont  le  groupe  de 
rationalité  est  formé  d'un  nombre  limité  de  transformations  linéaires.  La  définition 
précise  de  [R]  pose  alors  chaque  fois  un  problème  spécial.  (Cf.  Emile  Picard, 
Comptes  rendus,  119,  1894:  121,  189.5.  et  Traité  cf  Analyse,  III,  Z^  édition, 
Chap.  XVII,  Paris.  1927.  et  aussi  E.  Vessiot,  Ann.  de  VEcole  Norm.  sup., 
IX,  1892,  et  L.  ScHLESixGER.  Handhuch  der  Théorie  der  linearen  Differenlial- 
gleichungen,  II.  Leipzig,  1897.) 

Il  faut  encore  citer  Wallenberg  {Journal  J'iir  die  reine  Math.,  113,  1898, 
p.  i-4i)  qui  s'est  occupé  des  équations  d'ordre  n  dont  les  solutions  satisfont  à 
(;(  —  2)  relations  homogènes  de  degré  supérieur  au  premier,  et  l'exposé  d'ensemble, 
avec  historique,  de  G.  Fano  (Math.  Annalen,  .'iS,  1899,  p.  493590).  où  l'on  aborde, 
en  particulier,  l'étude  des  équations  du  5''  et  du  6'"  ordre  dont  les  solutions  sont  liées 
entre  elles  par  des  relations  algébriques, 

.,  .  .      d¥ 

3.    Page  98,    Sous  le  radical,  deuxième  lij;ne,  lire  -^j  barre  omise. 

II.  r^        •  ■         1-  1         11-  ,.      d-t .    d'I . 

*.    rage  gq.    Deuxième  li"ne,  dans  le  delernun;int,  lire  —, — -  )  -7-^  • 
^^  ■  djc-     dx^ 

3,    Page  106.    Neuvième  lli;ne,  lire  i>om(irplie  sans  s. 

■^77 
G,    l'ase  ii'2,    Litiiie  ij,  lire ■  barre  omise, 

7.  Page  i-n.    Ligne  22,  au  dénomiiKileui'  du  lioisième  terme,  lire  2! 

8.  Page  i~!\.    .\jouler  ù  au  début  de  la  deiiiièie  ligne. 

9.  Page  177,    Ligne  10,  lire  -y-^>  accent  omis, 

10,  Page  189,    Ligne  4  e»  parlant  du  bas,  lire  \,<  f).  i  i>mis. 

11.  Page  225.  Ces  formules  [leuveiil  s'obtenir  direclemenl.  Une  rotation  con- 
tinue de  grandeur  1.  autour  de  l'axe  de  cosinus  a,,  ^i.\\.  produit  dans  le  temps  dt. 
la  même  \ariation  des  coordouiiées  ,c,  )■,  ;  d'un  point  fixe  du  trièdre  (|ue  la  rotation 
infinimenl  petite 

On  a  dune  pour  le  déplacement  d'entraînement 

àx  =  t..:  —  t^y,         ày  =  l-^x  —  /,  s,         Sa  =  t^y  —  t«x. 

Si  l'on  applique  ceci  au  point 

j- =  (j.  =  a  sinft,  )=v  =  [isin6,         3  =  p  =  YsinO, 

représentatif  de  la  rotalion  finie,  eu  ubser\anl  que  si  '1  vaiie  a\ec  /,  ce  point  varie 
dans  le  tiièdre,  on  aura 

Ofi  =  02  sinfl -H  I  cusU  20,  ..., 

les  seconds   termes  donnant   le  déplaeemenl  relatif.   Donc,   en   tenant   compte  du 


NOTES    ET    KRRATA.  ÔgS 

déplacement  deiitraînemenl  èx,  ô|3,  oy. 

SfJi  =  /«p  —  /3V  -H  Xa  S9, 
Sv  =/3[JL  —  <ip  -(-5.|3o6, 
Sp  =  /,  V  —  /.,  <j.  -4-  /,•;  39 . 

On  déduit  de  là  dl  par  l'identité 

À  SX  H-  iji  3[ji  -(-  V  Sv  -I-  p  Sp  =  o, 

d'où 

SX  =  —  (  [j.a  56  -+-  v3  36  -+-  p-;  39  )  =  —  sin6  36. 

Ces  formules,  plus  générales  que  celles  de  H.  Poiucaré.  donnent  la  variation  des 
quantités  1.  f-i.  v.  p  pour  une  rotation  inliniment  petite  quelcom/ue.  Elles  redon- 
nent celles  du  texte,  si  l'on  suppose 

z  39  -I-  ï|  3/  =  o,         p  39  -1-  |î|  3/  =  û,         7  39  -H  Yi  3/  =  o, 
c'est-à-dire,  en  particulier. 

a,  =  a,  r^i  =  [i,         Yi  =  T         avec     3/  =  —  39. 

La  théorie  analytique  des  groupes  continus  finis,  dans  la  voie  adoptée  par 
H.  Poincaré.  ne  semble  pas  avoir  été  poursuivie.  L'étude  de  ces  groupes,  plus  par- 
ticulièrement celle  des  groupes  sim/>/es  ou  semi-simples  de  M.  E.  Cartan,  a  donné 
lieu  à  de  nombreux  travaux.  (3n  doit  citer  particulièrement  :  H.  Weyl  {Mal/i. 
Zeitschrift,  23,  1925,  p.  271-809;  1k,  1926,  p.  828-895);  de  très  nombreux 
Mémoires  de  E.  Cartan  (Bulletin  Se.  math.,  1'  série,  49,  1926;  Journal  de  Math, 
pures  et  appl.,  6,  1927;  8,  192.9;  Annali  di  Mat.,  4"  série,  5,  1928,  etc.)  rappelés 
au  fascicule  42  du  Mémorial  des  Sciences  mathématiques  :  E.  Cartan.  La  Théorie 
des  groupes  finis  et  continus  et  /'Analysis  situs,  1980;  enfin  O.  Sclireier  [Abh. 
math.  Seminar  Hamburg,  4,  1926;  5,  1927).  Cf.  aussi  l'exposé  d'ensemble  du  fas- 
cicule 33  du  Mémorial  des  Sciences  mathématiques  :  A.  BuHL,  Aperçus  modernes 
sur  la  théorie  des  groupes  continus  et  finis,  1928,  où  l'on  trouvera  une  bibliogra- 
phie étendue. 

12.    Page  484-492.  Réduction  des  intégrales  abéliennes.  Intégrales  doubles: 

La  réduction  des  intégrales  abéliennes,  l'étude  des  résidus  et  des  périodes  des 
intégrales  doubles,  celle  des  intégrales  dillérentielles  totales  algébri(|ues  par  rap- 
port à  deux  variables  complexes  j-,  ) ,  et  les  questions  connexes,  oui.  comme  le  fait 
remarquer  H.  Poincaré,  occupé  M.  Emile  Picard  pendant  plus  de  dix  ans.  On  ne 
peut  aborder  ce  domaine  sans  étudier  à.  la  fois  les  travaux  des  deux  savants.  Nous 
ne  pouvons  ici  que  grouper  quehjues  indications  bibliographi([ues  pour  aider  à 
cette  étude. 

Sur  la  réduction  des  intégrales  abéliennes,  voirE.  Picard,  Comptes  rendus,  93, 
1881,,  p.  696  et  112G;  9k,  1882,  p.  1704;  95,  1882,  p.  898;  Bulletin  Soc.  math, 
de  France,  11,  1882,  p.  25-53;  12,  i884,  p.  i53-i55. 

Sur  les  résidus  et  les  périodes  des  intégrales  doubles  de  fonctions  rationnelles 
ou  de  fonctions  algébriques,  voir  E.  Picard,  Comptes  rendus,  102,   1886,   p.  849 


594  NOTES    ET    EHBATA. 

et^io;  124.,  1897,  P-  433;  125,1897,  p.  1068;  126,  1898,  p.  11 16;  129,  1899,  p.  589; 
132,  1901,  p.  18  el  929;  133,  1901,  p.  795;  134,  1902,  p.  69;  137,  igoS,  p.  Sg^  ; 
140,  1905.  p.  9i5;  Annales  Éc.  ISorm.  sitp.,  3"  série.  19,  1902,  p.  66-87;  20,  1908, 
p.  53i-584;  22,  igoS,  p.  69-100;  Journal  de  Math,  pures  et  appl.,  5«  série.  5, 
1899,  p.  5-59;  Bull.  Sciences  math.,  2''  série,  26,  1902.  Un  cerlain  nombre  des 
résultats  sont  exposés  dans  le  Traité  cTAnalyse  de  M.  Emile  Picard,  II,  igaS, 
Chap.  IX;  pour  d'autres,  particulièrement  pour  ceux  relatifs  aux  Intégrales  de 
différentielles  totales,  algébriques  par  rapport  à  deux  variables  x,  y,  dont  la 
considération  est  due  à  M.  E.  Picard,  on  trouvera  un  exposé  d'ensemble  dans 
l'ouvrage  de  E.  Picard  et  G.  Simart,  Théorie  des  fonctions  algébriques  de  deux 
variables  indépendantes,  Paris,  I,  1897;  II,  1900. 

Le  Tome  II  contient  également  un  résumé  des  résultats  obtenus  par  voie  géomé- 
trique en  Italie,  et  qui  n'avaient  pas  trouvé  place  dans  l'Ouvrage,  par  MM.  G.  Cas- 
telnuovo  et  F.  Enriques,  avec  une  bibliogiapliie  étendue  où  l'on  doit  relever  les 
noms  de  G.  Castelnuovo.  F.  Enriques  et  F.  Severi.  Cf.  aussi  F.  Sbveri,  fiom.  Ace. 
L.  Rend..  13.  igol.  p.  253-238,  etc. 

13.  Page  '193.  Le  Mémoire  Sur  les  cycles  des  surfaces  algébriques  est  attribué  à 
un  autre  \olume  des  (JEui'res;  la  pensée  de  11.  Poincaré  présente  une  complexité 
—  et,  dirons-nous,  une  «  connexion  »  —  telle  qu'il  n'est  pas  possible  (jue  clia(pie 
travail  ne  se  rapporte  qu'aux  publications  déjà  faites.  Gela  ne  serait  \râi  <iue  si  l'on 
adoptait  l'ordre  chronologique,  ce  qui  est  impossible. 

14.  Page  553,  litre,  lire  la  date  1910  au  lieu  île  lyoï. 
13.    Page  571,  ligue  6.  L'exposant  de  /;"  est  —  :  • 

16.    Page  5l'|0-578.   Sur  1rs  équations  de  Fredliolni  : 

l..a  théorie  des  équations  intégrales  de  Fredholm  a  donné  lieu  à  de  nombreux 
travaux,  avant  el  après  igog,  époque  où  II.  Poincaré  s'en  est  occupé.  On  rappellera 
seulement  ici  les  recherches  fondamentales  de  D.  IIilburt.  Gôllinger  Nachr.,  igo/^- 
lyio;  E.  ScuMiDT,  Math.  Ann.,  63,  1907,  p.  .'|33-.'i76,  et  64,  1907,  p.  161-174; 
E.  GouRSAT,  Annales  de  la  Faculté  de  Toulouse,  2"  série,  10,  igo8,  p.  5-y8; 
H.  Lebescuk.  Annales  de  la  Faculté  de  Toulouse,  1,  igio,  p,  26-128,  el  Bulletin 
Sor.  mil  h.  France,    36,  igo8,  p.  3-iy. 

Pour  les  travaux  récents  sur  les  équations  intégrales  à  noyau  singulier.  Cf. 
E.  Picard,  Ann.  Ec.  l\orm.  sup.,  igii,  p.  3i3;  F.  Wkyl.  Math.  Annalen,  66, 
igog,  et  T.  Carleman,  Ann.  Inst.  11.  Poincaré,  1,  1981,  p.  'toi-^3o,  où  l'on  trou- 
vera une  bibliographie  plus  complète.  Cf.  aussi  V.  Voltkrra,  Leçons  sur  les  équa- 
tions intégrales  et  les  équations  intégro-différentielles,  Paris.  igiS. 

Jules  Dracb. 

FIN    DU    TOME    III. 


TABLE  DES  MATIÈRES 


DU   TOME   m. 


PREMIERE  SECTION.  —  Analyse  pure. 
Phemière  Partie.  —  Équations  différentielles  (suite). 

Pages. 

Sur  un  théorème  de  M.  Fuchs i ,  4 

Sur  l'intégration  algébrique  des  équations  difterenlielles 32 

Sur  rintégralion  algébrique  des  équations   différentielles  du  premier  ordre  et  du 

premier  degré 35 

Sur  les  équations  différentielles  linéaires  à  intégrales  algébriques go 

Sur  l'intégration  des  équations  linéaires  par  le  moyen  des  fonctions  abéliennes. . . .  98 

Sur  l'intégration  algébrique  des  équations  linéaires,  etc loi 

Groupes  continus 167 

Sur  les  groupes  continus 169 

Quelques  remarques  sur  les  groupes  continus ii'i 

Nouvelles  remarques  sur  les  groupes  continus 261 

Deuxièuk  Partie.  —  Théorie  des  fondions. 
Intégrales  simples  et  multiples. 

Analyse  de  ses  travaux  sur  les  intégrales,  faite  par  H.  Poincaré, 325 

Bibliographie  de  la  deuxième  Partie 33l 

Sur  la  réduction  des  intégrales  abéliennes 333 

Sur  les  intégrales  de  différentielles  totales 355 

Sur  une  généralisation  du  théorème  d'Abel 357 

Sur  la  réduction  des  intégrales  abéliennes 36o 

Sur  la  réduction  des  intégrales  abéliennes  et  la  théorie  des  fonctions  fuchsiennes. .  .|2g 


596  TABLE    DES   MATIÈRES. 

Sur  les  résidus  des  iatégrales  doubles 493 

Remarques  sur  l'équation  de  Fredholm 540 

Sur  quelques  applications  de  la  méthode  de  Fredholm 545 

Sur  les  équations  de  Fredholm 54y 

Remarques  diverses  sur  réquation  de  Fredholm 555 

Notes  bt  errata 583 


FIN    DE    LA   TABLE    DES    MATIERES    DU    TOME    III. 


84505  Paris.  —  Imp.  Gauthier-Villars,  quai  des  Grands-Augustins,  55. 


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